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专题2.6直角三角形九大题型（一课一讲）
①直角三角形的定义
有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，直角三角形可以用符号“Rt△”表示。
②直角三角形的性质定理
定理1：直角三角形的两个锐角互余。
定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
③直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。
题型一：利用直角三角形的两锐角互余求角度
【例题1】如图，在中，，是边上的高，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【详解】解：，，
，
，
，
故选：C．
【变式训练1-1】如图，把直尺摆放在直角三角板上，，直尺与三角板的边分别交于点D，E，F，G，若，则的度数是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．过点B作，先根据直角三角形两锐角互余得出的度数，再根据两直线平行，内错角相等得出，，即可求解．
【详解】解：过点B作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【变式训练1-2】(24-25八上·福建厦门音乐学校·期中)如图，，的垂直平分线交于D，连接，若，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
由直角三角形的性质可得，由线段垂直平分线的性质可得，进而得到，再根据角的和差求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵为的垂直平分线，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【变式训练1-3】(24-25八上·贵州遵义新蒲新区滨湖中学·期中)如图，是的角平分线，于点，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图，延长交于点，先利用三角形外角性质得到，再利用垂直的定义和角平分线的性质得到，，然后根据直角三角形两锐角互余得到．
【详解】解：如图，延长交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
即的度数为．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形外角的定义和性质，垂直的定义，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，推出是解题的关键．
【变式训练1-4】(24-25八上·贵州遵义新蒲新区滨湖中学·期中)如图，在中，于点C，是的平分线，若则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查角平分线定义和直角三角形两锐角互余，根据直角三角形两锐角互余得，由角平分线定义得，根据直角三角形两锐角互余得．
【详解】解：在中，即，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴．
故选：B．
【变式训练1-5】(25-26八上·云南石林县民族中学初中部·月考)如图，在中，于点，平分．若，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形内外角关系，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．由三角形内角和定理求出，进而根据角平分线性质求出，再由三角形外角的性质求出，最后根据，求解即可．
【详解】解：，，
，
平分，
，
，
，
．
故答案为： ．
【变式训练1-6】(23-24七下·黑龙江哈尔滨博雅中学校·期中)如图，，，，，垂足分别为D、E，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形外角的性质，余角的含义，由三角形外角的性质求出是解答本题的关键. 由得，由得，从而，又因为，所以根据三角形外角的性质求出即可求解.
【详解】解：∵，
∴，即，
又∵，
∴ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：
题型二：利用斜边上的中线等于斜边的一半求角度
【例题2】在如图所示的纸片中，，D是斜边的中点，把纸片沿着折叠，点B到点E的位置，连接．若，，则等于（ ）
A．α B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握折叠的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．由直角三角形斜边上的中线性质和折叠的性质得出，，求出，，即可得出答案．
【详解】解：，是斜边的中点，
，
由折叠的性质得：，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
故选：B．
【变式训练2-1】如图，在中，，为边上的中线，平分，交于点D，过点B作，垂足为点F，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
由直角三角形的两锐角互余可得，根据直角三角形斜边上的中线性质得出，由等腰三角形的性质得出，由角平分线定义得出，由三角形的外角性质得出，由直角三角形的性质即可解答．
【详解】解：如图：∵在中，，
∴，
∵，为边上的中线，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【变式训练2-2】如图，在中，，，是斜边上的中线，将沿翻折，使点B落在点F处，线段与相交于点E，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了折叠的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
由直角三角形两锐角互余和斜边上中线的性质得，，即可得到，由折叠的性质得，则，由三角形外角的性质即可得到的度数．
【详解】解：∵在中，，，是斜边上的中线，
，，
，
∵将沿翻折，使点B落在点F处，线段与相交于点E，
，
，
．
故选：C．
【变式训练2-3】(24-25八下·贵州贵阳花溪区磊庄中学·月考)将一副三角尺按如图所示的方式摆放，恰好是边的中点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，掌握相关知识是解决问题的关键．根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，根据等腰三角形的性质求出，再根据三角形内角和定理解答即可．
【详解】解：在中，恰好是边的中点，
则，
，
，
．
故选：D．
【变式训练2-4】(2025·浙江省杭州市·一模)如图，在中，，D是的中点，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
根据直角三角形的性质得到，得到为等边三角形，根据等边三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：，
，
∵D是的中点，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
故选：C．
【变式训练2-5】(24-25八下·陕西安康紫阳县·期末)如图，在中，，是边的中点，连接，则的度数为 ．
【答案】/70度
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、等边对等角等知识点，掌握在直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．
根据题意得到，即可得到，在角的和差即可解答．
【详解】解：∵在中，是边的中点，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
题型三：利用斜边上的中线等于斜边的一半求线段长度
【例题3】如图，在中，，是的中点，，则的长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质；熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半求解．
【详解】解：在中，是的中点，
，
故选：D．
【变式训练3-1】如图，一根竹竿斜靠在竖直的墙上，点P是中点，表示竹竿沿墙滑动过程中的某个位置，则的长（ ）
