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浙教版九上一周一测（十一）第4章《相似三角形》单元综合测试（B）
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A A D C B D A D
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知c是a和b的比例中项，a＝2，b＝18，则c＝（ ）
A．±6 B．6 C．4 D．±3
【思路点拨】根据比例中项的概念可知c2＝ab，将a和b的值代入即可求出答案．
【解答】解：根据比例中项的概念得：c2＝ab＝2×18，
即c2＝36，
∴c＝±6．
故选：A．
2．（3分）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．若一个黄金矩形的两条邻边分别为a，b，下列数据中能构成黄金矩形的是（ ）
A．a＝4，b2 B．a＝4，b2
C．a＝2，b D．a＝2，b1
【思路点拨】由黄金矩形的定义分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵，
∴选项A数据不能构成黄金矩形，故选项A不符合题意；
B、∵，
∴选项B数据不能构成黄金矩形，故选项B不符合题意；
C、∵，
∴选项C数据不能构成黄金矩形，故选项C不符合题意；
D、∵，
∴选项D数据能构成黄金矩形，故选项D符合题意；
故选：D．
3．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为位似中心，在y轴右侧作△ABO放大2倍后的位似图形△CDO，若点B的坐标为（﹣1，﹣2），则点B的对应点D的坐标为（ ）
A．（2，4） B．（3，4） C．（3，5） D．（4，3）
【思路点拨】根据位似变换的性质解答即可．
【解答】解：∵以坐标原点O为位似中心，在y轴右侧作△ABO放大2倍后的位似图形△CDO，点B的坐标为（﹣1，﹣2），
∴点B的对应点D的坐标为（﹣1×（﹣2），﹣2×（﹣2）），即（2，4），
故选：A．
4．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，F为BC的中点，延长AD至点E，使DE：AD＝1：3，连接EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG等于（ ）
A．4：9 B．2：3 C．9：4 D．3：2
【思路点拨】根据相似三角形的性质以及平行四边形的性质即可求出答案．
【解答】解：设DE＝x，AD＝3x，
在 ABCD中，
∴AD＝BC＝3x，
∵点F为BC的中点，
∴CF，
∵DE∥BC，
∴△DEG∽△CFG，
∴（）2＝（）2，
故选：A．
5．（3分）如图，△ABC∽△A'B′C′，下列说法正确的是（ ）
A．∠B＝∠C′ B．S△ABC＝2S△A′B'C'
C．AC＝4A'C' D．A'B′＝6
【思路点拨】根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC∽△A'B′C′，AB＝12，BC＝2a，B'C'＝a，
∴∠B＝∠B'，S△ABC：S△ABC4，AC＝2A'C'，A'B'AB6．
故A、B、C错误，D正确；
故选：D．
6．（3分）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B．若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为（ ）
A．2a B．a C．3a D．a
【思路点拨】证明△ACD∽△BCA，根据相似三角形的性质求出△BCA的面积为4a，计算即可．
【解答】解：∵∠CAD＝∠B，∠ACD＝∠BCA，
∴△ACD∽△BCA，
∴（）2，即，
解得，△BCA的面积为4a，
∴△ABD的面积为：4a﹣a＝3a，
故选：C．
7．（3分）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA′＝1，则A′D等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【思路点拨】由S△ABC＝16、S△A′EF＝9且AD为BC边的中线知S△A′DES△A′EF，S△ABDS△ABC＝8，根据△DA′E∽△DAB知（）2，据此求解可得．
【解答】解：设A′B′交BC于E，A′C′交BC于F．
∵S△ABC＝16、S△A′EF＝9，且AD为BC边的中线，
∴S△A′DES△A′EF，S△ABDS△ABC＝8，
∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，
∴A′E∥AB，
∴△DA′E∽△DAB，
则（）2，即（）2，
解得A′D＝3或A′D（舍），
故选：B．
8．（3分）如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC、AB于D、E两点，连接BD、DE．若BD平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．BD⊥AC B．AC2＝2AB AE
C．△ADE是等腰三角形 D．BC＝2AD
【思路点拨】利用圆周角定理可得A正确；证明△ADE∽△ABC，可得出B正确；由B选项的证明，即可得出C正确；利用排除法可得D不一定正确．
【解答】解：∵BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
