2025—2026学年九年级数学上学期单元测试卷
第4章 相似三角形 单元测试·基础卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B B C C A B D C
1．A
本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例可得，结合求解，即可解题．
解：∵P为的黄金分割点，
∴，
∴，
故选：A．
2．C
本题考查比例线段，掌握如果四条线段a，b，c，d满足，则四条线段a，b，c，d称为比例线段（有先后顺序，不可颠倒）是解题关键．根据比例线段的定义逐项判断即可．
解：A．，故该选项不符合题意；
B．，故该选项不符合题意；
C．，故该选项符合题意；
D．，故该选项不符合题意．
故选C．
3．B
本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
根据相似三角形的判定定理（①有两角相等的两个三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两个三角形相似，③有三组对应边的比相等的两三角形相似）得出即可
解：选①②：
∵，，
∴，
∴；
选①③，无法得到；
选①④，无法得到；
选②③，无法得到；
选②④：
∵，，
∴；
选③④：
∵，，
∴．
∴能判断的共有3组．
故选：B
4．B
本题考查了勾股定理与网格，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．根据三边对应成比例的两个三角形相似，逐项进行判断即可．
解：设每个小正方形的边长为，则在中，，，，
A、在中，，，，
，，，
，
，故A选项不符合题意；
B、在中，，，，
，，，
，
和不相似，故B选项符合题意；
C、在中，，，，
，，，
，
，故C选项不符合题意；
D、在中，，，，
，，，
，
，故D选项不符合题意；
故选：B ．
5．C
根据平行线是判定，比例线段的性质，相似三角形的判定和性质，即可．
∵
∴
∴A正确，不符合题意；
∵
∴
∴
∴
∴且是公共角
∴
∴
∴
∴B、D正确，不符合题意；
∵是公共角，但不是与，与的夹角
∴与不一定相似
∴不能确定、、、之间的关系
∴与不一定平行
∴C不能判定，符合题意．
故选：C．
本题考查比例线段的性质，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，解题的关键掌握比例线段的性质、相似三角形的判定．
6．C
本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理即可求解，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．
解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故选：．
7．A
以AB为斜边作等腰直角三角形 AOB，连接OD，利用相似三角形的性质得出OD，即可得出结果．
解：如图所示，以AB为斜边作等腰直角三角形 AOB，连接OD，
∵ CBD， AOB都是等腰直角三角形，
∴，，∠ABO=∠CBD=45°，
∴，∠ABC=∠OBD，
∴ ABC~ OBD，
∴，
∴，
∵AB=8，∠AOB=90°，OA=OB，
∴OA=OB=，
∵AD≤OA+OD，
∴AD≤，
AD2≤98，
故选：A．
题目主要考查旋转变换，相似三角形的判定和性质，作出相应辅助线，构造相似三角形及确定点D的运动轨迹是解题关键．
8．B
此题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
首先证明出是的中位线，得到，，即可判断①；得到的周长，即可判断②；证明出，得到的边上的高边上的高，即可判断③；求出和的面积和即可判断④；由三角形内角和定理即可判断⑤．
解：①∵是平行四边形边上一动点，点分别为的中点，
∴是的中位线
∴，
∴线段的长不会随点P的移动而变化；
②∵点分别为的中点，
∴，，
∴的周长
∵，会随点P的移动而变化
∴的周长会随点P的移动而变化；
③∵
∴
∴边上的高边上的高
∴的边上的高边上的高，
∵边上的高是平行线和间的距离，不会随点P的移动而变化
∴的边上的高不会随点P的移动而变化；
④∵
∴和的面积和
∴和的面积和不会随点P的移动而变化；
⑤∵，会随点P的移动而变化
∴的大小会随点P的移动而变化．
综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤．
故选：B．
9．D
本题主要考查相似三角形的判定，在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可．
解：在和中，，
A、当时，满足两组角对应相等，可判断，故A正确；
B、当时，满足两组角对应相等，可判断，故B正确；
C、当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故C正确；
D、当时，其夹角不相等，则不能，故D不正确；
故选：D．
10．C
分别过点，作的平行线，根据相似比，找出对应相似图形的面积关系，然后找出符合的选项即可．
解：如图，分别过点，作的平行线交于点，交于点，
四边形四边形，相似比，
，，，相似比，
则，，
，
，选项C符合题意，
故选：C．
本题考查了根据相似比求面积关系，平行四边形性质，相似三角形性质等知识，适当添加辅助线，找出对应面积关系，采用面积作差方法是解题关键．
11．18
通过位似得到四边形与四边形相似比为，然后根据相似多边形面积的比等于相似比的平方求解．
四边形与四边形是位似图形，
．
又．
故答案为：．
本题考查了位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线，以及相似多边形的性质，正确得出面积比是解决此题的关键．
12．8
本题考查的是位似图形的性质、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
根据位似图形的性质得到，，进而得到，则，根据相似三角形的性质即可解答．
解：∵与是位似图形，
∴，，
∴，
∵，
∴的周长：的周长，
∵的周长为4，
∴的周长为8．
故答案为：8．
13．6
本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，在平行四边形中找出相似三角形是解题的关键．
根据平行四边形的性质可证，再根据对应边成比例求解即可．
解：在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
故答案为：6．
14．
