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浙教版 九年级上册
第1章 二次函数单元测试·基础卷
试卷分析
一、试题难度
二、知识点分布
一、单选题 1 0.95 列二次函数关系式
2 0.85 二次函数的识别
3 0.85 y=ax +k的图象和性质
4 0.75 y=a（x-h） 的图象和性质；比较一次函数值的大小
5 0.65 y=a（x-h） +k的图象和性质
6 0.65 把y=ax +bx+c化成顶点式；y=ax +bx+c的图象与性质；y=a（x-h） +k的图象和性质
7 0.4 函数图象识别；反比例函数、二次函数图象综合判断
8 0.4 y=ax +bx+c的图象与性质；根据二次函数的图象判断式子符号；根据二次函数的对称性求函数值；根据二次函数图象确定相应方程根的情况
9 0.75 根据正方形的性质求线段长；特殊四边形(二次函数综合)
10 0.65 动点问题的函数图象；图形运动问题(实际问题与二次函数)
二、知识点分布
二、填空题 11 0.95 根据二次函数的定义求参数；因式分解法解一元二次方程
12 0.85 y=a（x-h） +k的图象和性质
13 0.65 y=ax +bx+c的图象与性质；两直线的交点与二元一次方程组的解
14 0.64 已知抛物线上对称的两点求对称轴；根据二次函数图象确定相应方程根的情况
15 0.4 利用二次函数对称性求最短路径；线段周长问题(二次函数综合)；特殊四边形(二次函数综合)
16 0.55 其他问题(二次函数综合)；根据一元二次方程根的情况求参数；y=ax +bx+c的图象与性质
二、知识点分布
三、解答题 17 0.95 根据二次函数的定义求参数；y=ax +k的图象和性质
18 0.65 一次函数与几何综合；一次函数与反比例函数的交点问题；y=a（x-h） +k的图象和性质；求反比例函数解析式
19 0.75 待定系数法求二次函数解析式；根据交点确定不等式的解集；y=ax +bx+c的图象与性质；求抛物线与x轴的交点坐标
20 0.65 y=ax +bx+c的图象与性质；根据二次函数的对称性求函数值；已知抛物线上对称的两点求对称轴
21 0.65 因式分解法解一元二次方程；利用不等式求自变量或函数值的范围；求抛物线与x轴的交点坐标
22 0.4 待定系数法求二次函数解析式；面积问题(二次函数综合)；线段周长问题(二次函数综合)
23 0.65 求一次函数解析式；销售问题(实际问题与二次函数)；有理数加减混合运算的应用
24 0.15 面积问题(二次函数综合)；特殊三角形问题(二次函数综合)；待定系数法求二次函数解析式；根据成轴对称图形的特征进行求解2025—2026学年九年级数学上学期单元测试卷
第1章 二次函数 单元测试·基础卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A C A C B D B D
1．B
本题考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．根据参加会议的人两两彼此握手表示即可．
∵参加会议的人两两彼此握手，
∴．
故选：B．
2．C
本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；因此此题可根据二次函数的定义“形如的函数叫做二次函数”进行排除选项即可．
解：A、不是二次函数，故不符合题意；
B、是一次函数，不是二次函数，故不符合题意；
C、，是二次函数，故符合题意；
D、当时，函数才是二次函数，故不符合题意；
故选C．
3．A
本题考查了二次函数的图象和性质．
根据二次函数的图象特征，分别计算三个点的纵坐标值，比较大小即可．
解： 当时，；
当时，；
当时，；
．
故选：A．
4．C
本题考查了二次函数与一次函数的综合，熟练掌握函数图象法是解题关键．先求出二次函数的对称轴为直线，两个函数的交点坐标，再画出两个函数的大致图象，然后结合函数图象逐个分析即可得．
解：二次函数的对称轴为直线，
联立，解得或，
即二次函数与一次函数的两个交点坐标为和，
当时，画出两个函数的大致图象如下：
则由函数图象可知，当时，，命题①正确；
当时，，命题②正确；
当时，，命题③正确；
当时，若，则；若，则；若，则；命题④错误；
综上，正确的命题个数为3个，
故选：C．
5．A
本题考查二次函数的图象与性质，数轴上两点之间的距离公式等知识点，掌握这些是解题的关键．
由已知可知：抛物线的开口向上，对称轴是直线，从而可知：点
A，B分别在抛物线对称轴的左、右两侧，计算这两点到对称轴的距离并比较大小，根据“开口向上的抛物线上的两点，到对称轴的距离大的点的纵坐标也大”可得结论．
解：抛物线的开口向上，
对称轴是直线 ，，，
点A，B分别在抛物线对称轴的左、右两侧，
，
且，
，
点A，B 都在抛物线上，
则根据抛物线的对称性可知：与的大小关系为 ．
故选：A．
6．C
本题考查了二次函数的图象与性质，先将配方成顶点式，再根据二次函数的图象与性质判断即可．
解：，，
∴对称轴为直线，抛物线开口向上，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，
∴A、B、D正确，不符合题意；C错误，符合题意；
故选：C．
7．B
本题可用排除法解答，根据y始终大于0，可排除D，再根据x的绝对值越接近于0（如，或）时，每个图象两侧都是无限上升，可排除A，根据函数和有交点即可排除C，即可解题．