∴BD⊥AC，故A正确；
∵BD平分∠ABC，BD⊥AC，
∴△ABC是等腰三角形，AD＝CD，
∵四边形BCDE是圆内接四边形，
∴∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE是等腰三角形，
∴AD＝DE＝CD，
∴，
∴AC2＝2AB AE，故B正确；
由B的证明过程，可得C选项正确．
故选：D．
9．（3分）如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD四条边上的点，连结EF，GH相交于点I，且GH∥AD，EF∥AB，矩形BFIG∽矩形EIHD，连接AC交GH，EF于点P，Q．下列一定能求出△DPQ面积的条件是（ ）
A．矩形BFIG和矩形EIHD的面积之差
B．矩形ABCD与矩形BFIG的面积之差
C．矩形BFIG和矩形FCHI的面积之差
D．矩形BFIG和矩形EIGA的面积之差
【思路点拨】设BF＝a，BG＝b，根据矩形BFIG∽矩形EIHD，得DE＝ka，DH＝kb，根据S△DPQ＝S△ADC﹣S△ADP﹣S△DQC代入计算可解答．
【解答】解：设BF＝a，BG＝b，
∵矩形BFIG∽矩形EIHD，
则DE＝ka，DH＝kb，
∴AD＝AE+DE＝BF+DE＝a+ka，DC＝DH+HC＝DH+BG＝b+kb，
∴S△DPQ＝S△ADC﹣S△ADP﹣S△DQC
AD DCAD DHDC DE
（a+ka）（b+kb）（a+ka） kb（b+kb） ak
（ab﹣k2ab），
∵矩形BFIG和矩形EIHD的面积之差＝ab﹣ka kb＝ab﹣k2ab，
∴一定能求出△DPQ面积的条件是矩形BFIG和矩形EIHD的面积之差．
故选：A．
10．（3分）如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F．已知S△AEF＝4，则下列结论：①；②S△BCE＝36，③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD，其中一定正确的是（ ）
A．①②③④ B．①④ C．②③④ D．①②③
【思路点拨】根据平行四边形的性质得到AECE，根据相似三角形的性质得到，等量代换得到AFAD，于是得到；故①正确；根据相似三角形的性质得到S△BCE＝36；故②正确；根据三角形的面积公式得到S△ABE＝12，故③正确；由于△AEF与△ADC只有一个角相等，于是得到△AEF与△ACD不一定相似，故④错误．
【解答】解：∵在 ABCD中，AOAC，
∵点E是OA的中点，
∴AECE，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CBE，
∴，
∵AD＝BC，
∴AFAD，
∴；故①正确；
∵S△AEF＝4，（）2，
∴S△BCE＝36；故②正确；
∵，
∴，
∴S△ABE＝12，故③正确；
∵BF不平行于CD，
∴△AEF与△ADC只有一个角相等，
∴△AEF与△ACD不一定相似，故④错误，
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）大自然巧夺天工，一片小小树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AP的长度为8cm，那么AB的长度是 ．
【思路点拨】根据黄金分割的定义及黄金比即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为点P是AB的黄金分割点，且AP＞PB，
所以，
又因为AP＝8cm，
所以ABcm．
故答案为：（）cm．
12．（3分）如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，点C，D分别是OA，OB的中点，若CD＝4cm，则该工件内槽宽AB的长为 8 cm．
【思路点拨】根据三角形中位线定理即可得到结论．
【解答】解：∵点C，D分别是OA，OB的中点，
∴CD是△AOB的中位线，
∴AB＝2CD，
∵CD＝4cm，
∴AB＝2CD＝8（cm），
故答案为：8．
13．（3分）如图，在△ABC中，DF∥EQ∥BC，且AD＝DE＝EB，△ABC被DF、EQ分成三部分，且三部分面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3＝ 1：3：5 ．
【思路点拨】根据DF∥EQ∥BC，判断出△ADF∽△AEG∽△ABC，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
【解答】解：∵DF∥EG∥BC，
∴△ADF∽△AEG∽△ABC，
又∵AD＝DE＝EB，
∴三个三角形的相似比是1：2：3，
∴面积的比是1：4：9，
设△ADF的面积是a，则△AEG与△ABC的面积分别是4a，9a，
∴S2＝3a，S3＝5a，则S1：S2：S3＝1：3：5．
故答案为：1：3：5．
14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在BA的延长线上取点E，连接OE交AD于点F．若BC＝8，CD＝5，AE＝2，则AF的长为 ．
【思路点拨】作OG∥AB交AD于点G，由平行四边形的性质得BO＝DO，则1，所以AG＝DGAD＝4，GOAB，由AE∥GO，证明△AEF∽△GOF，得，则AFAG，于是得到问题的答案．
【解答】解：作OG∥AB交AD于点G，
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，
∴BO＝DO，
∴1，
∴AG＝DG，
