2.8 《直角三角形全等的判定》小节复习题（含解析）初中数学浙教版（2024）八年级上册

2.8 《直角三角形全等的判定》小节复习题
【题型1 添加条件使三角形全等】
1.如图，已知，垂足为点O，，要根据“”证明，还需要添加的一个条件是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，中，于O，若要根据“”判定，还需要添加条件 ．
3.如图，为的高，E为上一点，交于点F，且有，，要证明需要的判定方法是（ ）
A． B． C． D．
4.如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边”直接证明，则还需补充条件： ．
【题型2 证明直角三角形全等】
1.如图，在四边形中，，连接，点为的中点，连接，，求证：．
2.如图，在中，D为的中点，，，点E、F为垂足，且．求证：．
3.如图，分别是、上的点，分别是上的点，若、，求证：．
4.如图，在中，，平分，于C，且，．求证：．
【题型3 利用HL及全等的性质求线段长度】
1.如图，在中，，平分交于点D，过点D作于点E．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
2.如图，，，点、、、分别在直线与上，点在上，，，，则 ．
3.如图，中，，平分交于点D，E为线段上一点，连接，且．若，，则的长为 ；
4.如图，已知，，与相交于点，过点作，垂足为．
(1)求证：；
(2)若，，求的值并说明理由．
【题型4 利用HL及全等的性质求角度】
1.如图，小明和小芳以相同的速度分别同时从点A，B出发，小明沿行走，小芳沿行走，两人分别同时到达，点C，D，若．
(1)与相等吗？为什么？
(2)若，求的度数．
2.如图，在中，，，点在上，点在的延长线上，，若，则（ ）
A． B． C． D．
3.如图，在四边形中，是它的对角线，，若平分，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4.如图所示，中，，直线经过点A，，，垂足分别是点D，E，且．
(1)求证：；
(2)求的度数．
【题型5 利用HL及全等的性质证明线段相等】
1.如图，点，分别在的边，上，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，于点．求证：．
2.如图中，，过C作，使，在上取一点E，连接，且．求证：
3.如图，在和中，，，相交于点G，点B、E、C、F在同一条直线上，且，求证：．
4.如图，已知于点于点，且，连接交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【题型6 利用HL及全等的性质证明角度相等】
1.如图，已知、分别是两个钝角和的高，已知，．求证：．
2.如图，，，，垂足分别为，，．求证：．
3.如图，中，，F为延长线上一点，点E在上，且；
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
4.如图，于点D，于，交于，,求证：
【题型7 利用HL及全等的性质证明线段间的数量关系】
1.如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，，试证明：
(1)．
(2)．
2.如图，点C，D均在线段上，且，分别过点C，D 在 的异侧作，连接交于点G，．
(1)求证：．
(2)求证：G是线段的中点．
3.如图，在中，是的中点，且，将线段沿所在直线翻折，得到线段，作交直线于点．
(1)依题意补全图形；
(2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
4.将两个全等的和按图1方式摆放，其中，点E落在AB上，DE所在直线交直线AC于点F．
（1）求证：；
（2）若将图1中绕点B按顺时针方向旋转到图2位置，其他条件不变（如图2），请写出此时AF、EF与DE之间的关系，并加以证明．
【题型8 利用HL及全等的性质证明线段间的位置关系】
1.如图，在中，，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线，，垂足分别为E，F，．求证：
(1)；
(2)与有怎样的位置关系？请说明理由．
2.已知：如图，，，，垂足分别为，，且．求证：．
3.已知：如图，是的高，是上一点，，，求证：
(1)．
(2)．
4.如图，四边形中，，，，，与相交于点．判断线段与的位置关系，并说明理由．
参考答案
【题型1 添加条件使三角形全等】
1.D
【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据为两条斜边和一组直角边对应相等的直角三角形全等，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴当时，；
故选D．
2.
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据“斜边直角边”的理解可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
当时，
在 和中，
，
，
故答案为： ．
3.A
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定.
根据是三角形的高，得到，故可根据可以判定．
【详解】解：∵是三角形的高，
∴，
∵，，
∴（），
故选A．
4.
【分析】由，，即可推出，于是得到答案．本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法．
【详解】证明：在和中，
，
∴．
故答案为：．
【题型2 证明直角三角形全等】
1.证明：∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴．
2.证明：，，点E、F为垂足，
，
和均为直角三角形．
为的中点，
．
在和中，
．
3.证明：、，
在和中，
，
4.证明：∵，平分，
∴，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
【题型3 利用HL及全等的性质求线段长度】
1.（1）证明：∵平分，，，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：在中，，
∴．
2.解：，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
故答案为：9．
3.2
【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据求解即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
4.（1）证明：∵，
∴与都是直角三角形，
在和中，
，
；
（2）解：∵，
∴，
∵是的外角，
∴
∴，
∵，
∴．
【题型4 利用HL及全等的性质求角度】
1.（1），理由如下：
∵小明和小芳以相同的速度分别同时从点A，B出发，两人分别同时到达，
，
，
在和中，
，
，
；
（2），
，
又，
．
2.C
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，首先根据，，可得：，，利用可证，根据全等三角形对应角相等可得：，从而可得：．
【详解】解： ，，
，，
在和中，，
，
，
．
故选：C．
3.B
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是关键．过点作，垂足分别为，证明，即可得到答案．
【详解】解：过点作，垂足分别为，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B
4.（1）解：证明： ，，
，
在和中
；
（2）解：，
∴，
，
，
∴，
，
∴，
，
．
【题型5 利用HL及全等的性质证明线段相等】
1.证明：如图所示，连接，，
垂直平分，
，
，，平分，
，，
，
．
2.证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
3.证明：，
，
即，
在和中，，，
，
，
．
4.（1）证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴．
∴．
【题型6 利用HL及全等的性质证明角度相等】
1.证明：、分别是两个钝角和的高，
且，，
，
，
，
．
2.证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
3.（1）证明：，
，
在与中，
，
∴
；
（2）解：，，
，
，
，
由（1）可知，，
，
，
即的度数为．
4.证明：于，于，
，
∵，
，
，
，
，
．
【题型7 利用HL及全等的性质证明线段间的数量关系】
1.（1）证明：∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
2.（1）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）∵，，，
∴，
∴，
即G是线段的中点．
3.（1）补全图形如图所示：
（2），理由如下：
如图，连接，并延长交于点，过点作于，于，
，
，
是的中点，
，
又，
，
，，
将线段沿所在直线翻折，
，
又，，
，
，，
又，
，
，
，
．
4.证明：（1）如图，连接BF，
∵
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴．
（2）线段AF、EF与DE之间的关系为：．理由如下：
如图，连接BF，
由旋转和全等可知：，，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴．
【题型8 利用HL及全等的性质证明线段间的位置关系】
1.（1）证明：∵于E点，于F点
∴在与中
∴
∴；
（2），理由如下：
在直角三角形中，
∴
∴
∵E、C，F三点共线
∴
∴．
2.证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
3.（1）证明： 是的高，
，
在和中，
，
，
；
（2）如图，延长与交于点，
，，
，
又，
，
，
，
．
4.解：．
理由如下：
∵，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．