浙教版数学九年级上册第4章相似三角形 核心素养测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024九上·滨江期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025九上·婺城期末）如图，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2025九上·上城期末）如图，点，在直线上，点，在直线上，且，若，，，，则的值为（ ）
A．3 B．4 C． D．6
4．（2025九上·丽水期末）如图，四个三角形的顶点都在方格子的格点上，下列两个三角形中相似的是（ ）
A．①④ B．①③ C．②③ D．②④
5．（2025九上·嘉兴期末）如图，与是位似图形，点为位似中心，．若的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·杭州期中）如图，正方形内接于，点在上，点分别在和边上，且上的高，，则正方形的边长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．（2021九上·上城月考）下列语句中，正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②等弦对等弧；
③若两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的周长比是4：3；
④已知线段AB＝2，点C是AB的黄全分割点，则；
⑤三角形的外心到三角形的三边距离相等.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2025九上·钱塘期末）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025九上·湖州期末）如图，点在等腰直角的腰上运动，以为腰，点为直角顶点作等腰直角与交于点，连结，当与的面积比为时，的值是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025九上·镇海区期末）如图，中，平分分别交，，延长线于点F，G，E，分别记与的面积为和．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025九上·温州开学考）若3x=5y（y≠0），则的值为 .
12．（2024九上·义乌月考）如图，已知，若，，，则的长为 ．
13．（2024九上·奉化期中）如图，是的斜边上的高，图中与相似的三角形为 （填一个即可）．
14．（2024九上·诸暨月考）在如图的正方形格点纸中，每个小的四边形都是边长为1的正方形，A、B、C、D都是格点，AB与CD相交于O，则AO：OB＝ ．
15．（2021九上·鄞州期末）如图，矩形 被分割为5个全等的长方形，若这5个矩形都与矩形 相似，则 的值是 .
16．（2025九上·婺城期末）如图，地面上的点处放置平面镜，光线从点射出经平面镜（点处）反射后照射到点．已知，，垂足分别为、，米，米，米，则长为 米．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024九上·浙江期中）已知，求的值．
18．（2023九上·思明月考）如图，在中，，求的长度．
19．（2023九上·绥化月考）如图，已知是坐标原点，、两点的坐标分别为、．
（1）以点为位似中心在轴的左侧将放大到两倍即新图与原图的相似比为，画出图形并写出点、的坐标；
（2）将绕点逆时针旋转，画出旋转后的图形，并求出点所经过的路线长．
20．（2023九上·法库期中）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，如图，他们在旗杆底部所在的平地上放置一个平面镜E来测量学校旗杆的高度，镜子中心E与旗杆的距离米，当镜子中心E与测量者的距离米时，测量者刚好从镜子中看到旗杆顶部的端点A．已知测量者的身高为1.6米，测量者的眼睛距地面的高度为1.5米．
（1）在计算过程中C、D之间的距离应是______米；
（2）根据以上测量结果，求出学校旗杆的高度．
21．（2024九上·顺德月考）学习相似三角形相关知识后，善于思考的小明和小颖两位同学想通过所学计算桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点，再在河岸的这一边选出点和点，分别在、的延长线上取点、，使得．经测量，米，米，且点到河岸的距离为60米．已知于点，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度．
22．（2024九上·重庆市月考）承载着古老文明的咸阳钟楼，为明清风格建筑，塔状三层正方形，楼体两层三重檐，木质结构，琉璃瓦顶，巍然耸峙，雄伟壮观．一天，小玲和平平带着标杆和皮尺来到咸阳钟楼进行测量，测量方案如下：如图，首先，小玲在处放置一平面镜，她从点沿后退，当退行3米到达处时，恰好在镜子中看到钟楼顶端的像，此时测得小玲眼睛到地面的距离为米；然后，平平在处竖立了一根高3米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和钟楼顶端在一条直线上，此时测得米，米，已知，，，点、、、、在一条直线上，请根据以上数据，计算咸阳钟楼的高度．
23．（2023九上·顺德期中）综合实践活动
主题：测量墙面高度
素材：手电筒，木板，平面镜，直尺
步骤：如图，小颖同学手持电筒从点处发射光线，通过水平放置在地面上的平面镜反射后，经过垂直于地面放置的木板上边缘点，落在垂直于地面的墙面处．小颖测得处离地面的高度，处离木板底端E处的长度，处到墙面底端处的长度，木板长度．
计算：已知光通过平面镜反射中入射角等于反射角，图中点，，，在同一水平线上．求点到地面的高度．
24．（2024九上·宁波期中）综合与实践
【问题提出】
勾股定理和黄金分割是几何学中的两大瑰宝，其中"贵金分割"给人以美感.课本第56页这样定义"黄金分割点"：如图1，点将线段AB分成两部分，若，则称点为线段AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比.
（1）【初步感知】
如图1，若，求临金比的值.
（2）【类比探究】
如图2，在中，是BC边上一点，AD将分割成两个三角形（），若，则称AD为的黄金分割线.
①求证：点D是线段BC的黄金分割点：
②若△ABC的面积为4，求△ACD的面积.
（3）【拓展应用】
如图3，在中，为A，B上的一点（不与A，B重合），过D作DE∥BC，交AC于E，BE，CD相交于，连接AF并延长，与DE，BC分别交于M，N.请问直线AN是的黄金分割线吗 并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴1，
∴，
故答案为：A．
【分析】由已知条件可得，再根据比例的性质求出的值即可．
2．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】
解：∵，，∴．
故选：D．
【分析】由相似三角形的性质知，相似三角形的对应角相等，其中与恰好对应。
3．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：；
故答案为：C．
【分析】如果两条直线被一组平行线所截，那么所截的对应线段成比例，据此建立方程，求解即可.