∵AB＝CD＝5，AD＝BC＝8，AE＝2，
∴AG＝DGAD＝4，GOAB，
∵AE∥GO，
∴△AEF∽△GOF，
∴，
∴AFAGAG4，
故答案为：．
15．（3分）如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，将△ABD沿BD翻折得到△EBD，BE与AC交于点F，设AF＝x，EF＝y．
（1）当BE⊥AC，x＝9，y＝3时，AD的长是 5 ；
（2）当BD＝BF，2x＝7y时，△DEF与△ABD的面积之比是 ．
【思路点拨】（1）设AD＝a，由勾股定理结合方程思想即可求出AD的长；
（2）证明△DEF∽△ABD，根据面积比等于相似比的平方即可求出面积之比．
【解答】解：（1）当BE⊥AC，x＝9，y＝3时，
得∠EFD＝90°，AF＝9，EF＝3，
设AD＝a，则DF＝9﹣a，
由题意可得DE＝AD＝a，
∴在Rt△EFD中，由勾股定理可得，
DF2+EF2＝DE2，
即（9﹣a）2+32＝a2，
解得：a＝5，
故AD＝5；
（2）当BD＝BF，2x＝7y时；
∵BD＝BF；
∴∠BDF＝∠BFD，
又∵∠ADB＝180°﹣∠BDF，
∠EFD＝180°﹣∠BFD，
∴∠ADB＝∠EFD，
由题意可得∠A＝∠E，
∴△EDF∽△ABD，
∴，
∵2x＝7y，
∴，
∴，
∴设EF＝2n，DF＝mn，AF＝7n，
则AD＝ED＝（7﹣m）n，
∴，
∴，
∴，
整理得：2m2﹣21m+45＝0，
解得：（不符合题意，舍去），
m2＝3，
∴ED＝4n，AB＝8n，
∴，
故△DEF与△ABD的面积之比是：．
16．（3分）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长可能是 ；或10；15或6；7 ．
【思路点拨】结合题意作出图形，分两种情况分析，利用相似求出相应的边长即可．
【解答】解：如图所示矩形ABEF，
设DF＝x，CE＝y，
∵∠FED+∠BEC＝∠FED+∠EDF＝90°，
∴∠BEC＝∠EDF，
∵∠EBC≠90°，
∴∠ECB＝90°＝∠F，△DEF∽△EBC，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
如图所示矩形ABEF，
设FC＝x，DF＝y，
∵∠DFC+∠BFE＝∠DFC+∠FDC＝90°，
∴∠BFE＝∠FDC，
∵∠DFC≠90°，
∴∠FCD＝90°＝∠E，△DCF∽△FEB，
∴，
∴，
∴FD＝10，
BF＝FC+BC＝15；
如图所示矩形ABFE，
则斜边长为CD＝6，BC＝7；
∴综上：可能是；或10；15或6；7．
故答案为：；或10；15或6；7．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，在△ABC中，D是AB边上的一点．
（1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AC于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若，DE＝4，求BC的长．
【思路点拨】（1）根据要求作出图形；
（2）利用相似三角形的性质求解．
【解答】解：（1）如图，∠ADE即为所求；
（2）∵∠ADE＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵2，DE＝4，
∴，
∴BC＝6．
18．（8分）如图所示，已知：△ABC∽△DAC，AD＝2，AC＝4，BC＝6，∠B＝36°，∠D＝117°
（1）求AB的长；
（2）求CD的长；
（3）求∠BAD的大小．
【思路点拨】（1）由△ABC∽△DAC，AD＝2，AC＝4，BC＝6，根据相似三角形的对应边成比例，即可得，则可求得AB的长；
（2）根据相似三角形的对应边成比例，即可得，则可求得DC的长；
（3）根据相似三角形的对应角相等，可得∠BAC＝∠D＝117°，∠DAC＝∠B＝36°，继而可求得∠BAD的大小．
【解答】解：（1）∵△ABC∽△DAC，
∴，
∵AD＝2，AC＝4，BC＝6，
∴
解得：AB＝3；
（2）∵△ABC∽△DAC，
∴，
即，
解得：DC；
（3）∵△ABC∽△DAC，∠B＝36°，∠D＝117°，
∴∠BAC＝∠D＝117°，∠DAC＝∠B＝36°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝117°+36°＝153°．
19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高．
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）若AC＝6，AB＝8，求AD的长．
【思路点拨】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明；
（2）根据相似三角形的性质列比例式即可得到结论．
【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB；
（2）解：由（1）知△ADC∽△ACB，
∴，
∵AC＝6，AB＝8，
∴，
∴．
20．（8分）如图，三角形ABC的两个顶点B、C在圆上，顶点A在圆外，AB、AC分别交圆于E、D两点，连接EC、BD．
（1）求证：△ABD∽△ACE；
（2）若△BEC与△BDC的面积相等，试判定三角形ABC的形状．
【思路点拨】（1）利用圆周角定理得出∠EBD＝∠ECD，再利用∠A＝∠A，得出△ABD∽△ACE；
（2）根据△BEC与△BDC的面积相等，得出所以S△ACE＝S△ABD，进而求出所以AB＝AC，得出答案．
