3.6 《圆内接四边形》—浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础夯实
1．（2025九上·江北期末）如图，四边形 内接于 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
由圆周角定理得，
故答案为： B.
【分析】根据圆内接四边形的性质求出的度数，根据圆周角定理解答.
2．（2023九上·东阳期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ AB是⊙O的直径 ，
∴∠ADB=90°，
又∵∠ABD=20°，
∴∠A=90°-∠ABD=70°，
∴∠BCD=180°-∠A=180°-70°=110°.
故答案为：C.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，然后根据直角三角形两锐角互余得∠A的度数，最后根据圆内接四边形的对角互补可求出∠BCD的度数.
3．（2024九上·东海月考）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据圆周角定理得，由圆内接四边形对角互补得，最后利用邻补角求出 的度数.
4．（2025九上·东营期末）现有一些相同的小卡片，每张卡片上各写了一个数学命题，其中正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦 B．相等的圆心角所对的弧相等
C．长度相等的两条弧是等弧 D．圆内接四边形的对角互补
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故选项不正确；
B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故选项不正确；
C、能完全重合的两段弧是等弧，故选项不正确；
D、圆内接四边形的对角互补，故选项正确，
故答案为：D．
【分析】根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系、圆内接四边形的性质逐项进行判断即可求出答案.
5．（2025九上·台州期末）如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形内接于，若，
∴的度数为
故答案为：C．
【分析】利用圆内接四边形的的对角互补解答即可．
6．（2023九上·余姚月考）如图，已知四边形是圆的内接四边形，，则 ．
【答案】140°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠BOD=80°，
∴∠A=40°．
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD=180°-∠A=180°-40°=140°．
故答案为140°．
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠A=40°，再根据圆内接四边形性质即可求出答案.
7．（2023九上·温州月考）如图，在圆内接四边形中，若，则 ．
、
【答案】
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是圆内接四边形，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据圆内接四边形的性质，由∠A的度数，可直接得出答案。
8．如图所示，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=100°.若点E在上，求∠E的度数.
【答案】解：连接BD，如图，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠BAD=180°-∠C=80°，
又∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=（180°-∠BAD）=50°，
∵四边形ABDE是圆内接四边形，
∴∠E=180°-∠ABD=130°.
【知识点】等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】连接BD，先根据圆内接四边形的对角互补计算出∠BAD=80°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠ABD=50°， 然后再根据圆内接四边形的性质可得∠E的度数.
9．（2019九上·余杭期中）已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC于点 D，BC于点E，连接ED．求证：ED＝EC．
【答案】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠CDE=∠B，
∴∠CDE=∠C，
∴CE=DE.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质解答即可；
二、能力提升
10．（2024九上·乌鲁木齐月考）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴
∴
∵四边形是的内接四边形，
∴，
故答案为：B
【分析】连接，利用直径所对圆周角是直角，可证得，利用同弧所对的圆周角相等，可求出∠CAB的度数，即可动点∠ABC的度数，然后利用圆内接四边形的性质可求出∠ADC的度数.
11．（2025九上·海曙期末）如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB，OC的中垂线交弧AC于点E，连结AE、EC、CB，则下列结论错误的是（ ）
A．∠AEC =135° B．∠BCE=105
C．=2 D．EC=2EA
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接OE，找 的中点F， 连接EF， CF，
∵半径OC⊥AB，
∴∠COA=∠COB=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∵四边形AECB是半圆O的内接四边形，
∴∠AEC+∠ABC=180°，
∴∠AEC = 180°--∠ABC =135°，
∵ED是OC的中垂线，
∴EO=EC，
∵OE=OC，
∴EO= EC =OC，
∴△OEC是等边三角形，
∴∠EOC =∠ECO=60°，
∴∠ECB=∠ECO+∠OCB=105°，∠AOE=∠AOC-∠EOC =30°，
∴∠EOC =2∠AOE，
∴EF=CF= AE，
在△EFC中， EF+CF>CE，
∴AE+AE>CE，
∴2AE>CE，
所以，上述结论错误的是EC =2EA，
故答案为：D.
