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浙教版（2024）八上一周一测（七）第2章《特殊三角形》单元综合测试（A）
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B C C D D B B B
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列四个手机App图标中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路点拨】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，据此判定即可．
【解答】A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了轴对称图形的概念，熟练掌握该知识点是解题的关键．
2．（3分）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．在一个三角形中，等边对等角
C．全等三角形三条对应边相等
D．全等三角形三个对应角相等
【思路点拨】分别写出原命题的逆命题，然后判断真假即可．
【解答】解：A、逆命题为两直线平行，同位角相等，正确，为真命题；
B、逆命题为：在一个三角形中等角对等边，正确，是真命题；
C、逆命题为：三条边对应相等的三角形全等，正确，是真命题；
D、逆命题为：三个角对应相等的三角形全等，错误，为假命题，
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出原命题的逆命题，难度不大．
3．（3分）若实数m、n满足等式|m﹣2|0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【思路点拨】由已知等式，结合非负数的性质求m、n的值，再根据m、n分别作为等腰三角形的腰，分类求解．
【解答】解：∵|m﹣2|0，
∴m﹣2＝0，n﹣4＝0，
解得m＝2，n＝4，
当m＝2作腰时，三边为2，2，4，不符合三边关系定理；
当n＝4作腰时，三边为2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2+4+4＝10．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质．关键是根据非负数的性质求m、n的值，再根据m或n作为腰，分类求解．
4．（3分）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（ ）
A．PA＝PB B．PO平分∠APB
C．AB垂直平分OP D．OA＝OB
【思路点拨】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PA＝PB，再利用“AAS”证明△AOP和△BOP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOP＝∠BOP，全等三角形对应边相等可得OA＝OB．
【解答】解：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，
∴PA＝PB，故A选项正确；
∵∠PAO＝∠PBO＝90°，∠POA＝∠POB，OP＝OP，
∴△AOP≌△BOP（AAS），
∴∠APO＝∠BPO，OA＝OB，故B，D选项正确；
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB，故选项D正确；
由等腰三角形三线合一的性质，OP垂直平分AB，AB不一定垂直平分OP，故C选项错误；
即不一定成立的是选项C，
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出两三角形全等是解题的关键．
5．（3分）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝1.5，则AB的长为（ ）
A．3 B．4.5 C．6 D．7.5
【思路点拨】由在等边三角形ABC中，DE⊥BC，可求得∠CDE＝30°，则可求得CD的长，又由BD平分∠ABC交AC于点D，由三线合一的知识，即可求得答案．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC，
∵DE⊥BC，
∴∠CDE＝30°，
∵EC＝1.5，
∴CD＝2EC＝3，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴AD＝CD＝3，
∴AB＝AC＝AD+CD＝6．
故选：C．
【点评】此题考查了等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，则AB的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【思路点拨】在Rt△ACD中求出AD，在Rt△CDB中求出BD，继而可得出AB．
【解答】解：在Rt△ACD中，∠A＝45°，CD＝1，
则AD＝CD＝1，
在Rt△CDB中，∠B＝30°，CD＝1，
则BD，
故AB＝AD+BD1．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰直角三角形及含30°角的直角三角形的性质，要求我们熟练掌握这两种特殊直角三角形的性质．
7．（3分）△ABC中，AB＝AC，CD为AB上的高，且△ADC为等腰三角形，则∠BCD等于（ ）
A．67.5°或45° B．22.5°或45°
C．36°或72° D．67.5°或22.5°
【思路点拨】根据题意，应该考虑两种情况，①CD在△ABC内部；②CD在△ABC外部．分别结合已知条件进行计算即可．
【解答】解：①如图所示，CD在△ABC内部，
∵AB＝AC，CD为AB上的高，
∴∠B＝∠ACB，∠CDB＝90°，
又∵△ADC是等腰三角形，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴∠B＝∠ACB（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣ACD＝67.5°﹣45°＝22.5°；
