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专题2.6 直角三角形+专题2.8 直角三角形全等的判定
1、掌握直角三角形两个锐角互余的性质定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质定理；
2、会运用直角三角形的性质定理解决有关图形的论证计算等问题；
3、掌握直角三角形的判定定理:有两个角互余的三角形是直角三角形，会运用直角三角形的判定定理判定直角三角形。
4、掌握两个直角三角形全等的判定定理（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
5、探索并证明定理：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1 直角三角形的两锐角互余 2
考点2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4
考点3 30°的角所对的直角边等于斜边的一半. 6
考点4 直角三角形的判定（两锐角互余） 9
考点5 直角三角形全等的判定（HL添加条件） 10
考点6 直角三角形全等的判定（HL计算） 13
考点7 直角三角形全等的判定（HL证明） 15
考点8 角平分线的判定 17
考点9直角三角形全等的判定综合 20
模块3：培优训练 25
1、直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形。直角三角形可以用“Rt△”表示。
如下图，可以记作“Rt△ABC”。
注意：直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质。
2、直角三角形的性质定理
性质1：直角三角形的两个锐角互余。
性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
性质3：含有30°的直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。
3、直角三角形判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。
4、判定直角三角形全等的一般方法
由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了。这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理。
5、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理（HL）
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。
这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备。
6、角的平分线的判定：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
考点1 直角三角形的两锐角互余
例1．（24-25七年级下·广东汕头·期末）如图，在三角形中，，，，与相等的角（不包括本身）有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，∴．
∵，∴，∴．
∵，∴．故选：C．
变式1．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，把直尺摆放在直角三角板上，，直尺与三角板的边分别交于点D，E，F，G，若，则的度数是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：过点B作，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，故选：B．
变式1．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，是边上的高，，，则的度数为 ．
【答案】或
【详解】解：如下图所示，当为锐角三角形时，
，，，，
又，；
如下图所示，当为钝角三角形时，
，，，，
又，．故答案为：或．
变式3．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，平分，点为线段上的一点，交的延长线于点．若，，求的度数．
【答案】
【详解】解： 平分，，，
，，在直角三角形中，
，．
考点2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
例1．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，点O是边长为3的等边一边上的一点，分别与两边垂直，则（ ）
A．1.6 B．1.5 C．1.8 D．2
【答案】B
【详解】解：∵是边长为3的等边三角形， ∴，，
又∵， ∴，
∴，∴，
∴，故选：B．
变式1．（24-25八年级下·广西防城港·期中）如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得，则两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，点是斜边的中点，∴，故选：B ．
变式2．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在中，是斜边的中点，以为边作正方形．若，则正方形的面积为（ ）
A．5 B．100 C．25 D．15
【答案】C
【详解】解：在中，是斜边的中点，，
∴，∴，故正方形的面积为25，故选：C．
变式3．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，已知，，E为的中点．求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：，，，
为的中点，，，．
变式4．（24-25八年级上·四川南充·期中）如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到是的中点，是的中点，连接，若，则线段的最大值是 ．
【答案】6
【详解】解：如图连接．在中，∵，，∴，
根据旋转不变性可知，，，
∵P是的中点，∴，∵M是的中点，∴
又∵，即，∴的最大值为6（此时P、C、M共线）．
故答案为：6．
考点3 30°的角所对的直角边等于斜边的一半.
