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专题2.8 特殊三角形中的动态问题
1、掌握三类等腰三角形的分类讨论问题；
2、掌握两类直角三角形的分类讨论问题。
模块1：知识梳理 1
模块2：核心考点 2
TOC \o "1-4" \h \z \u 模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角的分类讨论 2
模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对高的分类讨论 2
模型3.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论 3
模型4.斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 9
模型5.直角三角形存在性模型 11
模块3：培优训练 17
1、涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。
2、直角三角形中，优先考虑直角的分类讨论，再利用直角三角形的性质与勾股定理解题即可。
模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角的分类讨论
例1．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）已知等腰三角形的一个内角等于，则该三角形的一个底角是（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【详解】解：当的角是底角时，三角形的底角就是；
当的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理可得底角是．故选：D．
例2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为，，则该等腰三角形的周长为 ．
【答案】
【详解】当三边的长为，，，不能构成三角形，不符合题意；
当三边的长为，，，能构成三角形，符合题意；
∴周长为，故答案为：．
例3．（24-25四川巴中·七年级统考期末）等腰三角形的周长为，一边长为，则其它两边长是（ ）
A．， B．， C．，或， D．，
【答案】B
【详解】解：∵等腰三角形的周长为，一边长为，
∴①当底边长为时，其它两边长是，
②当腰长为时，其它两边长是或，，此时三边不能构成三角形，
综上，其它两边长是，，故选：B．
例4．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）已知的三边长分别为，5，6，当为等腰三角形时，a的值为（ ）
A．4 B．5 C．4或5 D．5或6
【答案】C
【详解】解：根据题意，当即时，的三边长分别为5，5，6，满足，能构成等腰三角形；
当即时，的三边长分别为5，6，6，满足，能构成等腰三角形，
综上，当为等腰三角形时，a的值为4或5，故选：C．
模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对高的分类讨论
例1．（24-25八年级上·广东中山·阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰所在的直线的夹角是40度，则底角是（ ）度．
A．25 B．65 C．25或65 D．50
【答案】C
【详解】解：当该三角形为锐角三角形时，如图1，
可得其顶角为，则底角为，
当该三角形为钝角三角形时，如图2，
可得顶角的外角为，则顶角为，
则底角为，综上可知该三角形的底角为或，故选：C．
例2．（24-25八年级上·广东·期中）等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为两部分，等腰三角形的周长为21，则它的腰为 ．
【答案】6或8
【详解】解：设腰长为x，底边长为y，由题意知，周长的两部分为9和12，
则或，解得：或；
经检验，都符合三角形的三边关系．所以等腰三角形的腰长为6或8．故答案为：6或8．
模型3.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论
【解题技巧】“两定一动”等腰三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）
即：如图：已知，两点是定点，找一点构成等腰
方法：两圆一线
具体图解：①当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）
②当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）
③当时，作的中垂线，点在该中垂线上（除外）
例1．（24-25江苏八年级期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B都是格点（小正方形的顶点叫做格点），若△ABC为等腰三角形，且△ABC的面积为1，则满足条件的格点C有( )
A．0个 B．2个 C．4个 D．8个
【答案】C
【详解】解：如图所示：∵△ABC为等腰三角形，且△ABC的面积为1，
∴满足条件的格点C有4个，故选C．
例2．（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，，若点C在x轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】B
【详解】解：∵，，∴，如图：
，
以为圆心，为半径画圆，交轴于，得到以为顶点的等腰，
以为圆心，为半径画圆，交坐标轴于，，得到以为顶点的等腰，，
作的垂直平分线，交坐标原点于，得到以为顶点的等腰，
综上所述，符合条件的一共有4个，故选：B．
例3．（24-25黑龙江佳木斯·八年级校考期中）从一个等腰三角形的顶角引出的一条射线把这个等腰三角形分成两个等腰三角形，则这个等腰三角形的顶角为 ．
【答案】或
【详解】解：分两种情况讨论：①如图，，
∴，∴；
②如图，，∴，
∵，，∴，
∴；综述：等腰三角形的顶角的度数为或.