解：取，，，会发现最小值是取时，由此选项C，D错误；的绝对值越接近于0（如，或）时，每个图象两侧都是无限上升，可排除A，
∵直线经过和时，直线解析式为，
当时，x无解，
∴与没有交点，
∴B正确；
故选：B．
此题主要考查了函数图象的性质，平方根和绝对值大于等于0的性质，本题中求得直线与函数的交点时解题的关键．
8．D
由抛物线的对称轴为直线可得，即，进而可得，由此即可判断结论；由函数图象可知当时，进而可得，由此即可判断结论；由轴对称的性质及抛物线的对称轴为直线可得，点在抛物线图象上的对称点为，由二次函数的对称性可知，由函数图象可知抛物线开口向下，因而当时，随的增大而减小，由此即可判断结论；由二次函数的对称性可知，抛物线与轴的另一交点为，因而方程的两根为或，过作轴的平行线，则直线与抛物线的交点的横坐标为方程的两根，依据函数图象即可判断结论；综上，即可得出答案．
解：抛物线的对称轴为直线，
，
，
，故结论错误，选项不符合题意；
由函数图象可知：当时，，
，故结论错误，选项不符合题意；
抛物线的对称轴为直线，
点在抛物线图象上的对称点为，
由二次函数的对称性可知：，
由函数图象可知：抛物线开口向下，
当时，随的增大而减小，
，即，
，
，
即：，故结论错误，选项不符合题意；
由二次函数的对称性可知：抛物线与轴的另一交点为，
方程的两根为或，
如图，过作轴的平行线，则直线与抛物线的交点的横坐标为方程的两根，
由函数图象可知：，故结论正确，选项符合题意；
故选：．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象判断式子符号，轴对称的性质，根据二次函数的对称性求函数值，根据二次函数图象确定相应方程根的情况等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键．
9．B
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，分别过A，两点作轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质得出，即可解决问题．
解：分别过点A和点作轴的垂线，垂足分别为和，
将A，两点的横坐标代入函数解析式得，
点坐标为，点坐标为，
∴，，，．
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
10．D
本题考查求函数解析式，函数图象．根据点E和点F的运动情况，分三种情况：①时，②时，③时，分别求出的面积，得到y关于x的函数关系式，即可判断其图象．
解：点E从点A运动到点B的时间为，从点B运动到点C的时间为，
点F从点B运动到点C的时间为，从点C运动到点D的时间为，
∴时，点E在上，点F在上，
时，点E在上，点F在上，
时，点E在上，点F在上．
①时，点E在上，点F在上，如图，
此时，，
∴，
∴y与x的函数关系式为；
②时，点E在上，点F在上，如图，
此时，
∴，
∴y与x的函数关系式为；
③时，点E在上，点F在上，如图，
此时，，
∴
∴y与x的函数关系式为；
综上所述，y与x的函数关系式为，其函数图象为
．
故选：D
11．
本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
根据二次函数的定义：形如（，，为常数且）可得：且，然后进行计算即可解答．
解：由题意得：，
解得：或，
又∵，
∴，
综上所述：，
故答案为：．
12．
本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性，进行判断即可．
解：∵，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵点，在二次函数的图象上，且，
∴；
故答案为：．
13．
本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握抛物线的对称性是解题的关键．
根据二次函数的性质可得抛物线的对称轴为，由抛物线的对称性可得，得到，再由得到，代入到得，，再根据直线与交点的横坐标为，列出关于的方程，即可求解m的值．
解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为，
∵直线与抛物线存在两个交点，
∴这两个交点关于抛物线的对称轴对称，
∴，
∴，
又∵，
∴，
代入到得，，解得，
∵直线与交点的横坐标为，
∴，
解得．
故答案为：．
14．，
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．先根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程的解．
解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为，
抛物线与x轴的一个交点坐标与对称轴距离为：．
∴根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标：．
∴抛物线与x轴的一个交点坐标为．
即或2时，．
∴一元二次方程的解为，．
故答案为：，．
15．/
