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【能力培优】浙教版数学九年级上册重难点与压轴题专题对点突破
重难点04 二次函数综合之矩形的存在性
三层巩固强化：知识梳理 + 经典例题 + 强化练习
在中考数学中，矩形的存在性问题常在动点和函数与几何综合题中考查，函数型综合题中矩形存在性问题，需要通过“代数语言”与“几何语言”的相互转化，渗透数形结合思想；用代数方法研究几何图形的性质，借助几何直观得到代数问题的解答．这一类压轴题的特点是以函数为载体，融合几何中很多知识点、思想方法，对思维要求高，是在平行四边形存在性问题的基础上，把矩形的存在性问题转化为直角三角形存在性问题解决。我们应该力求通过一道模考题的讲解和变化，力求由一道题解决一类题。
一、关于矩形的基础知识
1、什么是矩形？
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形就是在平行四边形的基础上增加一个角是直角这个比较特殊的条件.
2、矩形具有哪些性质？
矩形具有平行四边形的所有性质；
矩形的对角线相等；
矩形的四个角都是直角；
矩形是轴对称图形，有两条对称轴.
注：（1）矩形是特殊的平行四边形，也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分；
（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）；
（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.
3、矩形的判定方法
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；
对角线相等的平行四边形是矩形；
有三个角是直角的四边形是矩形.
二、矩形存在性问题的解题策略
1、在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形，因此，在坐标系中，若AC为矩形ABCD的对角线，则此矩形应满足如下的等式：
；
2、矩形除了可以由平行四边形得到之外，还可以看成是由两个直角三角形组成的，如图所示：
在此基础上，要善于利用直角三角形的性质：
（1）两个锐角互余；
（2）三边平方的等量关系（勾股定理）；
（3）斜边上的中线等于斜边的一半.
三、典例讲解
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线与轴负半轴交于点C，与抛物线另一个交点为D，且.
（1）直接写出点A的坐标，并求出直线的函数表达式（其中，k、b用含的式子表示）；
（2）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以A、D、P、Q为顶点的四边形能否成矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由.
【解答】，；（2），.
【解析】（1），
令，解得，，
直线经过点A，，即，，
令，整理得，
，点D的横坐标为4，
直线的函数表达式为；
（2）令，即，解得，，
，抛物线的对称轴为，设，
①若AD是矩形的一条边，则，则，
四边形ADPQ是矩形，，
，即，
即，；
②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为，
，，
四边形APDQ是矩形，
，即，
综上，当点P的坐标为或时，以A、D、P、Q为顶点的四边形能成为一个矩形.
（2022·贵州黔西·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得四边形为矩形
如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线AB与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的表达式；
(2)M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标；
(3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或或
(3)存在，或或或
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
∴，解得，
∴抛物线的表达式为．
（2）设直线AB的解析式为：，
∵直线AB经过，，
∴，
∴，
∴直线AB的表达式为．
∵轴，可设，，其中．
当M在N点上方时，．
解得，（舍去）．
∴．
当M在N点下方时， ．
解得，．
∴，．
综上所述，满足条件的点M的坐标有三个，，．
（3）存在．满足条件的点Q的坐标有4个．，，，．
理由如下：
①如图，若AC是四边形的边．
当时，
