3.8 《弧长及扇形的面积》（2）—浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础夯实
1．（2025九上·新昌期末）半径为3，圆心角为的扇形面积为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意，扇形的面积为：；
故答案为：D．
【分析】根据扇形的面积公式进行求解即可．
2．（2023九上·滨江期末）已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（ ）
A．24 B．22 C．12 D．6
【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：，即，解得.
故答案为：A
【分析】根据S扇形=lr进行计算可得r的值.
3．半径为6，圆心角为60°的扇形面积为( )
A．2π B．6π C．12π D．36π
【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：扇形的面积：=6π.
故答案为：B.
【分析】利用扇形的面积公式计算即可.
4．（2022九上·杭州月考）若一个扇形的圆心角是90°，面积为π，则这个扇形的半径是（ ）
A．2 B．4 C．2π D．4π
【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意可得：，
∴扇形的半径为2，
故答案为：A.
【分析】直接根据扇形的面积公式“”建立方程，计算即可.
5．（2022九上·北仑期中）如图，为了美化校园，学校在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角∠AOB＝120°，半径OA为3m，那么花圃的面积为（ ）
A．6πm2 B．3πm2 C．2πm2 D．πm2
【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵扇形花圃的圆心角∠AOB＝120°，半径OA为3cm，
∴花圃的面积为＝3π，
故答案为：B.
【分析】根据扇形的面积公式进行计算即可.
6．（2023九上·萧山期末）如图，在矩形中，，．以为圆心，为半径作圆弧，交的延长线于点，连接，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形，，，
∴BE=AB=2，BC=AD=4，∠ABC=90°，
∴EC=BE+BC=6，∠ABE=90°，
，
故答案为：C．
【分析】先根据矩形的性质得BE=AB=2，BC=AD=4，∠ABC=90°，从而得EC=6，∠ABE=90°，进而将“不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和差”，即，利用扇形、矩形、三角形面积公式代入数据进行计算即可得出答案.
7．（2023九上·瓯海期中）如图，ABCD是正方形，边长为2，以B为圆心，以BA为半径画弧，则阴影面积为 ．
【答案】4-π
【知识点】正方形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵正方形的边长为2，
∴．
故答案为：．
【分析】根据割补法求面积得，然后根据扇形和正方形面积公式，进行计算即可．
8．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD=30°，OA=2，则阴影部分的面积是 ．
【答案】
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵∠BCD=30°，
∴∠BOD=60°，
∵AB是⊙O的直径，CD是弦，OA=2，
∴阴影部分的面积是： ，
故答案为： ．
【分析】根据圆周角定理可以求得∠BOD的度数，然后根据扇形面积公式即可解答本题．
9．（2025九上·钱塘期末）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径的与相交于点，连接．
（1）求的度数．
（2）若，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：，，
．
，
，
．
（2）过点作的垂线，垂足为，
，，
是等边三角形，
，．
又，
，
，
．
又，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）先求出的度数，根据等边对等角可得，然后利用外角性质解题．
（2）过点作的垂线，然后求出△ACD的面积，再根据计算即可．
（1）解：，，
．
，
，
．
（2）过点作的垂线，垂足为，
，，
是等边三角形，
，．
又，
，
，
．
又，
．
二、能力提升
10．如图，在△ABC中，AB=2，现将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ABC，点C在AB上，则图中阴影部分的面积为( )
A．π B．π C．π D．π
【答案】D
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解： 绕点A逆时针旋转 得到 则
故答案为：D.
【分析】利用旋转的性质得到∴ 则然后根据扇形的面积公式计算.
11．（2024九上·柯城期中）如图，在正方形中，，以B为圆心，为半径作圆弧，交的延长线于点E，连结．则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在正方形中，，，
，，，
，
，
故选：D．
【分析】设AB交DE于点O，则由圆的概念和正方形的性质可证，则阴影部分面积等于扇形ABE的面积，再直接利用扇形面积公式计算即可．
12．（2025九上·江北期末）如图，弓形的弓高 为 1 ，弦长 为 ，则此弓形（阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：令扇形所在圆的半径为r，
则
因为 于点D，且
所以
在 中，
解得
所以
所以
所以
又因为
所以
所以
又因为 ，
所以
故答案为： B.
