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浙教版（2024）八上一周一测（八）第2章《特殊三角形》单元综合测试（B）
（满分：120分 时间：120分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面．在以下给出的运动图片中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列命题的逆命题正确的是（ ）
A．全等三角形的面积相等
B．全等三角形的对应角相等
C．如果a＝b，那么a2＝b2
D．等边三角形的三个角都等于60°
3．（3分）等腰三角形一边长为6，周长为15，则它的腰长为多少？（ ）
A．3 B．6或3 C．4.5或6 D．6
4．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD，则BC的长为（ ）
A．1 B．1 C．1 D．1
5．（3分）如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB的中点，则△CDE一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
6．（3分）用“几何画板”软件探索等腰三角形的性质时，小明同学经过如下操作：
①画直线MN及△ABC，使点A，B在直线MN上，点C在直线MN外；
②再画△ABC的高线CD，角平分线CE和中线CF；
③测量AC，BC的长度，并拖动点C．
得到以下结论，其中正确的是（ ）
A．当AC≠BC时，CE＜CD＜CF B．当AC≠BC时，CD＜CF＜CE
C．当AC＝BC时，AF＝CF＝BF D．当AC＝BC时，CD＝CE＝CF
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC，AE＝CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．则BP与BQ的关系为（ ）
A．BP2＝2BQ2 B．3BP2＝4BQ2 C．4BP2＝3BQ2 D．2BP2＝3BQ2
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，BD平分∠ABC交边AC于点D，点E、F分别是边BD、AB上的动点，当AE+EF的值最小时，最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
9．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段BC上，∠EDB∠ACB，BE⊥DE，DE与AB相交于点F，若BE＝4，则DF＝（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
10．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，直角∠EDF的顶点D是AB的中点，两边DE，DF分别交AC，BC于点E，F，有以下结论：
①CE＝BF；
②△EDF是等腰直角三角形；
③EF＝CD；
④四边形CFDE的面积是△ABC的面积的一半．
上述结论中一定正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．②③④
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为 ．
12．（3分）如图，在△OCD中，CO＝CD＝5，OA∥CD，DE⊥OA，垂足为E，DE＝4，则△OCD的面积 ．
13．（3分）如图，在等边三角形ABC的边AB、AC各取一点D，E，连结CD，BE交于点F，使∠EFC＝60°．若BD＝1，CE＝2，则BC长度为 ．
14．（3分）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（AC＝1尺）．将它往前推进两步（EB⊥OC于点E，且EB＝8尺），踏板升高到点B位置，此时踏板离地五尺（BD＝CE＝5尺），则秋千绳索（OA或OB）长 尺．
15．（3分）如图，图1是一个儿童滑梯，AE，DF，MN是滑梯的三根加固支架（如图2），且AE和DF都垂直地面BC，N是滑道DC的中点，小周测得FM＝2米，MN＝3米，MC＝6米，通过计算，他知道了滑道NC长为 米．
16．（3分）如图，在锐角△ABC中，∠B＝30°，AC＝4，S△ABC＝16，P是边AC上的一动点，点P关于直线AB、BC的对称点分别是D、E，连接DE，则DE的最小值为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝50°，求∠B和∠C的度数．
18．（8分）如图，在8×8正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上．
（1）请在图中作出△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C′；
（2）在线段A'B'上找一点P（点P在格点上），使得△ABP为等腰三角形．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．
