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浙教版 九年级上册
第1章 二次函数单元测试·培优卷
试卷分析
一、试题难度
二、知识点分布
一、单选题 1 0.95 y=ax 的图象和性质
2 0.85 列二次函数关系式
3 0.65 y=ax 的图象和性质；特殊三角形问题(二次函数综合)
4 0.65 y=a（x-h） +k的图象和性质；根据图形面积求比例系数（解析式）
5 0.64 y=ax +k的图象和性质
6 0.64 根据一元二次方程根的情况求参数；根据二次函数的定义求参数
7 0.65 二次函数的识别；函数的概念
8 0.4 y=ax +bx+c的图象与性质；已知抛物线上对称的两点求对称轴
9 0.4 y=a（x-h） 的图象和性质；y=a（x-h） +k的图象和性质；y=ax 的图象和性质
10 0.15 y=ax +bx+c的图象与性质；二次函数图象的平移；求一次函数解析式
二、知识点分布
二、填空题 11 0.85 根据二次函数的定义求参数
12 0.75 反比例函数、二次函数图象综合判断；根据二次函数图象确定相应方程根的情况；二次函数图象与各项系数符号
13 0.65 y=a（x-h） +k的图象和性质；根据交点确定不等式的解集；二次函数图象的平移
14 0.65 y=ax +k的图象和性质
15 0.4 待定系数法求二次函数解析式；其他问题(二次函数综合)；根据一次函数增减性求参数；求一次函数解析式
16 0.4 y=a（x-h） +k的图象和性质；反比例函数与几何综合；求一次函数解析式；中点坐标
二、知识点分布
三、解答题 17 0.85 图象法解一元二次不等式；待定系数法求二次函数解析式
18 0.75 面积问题(二次函数综合)；角度问题(二次函数综合)；待定系数法求二次函数解析式
19 0.65 增长率问题(一元二次方程的应用)；销售问题(实际问题与二次函数)；营销问题(一元二次方程的应用)
20 0.65 图形运动问题(实际问题与二次函数)；与三角形中位线有关的求解问题；列代数式
21 0.65 y=ax +bx+c的图象与性质；y=ax +bx+c的最值；待定系数法求二次函数解析式
22 0.64 一次函数、二次函数图象综合判断；y=ax 的图象和性质
23 0.64 一次函数图象与坐标轴的交点问题；根据二次函数的定义求参数；求反比例函数值
24 0.4 y=a（x-h） +k的图象和性质；利用不等式求自变量或函数值的范围；把y=ax +bx+c化成顶点式2025—2026学年九年级数学上学期单元测试卷
第1章 二次函数 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D B D C A B D C C
1．D
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．根据所给函数解析式，结合二次函数的图象与性质,得抛物线上的点离对称轴越远，其函数值越大．根据，故，即可作答．
解：∵，
∴抛物线的对称轴为y轴，且开口向上，
则抛物线上的点离对称轴越远，其函数值越大．
∵抛物线经过三点，
则，，，
∵，
∴
故选：D．
2．D
本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据第三季度共生产零件y万个，即可列出与之间的函数关系式．
解：设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据题意得：
与满足的函数关系式是
．
故选：D
3．B
本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质逐一排除即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
解：由抛物线，得顶点坐标为，对称轴一定是轴，本结论正确；
根据图象得：直线中随着的增大而增大；抛物线，当时随着的增大而增大，