此题考查了相似三角形的判定，平行四边形的性质，由四边形是平行四边形，根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可得，，则可得，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
∴相似三角形共有对，
故答案为：．
15．3
如图，连接，求出，而，判定△是等边三角形，得到，，因此，由三角形外角的性质求出，得到，由勾股定理求出，由相似多边形的性质即可得到答案．
解：如图，连接，由题意，得：，
∵正六边形的外角和为，
，
△是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
两个正六边形相似，
所得到的正六边形的面积与原正六边形面积的比．
故答案为：3．
本题考查正多边形的外角，等边三角形的判定和性质，勾股定理以及相似多边形的性质，熟练掌握正多边形的性质，是解题的关键．
16．
设菱形的边长为，则，如图，连接延长到，使得，连接．构造三角形的中位线，求出最小时，的位置，可得结论．
解：设菱形的边长为，则，如图，连接延长到，使得，连接．
由旋转性质得，
∴是等边三角形，
∴，
∴
∴
∵
∴
∴，
∵，
∴,
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为，
∵，的最小值为
∴与在同一直线上，即三点共线
∵
∴
∴当点在的延长线上时，值最小，即的值最小，如图中，过点作于点．则
∴，
∴
∵
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
解得菱形的边长为，
故答案为：．
本题考查菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题．
17．见解析
由三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠C=60°，进而得到∠C=∠APD，再由公共角，利用两对角相等的三角形相似即可得证；
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C=60°，
∵∠PAD=∠CAP，∠APD=∠C=60°，
∴△ACP∽△APD．
考查相似三角形的判定，等边三角形的性质，掌握有两组角对应相等的两个三角形相似是解题的关键.
18．16
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据得到，求出，即可得到的长．
解：∵，
，
，，，
，
解得：，
．
19．（1）相似，见解析；（2）不相似，见解析
本题考查相似多边形的判定，三角形的中位线定理，熟练掌握相似多边形的判定方法，是解题的关键：
（1）根据三角形的中位线定理结合相似多边形的判定方法，进行判断即可；
（2）求出对应边的比例
解：（1）四边形和四边形相似，理由如下：
∵E，F分别是的中点，
∴，，
∴．
∵G，F分别是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
同理可得，，，，
∴四边形和四边形相似．
（2）矩形与矩形不相似，理由如下：
由题意，，
∴，，
∴，
∴矩形与矩形不相似．
20．(1)两路灯的距离为25米
(2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是6.25米
本题考查了相似三角形的应用．
（1）如图1，先证明，利用相似比可得，进而得，，解得米；
（2）如图2，当小明走到路灯时，他在路灯下的影子为，证明，利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出即可．
（1）解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
而，
∴，
∴，
答：两路灯的距离为25米；
（2）解：如图2，当小明走到路灯时，他在路灯下的影子为，
∵，
∴，
∴，即，
解得．
答：当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是6.25米．
21．(1)见解析
(2)见解析
本题考查了等边对等角、三角形外角的性质、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形和相似三角形的判定是解题的关键．
（1）根据等边对等角得到，根据三角形外角的性质得到，结合得到，再利用全等三角形判定即可证明；
（2）利用全等三角形的性质可得，，结合则有，利用等边对等角可得，，得到，进而推出，再利用相似三角形的性质即可证明．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
∴；
（2）证明：由（1）得，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
22．②，见解析
本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．可添加根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似．
证明：选择②
∵，
∴，
∵，
∴．
23．见解析
本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定：先由等边三角形的性质得到，再由三角形内角和定理和平角的定义证明，即可证明．
解：是等边三角形，
，
，
，
，
．
24．(1)
(2)最小值
(3)或或
本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质与判定，坐标与图形，根据题意分类讨论是解题的关键．
（1）先证明再根据相似三角形的性质即可求解；
（2）证明，根据相似三角形的性质即可求解，然后得出，由，根据二次函数的性质即可求解；
（3）分点在线段上，在的延长线上，在的延长线上，进行分类讨论，结合根据勾股定理即可求解．
（1）解：∵、、三点的坐标为、、，
，
∴四边形是菱形，
又∵
∴四边形是正方形，
，
又∵，
，
，
，
，
∵为的中点，
，
，
解得：，
；
（2）解：，
，
，
，
，
所以当时，有最大值，最大值为，此时的值最小，最小值为；
（3）解：设，则，
如图，当点在线段上时，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
∴，
当点在的延长线上时，即为，连接，，
因为，
所以，
则.，
即，
所以这种情况不符合条件，
当点在的延长线上时，，，
，，
，
，
，
或
或
综上所述，满足条件的点的坐标为或或．(共6张PPT)
浙教版 九年级上册
第4章 相似三角形 单元测试·基础卷
试卷分析
一、试题难度
二、知识点分布
一、单选题 1 0.94 黄金分割
2 0.94 比例线段