例4．（24-25福建·厦门八年级期末）在平面直角坐标系中，点A（10，0）、B（0，3），以AB为边在第一象限作等腰直角△ABC，则点C的坐标为_______．
【答案】
【详解】解：如图，
当为直角顶点时，则,作轴，
又,同理可得
根据三线合一可得是的中点，则，综上所述，点C的坐标为
故答案为：
例5．（24-25江苏苏州·八年级校考期中）如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒（）．
(1)若点在上，且满足，求此时的值；(2)若点恰好在的角平分线上，求此时的值：
(3)在运动过程中，当为何值时，为等腰三角形．
【答案】(1)(2)或(3)或或或3
【详解】（1）解：如图，设，则，
，，，，
在中，由勾股定理得，
，解得，，；
（2）解：如图所示，当点P在上时，过作于，
平分，，，，
在与中，，
，，设，则，
在中，由勾股定理得，
，解得，，，
当点与点重合时，点也在的角平分线上，此时，．
综上所述，点恰好在的角平分线上，的值为或．
（3）解：分四种情况：①如图，当在上且时，∴，
∵，，，，
是的中点，即，．
②如图，当在上且时，∴．
③如图，当在上且时，过作于，
∵，∴，
在中，由勾股定理得，
，．
④如图，当在上且时，则，．
综上所述，当的值为或或或3时，为等腰三角形．
例6．（24-25八年级上·江西抚州·阶段练习）一次函数的图象分别与，轴交于，两点，正比例函数与交于点．(1)求的值及的解析式；(2)若点在轴上，使得的值，请求出点的坐标；(3)若点在轴上，使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)．的解析式为；(2)点坐标为或；
(3)点的坐标为或或或．
【详解】（1）解：将点坐标代入一次函数解析式得，，解得．则点坐标为．
令的解析式为，将点坐标代入得，，解得，所以的解析式为；
（2）解：将代入得，，所以点坐标为．
又，故．又，所以．
又，则，所以，又点坐标为，所以点坐标为或；
（3）解：过点作轴的垂线，垂足为，在中，．
当点为等腰三角形的顶点时，，所以点的坐标为或．
当点为等腰三角形的顶点时，，又，所以，故点坐标为．
当为等腰三角形的顶点时，，则点在的垂直平分线上，
连接，在中，，即，解得，
所以点坐标为．综上所述，点的坐标为或或或．
模型4.斜边（或直角）不确定的直角三角形模型
例1．（2024·浙江嘉兴·三模）已知直角三角形两边长为3，4，则该直角三角形斜边上的中线长为（ ）
A．2或2.5 B．5或 C．2.5或 D．2.5或
【答案】A
【详解】解：当和为直角边时，则斜边，中线，
当斜边为时，中线，∴斜边的长为或，故选：A．
例2．（24-25·江苏南京·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，分别是高和角平分线，点E为边上一个点，当为直角三角形时，则 度．
【答案】42或21
【详解】解：，，，
平分，当为直角三角形时，有以下两种情况：
①当时，如图1，
，；
②当时，如图2，
，
，
综上，的度数为或．故答案为：42或21．
例3．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，是等边三角形，点与点分别在边与上，将沿直线折叠，使得的对应点落到边上，当为直角三角形时，的度数为（ ）
A．45°或75° B．45°或30° C．30°或75° D．45°或60°
【答案】A
【详解】解：为等边三角形，，当为直角三角形时，有以下两种情况：
①当时，如图1所示：
则，由折叠的性质得：，
②当为直角时，如图2所示：
则，，由折叠的性质得：，
综上所述：的度数为或．故选：A．
例4．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，，，点为的中点，点为边上一动点，连接，将沿折叠，点的对应点为点，连接，若是以点为直角顶点的直角三角形，则的长为 ．
【答案】
【详解】如图，当时，∵点为的中点，，∴，
∵，∴点A，，D共线，∴，
∵，，∴，∴；
若是以点为直角顶点的直角三角形，则的长为，故答案为：．
模型5.直角三角形存在性模型
“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见与坐标系综合、或结合翻折（折叠）、动点、旋转等）。
问题：已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形．
分三种情况，如图：
①以A为直角顶点，即∠BAP＝90°：过点A作AB的垂线，与已知直线l的交点P1即为所求；
②以B为直角顶点，即∠ABP＝90°：过点B作AB的垂线，与已知直线l的交点P2即为所求；
③以P为直角顶点，即∠APB＝90°：以AB的中点Q为圆心，QA的长为半径画圆，与已知直线l的交点P3，P4即为所求．
代数法计算：分别表示出点A，B，P的坐标，再分别表示出AB，AP和BP的长，由①BP2＝AB2＋AP2；②AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分别列方程求解．若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况不存在。
几何法计算：找相似，利用相似三角形求解，如果图中没有相似三角形，可通过添加辅助线构造相似三角形。特殊地，若有30°，45°或60°角可考虑用勾股定理或锐角三角函数求解．
例1．（24-25八年级上·陕西商洛·期末）在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，，．若在该坐标平面内有一点P（不与点A、B、O重合）为一个顶点的直角三角形与全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．6个 D．7个
【答案】D
【详解】解：如图：分别以为边作与全等的三角形各有4个，其中有5个是重合的，则所有符合条件的三角形个数为7．故选：D．