∴拋物线的对称轴与直线AB相交于点．
过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点，，
∵，，
∴，，．
∵，
∴．
∴．
∴点与点D重合．
当时，四边形是矩形．
∵向右平移1个单位，向上平移1个单位得到．
∴向右平移1个单位，向上平移1个单位得到．
此时直线的解析式为．
∵直线与平行且过点，
∴直线的解析式为．
∵点是直线与拋物线的交点，
∴．
解得，（舍去）．
∴．当时，四边形是矩形．
∵向左平移3个单位，向上平移3个单位得到．
∴向左平移3个单位，向上平移3个单位得到．
②如图，若AC是四边形的对角线，
当时．过点作轴，垂足为H，过点C作，垂足为K．
可得，．
∴．
∴．
∴．
∵点P不与点A，C重合，
∴和．
∴．
∴．
∴如图，满足条件的点P有两个．即，．
当时，四边形是矩形．
∵向左平移个单位，向下平移个单位得到．
∴向左平移个单位，向下平移个单位得到．
当时，四边形是矩形．
∵向右平移个单位，向上平移个单位得到．
∴向右平移个单位，向上平移个单位得到．
综上，满足条件的点Q的坐标为或或或．
1．（2024 雁塔区校级开学）如图，抛物线l：y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线l′，l′与原抛物线相交于点M，点H为平面直角坐标系内一点，原抛物线对称轴上是否存在一点N，使以点A，M，N，H为顶点的四边形是以AM为边的矩形？若存在，请求出点N、点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设顶点式y＝a（x+3）（x﹣1），展开得﹣3a＝3，解方程求出a即可得到抛物线解析式；
（2）先通过勾股定理求出N点的坐标，再由矩形对角线的性质，直接计算H的坐标．
【解答】（1）解：设抛物线解析式为y＝ax2+bx+3＝a（x+3）（x﹣1），
即y＝ax2+2ax﹣3a，
∴﹣3a＝3，解得a＝﹣1，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）在平面直角坐标系中存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形是以AM为边的矩形，
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线l：y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴为直线x＝﹣1，
由平移可求得平移后函数解析式为y＝﹣（x+3+2）（x﹣1+2）＝﹣x2﹣6x﹣5，与原函数交点M（﹣2，3）；
①以AM为边，作MN1⊥AM交对称轴于N1，可构造矩形AMN1H1，如图2，
设N1（﹣1，y1），
∴AM2＝（2﹣1）2+32＝10，[（﹣1）﹣（﹣2）]2+（y1﹣3）2，[（﹣1）﹣（﹣3）]2+（y1﹣0）2，
∵AM2，
∴10+[（﹣1）﹣（﹣2）]2+（y1﹣3）2＝[（﹣1）﹣（﹣3）]2+（y1﹣0）2，
解得y1，即N1（﹣1，），
此时设H1（p1，q1），由A、M、N1、H1四点的相对位置关系可得：，
解得：，
∴H1（﹣2，）；
②同理，以AM为边，作MN2⊥AM交对称轴于N2，可构造矩形AMH2N2，如图2，
设N2（﹣1，y2），
∵AM2，
∴10+[（﹣1）﹣（﹣3）]2+（y2﹣0）2＝[（﹣1）﹣（﹣2）]2+（y2﹣3）2，
解得y2，即N2（﹣1，），
此时设H2（p2，q2），由A、M、N2、H2四点的相对位置关系可得：，
解得：，
∴H2（0，）；
综上所述，点N的坐标为（﹣1，）或（﹣1，），点H的坐标为（﹣2，）或（0，）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象和性质，矩形性质等知识点，熟练掌握相关知识并灵活运用方程思想，数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．
2．（2023 西和县二模）如图，抛物线与坐标轴相交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，点D为直线AB下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G；DG交直线AB于点E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求ED的最大值；
（3）过点B的直线y＝﹣2x+8交y轴于点C，交直线DG于点F，H是y轴上一点，当四边形BEHF是矩形时，求点H的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解抛物线的函数表达式；