∴当时，直线与抛物线的函数值都随着的增大而增大，本结论正确；
点的横坐标是，点的横坐标是，若，
∴直线与轴平行，即，
∴与已知矛盾，
∴不可能为，本结论错误；
∵，
∴直线与轴平行，即，
∴与已知矛盾，
∴，即不可能为等边三角形，本结论错误；
直线与关于轴对称，如图所示：
设直线与抛物线交点横坐标分别为，，
由图象可得：当时，，即，本结论正确；
综上可得正确的结论有．
故选：B．
4．D
本题考查反比例函数的性质，二次函数的顶点坐标，先根据图形的面积求出反比例函数的比例系数，再根据二次函数的性质即可得出顶点坐标．
解：根据题意得：，
所以或，
所以抛物线为，
所以顶点坐标是或，
故选：D．
5．C
本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质，根据解析式，逐项分析，即可求解．
解：，，
∴函数图象开口向上，对称轴为轴，顶点为，最小值为，故B，D错误，C正确，
在轴的右侧，y随x的增大而增大，故A错误，
故选：C．
6．A
本题考查了二次函数的定义，一元二次方程根的判别式，根据题意得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
解：∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴，
∴，且，
故选：A．
7．B
本题考查了函数的概念理解，熟悉掌握函数的概念是解题的关键．
根据函数的概念逐一判断即可．
A：一次函数的形式为，而属于二次函数，故A错误；
B：变量是指可以取不同值的量，在公式中，的变化会导致变化，因此和均为变量，描述正确，故B正确；
C：速度表示刹车前的实际速度，物理上不可能为负数，取值范围应为，而非全体实数，故C错误；
D：自变量是主动变化的量，此处是自变量，是因变量，故D错误；
故选：B．
8．D
本题主要考查二次函数的性质及图象上点的坐标的特征，有一定难度．
由题意可知该抛物线的对称轴和开口方向，并通过比较两点的纵坐标可知两点离对称轴的远近关系，由此可列不等式，求出范围，进而选出符合条件的选项．
如图，根据题意可知，该二次函数开口向下
对称轴为，
，
与点相比，点更靠近对称轴，
即，整理得，
当时，有，
解得，
当时，有，
解得，
综上，或．
故选：．
9．C
先根据函数y=2x2可知此函数的对称轴为y轴，由于函数关于直线x=3对称，所以函数y＝min{2x2，a（x﹣t）2}的图像即为y=a（x-t）2的图像，据此解答即可.
解：∵y＝2x2中a＝2，
∴y＝a（x﹣t）2，中，a＝2，
∵二次函数y＝ax2+bx+c都可以化成y＝a（x﹣m）2+n形式，其中m＝﹣，n＝，
∵图象开口向上，即a＞0，那么a＝2，点（3，y）为这两个函数的交点，
∴2×32＝a（3﹣t）2，解得t＝6．
故选C．
本题考查函数的最值及其几何意义，难度大，学生们需要认真分析.
10．C
根据题意得出平移后的解析式为，得出顶点坐标为，然后分当顶点在上时，当顶点在上时，求出的值，从而求出范围；
本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，二次函数图象的几何变换，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
解：由，
∴顶点坐标为，
∴向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度的抛物线解析式为，
∴新线顶点为，
∵与轴相交于点和点，与轴交于点，
∴当时，，
解得：，，
∴，，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，直线的解析式为，
∴，，
解得：，，
∴直线的解析式为，直线的解析式为，
当顶点在上时，，
解得：，
当顶点在上时，，
解得：，
∴新拋物线的顶点在内（不含边界），的取值范围为；
故选C.