A．下滑时，的长度增大 B．上升时，的长度减小
C．只要滑动，的长度就变化 D．无论怎样滑动，的长度不变
【答案】D
【分析】此题考查了直角三角形斜边上的中线，解题的关键是熟练掌握以上知识点．根据直角三角形斜边上的中线性质得出答案即可．
【详解】解：∵，P为的中点，
∴，
即的长在竹竿滑动过程中始终保持不变，
故选：D．
【变式训练3-2】如图，在中，，，于点，是的中点，若，则的长为（ ）
A．2.5 B．5 C．7.5 D．10
【答案】D
【分析】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形斜边的中线的性质、等边三角形的判定与性质、含有角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
先根据三角形内角和定理可得，由直角三角形斜边的中线性质定理可得，利用等边三角形的性质及含有角的直角三角形的性质进行计算，可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【变式训练3-3】(2025·浙江省杭州市·模拟)如图，在中，点D在边上， ，点E，点F分别是的中点， ，则的长为 ．
【答案】5
【分析】本题考查三线合一，直角三角形的性质，连接，三线合一得到，由直角三角形的性质得到，即可得出结果．
【详解】解：连接，
∵，F是的中点，
∴，
又∵E是的中点，
∴ (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，
∴，
∵，
∴．
故答案为∶5．
【变式训练3-4】(24-25八上·江苏南京师大附中新城初级中学·月考)如图，在中，是边上的一点，，，分别是，的中点．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质；连接，根据等腰三角形三线合一的性质得出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得长解答即可．
【详解】解：连接，
∵，点E是的中点，
∴，
∴，
又∵点F是的中点，
∴，
故答案为：．
【变式训练3-5】如图，在中，，点在边上，且，过点作，交的延长线于点，点为的中点，连接，若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，由得，，则有，再由直角三角形性质可得，故有，又，从而有，再通过等角对等边即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
题型四：锐角互余的三角形是直角三角形
【例题4】已知，，点是上一点，要求用尺规在边上确定一点，使得．小明同学的作法如图所示，其说明直线是垂线的推理过程中，没有用到的依据是（ ）
A．直角三角形的两个锐角互余
B．等量代换
C．两个锐角互余的三角形是直角三角形
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
【答案】D
【分析】本题主要考查了等角的作图，涉及了直角三角形的性质与判定，熟练掌握直角三角形的性质与判定是解题的关键．
根据直角三角形的性质与判定推出，作图即可．
【详解】解：∵，
∴（直角三角形的两个锐角互余），
若，
∴（等量代换），
∴，（两个锐角互余的三角形是直角三角形），
∴，
故选：D．
【变式训练4-1】满足下列条件的不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查直角三角形的识别，根据三角形内角和定理以及直角三角形的判定逐项判断，即可得到结论．
【详解】解：A，，是直角三角形，不合题意；
B，时，最大的角，不是直角三角形，符合题意；
C，，则，是直角三角形，不合题意；
D，，则，是直角三角形，不合题意；
故选B．
【变式训练4-2】(24-25八上·贵州毕节七星关区第三实验学校·月考)在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案．
本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
【详解】解：①∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
故本小题符合题意；
②∵，，
∴最大角为，
∴是直角三角形，
故本小题符合题意；
③∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是锐角三角形，
故本小题不符合题意；
④∵，，
∴最大角为，
∴是直角三角形，
故本小题符合题意；
⑤∵，，
∴最大角为，
∴是直角三角形，
故本小题符合题意．
综上所述，是直角三角形的是①②④⑤共4个．
故选：B．
【变式训练4-3】(24-25八上·吉林实验中学·期中)下列条件不能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．，
【答案】C
【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和，根据三角形内角和定理，直角三角形的判定逐项判断即可，掌握三角形内角和定理及直角三角形的定义是解题的关键．
【详解】、由题意可设三角形的三个内角度数分别为、、，
∴，
∴，故三角形三个内角的度数分别为、、，
∴此选项中是直角三角形，不符合题意；
、∵，
∴，
∴，
∴此选项中是直角三角形，不符合题意；
、设，，（为正数），
∵，
∵，
∴，
∴，，，
∴此选项中不是直角三角形，符合题意；
、∵，，
∴，
∴此选项中是直角三角形，不符合题意；
故选：．
【变式训练4-4】(24-25八上·河南南阳第一完全学校·月考)下列定理中没有逆定理的是（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．直角三角形的两个锐角互余
C．斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等
D．全等三角形的对应角相等
【答案】D
【分析】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．分别写出各个命题的逆命题，根据全等三角形的性质和判定定理、直角三角形的判定定理判断即可．
【详解】解：A中、三边分别相等的两个三角形全等的逆命题是两个三角形全等的三边分别相等，是真命题，
则原定理有逆定理，不符合题意；
B中、直角三角形的两个锐角互余的逆命题是两个锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，
则原定理有逆定理，不符合题意；
C中、斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等的逆命题是两个全等的直角三角形斜边和一条直角边分别对应相等，是真命题，
则原定理有逆定理，不符合题意；
D中、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，是假命题，
则原定理没有逆定理，符合题意；
故选：D．
【变式训练4-5】(24-25八下·贵州贵阳第二十八中学·期中)有下列命题：①对顶角相等；②直角三角形的两锐角互余；③两直线平行，内错角相等；④相等的两个数的平方也相等，其中逆命题成立的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】本题考查了逆命题的概念及判断命题的真假，直角三角形的判定与性质，熟练掌握逆命题的概念及判断命题的真假是解题的关键．逐一分析各命题的逆命题是否成立即可．
【详解】解：①原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，是假命题，不符合题意；
②原命题“直角三角形的两锐角互余”的逆命题为“两锐角互余的三角形是直角三角形”，是真命题，符合题意；
③原命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题为“内错角相等，则两直线平行”，是真命题，符合题意；
④原命题“相等的两个数的平方相等”的逆命题为“平方相等的两个数相等”，是假命题，不符合题意．
综上，逆命题成立的为②和③，共2个．
故选：C．
题型五：含30°的直角三角形求线段长度
【例题5】如图，在中，交于点，则的长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解决问题的关键．
根据角的直角三角形的性质得到，再由即可求解．