（2）利用待定系数法求出直线AB的解析式为，设点D的坐标是，则点E的坐标是，得到ED，根据二次函数的性质即可得到ED的最大值；
（3）先求出OC＝8，得到AC＝OA+OC＝10，根据四边形BEHF是矩形，得到EH∥BF，EH＝BF，则∠HEA＝∠FBE，由DF∥y轴得到∠HAE＝∠FEB，∠HCF＝∠EFB，则△HAE≌△FEB（AAS），HA＝FE，同理可得△CHF≌△FEB（AAS），HC＝FE，则，得到HO＝3，得到点H的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线与坐标轴相交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+d，把A（0，﹣2），B（4，0）代入得，
，
解得，
∴直线AB的解析式为，
设点D的坐标是，则点E的坐标是，
∴，
∴当m＝2时，ED的最大值是2；
（3）过点B的直线y＝﹣2x+8交y轴于点C，
当x＝0时，y＝8，
∴点C的坐标为（0，8），
∴OC＝8，
∴AC＝OA+OC＝10，
∵四边形BEHF是矩形，
∴EH∥BF，EH＝BF，
∴∠HEA＝∠FBE，
∵过点D作x轴的垂线，垂足为G，
∴DF∥y轴，
∴∠HAE＝∠FEB，∠HCF＝∠EFB，
∴△HAE≌△FEB（AAS），
∴HA＝FE，
∵HF∥BE，HF＝BE，
∴∠CFH＝∠FBE，
∴△CHF≌△FEB（AAS）
∴HC＝FE，
∴，
∴HO＝3，
∴点H的坐标是（0，3）．
【点评】此题考查了二次函数图象和性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质，数形结合和准确计算是解题的关键．
3．（2022 仓山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l：yx与x轴交于点A，经过点A的抛物线y＝ax2﹣3x+c的对称轴是直线x．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PEPF，求证PE⊥PF．
（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使得四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出A（4，0），将点A代入抛物线解析式，再由对称轴是，求解函数解析式即可；
（2）设P（3a，a），则PC＝3a，PB＝a，由题意可得，则∠FPC＝∠EPB，再证明∠FPC+∠CPE＝90°，即可得到FP⊥PE；
（3）分两种情况讨论：①点E在点B的左侧时，设E（a，0），可求F（0，20﹣3a），由矩形的性质可得，求Q点坐标再代入函数解析式即可求解；②当点E在点B的右侧时，设E（a，0），可求F（0，20﹣3a），求Q点坐标再代入函数解析式即可求解；
【解答】（1）解：当y＝0时，，
解得x＝4，
∴A（4，0），
∵抛物线过点A，对称轴是，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4；
（2）证明：∵平移直线l经过原点O，得到直线m，
∴直线m的解析式为，
∵点P是直线1上任意一点，
∴设P（3a，a），则PC＝3a，PB＝a，
又∵PE＝3PF，
∴，
∴∠FPC＝∠EPB，
∵∠CPE+∠EPB＝90°，
∴∠FPC+∠CPE＝90°，
∴FP⊥PE；
（3）解：存在点Q，使得四边形PEQF是矩形，理由如下：
如图1，点E在点B的左侧时，设E（a，0），
∴BE＝6﹣a，
∵CF＝3BE＝18﹣3a，
∴OF＝20﹣3a，
∴F（0，20﹣3a），
∵PEQF为矩形，
∴，
∴Qx+6＝0+a，Qy+2＝20﹣3a+0，
∴Qx＝a﹣6，Qy＝18﹣3a，
∴Q（a﹣6，18﹣3a），
∴18﹣3a＝（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，
解得：a＝4或a＝8（舍去），
∴Q（﹣2，6）；
如图2：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），
∴BE＝a﹣6，
∵CF＝3BE＝3a﹣18，
∴OF＝3a﹣20，
∴F（0，20﹣3a），
∵PEQF为矩形，
∴，
∴Qx+6＝0+a，Qy+2＝20﹣3a+0，
∴Qx＝a﹣6，Qy＝18﹣3a，
∴Q（a﹣6，18﹣3a），
∴18﹣3a＝（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，
解得：a＝8或a＝4（舍去），
∴Q（2，﹣6）；
综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，矩形的判定及性质，分类讨论是解题的关键．