例1.（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，在中，，，点是边上的点，，将沿直线翻折，使点落在边上的点处，若点是直线上的动点，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：连接，∵将沿直线翻折，使点落在边上的点处，
∴，∴，
∴当点三点共线时，取得最小值为，
∵，，∴，∴，
∴，∴，∵，，
∴，∴，故答案为：9．
变式1．（2025·贵州黔东南·二模）如图，在等边三角形中，，，，则的长度为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【详解】解：在等边中，，∴，，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，故选：C．
变式2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）小辉为宣传“两会”，设计了形状如图所示的彩旗，已知，，点D在上，且，，则的长为（ ）
A．30cm B．32cm C．34cm D．36cm
【答案】B
【详解】解：∵，∴．
∵是的外角，∴．
在中，，∴，∴．故选：B．
变式3．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）某校在一块如图所示的三角形空地ABC上种植草皮美化环境，已知，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮需要 元．
【答案】
【详解】解：如图，作边的高，设与的延长线交于点，
，，，，，
，，
每平方米售价元，购买这种草皮的价格：元．故答案为：．
变式4．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）如图，在中，，平分，于，连接，交于点．
(1)求证：；(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵，∴，
∵，∴，∵平分，∴，
在和中，，∴，∴；
（2）解∶∵平分，，∴，
∵，∴，，
∵，，∴是等边三角形，∴，
∴，∴，∴．
考点4 直角三角形的判定（两锐角互余）
例1．（25-26八年级上·浙江·课后作业）如图，在中，，平分交于点E．(1)求的度数；(2)若于点D，．判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)(2)是直角三角形，理由见解析
【详解】（1）解：，，
平分，，
；
（2）解：是直角三角形，理由如下：由（1）得：，
，，，，
．，是直角三角形．
变式1．（24-25·山东济宁·八年级统考期中）在下列条件中：①；②；③，能确定是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【答案】C
【详解】解：①∵，∴，
∴，∴是直角三角形，故小题正确；
②∵，∴最大角，故小题正确；
③∵，∴，∴，故小题正确；
综上所述，是直角三角形的是①②③共3个．故选：C．
变式2．（24-25·广西·八年级期中）在△ABC中，满足下列条件：①；②；③；④，能确定是直角三角形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】①∵；∴，
∵，∴，
则能确定是直角三角形，故本选项符合题意；
②∵，∴，∴，
则能确定是直角三角形，故本选项符合题意；
③∵，∴最大角，
则不能确定是直角三角形，故本选项不符合题意；
③∵，∴，∴，
则能确定是直角三角形，故本选项符合题意；故选C．
变式3．（24-25·八年级课时练习）根据下列条件判断是不是直角三角形，并说明理由．
(1)有一个外角为．(2)，．(3)如图，与互余，．
【答案】(1)是直角三角形，理由见解析(2)是直角三角形，理由见解析
(3)是直角三角形，理由见解析
【详解】（1）解：是直角三角形．理由：
∵有一个外角为，∴与这个外角不相邻的两个内角之和等于90°，∴是直角三角形；
（2）解：是直角三角形．理由：∵，，
∴，∴是直角三角形；
（3）解：是直角三角形．理由：∵与互余，∴，
∵，∴，即，∴是直角三角形．
考点5 直角三角形全等的判定（HL添加条件）
例1．（25-26八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，已知，，若用“”判定，还需补充一个条件，可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意可知，，即两直角三角形斜边相等，
若用“”判定和全等，则还需一组直角边相等，
即或，只有B选项符合.故选：B．
变式1．（2025八年级上·重庆·专题练习）在和中，，有如下几个条件：①，；②，；③，；④，．其中，能判定的条件的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】解：如图：
①在和中，，∴，故本选项正确；
②在和中，，∴，故本选项正确；
③在和中，，∴，故本选项正确；
④∵，，，，∴，
在和中，，∴，故本选项正确；
∴能判定的条件为：①②③④，答案：D．
变式2．（25-26八年级上·广东单元测试）如图，在和中，，要使≌，则需再添加一个条件为 ．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：条件可以是：；
证明：∵，∴，即，
∵，∴，
在和中，，∴≌．
故答案为： （答案不唯一）．
变式3．（25-26八年级上·浙江·课后作业）如图，已知在与中，．要利用“HL”判定，还需添加的条件是 （写出一种情况即可）．
【答案】（或）
【详解】解：若添加.
