浙教版数学九年级上册第3章圆的基本性质 核心素养测试
一、选择题
1．（2025九上·江北期末）已知 的半径为 ，则点 在（ ）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．无法确定
2．（2025九上·鄞州期末）圆内接四边形 中， 是对角线， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·潮州期末）如图，是的直径，，则（ ）
A．35° B．55° C．70° D．75°
4．（2025九上·江北期末）如图，四边形 ABCD内接于⊙O，若 ∠C=140°，则 ∠BOD的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025九上·江北期末）如图，弓形的弓高 为 1 ，弦长 为 ，则此弓形（阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025九上·环县期末）如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025九上·上城开学考）如图，正五边形和正三角形都是的内接多边形，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025九上·南海期末）如图，四边形是正方形，将绕点顺时针旋转得，连接，则的角度为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025九上·上城开学考）如图，半径为10的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线，然后把半圆沿直线进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线重合为止，则圆心运动路径的长度等于（ ）
A． B． C． D．
10．（2025九上·海曙期末）如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB，OC的中垂线交弧AC于点E，连结AE、EC、CB，则下列结论错误的是（ ）
A．∠AEC =135° B．∠BCE=105
C．=2 D．EC=2EA
二、填空题
11．（2024九上·北京市期中）已知的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程的一个根，则点P在的 ．（填“内部”、“外部”、“上”）
12．（2024九上·北京市期中）“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为，开口宽为，这个水容器所能装水的最大深度是 ．
13．（2025九上·温州期末）如图，在半径为 3 的 上，以 3 为半径依次截取点六个点，并连结得六边形 ．连结 ，则四边形 的面积是 ．
14．（2024九上·浙江期中）如图，△ABC是一个含45°角的三角板，∠A＝90°，，将三角板绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后，点A与点D对应，点B与点E对应，当边DE与原三角板的一边平行时，则点A与点E的距离为 ．
15．（2025九上·江北期末）如图， 经过 Rt 的直角顶点 ，交 于点 ，交 于点 ，交 于点 ，且满足 ，则 的半径为 ．
16．（2025九上·上城开学考）如图，在菱形中，，，以为圆心，为半径画弧，交于点，过点作交于点，则阴影部分的面积为 ．（结果保留根号与）
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2023九上·闽侯月考）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在小正方形的格点上．
（1）将绕点顺时针旋转得到，画出；
（2）在（1）的运动过程中请计算出扫过的面积．
18．（2024九上·杭州期中）仅用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．
（1）如图，为的弦，画一条与长度相等的弦；
（2）如图，正五边形内接于圆，请作出一条直径；
19．（2023九上·旌阳期中）如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状并证明你的结论；
（2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由．
（3）求证：PA+PB=PC．
20．（2023九上·秀洲月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O， BD为直径，AC平分∠BCD，
（1）若BC=5cm，CD=12cm，求AB的长；
（2）求证：BC+CD=AC．
21．（2025九上·慈溪期末）如图，在 中， 。以 为直径的 交 于点 ，交 的延长线于点 ，连结 。
（1）求 的度数。
（2）若 ，求图中阴影部分的面积。
22．（2025九上·宜春期末）如图，在中，点是边的中点，以为直径的经过点，点是边上一点（不与点重合）．请仅用无刻度直尺按要求作图，保留作图痕迹，不写作法．
（1）过点作一条直线，将分成面积相等的两部分；
（2）在边上找一点，使得．
23．（2025九上·南宁期末）综合与实践
园林美化工程项目改造
背景 圆形在我国传统文化中象征和谐与圆满，被广泛应用于各种建筑中，管理部门计划将某公园园林内的矩形门洞改造成圆弧形门洞，如图1．
素材 绘制设计 根据矩形门洞改造的实物图画出矩形，如图2，作矩形的对角线相交于点，以点为圆心，为半径作圆；
操作测量 经测量，矩形门洞的宽为，高为；
改造估算 经测量，地面与矩形门洞对角线的夹角约为．
任务 （1）求证：四个点在以点为圆心的同一个圆上； （2）求圆弧形门洞的拱高（的中点到弦的距离）； （3）求改造后门洞扩大的面积（结果保留）．
24．（2023九上·海曙月考）定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”．
（1）如图1，AB是⊙O的一条弦（非直径），若⊙O在上找一点C，使得△ABC是“圆等三角形”，则这样的点C能找到 个．
（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连结对角线BD，△ABD和△BCD均为“圆等三角形”，且AB=AD．
①当∠A=140°时，求∠ADC的度数；
②如图3，当∠A=120°，AB=6时，求阴影部分的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】 解：∵r=2，OP=3，
∴OP>r，
∴点P在⊙O外，
故答案为：C．
【分析】 根据半径为r，点P到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点P在⊙O外；当d=r时，点P在⊙O上；当d＜r时，点P在⊙O内，据此判断即可．
2．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：由条件可知
，
，
故答案为： C.