（1）求证：△ACD为等腰三角形．
（2）若∠BAD＝140°，求∠BDC的度数．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于E，点F在AC上，且DF＝BD．
（1）求证：△BED≌△FCD；
（2）若AB＝10，AF＝5，求BE的长．
21．（8分）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”．
（1）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，求证：△ABC是“美丽三角形”；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC，若△ABC是“美丽三角形”，求BC的长．
22．（10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，AD与CE交于点F，点G为CE的中点，CD＝AE．
（1）求证：DG⊥CE．
（2）若AF＝EF，求∠B的度数．
23．（10分）如图，已知AC⊥BC，AD⊥DB，E为AB的中点．
（1）如图1，求证：△ECD是等腰三角形．
（2）如图2，CD与AB交于点F，若AC＝BC，若CE＝4，BF＝1，求CD的长．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版（2024）八上一周一测（八）第2章《特殊三角形》单元综合测试（B）
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C C C D B C B B
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面．在以下给出的运动图片中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拨】根据轴对称图形的定义逐项识别即可，一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．
【解答】解：在四个选项中，只有选项D能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以D是轴对称图形．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．
2．（3分）下列命题的逆命题正确的是（ ）
A．全等三角形的面积相等
B．全等三角形的对应角相等
C．如果a＝b，那么a2＝b2
D．等边三角形的三个角都等于60°
【思路点拨】逆命题是指将原命题的条件和结论互换得到的新的命题，依次将各个选项的逆命题写出来进行判断即可得到答案．
【解答】解：A选项的逆命题是：面积相等的三角形是全等三角形，错误；
B选项的逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形，错误；
C选项的逆命题是：如果a2＝b2，则a＝b．错误；
D选项的逆命题是：三个角都等于60°的三角形是等边三角形，正确．
故选：D．
【点评】本题考查逆命题，熟悉逆命题的定义以及课本中的性质定理是解题关键．
3．（3分）等腰三角形一边长为6，周长为15，则它的腰长为多少？（ ）
A．3 B．6或3 C．4.5或6 D．6
【思路点拨】依题意可分两种情况讨论如下：①当6是底边时，设腰长为y，则6+2y＝15，由此解得y＝4.5，再利用三角形三边之间的关系判定是否符合构成三角形的条件即可得出腰长；②当6是腰长时，设底边为x，则6+6+x＝15，由此解得x＝3，再利用三角形三边之间的关系判定是否符合构成三角形的条件即可得出腰长；综上所述即可得出答案．
【解答】解：∵等腰三角形一边长为6，周长为15，
∴有以下两种情况：
①当6是底边时，设腰长为y，
则6+2y＝15，
解得：y＝4.5，
此时该等腰三角形的三边分别是：4.5，4.5，6，
∵4.5+4.5＞6符合构成三角形的条件，
∴该等腰三角形的腰长为4.5；
②当6是腰长时，设底边为x，
则6+6+x＝15，
解得：x＝3，
此时该等腰三角形的三边分别是：6，6，3，
∴6+3＞6符合构成三角形的条件，
∴该等腰三角形的腰长为6，
综上所述：该等腰三角形的腰长为4.5或6．
故选：C．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边关系是解决问题的关键，分类讨论是易错点．
4．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD，则BC的长为（ ）
A．1 B．1 C．1 D．1
【思路点拨】根据勾股定理求出CD，根据三角形的外角的性质得到∠B＝∠BAD，求出BD，计算即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝2，AD，
∴CD1，
∵∠ADC＝2∠B，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠B＝∠BAD，
∴DB＝AD，
∴BC＝BD+CD1，
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2是解题的关键．
