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专题2.5 逆命题与逆定理
1、了解逆命题、逆定理的概念；
2、会识别两个命题是不是互逆命题.会在简单情况下写出一个命题的逆命题；
3、了解原命题成立，其逆命题不一定成立；
4、理解线段的垂直平分线性质定理的逆定理的证明。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1、命题的条件和结论 2
考点2、写出命题的逆命题 2
考点3、判断互逆命题的真假 3
考点4、定理（公理）与互逆定理 4
考点5、垂直平分线定理的逆定理 6
考点6、写出一个定理的已知求证和证明 7
考点7、反证法与举反例 10
考点8、逻辑推理 11
考点9、代数推理 13
考点10、几何推理与证明 15
模块3：培优训练 21
1、命题与逆命题，定理与逆定理
对于两个命题，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题互为逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
注意：每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题．
如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理互为逆定理。
2、线段垂直平分线的判定定理（逆定理）：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
考点1、命题的条件和结论
例1．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）命题“同位角相等，两直线平行”中，改成“如果那么”句式为 ．
【答案】 如果两直线被第三条直线所截形成的同位角相等，那么这两条直线平行
【详解】解：命题“同位角相等，两直线平行”中，改成“如果那么”句式，为“如果两直线被第三条直线所截形成的同位角相等，那么这两条直线平行”，
故答案为：如果两直线被第三条直线所截形成的同位角相等，那么这两条直线平行．
变式1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）把命题“等边对等角”改写为“如果…，那么…”的形式为： ．
【答案】如果一个三角形有两个边相等，那么它们所对的角也相等；
【详解】命题“等边对等角”改写为“如果…，那么…”的形式为：如果一个三角形有两个边相等，那么它们所对的角也相等；故答案为：如果一个三角形有两个边相等，那么它们所对的角也相等．
变式3．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）将命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”改写成“如果……那么……”的形式为 ．
【答案】如果一个点在角平分线上，那么它到角两边的距离相等．
【详解】如果一个点在角平分线上，那么它到角两边的距离相等．
故答案为：如果一个点在角平分线上，那么它到角两边的距离相等．
考点2、写出命题的逆命题
例1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）命题“有两个角相等的三角形是等腰三角形”的逆命题是 （用“如果……那么……”的形式表示）．
【答案】如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形有两个角相等
【详解】解：把命题“有两个角相等的三角形是等腰三角形”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果一个三角形的两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，
则逆命题是：如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形有两个角相等．
故答案为：如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形有两个角相等．
变式1．（24-25七年级下·上海·期中）命题“互余的两个角都是锐角”的逆命题是 ．（用“如果…那么…”的形式写出）．
【答案】如果两个角都是锐角，那么这两个角互余
【详解】解：命题“互余的两个角都是锐角”的逆命题是“如果两个角都是锐角，那么这两个角互余”．
故答案为：如果两个角都是锐角，那么这两个角互余．
变式2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）将命题“等腰三角形中两腰上的中线相等”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式 ．
【答案】如果一个三角形的两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形
【详解】解：由题意，逆命题为：如果一个三角形的两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形．
故答案为：如果一个三角形的两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形
变式3．（24-25八年级上·湖南永州·期中）写出命题“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”的逆命题，并写成“如果…，那么…”的形式 ．
【答案】如果一个点到一条线段两端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上
【详解】解：逆命题为：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，
故：如果一个点到一条线段两端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上
故答案为：如果一个点到一条线段两端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上
考点3、判断互逆命题的真假
例1．（24-25七年级下·云南丽江·期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．相等的两个角是对顶角 B．同旁内角互补
C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
D．经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】C
【详解】解：A．相等的两个角不一定是对顶角，选项是假命题，不符合题意；
B．两直线平行，同旁内角互补，选项是假命题，不符合题意；
C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，选项是真命题，不符合题意；
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，选项是真命题，符合题意；故选：C．
变式1．（24-25八年级上·浙江·期末）已知命题：如果两个三角形完全重合，那么这两个三角形的面积相等，写出它的逆命题： ，该逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
【答案】 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形完全重合 假
【详解】解：如果两个三角形完全重合，那么这两个三角形的面积相等的逆命题是：
如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形完全重合，该逆命题是假命题.
故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形完全重合；假
变式2．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是 (填“真”/“假”)命题
【答案】假
【详解】解：原命题的逆命题为：面积相等的两个三角形是全等三角形， 该逆命题为假命题，
故答案为：假．
考点4、定理（公理）与互逆定理
例1．（25-26八年级上·河北·课后作业）下列说法错误的是（ ）
A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理
C．命题的逆命题不一定是真命题 D．定理的逆定理一定是真命题
【答案】B
【详解】解：A、任何命题都有逆命题，正确，故本选项不符合题意；
B、任何定理不一定都有逆定理，故本选项符合题意；
C、命题的逆命题不一定为真命题，故本选项不符合题意；
D、如果一个定理的逆命题能被证明为真命题，那么它叫做原定理的逆定理.故定理的逆定理一定是真命题，本选项不符合题意；故选：B．
变式1．（25-26八年级上·浙江·课前预习）下列三个定理中，存在逆定理的有（ ）
①同角的余角相等；②同位角相等，两直线平行；③同角的补角相等．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【详解】解：同角的余角相等的逆命题是：相等的两个角是同一个角的余角；该逆命题是假命题，不存在逆定理，故①不符合题意；
同位角相等，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同位角相等；该逆命题是真命题，存在逆定理；故②符合题意；
同角的补角相等的逆命题是：相等的两个角是同一个角的补角；该逆命题是假命题，不存在逆定理，故③不符合题意；故选：B
变式2．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）下列三个定理中，①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的对应角相等；③同位角相等，两直线平行；存在逆定理的有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】解：①有两个角相等的三角形是等腰三角形，逆命题是等腰三角形有两个角相等，逆命题正确，存在逆定理；②全等三角形的对应角相等，逆命题是对应角相等的三角形全等，逆命题不正确，不存在逆定理；③同位角相等，两直线平行，逆命题是两直线平行，同位角相等，逆命题正确，存在逆定理；
综上，存在逆定理的是①③，一共2个，故选：C．
变式3．（25-26八年级上·浙江·课后作业）下列真命题中，不是公理的是（ ）
A．同角的余角相等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．同位角相等，两直线平行 D．三边分别相等的两个三角形全等
【答案】A
【详解】解：A. 同角的余角相等不是公理，符合题意；
B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等是公理，不符合题意；
C. 同位角相等，两直线平行是公理，不符合题意；
D. 三边分别相等的两个三角形全等是公理，不符合题意；故选：A．
变式4．（25-26八年级上·浙江·课后作业）下列命题可以称为定理的有（ ）
①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【详解】解：命题①平均数的计算是，所以“与的平均数是”是错误的，不是定理；
命题②能被整除的数不一定能被整除，例如能被整除，但不能被整除，所以该命题错误，不是定理；
命题③“将 代入方程，左边，右边，左边右 边，所以该命题是错误的，不是定理；
命题④“三角形的内角和是”，这是经过严格的几何证明(如通过平行线性质、拼图等方法证明)，具有普遍适用性的结论，是定理；
命题⑤“等式两边加上同一个数，等式仍成立”，这是等式的基本性质之一，是经过数学定义和推导确定的、具有普遍意义的结论，是定理；综上，命题④和命题⑤是定理，共个．故选：A．
考点5、垂直平分线定理的逆定理
例1．（24-25八年级上·山东日照·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O．
(1)若，求的周长．(2)试判断点O 是否在的垂直平分线上，并说明理由．
【答案】(1)12(2)点O 在的垂直平分线上，理由见解析
【详解】（1）解：∵的垂直平分线分别交于点D，E，
∴， ∴，∴的周长为12；
（2）解：点O在的垂直平分线上，理由如下：如图，连接，
∵分别垂直平分，∴，
∴，∴点O在的垂直平分线上．
变式1．（24-25八年级上·浙江·课后作业）如图，，，下列判断正确的是（ ）
A．CD垂直平分AB B．AB垂直平分CD C．CD平分 D．
【答案】B
【详解】因为，根据线段垂直平分线的判定定理，可知点A在线段的垂直平分线上.