在和中，
若添加.在和中，
故答案为：或．
变式4．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，已知点，，，在同一条直线上，，，若添加一个条件后用可证明，添加的条件可以是
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：∵，∴，∴，
∵，∴和是直角三角形，
∴用可证明，添加的条件可以是，故答案为：（答案不唯一）．
考点6 直角三角形全等的判定（HL计算）
例1．（25-26八年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙的两侧，已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的宽度相等，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意可知，，，，
在和中，，，，
，，．故选：C．
变式1．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，，，，线段，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，问P点运动到 位置时，才能使与全等．
【答案】中点或点C
【详解】解：由题意可得：，
当时，在和中，，∴，
当时，在和中，，∴，
综上所述，P点运动到中点或点C位置时，才能使与全等，
故答案为：中点或点C．
变式2．（25-26八年级上·重庆·课后作业）如图，在中，，点在边上，连接，分别过点作于点，交的延长线于点．若，则的度数是 ．
【答案】
【详解】解：，是直角三角形
在和中
又故答案为： ．
变式3．（25-26八年级上·浙江·期中）如图，在中，，平分交于点，于点，是线段上一点，连接，，若，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：∵，平分，，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，故答案为：6．
变式4．（25-26八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，点D在上，于点E，交于点F，．若，则 ．
【答案】/55度
【详解】解：∵，，∴，
在和中，，∴，∴，，
∵，∴，∴，
∵，∴；故答案为：．
考点7 直角三角形全等的判定（HL证明）
例1．（25-26八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在中，于点，为上一点，且．
(1)求证：≌ (2)若，试求的面积．
【答案】(1)详见解析(2)20
【详解】（1）证明：∵，∴，
在和中，∴≌（HL）；
（2）解：∵≌，∴，
∵，∴，
∴．
变式1．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，在中，，直线经过点，于点，于点，且；
(1)求证：．(2)判断、、这三条线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)，见解析
【详解】（1）证明：，，，
在和中，，，，
，，，
，；
（2）解：，理由如下：，，
，．
变式2．（2025七年级下·成都·专题练习）如图，四边形中，，，，，与相交于点F．(1)求证：；(2)判断线段与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)垂直，见解析
【详解】（1）证明：∵，
在和中，，∴，
（2）解：．理由如下：∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴．
变式3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在和中，于点，于点，，．求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：，，，
在和中，，；，
在中，，，即；．
变式4．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）已知：如图，是的高，是上一点，，，求证：(1)．(2)．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）证明：是的高，，
在和中，，，；
（2）如图，延长与交于点，
，，，
又，，，
，．
考点8 角平分线的判定
例1．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，过的边的垂直平分线上的点，作的另外两边，所在直线的垂线，垂足分别为，，，作射线；求证：平分．
【答案】见解析
【详解】证明：连接，，
∵点在的垂直平分线上，．
，，．
在和中，∴，．
又，，点在的平分线上，即平分．
变式2．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，D、F分别为上的点，连接，过点D作于点E，．求证：平分．
【答案】见解析
【详解】证明：∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，，
在和中，∵∴，∴，
∵，∴平分．
变式3．（24-25八年级上·内蒙古·期中）已知：如图，锐角的两条高，相交于点，且．(1)求证：是等腰三角形；(2)试判断点是否在的平分线上，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析；(2)是在的平分线上，理由见解析．
【详解】（1）证明：∵，∴，
∵是两条高，∴，又∵，∴，
∴，∴，∴是等腰三角形；
（2）解：是在的平分线上，理由，连接，如图，∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，，∴点在的角平分线上．
变式4．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，点在边上，且，，的延长线交于点F，连接．(1)求证：；(2)求证：平分．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）证明：，，，，．
（2）证明：如图，过点作，，垂足分别为G，H．
由（1）知，，，．
，．．平分．
考点9直角三角形全等的判定综合
例1．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法．