5．（3分）如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB的中点，则△CDE一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
【思路点拨】根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DEAB，CEAB，可得DE＝CE，再根据等腰三角形的判定进行选择．
【解答】解：∵AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB的中点，
∴DEAB，CEAB，
∴DE＝CE，
∴△CDE一定是等腰三角形．
故选：C．
【点评】考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的判定，将AB作为纽带，得到DE＝CE是解题的关键．
6．（3分）用“几何画板”软件探索等腰三角形的性质时，小明同学经过如下操作：
①画直线MN及△ABC，使点A，B在直线MN上，点C在直线MN外；
②再画△ABC的高线CD，角平分线CE和中线CF；
③测量AC，BC的长度，并拖动点C．
得到以下结论，其中正确的是（ ）
A．当AC≠BC时，CE＜CD＜CF B．当AC≠BC时，CD＜CF＜CE
C．当AC＝BC时，AF＝CF＝BF D．当AC＝BC时，CD＝CE＝CF
【思路点拨】根据等腰三角形的性质及三角形中线、高线和角平分线的定义，依次对所给选项进行判断即可．
【解答】解：由题知，
因为CD是△ABC的高线，CE是角平分线，CF是中线，
由垂线段最短可知，CD是三条线段中最短的一个．
当拖动点C的时候，CE与CF的长短关系不定，
即当AC≠BC时，CE与CF的长短关系不定．
所以AB不符合题意．
当AC＝BC时，△ABC是等腰三角形，
由“三线合一”可知，CD＝CE＝CF，
所以C选项不符合题意，D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及垂线段最短，熟知垂线段最短及等腰三角形的性质是解题的关键．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC，AE＝CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．则BP与BQ的关系为（ ）
A．BP2＝2BQ2 B．3BP2＝4BQ2 C．4BP2＝3BQ2 D．2BP2＝3BQ2
【思路点拨】由已知可得△ABC是等边三角形，从而得到∠BAC＝∠C＝60°，根据SAS即可判定△ADC≌△BEA，根据全等三角形的性质可得到∠ABE＝∠CAD，再根据等角的性质即可求得∠BPQ＝60°，再根据余角的性质得到∠PBQ＝30°，根据在直角三角形中30°的角对的边是斜边的一半即可证得结果，由勾股定理可得出答案．
【解答】解：∵AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形．
∴∠BAC＝∠C＝60°．
∵AB＝AC，AE＝CD，
∴△ADC≌△BEA（SAS），
∴∠ABE＝∠CAD．
∵∠CAD+∠BAD＝60°，
∴∠ABE+∠BAD＝60°．
∴∠BPQ＝60°．
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ＝30°．
∴BP＝2PQ，
∵∠BQP＝90°，
∴BP2﹣PQ2＝BQ2，
∴BQ2，
∴3BP2＝4BQ2，
故选：B．
【点评】此题考查了等边三角形的性质，勾股定理及全等三角形的判定及性质等知识点的综合运用能力，证明△ADC≌△BEA是解题的关键．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，BD平分∠ABC交边AC于点D，点E、F分别是边BD、AB上的动点，当AE+EF的值最小时，最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
【思路点拨】构造△BGE，使得△BGE≌△BFE，EF＝EG；AE+EF＝AE+EG，当且仅当点A、E、G共线，且与BC垂直时，AE+EF的值最小，即BC边上的垂线段AH；再计算求值即可．
【解答】解：如图所示，在BC边上截取BG＝BF，连接EG，过点A作AH⊥BC交于点H，
∵BD平分∠ABC交边AC于点D，
∴∠FBE＝∠GBE，
∵BG＝BF，BE＝BE，
∴△BGE≌△BFE，
∴EF＝EG，
∴AE+EF＝AE+EG，
当且仅当点A、E、G共线，且与BC垂直时，AE+EF的值最小，即BC边上的垂线段AH，
∵AB＝5，AC＝12，∠BAC＝90°，
∴BC13，
∵S△ABCAB ACBC AH，
∴AH．
∴当AE+EF的值最小时，最小值为．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质、最短路线问题，熟练掌握直角三角形的性质以及利用轴对称解决最短问题是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
