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【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册同步练习浙教版
专题2.5逆命题和逆定理九大题型（一课一练）
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列各命题的逆命题不成立的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等
B．若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等
C．相等的两个角是对顶角
D．如果，那么
【答案】D
【分析】本题考查了逆命题，真假命题．熟练掌握构造原命题的逆命题，判断命题真假，是解题的关键．
把每个命题的题设与结论对换，构造其逆命题，运用平行线判定，绝对值性质，对顶角性质，数的平方性质，逐一判断即得．
【详解】解：A. 两直线平行，内错角相等，逆命题是；内错角相等，两直线平行，成立；
B. 若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等，逆命题是；若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等，成立；
C. 相等的两个角是对顶角，逆命题是；两个角是对顶角，这两个角相等，成立；
D. 如果，那么，逆命题是；如果，那么，不成立．
故选：D．
2．如图所示，现要在一块三角形草坪上建一凉亭供大家休息，使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条高所在直线的交点
C．三条中线的交点 D．三边的垂直平分线的交点
【答案】D
【分析】本题考查了垂直平分线的判定，根据到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，进行分析，即可作答．
【详解】解：∵凉亭到草坪三个顶点的距离相等，
∴凉亭的位置应选在三边的垂直平分线的交点，
故选：D
3．如图，点、在直线上，点、在直线上，于点，连接、、、，，若，则的长为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】A
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和线段垂直平分线的判定定理，根据题意可证明垂直平分，则由线段垂直平分线的性质即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴点P在线段的垂直平分线上，
又∵，
∴垂直平分，
∴，
故选：A．
4．已知A、B是平面上的两定点，在平面上找一点C使为等腰直角三角形，且点C为直角顶点，这样的点C有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．无数
【答案】B
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，要构造以C为直角顶点的等腰直角三角形，需满足且，则点C在线段的垂直平分线上，据此可得答案．
【详解】解：∵为等腰直角三角形，且点C为直角顶点，
∴，
∴点C在线段的垂直平分线上，
∴满足题意的点C有2个（这两个点分别在线段的两侧，且在线段的垂直平分线上），
故选：B．
5．如图，中，，如果要用尺规作图的方法在上确定一点，使，那么符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，线段垂直平分线的基本作图．根据题意得出，即点在的垂直平分线上，结合垂直平分线的作法即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴点在的垂直平分线上，
即点为的垂直平分线与的交点．
故选：D．
6．下列条件中，不能判定直线是线段（M，N不在上）的垂直平分线的是（）
A．， B．，
C． D．，平分
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，根据线段垂直平分线的意义及性质进行分析、判断即可，掌握线段垂直平分线的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：A、
∴点和点都在线段的垂直平分线上，
∴直线是线段的垂直平分线，故选项不符合题意；
B、
∴直线是线段的垂直平分线，故选项不符合题意；
C、当时， 是线段的垂直平分线，但直线不一定是线段
的垂直平分线，故选项符合题意；
D、平分，
∴直线是线段的垂直平分线，故选项不符合题意；
故选：C．
7．如图，在中，，是上的一点，O是上一点，且，若，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，先根据，，得出直线是线段的垂直平分线，结合垂直平分线的性质，即可作答．
【详解】解：∵，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴是的中点
∴
故选：B
8．如图，在中，，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，过点作于，于，延长交于，过作于，交于，利用可证明，得出，，可知垂直平分，得出，根据垂线段最短得出为的最小值，利用等面积法求出的长，再次利用等面积法得出即可得答案．
【详解】解：如图，过点作于，于，延长交于，过作于，交于，
在和中，；
∴，
∴，，
∴垂直平分，
∴
∵，
∴的最小值为，
∵，，，，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故选：B．
9．如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①是的平分线；②；③点D在的垂直平分线上；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．
利用基本作图可对①进行判断；利用角平分线的定义计算出， 则，于是可对②进行判断；由得到，则根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断； 利用含度的直角三角形三边的关系得到，则，所以，然后根据三角形面积公式可对④进行判断．
【详解】由作法得平分， 所以①正确；
∵，
∴，，
∴，所以②正确；
∴，
∴，
∴点在的垂直平分线上，所以③正确；
∵
，
∴，
∴，
，所以④正确．
故选:．
10．如图，在五边形中，，，在直线，上分别找一点，，使得的周长最小，此时的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查中垂线的判定和性质，等边对等角，延长至点，延长至点，连接，推出垂直平分，垂直平分，得到，进而得到的周长，得到当四点共线时，的周长最小，根据等边对等角，三角形的内角和定理，求出的度数即可．