②如图所示，CD在△ABC外部，
∵AB＝AC，CD为AB上的高，
∴∠B＝∠ACB，∠CDB＝90°，
又∵△ADC是等腰三角形，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴∠B＝∠ACB45°＝22.5°，
∴∠BCD＝∠ACB+ACD＝22.5°+45°＝67.5°；
所以∠BCD等于22.5°或67.5°．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、角的计算．注意分类讨论．此类题一般是利用等腰三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数．
8．（3分）如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE＝CD，AD、BE相交于F点，BH⊥AD于H点，FH＝3，EF＝0.5，则AD的长为（ ）
A．6 B．6.5 C．7 D．7.5
【思路点拨】证明∠FBH＝30°，再利用直角三角形的性质，推出BF＝2FH，即可解决问题．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAE＝∠C＝60°，AB＝AC，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE＝∠CAD，BE＝AD，
∴∠BFD＝∠ABE+∠BAD＝∠CAD+∠BAF＝∠BAC＝60°；
∵BH⊥AD，
∴∠BHF＝90°
∴∠FBH＝30°，
∴FHBF，即BF＝2FH，
∵FH＝3，EF＝0.5，
∴BF＝6，BE＝BF+EF＝6.5，
∴AD＝BE＝6.5．
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
9．（3分）如图，△ABC的面积为16，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【思路点拨】延长BD交AC于点E，则可知△ABE为等腰三角形，则S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，可得出S△ADCS△ABC．
【解答】解：如图，延长BD交AC于点E，
∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，
∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（ASA），
∴BD＝DE，
∴S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，
∴S△ABD+S△BDC＝S△ADE+S△CDE＝S△ADC，
∴S△ADCS△ABC16＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用，由BD＝DE得到S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE是解题的关键．
10．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝10．分别以AB，AC，BC为边在AB的同侧作正方形ABEF，ACPQ，BDMC，四块阴影部分的面积分别为S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4等于（ ）
A．64 B．60 C．56 D．52
【思路点拨】过F点作AM的垂线交于点G，利用全等三角形的性质与判定，通过证明S1+S2+S3+S4＝3SRt△ABC，依此即可求解．
【解答】解：过F点作AM的垂线交于点G，连接PF，
因为四边形ABEF，ACPQ，BDMC是正方形，
∴∠FAB＝∠AFE＝∠FAC+∠CAB＝90°，∠ACT＝∠ACB＝90°，
AB＝AF＝BE＝EF，∠D＝90°，BC＝BD，∠FPC＝∠M＝90°
∵FG⊥AM，
∴∠FGK＝∠FGA＝∠AFG+∠FAC＝90°，
∴∠CAB＝∠AFG，∠CAT＝∠GFK，
∵∠CAB＝∠AFG，∠ACB＝∠FGA＝90°，AB＝AF，
∴Rt△AGF≌Rt△BCA，
∴GF＝AC，
∵∠CAT＝∠GFK，∠ACT＝∠FGK＝90°，GF＝AC，
∴Rt△GFK≌Rt△CAT，
∴S2＝SRt△ABC，FK＝AT，∠GKF＝∠CTA，
∴KE＝TF，∠MKE＝∠PTF，
∵∠FPC＝∠M＝90°，KE＝TF，∠MKE＝∠PTF，
∴Rt△FPT≌Rt△EMK，
∴S3＝S△FPT，
∵AQ＝AC，AF＝AB，∠Q＝∠ACB＝90°，
∴Rt△AQF≌Rt△ACB，
∴S1+S3＝SRt△AQF＝SRt△ABC，
∵AB＝BE，BC＝BD，∠D＝∠ACB＝90°，
∴Rt△ABC≌Rt△EBD，
∴S4＝SRt△ABC，
∴S1+S2+S3+S4＝（S1+S3）+S2+S4＝SRt△ABC+SRt△ABC+SRt△ABC＝SRt△ABC×3
＝4×10÷2×3＝60．
故选：B．
【点评】本题考查以直角三角形三边为边长的正方形构成图形的面积，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关定理，证明全等三角形，将阴影面积转化为3SRt△ABC是解题关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知等腰三角形顶角的度数为98°，则底角的度数为 41 °．
【思路点拨】设该等腰三角形的底角为α，由等腰三角形的两个底角相等，且等腰三角形顶角的度数为98°，根据三角形内角和定理得2α+98°＝180°，求得α＝41°，于是得到问题的答案．
【解答】解：设该等腰三角形的底角为α，
∵三角形的内角和等于180°，且等腰三角形的两个底角相等，等腰三角形顶角的度数为98°，
∴2α+98°＝180°，
∴α＝41°，
故答案为：41．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，根据三角形内角和定理及等腰三角形的两个底角相等正确地列出等式是解题的关键．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB＝5，BC＝6，则AD＝ 4 ．