【分析】
连接OE，找 的中点F， 连接EF， CF， 从而可得 根据垂直定义可得：∠COA=∠COB=90°， 从而可得∠OCB=∠OBC =45°， 然后根据圆内接四边形对角互补可得：∠AEC =135°，再根据中垂线的性质可得EO=EC， 从而可得EO= EC=OC，进而可得△OEC是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得∠EOC=∠ECO=60°， 从而可得∠ECB=105°， ∠AOE =30°， 进而可得∠EOC =2∠AOE， 再根据圆心角、弧、弦的关系可得：EF=CF =AE，从而利用三角形的三边关系可得： EF+CF>CE， 进而可得2AE>CE， 即可解答.
12．（2023九上·沙坪坝月考）如图，是圆的直径，为圆的弦，且平分，若，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，作交的延长线于，作交于，
，
则，
平分，，，
，
四边形是圆的内接四边形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
是圆的直径，
，
平分，
，
、是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】作DE⊥CB，交CB的延长线于E，作DF⊥AC，交AC于F，由角平分线上的点到角两边的距离相等可得DF=DE，由圆内接四边形的对角互补、领补角及同角的补角相等得∠DAF=∠DBE，从而用AAS判断出△DAF≌△DBE，由全等三角形的对应边相等得AF=BE；由直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，由角平分线的定义可得∠FCD=∠ECD=45°，从而可得△CFD与△ECD都是等腰直角三角形，则可得DF=CF=DE=CE，根据线段的和差可得CE=1+BE，CF=2-AF，从而可建立方程求出，再由线段和差求出CF的长，进而根据勾股定理算出CD即可.
13．（2025九上·湖州期末）如图，四边形内接于，，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠ADC =180°，
∵∠B=66°，
∴∠ADC =180°-66°=114，
∵=，
∴AD=CD，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠ADC，根据圆心角、弧、弦的关系得到AD=CD，再根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可.
14．（2025九上·龙马潭期末）如图，正方形ABCD内接于，点E为AB上一点，连接DE并延长，交于点F．若，，则AF的长为 ．
【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】连接OA、OF、OB，如下图：
∵
∴
∵
∴△AOF是等边三角形．
∵正方形ABCD内接于
∴∠AOB=90°
∵AB=10
∴在Rt△AOB中，
∴
故答案为：
【分析】
本题考查圆周角定理，圆心角与圆周角的关系，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，熟知同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍和等腰直角三角形三边关系为是解题关键．
根据同弧所对的圆心角是圆周角的两倍可知：∠AOF=2∠ADF=60°，根据同圆中半径相等可知：OA=OF，再根据等边三角形的判定定理可知：△AOF是等边三角形，即AF=AO，再根据圆内接四边形的性质可知：∠AOB=90°，再根据等腰直角三角形三边关系为可知：，等量代换可得：，由此可得出答案．
15．（2024九上·伊犁哈萨克期末）如图，四边形为的内接四边形，是延长线上一点，已知，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形为的内接四边形，，
，
是的内接四边形的外角，
．
故答案为：．
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，再根据圆内接四边形的一个外角等于它的内对角即可求出答案.
16．（2024九上·花都期末）如图，是的直径，弦平分圆周角，则下列结论：
①②是等腰直角三角形③④
正确的有 ．
【答案】①②④
【知识点】三角形全等及其性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：延长CA到点F，使AF=BC，连接DF
∵AB是的直径
∴∠ACB=90°
∵弦CD平分圆周角∠ACB
∴∠ACD=∠BCD=45°
∴∠ABD=∠ACD=45°，∠BAD=∠BCD=45°
∴∠ABD=∠BAD
∴AD=BD
∵AB是的直径
∴∠ADB=90°
∴△ABD是等腰直角三角形，①②正确
∵四边形ADBC是的内接四边形
∴∠FAD=∠DBC
在△FAD和△CBD中
∴△FAD≌△CBD（SAS）
∴FD=CD，∠ADF=∠BDC
∵∠ADC+∠BDC=90°
∴∠ADC+∠ADF=90°
∴∠FDC=90°
∴△CDF是等腰直角三角形
∴
∴
，③错误，④正确
故答案为：①②④
【分析】延长CA到点F，使AF=BC，连接DF，根据圆周角定理可得∠ACB=90°，∠ACD=∠BCD=45°，则∠ABD=∠ACD=45°，∠BAD=∠BCD=45°，即∠ABD=∠BAD，根据等角对等边可得AD=BD，再根据等腰直角三角形判定定理可得△ABD是等腰直角三角形，则①②正确，根据圆内接四边形性质可得∠FAD=∠DBC，再根据全等三角形判定定理可得△FAD≌△CBD（SAS），则FD=CD，∠ADF=∠BDC，再根据等腰直角三角形判定定理可得△CDF是等腰直角三角形，则，再根据，结合三角形面积即可求出答案.