【分析】先由等边对等角得 ， 再由三角形内角和定理得 再由圆内接四边形的性质得∠C的度数 .
3．【答案】C
【知识点】圆心角的概念；圆周角的概念
【解析】【解答】∵∠D=35°，所以∠BOC=2∠D=70°
故答案为：C.
【分析】由于AB是圆的直径，∠D=35°根据圆周角的定理，可以求出圆心角∠BOC=70°
4．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
由圆周角定理得，
故答案为： B.
【分析】根据圆内接四边形的性质求出的度数，根据圆周角定理解答.
5．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：令扇形所在圆的半径为r，
则
因为 于点D，且
所以
在 中，
解得
所以
所以
所以
又因为
所以
所以
又因为 ，
所以
故答案为： B.
【分析】先利用垂径定理及勾股定理求出半径，再分别求出扇形OAB及 的面积即可解决问题.
6．【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为∶C．
【分析】根据弧长公式∶求解即可．
7．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；圆周角定理；圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
是等边三角形，
，
，
五边形是正五边形，
，
，
故答案为：C．
【分析】连接，根据等边三角形的性质得，由圆周角定理得，然后利用正多边形的性质求出
，最后求出的度数即可.
8．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
由旋转知，，，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】首先根据正方形的性质得出，再由旋转知，，即可得出，进一步根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理，即可得出．
9．【答案】A
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，
∵半圆的半径为10，
∴圆心运动路径的长度为：，
故答案为：A．
【分析】根据圆心运动路径的长度等于的长度与弧的长度之和，结合弧长公式进行求解即可.
10．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接OE，找 的中点F， 连接EF， CF，
∵半径OC⊥AB，
∴∠COA=∠COB=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∵四边形AECB是半圆O的内接四边形，
∴∠AEC+∠ABC=180°，
∴∠AEC = 180°--∠ABC =135°，
∵ED是OC的中垂线，
∴EO=EC，
∵OE=OC，
∴EO= EC =OC，
∴△OEC是等边三角形，
∴∠EOC =∠ECO=60°，
∴∠ECB=∠ECO+∠OCB=105°，∠AOE=∠AOC-∠EOC =30°，
∴∠EOC =2∠AOE，
∴EF=CF= AE，
在△EFC中， EF+CF>CE，
∴AE+AE>CE，
∴2AE>CE，
所以，上述结论错误的是EC =2EA，
故答案为：D.
【分析】
连接OE，找 的中点F， 连接EF， CF， 从而可得 根据垂直定义可得：∠COA=∠COB=90°， 从而可得∠OCB=∠OBC =45°， 然后根据圆内接四边形对角互补可得：∠AEC =135°，再根据中垂线的性质可得EO=EC， 从而可得EO= EC=OC，进而可得△OEC是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得∠EOC=∠ECO=60°， 从而可得∠ECB=105°， ∠AOE =30°， 进而可得∠EOC =2∠AOE， 再根据圆心角、弧、弦的关系可得：EF=CF =AE，从而利用三角形的三边关系可得： EF+CF>CE， 进而可得2AE>CE， 即可解答.
11．【答案】外部
【知识点】因式分解法解一元二次方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：
解得
∴点P到圆心O的距离d
的半径是4，
点P在的外部
故答案为：外部
【分析】根据因式分解法解方程可得x值，再根据点与圆的位置关系即可求出答案.
12．【答案】18
【知识点】垂径定理的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示：
∵，
∴，
由题意得：，
在中，
，
∴，
即水的最大深度为，
故答案为：．
【分析】连接，过点O作于点D，交于点C，由垂径定理求出的长，在中由勾股定理求出的长，则．
13．【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：四边形ACEF的面积为：
故答案为：
【分析】正六边形可等分成六个正三角形，正三角形面积公式为 (a正三角形的边长)，剪下的三角形的面积每个都等于其中的一个正三角形的面积.
14．【答案】或5
【知识点】矩形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：中，，，
，
由旋转性质可得：，
如图所示，
将三角板绕着点 C 顺时针旋转 后，，
此时；
如图所示，
将三角板绕着点 C 顺时针旋转 后，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
故答案为：或5．
【分析】本题考查旋转的性质，平行线的性质，矩形的判定与性质．利用等腰直角三角形的性质可得，利用旋转性质可得：据题意画出图形，分将三角板绕着点 C 顺时针旋转 及两种情况讨论，当α=45°时，DE∥BC，易得，当α=90°时，DE∥AC，利用平角等于180°证明点B、A、E共线，利用矩形的判定定理可证明四边形是矩形，利用矩形的性质可得：AE=5.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图， 过点O作OM⊥AB于点M， ON⊥BC于点N，OP⊥AC于点P， 连接OC，
∵DE=FC=CG，
∴OM=ON=OP，
MD=ME=NF =NC = PC = PG，
∴小⊙O是Rt△ABC的内切圆， 四边形CPON是正方形，
∴AP =AM， BM=BN， CP=CN， △CNO是等腰直角三角形，
∴AG=AD， BF = BE，
设DE=FC=CG=x(x>0)，
在 ‘中，由勾股定理得： 即
解得： (不合题意，舍去)，
是等腰直角三角形，
∴⊙O的半径为
故答案为：
【分析】过点O作OM⊥AB于点M， ON⊥BC于点N，OP⊥AC于点P，连接OC，由弦心距和垂径定理得出OM =ON =OP，MD=ME=NF=NC=PC=PG， 推出小⊙O是Rt△ABC的内切圆， 四边形CPON是正方形， 得AP=AM， BM=BN， CP=CN，△CNO是等腰直角三角形， 则AG = AD，BF=BE， 设DE=FC=CG=x(x>0)， 求出 然后在Rt△ABC中，由勾股定理列出一元二次方程，解之取符合题意的值，即可解决问题.