【分析】先利用垂径定理及勾股定理求出半径，再分别求出扇形OAB及 的面积即可解决问题.
13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，连结OC，DB．如果OC∥DB，OC=，那么图中阴影部分的面积是( )
A．π B．2π C．3π D．4π
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OD， BC，
∵CD⊥AB， OC=OD，
∴DM=CM，
∠COB=∠BOD，
∵OC∥BD，
∴∠COB=∠OBD，
∴∠BOD=∠OBD，
∴OD=DB，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∴∠BOC=60°，
∵DM=CM，
∵OC∥DB，
∴图中阴影部分的面积=扇形COB的面积
故答案为：B.
【分析】连接OD，BC，根据垂径定理和等腰三角形的性质得到DM =CM， ∠COB=∠BOD， 推出△BOD是等边三角形， 得到∠BOC =60°， 根据扇形的面积公式即可得到结论.
14．如图，扇形AOB的圆心角是45°，正方形CDEF的顶点分别在OA，OB和上．若OD=2，则图中阴影部分的面积为( )
A．π-4 B．π-6 C．π-6 D．π-4
【答案】B
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵∠O=45°，四边形CDEF是正方形，
∴∠CDO=90°，△COD是等腰直角三角形，
∴DE=EF=OD=2．
连结OF，如图．
在Rt△EOF中，OE=4，EF=2，
∴OF=
∴扇形AOB的面积是
正方形CDEF的面积是2×2=4，
等腰三角形COD的面积是×2×2=2，
∴阴影部分的面积是号-4-2=-6．
故答案为：B.
【分析】连结OF，得到△COD是等腰直角三角形，即可得到正方形的边长，然后根据勾股定理求出扇形的半径，根据 阴影部分的面积为扇形的面积减去正方形和直角三角形的面积计算解题.
15．（2021九上·鹿城期末）已知一个扇形的半径长是4cm，圆心角为45°，则这个扇形的面积是 cm2.
【答案】2π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】∵扇形的半径长是4cm，圆心角为45°，
∴扇形的面积为： .
故答案为：2π.
【分析】根据扇形面积公式，代入数值进行计算即可.
16．（2024九上·杭州开学考）某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分（含边界）时，该顾客可获奖品一份，那么该顾客获奖的概率是 ．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算；几何概率
【解析】【解答】解：根据题意，得阴影部分的面积为，
∴该顾客获奖的概率为，
故答案为：．
【分析】先求出阴影部分的面积，然后根据该顾客获奖的概率等于阴影部分面积与圆面积的比．即可求解.
17．（2025九上·上城开学考）如图，在菱形中，，，以为圆心，为半径画弧，交于点，过点作交于点，则阴影部分的面积为 ．（结果保留根号与）
【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，过点作于，
∵四边形是菱形，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据画图可知，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】过点作于，根据菱形的性质得，，，由平行线的性质得，从而得，然后根据画图可知，由平行线性质得，进而得，于是根据等腰三角形的判定推出，接下来根据等腰三角形”三线合一“性质得，利用含30°的直角三角形的性质得，则利用勾股定理求出，最后利用扇形面积以及三角形面积公式得的值即可.
18．（2025九上·杭州期末）如图，等腰三角形的顶角，以腰为直径作半圆，交于点D，交于点E，连结和．若，则阴影部分面积为 ．
【答案】
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接，如图，
∵是等腰三角形，，，
，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
过点作则，
∴，
∴
过点作于点，则四边形是矩形，
所以，，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】连接，由可得是等腰直角三角形，即可得到，过点作得到，过点作于点，则是矩形，即可得到，然后根据解题即可．
19．（2025九上·慈溪期末）如图，在 中， 。以 为直径的 交 于点 ，交 的延长线于点 ，连结 。
（1）求 的度数。
（2）若 ，求图中阴影部分的面积。
【答案】（1）解： 为直径，
（2）解：作 ，垂足为 ．则 ．
．而 ，
是等边三角形．
．
阴影部分的面积
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】(1)先求出∠AEC的度数，再得出∠DEC的度数；
(2)求出扇形COD的面积和△COD的面积，即可得到阴影部分的面积.
