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第1章 三角形的初步知识 章末检测
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2025·河北唐山·二模）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（ ）
A．2 B．3 C．4或5 D．6
【答案】C
【详解】解：有图可知，一根小棒的长度为，一根小棒的长度为，
设第三根小棒的长度是，若三根小棒可以围成三角形，
则由三角形三边关系可知，即，再由图中挡板高度为，则，
结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4或5，故选：C．
2．（2025·山西·中考真题）如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】在与，∵，∴，
∴与全等的依据是，故选：．
3.（2025·江苏扬州·中考真题）在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（ ）
A． B． C． D．平分
【答案】B
【详解】解：当时，∵点在上，∴，
∴，∴；故选项A不符合题意；
∵，∴，不能得到；故选项B符合题意；
∵，∴当或平分时，；故选项C，D均不符合题意；故选B
4．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，的三边，，的长分别为，，，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵三条角平分线将分为三个三角形，
∴到的三边，，的距离相等，设为，
又的三边，，的长分别为，，，
∴故选：C．
5.（24-25锦江区校级期中）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能用SAS判定△ABC≌△DEC，能添加的一组条件是（ ）
A．∠B＝∠E，BC＝EC B．∠B＝∠E，AC＝DC
C．∠A＝∠D，BC＝EC D．BC＝EC，AC＝DC
【解答】解：A、若AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故符合题意．
B、若AB＝DE，AC＝DC，∠B＝∠E，由SSA不能判定△ABC≌△DEC，故不符合题意；
C、若AB＝DE，BC＝EC，∠A＝∠D，由SSA不能判定△ABC≌△DEC，故不符合题意；
D、若AB＝DE，BC＝EC，AC＝DC，由SSS不能判定△ABC≌△DEC，故不符合题意；故选：A．
6．（24-25·广东中山市·八年级期中）如图，在△ABC和△CDE中，若∠ACB＝∠CED＝90°，AB＝CD，CE＝AC，则下列结论中正确的是（ ）
A．E为BC中点 B．2BE＝CD C．CB＝CD D．△ABC≌△CDE
【答案】D
【详解】∵∠ACB＝∠CED＝90° 在Rt△ABC与Rt△CDE中，，∴Rt△ABC≌Rt△CDE（HL），
∴CB＝DE，CE＝AC，CD＝AB，△ABC≌△CDE，故D符合题意，其他选项不符合题意故选：D．
7．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，点 E是的中点，， 平分，下列结论：； ；四边形的面积等于；． 四个结论中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，过E作于F，∵，平分， ∴，
在和中， ， ∴， ∴，，
∵点E是的中点， ∴，∴
在和中，， ∴，
∴，，，故②正确； ∴，故④正确；
∵，∴，故①正确．
∵，∴，故③正确．
综上，四个结论中成立的是①②③④， 故选：A．
8．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）如图，在四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形的对角线相交于点O．已知，，小婵同学得到如下结论：①是等边三角形；②；③；④点M、N分别在线段上，且，则，其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【详解】解：,是等边三角形，故结论①正确；
,,
,,
,
,,故结论②正确；
是等边三角形，，垂直平分,
,故结论③错误；
如图，延长到，使，连接，
,,,
在和中,,,,
,,
在和中,,,
,故结论④正确；综上所述，正确的结论有①②④，故选：C．
9．（24-25八年级上·黑龙江·期中）如图，在中，三条角平分线交于点O，交于点H，两个外角角平分线交于点M，延长线交反向延长线于点N．则下列结论中：①平分；②当时，；③；；④；⑤；⑥．其中正确个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【详解】解：若是的平分线，则，∵是的平分线，∴.