17．（2023九上·秀洲月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O， BD为直径，AC平分∠BCD，
（1）若BC=5cm，CD=12cm，求AB的长；
（2）求证：BC+CD=AC．
【答案】（1）解：∵BD为直径，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∵CD=12cm，BC=5cm，
∴BD=13（cm），
∵AC平分∠BCD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴AB=AD，
∴AB=AD=BD=，故AB的长为．
（2）证明：将△ACD绕点A顺时针旋转90°后可得△ABC'，
由旋转性质可得：△ACD△ABC'，∠CAC'=90°，CA=C'A，
∴AC'=AC，CD=BC'，∠ADC=ABC'，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC+∠AD'B=180°，
又∵∠CAC'=90°，CA=C'A，
∴△C'AC是等腰直角三角形，
∴CC'=，
∴BC+C'B=，
∴BC+CD=．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；旋转的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得∠BAD=∠BCD=90°，根据勾股定理可得BD，再根据角平分线定义可得∠ABD=∠ADB=45°，则AB=AD，再根据等腰直角三角形性质即可求出答案.
（2）将△ACD绕点A顺时针旋转90°后可得△ABC'，根据旋转性质可得△ACD△ABC'，∠CAC'=90°，CA=C'A，则AC'=AC，CD=BC'，∠ADC=ABC'，根据圆内接四边形性质可得∠ABC+∠ADC=180°，则∠ABC+∠AD'B=180°，再根据等腰直角三角形判定定理可得△C'AC是等腰直角三角形，则CC'=，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：∵BD为直径，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∵CD=12cm，BC=5cm，
∴BD=13（cm），
∵AC平分∠BCD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴AB=AD，
∴AB=AD=BD=，故AB的长为．
（2）证明：将△ACD绕点A顺时针旋转90°后可得△ABC'，
由旋转性质可得：△ACD△ABC'，∠CAC'=90°，CA=C'A，
∴AC'=AC，CD=BC'，∠ADC=ABC'，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC+∠AD'B=180°，
又∵∠CAC'=90°，CA=C'A，
∴△C'AC是等腰直角三角形，
∴CC'=，
∴BC+C'B=，
∴BC+CD=．
18．（2024九上·杭州期中）如图，四边形内接于，，，过点C作，使得，交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：连接，如图所示，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接．
∵，
∴是的直径，
∴，
由（1）可得．
∵，
∴．
∴在中，，
在中，．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）连接，根据，推出，根据，得到，根据圆内接四边形性质得到，得到，于是可利用AAS推出，从而可得结论；
（2）证明是的直径，得到，根据，得到AB的长．根据勾股定理得到BD长，再根据等腰直角三角形性质即可得CD的长．
（1）证明：如图，连接．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接．
∵，
∴是的直径，
∴，
由（1）可得．
∵，
∴．
∴在中，，
在中，．
19．（2023九上·新洲期中）如图，四边形为的内接四边形，为的直径，且与互余.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
【答案】（1）证明：连，，
是的直径
（2）解：延长交于点
设半径为由得：
为直径
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】 (1)先说明，可得到，结合 与互余，可说明，从而有，就可说明 ；
(2)连OB，延长D0交BC于点E，由垂径定理得： OE⊥BC， BE=CE=BC=2，在Rt△DEC中、在Rt△OEC中和在Rt△ABC中，利用勾股定理即可求解.
三、综合拓展
20．（2024九上·慈溪期中）已知经过四边形ABCD的B，D两个顶点，并与四条边分别交于点E，F，G，H，且
（1）如图1所示，连结BD，若BD是直径，求证；.