【详解】解： ∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【变式训练5-1】(24-25八下·陕西咸阳永寿县豆家中学·期中)如图，在等边中，D为边的中点，于点E，交于点F，已知，则的长为（ ）
A． B．9 C．6 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．首先根据含角的直角三角形的性质求得的长，继而求得等边的边长，然后求得的长，根据平行线的性质得出，，即可证得是等边三角形，从而求得的长．
【详解】解：是等边三角形，
，
，
，
，
为的中点，
，
，
，
，
，，
是等边三角形，
∴．
故选：B．
【变式训练5-2】(24-25八上·山东济宁微山县·期中)如图，射线平分，，于点D，，，则等于 ．
【答案】10
【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形外角的定义及性质、含角的直角三角形的性质，作于，由角平分线的性质可得，，由平行线的性质结合三角形外角的定义及性质可得，最后由含角的直角三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，作于，
，
∵射线平分，于点D，，于，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵于，
∴，
故答案为：．
【变式训练5-3】(2024·广东省深圳市·模拟)如图，在中，为的中点，点在边上，交于点，若，，的面积为，则的长为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形面积公式，延长至点，使，连接，证明得出，再证明，作 于点，则，表示出，，，再由三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，延长至点，使，连接，
，
∵为的中点，
∴，
∵，，
∴，
．
，
．
，
，
．
作 于点，则，
，
．
，
，，．
，
，
，
，
故答案为：4．
【变式训练5-4】如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．若，则 ．
【答案】10
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质、含角的直角三角形、等边对等角等知识点，掌握垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
由线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角和三角形外角的性质求得，再根据含角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵边的垂直平分线交于点D，
∴，
，
，
又∵在中，，，
．
故答案为：10．
【变式训练5-5】如图，等边三角形的边长为12，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则 ．
【答案】16
【分析】过点D作，交于F，先证是等边三角形，再证，得，设，则，最后根据在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半，计算，即可．
【详解】解：如下图，过点D作，交于F，
是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，
，
点P为中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
解得：，
，
故答案为：16．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半，解题的关键是作辅助线证明．
题型六：直角三角形综合解答题
【例题6】如图，在中,为边上的高，点E为边上的一点，连接．
(1)当为边上的中线时，若的面积为，求的长；
(2)当为的平分线时，若，求的度数．
【答案】(1)4
(2)
【分析】本题考查了三角形的面积公式、三角形中线的性质、三角形内角和定理、角平分线的性质以及直角三角形两锐角互余的性质，解题的关键是熟练运用各性质与定理，结合已知条件逐步推导所需线段长度或角度．
（1）先根据三角形面积公式(面积底高)，以为底、为高，结合已知面积和长度求出的长；再由中线性质(中线平分对边)，得为的一半，进而求出的长；
（2）先根据三角形内角和定理求出的度数；再由角平分线性质(角平分线平分角)，得为的一半；接着在中，利用直角三角形两锐角互余求出的度数；最后通过与的差求出的度数．
【详解】（1）解：∵为边上的高，的面积为，
∴，
∴，
∵为边上的中线，
∴；
（2）∵，
∴，
∵为的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式训练6-1】(24-25八上·内蒙古鄂尔多斯东胜区第一中学·月考)如图，在等边中，点D、 E分别在边、上，且，与相交于点P，于点Q．
(1)求证：；
(2)请问与有何关系？并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形的外角性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．
（1）先根据等边三角形的性质得到，，再根据全等三角形的判定可证得结论；
（2）先根据全等三角形的性质得到．再根据三角形的外角性质求得，则，再根据含30度角的直角三角形的性质可求解．
【详解】（1）证明：为等边三角形，
，，
在和中，
，
；
（2）解：．
理由如下：由（1）知，
．
的外角，
．
，
，
，
．
【变式训练6-2】(24-25八上·新疆乌鲁木齐第八中学·期中)如图，是等边三角形，是边上任意一点（与、两点不重合），是延长线上一点，且始终满足条件，过作交于点，连接交于．
(1)求证：．
(2)当时，猜想并写出与所满足的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】本题考查了用（）证明三角形全等（或者），等边三角形的性质，含度角的直角三角形，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
（1）先根据等边三角形的性质得出，再利用平行线的性质得出，从而可得，结合，可得，再利用平行线的性质得出，，从而可利用得出；
（2）先利用含有度角的直角三角形的性质证得，再由（1）得，得出，从而可得，于是可证得．
【详解】（1）证明： 是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，，
在与中，
；
（2），证明如下：
，，
，
，
由（1）得，
，
，
，
，
，
．
【变式训练6-3】(24-25八上·重庆两江中学·期中)如图，是等边三角形，是中线，延长至E，．
(1)求证：；
(2)在图中过作交于，若，求的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)12
【分析】题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．
（1）先根据等边三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，根据三角形的外角性质可得，然后根据等边三角形的性质可得，则可得，最后根据等腰三角形的判定即可得证；
（2）先根据等边三角形的性质可得，，再根据含30度角的直角三角形的性质可得，则可得，然后根据三角形的周长公式即可得．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，
∴．
（2）解：在图中过作交于，
∵是等边三角形，是中线，
∴，，
∵，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∴的周长为．
【变式训练6-4】(24-25八上·辽宁抚顺抚顺县·期中)在中，是的平分线，交于点E，，．
(1)求各内角的度数；
(2)如果过D作，猜想吗？说明理由．
【答案】(1)各内角度数分别是，，
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，与角平分线有关的定义，三角形内角和性质，平行线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据直角三角形的两个锐角互余，得，根据是的平分线，则，故，即可作答．
（2）根据平行线的性质得，因为，则，即不垂直，结合，是的平分线，即可作答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴
，
∴各内角度数分别是，，；
（2）解：，理由：
如图所示：
