第五章《一元一次方程》培优卷—浙教版数学七年级上册单元分层测
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2025七上·宝安期末）如图，天平两边托盘中相同形状的物体的质量相同，且处于平衡状态，每个砝码的质量为10g，设每个球体的质量为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各对等式，是根据等式的性质进行变形的，其中错误的是（ ）．
A．4x-1=5x+2→x=-3
B．
C．
D．
3．（2023七上·二七月考）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一：人出六，不足十六，问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱：如果每人出六钱，那么少了十六钱． 问：共有几个人？”设有x个人共同买鸡，依题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．使得关于x 的方程的解是正整数的所有整数a的积为( )
A．12 B．-12 C．6 D．-6
5．（2024七上·南充期末）下列说法：
①若，则；②若，则；③若，则；
④若方程与的解相同，则的值为0．正确的个数有（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．某同学在解关于x的方程5a-x=13时，误将-x看成了+x，得到方程的解为x=-2，则a的值为( )
A．3 B． C．4 D．1
7．（2025七上·慈溪期末）定义运算“*”如下：当a<0时，a*b=2a+b；当a≥0时，a*b=ab-，若（-2）*m=3*m，则m的值是（ ）
A．-2 B． C． D．无法确定
8．已知关于x的方程 的解是正整数，则符合条件的所有整数a的积为( )
A．-12 B．-4 C．12 D．36
9．（2023七上·新洲期中）下表是某校七~九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同．
课外小组活动总时间/h 文艺小组活动次数 科技小组活动次数
七年级 12.5 4 3
八年级 10.5 3 3
九年级 7 a b
表格中a、b的值正确的是（ ）
A．a=2，b=3 B．a=3，b=2 C．a=3，b=4 D．a=2，b=2
10．（2025七上·江城期末）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3 个长方形侧面和 2个正三角形底面组成．硬纸板以如图两种方法裁剪(裁剪后边角料不再利用)．A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面．现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，则能做成三棱柱盒子的个数为（ ）
A．24 B．30 C．32 D．36
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2024七上·钱塘期末）多项式和（、为实数，且）的值随的取值不同而变化，下表是当取不同值时分别对应的两个多项式的值，则关于的方程：的解是 ．
0 1 2
5 3 1
12．（2019七上·九龙坡月考）我们规定能使等式 成立的一对数（m，n）为“好友数对”.例如当m=2，n=-8 时，能使等式成立，则（2，﹣8）是“好友数对”.若（a，6）是“好友数对”，则a＝ .
13．（2023七上·西安月考）我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”，请根据上述规定解答下列问题：若关于x的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，则 ．
14．（2024七上·义乌月考）已知是关于的多项式，记为.我们规定：的导出多项式为，，记为.例如：若，则.若是关于的二次多项式，且关于的方程的解为正整数，则所有符合要求整数的值的和为 .
15．（2025七上·三台期末）若关于x的方程mx﹣＝（x﹣）的解是正整数，则整数m为 ．
16．（2024七上·温州月考）有，两种卡片各张，卡片正、反两面分别写着和，卡片正、反两面分别写着和．甲、乙两人从中各拿走张卡片并摆放在桌上，发现各自的张卡片向上一面的数字和相等．之后两人各自将所有卡片另一面朝上，发现甲的张卡片向上一面的数字和减小了，乙的张卡片向上一面的数字和增加了．则卡片翻转后，甲所持的张卡片向上一面的数字和为 ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．解方程：
（1） 3x-5=2x+1.
（2） .
（3） .
（4） .
（5）(3-x)m=n(x-3)(m，n为常数，且m≠-n).
（6）|x+4|+|3-x|=8.
18．（2024七上·嵊州期末）如图，按程序框图中的顺序计算，当输出的最后结果为128时，求输入的初始值x，且x为正整数．
19．（2023七上·余姚月考）已知关于x的方程
（1）当a取何值时，方程的解是；
（2）当a取何值时，方程无解；
（3）当a取何值时，方程有无穷多个解．
20．若关于x的一元一次方程化成 ax=b后的解满足 则称该方程为“绝配方程”，例如：方程6x=2的解为 而 则方程6x=2为“绝配方程”.
（1）①18x=6，②3x=2，③x= 个方程中，为“绝配方程”的是 (填序号).
（2）若关于x的一元一次方程 化成 ax=b后是“绝配方程”，求m的值
21．（2024七上·拱墅期末）第19届亚洲运动会于2023年10月8日在杭州圆满闭幕，中国代表团展现了强大的竞技体育实力，连续11届获得金牌榜第一的好成绩．
（1）居金牌榜第二位的日本比第三位的韩国多得了10枚金牌，中国的金牌数比韩国的金牌数的5倍少9枚，中国、日本、韩国三个国家共获得295枚金牌，求中国获得的金牌数．
（2）圆圆查阅包含金、银、铜牌总数的奖牌榜资料后，给同学们编了一个问题：“韩国比日本多得了2枚奖牌，但是韩国奖牌数的2倍还比中国少3枚，_____，求中国获得的奖牌数．”
芳芳得到了正确的结果，解答如下（不完整）：
解：设中国获得了x枚奖牌．
根据题意，得
解得：．
答：中国获得了383枚奖牌．
请你根据上面的正确结果，帮圆圆在_____中补充一个条件，并帮芳芳补全解答过程．
22．如图1，将一根木棒放在数轴(单位长度为1 cm)上，木棒左端与数轴上的点 A 重合，右端与数轴上的点 B 重合.
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点 B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点 A 时，它的左端在数轴上所对应的数为3，由此可得这根木棒的长为 cm.
（2）点A 所表示的数为 点B 所表示的数为 .
（3）受（1）（2）的启发，请借助如图2所示数轴解决如下问题：一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生；你若是我现在这么大，我就119 岁啦！”求爷爷和小明的年龄.