4．（2023秋 天桥区期末）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）P是抛物线上，位于直线AC上方的一个动点，过点P作PD⊥AC于点D，求P坐标为何值时PD最大，并求出最大值；
（3）如图②，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y'，y'与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设顶点式y＝a（x+3）（x﹣1），展开得﹣3a＝3，解方程求出a即可得到抛物线解析式；
（2）根据题意推出等腰三角形，利用等腰直角三角形的性质，推出PD的表达式，利用二次函数的性质求最值即可；
（3）先通过勾股定理求出N点的坐标，再由矩形对角线的性质，直接计算H的坐标．
【解答】（1）解：设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
即y＝ax2+2ax﹣3a，
∴﹣3a＝3，解得a＝﹣1，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）令x＝0得：y＝3，
∴C点的坐标为C（0.3），
∴△OAC为等腰直角三角形，∠CAO＝45°，
设AC的解析式为yAC＝kx+b，将A（﹣3，0）与C（0.3）代入得：
，
∴yAC＝x+3，
过P点作PM∥y轴交AC于点M，
∴设P（m，﹣m2﹣2m+3），则M（m，m+3），PM＝﹣m2﹣3m，其中﹣3＜m＜0，
由题可知，△PMD为等腰直角三角形，
∴PDPM（﹣m2﹣3m）（m），
由二次函数的性质可得，当m时，PD有最大值为，
∴P点纵坐标为：﹣（）2﹣2×（）+3，
∴此时P点坐标为（，）；
∴P坐标为（，）时PD最大，最大值为；
（3）在平面直角坐标系中存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形；理由如下：
由平移可求得平移后函数解析式为y＝﹣（x+3+2）（x﹣1+2）＝﹣x2﹣6x﹣5，与原函数交点M（﹣2，3）；
①以AM为边，作MN1⊥AM交对称轴于N1，可构造矩形AMN1H1，如图2，
设N1（﹣1，y1），
∴AM2＝10，[（﹣1）﹣（﹣2）]2+（y1﹣3）2，[（﹣1）﹣（﹣3）]2+（y1﹣0）2，
∵AM2，
∴10+[（﹣1）﹣（﹣2）]2+（y1﹣3）2＝[（﹣1）﹣（﹣3）]2+（y1﹣0）2，
解得y1，即N1（﹣1，），
此时设H1（p1，q1），由A、M、N1、H1四点的相对位置关系可得：
，
解得：，
∴H1（﹣2，）；
②同理，以AM为边，作MN2⊥AM交对称轴于N2，可构造矩形AMH2N2，如图2，
设N2（﹣1，y2），
∵AM2，
∴10+[（﹣1）﹣（﹣3）]2+（y2﹣0）2＝[（﹣1）﹣（﹣2）]2+（y2﹣3）2，
解得y2，即N2（﹣1，），
此时设H2（p2，q2），由A、M、N2、H2四点的相对位置关系可得：
，
解得：，
∴H2（0，）；
③以AM为对角线，作MN3⊥AN3交对称轴于N3，可构造矩形AN3MH3，如图3，
设N3（﹣1，y3），
∵AM2，
∴10＝[（﹣1）﹣（﹣3）]2+（y3﹣0）2+[（﹣1）﹣（﹣2）]2+（y3﹣3）2，
解得y3＝1，y4＝2，即N3（﹣1，1），N4（﹣1，2），
此时设H3（p3，q3），由A、M、N3、H3四点的相对位置关系可得：
，
解得：，
∴H3（﹣4，2）；
设H4（p4，q4），由A、M、N4、H4四点的相对位置关系可得：
，
解得：，
∴H4（﹣4，1）．
综上所述，点H的坐标为（﹣2，）或（0，）或（﹣4，2）或（﹣4，1）．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，三角函数定义，用函数法求线段和最值问题，二次函数图象和性质，矩形性质等知识点，是一道关于二次函数综合题和压轴题，综合性强，难度较大；熟练掌握相关知识并灵活运用方程思想，数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．
5．（2023 通榆县二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c（b、c为常数）经过点A（﹣1，0）和点B（0，5），点P在此抛物线上，其横坐标为m．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点P在x轴下方时，直接写出m的取值范围；
（3）当点P在y轴右侧时，将抛物线B、P两点之间的部分（包括B、P两点）记为图象G，设图象G上最高点与最低点的纵坐标的差为h．
①求h与m之间的函数关系式；
②点Q在此抛物线的对称轴上，点D在坐标平面内，当h＝16时，以B、P、Q、D为顶点的四边形为矩形，且BP为矩形的一边，直接写出点Q的坐标．