11．
本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中，且）的函数叫做二次函数，据此可得，，则．
解：∵关于的函数是二次函数，
∴，，
解得：，
故答案为：．
12．①③
根据抛物线开口向上且经过点,双曲线经过点,
可以得到a>0,a,b．c的关系,然后对a,b、c进行讨论,从而可以判断①②③是否正确,从而得出答案．
解：∵抛物线开口向上且经过点,双曲线经过点,
∴ ,
∴ ,故①正确．
当a > 1时,则b、c均小于0,此时b+c<0,
当a= 1时，b+c=0，不符合题意，
当0
0,故②错误．
∴关于的一元二次方程可以转化为：,则 或 ,故③正确．
故答案为：①③
本题考查二次函数与图象的关系,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答问题．
13．
本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
先根据二次函数的对称轴求出，从而可得两个函数的解析式，再根据二次函数图象的平移可得函数与轴的交点坐标，然后根据二次函数的性质求解即可得．
解：∵函数与轴的交点坐标为，
∴这个函数的对称轴为直线，
∴，
∴，，
观察两个函数的解析式可知，函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位长度所得到的，
∴函数与轴的交点坐标为，，即为，，
又∵，
∴抛物线的开口向上，
∴时自变量的取值范围是，
故答案为：．
14．
本题主要考查二次函数图象与性质，根据的纵坐标与纵坐标的绝对值之和为的长，分别表示出所求式子的各项，拆项后抵消即可得到结果．
解：根据题意得：，
∴，
∴
．
故答案为：．
15．
本题考查了二次函数与直线综合问题，涉及二次函数的解析式、一次函数的解析式、一次函数的性质、平面直角坐标系下两点间的距离等，熟练掌握相关知识点，数形结合是解题的关键；
根据题意，求出直线解析式和抛物线解析式，设点，求出，，再代入，得出关于的不等式，再利用一次函数的增减性求出的取值范围，综合可得结果．
解：将点代入直线，可得，，
直线解析式为，
抛物线经过点，，且开口向上，
可设抛物线解析式为，
设，由轴，可得，
，，
由，可得，
，
整理得，
又，
，
关于的一次函数，
，
随的增大而增大，
又，
，
由得；
综上可知，的取值范围是．
故答案为：．
16．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数的几何意义、二次函数的性质，根据三角形面积得到二次函数的解析式是解题的关键．
根据待定系数法求得反比例函数解析式，由题意可得点C的坐标，再利用待定系数法求得直线的解析式，设出D、E的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可．
解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数，
∵点在轴的负半轴上，交轴于点，为线段的中点，
∴，即，
设直线的解析式为，
把，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
∵点为线段上的一个动点，
设，其中，
∵轴，
∴，
∴，
∵中边上的高为点到的距离，即点的横坐标，
∴的面积为：，
∵，
∴当时，的面积最大，最大值为．
故答案为： ．
17．(1)；
(2)或
本题主要考查了二次函数解析式的求法，二次函数的图象和性质，理解相关知识是解答关键．
（1）先求出点的坐标，再把点的坐标代入二次函数求出，根据二次函数的对称轴求出即可求解．
（2）根据抛物线与直线相交于点，，观察图形来求解．
（1）解：在中，令，得，
．
把代入二次函数，
得，
．
二次函数的图象的对称轴为，
，
解得，
该二次函数的解析式为．
（2）解：抛物线与直线相交于点，，
由图象可得，当时，的取值范围是或．
18．(1)
(2)
(3)点或
（1）首先求得点，然后利用待定系数法求得抛物线解析式即可；
（2）过点作交于点，首先求得点，设点，则点，可求得，进而可得四边形面积，由二次函数的图像与性质即可获得答案；
（3）分点在上方和点在下方两种情况进行分析，即可获得答案．
（1）解：直线与x轴交于点，
∴可有，解得，
∴点，
∵抛物线经过点，
∴将点代入，可得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）如下图，过点作交于点，
∵抛物线与轴的交点为，
当时，可有，
解得，
∴点，
设点，则点，
∴，
∵四边形面积，
∴当时，四边形面积有最大值，
此时点；
（3）如下图，当点在上方时，设交轴于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴点，
设直线解析式为，将点，点代入，
可得，解得，
∴直线解析式为，
联立方程组可得，
解得：或，
∴点，
当点在下方时，
∵，
∴，
∴点的纵坐标为，
∴点的坐标为．
综上所述，点坐标为或．
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图像与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，利用数形结合思想和分类讨论的思想分析问题是解题关键．
19．(1)该品牌头盔销售量的月增长率为
(2)该品牌头盔的实际售价应定为50元/个
(3)当售价定为55元时利润最大，最大利润为6250元
本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论．
（3）设利润为，则，根据二次函数的性质，即可求解．