∵
∴，
∵，
∴，
∴不垂直，
∵，是的平分线，
∴．
【变式训练6-5】(24-25八·陕西渭南潼关县·期末)如图，在中，和的角平分线相交于点P，且，，垂足分别为E、F．
(1)求证：；
(2)若，，连接，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)10
【分析】本题考查的是角平分线的性质及判定、含30度角的直角三角形的性质．
（1）过点P作于D，根据角平分线的性质得出，，即可得出结论；
（2）先证明平分，求出，根据含30度角的直角三角形的性质求出结论．
【详解】（1）解：过点P作于D，如图所示．
∵和的角平分线相交于点P，且，，
∴，，
∴．
（2）解：∵，，，
∴平分．
∵，
∴．
∵，
∴．
题型七：直角三角形综合之最值问题
【例题7】如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
在上截取，连接，，先证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，再根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当时，的值最小，即的值最小，然后根据直角三角形的性质求解即可得．
【详解】解：如图，在上截取，连接，，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为，
由垂线段最短可知，如图，当时，的值最小，即的值最小，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：D．
【变式训练7-1】如图，，平分，垂直平分于点G，交于点F，Q为射线上一动点．若的长的最小值为5，则的长为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【分析】连接，过P作于E，于H，根据角平分线的性质定理得到，，根据线段垂直平分线的性质得到，由等腰三角形的性质得到，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：连接，过P作于E，于H，
∵平分，的最小值为5，，
∴，，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上性质并灵活运用是解题的关键．
【变式训练7-2】(24-25八上·内蒙古鄂尔多斯东胜·期末)如图，，点P在的角平分线上，，点E、F是两边、上的动点，当的周长最小时，点P到距离是 ．
【答案】
【分析】本题考查了直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半，轴对称的性质，两点之间线段最短，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，正确确定E、F的位置是关键．作P关于的对称点，以及关于的对称点，连接两个对称点，交、分别于E、F，交于，则此时的周长最小，则的长度就是所求的量，然后证明，，最后利用直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：作P关于的对称点，以及关于的对称点，连接，交于，连接，，，，
∵点P在的角平分线上，，
∴，
由对称可得垂直平分，垂直平分，，，
∴，，，，
∴的周长，，
∴当交、分别于E、F时，此时的周长，取得最小，
∵，，，
∴和都是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，点P到距离是，
∴．
故答案为：．
【变式训练7-3】如图，是等边三角形，为边的中点，，为中线上的动点，则的最小值是 ．
【答案】12cm
【分析】本题考查等边三角形的性质，含的直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
过点作于，过点作于．求出，再证明，根据垂线段最短，解决问题即可．
【详解】解：如图，过点作于，过点作于．
是等边三角形，，
，平分，
，
，
，
，，
根据面积法可得，
，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
【变式训练7-4】(24-25八上·浙江台州玉环·期末)如图，，平分，垂直平分，交于点，为上动点，当时，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】延长交于点，连接，当时，最短，由垂直平分，则，，通过角平分线定义可得，证明，所以，从而有，然后由直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图，延长交于点，连接，当时，最短，
∵垂直平分，
∴，，
又∵平分，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，三角形外角性质，角平分线定义，直角三角形的性质，等边对等角，掌握知识点的应用是解题的关键．
【变式训练7-5】(24-25八上·湖北云梦县·期末)如图，在锐角中，，，平分，M、N分别是 、上的动点，则的最小值是 ．
【答案】7
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、两点之间线段最短、垂线段最短、含30度角的直角三角形的性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．在上截取一点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，再根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当时，的值最小，即的值最小，然后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可得．
【详解】解：如图，在上截取一点，使得，连接，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为，
由垂线段最短可知，如图，当时，的值最小，
∵在中，，，
∴此时，
即的最小值是7，
故答案为：7．
题型八：直角三角形中动点问题（压轴题）
【例题8】如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接、．
(1)_______；用含的代数式表示
(2)求证：≌；
(3)当为何值时，是等边三角形？说明理由；
(4)当为何值时，为直角三角形？请直接写出的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)为时，是等边三角形，见解析
(4)为或时，为直角三角形
【分析】（1）在中，利用度角的对边等于斜边的一半，即可得出的长，此题得解；
（2）由，可得出，利用平行线的性质可得出，结合，即可证出≌；
（3）由（2）可知：当是等边三角形时，是等边三角形，由可得出，进而可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
（4）由（2）可知：当为直角三角形时，是直角三角形，分和两种情况考虑，利用度角的对边等于斜边的一半，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：，
．
在中，，，，
．
故答案为：；
（2）证明：，，
，
．
在和中，
，
≌．
（3），
当是等边三角形时，是等边三角形．
，
．
，，
，
，
当为时，是等边三角形．
（4），
当为直角三角形时，是直角三角形．
当时，，
即，
解得：；
当时，，
即，
解得：．
综上所述：当为或时，为直角三角形．
【点睛】本题考查了解含度角的直角三角形、全等三角形的判定、等边三角形的性质以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）在中，利用度角的对边等于斜边的一半找出的长；（2）利用全等三角形的判定定理证出≌；（3）利用全等三角形的性质及等边三角形的性质，找出关于的一元一次方程；（4）分和两种情况，利用度角的对边等于斜边的一半找出关于的一元一次方程．
【变式训练8-1】(24-25九上·河北保定高阳宏利佳学校·月考)点分别是边长为的等边的边上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是．
(1)如图1，当时，连接交于点M，求的度数；
(2)当 时，是直角三角形？
(3)如图2，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为M，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