20．（2024九上·杭州期中）如图，在中，，点E在上，经过A，B，E三点的圆交于点D，且D是的中点．
（1）求证：是圆的直径．
（2）连结，若，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：如图1，连接，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是圆的直径；
（2）解：如图1，连接，过点作于，
由（1）得是圆的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为．
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；扇形面积的计算；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理得，由等腰三角形“三线合一”性质得，最后根据90°的圆周角所对的弦是直径即可得证结论；
（2）连接，过点作于，根据直径所对的圆周角是直角得，由等腰三角形“等边对等角”性质得，从而利用三角形内角和定理得，，然后根据含30°的直角三角形的性质以及勾股定理依次得，，，接下来证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得，，最后结合三角形面积以及扇形面积公式求出的值.
（1）证明：如图1，连接，
∵D是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是圆的直径．
（2）解：如图1，连接，作于，
∵是圆的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
由勾股定理得，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为．
21．（2024九上·婺城开学考）如图，在中，，以为直径的交于点，交的延长线于点．
（1）求证：点为线段的中点．
（2）若，，求的半径及阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：连结，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
即点D为线段BC的中点；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
设，则
，
解得：（舍去），，
∴的半径为3，
连接，
∴OE=OA=AE=3，
∴是等边三角形，
∴
∴边上的高为，
∴，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；扇形面积的计算；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连结AD，由直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=90°，然后根据等腰三角形三线合一的性质即可得证点D为线段BC的中点；
（2）由同弧所对的圆周角相等得∠B=∠AED，再结合∠C=∠C，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ABC∽△DEC，由相似三角形对应边成比例得到，由等角对等边得ED=DC=BD，从而可得，设，从而代入可得关于字母x的方程，解方程即可求得的半径，连接OE，由三边相等的三角形是等边三角形可证△AOE是等边三角形，在△AOE中解直角三角形可求出AE边上的高，最后结合扇形面积计算公式，根据即可求出阴影部分的面积.
（1）连结，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
即点为线段的中点．
（2）∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
设，则
，
解得：（舍去），，
∴的半径为3，
连接，
∴，
∴是等边三角形，
∴边上的高为，
∴，
三、综合拓展
22．“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为2cm的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形(阴影部分)就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积为 cm2．(结果保留π)
【答案】(2π-)
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：过A作AD⊥BC于D，
∵AB=AC =BC =2厘米，
∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD=1厘米，AD=BD=厘兴，
∴△ABC的面积为BC·AD=(厘米2)，
S扇形BAC =(厘米2)，
∴莱洛三角形的面积
S=3×-2×=(2π-)厘米2；
故答案为：(2π-).
【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成其面积等于三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可.
23．（2023九上·海曙月考）定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”．
（1）如图1，AB是⊙O的一条弦（非直径），若⊙O在上找一点C，使得△ABC是“圆等三角形”，则这样的点C能找到 个．
（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连结对角线BD，△ABD和△BCD均为“圆等三角形”，且AB=AD．
①当∠A=140°时，求∠ADC的度数；
②如图3，当∠A=120°，AB=6时，求阴影部分的面积．
【答案】（1）4
（2）解：①∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴
①当时，
∵
∴
∴
②当时，
∴
∴
③当时，
∴
综上所述，∠ADC的度数可能为：90°，120°，60°，
②连接OA、OB、OC，过点E作OE⊥BC，如下图：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴
∵△BCD均为“圆等三角形”，
∴为等边三角形，
∴
∵
∴
∵
∴为等边三角形，
∴
在中，
∴
扇形BOC的面积：
∴阴影部分的面积为：.
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：（1）图下图：
∴这样的点C能找到4个，
故答案为：4.
【分析】（1）根据圆等三角形的定义，即可求解；
（2）①根据圆内接四边形和已知条件求出的度数，再分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，分别根据三角形内角和定理即可求解；
②连接OA、OB、OC，过点E作OE⊥BC，根据圆内接四边形和已知条件求出的度数，根据圆等三角形的定义得到为等边三角形，根据圆周角定理得到的度数，即可证明为等边三角形，根据含30°角的直角三角形求出OE和BE的长，进而求出的面积和扇形BOC的面积，即可求出阴影部分面积.