【解答】（1）证明：∵弧ED所对的圆周角相等，
∴∠EBD＝∠ECD，
又∵∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACE；
（2）解：方法1：因为S△BEC＝S△BCD，
S△ACE＝S△ABC﹣S△BEC，S△ABD＝S△ABC﹣S△BCD，
所以S△ACE＝S△ABD，
又由（1）知△ABD∽△ACE，
所以对应边之比等于1，
所以AB＝AC，即△ABC为等腰三角形；
方法2：如图，连接DE．
因为△BEC与△BCD的面积相等，有公共底边BC，所以高相等，
即E、D两点到BC的距离相等，所以ED∥BC，
∴，
∴∠ECB＝∠DBC，
又因为∠EBD＝∠ECD，
所以∠ABC＝∠ACB，
即△ABC为等腰三角形．
21．（8分）如图，已知矩形ABCD，点E在CB延长线上，点F在BC延长线上，过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H，连结AF交EH于点G，GE＝GH．
（1）求证：BE＝CF；
（2）当，AD＝4时，求EF的长．
【思路点拨】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到GE＝GF，再根据等边对等角得出∠E＝∠GFE，根据矩形的性质得出AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°，于是可证△ABF和△DCE全等，得到BF＝CE，从而问题得证；
（2）先证△ECD∽△EFH，得出比例式，再结合已知即可求出EF的长．
【解答】（1）证明：∵FH⊥EF，
∴∠HFE＝90°，
∵GE＝GH，
∴，
∴∠E＝∠GFE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴BF＝CE，
∴BF﹣BC＝CE﹣BC，
即BE＝CF；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC⊥BC，即DC⊥EF，AB＝CD，BC＝AD＝4，
∵FH⊥EF，
∴CD∥FH，
∴△ECD∽△EFH，
∴，
∴，
∵，
∴，
设BE＝CF＝x，
∴EC＝x+4，EF＝2x+4，
∴，
解得x＝1，
∴EF＝6．
22．（10分）如图，E为AB上一点，∠A＝∠CED＝∠B，连接CD．
（1）求证：△CAE∽△EBD；
（2）若CE平分∠ACD，CD＝6，BD＝4，求DE的长．
【思路点拨】（1）首先利用已知条件证明∠DEB＝∠ACE，然后即可证明△CAE∽△EBD；
（2）利用已知条件和（1）的结论证明△CDE∽△EDB，然后利用相似三角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠A＝∠CED，
∴∠A+∠ACE＝∠CEB＝∠CED+∠DEB，
∴∠DEB＝∠ACE，
又∵∠A＝∠B，
∴△CAE∽△EBD；
（2）解：∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE，
由（1）知∠DEB＝∠ACE，
∴∠DCE＝∠DEB．
又∵∠B＝∠CED，
∴△CDE∽△EDB，
∴，
即 DE2＝CD BD，
而CD＝6，BD＝4，
∴DE2＝CD BD＝6×4＝24，
∴．
23．（10分）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．
（1）观察发现：如图1，若点P恰好在边BC上，△EBP∽ △PCD （填写一个与△EBP相似的三角形）；
（2）拓展探究：如图1，若点P恰好在边BC上，则线段AE的长为 18﹣6 ；
（3）迁移应用：如图2，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，其余条件不变，求线段BF的长．
【思路点拨】（1）先判断出∠BAD＝∠B＝∠C＝90°，再用同角的余角相等，判断出∠BEP＝∠CPD，即可得出结论；
（2）先利用勾股定理求出CP，进而求出BP，再用勾股定理，建立方程求解，即可得出结论；
（3）过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．设EG＝x，则BG＝4﹣x．证明△EGP∽△PHD，推出，推出PH＝3EG＝3x，DH＝AG＝4+x，在Rt△PHD中，由PH2+DH2＝PD2，可得（3x）2+（4+x）2＝122，求出x，再证明△EGP∽△EBF，利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，
∴∠BPE+∠BEP＝90°，
由折叠知，∠DPE＝∠BAD＝90°，
∴∠BPE+∠CPD＝90°，
∴∠BEP＝∠CPD，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△EBP∽△PCD，
故答案为：△PCD；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝8，BC＝AD＝12，
由折叠知，PE＝AE，DP＝AD＝12，
在Rt△DPC中，CP4，
∴BP＝BC﹣CP＝12﹣4，
在Rt△PBE中，PE2﹣BE2＝BP2，
∴AE2﹣（8﹣AE）2＝（12﹣4）2，
∴AE＝18﹣6，
故答案为：18﹣6；
（3）如图，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．
则四边形AGHD是矩形，
设EG＝x，则BG＝4﹣x，
∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，
∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，
∴∠EPG＝∠PDH，
∴△EGP∽△PHD，
∴，
∴PH＝3EG＝3x，DH＝AG＝4+x，
在Rt△PHD中，PH2+DH2＝PD2，
∴（3x）2+（4+x）2＝122，
解得x（负值已经舍弃），
∴BG＝4，
在Rt△EGP中，GP，
∵GH∥BC，
∴△EGP∽△EBF，
∴，
∴，
∴BF＝3．
24．（12分）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．
（2）在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．
（3）如图2，△ABC中，AC＝2，BC，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．
【思路点拨】（1）根据完美分割线的定义只要证明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③△BDC∽△BCA即可．
（2）分三种情形讨论即可①如图2，当AD＝CD时，②如图3中，当AD＝AC时，③如图4中，当AC＝CD时，分别求出∠ACB即可．
（3）设BD＝x，利用△BCD∽△BAC，得，列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，∵∠A＝40°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝80°，
∴△ABC不是等腰三角形，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD∠ACB＝40°，
∴∠ACD＝∠A＝40°，
∴△ACD为等腰三角形，
∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，
∴△BCD∽△BAC，
∴CD是△ABC的完美分割线．
（2）①当AD＝CD时，如图2，∠ACD＝∠A＝48°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝48°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝96°．
②当AD＝AC时，如图3中，∠ACD＝∠ADC66°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝48°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝114°．
③当AC＝CD时，如图4中，∠ADC＝∠A＝48°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝48°，
∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃．
∴∠ACB＝96°或114°．
（3）由已知AC＝AD＝2，
∵△BCD∽△BAC，
∴，设BD＝x，
∴（）2＝x（x+2），
∵x＞0，
∴x1，
∵△BCD∽△BAC，
∴，
∴CD2．中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版九上一周一测（十一）第4章《相似三角形》单元综合测试（B）
（满分：120分 时间L20分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知c是a和b的比例中项，a＝2，b＝18，则c＝（ ）
A．±6 B．6 C．4 D．±3
2．（3分）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．若一个黄金矩形的两条邻边分别为a，b，下列数据中能构成黄金矩形的是（ ）
A．a＝4，b2 B．a＝4，b2
C．a＝2，b D．a＝2，b1
3．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为位似中心，在y轴右侧作△ABO放大2倍后的位似图形△CDO，若点B的坐标为（﹣1，﹣2），则点B的对应点D的坐标为（ ）
A．（2，4） B．（3，4） C．（3，5） D．（4，3）
4．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，F为BC的中点，延长AD至点E，使DE：AD＝1：3，连接EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG等于（ ）
A．4：9 B．2：3 C．9：4 D．3：2
5．（3分）如图，△ABC∽△A'B′C′，下列说法正确的是（ ）
A．∠B＝∠C′ B．S△ABC＝2S△A′B'C'
C．AC＝4A'C' D．A'B′＝6
6．（3分）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B．若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为（ ）
A．2a B．a C．3a D．a
7．（3分）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA′＝1，则A′D等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
