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【能力培优】浙教版数学九年级上册重难点与压轴题专题对点突破
重难点06 四点共圆模型
三层巩固强化：知识梳理 + 经典例题 + 强化练习
四点共圆模型是几何学中的一个经典问题，它广泛应用于解与圆有关的问题．与圆有关的问题变化多,解法灵活,综合性强,因而历来是考试和竞赛的热点。在解题中,如果图形中蕴含着某四点在同一个圆上，或根据需要作出辅助圆使四点共圆，利用圆的有关性质定理，则会使复杂问题变得简单，从而使问题得到解决。因此,掌握四点共圆的方法很重要.
一、定点定长共圆模型
如图，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD，
结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。
二、定边对双直角共圆模型
定边对双直角模型（同侧型）：若平面上A、B、C、D四个点满足，
结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。
定边对双直角模型（异侧型）：若平面上A、B、C、D四个点满足，
结论：A、B、C、D四点共圆，其中AC为直径。
三、定边对定角共圆模型
如图，平面上A、B、C、D四个点满足，
结论：A、B、C、D四点共圆．
如图，AC、BD交于H，，
结论：四点共圆.
四、对角互补共圆模型
如图，平面上A、B、C、D四个点满足，
结论：A、B、C、D四点共圆．
如图，BA、CD的延长线交于P，，
结论：A、B、C、D四点共圆.
（2021·浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点A，D，F，E四点共圆，∠DFE=90°，然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE的长度，从而求解．
【详解】解：连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB
∵在中，，点G是DE的中点，∴AG=DG=EG
又∵AG=FG∴点A，D，F，E四点共圆，且DE是圆的直径∴∠DFE=90°
∵在Rt△ABC中，AB=AC=5，点是BC的中点，∴CF=BF=，FN=FM=
又∵FN⊥AC，FM⊥AB，∴四边形NAMF是正方形∴AN=AM=FN=
又∵，∴
∴△NFD≌△MFE∴ME=DN=AN-AD=∴AE=AM+ME=3
∴在Rt△DAE中，DE=故选：A．
（2021·湖北鄂州·统考中考真题）如图，四边形中，，，于点．若，，则线段的长为 ．
【答案】
【详解】如图，设交于点F，过C作，
在以为直径的圆上
，
，
在和中
=
，
1．（2023·陕西·九年级专题练习）如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为（ ）
A．68° B．88° C．90° D．112°
【答案】B
【详解】试题分析：本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC=∠ACB，再求出∠CBD，然后根据∠ABD=∠ABC﹣∠CBD计算即可得解．如图，∵AB=AC=AD， ∴点B、C、D在以点A为圆心， 以AB的长为半径的圆上； ∵∠CBD=2∠BDC，
∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC， ∴∠CAD=2∠BAC，而∠BAC=44°， ∴∠CAD=88°，
2．（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在中，，于点F，于点E，交于点O，点D是的中点，连接，，，下列结论：①；②；③；④；⑤为等边三角形．正确结论个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】求解，可得，，即，故①符合题意；证明，可得，故②符合题意；证明，故④符合题意；证明， 可得为等边三角形．故⑤符合题意；证明在以为圆心，为半径的圆上，可得，，，故③不符合题意；从而可得答案．
【详解】解：∵，， ∴，
∵， ∴，
∴，，∴，故①符合题意；
∵，∴，∴，故②符合题意；
∵点D是的中点，，∴，故④符合题意；
∴，，
∵， ，
∴，
∴， ∴为等边三角形．故⑤符合题意；
∵点D是的中点，，∴，
∴在以为圆心，为半径的圆上，∴，，
∴，故③不符合题意；故选C
3．（2023下·湖北恩施·九年级校考阶段练习）如图，在中，，点是边上一动点，过点作交的延长线于，若，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点作于，推出，根据相似三角形的性质得到，当时，有最大值，根据勾股定理得到，由垂径定理得到，求得，即可得到结论．
【详解】解：如图1，过点作于，
，，，，
，，，，四点共圆，
设的中点为，连接，当时，有最大值，
如图2，当点是中点时，，为定值，
的值最大，的值最大，此时，，共线．
，，
，
，
，
，
，
，
，
的最大值为．
故选：B．
4．（2023秋·广东广州·九年级广东实验中学校考期末）如图，在菱形中，，点E、F分别在上，且，连接与相交于点G，连接与相交于点H．
①若，则 ；
②若，则四边形的面积最大值为 ．
【答案】 / /
【分析】（1）证明点G是的重心，可得结论；
（2）由为等边三角形，故可得出的度数，再由菱形的性质求出的度数，由三角形外角的性质得出点B、C、D、G四点共圆，推出是直径时，四边形面积最大．