（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）解：设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，，
要使顾客尽可能得到实惠，取，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
（3）解：设利润为w，则
，
，函数开口向下，
∴当时，w最大，最大利润为6250元．
20．(1)；
(2)
(3)
（1）利用勾股定理和相似三角形的性质求解即可；
（2）利用矩形的性质求解即可；
（3）分类讨论的取值情况，利用面积公式列式即可．
（1）解：∵在中，，，，
∴，
由题意可得：，，
∴，
∴，即，
，
故答案为：；；
（2）解：如图①，当点落在线段上时，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图②，当时，重叠部分是四边形，
；
如图③，当时，重叠部分是四边形，
．
本题为动点与几何综合，涉及到了相似三角形的判定即性质，矩形的性质，二次函数，一次函数等知识点，合理分析图象作出图形是解题的关键．
21．(1)
(2)
(3)
本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，顶点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据待定系数法求解即可．
（2）根据题意得抛物线的对称轴为直线，即可得，结合，得出，即可得，求解即可．
（3）分为①当，即时，②当，即时，③当，即时，分别求解即可．
（1）解：当时，则，
将，代入，得，
解得，
∴若，
则抛物线的解析式为．
（2）解：抛物线的对称轴为直线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
∴抛物线的顶点坐标为．
（3）解：①当，即时，
在上，y随x的增大而增大，
∴时，，
解得：（不合题意，舍去）；
②当，即时，
则时，，
解得：，（不合题意，舍去）；
③当，即时，
在上，y随x的增大而减小，
∴时，（不合题意，舍去）．
综上所述，t的值为．
22．(1)；
(2)①是黄金分割数，理由见解析；②．
本题考查了一次函数与二次函数综合，两点间的距离公式等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）设直线为，求得，，，，再求出的值，即可得出结论；
（2）①先求出，，，，当时，则，，，，求得，，即可得出答案；
②当时，即，得到，再求出，，即可求解．
（1）解：∵直线轴，
∴设直线为，
联立得：，
解得：，
∴，，
联立得：，
解得：，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）解：联立得：，
解得：，
∴，
∴，
联立得：，
解得：，
∴，，
∴，
①当时，则，，，，
∴，，
∵黄金分割数为，
∴是黄金分割数；
②当时，即，
∵，，
∴，
∴，
，
∴．
23．(1)①③
(2)或
本题考查了新定义——“近轴点”，正确理解新定义，熟练掌握一次函数、反比例函数、二次函数图象上点的坐标特点，是解决问题的关键．
（1）①中，时，，得到是函的“近轴点”；
②，由对称性，取，不存在“近轴点”；
③，时，，是的“近轴点”；
（2）的图象恒过点，当直线过时，；得到；当直线过时， ，得到．
（1）解：①中，时，，
是函的“近轴点”；
②，由对称性，当时，，
函数不存在“近轴点”；
③，
时，，
是的“近轴点”；
上面三个函数的图象上存在“近轴点”的是①③
（2）中，
时，，
图象恒过点，
当直线过时，，
；
；
当直线过时，，
，
；
的取值范围为或．
24．(1)抛物线的对称轴为，顶点坐标为
(2)（i）；（ii）
本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）利用配方法将抛物线变形为，即可解答；
（2）（i）由（1）知抛物线对称轴为，结合抛物线开口方向，只需令得，建立不等式组，求解即可；（ii）根据题意，求出，代入解析式令，由题意得方程的解为，求出，，得到抛物线解析式为，再利用抛物线性质结合题意即可解答．
（1）解：，
则抛物线的对称轴为，顶点坐标为；
（2）解：（i）由（1）知抛物线对称轴为，
∵抛物线中，，
∴抛物线开口向下，
∵点M的坐标为，点N的坐标为，且，
∴，
当时，解得：，
此时，，解得：，
∴；
当时，不等式组无解；
当时，解得：，
此时，，解得：，
∴不存在此种情况；
当时，解得：，
此时，，解得：，
∴；
综上，b的取值范围为；
（ii）根据题意，
∴，
∴，
令，则，
由题意得方程的解为，
∴，，
∴，，
两式相减：，解得，
则，，
∴抛物线解析式为，
∵，
∴当时，抛物线有最大值，
∵当时，y的最大值为11，最小值为2，
令，则，
解得：或，
∴当时，，则；
当时，，则；
综上，的取值范围为．2025—2026学年九年级数学上学期单元测试卷
第1章 二次函数 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．已知抛物线经过三点，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，直线与抛物线交于，两点，且点的横坐标是，点的横坐标是，则以下结论：抛物线的图象的对称轴一定是轴；当时，直线与抛物线的函数值都随着的增大而增大；直线中，如果发生变化，的长度可以等于；随着的值变化，有可能成为等边三角形；当时，．其中正确的结论是（ ）
A． B． C． D．