本题考查了利用二次函数对称性求最短路径，二次函数与特殊四边形，二次函数的性质，先求出点，点，则抛物线的对称轴为，作点关于抛物线对称轴的对称点，将点向下平移个单位得到点，连接交抛物线对称轴于点，将点向上平移两个单位得到点，由且，则四边形为平行四边形，所以，由抛物线的对称性知，，故有四边形周长，则当三点共线时四边形周长最小为，然后通过两点间的距离公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：由得，当时，，
∴点，
令，则或，
∴点，点，
∴抛物线的对称轴为直线，
如图，作点关于抛物线对称轴的对称点，将点向下平移个单位得到点，连接交抛物线对称轴于点，将点向上平移两个单位得到点，
∵且，
∴四边形为平行四边形，
∴，
由抛物线的对称性知，，
∴，
∴四边形周长，
∵、为定值，，
∴当三点共线时，取得最小值，最小值为，
即四边形周长的最小值，
∵，，，，
∴，，
∴，
故答案为：．
16． 1 /
本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式；主要利用了联立两函数解析式确定交点个数的方法，根据图形求出有一个交点时的最大值与最小值是解题的关键．根据求出直线的解析式，然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的k值，即为一个交点时的最大值；再求出抛物线经过点B时的k的值，即为一个交点时的最小值，然后写出k的取值范围即可．
解：∵，
∴直线的解析式为；
联立二次函数解析式得：，消去y并整理得：，
，
解得：；
此时抛物线与的边界只有一个公共点；
把点B坐标代入中，得，
解得：，
此时抛物线与扇形的边界也只有一个公共点；
综上，当时，此时抛物线与扇形的边界总有两个公共点；
故答案为：1；．
17．(1)2或
(2)时，抛物线有最低点，，当时，y随着x的增大而增大
本题主要考查了根据二次函数的定义求参数，二次函数图象的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
对于（1），根据二次函数的定义可知，且，求出解即可；
对于（2），根据抛物线由最低点可知，即可得出关系式，从而解答即可．
（1）解：根据题意，得，且，
解得：．
所以满足条件的m的值为2或；
（2）解：当，即时，抛物线有最低点，
当时，此时抛物线的关系式为，
该抛物线的最低点即顶点坐标为，
当时，函数值y随着x的增大而增大．
18．(1)
(2)或
(3)
本题考查了二次函数的图象性质，反比例函数与一次函数的交点问题，求函数解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用待定系数法求一次函数解析式，得出，再将代入，得，即可作答；
（2）依据直线与双曲线的上下位置关系，即可得到不等式的解集；
（3）先求出双曲线的解析式为；设，，则，，根据求的面积列式得，结合二次函数的图象性质，，即可作答．
（1）解：将，代入，
得，
整理得，
解得，(不合题意，舍去)，
∴
∴，，，
∴直线的解析式为，
将代入，
得；
（2）解：由（1）知，即，且相交于，两点，
根据函数图象，由不等式与函数图像的关系可得：
双曲线在直线上方的部分对应的范围是：或，
时自变量的取值范围：或；
（3）解：由（1）可知，
∴双曲线的解析式为，
依题意，设，，
∵过点作轴于点，
则，，
∴，，
∴，
∵，，
∴当时，有最大值．
∴点的坐标为．
19．(1)；当时，
(2)新抛物线与坐标轴的交点为，，
本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，平移变换等知识．
（1）设抛物线的顶点式为，再由抛物线过，可求出，即可得函数解析式，根据抛物线轴对称性的特点可求出抛物线与x轴的另一交点，借助二次函数的图象求出时，x的取值范围即可；
（2）由题意点C平移到A，抛物线向左平移2个单位，向上平移4个单位，由此可得抛物线的顶点坐标，进而可得解析式，然后求出平移后图象与坐标轴的交点．
（1）解：设抛物线的顶点式为，
抛物线过，
，
解得．
，即．
关于直线的对称点为，
当时，；
（2）解：平移后点落在处，可知抛物线向左平移2个单位，向上平移4个单位，
则新图象顶点为，
由顶点式，可得，
当时，；
当时，，
新抛物线与坐标轴的交点为，，．
20．(1)或
(2)函数值
(3)函数值与解析式中的系数c有关，理由见解析
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点为，得到点关于直线的对称点为，于是得到当时，x的取值范围为或；
（2）根据已知条件得到点M与点N关于直线对称，求得，当时，函数的值；
（3）由点，得到两点关于对称轴直线对称，求得，当时，代入解析式进行求解即可．
（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点为，
∴点关于直线的对称点为，
∴当时，x的取值范围为或；
（2）解：∵，
∴点M与点N关于直线对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知：当时，函数的值；
（3）解：函数值与解析式中的系数c有关，
理由：∵两点，
∴这两点关于对称轴直线对称，
∵，
∴，
∵，
∴当时，，
即函数值与解析式中的系数c有关．
21．(1)，
(2)
本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，函数值大小比较，不等式的求解，理解题意准确计算为解题关键．
（1）联立两个函数的解析式，求解方程组得到交点的横、纵坐标即可；
