第五章《一次函数》提升卷—浙教版数学八年级上册单元分层测
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．已知三角形的底边长为a，底边上的高线长为h，则三角形面积当a为定长时，有关常量和变量的说法，正确的是( ).
A．S，h是变量，，a是常量 B．S，h，a是变量，是常量
C．a，h是变量，，S是常量 D．S是变量，，a，h是常量
【答案】A
【知识点】常量、变量
【解析】【解答】解：三角形面积当a为定长时，a为常量，也是常量，h与S是变量.
故答案为：A.
【分析】根据三角形面积公式，分析出变化的量与不变的量，从中确定常量与变量.
2．（2024八上·栾城期末）如图，与的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：∵是△ABC的外角，
∴，即，
故答案为：B．
【分析】根据三角形的外角的性质“三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和”即可求解．
3．（2024八上·云岩月考）如图所示，图象所反映的过程是张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步回家，其中x表示时间，y表示张强离家的距离，根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是( )
A．体育场离张强家
B．体育场离早餐店
C．张强在体育场锻炼了
D．张强从早餐店回家的平均速度是
【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、点（15，2.5）表示张强从家到达了体育场，则体育场离张强家2.5km，故A正确；
B、由函数图象可知早餐店离家越来越近，而体育场离张强家2.5km，早餐店离家1.5km，则体育场离早餐店2.5-1.5=1km，故B错误；
C、由函数图象可知张强在体育场锻炼时间为30-15=15min，故C正确；
D.、由函数图象可知早餐店离张强家1.5km，张强从早餐店散步走回家花了35min，则张强从早餐店回家的平均速度是，故D正确；
故答案为：B．
【分析】本题主要考查的是利用函数的图象解决实际问题，理解函数图象中横、纵轴所表示的意义，由点（15，2.5）可知体育场离张强家的距离，即可判断A正确；由函数图象可知早餐店离家越来越近以及体育场离张强家、早餐店离家的距离，从而求出 体育场离早餐店的距离，即可判断B正确；由函数图象可知张强在体育场锻炼时间，即可判断C错误；由函数图象可知早餐店离张强家的距离以及张强从早餐店散步走回家的时间，进而求出张强从早餐店回家的平均速度，即可判断D正确.
4．（2024八上·济南期末）坎儿井是新疆吐鲁番盆地的一种特殊灌溉系统，主要是利用了连通器原理．如图是一个型连通器模型，甲水箱、乙水箱是两个等高的圆柱体，甲水箱的底面面积是乙水箱底面面积的2倍，连接管在两个水箱的中间处（体积忽略不计），现用水管往甲水箱中持续匀速注水，直到连通器中水恰好不溢出为止．设甲水箱中水面的高度为，注水时间为，则与的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：由连通器的原理可知，整个过程分为三个阶段，第一阶段为甲水箱中的水面随着时间的推移逐渐上升，直至到达连通器的入口，第二阶段为甲水箱中的水面不上升，注入的水通过连通器流入乙中，使乙水箱中的水面上升，直至到达连通器的入口，第三阶段为甲、乙两个水箱中的水以相同的速度上升（上升速度比第一阶段慢），
设单位时间内注水体积为，甲水箱的底面积为，则乙水箱的底面积为，则连通器的高度为，
∴，
∴，
∴四个选项中，只有D选项中的函数图象符合题意，
故答案为：D．
【分析】由连通器的原理可知，整个过程分为三个阶段：甲水面上升，乙水面上升，甲、乙水面一起上升，再根据甲、乙底面积的关系求出的关系即可得到结论．
5．（2025八上·嵊州期末）我们发现：在平面直角坐标系中，两条直线：与：互相垂直，则．若直线l：与互相垂直，且经过，则n的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：∵直线l：与互相垂直，
∴，
解得，
∴直线l：，
把代入得到，，解得，
故答案为：B.
【分析】根据题意得到，求出m值，再把代入求出n的值即可．
6．（2024八上·温州期末）某种蜡烛燃烧的长度与燃烧时间成正比例关系．若点燃6分钟后，高度下降，则长的此种蜡烛点燃15分钟后，剩余蜡烛的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：设蜡烛燃烧的长度y(cm)与燃烧时间t(min)之间的正比例关系为y=kt(k为常数，且k≠0).
将t=6，y=3.6代入y=kt，
得6k=3.6，
解得k=0.6，
∴y与t之间的函数关系式为y=0.6t.
当t=15时，y=0.6×15=9，
22-9=13(cm)，
∴剩余蜡烛的长度为13cm，
故答案选：C.
【分析】利用待定系数法求出蜡烛燃烧的长度与燃烧时间之间的函数关系式，求出当时间为15分钟时蜡烛燃烧的长度，蜡烛的点长度减去燃烧的长度就是剩余蜡烛的长度.
7．（2025八上·西湖期末）已知点在第二象限，则一次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的图象；点的坐标与象限的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点在第二象限，
∴，
∴，
∴一次函数的图象经过第一，二，四象限，
故答案选：A．
【分析】先确定出k、b符号，再根据一次函数的性质确定经过的象限.