9．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段BC上，∠EDB∠ACB，BE⊥DE，DE与AB相交于点F，若BE＝4，则DF＝（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【思路点拨】过D作DH∥AC交AB于H，延长BE与DH的延长线交于G点，由DH∥AC得到∠BDH＝45°，则△HBD为等腰直角三角形，于是HB＝HD，由∠EBF＝22.5°得到DE平分∠BDG，根据等腰三角形性质得BE＝GE，即BEBG，然后根据“AAS”证明△BGH≌△DFH，则BG＝DF，所以BEFD．
【解答】解：过D作DH∥AC交AB于H，延长BE与DH的延长线交于G点，如图，
∵DH∥AC，
∴∠BDH＝∠ACB＝45°，
∴△HBD为等腰直角三角形
∴HB＝HD，
∵∠EDB∠ACB＝22.5°，
∴∠EBF＝22.5°，
∴DE平分∠BDG，
而DE⊥BG，
∴BE＝GE，即BEBG，
∵∠DFH+∠FDH＝∠G+∠FDH＝90°，
∴∠DFH＝∠G，
∵∠GBH＝90°﹣∠G，∠FDH＝90°﹣∠G，
∴∠GBH＝∠FDH
在△BGH和△DFH中，
，
∴△BGH≌△DFH（AAS），
∴BG＝DF，
∴DF＝2BE＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质．
10．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，直角∠EDF的顶点D是AB的中点，两边DE，DF分别交AC，BC于点E，F，有以下结论：
①CE＝BF；
②△EDF是等腰直角三角形；
③EF＝CD；
④四边形CFDE的面积是△ABC的面积的一半．
上述结论中一定正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．②③④
【思路点拨】由等腰直角三角形的性质可得：△CDE≌△BDF，所以可知CE＝BF和△EDF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形可 计算 ，所以ED的长决定EF的长，可判断EF与CD不一定相等，根据全等三角形面积相等可得 ，问题得解．
【解答】解：①∵AC＝BC，D是AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠CDE+∠CDF＝∠BDF+∠CDF，
∴∠CDE＝∠BDF，
∵D是Rt△ABC斜边AB上的中点，AC＝BC，
∴，∠ACD＝∠B＝45°．
在△CDE和△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴DE＝DF，CE＝BF，故①正确；
②∵∠EDF＝90°，
∴△EDF是等腰直角三角形，故②正确；
③∵△EDF是等腰直角三角形，
∴，
∵点E，F分别在边AC，BC运动，
∴DE的长不确定，
则EF的长不确定，
∵，
∴EF与CD不一定相等，故③错误；
④∴△CDE≌△BCF，
∴S△DCE＝S△BDF．
∴S四边形CDFE＝S△CDF+S△BDF＝S△CDF+S△BDF，故④正确．
∴结论中始终正确的有①②④．
故选：B．
【点评】此题主要考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识点，题目综合性很强，但难度不大，注意数形结合思想的应用，另外利用“割补法”是求不规则图形的面积的常用方法．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为 17 ．
【思路点拨】等腰三角形两边的长为3和7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【解答】解：①当腰是3，底边是7时，3+3＜7，不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是3，腰长是7时，3+7＞7，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17．
故答案为：17．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时注意：若没有明确腰和底边，则一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键．
12．（3分）如图，在△OCD中，CO＝CD＝5，OA∥CD，DE⊥OA，垂足为E，DE＝4，则△OCD的面积 10 ．
【思路点拨】过D作DF⊥OC于F，根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出∠COD＝∠AOD，根据角平分线的性质得出DF＝DE＝4，然后根据S△OCDOC DF代入计算即可．
【解答】解：如图，过点D作DF⊥OC于F，
∵CO＝CD＝5，
∴∠COD＝∠ODC，
∵OA∥CD，
∴∠AOD＝∠ODC，
∴∠COD＝∠AOD，
又∵DE⊥OA，DF⊥OC，
∴DF＝DE＝4，
∴S△OCDOC DF5×4＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，三角形的面积，求出DF＝DE＝4是解题的关键．