∵，，∴,
∵分别是的角平分线，∴,
∴，这与与不一定相等矛盾，∴不一定是的平分线，故①不正确；
当时，在上截取，连接，如图：
∵，∴，
∴，∴，∵，∴，
在和中，，∴，∴，
∴，即，∴，
在和中，，∴，∴，
∵，∴，故②正确；
如图：∵于H，∴，∴，
∵，∴
，故③正确；
∵平分，平分，∴，
∴；同理可得，∴，∴，
而，∴，∴，故④正确；
∵三条角平分线交于点O，，∴O到的距离都等于，
∴，故⑤正确；
过O作于K，于T，如图：
∵，∴，
∴，由角的对称性可知，，
∴，∴，故⑥正确；
∴正确的有：②③④⑤⑥，共5个；故选：C．
10．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，和的平分线，相交于，交于，交于，过点作于，下列结论中：①；②当时，；③；④若，，则，正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【答案】D
【详解】解：∵和的平分线，相交于，∴，，
∴
，则结论①正确；
∵，∴，∴，
如图，在上取一点，使得，连接，
∵和的平分线，相交于，∴，，
在和中，，∴，
∴，∴，∴，
在和中，，∴，
∴，∴，则结论②正确；
如图，过点作于点，作于点，
∵和的平分线，相交于，，
∴，，，假设，
在和中，，∴，∴，
∵，，，∴，
∴，由已知条件不能得出这个结论，∴假设不成立，即结论③错误；
如图，过点作于点，作于点，连接，
∵，，，，
∴，由上已得：，
∴，即，
∵，∴，∴，则结论④正确；
综上，结论正确的是①②④，故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地区要修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，这个度假村的选址有 处可供选择．
【答案】4
【详解】解：如图，
三角形内角平分线的交点D，和外角平分线的三个交点A、B、C，共4处可供选择．故答案为：4．
12．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图所示，在四边形中，，，P为的中点，连接，若，则的度数为 °．
【答案】
【详解】解：连接并延长交的延长线于点E，∵点P为的中点，∴，
∵，∴，
∴，∴，，，
∵，，∴，∴，∴，
∵，，∴，∴，故答案为：53．
13．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，是的中线，，，若的周长比的周长小4，则的周长为 ．
【答案】22
【详解】解：∵为的边上的中线，∴，∴，
∵的周长比的周长小4，∴，∴，
∵，∴，∴的周长为，故答案为：22．
14．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别与边，交于D，E两点，边的垂直平分线分别与边，交于F，G两点，连接，．若的周长为32，，则的长为 ．
【答案】5
【详解】解：是边的垂直平分线，是边的垂直平分线，，，
的周长为32，，，
即，，．故答案为：5．
15．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，在中，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是 ．
【答案】
【详解】解：延长交于点，作与点，如图所示，
，是的角平分线，，，
在和中，，，，，
，，，，，
，，，
，，故答案为：．
16．（2025·陕西西安·三模）如图，在四边形中，，，，点E、F分别在边、上，连接、、，，过点A作于点H，若，，则五边形的面积为 ．
【答案】
【详解】解：∵，∴将绕点A顺时针旋转到的位置，
∴，∴，，，，
又∵，∴，
∵∴，
∵，∴，∴点G、B、E在一条直线上，
∵，∴．∴．
在与中，，，
，，∴
．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（2025·江苏连云港·模拟预测）（1）如图（1），在中，已知．
①求证；②若是边的中点，连接，求证．
（2）如图（2），在中，已知，且是内的一点，，求证．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】（1）①在中，已知，根据三角形中大边对大角的定理：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等，大边所对的角较大．
，
②延长到点，使，连接，
是边的中点，，又，，，
又，，，；
（2）将绕点逆时针旋转，使与重合，得到，则，
，
，，设与交于点，
，，
，在中，有，
18．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，等腰中，．用无刻度直尺和圆规完成下列作图任务，保留作图痕迹（铅笔作图）．(1)作线段的垂直平分线交于点；(2)作的角平分线交于点；(3)的周长是 ．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)11
【详解】（1）解：如图，直线，点E即为所求．
（2）解：如图，射线即为所求．
（3）解：∵垂直平分，∴，
∴周长为．故答案为：11
19．（24-25八年级上·广东·校考期中）已知：在中，，平分交于点．
(1)如图①，于点，若，求的度数；
(2)如图①，于点，若，求的度数（用含的式子表示）；
(3)如图②，在中，于点，是上的任意一点（不与点，重合），过点作于点，且，请你运用（2）中的结论求出的度数；(4)在（3）的条件下，若点在的延长线上（如图③），其他条件不变，则的度数会发生改变吗？说明理由．
【答案】(1)(2)(3)(4)的度数不会发生改变，理由见解析
【详解】（1）解：∵在中，，∴，
∵平分，∴，
∵，∴，∴，
∴，
当时，；
（2）由（1）可知，，∴当时，∴；
（3）∵，而，∴，
∵，，∴，∴；
（4）的度数大小不发生改变．理由如下：
∵，，∴，∴．
20.（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于.(1)求证：.(2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想；(3)若，，则________.