8．（2024八上·成都期中）关于一次函数，下列说法正确的是( )
A．图象与轴交于点
B．其图象可由的图象向左平移个单位长度得到
C．图象与坐标轴围成的三角形面积为
D．图象经过第一、二、四象限
【答案】D
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：一次函数，，
当时，，当时，
A、图象与轴交于点，故A不符合题意；
B、 其图象可由的图象向上平移个单位长度得到，故B不符合题意；
C、 图象与坐标轴围成的三角形面积为，故C不符合题意；
D、 图象经过第一、二、四象限，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据一次函数的性质以及一次函数平移的特点逐一分析，即可得到答案．
9．甲、乙两车从 A 城出发匀速行驶至B城.在整个行驶过程中，甲、乙两车离开 A 城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示.现有下列结论：
①A，B两城相距300千米；
②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
③乙车出发后2.5小时追上甲车；
④当甲、乙两车相距50千米时， 或
其中正确的结论有( ).
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由图象可知A、B两城市之间的距离为300km， 甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，
∴①②都正确；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为 把(5， 300)代入可求得
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为 ，
把(1， 0)和(4， 300)代入可得
解得
令 可得：
解得 ，
即甲、乙两直线的交点横坐标为 此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，
∴③不正确；
令 可得 、
即
当 时，可解得
当 时，可解得
又当 时， 此时乙还没出发，
当 时， 乙已到达B城，
综上可知当t的值为 或 或 或 时，两车相距
50千米，
∴④不正确；
综上可知正确的有①②共两个。
故答案为：B .
【分析】观察图象可判断①②，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断③，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可判断④，可得出答案.
10．（2020八上·萧山期末）一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：
会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元）
A 类 50 25
B 类 200 20
C 类 400 15
例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费50+25×20=550元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45～55次之间，则最省钱的方式为（ ）
A．购买A类会员年卡 B．购买B类会员年卡
C．购买C类会员年卡 D．不购买会员年卡
【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得：yA=50+25x，yB=200+20x，yC=400+15x，当45≤x≤55时，确定y的范围，进行比较即可解答．设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得：yA=50+25x，yB=200+20x，yC=400+15x，当45≤x≤55时，1175≤yA≤1425；1100≤yB≤1300；1075≤yC≤1225；由此可见，C类会员年卡消费最低，所以最省钱的方式为购买C类会员年卡．故选：C．
【分析】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数关系式，并确定函数值的范围．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2024八上·南关期末）函数自变量x的取值范围是 ．
【答案】x＞﹣1
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意可得，，
解得，
故答案为：．
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数为非负数即；分式有意义的条件是分母不为0即，综上得到，解不等式即可得到答案．
12． 甲、乙两个工程队完成某项工程，首先是甲单独做了10天，然后乙队加入合做，完成剩下的全部工程.设工程总量为单位1，工程进度满足如图所示的函数关系，那么实际完成这项工程所用的时间比由甲单独完成这项工程所需时间少 天.
【答案】18
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：∵甲的工作效率是
∴甲完成总工程需要 (天)。
∵甲乙合作的工作效率是
∴实际完成这项工程所用的时间是
(天)，
(天)，
故答案为：18 .
【分析】首先求出甲的工作效率，再求出甲完成总工程需要的时间，根据图象再求出甲乙合作的工作效率，进一步求出实际完成这项工程所用的时间，相减即可得到答案.
13．（2024八上·双流期末）如图，要围一个长方形ABCD的菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用35米长的篱笆围成另外三边．为了方便进出，在BC边上留了一个2米宽的小门．设AB边的长为x米，BC边的长为y米，则y与x之间的关系式是 ．
【答案】
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：设AB边的长为x米，BC边的长为y米，
根据题意，得：y=35-2x+2，
整理。得：y=-2x+37.
故答案为：y=-2x+37.
【分析】设AB边的长为x米，BC边的长为y米， 根据BC=篱笆总长-2AB+门宽，即可得出y=-2x+37.
14．（2025八上·慈溪期末）对于一次函数y=kx-k-l（k为常数，k≠0），当1≤x≤2时，y有3个整数值，则符合条件的整数k的值为 .
【答案】2或-2
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：因为
所以一次函数的图象过定点(
又因为当 时，y有3个整数值，
则当 时，
解得
则整数k的值为2.
当 时，
解得
则整数k的值为
综上所述，符合条件的整数k的值为2或-2.
故答案为：2或
【分析】根据所给函数解析式，得出函数图象过定点( ，再根据 时，y有3个整数值，结合分类讨论的数学思想即可解决问题.
15．（2025八上·余姚期末）若定义是a与b中的较大者，例如：，，若有，那么y的最小值是 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：
①当时，
解得：，
此时，
，
，
；
②当时，
解得：，
此时，
，
，
，
；
综上，y的最小值为，
故答案为：．
【分析】由题意可知需分两种情况讨论：①当时；②当时；分别求解即可．
16．（2025八上·淮安期末）如图，直线与直线（、为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象得，当时，直线的图象在直线的图象下方，
∴关于的不等式的解集为，
故答案为：．
【分析】从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合，再结合函数特征写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（2025八上·鄞州期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象 分别与 轴交于 两点，正比例函数的图象与 交于点 ．
（1）求 的值及直线 的表达式；
（2）若点 是直线 上一点，连结 ，当 的面积是 的面积的 2 倍时，求点 的坐标。
【答案】（1）解：设正比例函数解析式为：y=k1x，
∴2k1= 4，2k+ 5=4，
∴k1=2，k=，
∴正比例函数解析式为：y=2x
（2）如图，连接OM，
由条件可知OB=5，
∴S△BOC=×5×2=5，
∴S△BOM= 2S△BOC = 10，
∴点M的横坐标为4或-4，
∴yM=×4+5=3或 yM=×(-4)+5=7，
∴M的坐标为(4，3)，（-4，7）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】(1)设正比例函数解析式为：y=k1x，将点C坐标代入y =k1x，一次函数y =kx+5可得k，k1的值，即可求解；
(2)如图，连接OM，求解S△BOM=2S△BOC，再求解M的横坐标，即可求解纵坐标.