23．（2024七上·苍南期末）【素材】图1为某景区游览图，相邻两地标之间的路程如图所示．
【问题1】小明以游客中心为原点，游客中心往碗窑博物馆方向为正方向，碗窑大桥对应数轴上点，画出数轴，如图．请你在数轴上标出吊脚楼、倒焰窑、碗窑博物馆的位置．
【问题2】小李以米/分钟的速度从碗窑博物馆往游客中心出发，过景点均不停留．小王同时以相同的速度从游客中心出发往碗窑博物馆方向游览，经过每一景点均停留分钟．请问他们经过多长时间相遇？并把相遇地点标在问题的数轴上．
24．（2025七上·新昌期末）某学习小组开展了以“居民用电如何计费”为主题的项目化学习．
学习小组首先了解了浙江省电网销售电价：
单位：元/千瓦时（含税）
普通电价 峰时电价 谷时电价
第一阶梯：年用电量2760千瓦时及以下部分 0.5380 0.5680 0.2880
第二阶梯：年用电量2760~4800（不包含2760）千瓦时部分 0.5880 0.6180 0.3380
第三阶梯：年用电量4800（不包含4800）千瓦时以上部分 0.8380 0.8680 0.5880
备注：居民生活用电分时电价时段划分：高峰时段：8：00-22：00，低谷时段：22：00-次日8：00．
然后对“月用电量200千瓦时（其中峰电100千瓦时）需缴多少电费？”探究结果如下：
不使用峰谷电 使用峰谷电
第一阶梯 （元） （元）
第二阶梯 （元） ②________元
第三阶梯 ①________元 （元）
请依据上述素材，解答下列问题：
（1）填空：表中①________；②________
（2）已知晶晶家在2024年5月用电量为300千瓦时，且处于第一阶梯，她建议爸爸妈妈申请办理峰谷电，因为用峰谷电可以使本月电费减少元，请问晶晶家5月份用了多少千瓦时的峰电，多少千瓦时的谷电？
（3）2024年10月份小菲家用电量为200千瓦时，小华家用电量比小菲家少，在两家都不使用峰谷电的情况下，小华家的当月电费却超过了小菲家元，求小华家当月用电量（结果精确到1千瓦时）．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】根据数量关系列方程
【解析】【解答】解：由题意可列方程：3x+10=40+x
故答案为：A.
【分析】根据题目条件确定球体与砝码的重量，根据天平平衡的条件建立等量关系即可.
2．【答案】B
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】 A.4x-1=5x+2，根据等式的性质1，两边同时-4x-2得x=-3，正确； B．，等号的左边没变，右边乘以了10，故错误； C.，根据等式的性质2，两边同时乘以了100可得，正确；D.，根据等式的性质2，两边同时乘以了6可得，正确；故答案选：B
【分析】根据等式的性质判断即可，注意分式的分子分母同时乘以不为零的数，分式的值不变.
3．【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意得：，故答案为：A．
【分析】 设有x个人共同买鸡， 根据“买鸡需要的总钱数不变”列关于x的一元一次方程即可．
4．【答案】B
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】方程去分母可得：
去括号可得：
移项可得：
合并同类项可得：
x的系数化为1可得：
根据解是正整数，据此可得：
解得：
所以所有整数a的积为：
故答案为：B
【分析】本题考查一元一次方程的解.先进行移项，去括号，合并同类项，x的系数化为1可得：，再根据解是正整数，据此可列出方程：，解方程可求出a的值，进而可求出所有整数a的积.
5．【答案】C
【知识点】等式的基本性质；一元一次方程的解
【解析】【解答】若，则，说法错误，如当c=0时，a，b的值可以为任意数，故①错误，不符合题意；
若，则，说法正确，故②符合题意；
若，则，说法错误，故③不符合题意；
解方程得，解方程得，因为解相同，所以，解得=0，故④说法正确，符合题意．
正确得有②④ ，
故答案为：C.
【分析】根据等式的基本性质以及一元一次方程得解对选项进行逐一判断即可求解.
6．【答案】A
【知识点】已知一元一次方程的解求参数；一元一次方程-错解复原问题
【解析】【解答】根据题意误将-x看成了+x，据此可得方程为，
再根据方程的解为x=-2， 进而可得
移项可得：，解得：a=3
故答案为：A
【分析】本题考查一元一次方程解得定义.根据题意误将-x看成了+x，可列出方程为，再根据方程解的定义可得：，解方程可求出a的值.
7．【答案】B
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】按照定义的新运算进行计算，即可解答.
8．【答案】A
【知识点】解系数含参的一元一次方程
【解析】【解答】解：
方程两边同时乘6得：
∵关于x的方程 的解是正整数，
且是正整数，
或2或3或6，
解得： 或 或--1或2，
∴符合条件的所有整数a的积为：
故答案为： D.
【分析】先解含有字母参数a的方程，求出x，再根据关于x的方程 的解是正整数，列出关于a的方程，求出符合条件的a，再求出它们的积即可.
9．【答案】D
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：由表格可知文艺小组活动每次2小时，科技小组活动每次1.5小时．
设九年级文艺小组活动x次，则科技小组活动次数为次，因为活动次数为整数，所以当时，．
故答案为：D
【分析】由表格可知文艺小组活动每次2小时，科技小组活动每次1.5小时．设九年级文艺小组活动x次，则科技小组活动次数为次，因为活动次数为整数，所以当时，．
10．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：裁剪时张用方法，裁剪时张用方法，
侧面的个数为：个，底面的个数为：个；
由题意得：，
解得：，
盒子的个数为：（个），
故答案为：B．
【分析】由x张用A方法，就有(19-x)张用B方法，则侧面的个数为：6x+4(19-x)=(2x+76)个，底面的个数为：5(19-x)=(95-5x)个；再由“ 每个盒子需要3个侧面和2个底面 ”可得侧面个数和底面个数比为3∶2，据此建立方程求出的值，于是可求出三棱柱盒子的个数．
11．【答案】
【知识点】估计方程的解
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，
根据表格可知，当时，，
∴是方程的解，
∴是方程的解，
故答案为：．
【分析】将所求的方程变形为，然后通过表格可知是方程的解，即可得出所求方程的解．
12．【答案】
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】由题意得：
解得：
故答案为：
【分析】根据题意列出式子 ，解出即可.
13．【答案】
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：由题意知n=mn+n-3得mn=3，同时-3n=mn+n得m=-4，代入前式得-4n=-3，得n=-
故m+n=-4-=
故答案为：.
【分析】由题意知n=mn+n-3，同时x=n代入方程得-3n=mn+n，即可得m、n的值，即可得m+n的值.
14．【答案】-11
【知识点】一元一次方程的解；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵若是关于的二次多项式，∴∵，∴解得：∵关于的方程的解为正整数，∴解得：∵是关于的二次多项式，∴∴∴∴符合要求整数的值的和为：
故答案为：-11.
【分析】根据已知条件中的新定义求出，然后列出关于x的方程，解出x，然后根据关于的方程的解为正整数，列出关于m的方程即可求解.