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，过点作于，
∵四边形是菱形，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据画图可知，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】过点作于，根据菱形的性质得，，，由平行线的性质得，从而得，然后根据画图可知，由平行线性质得，进而得，于是根据等腰三角形的判定推出，接下来根据等腰三角形”三线合一“性质得，利用含30°的直角三角形的性质得，则利用勾股定理求出，最后利用扇形面积以及三角形面积公式得的值即可.
17．【答案】（1）解：作出点A、B绕点C顺时针旋转的对应点，，顺次连接，则即为所求，如图所示：
（2）解：根据题意，在（1）的运动过程中请计算出扫过的面积如下：
∵，，，
∴，
∵，
∴
∴为等腰直角三角形，
∴，
根据旋转可知，，
∴，
∴在旋转过程中扫过的面积为∶．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；扇形面积的计算；旋转的性质；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据旋转顶点，旋转角度和旋转方向先作出点A、B对应点，，然后顺次连接即可；
（2）观察图形可得出扫过的面积就是的面积与扇形ACA2的面积之和，然后根据网格可得出为等腰直角三角形，进而求得的面积。扇形的半径为等腰直角三角形ABC的斜边长，圆心角为旋转角90°，即可求得扇形的面积，进而相加即可。
（1）解：作出点A、B绕点C顺时针旋转的对应点，，顺次连接，则即为所求，如图所示：
（2）根据题意，在（1）的运动过程中请计算出扫过的面积如下：
∵，，，
∴，
∵，
∴
∴为等腰直角三角形，
∴，
根据旋转可知，，
∴，
∴在旋转过程中扫过的面积为∶．
18．【答案】（1）解：连接BO，CO并延长，分别与 相较于点D，E，
易得∠BOC=∠DOE，
∴BC=DE.
如图所示，弦即为要求作的弦.
（2）解：直径如图所示：
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）分别过、作直径和，连接，由得；
（2）连接，，，交于点，作射线交圆于点，因为是正五边形内接于圆，AE=ED=EC=CB=AB，∠AED=∠EDC=∠DCB=∠CBA=∠BAE=108°，可得△AED，△ABC，和△BCD是全等的等腰三角形，继而可证得∠ACB=∠DBC=∠NDA=∠NAD=36°，则有，BN=CN，垂直平分，因为，所以垂直平分，得，于是有，故为直径．
（1）解：与长度相等的弦如图所示：
（2）解：直径如图所示：
19．【答案】（1）△ABC是等边三角形．
证明如下：在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形，
如图1，连接OP．
∵∠AOB=2∠ACB=120°，P是的中点，
∴∠AOP=∠BOP=60°
又∵OA=OP=OB，
∴△OAP和△OBP均为等边三角形，
∴OA=AP=OB=PB，
∴四边形PBOA是菱形；
（3）如图2，在PC上截取PD=AP，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB．
在△APB和△ADC中，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP．
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等可得∠BAC=∠CPB=60°，∠ABC=∠APC=60°，从而由有两个内角为60°的三角形是等边三角形可判断△ABC的形状；
（2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形，连接OP，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等边三角形的性质可得∠AOB=2∠ACB=120°，由圆心角、弧、弦的关系得出∠AOP=∠BOP=60°，从而根据有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△OAP和△OBP均为等边三角形，由等边三角形三边相等得到OA=AP=OB=BP，进而根据四边相等的四边形是菱形即可得证；
（3）在PC上截取PD=AP， 有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△APD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°，从而利用AAS证明△APB≌△ADC，得到BP=CD，最后根据线段和差及等量代换可得结论.