【答案】(1)见解析(2)，见解析(3)2
【详解】（1）证明：如图，连接、，∵，D为中点，∴，
∵，，且平分，∴，
在和中，，∴，∴；
（2）解：，证明如下：在和中，
，∴，∴，由（1）知，
∴．即；
（3）解：由（2）知，∵，，∴，
∴，∴，故答案为：2．
21．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）在中，AD是角平分线．
(1)如图1，，．已知，，，求的长；
(2)如图2，求证：；
(3)如图3，，，．若，求证：．
【答案】(1)2(2)见解析(3)见解析
【详解】（1）解：∵在中，AD是角平分线，，，∴，
∵，，，∴，
∴，∴；
（2）证明：如图，作，，，
∴，，
∵在中，AD是角平分线，，，∴，∴，
∴，；
（3）解：如图，在上取点，使，作的角平分线交于点，
在中，，，，
是角平分线，∴
又，，∴，，，
，∴，，
又是角平分线，，
，，，
，∴
是角平分线，由（2）可得，即，
，整理得：．
22．（24-25八年级下·山西运城·期中）下面是小颖同学的数学笔记，请认真阅读，并完成相应的任务．
等腰三角形的深入思考作垂线和作平行线是几何中常用的辅助线，我发现当它们出现在等腰三角形中时，有时会出现新的等腰三角形．如图1，在中，，点是延长线上的一点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，图中出现了新的等腰三角形． 如图2，在中，，点是延长线上一点，过点作于点，交于点，则是等腰三角形．在证明时，我过点作于点通过改变动点的位置继续探究，我发现如下结论：过等腰三角形边上或延长线上任意一点作腰或底的平行线与三角形第三边所在直线相交，就能得到新的等腰三角形；过等腰三角形边上或延长线上任意一点作底边的垂线与两腰所在直线相交，也能得到新的等腰三角形．
任务：(1)在不添加字母的情况下，写出图1中所有的新等腰三角形：______．
(2)在图2中补全小颖的辅助线，并证明是等腰三角形．
(3)如图3，在等边中，点为延长线上一点，点为边上一点，且，连接．若，试判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)(2)见解析(3)，理由见解析
【详解】（1）解：∵，∴，
∵，∴，∴，∴为等腰三角形，
∵，∴，∴，
∴是等腰三角形；故答案为：；
（2）解：过点作于点，如图
，． ，．
．，∴是等腰三角形 ；
（3） 理由如下：过点作交的延长线于点．
答图2为等边三角形，．
，．
为等边三角形．．，即．
，．又，．
23．（24-25七年级下·四川巴中·阶段练习）【阅读理解】
中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．（注：等腰三角形两个底角相等，三个内角为的三角形为等边三角形）
（1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接．
①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______；
②若，则的取值范围是______；
【方法运用】运用上面的方法解决下面的问题：（2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：平分．
小明是这么想的：延长至点G，使，连接，即可证明，并根据全等三角形的性质继续解题，请根据小明的想法，完整的写出证明过程．
【问题拓展】（3）如图3，是四边形的对角线，，点E是边的中点，点F在上，， ，若，面积为16.8，求点F到的距离．
【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3）
【详解】解：（1）①∵是的中线，∴，
在和中，∵，∴，故答案为：；
②由可得，
又，∴在中，由三边关系可得：，即，
又，故．故答案为：．
（2）证明：如图2所示，延长至F，使．
在和中，∵，∴．∴，
又∵，，∴，∴，
∵，∴， ∴，
∵，∴．
在和中，∵，∴．∴．故平分．
（3）如图3，延长至点，使得，
在和中，∵，∴．∴，∴．
∵，∴．又，∴，
又∵，∴为等边三角形，，
从而，∴，
在和中，∵，∴．∴，
又∵，∴，故为等边三角形，
∴．设点F到的距离为，∵面积为16.8，∴，
∴，即点F到的距离为．
23．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图①，在中，，，过点C在外作直线l，于点M，于点N．
(1)试说明：；(2)如图②，将（1）中条件改为（），，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由.(3)如图③，在中，点D为上一点，，，，，请直接写出的长．
【答案】(1)见解析(2)成立，见解析(3)8
【详解】（1）解：∵，，∴，
∵，，∴∴∴，
又，，，，
，；
（2）成立，理由：，，，
又∵，，，，，
又，；
（3），，，，
又，，，，，
，，，．
24．（24-25七年级下·河南郑州·期中）【背景问题】：老师提出了如下问题：
如图1，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接由已知和作图能得到，所以．