【详解】解：（1）∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∵，，
∴，
∴点G是的重心，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）∵为等边三角形．
∴．
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点B、C、D、G四点共圆，
∴当是直径时，四边形的面积最大，
最大面积为．
故答案为：．
5．（2023·河南周口·一模）请阅读以下材料，完成相应任务．
我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论：
如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）．
已知：如图1，点，是线段同侧两点，且．
求证：点，，，四点共圆．
证明：作的外接圆，假设点在外或在内．
如图2，若点在外．设与交于点，连接，
则（依据一），
又（依据二），
．
．这与已知条件“”矛盾，故点在外不成立；
如图3，若点在内，
（请同学们补充完整省略的部分证明过程）
综上所述，作的外接圆，点在上，即点，，，四点共圆．
(1)填空：将材料中依据一、依据二补充完整；
依据一： ；
依据二： ．
(2)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(3)填空：如图4，在四边形中，，对角线，交于点，为中点，若，，则 ．
【答案】(1)同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由圆周角定理和三角形的外角性质即可得出结论；
（2）作的外接圆，假设点在外或在内．由反证法、圆周角定理以及三角形的外角性质即可得出结论；
（3）证点，，，四点共圆，再由相似三角形得，然后由为中点，得，即可解决问题．
【详解】（1）解：依据一：同弧所对的圆周角相等；
依据二：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；
故答案为：同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；
（2）如图3，若点在内，延长与交于点，连接，
则，
又，
．
．
这与已知条件“”矛盾，故点在内不成立；
（3），
点，，，四点共圆，
∵，
∴，
∴，
，
为中点，
，
，，
，
，
解得：（负值已舍去），
故答案为：．
6．（2024·江西宜春·模拟预测）【课本再现】“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的一条重要性质定理．如图1，在中，，点D是的中点．求证：．
下面是两位同学两种添加辅助线的方法：
小明：如图2，延长至点E，使，连接；
小华：如图3，取的中点E，连接；
（1）请你选择其中一位同学的方法完成证明，聪明的你也可以利用图1用其他方法完成证明．
【迁移应用】（2）如图4，中，是高，求证：B，C，D，E四点共圆．
【拓展提升】（3）如图5，在五边形中，，，F为的中点，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）小明的方法：先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是矩形，利用矩形的性质得出结论即可；小华的方法：根据三角形的中位线定理，推出垂直平分，进而得出结论即可；其他方法：分别取的中点E，的中点F，连接，利用三角形的中位线定理和矩形的判定和性质，即可得出结论；
（2）取边的中点O，连接，利用斜边上的中线，推出，即可得证；
（3）取的中点M，AD的中点N，连接，利用斜边上的中线，三角形的中位线定理，证明，即可得出结论．
【详解】（1）解：若选择小明的方法：如图2，延长至点E，使，连接，
又∵点D是的中点，即，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴；
若选择小华的方法：如图3，取的中点E，连接，
又∵点D是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴．
其他方法：如图1，分别取的中点E，的中点F，连接，
又∵点D是的中点，
∴是的中位线，
∴，，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
（2）证明：如图4，取边的中点O，连接，
∵是的高，
∴，
又∵O是边的中点，
∴，，
∴，
∴B，C，D，E四点在以点O为圆心，为直径的同一个圆上．
（3）如图，取的中点M，的中点N，连接．
∵，
∴根据直角三角形斜边上中线的性质及中位线的性质，
可得：，，，，
∴．
∵，
∴，
∴．
同理可证．
又∵，
∴
∴，即，
∴（），
∴．
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【能力培优】浙教版数学九年级上册重难点与压轴题专题对点突破
重难点06 四点共圆模型
三层巩固强化：知识梳理 + 经典例题 + 强化练习
四点共圆模型是几何学中的一个经典问题，它广泛应用于解与圆有关的问题．与圆有关的问题变化多,解法灵活,综合性强,因而历来是考试和竞赛的热点。在解题中,如果图形中蕴含着某四点在同一个圆上，或根据需要作出辅助圆使四点共圆，利用圆的有关性质定理，则会使复杂问题变得简单，从而使问题得到解决。因此,掌握四点共圆的方法很重要.