18．（2025八上·拱墅期末）在直角坐标系中，点在函数且的图象上.
（1）若，求的值.
（2）若，求的取值范围.
（3）设函数，若，当时，求的取值范围.
【答案】（1）把点代入直线，
可得，
所以
（2）把点代入直线，
可得，
因为，所以，
所以
（3）联立，可得：，
所以，因为且，
所以，
因为，所以当时，
法2：因为，
所以图象过点，
因为时，，
所以点也在图象上，
与图象的交点是，
因为随的增大而减小，随的增大而增大，
所以当时，
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【分析】（1）点在函数图象上，将点代入函数解析式即可求出参数的值；
（2）将A点（m，0）代入函数解析式，得到m与a的数量关系，再结合m的取值范围，即可确定a的取值范围；
（3）将两个函数解析式联立，先求出交点的坐标，再结合一次函数图象及性质利用数形结合的思想求出不等式的解集即可.
19．（2025八上·慈溪期末）学习数学的乐趣在于探索，在“探索一次函数的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的三个点：，，，同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数图象，并得到对应的函数表达式为：，，，请完成下面的探索之旅．
（1）若已知，先判断直线经过哪两点？并求出的函数表达式；
（2）求，，三个值中最小的值．
【答案】（1）解：由图象可知，直线过B、C两点符合条件，
将，代入得，
，
解得，，
∴的函数表达式为；
（2）解：∵，，为的时候y的函数值，∴由图象知，直线此时的函数值最小．
∴将代入得最小值为．
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）由一次函数交轴于点，所以当时，直线交轴于负半轴，观察A、B、C三点，显然只有直线交轴于负半轴，即直线的解析式为，使用待定系数法求解即可；
（2）因为当时，，显然只有直线的函数值最小，即最小。
（1）解：由图象可知，直线过B、C两点符合条件，
将，代入得，
，
解得，，
∴的函数表达式为；
（2）解：∵，，为的时候y的函数值，
∴由图象知，直线此时的函数值最小．
∴将代入得最小值为．
20．（2023八上·宁波月考）已知一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、，点在该函数的图象上，到轴、轴的距离分别为、．
（1）当为线段的中点时，求的值；
（2）直接写出的范围，并求当时点的坐标；
（3）若在线段上存在无数个点，使为常数，求的值．
【答案】（1）解：对于一次函数，
令，得到；令，得到，
，，
为的中点，
，
则；
（2）解：；
设，
，
当时，，
解得：，此时；
当时，，
解得：，此时；
当时，不存在，
综上，的坐标为或；
（3）解：设，
，，
在线段上，
，
，，
，
，即，
有无数个点，即无数个解，
，即．
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；线段的中点
【解析】【解答】解：（2）①设P（m，2m-4），
当m＜0，-(2m-4)-m=4-2m-m=4-3m＞4；
当0≤m≤2，m-(2m-4)=m+4-2m=4-m，
∴；
当m＞2，m+2m-4=3m-4＞2；
∴；
【分析】（1）根据一次函数解析式求得A，B坐标，进而求得P点的坐标，即可求得；
（2）分情况讨论m的取值范围，即可求得的取值范围，再根据3，即可求得P的坐标；
（3）设P(m，2m-4)，根据m的取值范围可得4-2m+am=4，变形可得(a-2)m=0，即可求得.