例2．（24-25江苏·九年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，已知，以为一边在外部作等腰直角．则点的坐标为 ．
【答案】或或
【详解】解：如图，当时，作轴于，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
同法可得，当，
当是等腰直角三角形的斜边时，是的中点，，
综上所述，满足条件的点的坐标为或或．故答案为：或或．
例3．（24-25八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是，点P的坐标为，若为直角三角形，则的值为 ．
【答案】3或
【详解】解：有两种情况：
①如图1，当时，∵点A的坐标是，∴点P的坐标为，∴；
②如图2，当时，过A作于B，
∴，，，∴，，
∴在中，，即，解得：，
∴综上所述：m的值为3或，故答案为：或m＝．
例4．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图正方形边长为2，为边中点，为射线上一点不与重合），若为直角三角形，则 ．
【答案】或或
【详解】解：分三种情况：①如图1，当时，在正方形的内部，
是的中点，且，，
四边形是正方形，，，，；
②如图2，当时，在正方形的外部，同理可得；
③如图3，当时，，，，
，，，
综上，的长是或或；故答案为：或或．
例5．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）如图．在中．．若点P是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点C以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为t，若为直角三角形，则t的值为
【答案】，或4.8
【详解】解：①如图（1），当时，则，，
∵∴解得：；
②如图（2），当时，
∵，∴，∴若则，解得，，
③当时，∵∴，∴，
若时，则；故答案为 ，或4.8
例6．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点，与直线交于点E．已知点D的坐标为，点C在A的左侧且．
(1)分别求出直线和直线的表达式；(2)在直线上，是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在坐标轴上，是否存在一点Q，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，(2)存在，若点P在右侧，；若点P在左侧，
(3)存在，或
【详解】（1）解：将，代入直线：，得：
，解得：，∴直线：，
∵，，∴，设直线：()
将，代入直线：，得：
，解得：，∴直线：．
（2）解：联立，解得：，∴，∴，
①若点P在右侧，∵，∴，
∴，解得，∴
②若点P在左侧，∵S△BEP=8，∴，
∴，解得，当时，，∴．
（3）解：分两种情况：①当时，交x轴于Q，
∵，，∴，∵，∴，
∵，∴，∵，∴，
∴，∴，∴；
②当时，交x轴于Q，同理，∴，
∵，，∴，由勾股定理，得，
∴，∴，综上，存在，或．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25八年级上·山东威海·阶段练习）等腰三角形的一个内角是，它的另外两个角的度数是（ ）
A．和或和 B．和或和
C．和或 和 D．和或 和
【答案】B
【详解】解：①当的角是顶角时，则两个底角为；
②当的角是底角时，则顶角为．故它的其余两个角的度数为或，．故选：B．
2．（24-25八年级上·吉林四平·期中）一个等腰三角形的一边长，一边长，则这个三角形的周长是（ ）
A． B． C．或 D．无法确定
【答案】B
【详解】解：当腰长为：时，，不能构成三角形，不符合题意；
当腰长为时，这个三角形的周长是；故选B．
3．（2024八年级上·湖北·专题练习）等腰三角形三边长分别为，，，则等腰三角形的周长为（ ）
A．10 B．7或10 C．7或4 D．10或7或4
【答案】B
【详解】解：①当为底边长时，腰长为，，
∵三角形为等腰三角形，，解得，∴，，∵，∴构不成三角形；
②当为底边长时，腰长为，，∵三角形为等腰三角形，，解得，
∴，，符合三角形三边关系，等腰三角形的周长为；
③当为底边长时，腰长为，，∵三角形为等腰三角形，，解得，
∴，，符合三角形三边关系，等腰三角形的周长为．
综上，等腰三角形的周长为7或10，故选：B．
4．（24-25·四川广元·八年级校联考期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】B
【详解】如图1，三角形是锐角三角时，，顶角；
如图，三角形是钝角时，，顶角，
综上所述，顶角等于或．故选：B．
5．（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，中，将沿折叠，使得点B落在边上的点F处，若，且为等腰三角形，则的度数为（）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】B
【详解】解：当时，，
∵，∵，∴，
∴，∴，
当时，，则，∴．
当时，点与重合，不符合题意，综上所述，或，故选：B．
6．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）在等边三角形所在的平面上找一点，使、，都是等腰三角形．那么满足条件的点有（ ）个
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：以为圆心，为半径画弧交的垂直平分线于点两点； 以为圆心，为半径画弧交的垂直平分线于点，这样在的垂直平分线上有三点，
同样在的垂直平分线上也分别有点；
还有一点就是三条边的垂直平分线的交点；
∴共（个）故选：．