又因为，同理可得点B也在线段的垂直平分线上.由于两点确定一条直线，
所以直线就是线段CD的垂直平分线，即垂直平分．
选项A：应该是垂直平分，不是垂直平分，该选项错误；
选项B：由上述推理可知，该选项正确，符合题意；
选项C：仅根据已知条件，无法得出平分，该选项错误；
选项D：已知条件中没有足够的信息能推出，该选项错误．故答案选：B.
变式2．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在四边形中，，，，相交于点E．若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
【答案】C
【详解】解：∵，，∴垂直平分，∴，即，
∵，，∴是等边三角形，∴，
∵，∴．
变式1．（25-26八年级上·浙江·课后作业）如图，在中，边，的垂直平分线交于点，连接，和．求证：点在的垂直平分线上．
【答案】见解析
【详解】证明：∵点在的垂直平分线上，∴，
∵点在的垂直平分线上，∴，∴，∴点在的垂直平分线上．
考点6、写出一个定理的已知求证和证明
例1．（24-25八年级下·福建三明·阶段练习）根据下列命题写出已知、求证，并完成证明过程．
命题：等腰三角形两腰的中线相等．
已知：___________ 求证：___________．
【答案】见解析
【分析】本题考查了命题证明及全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键，根据命题证明的步骤，根据题意画出图形，写出已知，求证，进而根据等腰三角形性质和全等三角形的判定及性质证明即可．
【详解】解：已知：如图，在中，，为腰的中线．
求证：．
证明：∵，为腰的中线
∴，∴，
∵∴，∴．
变式1．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）命题：全等三角形的对应角的平分线相等．
(1)请将此命题改写成“如果……，那么……”的形式为______．
(2)结合图形，补全此命题的已知和求证．
已知：如图，①______，平分交于点D，②______．求证：③______．
(3)此命题是______命题．（填“真”或“假”）
【答案】(1)如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角的平分线相等
(2)，平分交于，(3)真
【详解】（1）解：将此命题改写成“如果，那么”的形式为：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角的平分线相等．
故答案为：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角的平分线相等．
（2）解：已知：如图，，
平分交于点，平分交于，求证：．
故答案为：，平分交于，．
（3）解：此命题是真命题，理由如下：
∵，，，，
平分，平分，，，，
又，，，，
全等三角形的对应角的平分线相等．故答案为：真．
变式2．（25-26八年级上·浙江·课后作业）命题“两个全等三角形对应角平分线相等”．根据几何命题的证明步骤，证明该命题．
已知：如图，，______． 求证：______． 证明：
【答案】和分别平分和，，证明见解析
【详解】已知：如图，，和分别平分和，
求证：．
证明：，
．
分别是和的角平分线，
，．
在和中，，，．
故答案为：和分别平分和，.
变式3．（24-25七年级下·浙江·单元测试）已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③．
条件：_______，结论：_______．（填序号）
证明：
【答案】见解析，证明见解析
【详解】解：当条件是①平分，②；结论是③时：
证明：平分，．
，，．；
当条件是①③，结论是②时：
证明：平分，．
∵，∴，
∴，∴；
当条件是②③，结论是①时：，，．
，，∴平分．
考点7、反证法与举反例
例1．（2025八年级上·浙江·专题练习）用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，应假设（ ）
A．三个内角都不大于60° B．三个内角都大于60°
C．三个内角中至多有一个角大于60° D．三个内角中至多有一个角不大于60°
【答案】B
【详解】解：∵用反证法证明在一个三角形中，至少有一个内角不大于，
∴第一步应假设结论不成立，即假设三个内角都大于60°．故选：B．
变式1．（24-25八年级上·浙江杭州·培优）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”，应首先假设这个直角三角形中（ ）
A．两个锐角都大于 B．没有一个锐角大于
C．至少有一个锐角大于 D．两个锐角都大于等于
【答案】A
【详解】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设两个锐角都大于．故选：A．
变式2．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）“已知，，，求证：”．若用反证法证明，则应假设（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：求证：”．若用反证法证明，则应假设．故选： ．
变式3．（2025·浙江·模拟预测）能说明“若，则”是假命题的反例是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A．时，，，不能说明命题“若，则”是假命题，不符合题意；
B．时，，不能说明命题“若，则”是假命题，不符合题意；
C．，，，不能说明命题“若，则”是假命题，不符合题意；
D．时，，而，说明命题“若，则”是假命题，符合题意；
故选：D
考点8、逻辑推理
例1．（24-25年级下·江苏扬州·期末）为了传承中华民族传统文化，邗江某学校组织“端午”知识微竞赛．竞赛的试题由6道判断题组成，参赛人员只要画“√”或画“×”表示出对各题的正误判断即可，每小题判断正确得1分，判断错误得0分．竞赛A小组共有甲、乙、丙、丁四位同学，他们对6道试题的判断与得分的结果如下图所示，由此可以推断丁同学的得分为（ ）
第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 得分
甲 √ × × √ × × 4分
乙 × √ × × √ × 4分
丙 × √ √ √ × √ 4分
丁 × × √ √ √ × ？
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【详解】解：知识测试共有6道题目，每题判断正确得1分，判断错误得0分，甲、乙的得分都是4分，则甲、乙至少有2道题目的结果相同且为正确答案，不难发现，甲、乙的第3道题和第6道题判断相同，所以第3道题和第6道题的正确答案均为“×”，
所以丙的第3道题和第6道题判断错误，而丙也得了4分，说明丙其余题目全部判断正确，
所以这6道题目的正确答案是：，所以丁做对了3道，得了3分，故选：D．
变式1．（25-26七年级上·重庆·开学考试）门锁密码是一个三位数，甲说“它是”；乙说：“它是”；丙说：“它是”；丁说：“你们每人都只猜对了位置不同的一个数字”，那么门锁密码是 ．
【答案】
【详解】解：分析个位数字： 甲猜的数是，乙猜的数是，丙猜的数是；其中甲和乙都猜了个位数字是，因为每人都只猜对了位置不同的一个数字，所以个位数字不可能是；而丙猜了个位数字是，所以个位数字只能是；
分析十位数字： 甲猜的数是，乙猜的数是，丙猜的数是；其中甲和丙都猜了十位数字是，因为每人都只猜对了位置不同的一个数字，所以十位数字不可能是；而丙猜了个位数字是，所以十位数字只能是；
分析百位数字： 由于个位数字已经确定是，十位数字只能是，因为每人都只猜对了位置不同的一个数字，那么丙猜的和乙猜的，所以百位数字只能是甲猜的；综上，门锁密码是．
变式2．（2024八年级下·湖南长沙·培优）小龙、小军和小康三人在甲、乙、丙三所不同的学校读书，唱歌、阅读、绘画是三人的不同爱好． 并且知道：①小龙不在甲校读书，小军不在甲校读书，也不在丙校读书；②在甲校读书的同学爱好唱歌，爱好绘画的同学不在丙校读书． 根据以上信息，下列选项中正确的是（ ）
A．小龙在乙校读书，爱好阅读 B．小龙在丙校读书，爱好绘画
C．小军在乙校读书，爱好绘画 D．小康在甲校读书，爱好阅读
【答案】C
【详解】解：因为小龙不在甲校读书，小军不在甲校读书，也不在丙校读书，
所以小康在甲校读书，小军在乙校读书，小龙在丙校读书，
因为在甲校读书的同学爱好唱歌，爱好绘画的同学不在丙校读书，
所以小康爱好唱歌，小军爱好绘画，小龙爱好阅读，故选C．
变式3．（多选题）（24-25八年级下·山东潍坊·期中）某中学举行了数学基础知识竞赛，经过选拔，甲、乙、丙三位同学进入最后角逐．他们还将进行四轮知识竞赛，规定每轮知识竞赛第一名得分，第二名得分，第三名得分（且，，均为正整数）；最后总分为四轮得分之和．四轮竞赛后，甲最终得分为16分，乙和丙最终得分均为8分，且乙只有一轮竞赛获得了第一名，则下列说法正确的是（ ）．
A．为4 B．甲有一轮竞赛获得第三名
C．乙在四轮竞赛中没有获得过第二名 D．丙至少有一轮竞赛获得第三名
【答案】BC
【详解】解：每轮分别决出第1，2，3名（不并列），，；
乙只有一轮竞赛获得了第一名，甲最多3轮获得第一名，，为正整数，，
，且，，均为正整数，、的最小值分别为2、1，，
，，又，，，，选项A不符合题意；
，甲3轮得第一，1轮得第三，选项B符合题意；
