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浙教版 九年级上册
第4章 相似三角形 单元测试·培优卷
试卷分析
一、试题难度
二、知识点分布
一、单选题 1 0.94 比例线段
2 0.85 由平行判断成比例的线段
3 0.75 由平行截线求相关线段的长或比值
4 0.65 相似三角形的判定与性质综合；证明三角形的对应线段成比例；由平行判断成比例的线段
5 0.65 由平行判断成比例的线段；相似三角形的综合问题
6 0.65 根据等角对等边证明边相等；相似三角形的判定与性质综合；角平分线的有关计算
7 0.65 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似
8 0.64 与三角形中位线有关的求解问题；全等的性质和SAS综合（SAS）；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；利用两角对应相等判定相似
9 0.55 等边对等角；利用两角对应相等判定相似；三角形的外角的定义及性质
10 0.4 根据矩形的性质求线段长；相似多边形的性质；用勾股定理解三角形
二、知识点分布
二、填空题 11 0.85 由平行截线求相关线段的长或比值
12 0.75 根据旋转的性质求解；坐标与图形综合；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；用勾股定理解三角形
13 0.65 重心的有关性质；相似三角形的判定与性质综合
14 0.65 利用两角对应相等判定相似；相似三角形的判定综合
15 0.64 90度的圆周角所对的弦是直径；相似三角形的判定与性质综合；用勾股定理解三角形；根据矩形的性质与判定求角度
16 0.4 图形类规律探索；利用菱形的性质求线段长；相似多边形的性质
二、知识点分布
三、解答题 17 0.85 由平行截线求相关线段的长或比值
18 0.75 相似三角形的判定与性质综合
19 0.75 四边形其他综合问题；等边三角形的判定和性质；相似三角形的综合问题
20 0.65 相似三角形——动点问题；已知两点坐标求两点距离
21 0.65 利用两角对应相等判定相似；与三角形的高有关的计算问题；用勾股定理解三角形
22 0.64 全等三角形综合问题；根据正方形的性质证明；相似三角形的判定与性质综合
23 0.64 图形运动问题(实际问题与二次函数)；相似三角形——动点问题
24 0.15 相似多边形的性质；相似三角形的判定与性质综合；全等的性质和SAS综合（SAS）；根据正方形的性质证明2025—2026学年九年级数学上学期单元测试卷
第4章 相似三角形 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．若延长线段到点C，使，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知直线，直线与分别交于点，，则的值是（ ）
A．7 B． C． D．
4．如图，ABC中，DE∥BC，AD:BD=1:3，则OE：OB=（ ）
A．1:3 B．1:4 C．1:5 D．1:6
5．如图，中，，是中线， 是上一点，作射线，交于点，若，则 （ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，平分，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，根据图中给出的数据，一定能得到（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在中，是角平分线，是中线，，且，垂足为F，G为的中点，连接，．下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，△ABC和△GAF是两个全等的等腰直角三角形，图中相似三角形(不包括全等)共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
10．如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，按照此规律作下去，则边的长为（ ）
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，梯形中，，，，则 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的动点，线段绕着点按逆时针方向旋转至线段，，连接、，则的最小值为 ．
13．如图，在中，是边上的中线，点G是的重心，过点G作交于点F，那么 ．
14．如图，在矩形中，是边上的任一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，则图中共有 对相似三角形．
15．如图，在矩形中，，若分别是边上的动点，且，与交于点，连接．则的最小值为 ．
16．已知菱形的边长为6，，对角线，相交于点O，以点O为坐标原点，分别以，所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系．以为对角线作菱形菱形，再以为对角线作菱形菱形，再以为对角线作菱形菱形，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点，，，…，，则点的坐标为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．如图，在中，，交于，交于，为上的一点，交于，，，求：
(1)；
(2)的长．
18．如图，在同一水平地面上竖直地立有两个高度相同的路灯，已知两路灯之间的水平距离是24米，路灯灯光正好照在地面上的处和处，且，与相交于点．
(1)若，求路灯的高度；
(2)连接，若米，求的值．
19．在菱形中，，点、分别是边、上两点，满足，与相交于点．
（1）如图1，连接．求证：；
（2）如图2，连接．
①求证：；
②若，，求线段的长（用含、的代数式表示）．
20．如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．
(1)当t为何值时，；
(2)当t为何值时，与相似．
21．如图，在中，，是边上高，若，．
(1)求证：；
(2)求的长．
22．如图，四边形是边长为1的正方形，点在边上运动，且不与点和点重合，连接，过点作交的延长线于点，连接交于点．
(1)求证：；
(2)当是的中点时，求的长．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（单位：秒）表示移动的时间（），那么：
(1)当t为何值时，与相似.
(2)设的面积为y，求y与t的函数解析式，并求的最大值.