15．【答案】2或3．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；解系数含参的一元一次方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以6，消去分数，得到：3mx 10=3x 4，
移项，得到：3mx 3x=6，
提取x的系数，得到：3(m 1)x=6，
由于方程有解，且为正整数，所以：m 1≠0，
然后可以得到：，
因为方程的解是正整数，所以：m 1=1或m 1=2
求解m的值，得到：m =2或3.
故答案为：2或3．
【分析】本题考查了一元一次方程的解法，先用m的代数式表示x的值，再根据方程的解是正整数解答，解题过程中，首先通过消去分数简化方程，然后通过提取系数、移项等步骤整理方程，最后通过分析解的性质确定m的可能值，这种解题思路和方法在解决类似的一元一次方程问题时具有普遍适用性.
16．【答案】2
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题；有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：设开始时甲向上一面的数字之和为，
甲、乙正面朝上的数字之和相等，
此时乙向上一面的数字之和也为，
翻面之后，朝上一面的数字之和甲减小，乙增加，
此时甲向上一面的数字之和为，乙向上一面的数字之和为，
则总的面上数之和为：，
根据、两种卡片可知中卡片的两面数字之和为：，
即，即，
甲一面朝上的数字之和为，
甲朝上的可能是，，，或者，，，，
则卡片翻转后，甲向上一面的可能是，，，或者，，，，数字之和为
故答案为：．
【分析】设开始时甲向上一面的数字之和为a，则此时乙向上一面的数字之和也为， 故翻面之后甲向上一面的数字之和为a-1，乙向上一面的数字之和为a+1，再根据总的面上数之和总的面上数之和列出方程，求出a的值，从而确定满足条件的甲朝上的数字的可能情况，即可作答．
17．【答案】（1）解：移项得，3x-2x=1+5
合并同类项，得x=6
（2）解：去括号，得9x+3-12=10x-14，
移项得，9x-10x=-14-3+12，
合并同类项得，-x=-5，
系数化为1得，x=5
（3）解：去分母，得4(y-2)=24-3(3y+2)，
去括号，得4y-8=24-9y-6，
移项，得4y+9y=24-6+8，
合并同类项，得13y=26，
系数化为1，得y=2
（4）解：分母化成整数，得
去分母，得2(10+10x)-(4x-5)=1，
去括号，得20+20x-4x+5=1，
移项，得20x-4x=1-20-5，
合并同类项，得16x=-24，
系数化为1，得x=-1.5
（5）解：去括号，得3m-mx= nx-3n，
移项，得-mx-nx=-3n-3m，
合并同类项，得-(m+n)x=-3(m+n)，
因为m≠-n，所以m+n≠0，
所以两边同除以-(m+n)，得x=3.
（6）解：分三种情况讨论：
①当x+4<0，即x<-4时，
原方程可化为-x-4+3-x=8，
解得
②当3-x<0，即x>3时，
原方程可化为x+4+x-3=8，
解得 ；
③当-4≤x≤3时，
原方程可化为x+4+3-x=8，
此方程无解.
综上可得，原方程的解为
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；利用合并同类项、移项解一元一次方程；解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程；解系数含参的一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤“移项、合并同类项”计算即可求解；
（2）根据解一元一次方程的步骤“去括号、移项、合并同类项、系数化为1”计算即可求解；
（3）根据解一元一次方程的步骤“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”计算即可求解；
（4）由题意，现将方程中的小数化为整数，然后根据解一元一次方程的步骤“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”计算即可求解；
（5）根据解一元一次方程的步骤“去括号、移项、合并同类项、系数化为1”计算即可求解；
（6）根据绝对值的非负性可知，分三种情况讨论：①当x+4<0，即x<-4时，②当3-x<0，即x>3时，③当-4≤x≤3时，然后去绝对值，解方程即可求解.
18．【答案】解：根据题意得，当不经过返回直接输出时，
，且x为正整数．
x=- 64，不符合题意，舍去.
经过1次返回，即有，
解得x=32.
经过2次返回，即有，
x=- 16，不符合题意，舍去.
经过3次返回，即有，
x=8.
经过4次返回，即有，
x=- 4，不符合题意，舍去.
经过5次返回，即有，
x=2.
经过6次返回，即有，
x=-1.不符合题意，舍去.
经过7次返回，即有，
x=.不符合题意，舍去.
继续往下的x值都是分数，都不符合题意.
故输入的初始值x可以是2，8和32.
【知识点】利用等式的性质解一元一次方程；求代数式的值-程序框图
【解析】【分析】根据题意列算式，确定符合条件的x值即可；注意当计算结果小于100时，需要把结果代入从头运算，故可以反推找到可以满足条件的x的值.
19．【答案】（1）解：将代入可得：，
整理得，
当时，，解得．
当时，，解得，
故或时，方程的解是；
（2）解：整理得，
当且时，方程无解，
解得，
故时，方程无解；
（3）解：整理得，
当且时，方程有无穷多个解，
解得，
故时，方程有无穷多个解．
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【分析】（1）根据方程根的概念将x=3代入原方程可得，然后分a≥0与a＜0两种情况，化简绝对值求解可得a的值；
（2）方程整理得，由方程无解可得且，进而求解即可；
（3）方程整理得，由方程无穷多个解得出且，求解即可.
20．【答案】（1）①
（2）解： 化简得3x=m-7，解得x= 是“绝配方程”， 解得m=8.
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）∵18x=6，
∴，为绝配方程.
∵3x=2，
∴，不是绝配方程.
∵，
∴，不是绝配方程.
故答案为：①.
【分析】（1）分别求出每个方程的解，按照新定义方程将a和b分别代入即可判断是不是绝配方程.
（2）先将一元一次方程化成绝配方程的形式，用m表示出x的值，再按照绝配方程的解和一元一次方程的解相同，形成关于m的一元一次方程即可求出m的值.