7．（24-25·广东广州·八年级校考期末）如图，点M是直线y=2x+3上的动点，过点M作MN垂直于x轴于点N，y轴上是否存在点P，使得△MNP为等腰直角三角形，则符合条件的点P有（提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【详解】当M运动到(－1，1)时，ON=1，MN=1，
∵MN⊥x轴，所以由ON=MN可知，(0，0)和(0，1)就是符合条件的P点；
又当M运动到第三象限时，要MN=MP，且PM⊥MN，设点M(x，2x+3)，
则有－x=－(2x+3)，解得x=－3，所以点P坐标为(0，－3)．
如若MN为斜边时，则∠ONP=45°，所以ON=OP，设点M(x，2x+3)，
则有－x=－(2x+3)，化简得－2x=－2x－3，这方程无解，所以这时不存在符合条件的P点；
又当点M′在第二象限，M′N′为斜边时，这时N′P=M′P，∠M′N′P=45°，设点M′(x，2x+3)，则OP=ON′，而OP=M′N′，∴有－x=(2x+3)，解得x=－，这时点P的坐标为(0，－)．
因此，符合条件的点P坐标是(0，0)，(0，－)，(0，－3)，(0，1)．故答案选C,
8．（24-25八年级下·重庆·假期作业）如图，在中，，点是边上的一个动点（不与重合），过作交边于点，将沿直线翻折，点落在射线上的处，当为直角三角形时，的长为（ ）
A．1或3 B．2或3 C．1或2 D．2或4
【答案】C
【详解】解：∵在中，，
∴，，，即，∴，
①若点在线段上，时，
由折叠可得：，，
，即，，，
②若点在的延长线上，，如图，
由折叠可得：，∵，，
即，，，，故选：C．
4．（24-25·辽宁沈阳·八年级统考期中）如图，中，，，，点E为射线上一点，若是等腰三角形，则的面积不可能是（ ）
A．40 B．48 C． D．
【答案】D
【详解】解：，，，，
是等腰三角形，存在三种情况，
当时，的面积是：；
当时，，的面积是：；
当时，设，则，，
，，即，解得，
，的面积是：；
由上可得，的面积是40或48或，故选：D．
10．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，在中，，，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当为直角三角形时，t的值为（ ）
A．秒 B．3秒 C．或3秒 D．3或秒
【答案】D
【详解】解：根据题意得：，，
为直角三角形，，当时，则，
，解得：，
当时，则，，解得：，
综上，当t的值为3秒或秒时，为直角三角形，故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级上·山东泰安·期中）若等腰三角形的顶角是，则它的一个底角是 ．
【答案】54
【详解】解：∵等腰三角形的顶角是，∴它的一个底角是．故答案为：54
12．（24-25八年级上·甘肃武威·期中）一个等腰三角形的周长为11，其中一边为3，则其他两边长分别为 ．
【答案】，或3，5；
【详解】解：当等腰三角形的底边为3时，腰为：，
∵，∴满足三角形三边关系，∴另外两边的长为：，；
当等腰三角形的腰为3时，底边为：，
∵，满足三角形三边关系，∴另外两边的长为：3，5；
综上，另两边长分别为，或3，5；故答案为：，或3，5．
13．（24-25八年级上·成都市·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，四边形是长方形，点的坐标分别是，是的中点，点在边上运动．当是腰长为的等腰三角形时，点的坐标是 ．
【答案】或或
【详解】，，
是的中点，，分以下三种情况讨论：
①当时， 在中，，
，∴点的坐标是；
②当时，若为锐角，如图①，过点作于点，则，
，，∴点的坐标是；
若为钝角，如图②，过点作于点，同理可得，
，∴点的坐标是．
③当时，则，
是等边三角形，如图③，过点作于点，则，
在中，，∴该种情况不成立；
综上所述，点的坐标是或或．
14．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，过点B分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为C，A，直线与AB交于点D，与y轴交于点E，动点M在线段上，动点N在直线上，若是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点N的坐标为 ．
【答案】或
【详解】解：根据题意可得，
（1）点在下方时，过点作轴交轴于点，交于点，，
∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
，，
，，，
设，，
又，，，；
（2）点在上方时，过点作轴交轴于点，交直线于点，
同理得，，设，，
又，，，；故答案为：或．
15．（24-25八年级下·江西上饶·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，直线l经过原点O，且与x轴正半轴的夹角是，过点A作轴，交直线l于点N，若点P在射线上（点P与点N不重合），则当是直角三角形时，点P的坐标为 ．
【答案】或或或
【详解】解：（1）当A为直角顶点时，，是直角三角形，N与P重合，如图：
∵，，∴，，
∴，∴，∴，
（2）当B为直角顶点时，，是直角三角形，如图：
∵，，∴，∴，
∴，∴，
（3）当P为直角顶点时，分两种情况：， 是直角三角形，如图：
∵，，，∴，
∵，∴是等边三角形，过作，
∴，∴，∴，
当P为直角顶点时，分两种情况：， 是直角三角形，如图：
∵，，，∴，
∵，∴是等边三角形，同理可得，
综上所述，点P的坐标为或或或．
故答案为：或或或．
16.（24-25浙江绍兴·八年级统考期末）如图，在中，，，点D是边上的点，将沿折叠得到，线段与边交于点F．若为直角，则的长是 ．
【答案】/
【详解】解：如图，过点A作于点G，
∵，，∴，∴，∴，
∵将沿折叠得到，∴，
∵，∴，
∴，∴，∴，
∴．故答案为：
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．
(1)当t为何值时，为等边三角形？(2)当t为何值时，为直角三角形？
【答案】(1)(2)或