假设乙有1轮获得第2名，则乙的得分至少是（分，与乙实际得了8分不符，
乙没有1轮获得第2名，选项C符合题意，乙1轮得第一，3轮得第三，
丙4轮得第二，选项D不符合题意．故选：．
考点9、代数推理
例1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性．
例如：证明命题“如果，，那么”是真命题．
证明：，（已知）在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质）
，（已知）在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质）
，，（已证）．（不等式的传递性）
(1)已知有理数、满足，证明：（补全下列推理过程）；
证明：且，均为正数，（已知）
不等式的两边都乘以同一个正数，得______，（不等式的基本性质）
不等式的两边都乘以同一个正数，得______．（不等式的基本性质）
．（不等式的传递性）
(2)请你尝试证明：若，则．(3)命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明．
【答案】(1)，(2)见解析(3)见解析
【详解】（1）解：证明：且，均为正数，（已知）
不等式的两边都乘以同一个正数，得，（不等式的基本性质）
不等式的两边都乘以同一个正数，得．（不等式的基本性质）
．（不等式的传递性）；故答案为：，；
（2）证明：，不等式两边同加上，得，
不等式两边同时除以2，得；
（3）解：真命题，
证明：设这三个自然数分别是，，，其中，，
能被3整除，这三个自然数的和能被3整除．
变式1．（24-25九年级上·福建莆田·期中）已知整数，，，．满足，．
(1)求证：为正数；(2)若为偶数，判断是否可以为奇数，说明你理由．
【答案】(1)证明见详解(2)不可以，理由见详解
【详解】（1）证明：∵，
∴
∵，则 ∴为正数．
（2）不可以，理由如下：
∵，，，为整数，为偶数，∴为偶数，
∵，∴为偶数，∴，同为偶数或者同为奇数，∴为偶数，
若为奇数，则为奇数，∴为奇数，
∴为奇数与为偶数矛盾，∴不可以为奇数．
变式2．（2025·福建漳州·二模）已知实数a，b，c满足．
(1)求证：；(2)若，且，求的值．
【答案】(1)见解析(2)1
【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，
∴，即，∴；
（2）解：∵，∴，∵，∴，即，
∵，∴，∴，
∵，∴，∵，∴．
变式3．（24-25八年级上·福建泉州·期末）若整数满足，其中均为整数，则称为美丽数．例如，，所以25和100都是美丽数．根据上述信息，解决下列问题：
(1)请判断74是否为美丽数？并说明理由；(2)已知（均为整数），，若，求（用含的代数式表示）；(3)若整数都是美丽数，求证：为美丽数．
【答案】(1)74是美丽数，见解析(2)或(3)见解析
【详解】（1）解：74是美丽数．理由如下：，是美丽数．
（2）解：根据题意，得，
，
，，，．
（3）证明：设，，其中、、、均为整数，
则
，为美丽数．
考点10、几何推理与证明
例1．（2025八年级下·浙江·专题练习）定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．老师提出了以下问题，请你完成．
任务一：（1）将定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”写成如果……那么……的形式是________________．
任务二：（2）请你利用学过的知识证明这个定理．对于这个问题，南南和阳阳展开了下面的讨论：
南南：阳阳，这个问题好难啊，我没有任何思路，你能分享一下你的想法吗？ 阳阳：由于直角边，我们移动，使点A与点、点C与点重合，且使点B与点分别位于的两侧，这样就构成了等腰三角形，利用其性质及三角形的判定就可以完成．
以下是阳阳同学的部分过程，请你按照他的思路进行完善．
如图，在和中，，，．
求证：．
证明：由于直角边，我们移动，使点A与点、点C与点重合，且使点B与点分别位于的两侧．
∵，
∴，即点、、B在同一条直线上．……
【答案】（1）如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么两个直角三角形全等；
（2）见解析
【详解】解：（1）将定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”写成如果……那么……的形式是“如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么两个直角三角形全等”；
（2）证明：由于直角边，我们移动，使点A与点、点C与点重合，且使点B与点分别位于的两侧．
∵，∴，即点、、B在同一条直线上．
∵，∴，∴．
变式1．（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知在三角形中，点D是边上一点，P是线段上一点，，．求证：．
方法一：∵．
∴，即
在和中，∴（_______）
∴，（_________）∴（_______）
方法二：∵，，
∴，（_______）∴
在和中，∴∴，
∴点，点在线段的垂直平分线上（________）
∴垂直平分（_________） 即
【答案】见解析
【详解】证明：方法一：∵．
∴，即，
在和中，，∴，
∴，（全等三角形的性质），
∴（等腰三角形的三线合一）．
方法二：∵，，
∴，（三角形的外角性质），∴，
在和中，，∴，∴，，
∴点，点在线段的垂直平分线上（线段垂直平分线的判定），
∴垂直平分（两点确定一条直线），即．
变式2．（24-25七年级下·湖南湘西·阶段练习）“如图，已知内有一点，射线，且与交于点，过点画射线平行于，与相交于点”园园用两个完全一样的三角板进行画图，画图过程如图所示．
(1)园园的画图依据是______；
(2)小树看了园园画出的图形后，对进行了如下说理请你补全小树的说理过程；
（已知），____________
（已知），____________
等量代换．
(3)东东看了（2）中小树的说理过程后，认为命题“若两个角的两边分别平行，则这两个角相等”是真命题，请你判断东东的说法是否正确，并说明理由．
【答案】(1)内错角相等，两直线平行
(2)；两直线平行，同位角相等；，两直线平行，内错角相等(3)错误，见解析
【详解】（1）解：如图：由题意可知：，
内错角相等，两直线平行．故答案为：内错角相等，两直线平行．
（2）证明：（已知），两直线平行，同位角相等．
（已知），两直线平行，内错角相等．等量代换．
故答案为：；两直线平行，同位角相等；，两直线平行，内错角相等．
（3）解：如图所示：两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，故命题“若两个角的两边分别平行，则这两个角相等”是假命题，
已知，两直线平行，同旁内角互补．
已知，两直线平行，内错角相等，
等量代换．
变式3．（24-25七年级下·山西太原·期末）阅读与思考：
下面是智慧小组一次研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
关于“筝形”的研究报告研究对象：筝形研究思路：类比三角形，从定义及已有基本事实、结论出发，从组成要素及相关要素之间关系的角度研究筝形的性质．研究方法：观察（测量、操作）——猜想——推理研究内容：一般概念：如果一个四边形中，两组邻边分别相等，我们称这样的四边形为“筝形”．如图1，四边形中，，则四边形为“筝形”特例研究：根据筝形的定义，对“直角筝形”研究如下：定义：如图2，筝形中，，，若，则称四边形为直角筝形．性质：根据定义，探索图2中直角筝形的性质，得到如下结论：关于内角：直角筝形中，与互补．理由如下：连接对角线．中，，，……关于对角线：……
任务：(1)补全材料中关于直角筝形内角性质的说理过程；
(2)小颖在图2的基础上连接对角线，交于点O，得到图3，发现如下结论：①平分与；②垂直平分．请你用三角形的有关知识帮她说明结论①②成立的理由；
(3)在图3中，以为对角线构造直角筝形，使它的顶点E在射线上．若，则的度数为_________
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)40或90
【详解】（1）解：理由如下：连接对角线．
中，，，
∵在中，，∴，
∴，
∴，即与互补；
（2）解：在和中，，∴，
∴，∴平分与；
在和中，，∴，
∴，∵，
∴，∴，∴垂直平分；
（3）解：如图所示，当点E在延长线上时，连接交于T，
∵四边形是直角筝形，∴，
同理可证明，，∴，
∴．
如图所示，当点E在上时，则；
综上所述，或。
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（21-22八年级下·陕西榆林·期末）命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（ ）
A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2
C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y|
【答案】C
【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|，故选：C．