20．【答案】（1）解：∵BD为直径，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∵CD=12cm，BC=5cm，
∴BD=13（cm），
∵AC平分∠BCD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴AB=AD，
∴AB=AD=BD=，故AB的长为．
（2）证明：将△ACD绕点A顺时针旋转90°后可得△ABC'，
由旋转性质可得：△ACD△ABC'，∠CAC'=90°，CA=C'A，
∴AC'=AC，CD=BC'，∠ADC=ABC'，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC+∠AD'B=180°，
又∵∠CAC'=90°，CA=C'A，
∴△C'AC是等腰直角三角形，
∴CC'=，
∴BC+C'B=，
∴BC+CD=．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；旋转的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得∠BAD=∠BCD=90°，根据勾股定理可得BD，再根据角平分线定义可得∠ABD=∠ADB=45°，则AB=AD，再根据等腰直角三角形性质即可求出答案.
（2）将△ACD绕点A顺时针旋转90°后可得△ABC'，根据旋转性质可得△ACD△ABC'，∠CAC'=90°，CA=C'A，则AC'=AC，CD=BC'，∠ADC=ABC'，根据圆内接四边形性质可得∠ABC+∠ADC=180°，则∠ABC+∠AD'B=180°，再根据等腰直角三角形判定定理可得△C'AC是等腰直角三角形，则CC'=，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：∵BD为直径，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∵CD=12cm，BC=5cm，
∴BD=13（cm），
∵AC平分∠BCD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴AB=AD，
∴AB=AD=BD=，故AB的长为．
（2）证明：将△ACD绕点A顺时针旋转90°后可得△ABC'，
由旋转性质可得：△ACD△ABC'，∠CAC'=90°，CA=C'A，
∴AC'=AC，CD=BC'，∠ADC=ABC'，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC+∠AD'B=180°，
又∵∠CAC'=90°，CA=C'A，
∴△C'AC是等腰直角三角形，
∴CC'=，
∴BC+C'B=，
∴BC+CD=．
21．【答案】（1）解： 为直径，
（2）解：作 ，垂足为 ．则 ．
．而 ，
是等边三角形．
．
阴影部分的面积
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】(1)先求出∠AEC的度数，再得出∠DEC的度数；
(2)求出扇形COD的面积和△COD的面积，即可得到阴影部分的面积.
22．【答案】（1）解：∵点是边的中点，∴，
∴根据三角形中线平分三角形面积，作图如下，
∴
（2）解：∵以为直径的经过点，
∴，即，
又∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，平分，即，
如图所示，连接交于点，连接并延长交于点，
∴，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-垂直平分线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）由于三角形中线平分三角形面积，故画直线AD即可；
（2）先由圆周角定理可得，又，则是线段的垂直平分线，则AB=AC，再连接交于点，连接并延长交于点，则EB=EC，由等边对等角可得，因为是公共角，则可证，则．
（1）解：∵点是边的中点，
∴，
∴根据三角形中线平分三角形面积，作图如下，
∴
（2）解：∵以为直径的经过点，
∴，即，
又∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，平分，即，
如图所示，连接交于点，连接并延长交于点，
∴，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．【答案】解：（1）证明：如图所示，
四边形是矩形，
，，，
，
四个点在以点为圆心的同一个圆上．
（2）解：如图2，
经过圆心作弦的垂线，为垂足，交于点，
根据垂径定理，是的中点，是的中点，就是拱高，
，
，
在中，由勾股定理得，，
为中点，是的中点，
，
，
，
答：圆弧形门洞的拱高为．
（3）解：如图所示，
在中，，，
，
，
∴优弧的圆心角为，圆的半径，，
∴门洞扩大的面积为：优弧的扇形面积，
改造后的门洞扩大面积
，
答：改造后扩大的门洞面积为
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质对角线互相平分且相等可得出点A，B，C，D到点O的距离相等，即可得出四个点在以点为圆心的同一个圆上．（2）根据三角形中位线定理可得出，再根据勾股定理可得出直径AC的长，进而得出半径，进而即可得出EF的长度；
（3）根据可得，则优弧的圆心角为，圆的半径，，由门洞扩大的面积为：优弧的扇形面积，代入计算即可．
24．【答案】（1）4
（2）解：①∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴
①当时，
∵
∴
∴
②当时，
∴
∴
③当时，
∴
综上所述，∠ADC的度数可能为：90°，120°，60°，
②连接OA、OB、OC，过点E作OE⊥BC，如下图：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴
∵△BCD均为“圆等三角形”，
∴为等边三角形，
∴
∵
∴
∵
∴为等边三角形，
∴
在中，
∴
扇形BOC的面积：
∴阴影部分的面积为：.
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：（1）图下图：
∴这样的点C能找到4个，
故答案为：4.
【分析】（1）根据圆等三角形的定义，即可求解；
（2）①根据圆内接四边形和已知条件求出的度数，再分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，分别根据三角形内角和定理即可求解；
②连接OA、OB、OC，过点E作OE⊥BC，根据圆内接四边形和已知条件求出的度数，根据圆等三角形的定义得到为等边三角形，根据圆周角定理得到的度数，即可证明为等边三角形，根据含30°角的直角三角形求出OE和BE的长，进而求出的面积和扇形BOC的面积，即可求出阴影部分面积.