已知：在四边形中，平分，．
(1)如图①，当时，求证：；(2)如图②，当时，①求证：；
②若，，，则点C到的距离是______．
【答案】(1)见解析(2)①见解析 ②
【详解】（1）证明：∵，，∴，
∵平分，∴，
∵，∴，∴；
（2）①证明：过点C作交于点E，过点C作交于点F，
∵，，∴，
∵，，∴，∴；
②解：由①可知，，，
∴，∴，
∵，∴，即，
∵，，∴，
∵，∴，∴，∴点C到的距离是．
变式1．（25-26八年级上·浙江·期中）如图，中，点D在BC边上， 的平分线交AC于点E，过点E作 垂足为F，且 连接DE．(1)求的度数；(2)求证：平分；(3)若，且 求 的面积．
【答案】(1)(2)见解析(3)
【详解】（1）解：∵，∴．
∵， ；
（2）证明：如图，过点E作，垂足分别为G，H．
∵，∴．
∵平分，，∴．∴．
∵，∴平分．
（3）解：，
即 ，解得 ，
∴的面积．
变式2．（2024八年级下·浙江·培优）如图，已知在中，为直角，，为上一点，于E．(1)若平分，求证：；(2)若D为上一动点，如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由．
【答案】(1)见解析；(2)不变，，理由见解析．
【详解】（1）证明：连接，延长，交的延长线于
是直角，，，
，，，，
在和中，，，，
，∴，∵平分，∴，
∵，∴，，；
（2）不变化，理由：如图，过点作于，作于，
是直角，，，
，，，，
在和中，，，
，，，而，，
，，平分，，即：不变化．
变式3．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）八年级上学期我们学习了角平分线性质及其判定定理，课本P106的例1同时运用了角平分线性质及其判定定理完成了该几何问题的证明．
例1．已知：如图，、分别是、的平分线，，，垂足分别为点、．
求证：点在的平分线上．
证明：过点作，垂足为点．
、分别是、的平分线（已知）．
，（已知），
（所作），
，（①）．（A．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等．C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．D．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．）
（等量代换）．
点在的平分线上（②）．（A．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等．C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．D．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．）
【研究原图形】（1）请在A、B、C、D中选择一个填入①和②；
（2）在例1的图中，分别连接、、．小婷发现和的内角之间存在一定的数量关系，若，则______．（用含的代数式表示）
【解决新问题】为了方便研究，小婷同学把满足例1条件的叫做的“内三角形”，点叫做“共心”．（3）已知是的“内三角形”，点是“共心”，点、、分别在边、、上，且．先画出符合条件的示意图，再过点作于点，求证：点在直线上．
【答案】（1）B，D； （2）；（3）见解析
【详解】（1）证明：过点作，垂足为点．
、分别是、的平分线（已知）．
，（已知），（所作），
，（B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等．）
（等量代换）．
点在的平分线上（D．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．）
故答案为：B；D；
（2）解：如图，
∵，∴，∴，
∵，∴，延长交于点，
∴，
∴，即：，
∴；故答案为：；
（3）解：画出示意图，如图所示：
∵，，∴，∴；由（2）可知：，
∵，∴，∴，∴点在的中垂线上，
∵平分，∴，∵，
∴，∴，∴垂直平分，∴点在直线上．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（25-26八年级上·吉林·阶段练习）如图，在中，，是边上的高，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，，，
，，故选：C．
2．（25-26·湖北武汉·八年级校联考期中）在下列条件中不能判定为直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、，，所以，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意；
B、，,，所以是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意；
C、，可得，，所以，解得，，，都不是直角，不能判定三角形是直角三角形，符合题意；
D、，可得，，所以，解得，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意 故答案为：C
3．（24-25八年级上·河北唐山·期末）综合实践课上，老师发给每人一张印有的卡片，如图1，然后要求同学们画一个与全等的三角形．嘉淇同学先画出了后，后续的作图步骤如图2所示，则能判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由图示知，嘉淇第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为；
故选：C．
4．（24-25八年级上·浙江·期中）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，要画的角平分线，让一把直尺的一边与重合，让另一把直尺的一边与重合，并且两把直尺交于点P，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
【答案】A
【详解】解：如图，过P点作于C点，于D点，∴，
∵两把完全相同的长方形直尺，∴，
因为为公共边，所以，
所以，所以为的平分线．故选：A．
5．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，，垂足为，是上一点，且，连接、，．若，，则的长为（ ）
A．5.5 B．2.5 C．3 D．2
【答案】A
【详解】解：，，
在和中，，，，，
，，，故选：A．