【详解】解：延长至点，延长至点，连接，
则：，
∵，
∴垂直平分，垂直平分，
∴，
∴的周长，
∴当四点共线时，的周长最小，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选A．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图所示，在正方形网格中，的顶点在格点上，在内部有、、、四个格点，到三个顶点距离相等的点是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，根据到三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线交点求解即可．
【详解】解：如图所示，
点在，的垂直平分线上，
故答案为：．
12．风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有多年的历史，如图是一款风筝骨架的简化图，已知，，，，制作这个风筝需要的布料至少为 ．
【答案】
【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键．利用线段垂直平分线的判定定理判定垂直平分，再利用即可求解．
【详解】解：设与交于点，
∵，
∴点在的垂直平分线上，
∵，
∴点在的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：2700．
13．如图，在 中，，，， ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，根据题意可得垂直平分，则由线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得．
【详解】解：∵，，
∴垂直平分，
∴，
故答案为：．
14．数学活动，用全等三角形研究笔形：如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如果筝形的两条对角线长分别为，，则其面积 ．
【答案】/24平方厘米
【分析】根据，，得出B、D在线段的垂直平分线上，说明垂直平分，根据求出结果即可．
【详解】解：∵，，
∴B、D在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的判定，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的判定得出垂直平分．
15．如图，点O是内一点，且，则点O是 的交点．
【答案】三边的垂直平分线
【分析】根据到线段两端点相等的点在线段的中垂线上，即可得出结论
【详解】∵，
∴点O是三边的垂直平分线的交点；
故答案为：三边的垂直平分线．
【点睛】本题考查垂直平分线的判定．熟练掌握到线段两端点相等的点在线段的中垂线上，是解题的关键．
16．如图，在中，，垂足为D，PQ是BC边的垂直平分线，交BC于点Q，交AC于点P，．若的周长是，，则的长是 ．
【答案】/8厘米
【分析】先根据垂直平分线的性质得到，，，再求出，，即可求出．
【详解】解：∵，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵PQ是BC边的垂直平分线，
∴，，
∴，
∵的周长是，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的定义和性质，熟知线段垂直平分线的性质和定义，结合题意进行线段的转化是解题关键．
17．如图，在中，D为中点，作交于E，交于F，连接，，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】延长到M，使，连接，利用证明，得到，再根据三线合一的逆定理得出，最后根据三角形三边关系即可得解．
【详解】解：延长到M，使，连接，
∵D为中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线并根据SAS证明是解题的关键．
18．如图，在中，，，D为中点，，，过点E作交于F，作交的延长线于点G，连接，
（1） ．
（2） ．（填入数值）
【答案】 /0.5 10
【分析】（1）根据，，得出，即可得出结论；
（2）根据题意得出垂直平分，先证明，得出，再证明，得出，设，则，
，，进而得出，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵D为中点，，
∴垂直平分，
∴，
由（1），
∵，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
，，
∵，
∴，
解得：，即，
故答案为：10．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，正确得出三角形全等是解题的关键．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接．
(1)求证：；
(2)若的周长为，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质得到等量代换证明结论；
（2）根据三角形的周长公式得到，根据进行计算，得到答案．
【详解】（1）证明：∵垂直平分，
∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴；
（2）解：∵的周长为，
∴，
∵，
∴，
由（1）得，
∵，
∴
．
20．如图，有一条高速公路m和A，B两个城镇，市政府准备在高速公路m上修建一个燃气中心站P，使中心站到A，B两个城镇的距离相等，请你利用尺规作图法找出燃气中心站P的位置．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】作图见解析
【分析】本题考查了尺规作图―――线段的垂直平分线，线段垂直平分线的判定，熟练掌握尺规作线段的垂直平分线的步骤，以及线段垂直平分线的判定是解题的关键．
根据线段垂直平分线的判定可得点为线段的垂直平分线与直线的交点，故作出线段的垂直平分线与直线相交即可．
【详解】解：如图，点即为所求：
21．已知，在中，，如图①，分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在A点的另一侧相交于点D，连接，，作直线交于点E．请解答下列问题：
(1)你认为与有什么关系？请说明理由．
(2)如图②，若点P是直线上的任意一点，与有什么关系？为什么？
【答案】(1)垂直平分线段，证明见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的判定与性质；
（1）由，由作图可得：，从而可得答案；
（2）根据是线段的垂直平分线可得答案.