24．根据下列题目要求，解答下列问题：
(1)如图1，已知正方形和正方形，连接、．求证．
(2)如图2，在矩形中，，已知矩形矩形，相似比为，，连接、，延长交于M．探究线段与的数量关系．
(3)如图3，已知矩形矩形，连接、、，发现线段、、存在这样的数量关系：，请你对这个数量关系加以证明．2025—2026学年九年级数学上学期单元测试卷
第4章 相似三角形 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B B C A C D C A
1．D
本题考查了求线段的比例关系．
利用将用来表示，从而求出线段的比值．
解：延长线段到点C，由，可知．
所以．
故选：D．
2．B
本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，找到对应边，即可求解．
解：∵
A. ，故该选项正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，符合题意；
C. ，故该选项正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，不符合题意；
故选：B．
3．B
本题考查的是平行线分线段成比例定理，直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键．
解：，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
4．B
先根据DE∥BC，得出ADE∽ABC，进而得出 ，再根据DE∥BC，得到ODE∽OCB，进而得到．
解：∵DE∥BC，
∴ADE∽ABC，
∴，
又∵，
∴，
∵DE∥BC，
∴ODE∽OCB，
∴．
故选：B．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
5．C
作，交于点，则有，根据 ，，可得，，再根据是边上的中线，得到，；根据可得，则，化简即可得到结果．
解：如图，作，交于点，
∴
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴
∵是边上的中线，
∴
∴，
∴，
∵
∴
∴
∴，
则．
故选：C．
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟悉相关性质是解题的关键．
6．A
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，解题的关键是构造相似三角形．过点作交延长线于点， 得到，由平分，，等量代换可得，得到，由平行可得，从而可得的值．
解：如图所示，过点作交延长线于点，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
即的值为．
故选：A ．
7．C
本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
根据题意，推得，再利用相似三角形的判定即可求解．
解：，，，，
，，
，，
，
，
．
故选：C．
8．D
本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，先运用是角平分线，证明，得，证明，故，结合是中线，G为的中点，得是中位线，故，代入数值整理得，在和中，为公共角，但和，和均不相等，相应边不成比例，故和，即可作答．
解：∵是角平分线，
∴，
∵，
∴，
又∵
∴，
故A选项正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故B选项正确，不符合题意；
∵是中线，
∴，
∵G为的中点，
∴，
∴是中位线，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
故C选项正确，不符合题意；
在和中，为公共角，
但和，和均不一定相等，相应边不成比例，
故和不相似，
故D选项错误，符合题意，
故选：D．
9．C
本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质，相似三角形的判定；根据等腰直角三角形的性质得出，，进而可得，，根据两角相等即可得出，，，即可求解．
和是两个全等的等腰直角三角形
，
，，
，，，
共有对．
故选：C．
10．A
本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质，根据矩形的性质求出，利用相似多边形的性质找出矩形对角线的变化规律即可求解，根据相似多边形的性质找出矩形对角线的变化规律是解题的关键．
解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵按逆时针方向作矩形的相似矩形，
∴矩形的边长和矩形的相似比为，
∴矩形的对角线和矩形的对角线的比，
∵矩形的对角线为，
∴矩形的对角线，
依此类推，矩形的对角线和矩形的对角线的比为，
∴矩形的对角线，
矩形的对角线，
按此规律第个矩形的对角线，
∴，
故选：．
11．6
本题考查了平行线分线段成比例，三角形的面积，先根据平行线分线段成比例得，再根据三角形的面积公式可得出答案．
解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：6．
12．
本题主要考查旋转的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质等知识，将的值转化点到点和点的最小值，求出，则：的值相当于求点到点和点的最小值，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
解：如图，作于，
由旋转可知，，，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设点的坐标为，
∴，
则点，
∴
的值，相当于求点到点和点的最小值，
相当于在直线上寻找一点，使得点到，到的距离和最小，
作关于直线的对称点，
∴，
∵，
∴的最小值为．
13．
本题主要考查了三角形的重心、平行线分线段成比例定理等知识点，掌握三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为是解题的关键．
由点G是的重心，可得，即，再根据可得，再根据相似三角形的性质即可解答．
解：∵点G是的重心，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为．
14．6
根据矩形的性质得到，根据邻补角的定义得到，根据余角的性质得到，根据相似三角形的判定定理即可得到结论．
四边形是矩形，
，
．
，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
共有6对相似三角形．
故答案为：．
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，互余原理，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键．
15．2
通过证明相似得出，再确定点是在以为直径的上，进而确定当在同一直线上时， 最小，再用直角三角形的性质和勾股定理求解即可.
解：取的中点，连结，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
在中，，
∵，
∴点在以为直径的上，
∴，
∴当在同一直线上时， 最小，
的最小值为：，
故答案为：2.
本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理的推论，矩形的性质和直角三角形的性质，确定点在以为直径的上是解题的关键.