21．（2024八上·衢江期末）秤是我们传统的计重工具．如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据．
1 2 4 7 11 12
y（斤）
（1）在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的
（2）根据（1）的发现，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为时，秤钩所挂物重是多少
【答案】（1）解：描点画出图象如下：
观察图象可知，当时，，
，这组数据是错误的．
（2）解：设，由表格得：
，
解得：，
，
当时，，
所以秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为时，秤钩所挂物重是斤．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；描点法画函数图象；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）先描出各点，画出函数图象，再由函数图象解题即可；
（2）设，利用待定系数法求函数解析式，再将代入即可解题；
（1）解：描点画出图象如下：
观察图象可知，当时，，
，这组数据是错误的．
（2）设，由表格得：
，
解得：，
，
当时，，
所以秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为时，秤钩所挂物重是斤．
22．（2024八上·衢江期末）如图1，已知直线交y轴、x轴于点，点．直线：交直线于点P．点G为x轴上一点，过点G作x轴的垂线交直线，于E，F两点．
（1）求直线的函数表达式．
（2）如图1，若点P到y轴距离与到直线的距离相等，求点G的坐标．
（3）在（2）的条件下，如图2，点M为y正半轴上一个动点，设点M的坐标，连结，将线段绕点M顺时针旋转得线段，连接，若点M在运动过程中始终在的内部（包括边界），求m的取值范围．
【答案】（1）解：设直线的函数解析式为，将点，点代入得：，
解得：，
∴直线的函数解析式为；
（2）解：∵直线：交直线于点P，
∴联立两个函数得：，
解得：，
∴，
∴点P到y轴距离为1，
∵点P到y轴距离与到直线的距离相等，轴，
∴；
（3）解：由（2）得，过点H作轴与点N，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
当H落在直线上时，
∴，
解得：，
此时，
∵，
∴点H在线段上，
∵点M为y正半轴上一个动点，
∴，
∴．
【知识点】一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）解方程组得到交点，然后根据题意得到点G的坐标即可；
（3）过点H作轴与点N，设，即可得到，进而得到，然后得到，若H落在直线上时，利用函数函数关系式确定m的值解题即可．
（1）解：设直线的函数解析式为，
将点，点代入得：，
解得：，
∴直线的函数解析式为；
（2）∵直线：交直线于点P，
∴联立两个函数得：，
解得：，
∴，
∴点P到y轴距离为1，
∵点P到y轴距离与到直线的距离相等，轴，
∴；
（3）由（2）得，
过点H作轴与点N，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
当H落在直线上时，
∴，
解得：，
此时，
∵，
∴点H在线段上，
∵点M为y正半轴上一个动点，
∴，
∴．
23．（2025八上·苍南期末）根据提供的材料解决问题．
材料一 内容
某商贸公司经销甲、乙两个品种的葡萄，甲种葡萄进价为5元斤：乙品种葡萄的进货总金额（单位：元）与乙品种葡萄的进货量（单位：斤）之间的关系如图所示，经过试销，在城市销售甲、乙两个品种葡萄的售价分别为7元斤和14元斤．
材料二 在葡萄节开节当日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的葡萄共2000斤，其中乙品种的收购量不低于400斤，且不高于1000斤．
材料三 葡萄运到城市，商场发现顾客对甲、乙两个品种葡萄都很喜欢，于是决定把两种葡萄进行混合销售，并适当让利给消费者．
任务一 求图中直线函数解析式．
任务二 若从收购点运到商场的其他各种费用还需要200元，收购的葡萄能够全部卖完，设销售完甲、乙两个品种的葡萄所获总利润为元（利润销售额成本）．求出（单位：元）与乙品种葡萄的进货量（单位：斤）之间的函数关系式，并为该商贸公司设计出获得最大利润的收购方案．
任务三 在任务二获得的最大利润的基础上，商场把最大利润的让利给购买者，那么混合销售葡萄的销售价应定为多少？
【答案】解：任务一：设直线函数解析式为
由题意可得：，
直线函数解析式为
任务二：由题意可得：乙葡萄的进货量为，甲葡萄的进货量为
乙葡萄的利润
甲葡萄的利润
因为
时，利润最大
即乙葡萄的进货量为1000斤，甲葡萄的进货量为1000斤．
任务三：当利润最大时，甲、乙葡萄的进货量都为1000斤
总成本（元）
让利给购买者后的利润（元）
总销售额为：（元）
销售价 =19100÷2000=9.55（元/斤）
即销售价应定为：9.55（元/斤）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）本题考查了根据待定系数法求函数解析式，利用函数图象点的坐标求解函数. 需要根据给出的两点M(50，600)和N(100，1100)代入一次函数通式y=kx+b（k≠0），构造二元一次方程组，求解即可求出函数解析式；
（2）本题考考查了一次函数的实际应用-销售问题及一次函数图象的性质.一次函数y=kx+b（k≠0），k＞0时，y随x的增大而增大；k＜0时，y随x的增大而减小.本题解题的关键是根据题意列出400≤x≤1000，再根据题目中数量关系表示出总利润w的函数关系式，利用一次函数的性质即可求出w的最大值.
（3）根据（1）、（2）的结论，计算出总成本和让利后的总利润，再求出总销售额.最后用总销售额除以总重量即可求出混合销售价格.
24．（2025八上·淳安期末）【了解概念】已知函数是自变量的函数，当，称函数为函数的“倍差函数”．
在平面直角坐标系中，对于函数图象上一点，称点为点关于函数的“倍差点”，点在函数的“倍差函数”的图象上．
【理解运用】例如：函数．当时，称函数是函数的“倍差函数”．在平面直角坐标系中，函数图象上任意一点，点为点关于的“倍差点”，点在函数的“倍差函数”的图象上．
（）求函数的“倍差函数”的表达式；
（）点在函数的图象上，点关于函数的“倍差点”为点，若点与点的纵坐标的和为，求点的坐标；
【拓展提升】
（）在（）的条件下，的“倍差函数”，直线交轴于点，已知点，．若直线与有交点，求的取值范围．
【答案】解：（）∵，
∴，
即；
（）∵点在函数的图象上，
∴点的坐标为，
∵函数的“倍差函数”的表达式为，
∴点的坐标为，
∵与点的纵坐标的和为，
∴．
解得，
∴点的坐标为；
（）由（）可得：点的坐标为，，
∵直线交轴于点，
∴点，
设直线的表达式为，
∵，，
∴，
解得，
∴直线的表达式为，
∵直线与有交点，
∴直线与线段有交点即可，
∴，
解得，
∴的取值范围为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（）利用 “倍差函数”的定义计算解题；
（）先得到点的坐标，然后利用“倍差点”的定义解题即可；
（）得到的坐标，即可画出，利用函数图象得到临界值解题即可.