6．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，，垂足为，且，点在上，若用“”证明，则需添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，∴，
当时，在和中
，∴．故选：B
7．（25-26八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在四边形中，，，点关于的对称点恰好落在上，连接，为的中线，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵点关于的对称点为点，
∴，，，∵， ∴，
又∵为的中线，∴，平分，∴，，
∴，
∴，∴．故选：B．
8．（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在中，，点在上，且中边上的高也为3，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图所示，过点D作于H，
∵中边上的高为3，∴，∵，∴，
又∵，，∴平分，
∵，∴，故选：D．
9．（24-25八年级上·云南大理·期末）如图，，是的中点，平分，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，作于，
∵，平分，，∴，
∵是的中点，∴，∴，
∵，，∴平分，∵，∴，
∴，∴，故选：B．
10．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（ ）
①平分；②；③；④．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【详解】解：①过点作于，
∵平分，平分，，
∴，，∴，
∵，∴点在的角平分线上，故①正确；
②∵，∴，∴，
在和中，，∴，∴，
同理：，∴，
∴，∴，②错误；
③∵平分，平分，
∴，，∴，③正确；
④由②可知，，
∴，，∴，故④正确，故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，点，在上，，，若要根据“”判定，则需添加的一个条件可以是 （写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：添加，
∵，∴，即，
在与中，，∴，
故答案为：（答案不唯一）．
12．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，点是边上的一点，于点，若，则 ．
【答案】
【详解】解：，，，
在和中，，故答案为：．
13．（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，点P是内部的一点，点P到三边，，的距离，若，则的度数为 ．
【答案】/104度
【详解】解：∵点P到三边，，的距离，
∴、是、的角平分线，∴，，
∵，∴，
∴，
∴．故答案为：．
14．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，点D，A，E在直线l上，，于D点，于E点，且若，，则 ．
【答案】5
【详解】解：，，，
在和中，，∴，，
，，故答案为：．
15．（25-26八年级上·内蒙古·阶段练习）如图，在中，，，平分．于点，，则的度数为 ．
【答案】
【详解】解：在中，，，
．
平分，．
，，．
．
．故答案为：．
16．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，长方形中(对边相等，四个角都是直角)，E是的中点，将沿折叠后得到，延长交于点F，若，则的长为 ．
【答案】7
【详解】解：连接，则在长方形中，，
∵翻折，是的中点， ∴，，，，
在与中， ∴；∴，
∵，，∴，，
∴∴，故答案为：7．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17.（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，数学活动实践课上，小浩在旗杆与某栋楼之间选定一点（点、、在同一水平线上，于点于点），他在点处用智能测量仪测得，，，求楼的高度．
【答案】楼的高度为
【详解】解：∵，，∴，
在和中，，∴，∴，
∵，，∴，
答：楼的高度为．
18．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，分别是、上的点，分别是上的点，若、，求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：、，
在和中，，
19．（24-25八年级下·贵州毕节·期中）已知，如图，点A、E、F、B在同一条直线上，，，，，(1)求证：；(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：，，和是直角三角形，
，，即，
在和中，，；
（2）解：，，
，，．
20．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，四边形中，度，E是上一点，且，。(1)与全等吗？请说明理由；(2)求证：．
【答案】(1)，理由见解析(2)见解析
【详解】（1）解：．理由如下：∵，∴，
在和中，，∴；
（2）证明：∵，∴，
∵，∴．
21．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）已知：如图，在中，D是边的中点，，点E、F为垂足，且，．
(1)求证；；(2)求证：是等边三角形．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）证明：∵，∴，
∵D是边的中点，∴，
∵，∴；
（2）由（1）知：，∴，
∵，∴；
∴，∴，
∵，∴是等边三角形．
22．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，已知，垂足为，，垂足为，，．求证：
(1)平分；(2)．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．
【详解】（1）证明：∵，，∴，
在和中， ，∴，∴，
∵，，∴点在角平分线上，∴平分；
（2）证明：∵，，∴，
在和中， ，∴，∴，
∵，∴．
23．（24-25·江西·八年级期中）已知：，，，．
（1）试猜想线段与的位置关系，并证明你的结论．
（2）若将沿方向平移至图2情形，其余条件不变，结论还成立吗？请说明理由．