【详解】（1）解：垂直平分线段，理由如下：
∵，由作图可得：，
∴是线段的垂直平分线；
∴垂直平分线段；
（2）解：，理由如下：
由（1）得：是线段的垂直平分线；点P是直线上的任意一点，
∴.
22．“风筝飞满天，笑语乐无边”，由喜闻乐见的风筝可以抽象得到一种特殊的四边形—筝形．如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．初步认识筝形后，数学活动小组的同学通过观察、测量、折纸等方法猜想筝形有什么性质，小明观察后认为垂直平分，请你帮助小明从几何证明的角度说明这一筝形性质．
已知：在四边形（筝形）中，__________，__________，求证：__________
（请把横线上的“已知”“求证”内容补充完成，并完成后续相应证明过程）
【答案】，，垂直平分，证明见解析
【分析】此题考查了垂直平分线的判定，根据，，得到点均在线段的垂直平分线上，即可证明结论成立．
【详解】已知：在四边形（筝形）中，，，
求证：垂直平分
证明：∵，，
∴点均在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分；
故答案为：，，垂直平分
23．风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史．传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”．
风筝骨架模型图 数据说明
制作时，骨架可根据实际情况等比例放大
(1)从图1所示的风筝中可以抽象出几何图形，如图2，在四边形中，，求证：；
(2)李明根据图纸如表扎制风筝骨架．当他根据图纸要求截取6根竹条时发现：竹条、的长度之和恰好与竹条长度相等．请你用所学的数学知识解释说明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质解答即可；
（2）在上截取，连接，利用证明和全等，进而解答即可．
此题考查全等三角形的应用，关键是利用证明和全等解答．
【详解】（1）证明：，
点A在的垂直平分线上，
，
点C在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，
；
（2）解：在上截取，连接，
，，
，
同理可得，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，，
，
是的外角，
，
即，
，
．
24．在中，，．若点D在的平分线所在的直线上．
(1)如图1，当点D在的外部时，过点D作于E，作交的延长线于F，且．
①求证：点D在的垂直平分线上；
②________；
(2)如图2，当点D在线段上时，若，平分，交于点E，交与点F，过点F作，交于点G．
①________；
②若，，求的长度；
(3)如图3，过点A的直线，若，，点D到三边所在直线的距离相等，则点D到直线l的距离是________．
【答案】(1)①见解析；②1
(2)①；②
(3)2或6．
【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质定理是解决问题的关键．
（1）①点D在的平分线所在的直线上, 过点D作于E，作交的延长线于F，得出，借助，得到，即可证明点D在的垂直平分线上；
②通过证出，从而有，即可得出；
（2）①先利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求得，即可求解；
②延长交于H，证明，得到，再由，即可求解；
（3）分2种情况讨论，分别画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可．
【详解】（1）①证明：连接，
∵点D在的平分线所在的直线上, 过点D作于E，作交的延长线于F，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点D在的垂直平分线上；
②由①知：，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：1；
（2）①∵平分，平分，，
∴，即，
∴，
∵，即，
∴；
故答案为：；
②延长交于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）当点D在内部时，如图：
∵，
∴，
∴，
点D到直线l的距离是；
当点D在的下方时，如图：
设点D到三边的距离为x，
由题意得：，
∴，
∴，
点D到直线l的距离是；
综上，点D到直线l的距离是2或6．
故答案为：2或6．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页中小学教育资源及组卷应用平台
【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册同步练习浙教版
专题2.5逆命题和逆定理九大题型（一课一练）
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列各命题的逆命题不成立的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等
B．若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等
C．相等的两个角是对顶角
D．如果，那么