（2）如图2所示，若，弧EF的度数为，请写出x，y，m之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）证明：连结DF，DG
因为
∴∠ADF=∠CDG
（2）解：连结，
同（1）可得，且，
四边形EFGH是的内接四边形，
，
，，
，
．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】本题考查圆周角定理及圆内接四边形对角互补；
（1）根据，利用圆周角定理及同弧所对的圆周角相等可得： ，再利用外角的性质可得：，再进行等量代换可证明结论；
（2）利用（1）的结论可得，且，再利用圆内接四边形的性质可得：，利用三角形外角性质可得：，，再代入数据进行计算可求出 x，y，m之间的数量关系
21．（2023九上·杭州月考）如图，已知是等腰△ABC的外接圆，且AB＝AC，点D是上一点，连结BD并延长至点E，连结AD，CD．
（1）求证：DA平分∠EDC．
（2）若∠EDA＝72°，求的度数．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADB+∠ACB＝180°
∵∠ADB+∠ADE＝180°，
∴∠ACB＝∠ADE；
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
又∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠ADE，
∴DA平分∠EDC.
（2）解：如图，连接OB、OC，
由（1）得：∠ADC＝∠ADE=∠ABC=∠ACB，
∵∠ADE=72°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-72°-72°=36°，
∴∠BOC=2∠BAC=72°，
∴的度数为72°.
答：的度数为72°.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）由圆的内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”可得∠ADB+∠ACB＝180°，结合邻补角的定义可得∠ACB＝∠ADE．再由等腰三角形的性质和圆周角定理可得∠ADC＝∠ADE，根据角平分线的定义即可求解；
（2）连接OB、OC，有（1）可得∠ADE＝∠ACB＝∠ABC＝72°，再由三角形内角和定理求出的度数，最后根据圆周角定理“同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半”即可求出的大小，然后根据圆心角定理“在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等”即可求解．
（1）∵四边形ABCD内接于，
∴∠ADB+∠ACB＝180°
∵∠ADB+∠ADE＝180°，
∴∠ACB＝∠ADE．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
又∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠ADE，即DA平分∠EDC；
（2）由（1）得∠ADE＝∠ACB＝∠ABC＝72°，
∴，
∴，
∴的度数为72°．
1 / 13.6 《圆内接四边形》—浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础夯实
1．（2025九上·江北期末）如图，四边形 内接于 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·东阳期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
3．（2024九上·东海月考）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2025九上·东营期末）现有一些相同的小卡片，每张卡片上各写了一个数学命题，其中正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦 B．相等的圆心角所对的弧相等
C．长度相等的两条弧是等弧 D．圆内接四边形的对角互补
5．（2025九上·台州期末）如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·余姚月考）如图，已知四边形是圆的内接四边形，，则 ．
7．（2023九上·温州月考）如图，在圆内接四边形中，若，则 ．
、
8．如图所示，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=100°.若点E在上，求∠E的度数.
9．（2019九上·余杭期中）已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC于点 D，BC于点E，连接ED．求证：ED＝EC．
二、能力提升
10．（2024九上·乌鲁木齐月考）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．（2025九上·海曙期末）如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB，OC的中垂线交弧AC于点E，连结AE、EC、CB，则下列结论错误的是（ ）
A．∠AEC =135° B．∠BCE=105
C．=2 D．EC=2EA
12．（2023九上·沙坪坝月考）如图，是圆的直径，为圆的弦，且平分，若，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
13．（2025九上·湖州期末）如图，四边形内接于，，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
14．（2025九上·龙马潭期末）如图，正方形ABCD内接于，点E为AB上一点，连接DE并延长，交于点F．若，，则AF的长为 ．
15．（2024九上·伊犁哈萨克期末）如图，四边形为的内接四边形，是延长线上一点，已知，则的度数为 ．
16．（2024九上·花都期末）如图，是的直径，弦平分圆周角，则下列结论：
①②是等腰直角三角形③④
正确的有 ．
17．（2023九上·秀洲月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O， BD为直径，AC平分∠BCD，
（1）若BC=5cm，CD=12cm，求AB的长；
（2）求证：BC+CD=AC．
18．（2024九上·杭州期中）如图，四边形内接于，，，过点C作，使得，交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
19．（2023九上·新洲期中）如图，四边形为的内接四边形，为的直径，且与互余.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
三、综合拓展
20．（2024九上·慈溪期中）已知经过四边形ABCD的B，D两个顶点，并与四条边分别交于点E，F，G，H，且
（1）如图1所示，连结BD，若BD是直径，求证；.