【详解】（1）解：，，，．，，
动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，
它们的速度分别为，，
，，，，；
当时，为等边三角形．即．．即当时，为等边三角形；
（2）解：若为直角三角形，①当时，，即，．
②当时，，即，，即当或时，为直角三角形．
18．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，点D为边上的动点，沿边往A运动，当运动到点A时停止，点D运动的速度为每秒1个单位长度．
(1)当时，分别求和的长；(2)当t为何值时，是直角三角形？
(3)若是等腰三角形，请直接写出t的值．
【答案】(1)，(2)或5(3)或3或
【详解】（1）解：时，，
∵，，，∴，∴；
（2）①当时，，即，解得，
∴，∴；
②当时，点D和点A重合，∴，综上所述，或5；
（3）①当是斜边中点时，，∴，∴；
②当时，；
③当时，如图，过B作于F，
由（2）得，∴，∴，∴；
综上所述，若是等腰三角形，t的值为或或．
19．（24-25·吉林长春·八年级校考阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，存在线段，端点A，B均落在格点上，构建如图所示平面直角坐标系．
(1)直接写出点A，B的坐标：A（______，______）， B（______，______）；
(2)请在网格中找到点C，连接，，使为等腰直角三角形，此时点C的坐标为______；
(3)如图所示，网格中（包括网格的边界）存在点P，点P的横纵坐标均为整数，连接，，得到锐角，且为等腰三角形，则满足条件的点P有_____个．
【答案】(1)0；1；1；(2)或或(3)4
【详解】（1）解：点A，B的坐标分别为：，；故答案为：0；1；1；．
（2）解：当点B为直角顶点时，点C的坐标为；
当点A为直角顶点时，点C的坐标为或；
故答案为：或或．
（3）解：如图所示：满足条件的点P有4个．故答案为：4．
20．（24-25·云南临沧·八年级统考期中）如图，在中，，，，P、Q分别是边上的两个动点，点P从点B出发以的速度沿方向运动，到达A点后停止；点Q同时从点A出发以的速度沿方向运动，到达B点后停止，设出发时间为ts．
(1)当t为何值时，点P恰好在边的垂直平分线上？
(2)当点Q在边上运动时，若是等腰三角形，求此时t的值．
【答案】(1)(2)6或或
【详解】（1）解：点在的垂直平分线上，，
，在中，，解得：，
当时，点P恰好在的垂直平分线上；
（2）解：①当时，s；②当时，，
，，，，；
③当时，过点作于点，
，，，，解得：，
综上所述，满足条件的t值为6或或．
21．（24-25·河北石家庄·八年级统考开学考试）如图1，在长方形中，，，动点P从点D出发，沿着向C运动，同时，动点Q从点A出发，沿着向B运动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点C时，点P，Q都停止运动，设运动时间为t（）．
图1 备用图
(1)用含t的式子表示______，______；(2)当时，线段的长为______；
(3)当t为何值时，是以为腰的等腰三角形？请说明理由．
【答案】(1)(2)10(3)或
【详解】（1）解：根据题意可得：，
∵，∴，故答案为：；
（2）解：当时，，过点P作于点E，
∵四边形是矩形，∴，∵，∴四边形是矩形，
∴，∴，
根据勾股定理可得：．
（3）解：①当时，由（2）可知：四边形是矩形，
∴，，∴，∵，∴，
∵，，∴，∴，解得：；
②当时，∵，，∴根据勾股定理可得：，
∵，∴，解得：，综上：或．
22．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上（点在点的左侧），点，的坐标分别为，，点在轴正半轴上，且，点是射线上一动点．(1)点的坐标是___________；(2)连接，若的面积为，求点的坐标；(3)当点在线段上运动时，在轴负半轴上是否存在点使与全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(4)当点在射线上运动时，若是等腰三角形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)；(2)点的坐标为；(3)点的坐标为或；
(4)是等腰三角形时点的坐标为或或或．
【详解】（1）解：∵，∴，∴，∴点的坐标是，故答案为：；
（2）解：如图，∵..的面积为，∴，即，
∴，∴点的坐标为；
（3）解：存在，∵，，∴，，
如图，当时，∴，∴，∴点的坐标为；
如图，当，∴时，
∴，∴点的坐标为，综上可知：点的坐标为或；
（4）解：∵，，∴，，∴，
∵是等腰三角形，∴如图，当时，∴，∴点的坐标；
如图，当时，∴点的坐标或；
如图，当时，设，则，∴，
∴，解得：，∴点的坐标；
综上可知：是等腰三角形时点的坐标为或或或．
23.（24-25·四川成都·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为，，在x轴的负半轴上有一点A，且满足，连接，．
(1)求直线的函数表达式．(2)将线段沿y轴方向平移至，连接，'．
①当线段向下平移2个单位长度时（如图所示），求的面积；
②当为直角三角形时，求点的坐标．
【答案】(1)(2)①28，②或
【详解】（1）解：∵，∴．∵，∴．
又∵点A在x轴的负半轴上，∴．
设直线的函数表达式为．将，代入上式，
得解得∴直线的函数表达式为．
（2）解：①∵将线段向下平移2个单位长度，∴，．
设直线的函数表达式为，把、代入，得
，解得，∴直线的函数表达式为．
设直线与y轴相交于点C，令，则，∴．
∴．
②设将线段沿y轴方向平移m个单位长度至，则，．
∴，，．
当时，，解得，此时，；
当时，，解得，此时，；
当时，不成立．
综上所述，点的坐标为或．
24．（24-25·浙江金华·八年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-1，0)，点B是直线上的动点，连接AB，设点B的横坐标为．