2．（25-26八年级上·浙江·课后作业）下列定理中有逆定理的是（ ）
A．直角都相等 B．全等三角形对应角相等
C．对顶角相等 D．内错角相等，两直线平行
【答案】D
【详解】解：A、直角都相等的逆命题是相等的角都是直角，为假命题，故选项不符合题意；
B、全等三角形对应角相等的逆命题是对应角相等的两个三角形是全等三角形，为假命题，故选项不符合题意；
C、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，为假命题，故选项不符合题意；
D、内错角相等，两直线平行逆命题是两直线平行，内错角相等，是定理；故选项符合题意．故选：D．
3．（24-25七年级下·上海松江·期末）下列各命题的逆命题成立的是（ ）
A．直角都相等 B．如果，那么 C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补
【答案】D
【详解】解：A、逆命题为：相等的角都是直角，该逆命题不成立，故不符合题意；
B、逆命题为：如果，那么，该逆命题不成立，故不符合题意；
C、逆命题为：相等的角都是对顶角，该逆命题不成立，故不符合题意；
D、逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，该逆命题成立，故符合题意；故选：D．
4．（23-24八年级上·四川广安·期中）如图所示，现要在一块三角形草坪上建一凉亭供大家休息，使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条高所在直线的交点
C．三条中线的交点 D．三边的垂直平分线的交点
【答案】D
【详解】解：∵凉亭到草坪三个顶点的距离相等，
∴凉亭的位置应选在三边的垂直平分线的交点，故选：D
5．（25-26八年级上·浙江·课后作业）下列定理有逆定理的是（ ）
A．对顶角相等 B．等角的补角相等
C．同角的余角相等 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
【答案】D
【详解】解：A、逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，错误，故没有逆定理，不符合题意；
B、逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是等角的补角，错误，故没有逆定理，不符合题意；
C、逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角，错误，故没有逆定理，不符合题意；
D、逆命题为：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，且是逆定理，符合题意，
故选：D．
6．（24-25七年级下·天津·开学考试）要判断命题“若，则”是错误的，可以举一个反例，则下列反例中符合要求的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】本题考查的是命题和定理．根据条件，逐项把数值代入计算并判断，即可解题．
【详解】解：A、，且，满足命题，不符合题意；
B、，且，不满足命题，符合题意；
C、，且，满足命题，不符合题意；
D、，不满足命题，不符合题意；
故选：B．
7．（25-26八年级上·浙江·课后作业）下面关于公理和定理的说法正确的是（ ）
A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理
C．公理和定理都可以作为推理论证的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用
【答案】C
【详解】解：公理，也就是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的客观规律．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．
根据公理和定理的定义，可知C是正确的，A、B、D是错误的．故选：C．
8．（24-25七年级上·山西临汾·期末）用反证法证明命题：在一个三角形中，最大的内角不小于．证明的第一步是（ ）
A．假设最大的内角小于 B．假设最大的内角大于
C．假设最大的内角大于或等于 D．假设最大的内角小于或等于
【答案】A
【详解】解：用反证法证明“在一个三角形中，最大的内角不小于”时，应先假设在三角形中，最大的内角小于．故选：A．
9．（24-25·河北保定·八年级校考期中）如图，点D在△ABC的边BC上，且，则点D在线段（ ）
A．的垂直平分线上 B．的垂直平分线上 C．的垂直平分线上 D．不能确定
【答案】B
【详解】解：∵BC=BD+AD=BD+CD，∴AD=CD，
∴点D在AC的垂直平分线上．故选：B．
10.（24-25八年级上·浙江·期末）六名运动员A，B，C，D，E，F比赛中国象棋，每两人赛一局．第一天A与B各赛了3局，D与C各赛了4局，E赛了2局，而且D和B，A和C之间都还没赛过，那么F已赛了多少局（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】解：由于A、B各参加了3局比赛，C、D各参加了4局比赛，E参加了2局比赛，且A与C没有比赛过，B与D也没有比赛过，所以与D赛过的是A、C、E、F四人；
与C赛过的是B、D、E、F四人；
又因为E只赛了两局，A与B各赛了3局，所以与A赛过的是D、B、F；
而与B赛过的是A、C、F；所以F共赛了4局．故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）把命题“等边三角形三个内角都相等”的逆命题写成“如果…那么…”的形式为 ．
【答案】如果一个三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是等边三角形
【详解】因为“等边三角形三个内角都相等”的逆命题为：三个内角都相等的三角形是等边三角形，则可写成如果一个三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是等边三角形．
故答案为：如果一个三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是等边三角形．
12．（24-25八年级上·浙江·期中）“如果，那么”这个命题的逆命题是 ，这个逆命题是 （真/假）命题．
【答案】 如果，那么 假
【详解】解：根据题意得：命题“如果，那么”的条件是如果，结论是，
∴逆命题是如果，那么，
当，时，，但，
∴该命题是假命题．
故答案为：如果，那么；假．
13．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，A、B、C是某景区邻近的三座山的山顶，为了促进当地旅游发展，要在三个山顶组成的三角形平面内修建一个空中观景台，要使这个空中观景台到三个山顶的距离相等，应选择的位置是 ．
【答案】各边垂直平分线的交点
【详解】解：∵到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，
∴要使这个空中观景台到三个山顶的距离相等，应选择的位置是各边垂直平分线的交点．
故答案为：各边垂直平分线的交点．
14．（25-26八年级上·浙江·课后作业）一个等腰三角形的一个内角为，则它的顶角的度数为 ；等腰三角形的两边长为和，则该等腰三角形的周长为 ；定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆定理是 ．
【答案】 或 到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
【详解】解：∵等腰三角形的一个内角的度数为，
当等腰三角形的底角为时，则顶角为；
当等腰三角形的顶角为时，则顶角为；
∴它的顶角度数为：或；等腰三角形的两边长和，
当腰长为，则等腰三角形三边长为，
∵，不能构成三角形，故舍去；
当腰长为，则等腰三角形三边长为，
∵，能构成三角形，∴该等腰三角形的周长为；
定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆定理是“到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”；
故答案为：或；；到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ．
15．（2025·江苏泰州·三模）素数是只能被1和它自身整除的自然数，如2，3，5，7，11，…．已知命题“对于任意的自然数n，都是素数”是一个假命题，在说明此命题是假命题时，我们只要举一个反例就行了，例如当n（）的值为 时，不是一个素数．
【答案】
【详解】解：当时，，是素数；
当时，，，不是素数．
故答案为：
16．（24-25七年级上·重庆大渡口·开学考试）一栋公寓楼有5 层，每层有一或两套公寓、楼内共有8 套公寓，住户J、K、L、M、N、O、P、Q共8人住在不同公寓里，已知：（1）J住在两套公寓的楼层，（2）K住在P 的上一层，（3）二层只有一套公寓，（4）M、N住在同一层，（5）O、Q不同层，（6）Q 不住在一层或二层，（7）L住在她所在层仅有的公寓里，且不在第一层或第五层，（8）M在第四层；那么J住在第 层．
【答案】5