1 / 1浙教版数学九年级上册第3章圆的基本性质 核心素养测试
一、选择题
1．（2025九上·江北期末）已知 的半径为 ，则点 在（ ）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．无法确定
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】 解：∵r=2，OP=3，
∴OP>r，
∴点P在⊙O外，
故答案为：C．
【分析】 根据半径为r，点P到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点P在⊙O外；当d=r时，点P在⊙O上；当d＜r时，点P在⊙O内，据此判断即可．
2．（2025九上·鄞州期末）圆内接四边形 中， 是对角线， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：由条件可知
，
，
故答案为： C.
【分析】先由等边对等角得 ， 再由三角形内角和定理得 再由圆内接四边形的性质得∠C的度数 .
3．（2024九上·潮州期末）如图，是的直径，，则（ ）
A．35° B．55° C．70° D．75°
【答案】C
【知识点】圆心角的概念；圆周角的概念
【解析】【解答】∵∠D=35°，所以∠BOC=2∠D=70°
故答案为：C.
【分析】由于AB是圆的直径，∠D=35°根据圆周角的定理，可以求出圆心角∠BOC=70°
4．（2025九上·江北期末）如图，四边形 ABCD内接于⊙O，若 ∠C=140°，则 ∠BOD的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
由圆周角定理得，
故答案为： B.
【分析】根据圆内接四边形的性质求出的度数，根据圆周角定理解答.
5．（2025九上·江北期末）如图，弓形的弓高 为 1 ，弦长 为 ，则此弓形（阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：令扇形所在圆的半径为r，
则
因为 于点D，且
所以
在 中，
解得
所以
所以
所以
又因为
所以
所以
又因为 ，
所以
故答案为： B.
【分析】先利用垂径定理及勾股定理求出半径，再分别求出扇形OAB及 的面积即可解决问题.
6．（2025九上·环县期末）如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为∶C．
【分析】根据弧长公式∶求解即可．
7．（2025九上·上城开学考）如图，正五边形和正三角形都是的内接多边形，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；圆周角定理；圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
是等边三角形，
，
，
五边形是正五边形，
，
，
故答案为：C．
【分析】连接，根据等边三角形的性质得，由圆周角定理得，然后利用正多边形的性质求出
，最后求出的度数即可.
8．（2025九上·南海期末）如图，四边形是正方形，将绕点顺时针旋转得，连接，则的角度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
由旋转知，，，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】首先根据正方形的性质得出，再由旋转知，，即可得出，进一步根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理，即可得出．
9．（2025九上·上城开学考）如图，半径为10的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线，然后把半圆沿直线进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线重合为止，则圆心运动路径的长度等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，
∵半圆的半径为10，
∴圆心运动路径的长度为：，
故答案为：A．
【分析】根据圆心运动路径的长度等于的长度与弧的长度之和，结合弧长公式进行求解即可.
10．（2025九上·海曙期末）如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB，OC的中垂线交弧AC于点E，连结AE、EC、CB，则下列结论错误的是（ ）
A．∠AEC =135° B．∠BCE=105
C．=2 D．EC=2EA
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接OE，找 的中点F， 连接EF， CF，
∵半径OC⊥AB，
∴∠COA=∠COB=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∵四边形AECB是半圆O的内接四边形，
∴∠AEC+∠ABC=180°，
∴∠AEC = 180°--∠ABC =135°，
∵ED是OC的中垂线，
∴EO=EC，
∵OE=OC，
∴EO= EC =OC，
∴△OEC是等边三角形，
∴∠EOC =∠ECO=60°，
∴∠ECB=∠ECO+∠OCB=105°，∠AOE=∠AOC-∠EOC =30°，
∴∠EOC =2∠AOE，
∴EF=CF= AE，
在△EFC中， EF+CF>CE，
∴AE+AE>CE，
∴2AE>CE，
所以，上述结论错误的是EC =2EA，
故答案为：D.
【分析】
连接OE，找 的中点F， 连接EF， CF， 从而可得 根据垂直定义可得：∠COA=∠COB=90°， 从而可得∠OCB=∠OBC =45°， 然后根据圆内接四边形对角互补可得：∠AEC =135°，再根据中垂线的性质可得EO=EC， 从而可得EO= EC=OC，进而可得△OEC是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得∠EOC=∠ECO=60°， 从而可得∠ECB=105°， ∠AOE =30°， 进而可得∠EOC =2∠AOE， 再根据圆心角、弧、弦的关系可得：EF=CF =AE，从而利用三角形的三边关系可得： EF+CF>CE， 进而可得2AE>CE， 即可解答.
二、填空题
11．（2024九上·北京市期中）已知的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程的一个根，则点P在的 ．（填“内部”、“外部”、“上”）
【答案】外部
【知识点】因式分解法解一元二次方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：
解得
∴点P到圆心O的距离d
的半径是4，
点P在的外部
故答案为：外部
【分析】根据因式分解法解方程可得x值，再根据点与圆的位置关系即可求出答案.