1 / 13.8 《弧长及扇形的面积》（2）—浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础夯实
1．（2025九上·新昌期末）半径为3，圆心角为的扇形面积为（ ）
A． B． C．3 D．
2．（2023九上·滨江期末）已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（ ）
A．24 B．22 C．12 D．6
3．半径为6，圆心角为60°的扇形面积为( )
A．2π B．6π C．12π D．36π
4．（2022九上·杭州月考）若一个扇形的圆心角是90°，面积为π，则这个扇形的半径是（ ）
A．2 B．4 C．2π D．4π
5．（2022九上·北仑期中）如图，为了美化校园，学校在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角∠AOB＝120°，半径OA为3m，那么花圃的面积为（ ）
A．6πm2 B．3πm2 C．2πm2 D．πm2
6．（2023九上·萧山期末）如图，在矩形中，，．以为圆心，为半径作圆弧，交的延长线于点，连接，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·瓯海期中）如图，ABCD是正方形，边长为2，以B为圆心，以BA为半径画弧，则阴影面积为 ．
8．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD=30°，OA=2，则阴影部分的面积是 ．
9．（2025九上·钱塘期末）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径的与相交于点，连接．
（1）求的度数．
（2）若，求图中阴影部分的面积．
二、能力提升
10．如图，在△ABC中，AB=2，现将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ABC，点C在AB上，则图中阴影部分的面积为( )
A．π B．π C．π D．π
11．（2024九上·柯城期中）如图，在正方形中，，以B为圆心，为半径作圆弧，交的延长线于点E，连结．则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．（2025九上·江北期末）如图，弓形的弓高 为 1 ，弦长 为 ，则此弓形（阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，连结OC，DB．如果OC∥DB，OC=，那么图中阴影部分的面积是( )
A．π B．2π C．3π D．4π
14．如图，扇形AOB的圆心角是45°，正方形CDEF的顶点分别在OA，OB和上．若OD=2，则图中阴影部分的面积为( )
A．π-4 B．π-6 C．π-6 D．π-4
15．（2021九上·鹿城期末）已知一个扇形的半径长是4cm，圆心角为45°，则这个扇形的面积是 cm2.
16．（2024九上·杭州开学考）某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分（含边界）时，该顾客可获奖品一份，那么该顾客获奖的概率是 ．
17．（2025九上·上城开学考）如图，在菱形中，，，以为圆心，为半径画弧，交于点，过点作交于点，则阴影部分的面积为 ．（结果保留根号与）
18．（2025九上·杭州期末）如图，等腰三角形的顶角，以腰为直径作半圆，交于点D，交于点E，连结和．若，则阴影部分面积为 ．
19．（2025九上·慈溪期末）如图，在 中， 。以 为直径的 交 于点 ，交 的延长线于点 ，连结 。
（1）求 的度数。
（2）若 ，求图中阴影部分的面积。
20．（2024九上·杭州期中）如图，在中，，点E在上，经过A，B，E三点的圆交于点D，且D是的中点．
（1）求证：是圆的直径．
（2）连结，若，，求阴影部分的面积．
21．（2024九上·婺城开学考）如图，在中，，以为直径的交于点，交的延长线于点．
（1）求证：点为线段的中点．
（2）若，，求的半径及阴影部分的面积．
三、综合拓展
22．“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为2cm的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形(阴影部分)就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积为 cm2．(结果保留π)
23．（2023九上·海曙月考）定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”．
（1）如图1，AB是⊙O的一条弦（非直径），若⊙O在上找一点C，使得△ABC是“圆等三角形”，则这样的点C能找到 个．
（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连结对角线BD，△ABD和△BCD均为“圆等三角形”，且AB=AD．
①当∠A=140°时，求∠ADC的度数；
②如图3，当∠A=120°，AB=6时，求阴影部分的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意，扇形的面积为：；
故答案为：D．
【分析】根据扇形的面积公式进行求解即可．
2．【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：，即，解得.
故答案为：A
【分析】根据S扇形=lr进行计算可得r的值.
3．【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：扇形的面积：=6π.
故答案为：B.
【分析】利用扇形的面积公式计算即可.
4．【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意可得：，
∴扇形的半径为2，
故答案为：A.
【分析】直接根据扇形的面积公式“”建立方程，计算即可.
5．【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵扇形花圃的圆心角∠AOB＝120°，半径OA为3cm，
∴花圃的面积为＝3π，
故答案为：B.