【详解】解：由（4）和（8）得出M和N在四层，故第四层有2套公寓，由（2）得K只能在2或3层，又由（7）得出L住在只有一套公寓的楼层，且不在第一、五层，再结合（3）第二层只有一套公寓，可知L在第二层或第三层； 假设L在第二层：由（2）K在P的上一层，因第四层已满（M、N），K不能在第五层（否则P在第四层）；K也不能在第三层（否则P在第二层，与L同层，但第二层仅一套公寓），此假设不成立， 故L只能在第三层，且第三层只有一套公寓，K在二层只有一户，P则在一层，又由（5）和（6）知道O只能在一层，Q在五层，这是只有五层还有一套公寓，所以J只能住在五层．故答案为：5．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25八年级上·安徽芜湖·阶段练习）一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的语句叫做命题．现阶段我们在数学上学习的命题可看作由题设（或条件）和结论两部分组成．现有一命题“对顶角相等”：
（1）请把此命题改写成“如果……那么……”的形式；（2）写出此命题的逆命题，并判断逆命题的真假．
【答案】（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；（2）逆命题是“相等的角是对顶角”，逆命题是假命题．
【详解】解：（1）∵原命题的条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”，
∴命题“对顶角相等”写成“如果……那么……”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．
（2）“对顶角相等”的逆命题是：“相等的角是对顶角”，
∵相等的角不一定是对顶角，∴它是假命题．
18．（25-26八年级上·浙江·课后作业）举反例说明下列命题是假命题．
(1)任何偶数都是4的整数倍；(2)对于任意有理数x，代数式的值总是正数；
(3)有公共顶点且相等的角是对顶角．
【答案】(1)2是偶数，但2不是4的整数倍（答案不唯一）
(2)是有理数，但不是正数（答案不唯一）
(3)角平分线分成的两个角，有公共顶点且相等，但不是对顶角．（答案不唯一）
【详解】（1）解：偶数，，不是整数，所以不是的整数倍，说明“任何偶数都是的整数倍”是假命题．
所以反例为：2是偶数，但2不是4的整数倍；
（2）解：当时，，是负数，不是正数，说明“对于任意有理数，代数式的值总是正数”是假命题．
所以反例为：是有理数，但不是正数；
（3）解：在角平分线分成的两个角，它们有公共顶点且相等，但不是对顶角，说明“有公共顶点且相等的角是对顶角”是假命题．
所以反例为：角平分线分成的两个角，有公共顶点且相等，但不是对顶角．
19．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）我们知道定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．这个定理的逆命题也是真命题．下面我们来证明这个逆命题：
(1)写出逆命题： ；
(2)画出图形，如图，请补全下面的已知和求证：
已知： 如图， 是的中线， ．
求证：为 三角形．
(3)请写出你的证明过程．
【答案】(1)如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形
(2)；直角(3)见解析
【详解】（1）解：∵“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，
∴它的逆命题是：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
（2）解：已知： 如图， 是的中线，；求证：为直角三角形；
（3）解：∵是的中线，∴，
∵，∴，∴，，
在中，，∴，
∴，∴，∴为直角三角形．
20．（2025·福建福州·模拟预测）已知整数a，b，m，n满足．(1)求证：为非负数；(2)若m，n为两个连续的正整数，且，求证：c一定是奇数．
【答案】(1)见解析；(2)见解析．
【详解】（1）解：因为，所以，
所以==，
因为，所以，所以为非负数．
（2）因为，且m，n为两个连续的正整数，且，
所以，，所以=
==，
因为m，n为两个连续的正整数，所以是奇数，所以c一定是奇数．
21．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）风筝（图1）的起源可以追溯到春秋时期，距今已有2000多年的历史．相传，墨翟（墨子）用木头制作了一只木鸟，经过三年的研制，最终成功飞行，这被认为是人类最早的风筝起源．某同学依据风筝模型，设计了图2中的筝形，已知．
(1)说明垂直平分；(2)回顾所学公式，试猜想与的大小，并说明理由；
(3)在（1）（2）的基础上解决下面问题：某同学要做一个面积为的筝形风筝时，用来做对角线的竹条有75厘米，请问能否做成？并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3)不能做成，理由见解析
【详解】（1）解：∵，
∴点A在线段的垂直平分线上，点C也在线段的垂直平分线上．
又∵线段的垂直平分线只有一条，∴垂直平分．
（2）解：与的大小关系为：，
理由如下：∵，∴，∴．
（3）解：不能做成，理由如下：设，
∵筝形的对角线互相垂直，∴，
∴．由（2）知，，∴，即，
∴用来做对角线的竹条至少要80厘米．∵，∴不能做成．
22．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，在中，边，的垂直平分线，相交于点P．(1)求证：；(2)请判断点是否也在边的垂直平分线上？并说明理由；
(3)由（1）（2）你能得出什么结论？（写一条即可）
【答案】(1)见解析(2)点P在边的垂直平分线上，理由见解析
(3)①三角形三边的垂直平分线相交于一点．②三角形三边垂直平分线的交点到三顶点距离相等．③三角形一边的垂直平分线也必过其它两边垂直平分线的交点．
【详解】（1）证明：∵点P是的垂直平分线上的点，∴．同理． ∴；
（2）解：点P在边的垂直平分线上．
理由：， ∴点P在边的垂直平分线上；
（3）解：由（1）、（2）可得：
①三角形三边的垂直平分线相交于一点．
②三角形三边垂直平分线的交点到三顶点距离相等．
③三角形一边的垂直平分线也必过其它两边垂直平分线的交点．
23．（24-25七年级下·福建泉州·期末）在有16支球队参赛的足球甲级联赛中，每两支球队之间一个赛季要进行2场比赛，每支球队一个赛季要赛满30场球赛．比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．赛季结束，积分排第1的获得冠军，积分排第2的获得亚军，…，积分排第15和第16名的球队要降级（下赛季不能参加甲级联赛，只能参加乙级联赛）．某赛季第27轮比赛结束时，部分球队的积分排名如下表：
球队 积分 排名
甲队 42 1
乙队 40 2
… … …
队 16 13
队 16 13
队 16 13
队 16 13
(1)已知该赛季第27轮比赛结束时，甲队负了11场．①求此时甲队胜、平各多少场？
②此时乙队的负场数能否比甲队的负场数多？请说明理由；
(2)在各队最后3场比赛中，A、B、C、D四队的比赛全部在这四个队之间进行，已知最后3场比赛队得5分，队一场未负得3分，队胜队，队胜队，则哪两队会被降级？为什么？
【答案】(1)①甲队胜13场，平3场；②能，乙队胜13场、平1场、负13场，其负场数多于甲队
(2)B、D两队被降级，见解析
【详解】（1）①设此时甲队胜场，平场，根据题意，得
，解得答：此时甲队胜13场，平3场．
②此时乙队的负场数能比甲队的负场数多，理由如下：
设此时乙队胜场、平场、负场．根据题意，得
①-②，得：，即，
若，则，即，
，即，，
为非负整数，．将代入①、②可得：；
此时乙队的负场数能比甲队的负场数多，即乙队胜13场、平1场、负13场．
（2）B、D两队被降级，理由如下：
根据最后3场比赛队得5分可知，队的比赛结果是1胜，2平；
根据最后3场比赛队一场未负得3分可知，队的比赛结果是3平；
队胜队，队平队，队平队，
队胜队，队平队，队负队，队得4分，
队平队，队平队，队负队，队得2分，
队得分队得分队得分队得分，两队被降级．
或用列表法：
各队得分
平 胜 平 队得5分
平 平 平 队得3分
负 平 胜 队得4分
平 平 负 队得2分
队得分队得分队得分队得分，两队被降级．
24．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）阅读下面材料，并按要求完成相应的任务：
如何快速判断一个较为复杂的整数能否被3整除？小明对下列一些能被3整除的整数进行了研究：27，123，159，246，1233，23454．小明通过观察、计算发现：这些整数各个数位上的数字之和都能被3整除，如：整数246各个数位上的数字之和为，12能被3整除；整数1233各个数位上的数字之和为，9能被3整除．由此，他提出了这样一个命题；命题1：如果一个数能被3整除，那么这个数各个数位上的数字之和能被3整除．小明以两位数为例进行了证明；设是一个两位数，若两位数能被3整除，求证：能被3整除．证明：∵两位数能被3整除，∴设（k为正整数）．．．．为整数．可以被3整除．由此推断，命题1是一个真命题，紧接着对它的逆命题进行了研究，发现命题1的逆命题也是真命题．结论：在判断一个数是否能被3整除时，可以通过计算其各个数位上数字之和来进行快速判断．小明在研究时还发现，整数123中，；整数159中，；整数246中，．于是，他又提出了这样一个命题；命题2：如果一个三位数能被3整除，那么这个三位数的百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字的两倍．