12．（2024九上·北京市期中）“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为，开口宽为，这个水容器所能装水的最大深度是 ．
【答案】18
【知识点】垂径定理的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示：
∵，
∴，
由题意得：，
在中，
，
∴，
即水的最大深度为，
故答案为：．
【分析】连接，过点O作于点D，交于点C，由垂径定理求出的长，在中由勾股定理求出的长，则．
13．（2025九上·温州期末）如图，在半径为 3 的 上，以 3 为半径依次截取点六个点，并连结得六边形 ．连结 ，则四边形 的面积是 ．
【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：四边形ACEF的面积为：
故答案为：
【分析】正六边形可等分成六个正三角形，正三角形面积公式为 (a正三角形的边长)，剪下的三角形的面积每个都等于其中的一个正三角形的面积.
14．（2024九上·浙江期中）如图，△ABC是一个含45°角的三角板，∠A＝90°，，将三角板绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后，点A与点D对应，点B与点E对应，当边DE与原三角板的一边平行时，则点A与点E的距离为 ．
【答案】或5
【知识点】矩形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：中，，，
，
由旋转性质可得：，
如图所示，
将三角板绕着点 C 顺时针旋转 后，，
此时；
如图所示，
将三角板绕着点 C 顺时针旋转 后，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
故答案为：或5．
【分析】本题考查旋转的性质，平行线的性质，矩形的判定与性质．利用等腰直角三角形的性质可得，利用旋转性质可得：据题意画出图形，分将三角板绕着点 C 顺时针旋转 及两种情况讨论，当α=45°时，DE∥BC，易得，当α=90°时，DE∥AC，利用平角等于180°证明点B、A、E共线，利用矩形的判定定理可证明四边形是矩形，利用矩形的性质可得：AE=5.
15．（2025九上·江北期末）如图， 经过 Rt 的直角顶点 ，交 于点 ，交 于点 ，交 于点 ，且满足 ，则 的半径为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图， 过点O作OM⊥AB于点M， ON⊥BC于点N，OP⊥AC于点P， 连接OC，
∵DE=FC=CG，
∴OM=ON=OP，
MD=ME=NF =NC = PC = PG，
∴小⊙O是Rt△ABC的内切圆， 四边形CPON是正方形，
∴AP =AM， BM=BN， CP=CN， △CNO是等腰直角三角形，
∴AG=AD， BF = BE，
设DE=FC=CG=x(x>0)，
在 ‘中，由勾股定理得： 即
解得： (不合题意，舍去)，
是等腰直角三角形，
∴⊙O的半径为
故答案为：
【分析】过点O作OM⊥AB于点M， ON⊥BC于点N，OP⊥AC于点P，连接OC，由弦心距和垂径定理得出OM =ON =OP，MD=ME=NF=NC=PC=PG， 推出小⊙O是Rt△ABC的内切圆， 四边形CPON是正方形， 得AP=AM， BM=BN， CP=CN，△CNO是等腰直角三角形， 则AG = AD，BF=BE， 设DE=FC=CG=x(x>0)， 求出 然后在Rt△ABC中，由勾股定理列出一元二次方程，解之取符合题意的值，即可解决问题.
16．（2025九上·上城开学考）如图，在菱形中，，，以为圆心，为半径画弧，交于点，过点作交于点，则阴影部分的面积为 ．（结果保留根号与）
【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，过点作于，
∵四边形是菱形，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据画图可知，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】过点作于，根据菱形的性质得，，，由平行线的性质得，从而得，然后根据画图可知，由平行线性质得，进而得，于是根据等腰三角形的判定推出，接下来根据等腰三角形”三线合一“性质得，利用含30°的直角三角形的性质得，则利用勾股定理求出，最后利用扇形面积以及三角形面积公式得的值即可.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2023九上·闽侯月考）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在小正方形的格点上．
（1）将绕点顺时针旋转得到，画出；
（2）在（1）的运动过程中请计算出扫过的面积．
【答案】（1）解：作出点A、B绕点C顺时针旋转的对应点，，顺次连接，则即为所求，如图所示：
（2）解：根据题意，在（1）的运动过程中请计算出扫过的面积如下：
∵，，，
∴，
∵，
∴
∴为等腰直角三角形，
∴，
根据旋转可知，，
∴，
∴在旋转过程中扫过的面积为∶．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；扇形面积的计算；旋转的性质；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据旋转顶点，旋转角度和旋转方向先作出点A、B对应点，，然后顺次连接即可；
（2）观察图形可得出扫过的面积就是的面积与扇形ACA2的面积之和，然后根据网格可得出为等腰直角三角形，进而求得的面积。扇形的半径为等腰直角三角形ABC的斜边长，圆心角为旋转角90°，即可求得扇形的面积，进而相加即可。
（1）解：作出点A、B绕点C顺时针旋转的对应点，，顺次连接，则即为所求，如图所示：
（2）根据题意，在（1）的运动过程中请计算出扫过的面积如下：
∵，，，
∴，
∵，
∴
∴为等腰直角三角形，
∴，
根据旋转可知，，
∴，
∴在旋转过程中扫过的面积为∶．
18．（2024九上·杭州期中）仅用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．
（1）如图，为的弦，画一条与长度相等的弦；
（2）如图，正五边形内接于圆，请作出一条直径；
【答案】（1）解：连接BO，CO并延长，分别与 相较于点D，E，
易得∠BOC=∠DOE，
∴BC=DE.