【思路点拨】首先根据等腰三角形的性质：等腰三角形的三线合一，求出DB＝DCCB，AD⊥BC，再利用勾股定理求出AD的长．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴DB＝DCCB＝3，AD⊥BC，
在Rt△ABD中，
∵AD2+BD2＝AB2，
∴AD4，
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质与勾股定理的应用，做题的关键是根据等腰三角形的性质证出△ADB是直角三角形．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C＝ 40 °．
【思路点拨】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠B的度数，再根据三角形外角的性质可求出∠ADC的度数，再由三角形内角和定理解答即可．
【解答】解：∵AB＝AD，∠BAD＝20°，
∴∠B80°，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝80°+20°＝100°，
∵AD＝DC，
∴∠C40°．
【点评】本题涉及到三角形的内角和定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，属较简单题目．
14．（3分）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于 8 ．
【思路点拨】由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC＝2DE＝10，然后在Rt△ACD中，利用勾股定理来求线段CD的长即可．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴△ADC是直角三角形，
∵E是AC的中点，DE＝5，
∴AC＝10．
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝6，AC＝10，
根据勾股定理得：CD＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线．利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得AC的长是解题的关键．
15．（3分）如图，已知矩形ABCD，点E是边CD上一点，现将△ADE沿着AE折叠，点D刚好落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，则EC的长为 3 cm．
【思路点拨】根据已知条件求指定边长的能力．由折叠的性质可得AD＝AF，∠D＝∠AFE，DE＝EF，由勾股定理可求BF的长，EC的长．
【解答】解：已知AB＝8cm，BC＝10cm，设EC的长为x cm，则DE＝（8﹣x）cm，
将△ADE沿着AE折叠，点D刚好落在BC边的点F处，
∴AD＝AF，∠D＝∠AFE，DE＝EF，
∵AD＝BC＝10cm，
∴AF＝AD＝10cm，
又∵AB＝8cm，
在Rt△ABF中，根据勾股定理，得AB2+BF2＝AF2，
∴82+BF2＝102，
∴BF＝6cm，
∴FC＝BC﹣BF＝10﹣6＝4cm，
在Rt△EFC中，根据勾股定理，得：FC2+EC2＝EF2，
∴42+x2＝（8﹣x）2，
即16+x2＝64﹣16x+x2，
化简，得16x＝48，
∴x＝3，
即EC的长为3cm，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质．
16．（3分）如图，边长为5的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，连结AF并延长交BC于点M．若AH＝HE，则CM的长为 ．
【思路点拨】过点M作MN⊥FC于点N，设FA与EH交于点K，如图，根据正方形的性质得到HE＝HG＝GF＝EF，根据全等三角形的性质得到BE＝CF＝AH＝DG，∠DAG＝∠BCE．求得DG＝EF＝GF＝FC，根据等腰三角形的性质得到∠DAG＝∠FAG，根据平行线的性质得到∠FAG＝∠EFK．求得MF＝MC，设MF＝MC＝x，则AM＝5+x，BM＝5﹣x，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：过点M作MN⊥FC于点N，设FA与EH交于点K，如图，
∵四边形EFGH是正方形，
∴HE＝HG＝GF＝EF，
∵AH＝EH，
∴AH＝HE＝GF＝EF，
由题意得：Rt△ABH≌Rt△BCE≌Rt△ADG≌Rt△CDF，
∴BE＝CF＝AH＝DG，∠DAG＝∠BCE．
∴DG＝EF＝GF＝FC，
∵AG⊥DF，
∴AD＝AF，
∴∠DAG＝∠FAG，
∴∠CBE＝∠FAG，
∵AG∥EC，
∴∠FAG＝∠EFK．
∵∠EFK＝∠CFM，
∴∠CFM＝∠BCE，
∴MF＝MC，
设MF＝MC＝x，则AM＝5+x，BM＝5﹣x，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：
52+（5﹣x）2＝（5+x）2，
解得：x，
∴CM，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，依据题意恰当的添加辅助线是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）用一根长为20cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边长的2倍，求这个三角形各边的长．
（2）能围成有一边的长是5cm的等腰三角形吗？为什么？
【思路点拨】（1）设底边长为x cm，则腰长为2x cm，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边的长；
（2）题中没有指明5cm所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验．
【解答】解：（1）设底边长为x cm，则腰长为2x cm，则
2x+2x+x＝20
解得，x＝4
∴2x＝8
∴各边长为：8cm，8cm，4cm．
（2）①当5cm为底时，腰长＝7.5cm；