【答案】(1)
(2)2或4
(3)不变，
【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键：
（1）证明，得到，再根据三角形的外角的性质求出的度数即可；
（2）分和，两种情况进行讨论求解即可；
（3）证明，得到，再根据对顶角相等，三角形的外角的性质，求出的度数即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴当时，，
∵等边，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）由（1）可知：，
∴，
当时，
∵，
∴，
∴，即：，
解得；
当时，则：，
∴，即：，
解得；
综上：当或4时，是直角三角形；
（3）不变，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式训练8-2】是边长为的等边三角形，点P、Q分别从顶点A、B同时出发，沿线段、运动，且它们的速度都为．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为．
(1)如图（1），当t为何值时，是直角三角形？
(2)如图（2），连接、交于点M，则点P、Q在运动的过程中，的度数会发生变化吗？若发生变化，请说明理由；若不变，请求出它的度数．
【答案】(1)或
(2)的度数不变，
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，含30度角的直角三角形，三角形内角和定理与外角的性质，全等三角形的判定和性质，掌握直角三角形和全等三角形的性质是解题关键．
（1）由题意得，，分两种情况讨论：①当时，②当时，利用30度角所对的直角边等于斜边一半，分别列方程求解即可；
（2）先证明，得到，再结合三角形外角的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵是边长为的等边三角形，
∴，，
由题意得，，
①当时，
∵，
∴，即，
解得，
②当时，
∵
∴，即，
解得
∵，
∴当或时，为直角三角形；
（2）解：的度数不变，，
∵是等边三角形，
∴，，
在与中，
∴，
∴，
∴．
【变式训练8-3】(24-25八下·广东湛江吴川广大实验学校·期末)如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点沿向点运动，点同时从顶点沿向点运动，它们的速度都为，当到达终点时停止运动，设它们的运动时间为秒，连接交于点；
(1)求证：；
(2)点在运动的过程中，变化吗？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的度数；
(3)当为何值时是直角三角形？
【答案】(1)见解析
(2)不变，
(3)当第秒或第秒时，为直角三角形
【分析】（）利用等边三角形的性质可知，，结合即可得证；
（）由知，再利用三角形外角的性质可证得；
（）可用分别表示出和，分和两种情况，分别利用直角三角形的性质可得到关于的方程，则可求得的值．
【详解】（1）解：∵是等边三角形
∴，，
又由条件得，
在和中
，
∴．
（2）的大小不变，，
理由如下：
由（）知，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∴．
（3）由题意知，
①当时，
∵，
∴，得，解得；
②当时，
∵，
∴，得，解得；
∴当第秒或第秒时，为直角三角形．
【点评】本题为三角形的综合应用，涉及等边三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、外角的性质、分类讨论思想及方程思想等知识．
【变式训练8-4】(24-25八上·河北/唐山玉田县第三中学·期末)如图1和图2，是边长为6的等边三角形，P是边上一个动点，Q是延长线上一点，当点P从点A出发向终点C运动时，点Q同时以与点P相同的速度由点B沿射线方向运动，过点P作于点E，连接交于点D．
(1)过点P作交于点F，如图2，求证：是等边三角形；
(2)在点P（不与点A，C重合时）与点Q的运动过程中．
①嘉嘉说：“点D始终是线段的中点．”你是否同意她的说法？说明理由；
②淇淇说：“线段的长度始终不变．”请你帮淇淇求出的长度；
(3)当时，请直接写出的长．
【答案】(1)见解析
(2)①同意，理由见解析；②3
(3)1
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，含角的直角三角形，解一元一次方程，垂线的性质，平行线的判定，全等三角形的判定与性质，等式的性质，平行线的性质等知识点，合理添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
（1）根据得到，则，即可证明；
（2）①过P点作，交于F，证明即可；
②由，得到，进而求得；
（3）可得均为角直角三角形，设，，，在中，由角直角三角形性质得到，求出，在，再由角直角三角形性质求解即可．
【详解】（1）证明：如图，
∵是等边三角形
∴，
∵
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：①同意她的说法，理由如下：如图，
过P点作，交于F，
∵，
∴，
由（1）知是等边三角形，且，
∴，，
由题意得：，
∴，
又∵，
∴，
∴
即D为中点；
②点在运动过程中，线段的长不发生变化，，
理由如下：∵
∴，
∴，
∴点在运动过程中，线段的长不发生变化，；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
设，
∵等边三角形边长为
∴，，
∴，
解得：，
∵，，
∴，
∴．
【变式训练8-5】(24-25八上·广东江门鹤山昆仑学校·期中)如图1所示，在边长为的等边中，动点以的速度从点出发，沿线段向点运动．设点的运动时间为，．
(1)当 时，是直角三角形；
(2)如图2，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，且动点，均以的速度同时出发．那么当取何值时，是直角三角形？请说明理由；
(3)如图3，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，且动点，均以的速度同时出发，当点到达终点时，点也随之停止运动，连接交于点，过点作于．试问线段的长度是否变化？若变化，请说明如何变化；若不变，请求出的长度．
【答案】(1)
(2)当为或时，是直角三角形
(3)的长度不变化，为
【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，由题意可得，求出，由直角三角形的性质可得，即可得解；
（2）分两种情况：当时，当时，分别利用直角三角形的性质列出一元一次方程，解方程即可得解；
（3）过点作交的延长线于，证明，得出，，证明，得出，求出，即可得解．
【详解】（1）解：∵为等边三角形，
∴，，
∵是直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵动点以的速度从点出发，沿线段向点运动，设点的运动时间为，，
∴；
（2）解：∵是直角三角形，
∴分两种情况：当时，如图：
则，
∴，
由题意可得：，
∴，
∴，
解得：；
当时，如图：
则，
∴，
∴，
解得：；
综上所述，当为或时，是直角三角形；
（3）解：的长度不变化，为，
如图，过点作交的延长线于，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的长度不变化，为．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、一元一次方程的应用、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
题型九：直角三角形综合压轴题
【例题9】在等边的两边、所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且，，．探究：当M、N分别在直线、上移动时，之间的数量关系．
(1)如图1，当点M、N边、上，且时，之间的数量关系是_______；
(2)如图2，点M、N在边、上，且当时，猜想（1）问的结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．
(3)如图3，当M、N分别在边、的延长线上时，探索之间的数量关系如何？并给出证明．
【答案】(1)
(2)成立，过程见详解；
(3)，证明过程见详解
【分析】(1)由，，可证得是等边三角形，又由是等边三角形，，易证得，然后由直角三角形的性质，即可求得、、之间的数量关系
(2) 在的延长线上截取，连接，方法同（1）；