1 / 1第五章《一次函数》提升卷—浙教版数学八年级上册单元分层测
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．已知三角形的底边长为a，底边上的高线长为h，则三角形面积当a为定长时，有关常量和变量的说法，正确的是( ).
A．S，h是变量，，a是常量 B．S，h，a是变量，是常量
C．a，h是变量，，S是常量 D．S是变量，，a，h是常量
2．（2024八上·栾城期末）如图，与的关系式为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八上·云岩月考）如图所示，图象所反映的过程是张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步回家，其中x表示时间，y表示张强离家的距离，根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是( )
A．体育场离张强家
B．体育场离早餐店
C．张强在体育场锻炼了
D．张强从早餐店回家的平均速度是
4．（2024八上·济南期末）坎儿井是新疆吐鲁番盆地的一种特殊灌溉系统，主要是利用了连通器原理．如图是一个型连通器模型，甲水箱、乙水箱是两个等高的圆柱体，甲水箱的底面面积是乙水箱底面面积的2倍，连接管在两个水箱的中间处（体积忽略不计），现用水管往甲水箱中持续匀速注水，直到连通器中水恰好不溢出为止．设甲水箱中水面的高度为，注水时间为，则与的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025八上·嵊州期末）我们发现：在平面直角坐标系中，两条直线：与：互相垂直，则．若直线l：与互相垂直，且经过，则n的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024八上·温州期末）某种蜡烛燃烧的长度与燃烧时间成正比例关系．若点燃6分钟后，高度下降，则长的此种蜡烛点燃15分钟后，剩余蜡烛的长度为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025八上·西湖期末）已知点在第二象限，则一次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024八上·成都期中）关于一次函数，下列说法正确的是( )
A．图象与轴交于点
B．其图象可由的图象向左平移个单位长度得到
C．图象与坐标轴围成的三角形面积为
D．图象经过第一、二、四象限
9．甲、乙两车从 A 城出发匀速行驶至B城.在整个行驶过程中，甲、乙两车离开 A 城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示.现有下列结论：
①A，B两城相距300千米；
②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
③乙车出发后2.5小时追上甲车；
④当甲、乙两车相距50千米时， 或
其中正确的结论有( ).
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2020八上·萧山期末）一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：
会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元）
A 类 50 25
B 类 200 20
C 类 400 15
例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费50+25×20=550元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45～55次之间，则最省钱的方式为（ ）
A．购买A类会员年卡 B．购买B类会员年卡
C．购买C类会员年卡 D．不购买会员年卡
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2024八上·南关期末）函数自变量x的取值范围是 ．
12． 甲、乙两个工程队完成某项工程，首先是甲单独做了10天，然后乙队加入合做，完成剩下的全部工程.设工程总量为单位1，工程进度满足如图所示的函数关系，那么实际完成这项工程所用的时间比由甲单独完成这项工程所需时间少 天.
13．（2024八上·双流期末）如图，要围一个长方形ABCD的菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用35米长的篱笆围成另外三边．为了方便进出，在BC边上留了一个2米宽的小门．设AB边的长为x米，BC边的长为y米，则y与x之间的关系式是 ．
14．（2025八上·慈溪期末）对于一次函数y=kx-k-l（k为常数，k≠0），当1≤x≤2时，y有3个整数值，则符合条件的整数k的值为 .
15．（2025八上·余姚期末）若定义是a与b中的较大者，例如：，，若有，那么y的最小值是 ．
16．（2025八上·淮安期末）如图，直线与直线（、为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为 ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（2025八上·鄞州期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象 分别与 轴交于 两点，正比例函数的图象与 交于点 ．
（1）求 的值及直线 的表达式；
（2）若点 是直线 上一点，连结 ，当 的面积是 的面积的 2 倍时，求点 的坐标。
18．（2025八上·拱墅期末）在直角坐标系中，点在函数且的图象上.
（1）若，求的值.
（2）若，求的取值范围.
（3）设函数，若，当时，求的取值范围.