（2）通过联立函数解析式并移项，转化为不等式求解即可．
（1）解：联立与，
，
整理可得：，解得：，，
当时，代入，可得，
当时，代入，可得，
函数与的交点坐标为和；
（2）要使一次函数的值大于二次函数的值，即，
可得不等式，
整理得：，
可得，
解得：，
当时，一次函数的值大于二次函数的值．
22．(1)
(2)
(3)4
本题考查了一次函数和二次函数的综合应用，熟练掌握函数图象的相关性质是解题的关键．
（1）把A、B的坐标代入函数解析式，得出方程组，求出方程组的解即可；
（2）求出直线的解析式，设点M横坐标为m，根据函数解析式得出点M的坐标为，点N的坐标为，求出n的值，再化为顶点式，即可得出答案；
（3）根据的面积等于的面积的一半，求得，在分情况讨论即可求出点P的情况．
（1）解：抛物线经过点和点，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）设直线的解析式为，
把代入，得，
解得，
直线的解析式为，
如图，设点M横坐标为m，
则点M的坐标为，点N的坐标为，
又点M、N在第一象限，
线段的长度，
当时，n有最大值，最大值为，
n的取值范围是；
（3），
，
的面积等于的面积的一半，
，
设点P的坐标为，当点P在第一象限时，
，
，
解得，
或，
在第一象限内有两个符合条件的点P；
当点P在第二象限时，过点P作轴，则，
，
，
解得，
或，
在第二象限内有一个符合条件的点P，在第四象限内有一个符合条件的点P；
综上所述，这样的点P共有4个．
23．(1)105
(2)
(3)售价每件应定为95元，电商每天可盈利最大，最大值为1250元
本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用；
（1）根据“当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件”列式计算，即可解题；
（2）根据“当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件”，找出销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式，即可解题；
（3）利用配方法，结合平方式的非负性，求出每天的最大利润情况，即可解题．
（1）解：∵商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件．
∴当销售量为30件时，日销售量增加件，则售价降低元，
∴当销售量为30件时，产品售价为元/件，
故答案为：．
（2）解：据题意得：，
∵该产品的进货价为70元/件，且该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过110元/件，
∴日销售量（件）与售价（元/件）的函数关系式为；
（3）解：设电商每天可盈利元，
由题意得，，
∵，，
当时，取最大值1250，
∴当该产品的售价每件应定为95元，利润最大值为1250元．
答：当该产品的售价每件应定为95元，利润最大值为1250元．
24．(1)
(2)
(3)或
（1）首先确定，将，两点代入并求解即可；
（2）过点C作轴交直线于点E， 设点C坐标为，易得点E 坐标为，可知，结合三角形面积公式可得，由二次函数的性质可得当时，有最大值，此时，将点 B 关于y轴的对称点，再向上平移3个单位得到，连接、，,则有，即可获得答案；
（3）根据待定系数法求出直线解析式，则可求点M的坐标，设，分三种情况讨论：；；，根据两点间距离公式构建关于m的方程，求解即可．
（1）解：对于一次函数，令，可得，
∴，
将，两点代入，
可得，解得，
则抛物线的表达式为；
（2）解：过点C作轴交直线于点E， 设点C坐标为，
∴点E 坐标为，
∴，
∵，，
∴，
∴当时，有最大值，
此时，
将点 B 关于y轴的对称点，再向上平移3个单位得到，连接、，,则，
，，
是平行四边形，
，
，
，
即当点、、三点共线时，有最小值，
，
，
即最小值为；
（3）解：设直线解析式为，
把，代入，得，
解得，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
对于，当时，，
设，
当时，，
解得，（不符合题意，舍去），
∴；
当时，，
解得，（不符合题意，舍去），
∴；
当时，，
解得（不符合题意，舍去），
综上，点Q的坐标为或．
本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图像与性质、轴对称的性质，等腰三角形的定义，两点间距离公式，公式法解一元二次方程等知识，正确作出辅助线是解题的关键．2025—2026学年九年级数学上学期单元测试卷
第1章 二次函数 单元测试·基础卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了次手，那么与到会人数之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中，一定是关于的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．若点，，，都在二次函数图象上，则（ ）
A． B． C． D．