【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c之中得到关于b，c的方程组，解方程组求出b，c即可得到抛物线的解析式；
（2）先求出抛物线与x轴的两个交点A（﹣1，0），C（5，0），再根据抛物线的开口向下可得出当点P在x轴下方的抛物线上时，m的取值范围；
（3）①先求出抛物线的点为（2，9），对称轴为x＝2，点P（m，﹣m2+4m+5），分两种情况进行讨论：（ⅰ）当点P在y轴右侧，对称轴右侧时，即0≤m≤2，点B为最低点，点P为最高点，据此可求出h与m之间的函数关系式；（ⅱ）当点P在对称轴的右侧时，即m＞2，此时最高点为抛物线的顶点，最低点为P点，据此可求出h与m之间的函数关系式；
②由①可知当h＝16时，m＞2，据此可求出点P（6，﹣7），再求出直线PB的解析式为y＝﹣2x+5，分两种情况进行讨论：（ⅰ）当点Q在x轴上方时，先求出BQ的解析式，再根据点Q在抛物线的对称轴上可求出点Q的坐标；（ⅱ）当点Q在x轴的下方时，先求出PQ的解析式为，再根据点Q在抛物线的对称轴上可求出点Q的坐标．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5，
（2）对于y＝﹣x2+4x+5，当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝5，
∴抛物线与x轴的两个交点A（﹣1，0），C（5，0），
又∵抛物线的开口向下，
∴当点P在x轴下方的抛物线上时，m的取值范围是：m＜﹣1或m＞5．
（3）①∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴抛物线的点为（2，9），对称轴为x＝2，
∵点P在y轴右侧的抛物线上，且横坐标为m，
∴点P的坐标为（m，﹣m2+4m+5），
分两种情况讨论如下：
（ⅰ）当点P在y轴右侧时，即：0≤m≤2，
∴点B为最低点，点P为最高点，
∴h＝﹣m2+4m+5﹣5＝﹣m2+4m，其中0≤m≤2，
（ⅱ）当点P在对称轴的右侧时，即：m＞2，
此时最高点为抛物线的顶点，最低点为P点，
∴h＝9﹣（﹣m2+4m+5）＝m2﹣4m+4，其中2＜m≤5，
综上所述：h与m之间的函数关系式是：，
②点Q的坐标为：（2，6）或（2，﹣9）．
理由如下：
由①可知：当h＝16时，m＞2，
∴m2﹣4m+4＝16，解得：m1＝6，m2＝﹣2（不合题意，舍去），
当m＝6时，﹣m2+4m+5＝﹣7，
∴点P的坐标为（6，﹣7），
设直线PB的解析式为：y＝kx+t，
将点B（0，5），P（6，﹣7）代入y＝kx+t，
得：，解得：，
∴直线PB的解析式为：y＝﹣2x+5，
∵以B、P、Q、D为顶点的四边形为矩形，且BP为矩形的一边，
∴有以下两种情况：
（ⅰ）当点Q在x轴上方时，设BQ的解析式为：y＝k1x+t1，
∵BQ⊥PB，
∴，
∴BQ的解析式为：，
将点B（0，5）代入得：t1＝5，
∴BQ的解析式为：，
∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴点Q的横坐标为2，
∴当x＝2是，，
此时点Q的坐标为（2，6），
（ⅱ）当点Q在x轴的下方时，设PQ的解析式为：y＝k2x+t2，
同理：PQ的解析式为：，
将点P（6，﹣7）代入得：t2＝﹣10，
∴PQ的解析式为：，
当x＝2时，，
此时点Q的坐标为（2，﹣9）．
综上所述：点Q的坐标为（2，6）或（2，﹣9）．
【点评】此题主要考查了求二次函数的解析式，顶点坐标、对称轴，矩形的性质等，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式，以及求二次函数顶点坐标、对称轴的方法，理解矩形的四个角都是直角，难点是分类讨论思想在解题中的应用．
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【能力培优】浙教版数学九年级上册重难点与压轴题专题对点突破
重难点04 二次函数综合之矩形的存在性
三层巩固强化：知识梳理 + 经典例题 + 强化练习
在中考数学中，矩形的存在性问题常在动点和函数与几何综合题中考查，函数型综合题中矩形存在性问题，需要通过“代数语言”与“几何语言”的相互转化，渗透数形结合思想；用代数方法研究几何图形的性质，借助几何直观得到代数问题的解答．这一类压轴题的特点是以函数为载体，融合几何中很多知识点、思想方法，对思维要求高，是在平行四边形存在性问题的基础上，把矩形的存在性问题转化为直角三角形存在性问题解决。我们应该力求通过一道模考题的讲解和变化，力求由一道题解决一类题。
一、关于矩形的基础知识
1、什么是矩形？
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形就是在平行四边形的基础上增加一个角是直角这个比较特殊的条件.