(3) 在上截取，连接，，同上可证．
【详解】（1）解：如图1，之间的数量关系是，
理由：，，
是等边三角形，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，，
，
，，
，，
；
（2）解：猜想：结论仍然成立．
证明：在的延长线上截取，连接，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
；
（3）证明：在上截取，连接，，
同（2）可证明，，，同（2）可证明，，，即．
【点睛】此题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．
【变式训练9-1】(2025·黑龙江省鸡西市·一模)我们定义：有一条对角线平分一个角，且有一组对角互补的凸四边形叫做“分补四边形”．
概念理解
（1）根据我们所学的四边形知识，举一个分补四边形的例子：___________；如图1正六边形中，连接，请写出图中所有的分补四边形___________；
性质探索
（2）如图2，在分补四边形中，，平分，且．
求证：；
探究运用
（3）如图3，在中，，分别在上取点P，Q，将沿着翻折，使点B的对应点为当点E落在内部时，是否存在四边形为分补四边形，且的情况？如果存在；求的长；如果不存在，说明理由．
【答案】（1）正方形；四边形，四边形，四边形；（2）见解析；（3）存在，
【分析】（1）根据分补四边形的定义即可判断；
（2）如图2中，作于E，于只要证明≌即可解决问题；
（3）观察图象可知，由四边形是分补四边形，推出只有，推出，推出，推出，推出，推出，可得，求出即可解决问题；
【详解】解：（1）正方形是分补四边形，理由：
如图，正方形中，
∵平分，，
∴正方形是分补四边形．
图1正六边形中，连接，设六边形的外接圆为．
∵正六边形的各边相等，各角都等于，
∴．
∴．
∵是直径，
∴．
∴．
∴四边形是分补四边形．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴四边形是分补四边形．
同理，
∵，
∴四边形是分补四边形．
∴图1正六边形中，连接，图中所有的分补四边形有：四边形，四边形，四边形．
故答案为：正方形；四边形，四边形，四边形．
（2）如图2中，作于E，于F．
则．
平分，
．
，
．
，
．
．
（3）如图3中，
观察图象可知，四边形是分补四边形，
只有．
．
．
，
．
∵，，
．
∴．
．
．
．
【点睛】本题考查了新定义——分补四边形．熟练掌握四边形性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形含30度角的性质，勾股定理，翻折变换等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
【变式训练9-2】已知为等边三角形的角平分线，动点E在直线上（不与点A重合），连接，以为一边在的下方作等边三角形，连接．
(1)如图①，若点E在线段上，且，则 ；
(2)如图②，若点E在的反向延长线上，且直线相交于点M．
①求的度数；
②若的边长为8，P，Q为直线上的两个动点，且，连接，判断的面积是否为定值．若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②的面积是定值，定值为20
【分析】（1）利用等边三角形的性质得出角的度数，并判定出为等腰直角三角形，得出，利用角的和差进行求解即可；
（2）①根据等边三角形的性质证明，得出，然后利用角的和差进行求解即可；
②过点B作于点H，利用含角的直角三角形的性质求出三角形的高，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵为等边三角形，
∴，
∵为等边三角形，平分，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：①都是等边三角形，
，
，
，
．
∵为等边三角形，平分，
，，
，
．
，
；
②的面积是定值，定值为20．理由如下：
如图，过点B作于点H．
在中，，
，
．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质．
【变式训练9-3】【问题背景】我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．如图①，在中，，则．
【探究结论】小明同学对以上结论作了进一步研究．
(1)如图①，作边上的中线，得到结论：①为等边三角形；②与之间的数量关系为____________；
(2)如图②，是的中线，D是边上任意一点，连接，作等边，且点P在的内部，连接．试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并说明理由；
(3)当D为边延长线上任意一点时，在（2）中条件的基础上，线段与之间存在怎样的数量关系？直接写出答案即可．
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)
【分析】（1）根据直角三角形的性质得到，，，根据等边三角形的判定定理证明①；根据直角三角形的性质得出②的结论；
（2）连接，证明，根据全等三角形的性质得到，根据垂直平分线的性质得到，证明结论；
（3）根据题意画出图形，由（2）的证明方法解答即可．
【详解】（1）解：①，，
，，
为边上的中线，
，
，
是等边三角形；
②在中，为边上的中线，
，
故答案为：；
（2）解：猜想，理由如下：
如图②，连接，
， 都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
，
．
，
．
，
；
（3）解：当点为边延长线上任意一点时，．理由如下：
连接，如图③，
，都是等边三角形，
，，，
，即，
则，
，
同（2）可知，．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，直角三角形性质，三角形全等的判定和性质，垂直平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【变式训练9-4】(25-26八上·江苏南通如皋·月考)问题背景：如图①，点，在直线同侧，在直线上找一点，使的值最小．
作法如下：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点，线段的长度即为的最小值．
(1)实践应用：如图②，在等边三角形中，若是的中点，为高上一点，，连接，求的最小值．
(2)拓展延伸：如图②，在等边三角形中，若为高上一点，高，求的最小值．
(3)拓展延伸：如图③，，是四边形内一定点，，分别是，上的动点，当周长的最小值为时，求的长．
【答案】(1)3
(2)3
(3)5
【分析】（1）连接，可得点B，C关于对称，则，那么，故就是的最小值，然后根据等边三角形的性质得到，再根据等边三角形的高即可求解；
（2）过点作于点，可得平分，，，，则，那么，即可求解最小值；
（3）分别作点P关于的对称点E，D，连接，分别交于点Q，R，连接，则，，然后得到是等边三角形，则，，而，故点共线时，周长取得最小值即为，即可求解．
【详解】（1）解：连接，
∵是等边三角形，是边上的高，
∴点B，C关于对称，，
∴，
∴
∴就是的最小值．
∵在等边三角形中，E是的中点，
∴，
而是边上的高
∴，
∴的最小值为3．
（2）解：如图，过点作于点，
∵为等边三角形的高，
∴平分，，
∴，，
∴，
∴，
故其最小值为3；
（3）解：如图，分别作点P关于的对称点E，D，连接，分别交于点Q，R，连接．
∵点P关于的对称点为E，
∴．
∵点P关于的对称点为D，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
∴．
∵，
∴当点共线时，周长取得最小值即为
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，角直角三角形的性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质．
【变式训练9-5】(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区工大附中·期末)已知，点B为线段上的一个动点，与都为等边三角形，点D与点E在直线的两侧，连接交的延长线于点P，连接．
(1)如图1，当点B为线段的中点时，求证：．