（1）请根据小明的方法思考，直接写出可能的长______（写一个即可）；
【感悟方法】：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
（2）如图2，是的中线，交于E，交于F，．探究与的关系，并说明理由．
【深入探究】：（3）如图3，在和中，，，且，连接、，Q为中点，连接并延长交于K，，，则______．
【答案】（1）3或5；（2），理由见解析；（3）
【详解】解：（1）延长至点E，使，连接，则，是边上的中线，，
在和中，，，，
∵，∴即；边的长度为奇数，或5；
（2），理由如下：
延长到M，使，连接，如图2所示：
是的中线，，在和中，，，
，，，，∴，
∵，；
（3）延长到R，使得，连接、点Q是的中点，，
又，，∴，
，，∴，∴，
，，，，，
，∴，，，
，，，即，
∴．
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第1章 三角形的初步知识 章末检测
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2025·河北唐山·二模）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（ ）
A．2 B．3 C．4或5 D．6
2．（2025·山西·中考真题）如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
3.（2025·江苏扬州·中考真题）在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（ ）
A． B． C． D．平分
4．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，的三边，，的长分别为，，，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于( )
A． B． C． D．
5.（24-25锦江区校级期中）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能用SAS判定△ABC≌△DEC，能添加的一组条件是（ ）
A．∠B＝∠E，BC＝EC B．∠B＝∠E，AC＝DC
C．∠A＝∠D，BC＝EC D．BC＝EC，AC＝DC
6．（24-25·广东中山市·八年级期中）如图，在△ABC和△CDE中，若∠ACB＝∠CED＝90°，AB＝CD，CE＝AC，则下列结论中正确的是（ ）
A．E为BC中点 B．2BE＝CD C．CB＝CD D．△ABC≌△CDE
7．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，点 E是的中点，， 平分，下列结论：； ；四边形的面积等于；． 四个结论中成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）如图，在四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形的对角线相交于点O．已知，，小婵同学得到如下结论：①是等边三角形；②；③；④点M、N分别在线段上，且，则，其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
9．（24-25八年级上·黑龙江·期中）如图，在中，三条角平分线交于点O，交于点H，两个外角角平分线交于点M，延长线交反向延长线于点N．则下列结论中：①平分；②当时，；③；；④；⑤；⑥．其中正确个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
10．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，和的平分线，相交于，交于，交于，过点作于，下列结论中：①；②当时，；③；④若，，则，正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地区要修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，这个度假村的选址有 处可供选择．
12．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图所示，在四边形中，，，P为的中点，连接，若，则的度数为 °．
13．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，是的中线，，，若的周长比的周长小4，则的周长为 ．
14．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别与边，交于D，E两点，边的垂直平分线分别与边，交于F，G两点，连接，．若的周长为32，，则的长为 ．
15．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，在中，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是 ．