21．【答案】（1）解：设韩国获得金牌x枚，则日本获得枚金牌，中国获得枚金牌，根据题意得：
，
解得：，
则（枚），
答：中国获得的金牌数为201枚．
（2）解：中国获得枚奖牌，则韩国获得奖牌数为：（枚），日本获得奖牌数为：（枚），
三个国家获得总的奖牌数为（枚），
∴可以补充的条件是中国、韩国和日本共获得奖牌761枚；
设中国获得了x枚奖牌，则韩国获得枚，日本获奖牌数为．
根据题意，得：，
解得：．
答：中国获得了383枚奖牌．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-积分问题
【解析】【分析】（1）设韩国获得金牌x枚，则日本获得枚金牌，中国获得枚金牌，根据三个国家共获得295枚金牌列关于x的方程，解方程即可求解；
（2）根据中国获得枚奖牌求出韩国获得奖牌数为（枚），日本获得（枚），则三个国家获得总的奖牌数为（枚），从而可以添加条件中国、韩国和日本共获得奖牌761枚，根据这个条件列关于x的方程，解方程即可求解．
22．【答案】（1）9
（2）12；21
（3）解：设小明现在的年龄为x岁，爷爷现在的年龄为y岁，
因为爷爷说“我若是你现在这么大，你还要37年才出生“，可知爷爷和小明的年龄差为x + 37，即y - x = x + 37，
“你若是我现在这么大，我就119岁了“，此时爷爷增长的年龄也是年龄差y - x，即y + (y - x) =119，
将第一个方程y - x = x + 37变形为y = 2x + 37，
把y = 2x + 37代入第二个方程y + (y - x) = 119中，得到：2x + 37 + (2x + 37 - x) = 119，
解得：x = 15，
把x = 15代入y = 2x + 37，可得y = 2×15 + 37 = 67
答：爷爷现在的年龄为67岁，小明现在的年龄为15岁．
【知识点】一元一次方程的其他应用；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：（1）设木棒的长度为x cm，
从数轴上看，30 - 3 = 3x（因为30 - 3的距离刚好是木棒长度的3倍），
则x = (30 - 3)÷3 = 9 cm，故这根木棒的长为9 cm；
故答案为：9
（2）由题（1）可知木棒长9 cm，当木棒沿数轴向左水平移动，它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为3，
那么点A所表示的数为3 + 9 = 12，点B所表示的数为12 + 9 = 21；
故答案为：·12；21
故爷爷现在的年龄为67岁，小明现在的年龄为15岁。
综上所述答案为：（1）9；（2）12，21；（3）爷爷67岁，小明15岁。
【分析】本题考查数轴的性质、数轴上数量关系以及根据数量关系列方程，
（1）根据题目条件可知，当木棒向右移动，左端到 B 点时，右端对应 30；向左移动，右端到 A 点时，左端对应 3，这意味着 3 到 30 的距离是木棒长度的 3 倍，列式求解即可；
（2）当木棒向左移动，右端到 A 点时，结合木棒的长度可知左端对应 3，那么可以得出 A 点表示的数，再根据B 点在 A 点右侧 9cm 处求出B 点表示的数即可；
（3）将小明和爷爷现在的年龄设未知数x、y，根据“我若是你现在这么大，你还要37年才出生”，说明爷爷和小明的年龄差是x+37，“你若是我现在这么大，我就119 岁了”，此时爷爷增长的年龄是年龄差y x，结合两个年龄差列出方程分别求解x、y.
23．【答案】解：问题1，∵游客中心为原点，碗窑大桥为点，
∴数轴上一个单位长度是米，
根据题意，可知米，米，米，
∴吊脚楼、倒焰窑、碗窑博物馆在数轴上的位置如图所示；
问题2，小王到达吊脚楼且停留8分钟的用时为：200÷50+8=12（分钟），
小王到达手工作坊且停留8分钟的用时为：（200+50）÷50+8×2=21（分钟），
小李到达手工作坊时用时为：（800+350）÷50=23（分钟），
∴相遇点应在倒焰窑和手工作坊之间，
设相遇时间为分钟，
由题得，，
解得：，
∴他们经过22分钟相遇，
∴小李走了，
∴从点向左走了，
∵点D所表示的数为1400，
∴点E所表示的数为1400-1100=300，
∴相遇点E如图所示.
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；有理数的乘除混合运算；有理数在数轴上的表示；有理数的加法法则
【解析】【分析】问题1，先根据O、A的位置求得数轴上一个单位长度是米，再由景点图得OB、OC、OD的值，从而即可作出图形；
问题2，先求得小李到达手工作坊时用时和小王到达手工作坊停留后用时，从而得相遇点应在倒焰窑和手工作坊之间，设相遇时间为分钟，根据题意列方程并求解出t的值，从而得点D向左走了到达点E，由问题1中D的位置，即可确定E的位置.
24．【答案】（1）①，②
（2）解：设晶晶家5月份用了x千瓦时的峰电，则谷电用了千瓦时．
由题意得，
解得．
所以谷电（千瓦时）．
答：晶晶家5月份用了120千瓦时的峰电，180千瓦时的谷电．
（3）解：∵小华家用电量比小菲家少，可是当月电费却超过了小菲家，∴小华和小菲家的电费不在同一阶梯．
设小华家当月用电量为x千瓦时．
①若小菲家处于第一阶梯，小华家处于第二阶梯，
则由题意得，
解得，
与已知矛盾，故舍去．
②若小菲家处于第一阶梯，小华家处于第三阶梯，
则由题意得，
解得，符合题意．
③若小菲家处于第二阶梯，小华家处于第三阶梯，
则由题意得，
解得，符合题意．
综上所述，小华家当月用电量为150千瓦时或162千瓦时．
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【解答】（1）解：①第三阶梯不使用峰谷电（元），
②第二阶梯使用峰谷电费用（元），
故答案为：，②；
【分析】（1）根据“ 居民用电计费标准 ”列式计算即可；
（2）设晶晶家5月份用了x千瓦时的峰电，根据“用峰谷电可以使本月电费减少元”列一元一次方程解题；
（3）由题意可得小华和小菲家的电费不在同一阶梯．设小华家当月用电量为x千瓦时，然后分类讨论，列一元一次方程解题即可．
（1）解：①第三阶梯不使用峰谷电（元），
②第二阶梯使用峰谷电费用（元），
故答案为：，②；
（2）解：设晶晶家5月份用了x千瓦时的峰电，则谷电用了千瓦时．
由题意得，
解得．
所以谷电（千瓦时）．
答：晶晶家5月份用了120千瓦时的峰电，180千瓦时的谷电．
（3）解：∵小华家用电量比小菲家少，可是当月电费却超过了小菲家，
∴小华和小菲家的电费不在同一阶梯．
设小华家当月用电量为x千瓦时．
①若小菲家处于第一阶梯，小华家处于第二阶梯，
则由题意得，
解得，
与已知矛盾，故舍去．
②若小菲家处于第一阶梯，小华家处于第三阶梯，
则由题意得，
解得，符合题意．
③若小菲家处于第二阶梯，小华家处于第三阶梯，
则由题意得，
解得，符合题意．
综上所述，小华家当月用电量为150千瓦时或162千瓦时．
1 / 1第五章《一元一次方程》培优卷—浙教版数学七年级上册单元分层测
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2025七上·宝安期末）如图，天平两边托盘中相同形状的物体的质量相同，且处于平衡状态，每个砝码的质量为10g，设每个球体的质量为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】根据数量关系列方程
【解析】【解答】解：由题意可列方程：3x+10=40+x
故答案为：A.