(2)如图2，当点B不为线段的中点时，（1）的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)如图3，分别过点C、E作、，垂足分别为点F、G，若，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)成立，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，证得垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等边三角形的性质得到，，，推出，根据全等三角形的性质得到，，进而可得到结论；
（2）根据等边三角形的性质得到，，，证明，得到，，以为边作，另一边交于M，证得，根据全等三角形的性质得到，于是得到为等边三角形，由等边三角形的性质得到，再由求得，证明得到，即可得到结论；
（3）由（2）知为等边三角形，根据，和已知条件得到，于是得到，根据全等三角形的性质得到，，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，点B为线段的中点，
∴，，
∴垂直平分，
∴，
∵与为等边三角形，
∴，，，
在与中，
，
∴，
∴，则，
∴，
∴；
（2）解：成立，证明如下：
∵与为等边三角形，
∴，，，
在与中，
，
∴，
∴，，
以为边作，另一边交于M，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）解：以为边作，另一边交于M，连接，
由（2）知为等边三角形，
∵，
∴，
∵，由（2）知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（2）知，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
专题2.6直角三角形九大题型（一课一讲）
①直角三角形的定义
有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，直角三角形可以用符号“Rt△”表示。
②直角三角形的性质定理
定理1：直角三角形的两个锐角互余。
定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
③直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。
题型一：利用直角三角形的两锐角互余求角度
【例题1】如图，在中，，是边上的高，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】如图，把直尺摆放在直角三角板上，，直尺与三角板的边分别交于点D，E，F，G，若，则的度数是 （ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】(24-25八上·福建厦门音乐学校·期中)如图，，的垂直平分线交于D，连接，若，则（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练1-3】(24-25八上·贵州遵义新蒲新区滨湖中学·期中)如图，是的角平分线，于点，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-4】(24-25八上·贵州遵义新蒲新区滨湖中学·期中)如图，在中，于点C，是的平分线，若则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-5】(25-26八上·云南石林县民族中学初中部·月考)如图，在中，于点，平分．若，，则 ．
【变式训练1-6】(23-24七下·黑龙江哈尔滨博雅中学校·期中)如图，，，，，垂足分别为D、E，，则 ．
题型二：利用斜边上的中线等于斜边的一半求角度
【例题2】在如图所示的纸片中，，D是斜边的中点，把纸片沿着折叠，点B到点E的位置，连接．若，，则等于（ ）
A．α B． C． D．
【变式训练2-1】如图，在中，，为边上的中线，平分，交于点D，过点B作，垂足为点F，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练2-2】如图，在中，，，是斜边上的中线，将沿翻折，使点B落在点F处，线段与相交于点E，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】(24-25八下·贵州贵阳花溪区磊庄中学·月考)将一副三角尺按如图所示的方式摆放，恰好是边的中点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-4】(2025·浙江省杭州市·一模)如图，在中，，D是的中点，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-5】(24-25八下·陕西安康紫阳县·期末)如图，在中，，是边的中点，连接，则的度数为 ．
题型三：利用斜边上的中线等于斜边的一半求线段长度
【例题3】如图，在中，，是的中点，，则的长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【变式训练3-1】如图，一根竹竿斜靠在竖直的墙上，点P是中点，表示竹竿沿墙滑动过程中的某个位置，则的长（ ）
A．下滑时，的长度增大 B．上升时，的长度减小
C．只要滑动，的长度就变化 D．无论怎样滑动，的长度不变
【变式训练3-2】如图，在中，，，于点，是的中点，若，则的长为（ ）
A．2.5 B．5 C．7.5 D．10
【变式训练3-3】(2025·浙江省杭州市·模拟)如图，在中，点D在边上， ，点E，点F分别是的中点， ，则的长为 ．
【变式训练3-4】(24-25八上·江苏南京师大附中新城初级中学·月考)如图，在中，是边上的一点，，，分别是，的中点．若，则的长为 ．
【变式训练3-5】如图，在中，，点在边上，且，过点作，交的延长线于点，点为的中点，连接，若，则的长为 ．
题型四：锐角互余的三角形是直角三角形
【例题4】已知，，点是上一点，要求用尺规在边上确定一点，使得．小明同学的作法如图所示，其说明直线是垂线的推理过程中，没有用到的依据是（ ）
A．直角三角形的两个锐角互余
B．等量代换
C．两个锐角互余的三角形是直角三角形
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
【变式训练4-1】满足下列条件的不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练4-2】(24-25八上·贵州毕节七星关区第三实验学校·月考)在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【变式训练4-3】(24-25八上·吉林实验中学·期中)下列条件不能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．，
【变式训练4-4】(24-25八上·河南南阳第一完全学校·月考)下列定理中没有逆定理的是（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．直角三角形的两个锐角互余
C．斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等
D．全等三角形的对应角相等
【变式训练4-5】(24-25八下·贵州贵阳第二十八中学·期中)有下列命题：①对顶角相等；②直角三角形的两锐角互余；③两直线平行，内错角相等；④相等的两个数的平方也相等，其中逆命题成立的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
题型五：含30°的直角三角形求线段长度
【例题5】如图，在中，交于点，则的长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【变式训练5-1】(24-25八下·陕西咸阳永寿县豆家中学·期中)如图，在等边中，D为边的中点，于点E，交于点F，已知，则的长为（ ）
A． B．9 C．6 D．3
【变式训练5-2】(24-25八上·山东济宁微山县·期中)如图，射线平分，，于点D，，，则等于 ．
【变式训练5-3】(2024·广东省深圳市·模拟)如图，在中，为的中点，点在边上，交于点，若，，的面积为，则的长为 ．
【变式训练5-4】如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．若，则 ．
【变式训练5-5】如图，等边三角形的边长为12，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则 ．
题型六：直角三角形综合解答题
【例题6】如图，在中,为边上的高，点E为边上的一点，连接．
(1)当为边上的中线时，若的面积为，求的长；
(2)当为的平分线时，若，求的度数．
【变式训练6-1】(24-25八上·内蒙古鄂尔多斯东胜区第一中学·月考)如图，在等边中，点D、 E分别在边、上，且，与相交于点P，于点Q．