【分析】根据扇形的面积公式进行计算即可.
6．【答案】C
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形，，，
∴BE=AB=2，BC=AD=4，∠ABC=90°，
∴EC=BE+BC=6，∠ABE=90°，
，
故答案为：C．
【分析】先根据矩形的性质得BE=AB=2，BC=AD=4，∠ABC=90°，从而得EC=6，∠ABE=90°，进而将“不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和差”，即，利用扇形、矩形、三角形面积公式代入数据进行计算即可得出答案.
7．【答案】4-π
【知识点】正方形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵正方形的边长为2，
∴．
故答案为：．
【分析】根据割补法求面积得，然后根据扇形和正方形面积公式，进行计算即可．
8．【答案】
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵∠BCD=30°，
∴∠BOD=60°，
∵AB是⊙O的直径，CD是弦，OA=2，
∴阴影部分的面积是： ，
故答案为： ．
【分析】根据圆周角定理可以求得∠BOD的度数，然后根据扇形面积公式即可解答本题．
9．【答案】（1）解：，，
．
，
，
．
（2）过点作的垂线，垂足为，
，，
是等边三角形，
，．
又，
，
，
．
又，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）先求出的度数，根据等边对等角可得，然后利用外角性质解题．
（2）过点作的垂线，然后求出△ACD的面积，再根据计算即可．
（1）解：，，
．
，
，
．
（2）过点作的垂线，垂足为，
，，
是等边三角形，
，．
又，
，
，
．
又，
．
10．【答案】D
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解： 绕点A逆时针旋转 得到 则
故答案为：D.
【分析】利用旋转的性质得到∴ 则然后根据扇形的面积公式计算.
11．【答案】D
【知识点】正方形的性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在正方形中，，，
，，，
，
，
故选：D．
【分析】设AB交DE于点O，则由圆的概念和正方形的性质可证，则阴影部分面积等于扇形ABE的面积，再直接利用扇形面积公式计算即可．
12．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：令扇形所在圆的半径为r，
则
因为 于点D，且
所以
在 中，
解得
所以
所以
所以
又因为
所以
所以
又因为 ，
所以
故答案为： B.
【分析】先利用垂径定理及勾股定理求出半径，再分别求出扇形OAB及 的面积即可解决问题.
13．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OD， BC，
∵CD⊥AB， OC=OD，
∴DM=CM，
∠COB=∠BOD，
∵OC∥BD，
∴∠COB=∠OBD，
∴∠BOD=∠OBD，
∴OD=DB，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∴∠BOC=60°，
∵DM=CM，
∵OC∥DB，
∴图中阴影部分的面积=扇形COB的面积
故答案为：B.
【分析】连接OD，BC，根据垂径定理和等腰三角形的性质得到DM =CM， ∠COB=∠BOD， 推出△BOD是等边三角形， 得到∠BOC =60°， 根据扇形的面积公式即可得到结论.
14．【答案】B
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵∠O=45°，四边形CDEF是正方形，
∴∠CDO=90°，△COD是等腰直角三角形，
∴DE=EF=OD=2．
连结OF，如图．
在Rt△EOF中，OE=4，EF=2，
∴OF=
∴扇形AOB的面积是
正方形CDEF的面积是2×2=4，
等腰三角形COD的面积是×2×2=2，
∴阴影部分的面积是号-4-2=-6．
故答案为：B.
【分析】连结OF，得到△COD是等腰直角三角形，即可得到正方形的边长，然后根据勾股定理求出扇形的半径，根据 阴影部分的面积为扇形的面积减去正方形和直角三角形的面积计算解题.
15．【答案】2π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】∵扇形的半径长是4cm，圆心角为45°，
∴扇形的面积为： .
故答案为：2π.
【分析】根据扇形面积公式，代入数值进行计算即可.
16．【答案】
【知识点】扇形面积的计算；几何概率
【解析】【解答】解：根据题意，得阴影部分的面积为，
∴该顾客获奖的概率为，
故答案为：．
【分析】先求出阴影部分的面积，然后根据该顾客获奖的概率等于阴影部分面积与圆面积的比．即可求解.