3 0.75 利用三边对应成比例判定相似；利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似；利用两角对应相等判定相似
4 0.75 利用三边对应成比例判定相似
5 0.85 同位角相等两直线平行；由平行判断成比例的线段；相似三角形的判定与性质综合
6 0.85 由平行截线求相关线段的长或比值
7 0.65 相似三角形的综合问题；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
8 0.64 相似三角形的判定与性质综合；利用平行四边形的性质证明；与三角形中位线有关的证明
9 0.65 选择或补充条件使两个三角形相似；利用两角对应相等判定相似；利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似
10 0.4 相似多边形的性质；利用平行四边形的性质求解；利用相似三角形的性质求解
二、知识点分布
二、填空题 11 0.94 相似多边形的性质
12 0.85 利用相似三角形的性质求解；求两个位似图形的相似比
13 0.75 利用平行四边形的性质求解；相似三角形的判定与性质综合
14 0.65 利用平行四边形的性质证明；相似三角形的判定综合
15 0.55 正多边形的外角问题；相似多边形的性质；等边三角形的判定和性质；用勾股定理解三角形
16 0.15 含30度角的直角三角形；利用菱形的性质求线段长；根据旋转的性质求解；由平行判断成比例的线段
二、知识点分布
三、解答题 17 0.95 相似三角形的判定综合
18 0.85 由平行截线求相关线段的长或比值
19 0.65 与三角形中位线有关的证明；相似多边形
20 0.65 相似三角形实际应用
21 0.55 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；相似三角形的判定与性质综合；三角形的外角的定义及性质；等边对等角
22 0.65 选择或补充条件使两个三角形相似
23 0.64 等边三角形的性质；利用两角对应相等判定相似
24 0.4 用勾股定理解三角形；相似三角形的判定与性质综合；根据正方形的性质求线段长；坐标与图形综合2025—2026学年九年级数学上学期单元测试卷
第4章 相似三角形 单元测试·基础卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度约为（ ）
A．3.82 B．4.82 C．6.18 D．6.28
2．下列四组长度的线段中，是比例线段的是（ ）
A．4，5，6，7 B．3，4，6，9 C．8，4，4，2 D．5，10，10，15
3．在和中，有下列条件：
①；②；③；④．
如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断的共有（ ）
A．2组 B．3组 C．4组 D．5组
4．如图是一个正方形网络，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与不相似的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，下列给出的条件，其中不一定能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，，直线、与这三条平行线分别交于点和点，若，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，平面内三点A、B、C，AB=8，AC=6，以BC边为斜边在BC右侧作等腰直角三角形BCD，连接AD，则的最大值是（ ）
A．98 B．100 C．72 D．70
8．如图，是平行四边形边上一动点，点分别为的中点，对于下列各值：①线段的长；②的周长；③的边上的高；④和的面积和；⑤的大小．其中会随点P的移动而变化的是（ ）
A．②③ B．②⑤ C．④⑤ D．①③④
9．如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平行四边形中，点分别在边上，，四边形四边形，相似比，则下列一定能求出面积的条件（ ）
A．四边形和四边形的面积之差 B．四边形和四边形的面积之差
C．四边形和四边形的面积之差 D．四边形和四边形的面积之差
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形（四边形），若四边形的面积是2，则四边形的面积是 ．
12．如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为 4，则的周长是 ．
13．如图，在中，，连接，交于点F，，则的长为 ．
14．如图，在平行四边形中，是延长线上一点，连结交于点，则图中的相似三角形共有 对
15．如图，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形，所得到的正六边形的面积是原正六边形面积的 倍．
16．如图，在菱形中，对角线，交于点，将点绕点顺时针旋转得到点，连接，，当线段的长度取最小值时，的长为，则菱形的边长为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点，若∠APD=60°，
证明：△ACP∽△APD．
18．如图，已知，与相交于点．如果，，，求的长．
19．（1）如图1，在四边形中，对角线相交于点O，E，F，G，H分别是的中点，试判断四边形和四边形是否相似，并说明理由．
（2）如图2，矩形的宽，长，把它的各边长都减去2，得到矩形，试判断矩形与矩形的相似情况．
20．如图，小明在晚上由路灯走到路灯．当他走到P点时，发现身后他影子的顶部刚好落在路灯的底部，当他再步行15米达到点Q时，发现身前自己影子的顶部刚好落在路灯的底部．已知小明的身高是1.8米，两个路灯的高度都是9米，且．
(1)求两个路灯之间的距离；
(2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是多少？
21．已知：如图，中，，D、E分别是，上的点，，．
(1)求证：
(2)求证：
22．如图，中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：．
23．如图，点、、分别在等边的三边、、上，且，求证：．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知、、三点的坐标为、、，点是线段的一动点，它以每秒1个单位速度从点向点运动，连接过点作的垂线交于点，设点的运动时间为秒．
(1)当点到达的中点时，________；
(2)请用的代数式表示的长度，并求出为何值时，有最小值，是多少？
(3)若已知点在直线上，为轴上一点且于点，请直接写出满足此条件的点坐标．