16．（2025·陕西西安·三模）如图，在四边形中，，，，点E、F分别在边、上，连接、、，，过点A作于点H，若，，则五边形的面积为 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（2025·江苏连云港·模拟预测）（1）如图（1），在中，已知．
①求证；②若是边的中点，连接，求证．
（2）如图（2），在中，已知，且是内的一点，，求证．
18．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，等腰中，．用无刻度直尺和圆规完成下列作图任务，保留作图痕迹（铅笔作图）．(1)作线段的垂直平分线交于点；(2)作的角平分线交于点；(3)的周长是 ．
19．（24-25八年级上·广东·校考期中）已知：在中，，平分交于点．
(1)如图①，于点，若，求的度数；
(2)如图①，于点，若，求的度数（用含的式子表示）；
(3)如图②，在中，于点，是上的任意一点（不与点，重合），过点作于点，且，请你运用（2）中的结论求出的度数；(4)在（3）的条件下，若点在的延长线上（如图③），其他条件不变，则的度数会发生改变吗？说明理由．
20.（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于.(1)求证：.(2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想；(3)若，，则________.
21．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）在中，AD是角平分线．
(1)如图1，，．已知，，，求的长；
(2)如图2，求证：；
(3)如图3，，，．若，求证：．
22．（24-25八年级下·山西运城·期中）下面是小颖同学的数学笔记，请认真阅读，并完成相应的任务．
等腰三角形的深入思考作垂线和作平行线是几何中常用的辅助线，我发现当它们出现在等腰三角形中时，有时会出现新的等腰三角形．如图1，在中，，点是延长线上的一点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，图中出现了新的等腰三角形． 如图2，在中，，点是延长线上一点，过点作于点，交于点，则是等腰三角形．在证明时，我过点作于点通过改变动点的位置继续探究，我发现如下结论：过等腰三角形边上或延长线上任意一点作腰或底的平行线与三角形第三边所在直线相交，就能得到新的等腰三角形；过等腰三角形边上或延长线上任意一点作底边的垂线与两腰所在直线相交，也能得到新的等腰三角形．
任务：(1)在不添加字母的情况下，写出图1中所有的新等腰三角形：______．
(2)在图2中补全小颖的辅助线，并证明是等腰三角形．
(3)如图3，在等边中，点为延长线上一点，点为边上一点，且，连接．若，试判断与的位置关系，并说明理由．
23．（24-25七年级下·四川巴中·阶段练习）【阅读理解】
中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．（注：等腰三角形两个底角相等，三个内角为的三角形为等边三角形）
（1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接．
①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______；
②若，则的取值范围是______；
【方法运用】运用上面的方法解决下面的问题：（2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：平分．
小明是这么想的：延长至点G，使，连接，即可证明，并根据全等三角形的性质继续解题，请根据小明的想法，完整的写出证明过程．
【问题拓展】（3）如图3，是四边形的对角线，，点E是边的中点，点F在上，， ，若，面积为16.8，求点F到的距离．
23．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图①，在中，，，过点C在外作直线l，于点M，于点N．
(1)试说明：；(2)如图②，将（1）中条件改为（），，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由.(3)如图③，在中，点D为上一点，，，，，请直接写出的长．
24．（24-25七年级下·河南郑州·期中）【背景问题】：老师提出了如下问题：
如图1，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接由已知和作图能得到，所以．
（1）请根据小明的方法思考，直接写出可能的长______（写一个即可）；
【感悟方法】：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
（2）如图2，是的中线，交于E，交于F，．探究与的关系，并说明理由．
【深入探究】：（3）如图3，在和中，，，且，连接、，Q为中点，连接并延长交于K，，，则______．
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