第二章《特殊三角形》单元测试卷（含解析）初中数学浙教版（2024）八年级上册

第二章《特殊三角形》单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图，在四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，连接为的中线，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到的汽车车牌的部分号码如图所示，则在该车牌的部分号码为（ ）
A．E9362 B．E9365 C．E6395 D．E6392
3．如图，在中，，．若点在边上移动，则的最小值是（ ）
A．3.6 B．4 C．4.5 D．4.8
4．如图，在中，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，的两条高，交于E，连接，，．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形是直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是等边三角形，点D、E、F在内部，点D在上，点E在上，点F在上，且，则的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
8．如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点，当取最小值时，的周长为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
9．如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形．若，则的长为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
10．如图，是等边三角形，D，E分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点F，G是上一点，且，交于点H．下列结论：；；；．其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如图，在中，，在的左侧，以为斜边作等腰直角，连接，若，则的面积为 ．
12．如图，过边长为2的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为 ．
13．如图，如果你在南京路和中山路交叉口，想去动物园（环西路与曙光路交叉口），沿街道行走的最近距离是 ．（结果保留整数）
14．如图，在中，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为 ．
15．如图，在中，，，，在上取一点E，连接，将沿翻折得到，使得点落在直线上，则的长度为 ．
16．如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转后得到，则的度数 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上，只用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．
(1)在图①中，画一格点E，使得；
(2)在图②中的上找一点H，使得．
18．（6分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域．
(1)海港受台风影响吗？为什么？
(2)若海港受台风影响，且台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？（若海港不受台风影响，则忽略此问）
19．（8分）已知一张三角形纸片（如甲图），其中．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的点E处，折痕为（如乙图），再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为（如丙图）．
(1)请直接找出丙图中除外的所有等腰三角形；
(2)请求出甲图中各角的度数．
20．（8分）如图，在中，， ，，动点P从点B出发沿射线方向以的速度运动．设运动时间为 ts．
(1)求的长度；
(2)当 为直角三角形时，求t的值；
(3)是否存在这样的t，使 为等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由
21．（10分）在中，，，作等腰，使．
(1)如图，若与互余，则 ______用含有的式子表示；
(2)如图，若与互补，过点作于点，求证：；
(3)若与的面积相等，则的度数为多少？
22．（10分）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则．
(1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理；
(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米？
23．（12分）等边中，于点H，点D为边上一动点，连接，点B关于直线的对称点为点E，连接．
(1)如图1，点E恰好落在的延长线上，则求______o；
(2)过点D作交于点G，连接交于点F．
①如图2，试判断线段和之间的数量关系，并说明理由；
②如图3，直线交于点M，连接，D点运动的过程中，当取最小值时，请直接写出线段的长度．
24．（12分）【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和是一个台阶两个相对的端点．老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到点的最短路程是多少？
【探究】
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连结，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点的最短路程的长为________．
【应用】
（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点，求蚂蚁爬行的最短距离．
【拓展】
（3）如图④，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁外壁处到内壁A处所爬行的最短路程是________．（杯壁厚度不计）
参考答案
一．选择题
1．B
【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，直角三角形的性质．解决问题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
连接，依据垂直平分线的性质可得，从而得到，根据等腰三角形“三线合一”性质，可得，所以，根据直角三角形性质可得的度数，根据轴对称的性质可得的度数．
【详解】解：连接，
∵点B关于的对称点E恰好落在上，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵为的中线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∴．
故选B．
2．C
【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
利用镜面对称的性质求解即可．
【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的图片中的数字与“E6395”成轴对称，
则该汽车的号码是E6395，
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、垂线段最短、勾股定理以及三角形的面积，作于点D，如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求出，根据垂线段最短可知：当时，最小，再利用三角形的面积求解即可．
【详解】解：作于点D，如图，
∵，，
∴，
∴，
∵当时，最小，
∴，
∴，
解得，
即的最小值是4.8．
故选：D．
4．C
【分析】根据题意由可证，得到，结合两直线平行，同旁内角互补和等边对等角可推出，从而得到是等边三角形，进而推出是等边三角形，可知，结合，由三角形外角的性质即可求得答案．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
5．D
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，余角的性质，先证明，得出，再证明，得出，根据等腰三角形的性质求出，根据，求出，即可得出答案．
【详解】解：∵的两条高，交于E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
6．A
【分析】本题主要考查了网格与勾股定理，直角三角形的判定，先利用网格与勾股定理分别求出各边长，然后按照勾股定理逆定理依次判断即可．
【详解】解：．∵，，，∴，则为直角三角形，故该选项符合题意；
．∵，，，∴，则不是直角三角形，故该选项不符合题意；
．∵，，，∴，则不是直角三角形，故该选项不符合题意；
．∵，，，∴，则不是直角三角形，故该选项不符合题意；
故选：A．
7．A
【分析】此题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定，