②当5cm为腰时，底边＝10cm，因为5+5＝10，故不能构成三角形，故舍去；
故能构成有一边长为5cm的等腰三角形，另两边长为7.5cm，7.5cm．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质、三角形三边关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
18．（8分）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地的高度AB为2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，AD为多少米？
【思路点拨】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，
∴AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD1.5（米），
答：AD为1.5米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段AD的长度．
19．（8分）如图，△ABC与△BDE都是等边三角形，连结AE，CD．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）连结AD，若∠BDC＝150°，DB＝3，CD＝5，求AD的长．
【思路点拨】（1）由等边三角形的性质得AB＝CB，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝60°，再证∠CBD＝∠ABE，然后由SAS判定△ABE≌△CBD即可；
（2）由等边三角形的性质得∠BED＝60°，DE＝DB＝3，再由全等三角形的性质得AE＝CD＝5，∠BEA＝∠BDC＝150°，则∠AED＝90°，然后由勾股定理即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴AB＝CB，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠DBE﹣∠ABD，
即∠CBD＝∠ABE，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
（2）解：如图，∵△BDE是等边三角形，
∴∠BED＝60°，DE＝DB＝3，
由（1）可知，△ABE≌△CBD，
∴AE＝CD＝5，∠BEA＝∠BDC＝150°，
∴∠AED＝∠BEA﹣∠BED＝150°﹣60°＝90°，
∴AD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
20．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是AC边上的高线，EG⊥AD于G，AG＝DG．
（1）求证：CD＝AE；
（2）已知CD＝5，AC＝11，求△ADC的面积．
【思路点拨】（1）根据垂直定义可得∠BEC＝90°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得DE＝DC，再利用线段垂直平分线的性质可得EA＝ED，从而利用等量代换即可解答；
（2）利用（1）的结论可得AE＝CD＝5，BC＝10，从而可得EC＝6，然后在Rt△BEC中，利用勾股定理求出BE＝8，从而求出△ABC的面积，最后根据点D是BC的中点，可得△ACD的面积△ABC的面积，进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∵点D是BC的中点，
∴DE＝DCBC，
∵EG⊥AD，AG＝DG，
∴EG是AD的垂直平分线，
∴EA＝ED，
∴CD＝AE；
（2）解：由（1）可得：AE＝CD＝5，BC＝2CD＝10，
∵AC＝11，
∴EC＝AC﹣AE＝6，
在Rt△BEC中，BE8，
∴△ABC的面积AC BE11×8＝44，
∵点D是BC的中点，
∴△ACD的面积△ABC的面积＝22，
∴△ADC的面积为22．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的面积，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
21．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别在边AB、AC上，给出下列信息：
①BE平分∠ABC；
②CD⊥AB；
③∠CFE＝∠CEF．
（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题．在保证命题正确的情况下，你选择的条件是 ②③ ，结论是 ① ．（只要填写序号）．
（2）请证明（1）中你组成的命题的正确性．
【思路点拨】以②③为条件，蝴蝶型△CEF和△BDF，可通过三角形内角和及等量代换推出∠DBF＝∠CBE．
【解答】解：（1）选择的条件是②③，结论是①；
故答案为：②③，①．
（2）证明：∵∠CFE＝∠CEF．∠CFE＝∠BFD，
∴∠CEB＝∠BFD，
∵∠CBE+∠CEB＝90°，∠BFD+∠DBF＝90°，
∴∠DBF＝∠CBE，
∴BE平分∠ABC．
【点评】考查了命题与定理的知识，掌握“蝴蝶型”三角形的有关知识是解答本题的关键，难度不大．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，∠B+∠AFD＝180°，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）求证：AB＝AF+2BE．
【思路点拨】（1）由∠B+∠AFD＝180°可得∠EBD＝∠CFD，在根据∠C＝∠BED＝90°可证明△CDF≌△EDB（AAS）得到DC＝DE即可说明AD平分∠BAC；
（2）先利用角平分线证明△CDA≌△EDA（AAS）得到AC＝AE，在根据（1）中△CDF≌△EDB（AAS）得到CF＝BE，即可得到AB＝AE+EB＝AF+2BE．
【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，
∴∠BED＝∠AED＝90°，
∵∠CFD+∠AFD＝180°，∠B+∠AFD＝180°，