(1)如图1，当时，以AB为直角边在AB下方作等腰直角三角形ABC，使，求点C的坐标．(2)如图2，把线段AB绕点A顺时针旋转得到线段AD，当点B在直线上运动时，点D也随之运动，连接OD，求AOD的面积（用含的代数式表示）．
(3)在图3中以AB为直角边作等腰直角三角形ABE，当点E落在直线上时，求的值．
【答案】(1)(2)(3)的值为 或 或 3或8 或9
【详解】（1）解 ：∵∴
如图1，过作一条平行与轴的直线，作于，于，
∴∴，∵,,∴
在和中∵∴
∴，∴．
（2）解：如图2，过作一条平行与轴的直线，作于，于，连接，
∴，∴，
同（1）可知∴，
∴∴
当时，；当时，；∴．
（3）解：①当时，，如图①，
由（2）可知，
将点、分别代入得和解得和；
②当时，，如图②，由（2）可知，
将点、分别代入得和解得和；
③当时，，如图③，由（2）可知，
将点、分别代入得和解得和
综上所述，的值为 或 或或 或．
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专题2.8 特殊三角形中的动态问题
1、掌握三类等腰三角形的分类讨论问题；
2、掌握两类直角三角形的分类讨论问题。
模块1：知识梳理 1
模块2：核心考点 2
TOC \o "1-4" \h \z \u 模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角的分类讨论 2
模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对高的分类讨论 2
模型3.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论 3
模型4.斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 9
模型5.直角三角形存在性模型 11
模块3：培优训练 17
1、涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。
2、直角三角形中，优先考虑直角的分类讨论，再利用直角三角形的性质与勾股定理解题即可。
模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角的分类讨论
例1．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）已知等腰三角形的一个内角等于，则该三角形的一个底角是（ ）
A． B．或 C． D．或
例2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为，，则该等腰三角形的周长为 ．
例3．（24-25四川巴中·七年级统考期末）等腰三角形的周长为，一边长为，则其它两边长是（ ）
A．， B．， C．，或， D．，
例4．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）已知的三边长分别为，5，6，当为等腰三角形时，a的值为（ ）
A．4 B．5 C．4或5 D．5或6
模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对高的分类讨论
例1．（24-25八年级上·广东中山·阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰所在的直线的夹角是40度，则底角是（ ）度．
A．25 B．65 C．25或65 D．50
例2．（24-25八年级上·广东·期中）等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为两部分，等腰三角形的周长为21，则它的腰为 ．
模型3.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论
【解题技巧】“两定一动”等腰三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）
即：如图：已知，两点是定点，找一点构成等腰
方法：两圆一线
具体图解：①当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）
②当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）
③当时，作的中垂线，点在该中垂线上（除外）
例1．（24-25江苏八年级期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B都是格点（小正方形的顶点叫做格点），若△ABC为等腰三角形，且△ABC的面积为1，则满足条件的格点C有( )
A．0个 B．2个 C．4个 D．8个
例2．（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，，若点C在x轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
例3．（24-25黑龙江佳木斯·八年级校考期中）从一个等腰三角形的顶角引出的一条射线把这个等腰三角形分成两个等腰三角形，则这个等腰三角形的顶角为 ．
例4．（24-25福建·厦门八年级期末）在平面直角坐标系中，点A（10，0）、B（0，3），以AB为边在第一象限作等腰直角△ABC，则点C的坐标为_______．
例5．（24-25江苏苏州·八年级校考期中）如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒（）．
(1)若点在上，且满足，求此时的值；(2)若点恰好在的角平分线上，求此时的值：(3)在运动过程中，当为何值时，为等腰三角形．
例6．（24-25八年级上·江西抚州·阶段练习）一次函数的图象分别与，轴交于，两点，正比例函数与交于点．(1)求的值及的解析式；(2)若点在轴上，使得的值，请求出点的坐标；(3)若点在轴上，使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标．