13．（3分）如图，在等边三角形ABC的边AB、AC各取一点D，E，连结CD，BE交于点F，使∠EFC＝60°．若BD＝1，CE＝2，则BC长度为 3 ．
【思路点拨】由等边三角形的性质得出AB＝CB，∠A＝∠ABC＝60°，证明△ABE≌△BCD（ASA），由全等三角形的性质得出AE＝BD，则可得出结论．
【解答】解：∵△ACB为等边三角形，
∴AB＝CB，∠A＝∠ABC＝60°，
∴∠ABE+∠CBF＝60°，
又∵∠EFC＝∠CBF+∠BCF＝60°，
∴∠ABE＝∠BCF，
在△ABE和△BCD中，
，
∴△ABE≌△BCD（ASA），
∴AE＝BD，
∴BC＝AC＝AE+CE＝DB+CE＝1+2＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△ABE≌△BCD是解题的关键．
14．（3分）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（AC＝1尺）．将它往前推进两步（EB⊥OC于点E，且EB＝8尺），踏板升高到点B位置，此时踏板离地五尺（BD＝CE＝5尺），则秋千绳索（OA或OB）长 10 尺．
【思路点拨】设OB＝OA＝x，在Rt△OBE中利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】解：设OB＝OA＝x，
根据题意得：EB⊥OC，EC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠BEO＝∠BEC＝∠ECD＝∠CDB＝90°，
∴四边形BECD是矩形，
∴EC＝BD＝5，
∵AC＝1，
∴EA＝EC﹣AC＝5﹣1＝4，
在Rt△OBE中，OB＝x，OE＝OA﹣EA＝x﹣4，EB＝8，
∵OB2＝OE2+EB2，
∴x2＝（x﹣4）2+82，
解得：x＝10，
∴秋千绳索（OA或OB）长10尺．
故答案为：10．
【点评】本题考查矩形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，
15．（3分）如图，图1是一个儿童滑梯，AE，DF，MN是滑梯的三根加固支架（如图2），且AE和DF都垂直地面BC，N是滑道DC的中点，小周测得FM＝2米，MN＝3米，MC＝6米，通过计算，他知道了滑道NC长为 米．
【思路点拨】连接FN，过N作NG⊥CF于G，由直角三角形斜边上的中线性质得FNDC＝CN，再由等腰三角形的性质得FG＝CGCF＝4米，然后由勾股定理得NG米，即可解决问题．
【解答】解：如图，连接FN，过N作NG⊥CF于G，
∵FM＝2米，MC＝6米，
∴CF＝FM+MC＝8（米），
∵DF⊥BC，
∴∠DFC＝90°，
∵N是滑道DC的中点，
∴FNDC＝CN，
∵NG⊥CF，
∴FG＝CGCF＝4（米），
∴MG＝FG﹣FM＝4﹣2＝2（米），
在Rt△MNG中，由勾股定理得：NG（米），
在Rt△CNG中，由勾股定理得：NC（米），
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理的应用、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学知识，属于中考常考题型．
16．（3分）如图，在锐角△ABC中，∠B＝30°，AC＝4，S△ABC＝16，P是边AC上的一动点，点P关于直线AB、BC的对称点分别是D、E，连接DE，则DE的最小值为 8 ．
【思路点拨】由轴对称的性质推出AB垂直平分PD，BC垂直平分PE，得到BD＝BP，EB＝BP，由等腰三角形的性质推出∠PBD＝2∠PBA，∠PBE＝2∠PBC，得到∠DBE＝∠PBD+∠PBE＝2∠ABC＝60°，推出△BDE是等边三角形，因此DE＝BD＝BP，当BP⊥AC时，BP最小，由三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：连接BD，BP，BE，PD，PB，
∵点P关于直线AB、BC的对称点分别是D、E，
∴AB垂直平分PD，BC垂直平分PE，
∴BD＝BP，EB＝BP，
∴∠PBD＝2∠PBA，∠PBE＝2∠PBC，
∴∠DBE＝∠PBD+∠PBE＝2（∠PBA+∠PBC）＝2∠ABC＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE＝BD＝BP，
当BP⊥AC时，BP最小，
此时，△BAC的面积AC BP＝16，
∵AC＝4，
∴BP＝8，
∴DE的最小值为8．
故答案为：8．
【点评】本题考查求线段最小值的问题，轴对称的性质，三角形的面积，关键是应用轴对称的性质推出DE＝BP．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝50°，求∠B和∠C的度数．
【思路点拨】由题意，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝50°，根据等腰三角形的性质可以求出底角，再根据三角形内角与外角的关系即可求出内角∠C．
【解答】解：在△ABD中，AB＝AD，∠BAD＝50°，
∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣50°）65°，
又∵AD＝DC，
∴∠C＝∠CAD∠ADB65°＝32.5°．