∴∠CFD＝∠EBD，
∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，∠C＝∠BED＝90°，
∴在△CDF和△EDB中，
，
∴△CDF≌△EDB（AAS），
∴DE＝DC，
∵DE⊥AB，DC⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
（2）∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠DAB，
∵∠C＝∠AED＝90°，AD＝AD，
∴△CDA≌△EDA（AAS），
∴AC＝AE，
∴AC＝AE＝AF+FC，
由（1）得△CDF≌△EDB，
∴CF＝BE，
∴AE＝AF+FC＝AF+BE，
∴AB＝AE+EB＝AF+2BE，即AB＝AF+2BE．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，角平分线的性质，关键是直角三角形全等的判定定理的应用．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BA延长线上一点，且ED⊥BC交AC于点F．
（1）求证：△AEF是等腰三角形；
（2）若AB＝13，EF＝12，F为AC中点，求BC的长．
【思路点拨】（1）根据等腰三角形的性质，得出∠B＝∠C，根据余角的性质，得出∠E＝∠DFC，根据对顶角的性质，得出∠EFA＝∠E，即可得出答案；
（2）证明△AFG≌△CFD（AAS），得出DF＝FG＝6，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵ED⊥BC，
∴∠EDB＝∠EDC＝90°，
∴∠E+∠B＝90°，∠C+∠DFC＝90°，
∴∠E＝∠DFC，
∵∠DFC＝∠EFA，
∴∠EFA＝∠E，
∴AE＝AF，
∴△AEF为等腰三角形；
（2）解：过点A作AG⊥ED于点G，AH⊥BC于H，如图所示：
∵AE＝AF，AG⊥ED，EF＝12，
∴FG＝GEEF＝6，
∵F为AC中点，
∴AF＝FCACAB，
在△AFG与△CFD中，
，
∴△AFG≌△CFD（AAS），
∴DF＝FG＝6，
∴AH＝2DF＝12，
∴BH5，
∴BC＝2BH＝10，
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定方法．
24．（12分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，BD交AC于F，连接AD．
（1）解答下列问题：
①若∠BAC＝40°，则∠BDC＝ 20° ．
②求出∠BDC与∠BAC之间的关系式．
（2）求证：△ABD为等腰三角形．
（3）当∠EBA的大小满足什么条件时，以A、B、F为顶点的三角形为等腰三角形？
【思路点拨】（1）①利用等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出∠ABC＝∠ACB＝70°，再利用邻补角的定义得到∠ACE＝110°，然后根据角平分线的定义可计算出∠DBC∠ABC＝35°，∠ECD∠ACE＝55°，再利用三角形外角性质可计算出∠BDC；
②由外角关系∠BDC∠ABC∠ACE，∠BAC+∠ABC＝∠ACE，即可得出∠BDC∠BAC；
（2）作DM⊥BG于M，DN⊥AC于N，DH⊥BE于H，先证DM＝DN，得出AD平分∠CAG，再证明AD∥BC，证出∠ABD＝∠ADB，即可证出AB＝AD，△ABD为等腰三角形；
（3）分三种情形讨论，由等腰三角形的性质即可得出答案．
【解答】（1）解：①∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣40°）＝70°，
∴∠ACE＝110°，
∵BD，CD分别平分∠EBA，∠ECA，
∴∠DBC∠ABC＝35°，∠ECD∠ACE＝55°，
∴∠BDC＝∠ECD﹣∠DBC＝20°；
故答案为：20°；
②∠BDC∠BAC．
∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，BD交AC于F，
∴∠BDC∠ABC∠ACE，∠BAC+∠ABC＝∠ACE，
∴∠BDC∠ABC∠BAC∠ABC，
∴∠BDC∠BAC．
（2）证明：作DM⊥BG于M，DN⊥AC于N，DH⊥BE于H，如图所示：
∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，
∴DM＝DH，DN＝DH，
∴DM＝DN，
∴AD平分∠CAG，即∠GAD＝∠CAD，
∵∠GAD+∠CAD+∠BAC＝180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠GAD+∠CAD＝∠ABC+∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠GAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
又∵∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴△ABD为等腰三角形；
（3）解：①AB＝AF不可能舍去．
②AF＝BF时，∠EBA＝72°，理由如下：
∵△ABF是等腰三角形，∠BAF只能为底角，
∴AF＝BF，
∴∠BAF＝∠ABF∠ABC，
∵∠BAF+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝72°，
即∠EBA＝72°；．
③AB＝BF时，设∠ABF＝∠FBC＝x，
则∠ABC＝∠ACB＝2x，
∠BAF＝∠BFA＝3x，
∴2x+2x+3x＝180°，
∴x，
∴∠EBA＝2x，
综上所述，满足条件的∠EBA的值为72°或．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、外角的性质以及平行线的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的判定与性质，弄清各个角之间的数量关系是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版（2024）八上一周一测（七）第2章《特殊三角形》单元综合测试（A）