任务1：证明命题
（1）设是一个三位数，若可以被3整除，求证：这个三位数也能被3整除．
任务2：写逆命题
（2）判断命题2是真命题还是假命题，并写出它的逆命题；
任务3：应用结论
（3）若四位数能被3整除，且，这个四位数的最小值为______．
（4）小亮在匀速行驶的汽车里，注意到公路里程碑上的数是一个能被3整除的两位数；后，看到里程碑上的两位数与第一次看到的两位数恰好互换了两个数字的位置；再过，看到里程碑上的数是第一次看到的两位数的两个数字之间添加一个数字m所得的三位数，且这个三位数也能被3整除．则第一次看到的里程碑上的两位数是多少？
【答案】（1）见解析；（2）假命题，逆命题：如果一个三位数的百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字的两倍，那么这个三位数能被3整除；（3）1203；（4）15或39
【详解】解：（1）∵可以被3整除，∴设（k为正整数）
∴，
∵为整数，∴可以被3整除，
（2）命题2是假命题，理由如下：例如能被3整除，但是；
逆命题：如果一个三位数的百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字的两倍，那么这个三位数能被3整除；
（3）∵四位数能被3整除，∴能被3整除，
∴能被3整除，
∵能被3整除，
∴能被3整除；设（k为正整数），
∵，∴，∴，
∵要使这个四位数最小，∴首先要满足a最小，
当的同时，要满足b最小，则此时，∴，
∴当，时，这个四位数最小，最小为1203；
（4）设第一次看到的两位数为，则第二次看到的两位数为，第三次看到的三位数为
∵可以被3整除，∴设（k为正整数）
∵可以被3整除∴可以被3整除，
∵后，看到里程碑上的两位数与第一次看到的两位数恰好互换了两个数字的位置，
∴汽车的速度为，
∵再过，看到里程碑上的数是第一次看到的两位数的两个数字之间添加一个数字m所得的三位数，
∴，∴，
∵m为整数且，∴一定是大于等于0的偶数，
当时，，则，∵，∴，
∴a一定是3的倍数，∴，∴，∴；
当时，，则，
∵，∴，∴一定是3的倍数，∴，∴，∴；
综上所述，第一次看到的里程碑上的两位数是15或39．
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专题2.5 逆命题与逆定理
1、了解逆命题、逆定理的概念；
2、会识别两个命题是不是互逆命题.会在简单情况下写出一个命题的逆命题；
3、了解原命题成立，其逆命题不一定成立；
4、理解线段的垂直平分线性质定理的逆定理的证明。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1、命题的条件和结论 2
考点2、写出命题的逆命题 2
考点3、判断互逆命题的真假 3
考点4、定理（公理）与互逆定理 4
考点5、垂直平分线定理的逆定理 6
考点6、写出一个定理的已知求证和证明 7
考点7、反证法与举反例 10
考点8、逻辑推理 11
考点9、代数推理 13
考点10、几何推理与证明 15
模块3：培优训练 21
1、命题与逆命题，定理与逆定理
对于两个命题，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题互为逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
注意：每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题．
如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理互为逆定理。
2、线段垂直平分线的判定定理（逆定理）：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
考点1、命题的条件和结论
例1．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）命题“同位角相等，两直线平行”中，改成“如果那么”句式为 ．
变式1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）把命题“等边对等角”改写为“如果…，那么…”的形式为： ．
变式3．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）将命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”改写成“如果……那么……”的形式为 ．
考点2、写出命题的逆命题
例1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）命题“有两个角相等的三角形是等腰三角形”的逆命题是 （用“如果……那么……”的形式表示）．
变式1．（24-25七年级下·上海·期中）命题“互余的两个角都是锐角”的逆命题是 ．（用“如果…那么…”的形式写出）．
变式2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）将命题“等腰三角形中两腰上的中线相等”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式 ．
变式3．（24-25八年级上·湖南永州·期中）写出命题“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”的逆命题，并写成“如果…，那么…”的形式 ．
考点3、判断互逆命题的真假
例1．（24-25七年级下·云南丽江·期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．相等的两个角是对顶角 B．同旁内角互补
C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
D．经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行
变式1．（24-25八年级上·浙江·期末）已知命题：如果两个三角形完全重合，那么这两个三角形的面积相等，写出它的逆命题： ，该逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
变式2．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是 (填“真”/“假”)命题
考点4、定理（公理）与互逆定理
例1．（25-26八年级上·河北·课后作业）下列说法错误的是（ ）
A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理
C．命题的逆命题不一定是真命题 D．定理的逆定理一定是真命题
变式1．（25-26八年级上·浙江·课前预习）下列三个定理中，存在逆定理的有（ ）
①同角的余角相等；②同位角相等，两直线平行；③同角的补角相等．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
变式2．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）下列三个定理中，①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的对应角相等；③同位角相等，两直线平行；存在逆定理的有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
变式3．（25-26八年级上·浙江·课后作业）下列真命题中，不是公理的是（ ）
A．同角的余角相等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．同位角相等，两直线平行 D．三边分别相等的两个三角形全等
变式4．（25-26八年级上·浙江·课后作业）下列命题可以称为定理的有（ ）
①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立．
A．个 B．个 C．个 D．个
考点5、垂直平分线定理的逆定理
例1．（24-25八年级上·山东日照·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O．
(1)若，求的周长．(2)试判断点O 是否在的垂直平分线上，并说明理由．
变式1．（24-25八年级上·浙江·课后作业）如图，，，下列判断正确的是（ ）
A．CD垂直平分AB B．AB垂直平分CD C．CD平分 D．
变式2．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在四边形中，，，，相交于点E．若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
变式1．（25-26八年级上·浙江·课后作业）如图，在中，边，的垂直平分线交于点，连接，和．求证：点在的垂直平分线上．
考点6、写出一个定理的已知求证和证明
例1．（24-25八年级下·福建三明·阶段练习）根据下列命题写出已知、求证，并完成证明过程．
命题：等腰三角形两腰的中线相等．
已知：___________ 求证：___________．