【分析】根据题目条件确定球体与砝码的重量，根据天平平衡的条件建立等量关系即可.
2．下列各对等式，是根据等式的性质进行变形的，其中错误的是（ ）．
A．4x-1=5x+2→x=-3
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】 A.4x-1=5x+2，根据等式的性质1，两边同时-4x-2得x=-3，正确； B．，等号的左边没变，右边乘以了10，故错误； C.，根据等式的性质2，两边同时乘以了100可得，正确；D.，根据等式的性质2，两边同时乘以了6可得，正确；故答案选：B
【分析】根据等式的性质判断即可，注意分式的分子分母同时乘以不为零的数，分式的值不变.
3．（2023七上·二七月考）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一：人出六，不足十六，问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱：如果每人出六钱，那么少了十六钱． 问：共有几个人？”设有x个人共同买鸡，依题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意得：，故答案为：A．
【分析】 设有x个人共同买鸡， 根据“买鸡需要的总钱数不变”列关于x的一元一次方程即可．
4．使得关于x 的方程的解是正整数的所有整数a的积为( )
A．12 B．-12 C．6 D．-6
【答案】B
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】方程去分母可得：
去括号可得：
移项可得：
合并同类项可得：
x的系数化为1可得：
根据解是正整数，据此可得：
解得：
所以所有整数a的积为：
故答案为：B
【分析】本题考查一元一次方程的解.先进行移项，去括号，合并同类项，x的系数化为1可得：，再根据解是正整数，据此可列出方程：，解方程可求出a的值，进而可求出所有整数a的积.
5．（2024七上·南充期末）下列说法：
①若，则；②若，则；③若，则；
④若方程与的解相同，则的值为0．正确的个数有（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】等式的基本性质；一元一次方程的解
【解析】【解答】若，则，说法错误，如当c=0时，a，b的值可以为任意数，故①错误，不符合题意；
若，则，说法正确，故②符合题意；
若，则，说法错误，故③不符合题意；
解方程得，解方程得，因为解相同，所以，解得=0，故④说法正确，符合题意．
正确得有②④ ，
故答案为：C.
【分析】根据等式的基本性质以及一元一次方程得解对选项进行逐一判断即可求解.
6．某同学在解关于x的方程5a-x=13时，误将-x看成了+x，得到方程的解为x=-2，则a的值为( )
A．3 B． C．4 D．1
【答案】A
【知识点】已知一元一次方程的解求参数；一元一次方程-错解复原问题
【解析】【解答】根据题意误将-x看成了+x，据此可得方程为，
再根据方程的解为x=-2， 进而可得
移项可得：，解得：a=3
故答案为：A
【分析】本题考查一元一次方程解得定义.根据题意误将-x看成了+x，可列出方程为，再根据方程解的定义可得：，解方程可求出a的值.
7．（2025七上·慈溪期末）定义运算“*”如下：当a<0时，a*b=2a+b；当a≥0时，a*b=ab-，若（-2）*m=3*m，则m的值是（ ）
A．-2 B． C． D．无法确定
【答案】B
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】按照定义的新运算进行计算，即可解答.
8．已知关于x的方程 的解是正整数，则符合条件的所有整数a的积为( )
A．-12 B．-4 C．12 D．36
【答案】A
【知识点】解系数含参的一元一次方程
【解析】【解答】解：
方程两边同时乘6得：
∵关于x的方程 的解是正整数，
且是正整数，
或2或3或6，
解得： 或 或--1或2，
∴符合条件的所有整数a的积为：
故答案为： D.
【分析】先解含有字母参数a的方程，求出x，再根据关于x的方程 的解是正整数，列出关于a的方程，求出符合条件的a，再求出它们的积即可.
9．（2023七上·新洲期中）下表是某校七~九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同．
课外小组活动总时间/h 文艺小组活动次数 科技小组活动次数
七年级 12.5 4 3
八年级 10.5 3 3
九年级 7 a b
表格中a、b的值正确的是（ ）
A．a=2，b=3 B．a=3，b=2 C．a=3，b=4 D．a=2，b=2
【答案】D
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：由表格可知文艺小组活动每次2小时，科技小组活动每次1.5小时．
设九年级文艺小组活动x次，则科技小组活动次数为次，因为活动次数为整数，所以当时，．
故答案为：D
【分析】由表格可知文艺小组活动每次2小时，科技小组活动每次1.5小时．设九年级文艺小组活动x次，则科技小组活动次数为次，因为活动次数为整数，所以当时，．
10．（2025七上·江城期末）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3 个长方形侧面和 2个正三角形底面组成．硬纸板以如图两种方法裁剪(裁剪后边角料不再利用)．A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面．现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，则能做成三棱柱盒子的个数为（ ）
A．24 B．30 C．32 D．36
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：裁剪时张用方法，裁剪时张用方法，
侧面的个数为：个，底面的个数为：个；
由题意得：，
解得：，
盒子的个数为：（个），
故答案为：B．
【分析】由x张用A方法，就有(19-x)张用B方法，则侧面的个数为：6x+4(19-x)=(2x+76)个，底面的个数为：5(19-x)=(95-5x)个；再由“ 每个盒子需要3个侧面和2个底面 ”可得侧面个数和底面个数比为3∶2，据此建立方程求出的值，于是可求出三棱柱盒子的个数．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2024七上·钱塘期末）多项式和（、为实数，且）的值随的取值不同而变化，下表是当取不同值时分别对应的两个多项式的值，则关于的方程：的解是 ．
0 1 2
5 3 1
【答案】
【知识点】估计方程的解
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，
根据表格可知，当时，，
∴是方程的解，
∴是方程的解，
故答案为：．
【分析】将所求的方程变形为，然后通过表格可知是方程的解，即可得出所求方程的解．
12．（2019七上·九龙坡月考）我们规定能使等式 成立的一对数（m，n）为“好友数对”.例如当m=2，n=-8 时，能使等式成立，则（2，﹣8）是“好友数对”.若（a，6）是“好友数对”，则a＝ .