2、矩形具有哪些性质？
矩形具有平行四边形的所有性质；
矩形的对角线相等；
矩形的四个角都是直角；
矩形是轴对称图形，有两条对称轴.
注：（1）矩形是特殊的平行四边形，也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分；
（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）；
（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.
3、矩形的判定方法
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；
对角线相等的平行四边形是矩形；
有三个角是直角的四边形是矩形.
二、矩形存在性问题的解题策略
1、在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形，因此，在坐标系中，若AC为矩形ABCD的对角线，则此矩形应满足如下的等式：
；
2、矩形除了可以由平行四边形得到之外，还可以看成是由两个直角三角形组成的，如图所示：
在此基础上，要善于利用直角三角形的性质：
（1）两个锐角互余；
（2）三边平方的等量关系（勾股定理）；
（3）斜边上的中线等于斜边的一半.
三、典例讲解
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线与轴负半轴交于点C，与抛物线另一个交点为D，且.
（1）直接写出点A的坐标，并求出直线的函数表达式（其中，k、b用含的式子表示）；
（2）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以A、D、P、Q为顶点的四边形能否成矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由.
【解答】，；（2），.
【解析】（1），
令，解得，，
直线经过点A，，即，，
令，整理得，
，点D的横坐标为4，
直线的函数表达式为；
（2）令，即，解得，，
，抛物线的对称轴为，设，
①若AD是矩形的一条边，则，则，
四边形ADPQ是矩形，，
，即，
即，；
②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为，
，，
四边形APDQ是矩形，
，即，
综上，当点P的坐标为或时，以A、D、P、Q为顶点的四边形能成为一个矩形.
（2022·贵州黔西·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得四边形为矩形
如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线AB与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的表达式；
(2)M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标；
(3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
1．（2024 雁塔区校级开学）如图，抛物线l：y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线l′，l′与原抛物线相交于点M，点H为平面直角坐标系内一点，原抛物线对称轴上是否存在一点N，使以点A，M，N，H为顶点的四边形是以AM为边的矩形？若存在，请求出点N、点H的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2023 西和县二模）如图，抛物线与坐标轴相交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，点D为直线AB下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G；DG交直线AB于点E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求ED的最大值；
（3）过点B的直线y＝﹣2x+8交y轴于点C，交直线DG于点F，H是y轴上一点，当四边形BEHF是矩形时，求点H的坐标．
3．（2022 仓山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l：yx与x轴交于点A，经过点A的抛物线y＝ax2﹣3x+c的对称轴是直线x．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PEPF，求证PE⊥PF．
（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使得四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．
4．（2023秋 天桥区期末）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）P是抛物线上，位于直线AC上方的一个动点，过点P作PD⊥AC于点D，求P坐标为何值时PD最大，并求出最大值；
（3）如图②，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y'，y'与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2023 通榆县二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c（b、c为常数）经过点A（﹣1，0）和点B（0，5），点P在此抛物线上，其横坐标为m．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点P在x轴下方时，直接写出m的取值范围；
（3）当点P在y轴右侧时，将抛物线B、P两点之间的部分（包括B、P两点）记为图象G，设图象G上最高点与最低点的纵坐标的差为h．
①求h与m之间的函数关系式；
②点Q在此抛物线的对称轴上，点D在坐标平面内，当h＝16时，以B、P、Q、D为顶点的四边形为矩形，且BP为矩形的一边，直接写出点Q的坐标．
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