（2）如图2所示，若，弧EF的度数为，请写出x，y，m之间的数量关系，并说明理由.
21．（2023九上·杭州月考）如图，已知是等腰△ABC的外接圆，且AB＝AC，点D是上一点，连结BD并延长至点E，连结AD，CD．
（1）求证：DA平分∠EDC．
（2）若∠EDA＝72°，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
由圆周角定理得，
故答案为： B.
【分析】根据圆内接四边形的性质求出的度数，根据圆周角定理解答.
2．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ AB是⊙O的直径 ，
∴∠ADB=90°，
又∵∠ABD=20°，
∴∠A=90°-∠ABD=70°，
∴∠BCD=180°-∠A=180°-70°=110°.
故答案为：C.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，然后根据直角三角形两锐角互余得∠A的度数，最后根据圆内接四边形的对角互补可求出∠BCD的度数.
3．【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据圆周角定理得，由圆内接四边形对角互补得，最后利用邻补角求出 的度数.
4．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故选项不正确；
B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故选项不正确；
C、能完全重合的两段弧是等弧，故选项不正确；
D、圆内接四边形的对角互补，故选项正确，
故答案为：D．
【分析】根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系、圆内接四边形的性质逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形内接于，若，
∴的度数为
故答案为：C．
【分析】利用圆内接四边形的的对角互补解答即可．
6．【答案】140°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠BOD=80°，
∴∠A=40°．
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD=180°-∠A=180°-40°=140°．
故答案为140°．
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠A=40°，再根据圆内接四边形性质即可求出答案.
7．【答案】
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是圆内接四边形，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据圆内接四边形的性质，由∠A的度数，可直接得出答案。
8．【答案】解：连接BD，如图，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠BAD=180°-∠C=80°，
又∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=（180°-∠BAD）=50°，
∵四边形ABDE是圆内接四边形，
∴∠E=180°-∠ABD=130°.
【知识点】等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】连接BD，先根据圆内接四边形的对角互补计算出∠BAD=80°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠ABD=50°， 然后再根据圆内接四边形的性质可得∠E的度数.
9．【答案】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠CDE=∠B，
∴∠CDE=∠C，
∴CE=DE.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质解答即可；
10．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴
∴
∵四边形是的内接四边形，
∴，
故答案为：B
【分析】连接，利用直径所对圆周角是直角，可证得，利用同弧所对的圆周角相等，可求出∠CAB的度数，即可动点∠ABC的度数，然后利用圆内接四边形的性质可求出∠ADC的度数.
11．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接OE，找 的中点F， 连接EF， CF，
∵半径OC⊥AB，
∴∠COA=∠COB=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∵四边形AECB是半圆O的内接四边形，
∴∠AEC+∠ABC=180°，
∴∠AEC = 180°--∠ABC =135°，
∵ED是OC的中垂线，
∴EO=EC，
∵OE=OC，
∴EO= EC =OC，
∴△OEC是等边三角形，
∴∠EOC =∠ECO=60°，
∴∠ECB=∠ECO+∠OCB=105°，∠AOE=∠AOC-∠EOC =30°，
∴∠EOC =2∠AOE，
∴EF=CF= AE，
在△EFC中， EF+CF>CE，
∴AE+AE>CE，
∴2AE>CE，
所以，上述结论错误的是EC =2EA，
故答案为：D.
【分析】
连接OE，找 的中点F， 连接EF， CF， 从而可得 根据垂直定义可得：∠COA=∠COB=90°， 从而可得∠OCB=∠OBC =45°， 然后根据圆内接四边形对角互补可得：∠AEC =135°，再根据中垂线的性质可得EO=EC， 从而可得EO= EC=OC，进而可得△OEC是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得∠EOC=∠ECO=60°， 从而可得∠ECB=105°， ∠AOE =30°， 进而可得∠EOC =2∠AOE， 再根据圆心角、弧、弦的关系可得：EF=CF =AE，从而利用三角形的三边关系可得： EF+CF>CE， 进而可得2AE>CE， 即可解答.