【答案】
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】由题意得：
解得：
故答案为：
【分析】根据题意列出式子 ，解出即可.
13．（2023七上·西安月考）我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”，请根据上述规定解答下列问题：若关于x的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，则 ．
【答案】
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：由题意知n=mn+n-3得mn=3，同时-3n=mn+n得m=-4，代入前式得-4n=-3，得n=-
故m+n=-4-=
故答案为：.
【分析】由题意知n=mn+n-3，同时x=n代入方程得-3n=mn+n，即可得m、n的值，即可得m+n的值.
14．（2024七上·义乌月考）已知是关于的多项式，记为.我们规定：的导出多项式为，，记为.例如：若，则.若是关于的二次多项式，且关于的方程的解为正整数，则所有符合要求整数的值的和为 .
【答案】-11
【知识点】一元一次方程的解；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵若是关于的二次多项式，∴∵，∴解得：∵关于的方程的解为正整数，∴解得：∵是关于的二次多项式，∴∴∴∴符合要求整数的值的和为：
故答案为：-11.
【分析】根据已知条件中的新定义求出，然后列出关于x的方程，解出x，然后根据关于的方程的解为正整数，列出关于m的方程即可求解.
15．（2025七上·三台期末）若关于x的方程mx﹣＝（x﹣）的解是正整数，则整数m为 ．
【答案】2或3．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；解系数含参的一元一次方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以6，消去分数，得到：3mx 10=3x 4，
移项，得到：3mx 3x=6，
提取x的系数，得到：3(m 1)x=6，
由于方程有解，且为正整数，所以：m 1≠0，
然后可以得到：，
因为方程的解是正整数，所以：m 1=1或m 1=2
求解m的值，得到：m =2或3.
故答案为：2或3．
【分析】本题考查了一元一次方程的解法，先用m的代数式表示x的值，再根据方程的解是正整数解答，解题过程中，首先通过消去分数简化方程，然后通过提取系数、移项等步骤整理方程，最后通过分析解的性质确定m的可能值，这种解题思路和方法在解决类似的一元一次方程问题时具有普遍适用性.
16．（2024七上·温州月考）有，两种卡片各张，卡片正、反两面分别写着和，卡片正、反两面分别写着和．甲、乙两人从中各拿走张卡片并摆放在桌上，发现各自的张卡片向上一面的数字和相等．之后两人各自将所有卡片另一面朝上，发现甲的张卡片向上一面的数字和减小了，乙的张卡片向上一面的数字和增加了．则卡片翻转后，甲所持的张卡片向上一面的数字和为 ．
【答案】2
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题；有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：设开始时甲向上一面的数字之和为，
甲、乙正面朝上的数字之和相等，
此时乙向上一面的数字之和也为，
翻面之后，朝上一面的数字之和甲减小，乙增加，
此时甲向上一面的数字之和为，乙向上一面的数字之和为，
则总的面上数之和为：，
根据、两种卡片可知中卡片的两面数字之和为：，
即，即，
甲一面朝上的数字之和为，
甲朝上的可能是，，，或者，，，，
则卡片翻转后，甲向上一面的可能是，，，或者，，，，数字之和为
故答案为：．
【分析】设开始时甲向上一面的数字之和为a，则此时乙向上一面的数字之和也为， 故翻面之后甲向上一面的数字之和为a-1，乙向上一面的数字之和为a+1，再根据总的面上数之和总的面上数之和列出方程，求出a的值，从而确定满足条件的甲朝上的数字的可能情况，即可作答．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．解方程：
（1） 3x-5=2x+1.
（2） .
（3） .
（4） .
（5）(3-x)m=n(x-3)(m，n为常数，且m≠-n).
（6）|x+4|+|3-x|=8.
【答案】（1）解：移项得，3x-2x=1+5
合并同类项，得x=6
（2）解：去括号，得9x+3-12=10x-14，
移项得，9x-10x=-14-3+12，
合并同类项得，-x=-5，
系数化为1得，x=5
（3）解：去分母，得4(y-2)=24-3(3y+2)，
去括号，得4y-8=24-9y-6，
移项，得4y+9y=24-6+8，
合并同类项，得13y=26，
系数化为1，得y=2
（4）解：分母化成整数，得
去分母，得2(10+10x)-(4x-5)=1，
去括号，得20+20x-4x+5=1，
移项，得20x-4x=1-20-5，
合并同类项，得16x=-24，
系数化为1，得x=-1.5
（5）解：去括号，得3m-mx= nx-3n，
移项，得-mx-nx=-3n-3m，
合并同类项，得-(m+n)x=-3(m+n)，
因为m≠-n，所以m+n≠0，
所以两边同除以-(m+n)，得x=3.
（6）解：分三种情况讨论：
①当x+4<0，即x<-4时，
原方程可化为-x-4+3-x=8，
解得
②当3-x<0，即x>3时，
原方程可化为x+4+x-3=8，
解得 ；
③当-4≤x≤3时，
原方程可化为x+4+3-x=8，
此方程无解.
综上可得，原方程的解为
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；利用合并同类项、移项解一元一次方程；解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程；解系数含参的一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤“移项、合并同类项”计算即可求解；
（2）根据解一元一次方程的步骤“去括号、移项、合并同类项、系数化为1”计算即可求解；
（3）根据解一元一次方程的步骤“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”计算即可求解；
（4）由题意，现将方程中的小数化为整数，然后根据解一元一次方程的步骤“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”计算即可求解；
（5）根据解一元一次方程的步骤“去括号、移项、合并同类项、系数化为1”计算即可求解；
（6）根据绝对值的非负性可知，分三种情况讨论：①当x+4<0，即x<-4时，②当3-x<0，即x>3时，③当-4≤x≤3时，然后去绝对值，解方程即可求解.
18．（2024七上·嵊州期末）如图，按程序框图中的顺序计算，当输出的最后结果为128时，求输入的初始值x，且x为正整数．
【答案】解：根据题意得，当不经过返回直接输出时，
，且x为正整数．
x=- 64，不符合题意，舍去.
经过1次返回，即有，
解得x=32.
经过2次返回，即有，
x=- 16，不符合题意，舍去.
经过3次返回，即有，
x=8.
经过4次返回，即有，
x=- 4，不符合题意，舍去.
经过5次返回，即有，
x=2.
经过6次返回，即有，
x=-1.不符合题意，舍去.
经过7次返回，即有，
x=.不符合题意，舍去.
继续往下的x值都是分数，都不符合题意.