一、定点定长共圆模型
如图，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD，
结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。
二、定边对双直角共圆模型
定边对双直角模型（同侧型）：若平面上A、B、C、D四个点满足，
结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。
定边对双直角模型（异侧型）：若平面上A、B、C、D四个点满足，
结论：A、B、C、D四点共圆，其中AC为直径。
三、定边对定角共圆模型
如图，平面上A、B、C、D四个点满足，
结论：A、B、C、D四点共圆．
如图，AC、BD交于H，，
结论：四点共圆.
四、对角互补共圆模型
如图，平面上A、B、C、D四个点满足，
结论：A、B、C、D四点共圆．
如图，BA、CD的延长线交于P，，
结论：A、B、C、D四点共圆.
（2021·浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（ ）
A． B． C． D．4
（2021·湖北鄂州·统考中考真题）如图，四边形中，，，于点．若，，则线段的长为 ．
1．（2023·陕西·九年级专题练习）如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为（ ）
A．68° B．88° C．90° D．112°
2．（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在中，，于点F，于点E，交于点O，点D是的中点，连接，，，下列结论：①；②；③；④；⑤为等边三角形．正确结论个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2023下·湖北恩施·九年级校考阶段练习）如图，在中，，点是边上一动点，过点作交的延长线于，若，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·广东广州·九年级广东实验中学校考期末）如图，在菱形中，，点E、F分别在上，且，连接与相交于点G，连接与相交于点H．
①若，则 ；
②若，则四边形的面积最大值为 ．
5．（2023·河南周口·一模）请阅读以下材料，完成相应任务．
我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论：
如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）．
已知：如图1，点，是线段同侧两点，且．
求证：点，，，四点共圆．
证明：作的外接圆，假设点在外或在内．
如图2，若点在外．设与交于点，连接，
则（依据一），
又（依据二），
．
．这与已知条件“”矛盾，故点在外不成立；
如图3，若点在内，
（请同学们补充完整省略的部分证明过程）
综上所述，作的外接圆，点在上，即点，，，四点共圆．
(1)填空：将材料中依据一、依据二补充完整；
依据一： ；
依据二： ．
(2)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(3)填空：如图4，在四边形中，，对角线，交于点，为中点，若，，则 ．
6．（2024·江西宜春·模拟预测）【课本再现】“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的一条重要性质定理．如图1，在中，，点D是的中点．求证：．
下面是两位同学两种添加辅助线的方法：
小明：如图2，延长至点E，使，连接；
小华：如图3，取的中点E，连接；
（1）请你选择其中一位同学的方法完成证明，聪明的你也可以利用图1用其他方法完成证明．
【迁移应用】（2）如图4，中，是高，求证：B，C，D，E四点共圆．
【拓展提升】（3）如图5，在五边形中，，，F为的中点，求证：．
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