第一章 二次函数 单元测试【含答案】初中数学浙教版（2024）九年级上册

第一章 二次函数
一、选择题
1．下列函数属于二次函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．二次函数的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
3．将二次函数y＝﹣x2的图像向左平移3个单位长度后得到的抛物线的函数表达式是（　　）
A．y＝﹣（x﹣3）2 B．y＝﹣（x+3）2
C．y＝﹣x2+3 D．y＝﹣x2﹣3
4．若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（　　）
A． B．
C． D．
5．关于抛物线，下列说法：①开口向下；②与坐标轴有3个交点；③一定过点；④顶点一定不在第二象限；其中正确的是（　　）
A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③
6．已知 ， ， 是二次函数 图象上的点，则（　　）
A． B． C． D．
7．用48米长的木料制作如图所示的矩形窗框(横档 EF，GH 也用木料)，其中AB∥EF∥GH∥CD.若要使窗框ABCD 的面积最大，则AB 的长为(　　)
A．6米 B．8米 C．12 米 D．4
8． 已知一个二次函数 的自变量 x 与函数 y 的几组对应值如下表：
x … -4 -2 0 3 5 …
y … -24 -8 0 -3 -15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　）
A．图象的开口向上
B．当 时，y 的值随 x 的值增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象的对称轴是直线
9．已知二次函数的图象如图，下列5个结论：①，②，③，④，⑤．其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．已知二次函数的对称轴为，当时，y的取值范围是．则的值为（　　）
A．或 B．或 C． D．
二、填空题
11．抛物线与y轴交点的坐标为　 　，与x轴交点的坐标为　 　．
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … 3 4 5 6 7 8 …
y … ﹣31 14 41 50 41 m …
则表格中m的值是 　 　 ．
13．如果平移抛物线后得到的新抛物线经过和，那么平移后新抛物线的解析式是　 　．
14．某拱桥的主桥拱近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则　 　，主桥拱最高点与其在水中倒影点之间的距离为　 　米．
15．函数的图象如图所示，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为　 　．
16．已知二次函数（，均是实数），设该函数最小值为，若，，则的取值范围是　 　．
三、解答题
17．如图，函数的图象经过点，，
（1）分别求b，c的值；
（2）点B （填“经过”或“不经过”）该函数图象的对称轴；
（3）当时，y的取值范围为 ．
18．已知二次函数 1为常数，且m>0)的图象过点 P(2，4).
（1） 求m 的值.
（2）试判断二次函数 的图象与x 轴交点的个数，并说明理由.
19．已知二次函数（a，b，c为已知数，且）与y轴的交点是．
（1）求c的值．
（2）若二次函数与一次函数的图象交于点，求k的值，并用含a的代数式表示b．
（3）在（2）成立的情况下，若，当时，的最大值为m，最小值为n，求的最小值．
20．在平面直角坐标系中，函数图象过点，
（1）当时，求该函数的表达式
（2）证明该函数的图象必过点（m+1，2）
（3）求该函数的最大值
21．已知二次函数（m是常数）．
（1）若二次函数图象经过，求二次函数的解析式；
（2）若，是该二次函数图象上的两个不同点，求二次函数表达式和n的值；
（3）若点，点也均在此函数图象上，且满足，求m的取值范围．
22．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．
素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
参考答案
1．B
2．B
3．B
4．C
5．C
6．A
7．A
8．D
9．B
10．D
11．；，
12．14
13．
14．；
15．或
16．
17．（1）b的值为2，c的值为3
（2）经过
（3）
18．（1）解：将P(2，4)代入 得 解得
∵m>0，
∴m=1.
（2）解：二次函数 的图象与x轴交点的个数为2.
理由：∵m=1，
∵在方程 中，
∴ 二次函数 的图象与x轴交点的个数为2.
19．（1）解：把代入，即．
（2）解：由题意知一次函数过点，代入得，
由（1）知二次函数为：，
∵在二次函数上，
∴，则；
（3）解：由（2）知二次函数为：，则函数对称轴为，
∵，
∴，
∴，
∵时，的最大值为m，最小值为n，
∴当时，，当时，，
则，
当时，的最小值为．
20．解：（1）把代入得：A（1，0）、B（4，0）
∴，
解得，
故函数表达式为，
（2）由题意得，
把代入得：，
∴该函数的图象必过点（m+1，2）；
（3）由（2）知，
当时，函数最大值为：
21．（1）解：把点代入得：
，
解得：，
∴当时，该二次函数的解析式为
当时，该二次函数的解析式为，
∴该二次函数的解析式为或；
（2）解：∵点，关于二次函数的对称轴对称，
∴该二次函数的对称轴为直线，
又∵该二次函数的对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
把点代入得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为，；
（3）解：由（2）可知二次函数的对称轴为直线，∵，且该二次函数的图象开口向上，
∴点C到对称轴的距离小于点D到对称轴的距离，
∴，
解得：．
22．任务一：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，
则顶点为，且经过点．
设该抛物线函数表达式为，
则，
∴，
∴该抛物线的函数表达式是．
任务二：∵水位再上涨达到最高，灯笼底部距离水面至少，灯笼长，
∴悬挂点的纵坐标，
∴悬挂点的纵坐标的最小值是．
当时，，解得或，
∴悬挂点的横坐标的取值范围是．
任务三：有两种设计方案
方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼．
∵，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为，
∴若顶点一侧挂4盏灯笼，则，
若顶点一侧挂3盏灯笼，则，
∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂7盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是．
方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为，
∵若顶点一侧挂5盏灯笼，则，
若顶点一侧挂4盏灯笼，则，
∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂8盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是．
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