4．二次函数（是常数，且）的图象经过点，一次函数的图象经过点，当时，有四个命题：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中正确的命题个数为（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知点A，B都在抛物线上，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
6．已知抛物线，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线
C．当时，y随x的增大而减小 D．抛物线的顶点坐标为
7．函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．若点、点、点在该函数图象上，则
D．若方程的两根为和，且，则
9．如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形中，，，动点E，F分别从A，B两点同时出发，绕矩形的边做逆时针运动，若动点E，F的运动速度都为，当F点运动到D点时，两点同时停止运动．设点E的运动时间为x（单位：s），的面积为y（单位：），则能大致刻画y与x的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知函数 是关于x 的二次函数，则m= ．
12．已知函数的图象上有两个点：，，则，的大小关系为 ．（填“>”，“<”或“=”）
13．已知直线与抛物线存在两个交点，横坐标分别为，，与交点的横坐标为，并且，若，则m的值为 ．
14．已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解是 ．
15．如图，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点，为抛物线对称轴上的线段，且，连接、、，则四边形周长的最小值为 ．
16．如图，以扇形的顶点为原点，半径所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，点的坐标为，若拋物线与只有一个公共点，则 ；若抛物线与扇形的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．已知是关于x的二次函数．
(1)求满足条件的m的值；
(2)m为何值时，抛物线有最低点：求出这个最低点（写坐标），这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
18．如图，直线：与双曲线：在第二象限内交于，两点（点在点右侧），已知，．
(1)求的值；
(2)请直接写出时自变量的取值范围；
(3)点是线段上的一个动点，过点作轴于点，交双曲线于点，是轴上一点，当的面积最大时，求点的坐标．
19．二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为，与轴、轴分别交于点和点．
(1)求抛物线的函数表达式，并根据图象直接写出当时，的取值范围．
(2)平移该二次函数的图象，使点恰好落在点的位置上，求平移后图象与坐标轴的交点．
20．抛物线的图象如图．
(1)若抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点为，当时，求x的取值范围．
(2)在（1）的条件下，若此抛物线图象上有两点，求当时，二次函数的值．
(3)若此抛物线图象上有两点，当时，函数值与解析式中的哪个系数有关？请说明理由．
21．已知二次函数，一次函数
(1)求函数与的交点坐标；
(2)自变量x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
22．如图，抛物线经过点和点．
(1)求抛物线的解析式为 ．
(2)若直线轴，在第一象限内与抛物线交于点M，与直线交于点N，设线段 的长度为n，请结合函数图象求出n的取值范围．
(3)若抛物线的图象上存在点P，使的面积等于的面积的一半，则这样的点P共有 个．
23．“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过110元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件．
(1)当销售量为30件时，产品售价为 元/件．
(2)直接写出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式： （写化简后的解析式并写出自变量取值范围）．
(3)该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利最大并求出最大值？
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与一次函数的图像交于A，B两点，已知．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点C是直线上方抛物线上的一动点，连接，．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足，连接，，当的面积取得最大值时，求的最小值；
(3)当（2）中取得最小值时，若Q是抛物线对称轴上位于直线上方的一动点，是否存在以C、M、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