（满分：120分 时间：120分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列四个手机App图标中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（3分）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．在一个三角形中，等边对等角
C．全等三角形三条对应边相等
D．全等三角形三个对应角相等
3．（3分）若实数m、n满足等式|m﹣2|0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
4．（3分）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（ ）
A．PA＝PB B．PO平分∠APB
C．AB垂直平分OP D．OA＝OB
5．（3分）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝1.5，则AB的长为（ ）
A．3 B．4.5 C．6 D．7.5
6．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，则AB的长为（ ）
A．2 B． C． D．
7．（3分）△ABC中，AB＝AC，CD为AB上的高，且△ADC为等腰三角形，则∠BCD等于（ ）
A．67.5°或45° B．22.5°或45°
C．36°或72° D．67.5°或22.5°
8．（3分）如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE＝CD，AD、BE相交于F点，BH⊥AD于H点，FH＝3，EF＝0.5，则AD的长为（ ）
A．6 B．6.5 C．7 D．7.5
9．（3分）如图，△ABC的面积为16，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
10．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝10．分别以AB，AC，BC为边在AB的同侧作正方形ABEF，ACPQ，BDMC，四块阴影部分的面积分别为S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4等于（ ）
A．64 B．60 C．56 D．52
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知等腰三角形顶角的度数为98°，则底角的度数为 °．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB＝5，BC＝6，则AD＝ ．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C＝ °．
14．（3分）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于 ．
15．（3分）如图，已知矩形ABCD，点E是边CD上一点，现将△ADE沿着AE折叠，点D刚好落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，则EC的长为 cm．
16．（3分）如图，边长为5的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，连结AF并延长交BC于点M．若AH＝HE，则CM的长为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）用一根长为20cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边长的2倍，求这个三角形各边的长．
（2）能围成有一边的长是5cm的等腰三角形吗？为什么？
18．（8分）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地的高度AB为2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，AD为多少米？
19．（8分）如图，△ABC与△BDE都是等边三角形，连结AE，CD．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）连结AD，若∠BDC＝150°，DB＝3，CD＝5，求AD的长．
20．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是AC边上的高线，EG⊥AD于G，AG＝DG．
（1）求证：CD＝AE；
（2）已知CD＝5，AC＝11，求△ADC的面积．
21．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别在边AB、AC上，给出下列信息：
①BE平分∠ABC；
②CD⊥AB；
③∠CFE＝∠CEF．
（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题．在保证命题正确的情况下，你选择的条件是 ，结论是 ．（只要填写序号）．
（2）请证明（1）中你组成的命题的正确性．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，∠B+∠AFD＝180°，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）求证：AB＝AF+2BE．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BA延长线上一点，且ED⊥BC交AC于点F．
（1）求证：△AEF是等腰三角形；
（2）若AB＝13，EF＝12，F为AC中点，求BC的长．
24．（12分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，BD交AC于F，连接AD．
（1）解答下列问题：
①若∠BAC＝40°，则∠BDC＝ ．
②求出∠BDC与∠BAC之间的关系式．
（2）求证：△ABD为等腰三角形．
（3）当∠EBA的大小满足什么条件时，以A、B、F为顶点的三角形为等腰三角形？