(1)求证：；
(2)请问与有何关系？并说明理由．
【变式训练6-2】(24-25八上·新疆乌鲁木齐第八中学·期中)如图，是等边三角形，是边上任意一点（与、两点不重合），是延长线上一点，且始终满足条件，过作交于点，连接交于．
(1)求证：．
(2)当时，猜想并写出与所满足的数量关系，并证明你的猜想．
【变式训练6-3】(24-25八上·重庆两江中学·期中)如图，是等边三角形，是中线，延长至E，．
(1)求证：；
(2)在图中过作交于，若，求的周长．
【变式训练6-4】(24-25八上·辽宁抚顺抚顺县·期中)在中，是的平分线，交于点E，，．
(1)求各内角的度数；
(2)如果过D作，猜想吗？说明理由．
【变式训练6-5】(24-25八·陕西渭南潼关县·期末)如图，在中，和的角平分线相交于点P，且，，垂足分别为E、F．
(1)求证：；
(2)若，，连接，求的长．
题型七：直角三角形综合之最值问题
【例题7】如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-1】如图，，平分，垂直平分于点G，交于点F，Q为射线上一动点．若的长的最小值为5，则的长为（ ）
A． B．5 C． D．
【变式训练7-2】(24-25八上·内蒙古鄂尔多斯东胜·期末)如图，，点P在的角平分线上，，点E、F是两边、上的动点，当的周长最小时，点P到距离是 ．
【变式训练7-3】如图，是等边三角形，为边的中点，，为中线上的动点，则的最小值是 ．
【变式训练7-4】(24-25八上·浙江台州玉环·期末)如图，，平分，垂直平分，交于点，为上动点，当时，则的最小值是 ．
【变式训练7-5】(24-25八上·湖北云梦县·期末)如图，在锐角中，，，平分，M、N分别是 、上的动点，则的最小值是 ．
题型八：直角三角形中动点问题（压轴题）
【例题8】如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接、．
(1)_______；用含的代数式表示
(2)求证：≌；
(3)当为何值时，是等边三角形？说明理由；
(4)当为何值时，为直角三角形？请直接写出的值．
【变式训练8-1】(24-25九上·河北保定高阳宏利佳学校·月考)点分别是边长为的等边的边上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是．
(1)如图1，当时，连接交于点M，求的度数；
(2)当 时，是直角三角形？
(3)如图2，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为M，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
【变式训练8-2】是边长为的等边三角形，点P、Q分别从顶点A、B同时出发，沿线段、运动，且它们的速度都为．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为．
(1)如图（1），当t为何值时，是直角三角形？
(2)如图（2），连接、交于点M，则点P、Q在运动的过程中，的度数会发生变化吗？若发生变化，请说明理由；若不变，请求出它的度数．
【变式训练8-3】(24-25八下·广东湛江吴川广大实验学校·期末)如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点沿向点运动，点同时从顶点沿向点运动，它们的速度都为，当到达终点时停止运动，设它们的运动时间为秒，连接交于点；
(1)求证：；
(2)点在运动的过程中，变化吗？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的度数；
(3)当为何值时是直角三角形？
【变式训练8-4】(24-25八上·河北/唐山玉田县第三中学·期末)如图1和图2，是边长为6的等边三角形，P是边上一个动点，Q是延长线上一点，当点P从点A出发向终点C运动时，点Q同时以与点P相同的速度由点B沿射线方向运动，过点P作于点E，连接交于点D．
(1)过点P作交于点F，如图2，求证：是等边三角形；
(2)在点P（不与点A，C重合时）与点Q的运动过程中．
①嘉嘉说：“点D始终是线段的中点．”你是否同意她的说法？说明理由；
②淇淇说：“线段的长度始终不变．”请你帮淇淇求出的长度；
(3)当时，请直接写出的长．
【变式训练8-5】(24-25八上·广东江门鹤山昆仑学校·期中)如图1所示，在边长为的等边中，动点以的速度从点出发，沿线段向点运动．设点的运动时间为，．
(1)当 时，是直角三角形；
(2)如图2，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，且动点，均以的速度同时出发．那么当取何值时，是直角三角形？请说明理由；
(3)如图3，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，且动点，均以的速度同时出发，当点到达终点时，点也随之停止运动，连接交于点，过点作于．试问线段的长度是否变化？若变化，请说明如何变化；若不变，请求出的长度．
题型九：直角三角形综合压轴题
【例题9】在等边的两边、所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且，，．探究：当M、N分别在直线、上移动时，之间的数量关系．
(1)如图1，当点M、N边、上，且时，之间的数量关系是_______；
(2)如图2，点M、N在边、上，且当时，猜想（1）问的结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．
(3)如图3，当M、N分别在边、的延长线上时，探索之间的数量关系如何？并给出证明．
【变式训练9-1】(2025·黑龙江省鸡西市·一模)我们定义：有一条对角线平分一个角，且有一组对角互补的凸四边形叫做“分补四边形”．
概念理解
（1）根据我们所学的四边形知识，举一个分补四边形的例子：___________；如图1正六边形中，连接，请写出图中所有的分补四边形___________；
性质探索
（2）如图2，在分补四边形中，，平分，且．
求证：；
探究运用
（3）如图3，在中，，分别在上取点P，Q，将沿着翻折，使点B的对应点为当点E落在内部时，是否存在四边形为分补四边形，且的情况？如果存在；求的长；如果不存在，说明理由．
【变式训练9-2】已知为等边三角形的角平分线，动点E在直线上（不与点A重合），连接，以为一边在的下方作等边三角形，连接．
(1)如图①，若点E在线段上，且，则 ；
(2)如图②，若点E在的反向延长线上，且直线相交于点M．
①求的度数；
②若的边长为8，P，Q为直线上的两个动点，且，连接，判断的面积是否为定值．若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
【变式训练9-3】【问题背景】我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．如图①，在中，，则．
【探究结论】小明同学对以上结论作了进一步研究．
(1)如图①，作边上的中线，得到结论：①为等边三角形；②与之间的数量关系为____________；
(2)如图②，是的中线，D是边上任意一点，连接，作等边，且点P在的内部，连接．试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并说明理由；
(3)当D为边延长线上任意一点时，在（2）中条件的基础上，线段与之间存在怎样的数量关系？直接写出答案即可．
【变式训练9-4】(25-26八上·江苏南通如皋·月考)问题背景：如图①，点，在直线同侧，在直线上找一点，使的值最小．
作法如下：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点，线段的长度即为的最小值．
(1)实践应用：如图②，在等边三角形中，若是的中点，为高上一点，，连接，求的最小值．
(2)拓展延伸：如图②，在等边三角形中，若为高上一点，高，求的最小值．
(3)拓展延伸：如图③，，是四边形内一定点，，分别是，上的动点，当周长的最小值为时，求的长．
【变式训练9-5】(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区工大附中·期末)已知，点B为线段上的一个动点，与都为等边三角形，点D与点E在直线的两侧，连接交的延长线于点P，连接．
(1)如图1，当点B为线段的中点时，求证：．
(2)如图2，当点B不为线段的中点时，（1）的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)如图3，分别过点C、E作、，垂足分别为点F、G，若，，求线段的长．