故输入的初始值x可以是2，8和32.
【知识点】利用等式的性质解一元一次方程；求代数式的值-程序框图
【解析】【分析】根据题意列算式，确定符合条件的x值即可；注意当计算结果小于100时，需要把结果代入从头运算，故可以反推找到可以满足条件的x的值.
19．（2023七上·余姚月考）已知关于x的方程
（1）当a取何值时，方程的解是；
（2）当a取何值时，方程无解；
（3）当a取何值时，方程有无穷多个解．
【答案】（1）解：将代入可得：，
整理得，
当时，，解得．
当时，，解得，
故或时，方程的解是；
（2）解：整理得，
当且时，方程无解，
解得，
故时，方程无解；
（3）解：整理得，
当且时，方程有无穷多个解，
解得，
故时，方程有无穷多个解．
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【分析】（1）根据方程根的概念将x=3代入原方程可得，然后分a≥0与a＜0两种情况，化简绝对值求解可得a的值；
（2）方程整理得，由方程无解可得且，进而求解即可；
（3）方程整理得，由方程无穷多个解得出且，求解即可.
20．若关于x的一元一次方程化成 ax=b后的解满足 则称该方程为“绝配方程”，例如：方程6x=2的解为 而 则方程6x=2为“绝配方程”.
（1）①18x=6，②3x=2，③x= 个方程中，为“绝配方程”的是 (填序号).
（2）若关于x的一元一次方程 化成 ax=b后是“绝配方程”，求m的值
【答案】（1）①
（2）解： 化简得3x=m-7，解得x= 是“绝配方程”， 解得m=8.
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）∵18x=6，
∴，为绝配方程.
∵3x=2，
∴，不是绝配方程.
∵，
∴，不是绝配方程.
故答案为：①.
【分析】（1）分别求出每个方程的解，按照新定义方程将a和b分别代入即可判断是不是绝配方程.
（2）先将一元一次方程化成绝配方程的形式，用m表示出x的值，再按照绝配方程的解和一元一次方程的解相同，形成关于m的一元一次方程即可求出m的值.
21．（2024七上·拱墅期末）第19届亚洲运动会于2023年10月8日在杭州圆满闭幕，中国代表团展现了强大的竞技体育实力，连续11届获得金牌榜第一的好成绩．
（1）居金牌榜第二位的日本比第三位的韩国多得了10枚金牌，中国的金牌数比韩国的金牌数的5倍少9枚，中国、日本、韩国三个国家共获得295枚金牌，求中国获得的金牌数．
（2）圆圆查阅包含金、银、铜牌总数的奖牌榜资料后，给同学们编了一个问题：“韩国比日本多得了2枚奖牌，但是韩国奖牌数的2倍还比中国少3枚，_____，求中国获得的奖牌数．”
芳芳得到了正确的结果，解答如下（不完整）：
解：设中国获得了x枚奖牌．
根据题意，得
解得：．
答：中国获得了383枚奖牌．
请你根据上面的正确结果，帮圆圆在_____中补充一个条件，并帮芳芳补全解答过程．
【答案】（1）解：设韩国获得金牌x枚，则日本获得枚金牌，中国获得枚金牌，根据题意得：
，
解得：，
则（枚），
答：中国获得的金牌数为201枚．
（2）解：中国获得枚奖牌，则韩国获得奖牌数为：（枚），日本获得奖牌数为：（枚），
三个国家获得总的奖牌数为（枚），
∴可以补充的条件是中国、韩国和日本共获得奖牌761枚；
设中国获得了x枚奖牌，则韩国获得枚，日本获奖牌数为．
根据题意，得：，
解得：．
答：中国获得了383枚奖牌．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-积分问题
【解析】【分析】（1）设韩国获得金牌x枚，则日本获得枚金牌，中国获得枚金牌，根据三个国家共获得295枚金牌列关于x的方程，解方程即可求解；
（2）根据中国获得枚奖牌求出韩国获得奖牌数为（枚），日本获得（枚），则三个国家获得总的奖牌数为（枚），从而可以添加条件中国、韩国和日本共获得奖牌761枚，根据这个条件列关于x的方程，解方程即可求解．
22．如图1，将一根木棒放在数轴(单位长度为1 cm)上，木棒左端与数轴上的点 A 重合，右端与数轴上的点 B 重合.
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点 B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点 A 时，它的左端在数轴上所对应的数为3，由此可得这根木棒的长为 cm.
（2）点A 所表示的数为 点B 所表示的数为 .
（3）受（1）（2）的启发，请借助如图2所示数轴解决如下问题：一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生；你若是我现在这么大，我就119 岁啦！”求爷爷和小明的年龄.
【答案】（1）9
（2）12；21
（3）解：设小明现在的年龄为x岁，爷爷现在的年龄为y岁，
因为爷爷说“我若是你现在这么大，你还要37年才出生“，可知爷爷和小明的年龄差为x + 37，即y - x = x + 37，
“你若是我现在这么大，我就119岁了“，此时爷爷增长的年龄也是年龄差y - x，即y + (y - x) =119，
将第一个方程y - x = x + 37变形为y = 2x + 37，
把y = 2x + 37代入第二个方程y + (y - x) = 119中，得到：2x + 37 + (2x + 37 - x) = 119，
解得：x = 15，
把x = 15代入y = 2x + 37，可得y = 2×15 + 37 = 67
答：爷爷现在的年龄为67岁，小明现在的年龄为15岁．
【知识点】一元一次方程的其他应用；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：（1）设木棒的长度为x cm，
从数轴上看，30 - 3 = 3x（因为30 - 3的距离刚好是木棒长度的3倍），
则x = (30 - 3)÷3 = 9 cm，故这根木棒的长为9 cm；
故答案为：9
（2）由题（1）可知木棒长9 cm，当木棒沿数轴向左水平移动，它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为3，
那么点A所表示的数为3 + 9 = 12，点B所表示的数为12 + 9 = 21；
故答案为：·12；21
故爷爷现在的年龄为67岁，小明现在的年龄为15岁。
综上所述答案为：（1）9；（2）12，21；（3）爷爷67岁，小明15岁。
【分析】本题考查数轴的性质、数轴上数量关系以及根据数量关系列方程，
（1）根据题目条件可知，当木棒向右移动，左端到 B 点时，右端对应 30；向左移动，右端到 A 点时，左端对应 3，这意味着 3 到 30 的距离是木棒长度的 3 倍，列式求解即可；
（2）当木棒向左移动，右端到 A 点时，结合木棒的长度可知左端对应 3，那么可以得出 A 点表示的数，再根据B 点在 A 点右侧 9cm 处求出B 点表示的数即可；
（3）将小明和爷爷现在的年龄设未知数x、y，根据“我若是你现在这么大，你还要37年才出生”，说明爷爷和小明的年龄差是x+37，“你若是我现在这么大，我就119 岁了”，此时爷爷增长的年龄是年龄差y x，结合两个年龄差列出方程分别求解x、y.