19．（2025八上·慈溪期末）学习数学的乐趣在于探索，在“探索一次函数的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的三个点：，，，同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数图象，并得到对应的函数表达式为：，，，请完成下面的探索之旅．
（1）若已知，先判断直线经过哪两点？并求出的函数表达式；
（2）求，，三个值中最小的值．
20．（2023八上·宁波月考）已知一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、，点在该函数的图象上，到轴、轴的距离分别为、．
（1）当为线段的中点时，求的值；
（2）直接写出的范围，并求当时点的坐标；
（3）若在线段上存在无数个点，使为常数，求的值．
21．（2024八上·衢江期末）秤是我们传统的计重工具．如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据．
1 2 4 7 11 12
y（斤）
（1）在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的
（2）根据（1）的发现，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为时，秤钩所挂物重是多少
22．（2024八上·衢江期末）如图1，已知直线交y轴、x轴于点，点．直线：交直线于点P．点G为x轴上一点，过点G作x轴的垂线交直线，于E，F两点．
（1）求直线的函数表达式．
（2）如图1，若点P到y轴距离与到直线的距离相等，求点G的坐标．
（3）在（2）的条件下，如图2，点M为y正半轴上一个动点，设点M的坐标，连结，将线段绕点M顺时针旋转得线段，连接，若点M在运动过程中始终在的内部（包括边界），求m的取值范围．
23．（2025八上·苍南期末）根据提供的材料解决问题．
材料一 内容
某商贸公司经销甲、乙两个品种的葡萄，甲种葡萄进价为5元斤：乙品种葡萄的进货总金额（单位：元）与乙品种葡萄的进货量（单位：斤）之间的关系如图所示，经过试销，在城市销售甲、乙两个品种葡萄的售价分别为7元斤和14元斤．
材料二 在葡萄节开节当日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的葡萄共2000斤，其中乙品种的收购量不低于400斤，且不高于1000斤．
材料三 葡萄运到城市，商场发现顾客对甲、乙两个品种葡萄都很喜欢，于是决定把两种葡萄进行混合销售，并适当让利给消费者．
任务一 求图中直线函数解析式．
任务二 若从收购点运到商场的其他各种费用还需要200元，收购的葡萄能够全部卖完，设销售完甲、乙两个品种的葡萄所获总利润为元（利润销售额成本）．求出（单位：元）与乙品种葡萄的进货量（单位：斤）之间的函数关系式，并为该商贸公司设计出获得最大利润的收购方案．
任务三 在任务二获得的最大利润的基础上，商场把最大利润的让利给购买者，那么混合销售葡萄的销售价应定为多少？
24．（2025八上·淳安期末）【了解概念】已知函数是自变量的函数，当，称函数为函数的“倍差函数”．
在平面直角坐标系中，对于函数图象上一点，称点为点关于函数的“倍差点”，点在函数的“倍差函数”的图象上．
【理解运用】例如：函数．当时，称函数是函数的“倍差函数”．在平面直角坐标系中，函数图象上任意一点，点为点关于的“倍差点”，点在函数的“倍差函数”的图象上．
（）求函数的“倍差函数”的表达式；
（）点在函数的图象上，点关于函数的“倍差点”为点，若点与点的纵坐标的和为，求点的坐标；
【拓展提升】
（）在（）的条件下，的“倍差函数”，直线交轴于点，已知点，．若直线与有交点，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】常量、变量
【解析】【解答】解：三角形面积当a为定长时，a为常量，也是常量，h与S是变量.
故答案为：A.
【分析】根据三角形面积公式，分析出变化的量与不变的量，从中确定常量与变量.
2．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：∵是△ABC的外角，
∴，即，
故答案为：B．
【分析】根据三角形的外角的性质“三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和”即可求解．
3．【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、点（15，2.5）表示张强从家到达了体育场，则体育场离张强家2.5km，故A正确；
B、由函数图象可知早餐店离家越来越近，而体育场离张强家2.5km，早餐店离家1.5km，则体育场离早餐店2.5-1.5=1km，故B错误；
C、由函数图象可知张强在体育场锻炼时间为30-15=15min，故C正确；
D.、由函数图象可知早餐店离张强家1.5km，张强从早餐店散步走回家花了35min，则张强从早餐店回家的平均速度是，故D正确；
故答案为：B．
【分析】本题主要考查的是利用函数的图象解决实际问题，理解函数图象中横、纵轴所表示的意义，由点（15，2.5）可知体育场离张强家的距离，即可判断A正确；由函数图象可知早餐店离家越来越近以及体育场离张强家、早餐店离家的距离，从而求出 体育场离早餐店的距离，即可判断B正确；由函数图象可知张强在体育场锻炼时间，即可判断C错误；由函数图象可知早餐店离张强家的距离以及张强从早餐店散步走回家的时间，进而求出张强从早餐店回家的平均速度，即可判断D正确.
4．【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：由连通器的原理可知，整个过程分为三个阶段，第一阶段为甲水箱中的水面随着时间的推移逐渐上升，直至到达连通器的入口，第二阶段为甲水箱中的水面不上升，注入的水通过连通器流入乙中，使乙水箱中的水面上升，直至到达连通器的入口，第三阶段为甲、乙两个水箱中的水以相同的速度上升（上升速度比第一阶段慢），
设单位时间内注水体积为，甲水箱的底面积为，则乙水箱的底面积为，则连通器的高度为，
∴，
∴，
∴四个选项中，只有D选项中的函数图象符合题意，
故答案为：D．
【分析】由连通器的原理可知，整个过程分为三个阶段：甲水面上升，乙水面上升，甲、乙水面一起上升，再根据甲、乙底面积的关系求出的关系即可得到结论．
5．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：∵直线l：与互相垂直，
∴，
解得，
∴直线l：，
把代入得到，，解得，
故答案为：B.
【分析】根据题意得到，求出m值，再把代入求出n的值即可．
6．【答案】C
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：设蜡烛燃烧的长度y(cm)与燃烧时间t(min)之间的正比例关系为y=kt(k为常数，且k≠0).
将t=6，y=3.6代入y=kt，
得6k=3.6，
解得k=0.6，
∴y与t之间的函数关系式为y=0.6t.
当t=15时，y=0.6×15=9，
22-9=13(cm)，
∴剩余蜡烛的长度为13cm，
故答案选：C.
【分析】利用待定系数法求出蜡烛燃烧的长度与燃烧时间之间的函数关系式，求出当时间为15分钟时蜡烛燃烧的长度，蜡烛的点长度减去燃烧的长度就是剩余蜡烛的长度.
7．【答案】A
【知识点】一次函数的图象；点的坐标与象限的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点在第二象限，
∴，
∴，
∴一次函数的图象经过第一，二，四象限，
故答案选：A．
【分析】先确定出k、b符号，再根据一次函数的性质确定经过的象限.