如图所示，弦即为要求作的弦.
（2）解：直径如图所示：
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）分别过、作直径和，连接，由得；
（2）连接，，，交于点，作射线交圆于点，因为是正五边形内接于圆，AE=ED=EC=CB=AB，∠AED=∠EDC=∠DCB=∠CBA=∠BAE=108°，可得△AED，△ABC，和△BCD是全等的等腰三角形，继而可证得∠ACB=∠DBC=∠NDA=∠NAD=36°，则有，BN=CN，垂直平分，因为，所以垂直平分，得，于是有，故为直径．
（1）解：与长度相等的弦如图所示：
（2）解：直径如图所示：
19．（2023九上·旌阳期中）如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状并证明你的结论；
（2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由．
（3）求证：PA+PB=PC．
【答案】（1）△ABC是等边三角形．
证明如下：在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形，
如图1，连接OP．
∵∠AOB=2∠ACB=120°，P是的中点，
∴∠AOP=∠BOP=60°
又∵OA=OP=OB，
∴△OAP和△OBP均为等边三角形，
∴OA=AP=OB=PB，
∴四边形PBOA是菱形；
（3）如图2，在PC上截取PD=AP，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB．
在△APB和△ADC中，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP．
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等可得∠BAC=∠CPB=60°，∠ABC=∠APC=60°，从而由有两个内角为60°的三角形是等边三角形可判断△ABC的形状；
（2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形，连接OP，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等边三角形的性质可得∠AOB=2∠ACB=120°，由圆心角、弧、弦的关系得出∠AOP=∠BOP=60°，从而根据有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△OAP和△OBP均为等边三角形，由等边三角形三边相等得到OA=AP=OB=BP，进而根据四边相等的四边形是菱形即可得证；
（3）在PC上截取PD=AP， 有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△APD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°，从而利用AAS证明△APB≌△ADC，得到BP=CD，最后根据线段和差及等量代换可得结论.
20．（2023九上·秀洲月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O， BD为直径，AC平分∠BCD，
（1）若BC=5cm，CD=12cm，求AB的长；
（2）求证：BC+CD=AC．
【答案】（1）解：∵BD为直径，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∵CD=12cm，BC=5cm，
∴BD=13（cm），
∵AC平分∠BCD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴AB=AD，
∴AB=AD=BD=，故AB的长为．
（2）证明：将△ACD绕点A顺时针旋转90°后可得△ABC'，
由旋转性质可得：△ACD△ABC'，∠CAC'=90°，CA=C'A，
∴AC'=AC，CD=BC'，∠ADC=ABC'，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC+∠AD'B=180°，
又∵∠CAC'=90°，CA=C'A，
∴△C'AC是等腰直角三角形，
∴CC'=，
∴BC+C'B=，
∴BC+CD=．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；旋转的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得∠BAD=∠BCD=90°，根据勾股定理可得BD，再根据角平分线定义可得∠ABD=∠ADB=45°，则AB=AD，再根据等腰直角三角形性质即可求出答案.
（2）将△ACD绕点A顺时针旋转90°后可得△ABC'，根据旋转性质可得△ACD△ABC'，∠CAC'=90°，CA=C'A，则AC'=AC，CD=BC'，∠ADC=ABC'，根据圆内接四边形性质可得∠ABC+∠ADC=180°，则∠ABC+∠AD'B=180°，再根据等腰直角三角形判定定理可得△C'AC是等腰直角三角形，则CC'=，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：∵BD为直径，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∵CD=12cm，BC=5cm，
∴BD=13（cm），
∵AC平分∠BCD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴AB=AD，
∴AB=AD=BD=，故AB的长为．
（2）证明：将△ACD绕点A顺时针旋转90°后可得△ABC'，
由旋转性质可得：△ACD△ABC'，∠CAC'=90°，CA=C'A，
∴AC'=AC，CD=BC'，∠ADC=ABC'，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC+∠AD'B=180°，
又∵∠CAC'=90°，CA=C'A，
∴△C'AC是等腰直角三角形，
∴CC'=，
∴BC+C'B=，
∴BC+CD=．
21．（2025九上·慈溪期末）如图，在 中， 。以 为直径的 交 于点 ，交 的延长线于点 ，连结 。
（1）求 的度数。
（2）若 ，求图中阴影部分的面积。
【答案】（1）解： 为直径，
（2）解：作 ，垂足为 ．则 ．
．而 ，
是等边三角形．
．
阴影部分的面积
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】(1)先求出∠AEC的度数，再得出∠DEC的度数；
(2)求出扇形COD的面积和△COD的面积，即可得到阴影部分的面积.