变式1．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）命题：全等三角形的对应角的平分线相等．
(1)请将此命题改写成“如果……，那么……”的形式为______．
(2)结合图形，补全此命题的已知和求证．
已知：如图，①______，平分交于点D，②______．求证：③______．
(3)此命题是______命题．（填“真”或“假”）
变式2．（25-26八年级上·浙江·课后作业）命题“两个全等三角形对应角平分线相等”．根据几何命题的证明步骤，证明该命题．
已知：如图，，______． 求证：______． 证明：
变式3．（24-25七年级下·浙江·单元测试）已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③．
条件：_______，结论：_______．（填序号）
证明：
考点7、反证法与举反例
例1．（2025八年级上·浙江·专题练习）用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，应假设（ ）
A．三个内角都不大于60° B．三个内角都大于60°
C．三个内角中至多有一个角大于60° D．三个内角中至多有一个角不大于60°
变式1．（24-25八年级上·浙江杭州·培优）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”，应首先假设这个直角三角形中（ ）
A．两个锐角都大于 B．没有一个锐角大于
C．至少有一个锐角大于 D．两个锐角都大于等于
变式2．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）“已知，，，求证：”．若用反证法证明，则应假设（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2025·浙江·模拟预测）能说明“若，则”是假命题的反例是（ ）
A． B． C． D．
考点8、逻辑推理
例1．（24-25年级下·江苏扬州·期末）为了传承中华民族传统文化，邗江某学校组织“端午”知识微竞赛．竞赛的试题由6道判断题组成，参赛人员只要画“√”或画“×”表示出对各题的正误判断即可，每小题判断正确得1分，判断错误得0分．竞赛A小组共有甲、乙、丙、丁四位同学，他们对6道试题的判断与得分的结果如下图所示，由此可以推断丁同学的得分为（ ）
第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 得分
甲 √ × × √ × × 4分
乙 × √ × × √ × 4分
丙 × √ √ √ × √ 4分
丁 × × √ √ √ × ？
A．6 B．5 C．4 D．3
变式1．（25-26七年级上·重庆·开学考试）门锁密码是一个三位数，甲说“它是”；乙说：“它是”；丙说：“它是”；丁说：“你们每人都只猜对了位置不同的一个数字”，那么门锁密码是 ．
变式2．（2024八年级下·湖南长沙·培优）小龙、小军和小康三人在甲、乙、丙三所不同的学校读书，唱歌、阅读、绘画是三人的不同爱好． 并且知道：①小龙不在甲校读书，小军不在甲校读书，也不在丙校读书；②在甲校读书的同学爱好唱歌，爱好绘画的同学不在丙校读书． 根据以上信息，下列选项中正确的是（ ）
A．小龙在乙校读书，爱好阅读 B．小龙在丙校读书，爱好绘画
C．小军在乙校读书，爱好绘画 D．小康在甲校读书，爱好阅读
变式3．（多选题）（24-25八年级下·山东潍坊·期中）某中学举行了数学基础知识竞赛，经过选拔，甲、乙、丙三位同学进入最后角逐．他们还将进行四轮知识竞赛，规定每轮知识竞赛第一名得分，第二名得分，第三名得分（且，，均为正整数）；最后总分为四轮得分之和．四轮竞赛后，甲最终得分为16分，乙和丙最终得分均为8分，且乙只有一轮竞赛获得了第一名，则下列说法正确的是（ ）．
A．为4 B．甲有一轮竞赛获得第三名
C．乙在四轮竞赛中没有获得过第二名 D．丙至少有一轮竞赛获得第三名
考点9、代数推理
例1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性．
例如：证明命题“如果，，那么”是真命题．
证明：，（已知）在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质）
，（已知）在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质）
，，（已证）．（不等式的传递性）
(1)已知有理数、满足，证明：（补全下列推理过程）；
证明：且，均为正数，（已知）
不等式的两边都乘以同一个正数，得______，（不等式的基本性质）
不等式的两边都乘以同一个正数，得______．（不等式的基本性质）
．（不等式的传递性）
(2)请你尝试证明：若，则．(3)命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明．
变式1．（24-25九年级上·福建莆田·期中）已知整数，，，．满足，．
(1)求证：为正数；(2)若为偶数，判断是否可以为奇数，说明你理由．
变式2．（2025·福建漳州·二模）已知实数a，b，c满足．
(1)求证：；(2)若，且，求的值．
变式3．（24-25八年级上·福建泉州·期末）若整数满足，其中均为整数，则称为美丽数．例如，，所以25和100都是美丽数．根据上述信息，解决下列问题：
(1)请判断74是否为美丽数？并说明理由；(2)已知（均为整数），，若，求（用含的代数式表示）；(3)若整数都是美丽数，求证：为美丽数．
考点10、几何推理与证明
例1．（2025八年级下·浙江·专题练习）定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．老师提出了以下问题，请你完成．
任务一：（1）将定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”写成如果……那么……的形式是________________．
任务二：（2）请你利用学过的知识证明这个定理．对于这个问题，南南和阳阳展开了下面的讨论：
南南：阳阳，这个问题好难啊，我没有任何思路，你能分享一下你的想法吗？ 阳阳：由于直角边，我们移动，使点A与点、点C与点重合，且使点B与点分别位于的两侧，这样就构成了等腰三角形，利用其性质及三角形的判定就可以完成．
以下是阳阳同学的部分过程，请你按照他的思路进行完善．
如图，在和中，，，．
求证：．
证明：由于直角边，我们移动，使点A与点、点C与点重合，且使点B与点分别位于的两侧．
∵，
∴，即点、、B在同一条直线上．……
变式1．（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知在三角形中，点D是边上一点，P是线段上一点，，．求证：．
方法一：∵．
∴，即
在和中，∴（_______）
∴，（_________）∴（_______）
方法二：∵，，
∴，（_______）∴
在和中，∴∴，
∴点，点在线段的垂直平分线上（________）
∴垂直平分（_________） 即
变式2．（24-25七年级下·湖南湘西·阶段练习）“如图，已知内有一点，射线，且与交于点，过点画射线平行于，与相交于点”园园用两个完全一样的三角板进行画图，画图过程如图所示．
(1)园园的画图依据是______；
(2)小树看了园园画出的图形后，对进行了如下说理请你补全小树的说理过程；
（已知），____________
（已知），____________
等量代换．
(3)东东看了（2）中小树的说理过程后，认为命题“若两个角的两边分别平行，则这两个角相等”是真命题，请你判断东东的说法是否正确，并说明理由．
变式3．（24-25七年级下·山西太原·期末）阅读与思考：
下面是智慧小组一次研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
关于“筝形”的研究报告研究对象：筝形研究思路：类比三角形，从定义及已有基本事实、结论出发，从组成要素及相关要素之间关系的角度研究筝形的性质．研究方法：观察（测量、操作）——猜想——推理研究内容：一般概念：如果一个四边形中，两组邻边分别相等，我们称这样的四边形为“筝形”．如图1，四边形中，，则四边形为“筝形”特例研究：根据筝形的定义，对“直角筝形”研究如下：定义：如图2，筝形中，，，若，则称四边形为直角筝形．性质：根据定义，探索图2中直角筝形的性质，得到如下结论：关于内角：直角筝形中，与互补．理由如下：连接对角线．中，，，……关于对角线：……
任务：(1)补全材料中关于直角筝形内角性质的说理过程；
(2)小颖在图2的基础上连接对角线，交于点O，得到图3，发现如下结论：①平分与；②垂直平分．请你用三角形的有关知识帮她说明结论①②成立的理由；
(3)在图3中，以为对角线构造直角筝形，使它的顶点E在射线上．若，则的度数为_________
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（21-22八年级下·陕西榆林·期末）命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（ ）
A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2
C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y|
2．（25-26八年级上·浙江·课后作业）下列定理中有逆定理的是（ ）