8．【答案】D
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：一次函数，，
当时，，当时，
A、图象与轴交于点，故A不符合题意；
B、 其图象可由的图象向上平移个单位长度得到，故B不符合题意；
C、 图象与坐标轴围成的三角形面积为，故C不符合题意；
D、 图象经过第一、二、四象限，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据一次函数的性质以及一次函数平移的特点逐一分析，即可得到答案．
9．【答案】B
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由图象可知A、B两城市之间的距离为300km， 甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，
∴①②都正确；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为 把(5， 300)代入可求得
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为 ，
把(1， 0)和(4， 300)代入可得
解得
令 可得：
解得 ，
即甲、乙两直线的交点横坐标为 此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，
∴③不正确；
令 可得 、
即
当 时，可解得
当 时，可解得
又当 时， 此时乙还没出发，
当 时， 乙已到达B城，
综上可知当t的值为 或 或 或 时，两车相距
50千米，
∴④不正确；
综上可知正确的有①②共两个。
故答案为：B .
【分析】观察图象可判断①②，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断③，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可判断④，可得出答案.
10．【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得：yA=50+25x，yB=200+20x，yC=400+15x，当45≤x≤55时，确定y的范围，进行比较即可解答．设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得：yA=50+25x，yB=200+20x，yC=400+15x，当45≤x≤55时，1175≤yA≤1425；1100≤yB≤1300；1075≤yC≤1225；由此可见，C类会员年卡消费最低，所以最省钱的方式为购买C类会员年卡．故选：C．
【分析】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数关系式，并确定函数值的范围．
11．【答案】x＞﹣1
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意可得，，
解得，
故答案为：．
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数为非负数即；分式有意义的条件是分母不为0即，综上得到，解不等式即可得到答案．
12．【答案】18
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：∵甲的工作效率是
∴甲完成总工程需要 (天)。
∵甲乙合作的工作效率是
∴实际完成这项工程所用的时间是
(天)，
(天)，
故答案为：18 .
【分析】首先求出甲的工作效率，再求出甲完成总工程需要的时间，根据图象再求出甲乙合作的工作效率，进一步求出实际完成这项工程所用的时间，相减即可得到答案.
13．【答案】
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：设AB边的长为x米，BC边的长为y米，
根据题意，得：y=35-2x+2，
整理。得：y=-2x+37.
故答案为：y=-2x+37.
【分析】设AB边的长为x米，BC边的长为y米， 根据BC=篱笆总长-2AB+门宽，即可得出y=-2x+37.
14．【答案】2或-2
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：因为
所以一次函数的图象过定点(
又因为当 时，y有3个整数值，
则当 时，
解得
则整数k的值为2.
当 时，
解得
则整数k的值为
综上所述，符合条件的整数k的值为2或-2.
故答案为：2或
【分析】根据所给函数解析式，得出函数图象过定点( ，再根据 时，y有3个整数值，结合分类讨论的数学思想即可解决问题.
15．【答案】
【知识点】解一元一次不等式；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：
①当时，
解得：，
此时，
，
，
；
②当时，
解得：，
此时，
，
，
，
；
综上，y的最小值为，
故答案为：．
【分析】由题意可知需分两种情况讨论：①当时；②当时；分别求解即可．
16．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象得，当时，直线的图象在直线的图象下方，
∴关于的不等式的解集为，
故答案为：．
【分析】从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合，再结合函数特征写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
17．【答案】（1）解：设正比例函数解析式为：y=k1x，
∴2k1= 4，2k+ 5=4，
∴k1=2，k=，
∴正比例函数解析式为：y=2x
（2）如图，连接OM，
由条件可知OB=5，
∴S△BOC=×5×2=5，
∴S△BOM= 2S△BOC = 10，
∴点M的横坐标为4或-4，
∴yM=×4+5=3或 yM=×(-4)+5=7，
∴M的坐标为(4，3)，（-4，7）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】(1)设正比例函数解析式为：y=k1x，将点C坐标代入y =k1x，一次函数y =kx+5可得k，k1的值，即可求解；
(2)如图，连接OM，求解S△BOM=2S△BOC，再求解M的横坐标，即可求解纵坐标.
18．【答案】（1）把点代入直线，
可得，
所以
（2）把点代入直线，
可得，
因为，所以，
所以
（3）联立，可得：，
所以，因为且，
所以，
因为，所以当时，
法2：因为，
所以图象过点，
因为时，，
所以点也在图象上，
与图象的交点是，
因为随的增大而减小，随的增大而增大，
所以当时，
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【分析】（1）点在函数图象上，将点代入函数解析式即可求出参数的值；
（2）将A点（m，0）代入函数解析式，得到m与a的数量关系，再结合m的取值范围，即可确定a的取值范围；
（3）将两个函数解析式联立，先求出交点的坐标，再结合一次函数图象及性质利用数形结合的思想求出不等式的解集即可.