（3）若将沿方向平移至图3情形，其余条件不变，结论还成立吗？请说明理由．
【答案】（1），见解析；（2）成立，理由见解析；（3）成立，理由见解析
【详解】解：（1）理由如下：∵，，∴
在和中∴，∴
∵，∴，∴，∴；
（2）成立，理由如下：∵，，∴，
在和中，
∴，∴，
∵，∴，∴，
在中，，∴；
（3）成立，理由如下：∵，，∴
在和中，∴，∴，
∵，∴，
在中，，∴．
24．（2025·安徽合肥·校考一模）与关于直线对称，点，分别是边，上的点，且．
(1)如图1，若为直角，求证：；
(2)若为钝角如图2，为锐角如图3，是否还成立？请分别写出你的结论，并选择其中一个结论解答．若成立，请补全图形并证明；若不成立，请画出反例（画反例时保留作图痕迹）．
【答案】(1)证明见解析
(2)结论：若为钝角，成立；若为锐角，不一定成立，理由见解析
【详解】（1）证明：∵与关于直线对称，为直角，
∴，，，
在与中，，∴，∴，
又∵，∴，即．
（2）解：结论：若为钝角，成立；若为锐角，不一定成立．
证明：当为钝角时，补全图形如图2：
过作，交的延长线于点，作，交的延长线于点，
∴，
∵与关于直线对称，∴，
在与中，，∴，∴，，
在与中，，∴，
∴，∴，即；
当为锐角时如图3，上述结论不一定成立，画出反例如图，
以点为圆心，为半径画弧，交于点，交于点，，
可得：，．
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专题2.6 直角三角形+专题2.8 直角三角形全等的判定
1、掌握直角三角形两个锐角互余的性质定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质定理；
2、会运用直角三角形的性质定理解决有关图形的论证计算等问题；
3、掌握直角三角形的判定定理:有两个角互余的三角形是直角三角形，会运用直角三角形的判定定理判定直角三角形。
4、掌握两个直角三角形全等的判定定理（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
5、探索并证明定理：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1 直角三角形的两锐角互余 2
考点2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4
考点3 30°的角所对的直角边等于斜边的一半. 6
考点4 直角三角形的判定（两锐角互余） 9
考点5 直角三角形全等的判定（HL添加条件） 10
考点6 直角三角形全等的判定（HL计算） 13
考点7 直角三角形全等的判定（HL证明） 15
考点8 角平分线的判定 17
考点9直角三角形全等的判定综合 20
模块3：培优训练 25
1、直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形。直角三角形可以用“Rt△”表示。
如下图，可以记作“Rt△ABC”。
注意：直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质。
2、直角三角形的性质定理
性质1：直角三角形的两个锐角互余。
性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
性质3：含有30°的直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。
3、直角三角形判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。
4、判定直角三角形全等的一般方法
由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了。这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理。
5、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理（HL）
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。
这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备。
6、角的平分线的判定：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
考点1 直角三角形的两锐角互余
例1．（24-25七年级下·广东汕头·期末）如图，在三角形中，，，，与相等的角（不包括本身）有（ ）
A． B． C． D．
变式1．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，把直尺摆放在直角三角板上，，直尺与三角板的边分别交于点D，E，F，G，若，则的度数是 （ ）
A． B． C． D．
变式2．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，是边上的高，，，则的度数为 ．
变式3．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，平分，点为线段上的一点，交的延长线于点．若，，求的度数．
考点2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
例1．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，点O是边长为3的等边一边上的一点，分别与两边垂直，则（ ）
A．1.6 B．1.5 C．1.8 D．2
变式1．（24-25八年级下·广西防城港·期中）如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得，则两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在中，是斜边的中点，以为边作正方形．若，则正方形的面积为（ ）
A．5 B．100 C．25 D．15
变式3．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，已知，，E为的中点．求证：．
变式4．（24-25八年级上·四川南充·期中）如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到是的中点，是的中点，连接，若，则线段的最大值是 ．
考点3 30°的角所对的直角边等于斜边的一半.