A．直角都相等 B．全等三角形对应角相等
C．对顶角相等 D．内错角相等，两直线平行
3．（24-25七年级下·上海松江·期末）下列各命题的逆命题成立的是（ ）
A．直角都相等 B．如果，那么 C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补
4．（23-24八年级上·四川广安·期中）如图所示，现要在一块三角形草坪上建一凉亭供大家休息，使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条高所在直线的交点
C．三条中线的交点 D．三边的垂直平分线的交点
5．（25-26八年级上·浙江·课后作业）下列定理有逆定理的是（ ）
A．对顶角相等 B．等角的补角相等
C．同角的余角相等 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
6．（24-25七年级下·天津·开学考试）要判断命题“若，则”是错误的，可以举一个反例，则下列反例中符合要求的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
7．（25-26八年级上·浙江·课后作业）下面关于公理和定理的说法正确的是（ ）
A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理
C．公理和定理都可以作为推理论证的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用
8．（24-25七年级上·山西临汾·期末）用反证法证明命题：在一个三角形中，最大的内角不小于．证明的第一步是（ ）
A．假设最大的内角小于 B．假设最大的内角大于
C．假设最大的内角大于或等于 D．假设最大的内角小于或等于
9．（24-25·河北保定·八年级校考期中）如图，点D在△ABC的边BC上，且，则点D在线段（ ）
A．的垂直平分线上 B．的垂直平分线上 C．的垂直平分线上 D．不能确定
10.（24-25八年级上·浙江·期末）六名运动员A，B，C，D，E，F比赛中国象棋，每两人赛一局．第一天A与B各赛了3局，D与C各赛了4局，E赛了2局，而且D和B，A和C之间都还没赛过，那么F已赛了多少局（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）把命题“等边三角形三个内角都相等”的逆命题写成“如果…那么…”的形式为 ．
12．（24-25八年级上·浙江·期中）“如果，那么”这个命题的逆命题是 ，这个逆命题是 （真/假）命题．
13．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，A、B、C是某景区邻近的三座山的山顶，为了促进当地旅游发展，要在三个山顶组成的三角形平面内修建一个空中观景台，要使这个空中观景台到三个山顶的距离相等，应选择的位置是 ．
14．（25-26八年级上·浙江·课后作业）一个等腰三角形的一个内角为，则它的顶角的度数为 ；等腰三角形的两边长为和，则该等腰三角形的周长为 ；定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆定理是 ．
15．（2025·江苏泰州·三模）素数是只能被1和它自身整除的自然数，如2，3，5，7，11，…．已知命题“对于任意的自然数n，都是素数”是一个假命题，在说明此命题是假命题时，我们只要举一个反例就行了，例如当n（）的值为 时，不是一个素数．
16．（24-25七年级上·重庆大渡口·开学考试）一栋公寓楼有5 层，每层有一或两套公寓、楼内共有8 套公寓，住户J、K、L、M、N、O、P、Q共8人住在不同公寓里，已知：（1）J住在两套公寓的楼层，（2）K住在P 的上一层，（3）二层只有一套公寓，（4）M、N住在同一层，（5）O、Q不同层，（6）Q 不住在一层或二层，（7）L住在她所在层仅有的公寓里，且不在第一层或第五层，（8）M在第四层；那么J住在第 层．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25八年级上·安徽芜湖·阶段练习）一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的语句叫做命题．现阶段我们在数学上学习的命题可看作由题设（或条件）和结论两部分组成．现有一命题“对顶角相等”：
（1）请把此命题改写成“如果……那么……”的形式；（2）写出此命题的逆命题，并判断逆命题的真假．
18．（25-26八年级上·浙江·课后作业）举反例说明下列命题是假命题．
(1)任何偶数都是4的整数倍；(2)对于任意有理数x，代数式的值总是正数；
(3)有公共顶点且相等的角是对顶角．
19．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）我们知道定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．这个定理的逆命题也是真命题．下面我们来证明这个逆命题：
(1)写出逆命题： ；
(2)画出图形，如图，请补全下面的已知和求证：
已知： 如图， 是的中线， ．
求证：为 三角形．(3)请写出你的证明过程．
20．（2025·福建福州·模拟预测）已知整数a，b，m，n满足．(1)求证：为非负数；(2)若m，n为两个连续的正整数，且，求证：c一定是奇数．
21．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）风筝（图1）的起源可以追溯到春秋时期，距今已有2000多年的历史．相传，墨翟（墨子）用木头制作了一只木鸟，经过三年的研制，最终成功飞行，这被认为是人类最早的风筝起源．某同学依据风筝模型，设计了图2中的筝形，已知．
(1)说明垂直平分；(2)回顾所学公式，试猜想与的大小，并说明理由；
(3)在（1）（2）的基础上解决下面问题：某同学要做一个面积为的筝形风筝时，用来做对角线的竹条有75厘米，请问能否做成？并说明理由．
22．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，在中，边，的垂直平分线，相交于点P．(1)求证：；(2)请判断点是否也在边的垂直平分线上？并说明理由；
(3)由（1）（2）你能得出什么结论？（写一条即可）
23．（24-25七年级下·福建泉州·期末）在有16支球队参赛的足球甲级联赛中，每两支球队之间一个赛季要进行2场比赛，每支球队一个赛季要赛满30场球赛．比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．赛季结束，积分排第1的获得冠军，积分排第2的获得亚军，…，积分排第15和第16名的球队要降级（下赛季不能参加甲级联赛，只能参加乙级联赛）．某赛季第27轮比赛结束时，部分球队的积分排名如下表：
球队 积分 排名
甲队 42 1
乙队 40 2
… … …
队 16 13
队 16 13
队 16 13
队 16 13
(1)已知该赛季第27轮比赛结束时，甲队负了11场．①求此时甲队胜、平各多少场？
②此时乙队的负场数能否比甲队的负场数多？请说明理由；
(2)在各队最后3场比赛中，A、B、C、D四队的比赛全部在这四个队之间进行，已知最后3场比赛队得5分，队一场未负得3分，队胜队，队胜队，则哪两队会被降级？为什么？
24．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）阅读下面材料，并按要求完成相应的任务：
如何快速判断一个较为复杂的整数能否被3整除？小明对下列一些能被3整除的整数进行了研究：27，123，159，246，1233，23454．小明通过观察、计算发现：这些整数各个数位上的数字之和都能被3整除，如：整数246各个数位上的数字之和为，12能被3整除；整数1233各个数位上的数字之和为，9能被3整除．由此，他提出了这样一个命题；命题1：如果一个数能被3整除，那么这个数各个数位上的数字之和能被3整除．小明以两位数为例进行了证明；设是一个两位数，若两位数能被3整除，求证：能被3整除．证明：∵两位数能被3整除，∴设（k为正整数）．．．．为整数．可以被3整除．由此推断，命题1是一个真命题，紧接着对它的逆命题进行了研究，发现命题1的逆命题也是真命题．结论：在判断一个数是否能被3整除时，可以通过计算其各个数位上数字之和来进行快速判断．小明在研究时还发现，整数123中，；整数159中，；整数246中，．于是，他又提出了这样一个命题；命题2：如果一个三位数能被3整除，那么这个三位数的百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字的两倍．
任务1：证明命题
（1）设是一个三位数，若可以被3整除，求证：这个三位数也能被3整除．
任务2：写逆命题
（2）判断命题2是真命题还是假命题，并写出它的逆命题；
任务3：应用结论
（3）若四位数能被3整除，且，这个四位数的最小值为______．
（4）小亮在匀速行驶的汽车里，注意到公路里程碑上的数是一个能被3整除的两位数；后，看到里程碑上的两位数与第一次看到的两位数恰好互换了两个数字的位置；再过，看到里程碑上的数是第一次看到的两位数的两个数字之间添加一个数字m所得的三位数，且这个三位数也能被3整除．则第一次看到的里程碑上的两位数是多少？
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