19．【答案】（1）解：由图象可知，直线过B、C两点符合条件，
将，代入得，
，
解得，，
∴的函数表达式为；
（2）解：∵，，为的时候y的函数值，∴由图象知，直线此时的函数值最小．
∴将代入得最小值为．
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）由一次函数交轴于点，所以当时，直线交轴于负半轴，观察A、B、C三点，显然只有直线交轴于负半轴，即直线的解析式为，使用待定系数法求解即可；
（2）因为当时，，显然只有直线的函数值最小，即最小。
（1）解：由图象可知，直线过B、C两点符合条件，
将，代入得，
，
解得，，
∴的函数表达式为；
（2）解：∵，，为的时候y的函数值，
∴由图象知，直线此时的函数值最小．
∴将代入得最小值为．
20．【答案】（1）解：对于一次函数，
令，得到；令，得到，
，，
为的中点，
，
则；
（2）解：；
设，
，
当时，，
解得：，此时；
当时，，
解得：，此时；
当时，不存在，
综上，的坐标为或；
（3）解：设，
，，
在线段上，
，
，，
，
，即，
有无数个点，即无数个解，
，即．
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；线段的中点
【解析】【解答】解：（2）①设P（m，2m-4），
当m＜0，-(2m-4)-m=4-2m-m=4-3m＞4；
当0≤m≤2，m-(2m-4)=m+4-2m=4-m，
∴；
当m＞2，m+2m-4=3m-4＞2；
∴；
【分析】（1）根据一次函数解析式求得A，B坐标，进而求得P点的坐标，即可求得；
（2）分情况讨论m的取值范围，即可求得的取值范围，再根据3，即可求得P的坐标；
（3）设P(m，2m-4)，根据m的取值范围可得4-2m+am=4，变形可得(a-2)m=0，即可求得.
21．【答案】（1）解：描点画出图象如下：
观察图象可知，当时，，
，这组数据是错误的．
（2）解：设，由表格得：
，
解得：，
，
当时，，
所以秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为时，秤钩所挂物重是斤．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；描点法画函数图象；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）先描出各点，画出函数图象，再由函数图象解题即可；
（2）设，利用待定系数法求函数解析式，再将代入即可解题；
（1）解：描点画出图象如下：
观察图象可知，当时，，
，这组数据是错误的．
（2）设，由表格得：
，
解得：，
，
当时，，
所以秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为时，秤钩所挂物重是斤．
22．【答案】（1）解：设直线的函数解析式为，将点，点代入得：，
解得：，
∴直线的函数解析式为；
（2）解：∵直线：交直线于点P，
∴联立两个函数得：，
解得：，
∴，
∴点P到y轴距离为1，
∵点P到y轴距离与到直线的距离相等，轴，
∴；
（3）解：由（2）得，过点H作轴与点N，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
当H落在直线上时，
∴，
解得：，
此时，
∵，
∴点H在线段上，
∵点M为y正半轴上一个动点，
∴，
∴．
【知识点】一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）解方程组得到交点，然后根据题意得到点G的坐标即可；
（3）过点H作轴与点N，设，即可得到，进而得到，然后得到，若H落在直线上时，利用函数函数关系式确定m的值解题即可．
（1）解：设直线的函数解析式为，
将点，点代入得：，
解得：，
∴直线的函数解析式为；
（2）∵直线：交直线于点P，
∴联立两个函数得：，
解得：，
∴，
∴点P到y轴距离为1，
∵点P到y轴距离与到直线的距离相等，轴，
∴；
（3）由（2）得，
过点H作轴与点N，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
当H落在直线上时，
∴，
解得：，
此时，
∵，
∴点H在线段上，
∵点M为y正半轴上一个动点，
∴，
∴．
23．【答案】解：任务一：设直线函数解析式为
由题意可得：，
直线函数解析式为
任务二：由题意可得：乙葡萄的进货量为，甲葡萄的进货量为
乙葡萄的利润
甲葡萄的利润
因为
时，利润最大
即乙葡萄的进货量为1000斤，甲葡萄的进货量为1000斤．
任务三：当利润最大时，甲、乙葡萄的进货量都为1000斤
总成本（元）
让利给购买者后的利润（元）
总销售额为：（元）
销售价 =19100÷2000=9.55（元/斤）
即销售价应定为：9.55（元/斤）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）本题考查了根据待定系数法求函数解析式，利用函数图象点的坐标求解函数. 需要根据给出的两点M(50，600)和N(100，1100)代入一次函数通式y=kx+b（k≠0），构造二元一次方程组，求解即可求出函数解析式；
（2）本题考考查了一次函数的实际应用-销售问题及一次函数图象的性质.一次函数y=kx+b（k≠0），k＞0时，y随x的增大而增大；k＜0时，y随x的增大而减小.本题解题的关键是根据题意列出400≤x≤1000，再根据题目中数量关系表示出总利润w的函数关系式，利用一次函数的性质即可求出w的最大值.
（3）根据（1）、（2）的结论，计算出总成本和让利后的总利润，再求出总销售额.最后用总销售额除以总重量即可求出混合销售价格.
24．【答案】解：（）∵，
∴，
即；
（）∵点在函数的图象上，
∴点的坐标为，
∵函数的“倍差函数”的表达式为，
∴点的坐标为，
∵与点的纵坐标的和为，
∴．
解得，
∴点的坐标为；
（）由（）可得：点的坐标为，，
∵直线交轴于点，
∴点，
设直线的表达式为，
∵，，
∴，
解得，
∴直线的表达式为，
∵直线与有交点，
∴直线与线段有交点即可，
∴，
解得，
∴的取值范围为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（）利用 “倍差函数”的定义计算解题；
（）先得到点的坐标，然后利用“倍差点”的定义解题即可；
（）得到的坐标，即可画出，利用函数图象得到临界值解题即可.
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