例1.（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，在中，，，点是边上的点，，将沿直线翻折，使点落在边上的点处，若点是直线上的动点，则的最小值是 ．
变式1．（2025·贵州黔东南·二模）如图，在等边三角形中，，，，则的长度为（ ）
A． B． C．2 D．4
变式2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）小辉为宣传“两会”，设计了形状如图所示的彩旗，已知，，点D在上，且，，则的长为（ ）
A．30cm B．32cm C．34cm D．36cm
变式3．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）某校在一块如图所示的三角形空地ABC上种植草皮美化环境，已知，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮需要 元．
变式4．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）如图，在中，，平分，于，连接，交于点．
(1)求证：；(2)若，，求的长．
考点4 直角三角形的判定（两锐角互余）
例1．（25-26八年级上·浙江·课后作业）如图，在中，，平分交于点E．(1)求的度数；(2)若于点D，．判断的形状，并说明理由．
变式1．（24-25·山东济宁·八年级统考期中）在下列条件中：①；②；③，能确定是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
变式2．（24-25·广西·八年级期中）在△ABC中，满足下列条件：①；②；③；④，能确定是直角三角形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式3．（24-25·八年级课时练习）根据下列条件判断是不是直角三角形，并说明理由．
(1)有一个外角为．(2)，．(3)如图，与互余，．
考点5 直角三角形全等的判定（HL添加条件）
例1．（25-26八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，已知，，若用“”判定，还需补充一个条件，可以是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2025八年级上·重庆·专题练习）在和中，，有如下几个条件：①，；②，；③，；④，．其中，能判定的条件的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式2．（25-26八年级上·广东单元测试）如图，在和中，，要使≌，则需再添加一个条件为 ．（写出一个即可）
变式3．（25-26八年级上·浙江·课后作业）如图，已知在与中，．要利用“HL”判定，还需添加的条件是 （写出一种情况即可）．
变式4．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，已知点，，，在同一条直线上，，，若添加一个条件后用可证明，添加的条件可以是
考点6 直角三角形全等的判定（HL计算）
例1．（25-26八年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙的两侧，已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的宽度相等，则（ ）
A． B． C． D．
变式1．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，，，，线段，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，问P点运动到 位置时，才能使与全等．
变式2．（25-26八年级上·重庆·课后作业）如图，在中，，点在边上，连接，分别过点作于点，交的延长线于点．若，则的度数是 ．
变式3．（25-26八年级上·浙江·期中）如图，在中，，平分交于点，于点，是线段上一点，连接，，若，则的长为 ．
变式4．（25-26八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，点D在上，于点E，交于点F，．若，则 ．
考点7 直角三角形全等的判定（HL证明）
例1．（25-26八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在中，于点，为上一点，且．(1)求证：≌ (2)若，试求的面积．
变式1．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，在中，，直线经过点，于点，于点，且；
(1)求证：．(2)判断、、这三条线段之间的数量关系，并说明理由．
变式2．（2025七年级下·成都·专题练习）如图，四边形中，，，，，与相交于点F．(1)求证：；(2)判断线段与的位置关系，并说明理由．
变式3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在和中，于点，于点，，．求证：．
变式4．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）已知：如图，是的高，是上一点，，，求证：(1)．(2)．
考点8 角平分线的判定
例1．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，过的边的垂直平分线上的点，作的另外两边，所在直线的垂线，垂足分别为，，，作射线；求证：平分．
变式2．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，D、F分别为上的点，连接，过点D作于点E，．求证：平分．
变式3．（24-25八年级上·内蒙古·期中）已知：如图，锐角的两条高，相交于点，且．(1)求证：是等腰三角形；(2)试判断点是否在的平分线上，并说明理由．
变式4．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，点在边上，且，，的延长线交于点F，连接．(1)求证：；(2)求证：平分．
考点9直角三角形全等的判定综合
例1．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法．
已知：在四边形中，平分，．
(1)如图①，当时，求证：；(2)如图②，当时，①求证：；
②若，，，则点C到的距离是______．
变式1．（25-26八年级上·浙江·期中）如图，中，点D在BC边上， 的平分线交AC于点E，过点E作 垂足为F，且 连接DE．(1)求的度数；(2)求证：平分；(3)若，且 求 的面积．
变式2．（2024八年级下·浙江·培优）如图，已知在中，为直角，，为上一点，于E．(1)若平分，求证：；(2)若D为上一动点，如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由．
变式3．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）八年级上学期我们学习了角平分线性质及其判定定理，课本P106的例1同时运用了角平分线性质及其判定定理完成了该几何问题的证明．