16．An(3n，0)
先根据菱形的性质求出A1的坐标，根据勾股定理求出OB1的长，再由锐角三角函数的定义求出OA2的长，故可得出A2的坐标，同理可得出A3的坐标，找出规律即可得出结论．
解：∵ 菱形的边长为6，，
∴OA1=A1B1·sin 30°=6×=3，OB1=A1B1·cos 30°=6×=，
∴A1(3，0)，
∵ 菱形菱形，
∴OA2= ，
∴A2(9，0)，
同理可得A3(27，0)，
∴An(3n，0)，
故答案为：An(3n，0)．
本题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形的对应角相等是解答此题的关键．
17．(1)
(2)
本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段．
（1）已知，，根据平行线分线段成比例定理即可得到答案；
（2）根据平行线分线段成比例定理得到，即可得到答案．
（1）解：，，
，
即；
（2），，
，
，
．
18．(1)路灯的高为16米
(2)米
本题考查相似三角形的应用，勾股定理，解直角三角形，解答本题的关键是添加辅助线，构造直角三角形解决问题．
（1）根据题意得到米，米，证明得，进而得，进而可得答案；
（2）过点O作于点H，则，证明，得，进而得，进而可求得米，（米），（米），再由勾股定理求得（米）．
（1）解：由题意知：米，
∵，
∴米，米，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
又∵，
∴米，
答：路灯的高为16米；
（2）解：由题意得米，米，米，
过点O作于点H，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴米，（米），
∴（米），
∴在中，（米）
19．（1）见解析；（2）①见解析；②
（1）四边形是菱形，，则是等边三角形，根据，，，即可得到三角形全等；
（2）①连接，延长到点，使，连接，求证出，是等边三角形，即可以证明；
②由①中的条件可证，所以，即可以求出DG．
（1）证明：∵四边形是菱形，，
∴ ，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵
∴．
（2）①证明：连接，延长到点，使，连接．
由（1）知，
∴，
，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴
∴是等边三角形，
∴．
②由①可知，
∵，∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等有关知识，需要综合利用初中所学知识，结合题目条件，灵活运用才能解决问题；正确作出辅助线是解决这题的关键．
20．(1)当的值为时，；
(2)当的值为或时，与相似．
本题考查了勾股定理，列代数式，相似三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
（1）利用勾股定理求得的长度，，，再根据题意列出代数式求解即可；
（2）利用相似三角形的性质，分和两种情况解答即可求解．
（1）解：∵点，点，，
∴，，
；
由题意，，则，
由题意则有：，
解得，
当时，；
（2）解：∵是公共角，
∴①当时，，
∴，
即，
解得；
②当时，，
∴，
即，
解得；
综上，当的值为或时，与相似．
21．(1)见解析
(2)
（1）通过寻找两个三角形中相等的角，利用两角分别相等来证明相似．
（2）先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据三角形面积的两种不同表示方法，建立等式求出的长．
本题主要考查了相似三角形的判定、勾股定理以及三角形面积公式，熟练掌握相似三角形的判定定理和利用面积法求高是解题的关键．
（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
22．(1)答案见解析
(2)
（1）先判断出 ∠CBF =90°，进而可以证明 ∠DCE =∠ BCF ，即可得出结论；
（2）先求出 AF 、AE ，再判断出△GBF ∽△EAF ，可求出 BG ，即可得出结论．
（1）解：在正方形 ABCD 中，DC = BC ，∠D = ∠ABC = ∠DCB =90°，
∴∠CBF =180°- ∠ABC =90°， ∠DCE + ∠BCE = ∠DCB =90°，
∵CF⊥CE，
∴∠ECF =90°，
∴∠BCF + ∠BCE = ∠ECF =90°，
∴∠DCE = ∠BCF ，
在△ CDE 和△ CBF 中，
∴△ CDE≌CBF ( ASA )；
（2）在正方形 ABCD 中， AD BC ，
∴△GBF∽△EAF ，
∴
由（1）知，△CDE≌CBF，
∵ E 是 AD 的中点，正方形的边长为1，
∴BF = DE =，
∴AF = AB + BF =， AE =，
∴，
∴BG ＝，
∴CG = BC - BG =，
∴ CG 的长为．
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△GBF∽△EAF ．
23．(1)当或时，与相似；
(2)；
（1）本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是注意两种情况讨论；
（2）本题考查了二次函数的解析式与最大值，解题的关键是求出二次函数的解析式．
（1）解：，，
，
，
若时，，即，
解得：，
则当时，与相似；
若时，，
即，
解得：，
则当时，与相似，
综上所述：当或时，与相似；
（2）解：，
，
，
的最大值是．
24．(1)见解析
(2)
(3)见解析
(1)根据定理，即可证得，据此即可证得结论；
(2)设，，根据，可求得，，据此即可证得，据此即可求得；
(3)将沿向右平移，使与重合，得到，连接，与、分别交于点H、O，可证得四边形为平行四边形，，，再根据矩形矩形，可证得，可得，据此即可证得是直角三角形，即可证得结论．
（1）证明：四边形和都是正方形，
，，，
，
，
在与中，
，
；
（2）解：，
设，，
矩形矩形，相似比为，
，，
，，
，，
，，
，
，
，
，
；
（3）证明：将沿向右平移，使与重合，得到，连接，与、分别交于点H、O，
，，，，
四边形是矩形，
，，
，，
四边形为平行四边形，
，，
，
矩形矩形，
，
又，
，
，
，
又，
，
是直角三角形，
，
本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，相似多边形的性质，直角三角形的判定与性质，作出辅助线是解决本题的关键．