22．（2025九上·宜春期末）如图，在中，点是边的中点，以为直径的经过点，点是边上一点（不与点重合）．请仅用无刻度直尺按要求作图，保留作图痕迹，不写作法．
（1）过点作一条直线，将分成面积相等的两部分；
（2）在边上找一点，使得．
【答案】（1）解：∵点是边的中点，∴，
∴根据三角形中线平分三角形面积，作图如下，
∴
（2）解：∵以为直径的经过点，
∴，即，
又∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，平分，即，
如图所示，连接交于点，连接并延长交于点，
∴，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-垂直平分线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）由于三角形中线平分三角形面积，故画直线AD即可；
（2）先由圆周角定理可得，又，则是线段的垂直平分线，则AB=AC，再连接交于点，连接并延长交于点，则EB=EC，由等边对等角可得，因为是公共角，则可证，则．
（1）解：∵点是边的中点，
∴，
∴根据三角形中线平分三角形面积，作图如下，
∴
（2）解：∵以为直径的经过点，
∴，即，
又∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，平分，即，
如图所示，连接交于点，连接并延长交于点，
∴，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．（2025九上·南宁期末）综合与实践
园林美化工程项目改造
背景 圆形在我国传统文化中象征和谐与圆满，被广泛应用于各种建筑中，管理部门计划将某公园园林内的矩形门洞改造成圆弧形门洞，如图1．
素材 绘制设计 根据矩形门洞改造的实物图画出矩形，如图2，作矩形的对角线相交于点，以点为圆心，为半径作圆；
操作测量 经测量，矩形门洞的宽为，高为；
改造估算 经测量，地面与矩形门洞对角线的夹角约为．
任务 （1）求证：四个点在以点为圆心的同一个圆上； （2）求圆弧形门洞的拱高（的中点到弦的距离）； （3）求改造后门洞扩大的面积（结果保留）．
【答案】解：（1）证明：如图所示，
四边形是矩形，
，，，
，
四个点在以点为圆心的同一个圆上．
（2）解：如图2，
经过圆心作弦的垂线，为垂足，交于点，
根据垂径定理，是的中点，是的中点，就是拱高，
，
，
在中，由勾股定理得，，
为中点，是的中点，
，
，
，
答：圆弧形门洞的拱高为．
（3）解：如图所示，
在中，，，
，
，
∴优弧的圆心角为，圆的半径，，
∴门洞扩大的面积为：优弧的扇形面积，
改造后的门洞扩大面积
，
答：改造后扩大的门洞面积为
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质对角线互相平分且相等可得出点A，B，C，D到点O的距离相等，即可得出四个点在以点为圆心的同一个圆上．（2）根据三角形中位线定理可得出，再根据勾股定理可得出直径AC的长，进而得出半径，进而即可得出EF的长度；
（3）根据可得，则优弧的圆心角为，圆的半径，，由门洞扩大的面积为：优弧的扇形面积，代入计算即可．
24．（2023九上·海曙月考）定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”．
（1）如图1，AB是⊙O的一条弦（非直径），若⊙O在上找一点C，使得△ABC是“圆等三角形”，则这样的点C能找到 个．
（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连结对角线BD，△ABD和△BCD均为“圆等三角形”，且AB=AD．
①当∠A=140°时，求∠ADC的度数；
②如图3，当∠A=120°，AB=6时，求阴影部分的面积．
【答案】（1）4
（2）解：①∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴
①当时，
∵
∴
∴
②当时，
∴
∴
③当时，
∴
综上所述，∠ADC的度数可能为：90°，120°，60°，
②连接OA、OB、OC，过点E作OE⊥BC，如下图：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴
∵△BCD均为“圆等三角形”，
∴为等边三角形，
∴
∵
∴
∵
∴为等边三角形，
∴
在中，
∴
扇形BOC的面积：
∴阴影部分的面积为：.
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：（1）图下图：
∴这样的点C能找到4个，
故答案为：4.
【分析】（1）根据圆等三角形的定义，即可求解；
（2）①根据圆内接四边形和已知条件求出的度数，再分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，分别根据三角形内角和定理即可求解；
②连接OA、OB、OC，过点E作OE⊥BC，根据圆内接四边形和已知条件求出的度数，根据圆等三角形的定义得到为等边三角形，根据圆周角定理得到的度数，即可证明为等边三角形，根据含30°角的直角三角形求出OE和BE的长，进而求出的面积和扇形BOC的面积，即可求出阴影部分面积.
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