例1．已知：如图，、分别是、的平分线，，，垂足分别为点、．
求证：点在的平分线上．
证明：过点作，垂足为点．
、分别是、的平分线（已知）．
，（已知），
（所作），
，（①）．（A．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等．C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．D．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．）
（等量代换）．
点在的平分线上（②）．（A．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等．C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．D．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．）
【研究原图形】（1）请在A、B、C、D中选择一个填入①和②；
（2）在例1的图中，分别连接、、．小婷发现和的内角之间存在一定的数量关系，若，则______．（用含的代数式表示）
【解决新问题】为了方便研究，小婷同学把满足例1条件的叫做的“内三角形”，点叫做“共心”．（3）已知是的“内三角形”，点是“共心”，点、、分别在边、、上，且．先画出符合条件的示意图，再过点作于点，求证：点在直线上．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（25-26八年级上·吉林·阶段练习）如图，在中，，是边上的高，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26·湖北武汉·八年级校联考期中）在下列条件中不能判定为直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级上·河北唐山·期末）综合实践课上，老师发给每人一张印有的卡片，如图1，然后要求同学们画一个与全等的三角形．嘉淇同学先画出了后，后续的作图步骤如图2所示，则能判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级上·浙江·期中）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，要画的角平分线，让一把直尺的一边与重合，让另一把直尺的一边与重合，并且两把直尺交于点P，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
5．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，，垂足为，是上一点，且，连接、，．若，，则的长为（ ）
A．5.5 B．2.5 C．3 D．2
6．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，，垂足为，且，点在上，若用“”证明，则需添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在四边形中，，，点关于的对称点恰好落在上，连接，为的中线，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在中，，点在上，且中边上的高也为3，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25八年级上·云南大理·期末）如图，，是的中点，平分，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（ ）
①平分；②；③；④．
A．个 B．个 C．个 D．个
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，点，在上，，，若要根据“”判定，则需添加的一个条件可以是 （写出一个即可）
12．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，点是边上的一点，于点，若，则 ．
13．（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，点P是内部的一点，点P到三边，，的距离，若，则的度数为 ．
14．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，点D，A，E在直线l上，，于D点，于E点，且若，，则 ．
15．（25-26八年级上·内蒙古·阶段练习）如图，在中，，，平分．于点，，则的度数为 ．
16．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，长方形中(对边相等，四个角都是直角)，E是的中点，将沿折叠后得到，延长交于点F，若，则的长为 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17.（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，数学活动实践课上，小浩在旗杆与某栋楼之间选定一点（点、、在同一水平线上，于点于点），他在点处用智能测量仪测得，，，求楼的高度．
18．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，分别是、上的点，分别是上的点，若、，求证：．
19．（24-25八年级下·贵州毕节·期中）已知，如图，点A、E、F、B在同一条直线上，，，，，(1)求证：；(2)若，求的度数．
20．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，四边形中，度，E是上一点，且，。(1)与全等吗？请说明理由；(2)求证：．
21．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）已知：如图，在中，D是边的中点，，点E、F为垂足，且，．
(1)求证；；(2)求证：是等边三角形．
22．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，已知，垂足为，，垂足为，，．求证：(1)平分；(2)．
23．（24-25·江西·八年级期中）已知：，，，．
（1）试猜想线段与的位置关系，并证明你的结论．
（2）若将沿方向平移至图2情形，其余条件不变，结论还成立吗？请说明理由．
（3）若将沿方向平移至图3情形，其余条件不变，结论还成立吗？请说明理由．
24．（2025·安徽合肥·校考一模）与关于直线对称，点，分别是边，上的点，且．(1)如图1，若为直角，求证：；(2)若为钝角如图2，为锐角如图3，是否还成立？请分别写出你的结论，并选择其中一个结论解答．若成立，请补全图形并证明；若不成立，请画出反例（画反例时保留作图痕迹）．
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