模型4.斜边（或直角）不确定的直角三角形模型
例1．（2024·浙江嘉兴·三模）已知直角三角形两边长为3，4，则该直角三角形斜边上的中线长为（ ）
A．2或2.5 B．5或 C．2.5或 D．2.5或
例2．（24-25·江苏南京·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，分别是高和角平分线，点E为边上一个点，当为直角三角形时，则 度．
例3．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，是等边三角形，点与点分别在边与上，将沿直线折叠，使得的对应点落到边上，当为直角三角形时，的度数为（ ）
A．45°或75° B．45°或30° C．30°或75° D．45°或60°
例4．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，，，点为的中点，点为边上一动点，连接，将沿折叠，点的对应点为点，连接，若是以点为直角顶点的直角三角形，则的长为 ．
模型5.直角三角形存在性模型
“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见与坐标系综合、或结合翻折（折叠）、动点、旋转等）。
问题：已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形．
分三种情况，如图：
①以A为直角顶点，即∠BAP＝90°：过点A作AB的垂线，与已知直线l的交点P1即为所求；
②以B为直角顶点，即∠ABP＝90°：过点B作AB的垂线，与已知直线l的交点P2即为所求；
③以P为直角顶点，即∠APB＝90°：以AB的中点Q为圆心，QA的长为半径画圆，与已知直线l的交点P3，P4即为所求．
代数法计算：分别表示出点A，B，P的坐标，再分别表示出AB，AP和BP的长，由①BP2＝AB2＋AP2；②AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分别列方程求解．若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况不存在。
几何法计算：找相似，利用相似三角形求解，如果图中没有相似三角形，可通过添加辅助线构造相似三角形。特殊地，若有30°，45°或60°角可考虑用勾股定理或锐角三角函数求解．
例1．（24-25八年级上·陕西商洛·期末）在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，，．若在该坐标平面内有一点P（不与点A、B、O重合）为一个顶点的直角三角形与全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．6个 D．7个
例2．（24-25江苏·九年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，已知，以为一边在外部作等腰直角．则点的坐标为 ．
例3．（24-25八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是，点P的坐标为，若为直角三角形，则的值为 ．
例4．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图正方形边长为2，为边中点，为射线上一点不与重合），若为直角三角形，则 ．
例5．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）如图．在中．．若点P是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点C以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为t，若为直角三角形，则t的值为
例6．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点，与直线交于点E．已知点D的坐标为，点C在A的左侧且．
(1)分别求出直线和直线的表达式；(2)在直线上，是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在坐标轴上，是否存在一点Q，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25八年级上·山东威海·阶段练习）等腰三角形的一个内角是，它的另外两个角的度数是（ ）
A．和或和 B．和或和
C．和或 和 D．和或 和
2．（24-25八年级上·吉林四平·期中）一个等腰三角形的一边长，一边长，则这个三角形的周长是（ ）
A． B． C．或 D．无法确定
3．（2024八年级上·湖北·专题练习）等腰三角形三边长分别为，，，则等腰三角形的周长为（ ）
A．10 B．7或10 C．7或4 D．10或7或4
4．（24-25·四川广元·八年级校联考期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A． B．或 C．或 D．
5．（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，中，将沿折叠，使得点B落在边上的点F处，若，且为等腰三角形，则的度数为（）
A．或 B．或 C．或 D．或
6．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）在等边三角形所在的平面上找一点，使、，都是等腰三角形．那么满足条件的点有（ ）个
A． B． C． D．
7．（24-25·广东广州·八年级校考期末）如图，点M是直线y=2x+3上的动点，过点M作MN垂直于x轴于点N，y轴上是否存在点P，使得△MNP为等腰直角三角形，则符合条件的点P有（提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．（24-25八年级下·重庆·假期作业）如图，在中，，点是边上的一个动点（不与重合），过作交边于点，将沿直线翻折，点落在射线上的处，当为直角三角形时，的长为（ ）