故∠B＝65°，∠C＝32.5°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理及内角与外角的关系．利用三角形的内角求角的度数是一种常用的方法，要熟练掌握．
18．（8分）如图，在8×8正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上．
（1）请在图中作出△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C′；
（2）在线段A'B'上找一点P（点P在格点上），使得△ABP为等腰三角形．
【思路点拨】（1）利用网格特点和轴对称的性质画出点A、B、C关于直线l的对称点即可；
（2）当BP＝BA＝5时可确定P点位置；当AP′＝AB＝5时，可确定点P′的位置．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C′为所作；
（2）如图，点P和点P′为所作．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．也考查了等腰三角形的判定．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．
（1）求证：△ACD为等腰三角形．
（2）若∠BAD＝140°，求∠BDC的度数．
【思路点拨】（1）利用平行线的性质得出∠1＝∠3，进而利用等腰三角形的性质得出AC＝AD即可；
（2）由（1）知∠1＝∠2＝∠3，根据已知条件得到∠1＝∠2＝∠3（180°﹣∠BAD）＝20°，根据等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠ABC＝40°，根据平行线的选择得到∠ADC+∠ACD＝180°，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠2．
∵AD∥BC，
∴∠2＝∠3．
∴∠1＝∠3．
∴AB＝AD．
∵AB＝AC，
∴AC＝AD，
∴△ACD为等腰三角形；
（2）解：由（1）知，∠1＝∠2＝∠3，
∵∠BAD＝140°，∠BAD+∠1+∠3＝180°，
∴∠1＝∠2＝∠3（180°﹣∠BAD）＝20°，
∠ABC＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝40°，
由（1）知，AD＝AC，
∴∠ACD＝∠ADC＝∠BDC+∠3＝∠BDC+20°，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴40°+（∠BDC+20°）+（∠BDC+20°）＝180°，
∴∠BDC＝50°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于E，点F在AC上，且DF＝BD．
（1）求证：△BED≌△FCD；
（2）若AB＝10，AF＝5，求BE的长．
【思路点拨】（1）先由角平分线的性质得出DC＝DE，再由HL证Rt△DCF≌Rt△DEB即可得出结论；
（2）先由HL证Rt△ADC≌Rt△ADE，得出AC＝AE，结合（1）中CF＝BE进而得出BE＝AE﹣AF，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DC＝DE，∠DEB＝90°，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
，
∴Rt△BED≌Rt△FCD（HL）；
（2）解：由（1）知△BED≌△FCD，
∴BE＝CF，
在Rt△ADC与Rt△ADE中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），
∴AC＝AE，
∵AB＝AE+BE，
AC＝AF+CF，
∴AB＝AC+BE＝AF+BE+BE＝AF+2BE，
∵AB＝10，AF＝5，
∴．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21．（8分）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”．
（1）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，求证：△ABC是“美丽三角形”；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC，若△ABC是“美丽三角形”，求BC的长．
【思路点拨】（1）过点A作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质求出BD，根据勾股定理求出AD，根据“美丽三角形”的定义证明；
（2）分AC边上的中线BD等于AC，BC边上的中线AE等于BC两种情况，根据勾股定理计算．
【解答】（1）证明：过点A作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BDBC＝2，
由勾股定理得，AD4，
∴AD＝BC，即△ABC是“美丽三角形”；
（2）解：当AC边上的中线BD等于AC时，如图2，
BC6，
当BC边上的中线AE等于BC时，