8．（3分）如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC、AB于D、E两点，连接BD、DE．若BD平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．BD⊥AC B．AC2＝2AB AE
C．△ADE是等腰三角形 D．BC＝2AD
9．（3分）如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD四条边上的点，连结EF，GH相交于点I，且GH∥AD，EF∥AB，矩形BFIG∽矩形EIHD，连接AC交GH，EF于点P，Q．下列一定能求出△DPQ面积的条件是（ ）
A．矩形BFIG和矩形EIHD的面积之差
B．矩形ABCD与矩形BFIG的面积之差
C．矩形BFIG和矩形FCHI的面积之差
D．矩形BFIG和矩形EIGA的面积之差
10．（3分）如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F．已知S△AEF＝4，则下列结论：①；②S△BCE＝36，③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD，其中一定正确的是（ ）
A．①②③④ B．①④ C．②③④ D．①②③
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）大自然巧夺天工，一片小小树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AP的长度为8cm，那么AB的长度是 ．
12．（3分）如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，点C，D分别是OA，OB的中点，若CD＝4cm，则该工件内槽宽AB的长为 cm．
13．（3分）如图，在△ABC中，DF∥EQ∥BC，且AD＝DE＝EB，△ABC被DF、EQ分成三部分，且三部分面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3＝ ．
14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在BA的延长线上取点E，连接OE交AD于点F．若BC＝8，CD＝5，AE＝2，则AF的长为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，将△ABD沿BD翻折得到△EBD，BE与AC交于点F，设AF＝x，EF＝y．
（1）当BE⊥AC，x＝9，y＝3时，AD的长是 ；
（2）当BD＝BF，2x＝7y时，△DEF与△ABD的面积之比是 ．
16．（3分）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长可能是 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，在△ABC中，D是AB边上的一点．
（1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AC于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若，DE＝4，求BC的长．
18．（8分）如图所示，已知：△ABC∽△DAC，AD＝2，AC＝4，BC＝6，∠B＝36°，∠D＝117°
（1）求AB的长；
（2）求CD的长；
（3）求∠BAD的大小．
19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高．
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）若AC＝6，AB＝8，求AD的长．
20．（8分）如图，三角形ABC的两个顶点B、C在圆上，顶点A在圆外，AB、AC分别交圆于E、D两点，连接EC、BD．
（1）求证：△ABD∽△ACE；
（2）若△BEC与△BDC的面积相等，试判定三角形ABC的形状．
21．（8分）如图，已知矩形ABCD，点E在CB延长线上，点F在BC延长线上，过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H，连结AF交EH于点G，GE＝GH．
（1）求证：BE＝CF；
（2）当，AD＝4时，求EF的长．
22．（10分）如图，E为AB上一点，∠A＝∠CED＝∠B，连接CD．
（1）求证：△CAE∽△EBD；
（2）若CE平分∠ACD，CD＝6，BD＝4，求DE的长．
23．（10分）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．
（1）观察发现：如图1，若点P恰好在边BC上，△EBP∽ （填写一个与△EBP相似的三角形）；
（2）拓展探究：如图1，若点P恰好在边BC上，则线段AE的长为 ；
（3）迁移应用：如图2，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，其余条件不变，求线段BF的长．
24．（12分）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．
（2）在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．
（3）如图2，△ABC中，AC＝2，BC，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．