根据题意设，则，，然后根据等边三角形的性质得到，进而得到，即可求解．
【详解】解：∵
∴设，则，
∵是等边三角形，
∴，
∴
∴
∴
∴的形状是等腰三角形．
故选：A．
8．C
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、垂线段最短等知识．连接，过点作，交的延长线于，和交于点，当点与点重合时，取最小值，根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得，再证明是等边三角形，进而可得的值，然后计算的周长即可．
【详解】解：如下图，连接，过点作，交的延长线于，和交于点，
∵是等边三角形，点是的中点，
∴，
∴点在射线上运动，
当点与点重合时，取最小值，此时点重合，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴的周长为．
故选：C．
9．B
【分析】本题主要考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质等知识点，熟记相关性质是解题的关键．
由等边三角形的性质可得、，再根据三角形外角的性质可得，则，等腰三角形的性质可得，然后可得，同理可得，，然后根据求解即可．
【详解】解：∵是等边三角形
∴，，
∵
∴
∴，
∴，
∴
同理可得：，，
∴．
故选B．
10．B
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，正确添加辅助线构造全等三角形是解题关键． ①证明，可得， ，再结合等边三角形的性质即可判断①正确；②由，可得，即，即可判断②正确；③作的平分线交于点K，可证得是等边三角形，得出，证明，即可判断结论③正确；④由，得出．由③得，，．则．所以．，即可判断结论④错误．
【详解】解：是等边三角形，
，．
．
在和中，
，
，．
，
．
，
．
，
；故①正确．
，
，即．
，
．
，
；故②正确．
③如图，作的平分线交于点K，则，
，
．
，即．
，
．
是等边三角形．
．
在和中，
．
．
．
；故③正确．
，
，，．
由③得，，
．
．
．
．
．
．
，故④错误．
故正确的有，3个，
故选：B．
二．填空题
11．
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，过A作于H，过D作于E，过A于F，则四边形是长方形，得出，，证明，得出，，设，，则，，求出，，得出，解方程即可求解．
【详解】解∶如图，过A作于H，过D作于E，过点A作于F，
则四边形是长方形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵以为斜边作等腰直角，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
设，，则，，
∴，
∴
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
12．1
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，三线合一，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．
过作交于，由等边三角形的性质及平行线的性质可证得是等边三角形，于是可得，由三线合一可得，利用可证得，于是可得，进而可推出，于是得解．
【详解】解：如图，过作交于，
是等边三角形，
，
，
，，，
又，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
13．340
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的表达式，难度一般．
首先根据勾股定理求出的长度，然后根据含角的直角三角形解直角三角形求出的长度，求出两条到达动物园的路线，选择较近的即可．
【详解】解：如图，
，，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
则想去动物园有两条路：
①由南京路环西路动物园：；
②由中山路环西路动物园：；
线路①最近，距离为．
故答案为：340．
14．
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，理解等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
先证明，进而可依据“”判定和全等，则，再根据得，则，进而得，由此可判定是等边三角形，则，从而得是等边三角形，则，再求出即可得出的度数．
【详解】解：，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质及用勾股定理列方程是解题的关键．设，根据轴对称的性质可得，，进一步求得，根据勾股定理可求得，最后在中，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：设，
沿翻折得到，
，，
，
，
，
，
在中， ，
，
解得，
．
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理逆定理，熟练掌握旋转前后图形的对应边相等、对应角相等，以及等边三角形和直角三角形的判定方法是解题的关键．连接 ，先利用旋转的性质得到对应边相等和对应角相等，再结合等边三角形的判定与性质，最后通过勾股定理逆定理判断 的形状，得到的度数，进而求出的度数．
【详解】解：连接 ，如图，
∵ 绕点 逆时针旋转得到 ，，，，
∴ ，，，，
又∵ 是等边三角形，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ，
∵ 且 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，；
在 中，，，，
∵ ，即 ，
∴ 是直角三角形，，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
三．解答题
17．（1）解：构造等腰直角三角形的底角，如图所示，
则，
则点E即为所求．
（2）解：根据题意，得，
取格点F，连接交于点H，
根据作图，得，
得到,，
故
故点H即为所求．
18．（1）解：海港受台风影响．
理由：如图，过点作于点，
因为，，，,
所以是直角三角形．,
由三角形面积相等可得：，
即，
所以．
因为以台风中心为圆心周围以内(包括)为受影响区域，所以海港受台风影响．
（2）如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则，
所以，因，
所以．
因为台风中心移动的速度为，
，
所以台风影响海港持续的时间为．
19．（1）解：丙图中除外的所有等腰三角形：；
（2）解：∵，
∴，
由折叠，得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故甲图中各角的度数分别为．
20．（1）解：∵， ，，
；
（2）①当为直角时，点P与点C重合，
此时，
∴．
②当为直角时，
， ， ，
在中，
在中，
，
解得 ，
综上， 当或 时，为直角三角形．
（3）如图∶
①当时， ；
②当时， ， ；
③当时， ， ，，
在中，
所以
解得：，
综上所述：当为等腰三角形 时，或或
21．（1）解：在中，，
，
与互余，
，
，
故答案为：；
（2）证明：过点作于点，如图所示：
在中，，
，
，
在中，，
在中，于点，
，
与互补，
，
，
即，
，
于点于点，
，
在和中，
，
，
，
又，
；
（3）若与的面积相等，则的度数为或，理由如下：
依题意有以下两种情况：
当与都是锐角三角形时，
过点作于点，过点作于点，如图所示：
，
，
与的面积相等，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
即；
当是锐角三角形，是钝角三角形时，
过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图所示：
，
，
与的面积相等，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
即
，
，
综上所述：若与的面积相等，则的度数为或．
22．（1）证明：梯形的面积为，
也可以表示为，
，
即；
（2）设千米，
千米，
在中，根据勾股定理得：，
，解得，
即千米，
（千米），
答：新路比原路少0.2千米．
23．（1）解：∵是等边三角形，，
∴，
∴，
由折叠性质得：，
∴，
∴，
∴，
故答案为：15；
（2）①，理由如下：
如图，延长交于点N，
设，
由折叠性质得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴；
②如图，连接，取中点P，连接，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
当C、M、G三点共线且与重合时，最短，此时点D与H点重合，点G与点P重合，
∵P、H分别是的中点，
∴．
24．解：（1）由题意得，
故答案为：；
（2）将圆柱体展开，由题意得
，
蚂蚁爬行的最短距离为；
（3）如图，
从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点，
，,
，
，
，
蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是．
故答案为：．