4．点A是双曲线上的一点，过A作垂直x轴于B，的面积为2，则抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
5．对于函数，下列结论正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大 B．图象开口向下
C．图象关于y轴对称 D．无论x取何值时，y的值总是正的
6．二次函数与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C． D．
7．在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行（），一般地有经验公式，其中表示刹车前汽车的速度（单位：）．下列说法正确的是（ ）
A．是的一次函数 B．与是变量
C．的取值为全体实数 D．是自变量
8．已知二次函数，当时，x的取值范围是，且该二次函数的图像经过点，两点，则的值可能是（ ）
A．0 B． C． D．
9．对于实数c、d，我们可用min{c，d}表示c、d两数中较小的数，如min{3，﹣1}＝﹣1．若关于x的函数y＝min{2x2，a（x﹣t）2}的图象关于直线x＝3对称，则a、t的值可能是（ ）
A．3，6 B．2，﹣6 C．2，6 D．﹣2，6
10．如图，抛物线图象与轴相交于、两点，与轴交于点．现将抛物线图象向上平移7个单位长度，再向左平移个单位长度，所得新抛物线的顶点在内（不含边界），则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．或
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若关于x的函数 是二次函数，则m的值为 ．
12．已知抛物线开口向上且经过点,双曲线经过点．给出下列结论：①；②；③,是关于的一元二次方程的两个实数根．其中正确的结论是 （填写序号）．
13．已知函数（）与轴的交点坐标为，．则函数（），当时，自变量的取值范围是 ．
14．如图，分别过点作x轴的垂线，交二次函数的图象于点，交直线于点，则 ．
15．如图，抛物线与直线经过点，且相交于另一点B；抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点；点N在线段上，过点N的直线交抛物线于点M，且轴；当点N在线段上移动时（不与A、B重合），当时，a的取值范围是 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，点在轴的负半轴上，交轴于点，为线段的中点．若点为线段上的一个动点，过点作轴，交反比例函数图象于点，则面积的最大值为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．如图，二次函数的图象的对称轴为，与直线 相交于点和点，其中A点轴上．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)当时，根据图象写出的取值范围．
18．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过点B，C，与x轴的另一个交点为A．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点P的坐标；
(3)若M是抛物线上一点，且，请直接写出点M的坐标．
19．公安交警部门提醒市民，骑行出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为400个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
(3)在（2）的条件下，当售价定为多少元时利润最大，最大利润是多少？
20．如图，在中，，，，点、分别是、的中点，连接．点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿向终点运动，过点作的垂线交于点，以为直角边向下方作，使，且．设点的运动时间为（秒）．
(1)填空：________，________（用含的代数式表示）；
(2)当点落在线段上时，求的值；
(3)当与重合部分的图形是四边形时，设这个重叠部分的四边形的面积为平方单位，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
21．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，．
(1)若，求抛物线的函数解析式；
(2)用含t的式子表示抛物线的顶点坐标；
(3)当时，y有最小值，求t的值．
22．已知二次函数、的图像如图所示，过点作直线l与这两个函数图像交于A、B、C、D四点（点A、B、C、D依次从左往右）
(1)若直线轴，则__________（填“或” ）
(2)设直线l的函数表达式为，A、B、C、D四点的横坐标分别为，记，．
①若，请你判断s、t中哪一个是黄金分割数，并说明理由；
②若，求的值．
23．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”．
(1)下列三个函数：①；②；③．其图象上存在“近轴点”的是哪几个函数；
(2)若一次函数图象上存在“近轴点”，求的取值范围．
24．已知抛物线．
(1)请用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标（用含b，c的代数式表示）．
(2)已知点M，N是该抛物线上的两个不同的点．
（i）如果点M的坐标为，点N的坐标为，且，求b的取值范围；
（ii）如果点M的坐标为，点N的坐标为，当时，y的最大值为11，最小值为2，请求出的取值范围．