23．（2024七上·苍南期末）【素材】图1为某景区游览图，相邻两地标之间的路程如图所示．
【问题1】小明以游客中心为原点，游客中心往碗窑博物馆方向为正方向，碗窑大桥对应数轴上点，画出数轴，如图．请你在数轴上标出吊脚楼、倒焰窑、碗窑博物馆的位置．
【问题2】小李以米/分钟的速度从碗窑博物馆往游客中心出发，过景点均不停留．小王同时以相同的速度从游客中心出发往碗窑博物馆方向游览，经过每一景点均停留分钟．请问他们经过多长时间相遇？并把相遇地点标在问题的数轴上．
【答案】解：问题1，∵游客中心为原点，碗窑大桥为点，
∴数轴上一个单位长度是米，
根据题意，可知米，米，米，
∴吊脚楼、倒焰窑、碗窑博物馆在数轴上的位置如图所示；
问题2，小王到达吊脚楼且停留8分钟的用时为：200÷50+8=12（分钟），
小王到达手工作坊且停留8分钟的用时为：（200+50）÷50+8×2=21（分钟），
小李到达手工作坊时用时为：（800+350）÷50=23（分钟），
∴相遇点应在倒焰窑和手工作坊之间，
设相遇时间为分钟，
由题得，，
解得：，
∴他们经过22分钟相遇，
∴小李走了，
∴从点向左走了，
∵点D所表示的数为1400，
∴点E所表示的数为1400-1100=300，
∴相遇点E如图所示.
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；有理数的乘除混合运算；有理数在数轴上的表示；有理数的加法法则
【解析】【分析】问题1，先根据O、A的位置求得数轴上一个单位长度是米，再由景点图得OB、OC、OD的值，从而即可作出图形；
问题2，先求得小李到达手工作坊时用时和小王到达手工作坊停留后用时，从而得相遇点应在倒焰窑和手工作坊之间，设相遇时间为分钟，根据题意列方程并求解出t的值，从而得点D向左走了到达点E，由问题1中D的位置，即可确定E的位置.
24．（2025七上·新昌期末）某学习小组开展了以“居民用电如何计费”为主题的项目化学习．
学习小组首先了解了浙江省电网销售电价：
单位：元/千瓦时（含税）
普通电价 峰时电价 谷时电价
第一阶梯：年用电量2760千瓦时及以下部分 0.5380 0.5680 0.2880
第二阶梯：年用电量2760~4800（不包含2760）千瓦时部分 0.5880 0.6180 0.3380
第三阶梯：年用电量4800（不包含4800）千瓦时以上部分 0.8380 0.8680 0.5880
备注：居民生活用电分时电价时段划分：高峰时段：8：00-22：00，低谷时段：22：00-次日8：00．
然后对“月用电量200千瓦时（其中峰电100千瓦时）需缴多少电费？”探究结果如下：
不使用峰谷电 使用峰谷电
第一阶梯 （元） （元）
第二阶梯 （元） ②________元
第三阶梯 ①________元 （元）
请依据上述素材，解答下列问题：
（1）填空：表中①________；②________
（2）已知晶晶家在2024年5月用电量为300千瓦时，且处于第一阶梯，她建议爸爸妈妈申请办理峰谷电，因为用峰谷电可以使本月电费减少元，请问晶晶家5月份用了多少千瓦时的峰电，多少千瓦时的谷电？
（3）2024年10月份小菲家用电量为200千瓦时，小华家用电量比小菲家少，在两家都不使用峰谷电的情况下，小华家的当月电费却超过了小菲家元，求小华家当月用电量（结果精确到1千瓦时）．
【答案】（1）①，②
（2）解：设晶晶家5月份用了x千瓦时的峰电，则谷电用了千瓦时．
由题意得，
解得．
所以谷电（千瓦时）．
答：晶晶家5月份用了120千瓦时的峰电，180千瓦时的谷电．
（3）解：∵小华家用电量比小菲家少，可是当月电费却超过了小菲家，∴小华和小菲家的电费不在同一阶梯．
设小华家当月用电量为x千瓦时．
①若小菲家处于第一阶梯，小华家处于第二阶梯，
则由题意得，
解得，
与已知矛盾，故舍去．
②若小菲家处于第一阶梯，小华家处于第三阶梯，
则由题意得，
解得，符合题意．
③若小菲家处于第二阶梯，小华家处于第三阶梯，
则由题意得，
解得，符合题意．
综上所述，小华家当月用电量为150千瓦时或162千瓦时．
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【解答】（1）解：①第三阶梯不使用峰谷电（元），
②第二阶梯使用峰谷电费用（元），
故答案为：，②；
【分析】（1）根据“ 居民用电计费标准 ”列式计算即可；
（2）设晶晶家5月份用了x千瓦时的峰电，根据“用峰谷电可以使本月电费减少元”列一元一次方程解题；
（3）由题意可得小华和小菲家的电费不在同一阶梯．设小华家当月用电量为x千瓦时，然后分类讨论，列一元一次方程解题即可．
（1）解：①第三阶梯不使用峰谷电（元），
②第二阶梯使用峰谷电费用（元），
故答案为：，②；
（2）解：设晶晶家5月份用了x千瓦时的峰电，则谷电用了千瓦时．
由题意得，
解得．
所以谷电（千瓦时）．
答：晶晶家5月份用了120千瓦时的峰电，180千瓦时的谷电．
（3）解：∵小华家用电量比小菲家少，可是当月电费却超过了小菲家，
∴小华和小菲家的电费不在同一阶梯．
设小华家当月用电量为x千瓦时．
①若小菲家处于第一阶梯，小华家处于第二阶梯，
则由题意得，
解得，
与已知矛盾，故舍去．
②若小菲家处于第一阶梯，小华家处于第三阶梯，
则由题意得，
解得，符合题意．
③若小菲家处于第二阶梯，小华家处于第三阶梯，
则由题意得，
解得，符合题意．
综上所述，小华家当月用电量为150千瓦时或162千瓦时．
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