AC2＝AE2﹣CE2，即BC2﹣（BC）2＝（4）2，
解得BC＝8．
综上所述，BC的长是6或8．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
22．（10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，AD与CE交于点F，点G为CE的中点，CD＝AE．
（1）求证：DG⊥CE．
（2）若AF＝EF，求∠B的度数．
【思路点拨】（1）连接DE，根据垂直的定义得到∠ADB＝90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，等量代换得到DE＝CD，根据等腰三角形的性质得到结论．
（2）根据余角的性质得到∠B+∠BAD＝90°，求得∠BAD＝90°﹣∠B，根据等腰三角形的性质得到∠AEF＝∠BAF＝90°﹣∠B，∠DEC＝∠ECD，设∠DEC＝∠ECD＝α，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接DE，
∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADB＝90°，
∵DE是AB边上的中线，
∴BE，
∵AE＝CD，
∴DE＝CD，
∵点G为CE的中点，
∴DG⊥CE．
（2）解：连接DE，
则DE＝AE＝CD，
∵点G为CE的中点，
∴DG⊥CE，
∵BE＝DE，EF＝AF，
∴∠B＝∠BDE，
设∠B＝∠BDE＝x，则∠AED＝2x，∠AEF＝y，
∴∠DEF＝2x﹣y，
∵DE＝DC，
∴∠DEF∠BDEx，
∴2x﹣yx，
∴yx，
∴xx＝90°，
∴x＝36°，
∴∠B＝36°．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，正确地找出辅助线是解题的关键．
23．（10分）如图，已知AC⊥BC，AD⊥DB，E为AB的中点．
（1）如图1，求证：△ECD是等腰三角形．
（2）如图2，CD与AB交于点F，若AC＝BC，若CE＝4，BF＝1，求CD的长．
【思路点拨】（1）根据△ABC和△ABD是直角三角形，点E是AB的中点DECE＝1/2AB，DE＝1/2AB，由此可得出结论；
（2）过点E作EG⊥CD于G，由（1）的结论得CG＝DG，证明△ABC是等腰直角三角形，得CE＝AE＝BE＝4，AE⊥AB，则BF＝1，EF＝3，CE＝5，再由三角形面积公式求出EG＝2.4，进而得CG＝3.2，由此可得CD的长．
【解答】（1）证明：∵AC⊥BC，AD⊥DB，
∴△ABC和△ABD是直角三角形，
∵点E是AB的中点，
∴CEAB，DEAB，
∴CE＝DE，
∴△CDE是△ECD是等腰三角形；
（2）解：过点E作EG⊥CD于G，如图所示：
∵CE＝DE，
∴CG＝DG，
∵AC⊥BC，AC＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵E为AB的中点，
∴CE＝AE＝BE＝4，CE⊥AB，
∵BF＝1，
∴EF＝BE﹣BF＝3，
由勾股定理得：CF5，
由三角形的面积公式得：S△CEFCF EGCE EF，
∴EG2.4，
在Rt△CEG中，由勾股定理得：CG3.2，
∴CG＝DG＝3.2，
∴CD＝CG+DG＝6.4．
【点评】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
【思路点拨】（1）直接根据勾股定理求出BC的长度；
（2）当△ABP为直角三角形时，分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时的t值即可；
（3）当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64，
∴BC＝8（cm）；
（2）由题意知BP＝2tcm，
①如图①，当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝8cm，即t＝4；
②如图②，当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣8）cm，AC＝6cm，
在Rt△ACP中，AP2＝62+（2t﹣8）2，
在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，
即：102+[62+（2t﹣8）2]＝（2t）2，
解得：t，
故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t；
（3）①如图③，当AB＝BP时，t＝5；
②如图④，当AB＝AP时，BP＝2BC＝16cm，t＝8；
③如图⑤，当BP＝AP时，AP＝BP＝2tcm，CP＝|2t﹣8|cm，AC＝6cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，
所以（2t）2＝62+（2t﹣8）2，
解得：t，
综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t．
【点评】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．