A．1或3 B．2或3 C．1或2 D．2或4
4．（24-25·辽宁沈阳·八年级统考期中）如图，中，，，，点E为射线上一点，若是等腰三角形，则的面积不可能是（ ）
A．40 B．48 C． D．
10．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，在中，，，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当为直角三角形时，t的值为（ ）
A．秒 B．3秒 C．或3秒 D．3或秒
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级上·山东泰安·期中）若等腰三角形的顶角是，则它的一个底角是 ．
12．（24-25八年级上·甘肃武威·期中）一个等腰三角形的周长为11，其中一边为3，则其他两边长分别为 ．
13．（24-25八年级上·成都市·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，四边形是长方形，点的坐标分别是，是的中点，点在边上运动．当是腰长为的等腰三角形时，点的坐标是 ．
14．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，过点B分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为C，A，直线与AB交于点D，与y轴交于点E，动点M在线段上，动点N在直线上，若是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点N的坐标为 ．
15．（24-25八年级下·江西上饶·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，直线l经过原点O，且与x轴正半轴的夹角是，过点A作轴，交直线l于点N，若点P在射线上（点P与点N不重合），则当是直角三角形时，点P的坐标为 ．
16.（24-25浙江绍兴·八年级统考期末）如图，在中，，，点D是边上的点，将沿折叠得到，线段与边交于点F．若为直角，则的长是 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．
(1)当t为何值时，为等边三角形？(2)当t为何值时，为直角三角形？
18．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，点D为边上的动点，沿边往A运动，当运动到点A时停止，点D运动的速度为每秒1个单位长度．
(1)当时，分别求和的长；(2)当t为何值时，是直角三角形？
(3)若是等腰三角形，请直接写出t的值．
19．（24-25·吉林长春·八年级校考阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，存在线段，端点A，B均落在格点上，构建如图所示平面直角坐标系．
(1)直接写出点A，B的坐标：A（______，______）， B（______，______）；
(2)请在网格中找到点C，连接，，使为等腰直角三角形，此时点C的坐标为______；
(3)如图所示，网格中（包括网格的边界）存在点P，点P的横纵坐标均为整数，连接，，得到锐角，且为等腰三角形，则满足条件的点P有_____个．
20．（24-25·云南临沧·八年级统考期中）如图，在中，，，，P、Q分别是边上的两个动点，点P从点B出发以的速度沿方向运动，到达A点后停止；点Q同时从点A出发以的速度沿方向运动，到达B点后停止，设出发时间为ts．
(1)当t为何值时，点P恰好在边的垂直平分线上？
(2)当点Q在边上运动时，若是等腰三角形，求此时t的值．
21．（24-25·河北石家庄·八年级统考开学考试）如图1，在长方形中，，，动点P从点D出发，沿着向C运动，同时，动点Q从点A出发，沿着向B运动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点C时，点P，Q都停止运动，设运动时间为t（）．
图1 备用图
(1)用含t的式子表示______，______；(2)当时，线段的长为______；
(3)当t为何值时，是以为腰的等腰三角形？请说明理由．
22．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上（点在点的左侧），点，的坐标分别为，，点在轴正半轴上，且，点是射线上一动点．(1)点的坐标是___________；(2)连接，若的面积为，求点的坐标；(3)当点在线段上运动时，在轴负半轴上是否存在点使与全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(4)当点在射线上运动时，若是等腰三角形，请直接写出点的坐标．
23.（24-25·四川成都·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为，，在x轴的负半轴上有一点A，且满足，连接，．(1)求直线的函数表达式．(2)将线段沿y轴方向平移至，连接，'．①当线段向下平移2个单位长度时（如图所示），求的面积；②当为直角三角形时，求点的坐标．
24．（24-25·浙江金华·八年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-1，0)，点B是直线上的动点，连接AB，设点B的横坐标为．
(1)如图1，当时，以AB为直角边在AB下方作等腰直角三角形ABC，使，求点C的坐标．(2)如图2，把线段AB绕点A顺时针旋转得到线段AD，当点B在直线上运动时，点D也随之运动，连接OD，求AOD的面积（用含的代数式表示）．
(3)在图3中以AB为直角边作等腰直角三角形ABE，当点E落在直线上时，求的值．
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