2．如图所示，现要在一块三角形草坪上建一凉亭供大家休息，使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条高所在直线的交点
C．三条中线的交点 D．三边的垂直平分线的交点
3．如图，点、在直线上，点、在直线上，于点，连接、、、，，若，则的长为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
4．已知A、B是平面上的两定点，在平面上找一点C使为等腰直角三角形，且点C为直角顶点，这样的点C有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．无数
5．如图，中，，如果要用尺规作图的方法在上确定一点，使，那么符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列条件中，不能判定直线是线段（M，N不在上）的垂直平分线的是（）
A．， B．，
C． D．，平分
7．如图，在中，，是上的一点，O是上一点，且，若，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，在中，，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
A．5 B． C． D．
9．如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①是的平分线；②；③点D在的垂直平分线上；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在五边形中，，，在直线，上分别找一点，，使得的周长最小，此时的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图所示，在正方形网格中，的顶点在格点上，在内部有、、、四个格点，到三个顶点距离相等的点是 ．
12．风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有多年的历史，如图是一款风筝骨架的简化图，已知，，，，制作这个风筝需要的布料至少为 ．
13．如图，在 中，，，， ．
14．数学活动，用全等三角形研究笔形：如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如果筝形的两条对角线长分别为，，则其面积 ．
15．如图，点O是内一点，且，则点O是 的交点．
16．如图，在中，，垂足为D，PQ是BC边的垂直平分线，交BC于点Q，交AC于点P，．若的周长是，，则的长是 ．
17．如图，在中，D为中点，作交于E，交于F，连接，，则的取值范围是 ．
18．如图，在中，，，D为中点，，，过点E作交于F，作交的延长线于点G，连接，
（1） ．
（2） ．（填入数值）
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接．
(1)求证：；
(2)若的周长为，，求的长．
20．如图，有一条高速公路m和A，B两个城镇，市政府准备在高速公路m上修建一个燃气中心站P，使中心站到A，B两个城镇的距离相等，请你利用尺规作图法找出燃气中心站P的位置．（不写作法，保留作图痕迹）
21．已知，在中，，如图①，分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在A点的另一侧相交于点D，连接，，作直线交于点E．请解答下列问题：
(1)你认为与有什么关系？请说明理由．
(2)如图②，若点P是直线上的任意一点，与有什么关系？为什么？
22．“风筝飞满天，笑语乐无边”，由喜闻乐见的风筝可以抽象得到一种特殊的四边形—筝形．如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．初步认识筝形后，数学活动小组的同学通过观察、测量、折纸等方法猜想筝形有什么性质，小明观察后认为垂直平分，请你帮助小明从几何证明的角度说明这一筝形性质．
已知：在四边形（筝形）中，__________，__________，求证：__________
（请把横线上的“已知”“求证”内容补充完成，并完成后续相应证明过程）
23．风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史．传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”．
风筝骨架模型图 数据说明
制作时，骨架可根据实际情况等比例放大
(1)从图1所示的风筝中可以抽象出几何图形，如图2，在四边形中，，求证：；
(2)李明根据图纸如表扎制风筝骨架．当他根据图纸要求截取6根竹条时发现：竹条、的长度之和恰好与竹条长度相等．请你用所学的数学知识解释说明．
24．在中，，．若点D在的平分线所在的直线上．
(1)如图1，当点D在的外部时，过点D作于E，作交的延长线于F，且．
①求证：点D在的垂直平分线上；
②________；
(2)如图2，当点D在线段上时，若，平分，交于点E，交与点F，过点F作，交于点G．
①________；
②若，，求的长度；
(3)如图3，过点A的直线，若，，点D到三边所在直线的距离相等，则点D到直线l的距离是________．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