12．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，作交的延长线于，作交于，
，
则，
平分，，，
，
四边形是圆的内接四边形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
是圆的直径，
，
平分，
，
、是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】作DE⊥CB，交CB的延长线于E，作DF⊥AC，交AC于F，由角平分线上的点到角两边的距离相等可得DF=DE，由圆内接四边形的对角互补、领补角及同角的补角相等得∠DAF=∠DBE，从而用AAS判断出△DAF≌△DBE，由全等三角形的对应边相等得AF=BE；由直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，由角平分线的定义可得∠FCD=∠ECD=45°，从而可得△CFD与△ECD都是等腰直角三角形，则可得DF=CF=DE=CE，根据线段的和差可得CE=1+BE，CF=2-AF，从而可建立方程求出，再由线段和差求出CF的长，进而根据勾股定理算出CD即可.
13．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠ADC =180°，
∵∠B=66°，
∴∠ADC =180°-66°=114，
∵=，
∴AD=CD，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠ADC，根据圆心角、弧、弦的关系得到AD=CD，再根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可.
14．【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】连接OA、OF、OB，如下图：
∵
∴
∵
∴△AOF是等边三角形．
∵正方形ABCD内接于
∴∠AOB=90°
∵AB=10
∴在Rt△AOB中，
∴
故答案为：
【分析】
本题考查圆周角定理，圆心角与圆周角的关系，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，熟知同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍和等腰直角三角形三边关系为是解题关键．
根据同弧所对的圆心角是圆周角的两倍可知：∠AOF=2∠ADF=60°，根据同圆中半径相等可知：OA=OF，再根据等边三角形的判定定理可知：△AOF是等边三角形，即AF=AO，再根据圆内接四边形的性质可知：∠AOB=90°，再根据等腰直角三角形三边关系为可知：，等量代换可得：，由此可得出答案．
15．【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形为的内接四边形，，
，
是的内接四边形的外角，
．
故答案为：．
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，再根据圆内接四边形的一个外角等于它的内对角即可求出答案.
16．【答案】①②④
【知识点】三角形全等及其性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：延长CA到点F，使AF=BC，连接DF
∵AB是的直径
∴∠ACB=90°
∵弦CD平分圆周角∠ACB
∴∠ACD=∠BCD=45°
∴∠ABD=∠ACD=45°，∠BAD=∠BCD=45°
∴∠ABD=∠BAD
∴AD=BD
∵AB是的直径
∴∠ADB=90°
∴△ABD是等腰直角三角形，①②正确
∵四边形ADBC是的内接四边形
∴∠FAD=∠DBC
在△FAD和△CBD中
∴△FAD≌△CBD（SAS）
∴FD=CD，∠ADF=∠BDC
∵∠ADC+∠BDC=90°
∴∠ADC+∠ADF=90°
∴∠FDC=90°
∴△CDF是等腰直角三角形
∴
∴
，③错误，④正确
故答案为：①②④
【分析】延长CA到点F，使AF=BC，连接DF，根据圆周角定理可得∠ACB=90°，∠ACD=∠BCD=45°，则∠ABD=∠ACD=45°，∠BAD=∠BCD=45°，即∠ABD=∠BAD，根据等角对等边可得AD=BD，再根据等腰直角三角形判定定理可得△ABD是等腰直角三角形，则①②正确，根据圆内接四边形性质可得∠FAD=∠DBC，再根据全等三角形判定定理可得△FAD≌△CBD（SAS），则FD=CD，∠ADF=∠BDC，再根据等腰直角三角形判定定理可得△CDF是等腰直角三角形，则，再根据，结合三角形面积即可求出答案.
17．【答案】（1）解：∵BD为直径，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∵CD=12cm，BC=5cm，
∴BD=13（cm），
∵AC平分∠BCD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴AB=AD，
∴AB=AD=BD=，故AB的长为．
（2）证明：将△ACD绕点A顺时针旋转90°后可得△ABC'，
由旋转性质可得：△ACD△ABC'，∠CAC'=90°，CA=C'A，
∴AC'=AC，CD=BC'，∠ADC=ABC'，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC+∠AD'B=180°，
又∵∠CAC'=90°，CA=C'A，
∴△C'AC是等腰直角三角形，
∴CC'=，
∴BC+C'B=，
∴BC+CD=．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；旋转的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得∠BAD=∠BCD=90°，根据勾股定理可得BD，再根据角平分线定义可得∠ABD=∠ADB=45°，则AB=AD，再根据等腰直角三角形性质即可求出答案.