17．【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，过点作于，
∵四边形是菱形，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据画图可知，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】过点作于，根据菱形的性质得，，，由平行线的性质得，从而得，然后根据画图可知，由平行线性质得，进而得，于是根据等腰三角形的判定推出，接下来根据等腰三角形”三线合一“性质得，利用含30°的直角三角形的性质得，则利用勾股定理求出，最后利用扇形面积以及三角形面积公式得的值即可.
18．【答案】
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接，如图，
∵是等腰三角形，，，
，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
过点作则，
∴，
∴
过点作于点，则四边形是矩形，
所以，，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】连接，由可得是等腰直角三角形，即可得到，过点作得到，过点作于点，则是矩形，即可得到，然后根据解题即可．
19．【答案】（1）解： 为直径，
（2）解：作 ，垂足为 ．则 ．
．而 ，
是等边三角形．
．
阴影部分的面积
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】(1)先求出∠AEC的度数，再得出∠DEC的度数；
(2)求出扇形COD的面积和△COD的面积，即可得到阴影部分的面积.
20．【答案】（1）证明：如图1，连接，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是圆的直径；
（2）解：如图1，连接，过点作于，
由（1）得是圆的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为．
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；扇形面积的计算；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理得，由等腰三角形“三线合一”性质得，最后根据90°的圆周角所对的弦是直径即可得证结论；
（2）连接，过点作于，根据直径所对的圆周角是直角得，由等腰三角形“等边对等角”性质得，从而利用三角形内角和定理得，，然后根据含30°的直角三角形的性质以及勾股定理依次得，，，接下来证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得，，最后结合三角形面积以及扇形面积公式求出的值.
（1）证明：如图1，连接，
∵D是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是圆的直径．
（2）解：如图1，连接，作于，
∵是圆的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
由勾股定理得，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为．
21．【答案】（1）证明：连结，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
即点D为线段BC的中点；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
设，则
，
解得：（舍去），，
∴的半径为3，
连接，
∴OE=OA=AE=3，
∴是等边三角形，
∴
∴边上的高为，
∴，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；扇形面积的计算；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连结AD，由直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=90°，然后根据等腰三角形三线合一的性质即可得证点D为线段BC的中点；
（2）由同弧所对的圆周角相等得∠B=∠AED，再结合∠C=∠C，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ABC∽△DEC，由相似三角形对应边成比例得到，由等角对等边得ED=DC=BD，从而可得，设，从而代入可得关于字母x的方程，解方程即可求得的半径，连接OE，由三边相等的三角形是等边三角形可证△AOE是等边三角形，在△AOE中解直角三角形可求出AE边上的高，最后结合扇形面积计算公式，根据即可求出阴影部分的面积.
（1）连结，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
即点为线段的中点．
（2）∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
设，则
，
解得：（舍去），，
∴的半径为3，
连接，
∴，
∴是等边三角形，
∴边上的高为，
∴，
22．【答案】(2π-)
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：过A作AD⊥BC于D，
∵AB=AC =BC =2厘米，
∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD=1厘米，AD=BD=厘兴，
∴△ABC的面积为BC·AD=(厘米2)，
S扇形BAC =(厘米2)，
∴莱洛三角形的面积
S=3×-2×=(2π-)厘米2；
故答案为：(2π-).
【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成其面积等于三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可.
23．【答案】（1）4
（2）解：①∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴
①当时，
∵
∴
∴
②当时，
∴
∴
③当时，
∴
综上所述，∠ADC的度数可能为：90°，120°，60°，
②连接OA、OB、OC，过点E作OE⊥BC，如下图：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴
∵△BCD均为“圆等三角形”，
∴为等边三角形，
∴
∵
∴
∵
∴为等边三角形，
∴
在中，
∴
扇形BOC的面积：
∴阴影部分的面积为：.
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：（1）图下图：
∴这样的点C能找到4个，
故答案为：4.
【分析】（1）根据圆等三角形的定义，即可求解；
（2）①根据圆内接四边形和已知条件求出的度数，再分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，分别根据三角形内角和定理即可求解；
②连接OA、OB、OC，过点E作OE⊥BC，根据圆内接四边形和已知条件求出的度数，根据圆等三角形的定义得到为等边三角形，根据圆周角定理得到的度数，即可证明为等边三角形，根据含30°角的直角三角形求出OE和BE的长，进而求出的面积和扇形BOC的面积，即可求出阴影部分面积.
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