（2）将△ACD绕点A顺时针旋转90°后可得△ABC'，根据旋转性质可得△ACD△ABC'，∠CAC'=90°，CA=C'A，则AC'=AC，CD=BC'，∠ADC=ABC'，根据圆内接四边形性质可得∠ABC+∠ADC=180°，则∠ABC+∠AD'B=180°，再根据等腰直角三角形判定定理可得△C'AC是等腰直角三角形，则CC'=，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：∵BD为直径，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∵CD=12cm，BC=5cm，
∴BD=13（cm），
∵AC平分∠BCD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴AB=AD，
∴AB=AD=BD=，故AB的长为．
（2）证明：将△ACD绕点A顺时针旋转90°后可得△ABC'，
由旋转性质可得：△ACD△ABC'，∠CAC'=90°，CA=C'A，
∴AC'=AC，CD=BC'，∠ADC=ABC'，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC+∠AD'B=180°，
又∵∠CAC'=90°，CA=C'A，
∴△C'AC是等腰直角三角形，
∴CC'=，
∴BC+C'B=，
∴BC+CD=．
18．【答案】（1）证明：连接，如图所示，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接．
∵，
∴是的直径，
∴，
由（1）可得．
∵，
∴．
∴在中，，
在中，．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）连接，根据，推出，根据，得到，根据圆内接四边形性质得到，得到，于是可利用AAS推出，从而可得结论；
（2）证明是的直径，得到，根据，得到AB的长．根据勾股定理得到BD长，再根据等腰直角三角形性质即可得CD的长．
（1）证明：如图，连接．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接．
∵，
∴是的直径，
∴，
由（1）可得．
∵，
∴．
∴在中，，
在中，．
19．【答案】（1）证明：连，，
是的直径
（2）解：延长交于点
设半径为由得：
为直径
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】 (1)先说明，可得到，结合 与互余，可说明，从而有，就可说明 ；
(2)连OB，延长D0交BC于点E，由垂径定理得： OE⊥BC， BE=CE=BC=2，在Rt△DEC中、在Rt△OEC中和在Rt△ABC中，利用勾股定理即可求解.
20．【答案】（1）证明：连结DF，DG
因为
∴∠ADF=∠CDG
（2）解：连结，
同（1）可得，且，
四边形EFGH是的内接四边形，
，
，，
，
．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】本题考查圆周角定理及圆内接四边形对角互补；
（1）根据，利用圆周角定理及同弧所对的圆周角相等可得： ，再利用外角的性质可得：，再进行等量代换可证明结论；
（2）利用（1）的结论可得，且，再利用圆内接四边形的性质可得：，利用三角形外角性质可得：，，再代入数据进行计算可求出 x，y，m之间的数量关系
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADB+∠ACB＝180°
∵∠ADB+∠ADE＝180°，
∴∠ACB＝∠ADE；
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
又∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠ADE，
∴DA平分∠EDC.
（2）解：如图，连接OB、OC，
由（1）得：∠ADC＝∠ADE=∠ABC=∠ACB，
∵∠ADE=72°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-72°-72°=36°，
∴∠BOC=2∠BAC=72°，
∴的度数为72°.
答：的度数为72°.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）由圆的内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”可得∠ADB+∠ACB＝180°，结合邻补角的定义可得∠ACB＝∠ADE．再由等腰三角形的性质和圆周角定理可得∠ADC＝∠ADE，根据角平分线的定义即可求解；
（2）连接OB、OC，有（1）可得∠ADE＝∠ACB＝∠ABC＝72°，再由三角形内角和定理求出的度数，最后根据圆周角定理“同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半”即可求出的大小，然后根据圆心角定理“在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等”即可求解．
（1）∵四边形ABCD内接于，
∴∠ADB+∠ACB＝180°
∵∠ADB+∠ADE＝180°，
∴∠ACB＝∠ADE．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
又∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠ADE，即DA平分∠EDC；
（2）由（1）得∠ADE＝∠ACB＝∠ABC＝72°，
∴，
∴，
∴的度数为72°．
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