4．【答案】B
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】三角形①的三边分别为；
三角形②的三边分别为：；
三角形③的三边分别为；
三角形④的三边分别为：．
显然三角形①③的三边成比例，即，即三角形①③相似．
故选：B．
【分析】先分别求出三角形的各边长，根据三边成比例的两个三角形相似解题即可．
5．【答案】C
【知识点】A字型相似模型；相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：，
，
与是位似图形，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：C ．
【分析】根据根据位似图形的概念得到AB∥DE，△ABC∽△DEF，由平行于三角形一边得直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△OAB∽△ODE，根据相似三角的形的性质得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，计算即可．
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
7．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；三角形的外接圆与外心；黄金分割；相似多边形
【解析】【解答】解：①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，原说法错误，故不符合题意；
②在同圆或等圆中，等弦所对的优弧相等，等弦所对的劣弧相等，原说法错误，故不符合题意；
③若两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的周长比是4：3，原说法正确，故符合题意；
④已知线段AB＝2，点C是AB的黄全分割点，
则或，原说法错误，故不符合题意；
⑤三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，原说法错误，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据弧、弦、圆心角的关系，相似多边形的性质、黄全分割点、三角形的外心的性质分别进行判断即可.
8．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵与是位似图形，点的对应点为，
∴与的位似比为，
∴点的对应点的坐标为，即，
故答案为：C．
【分析】由点的坐标可得位似比，然后根据位似图形对应点的横、纵坐标同时乘以位似比解题．
9．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠ECD=∠CAB=∠CED=45°，∠B=∠CDE=90°，，CB=AB，
∴∠BCD+∠ACD=∠ACD+∠ACE，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△CBD∽△CAE，
∴∠CBD=∠CAE=90°，，
∴∠CDF=∠CAE =90°，
∵∠CFD=∠EFA，
∴△CFD∽△EFA，
∴
∵△CDF与△AEF的面积比为2：1，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴CD=2BD，
在Rt△CBD中，CB2+BD2=CD2，
∴CB2+ BD2=(2BD)2，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】利用等腰三角形的性质可证得：∠BCD=∠ACE，，再利用相似三角形的判定证得△CBD∽△CAE，再证得△CFD∽△EFA，利用△CDF与△AEF的面积比为2：1，推出，进而得出CD=2BD，利用勾股定理可得，即可求得答案.
10．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，，
∵，
∴设，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】利用平行四边形的性质可得，，，，然后根据角平分线得到，即可得到，然后证明，可以得到，再根据得到，然后计算比值即可．
11．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】根据内项之积等于外项之积求解.
12．【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
13．【答案】或（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定-AA；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：或（答案不唯一）．
【分析】由三角形高线定义得 ∠ADC=∠CDB=90°， 利用有两组角相等的两个三角形相似得，然后由同角得余角相等得，进而利用有两组角相等的两个三角形相似得，于是得解．
14．【答案】
【知识点】相似三角形的判定；A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据相似三角形的判定得，由相似三角形对应边成比例的性质求出，从而得，然后推出，得的值.
15．【答案】
【知识点】全等图形的概念；相似多边形
【解析】【解答】解：
设AE＝a，
∵五个小矩形全等，
∴AD＝5AE＝5a，
∵每个小矩形都与矩形ABCD相似
∴ ＝
，
∴AB2＝AD AE＝5AE2＝5a2，
AB＝
a，
∴AD：AB＝5a：
a＝
.
故答案为：
.
【分析】对图形进行点标注，设AE＝a，则AD＝5AE＝5a，根据相似图形的性质可得
＝
，表示出AB，据此解答.
16．【答案】
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】
解：设米，米，
米，
由物理性质可得入射角等于反射角，，
∴，
∴，
即，
∵，
∴
∴，
∴，
即，
解得，即米．
故答案为：．
【分析】镜面相似相对简单，由于已有一组直角相等，再利用入射角等于反射角相等即可证明两三角形相似。
17．【答案】解：由，可设
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】
可设，由可得再代入求解即可．
18．【答案】解：∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
19．【答案】（1）解：如图所示：、的坐标分别为：，；
（2）解：如图所示：即为所求，点所经过的路线长为：．
【知识点】弧长的计算；作图﹣位似变换；作图﹣旋转；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【分析】（1）先利用相似图形的性质及特征找出点O、B、C的对应点，再连接并直接求出点B1、C1的坐标即可；
（2）先利用点旋转的特征找出点B、O、C的对应点，再连接即可得到，最后利用弧长公式求解即可.
20．【答案】（1）1.5
（2）15米
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的实际应用
21．【答案】桥的长度为90米
【知识点】相似三角形的实际应用
22．【答案】咸阳钟楼的高度米
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的实际应用
23．【答案】解：根据光反射可知：，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
由，
∴，
∴，即，
则，
∴点到地面的高度为米．
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】根据题意得出，根据有两个角相等的两个三角形是相似三角形得出，根据相似三角形的对应边之比相等得出EC的值，根据平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例节课求出FG的值.
24．【答案】（1）解：如图1， 设 则.
，
，
，
整理得：
解得 (不符合题意，舍去) ，
，
，
∴黄金比 的值为
（2）①证明： 如图2， 作 '于点R，
且，
∴，
，
∴点D是线段BC的黄金分割点.
②，
，
的面积是
（3）解：直线AN不是 的黄金分割线，
理由：如图3，
∴，
∴，
∴直线AN不是 的黄金分割线.
【知识点】黄金分割；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)设 则 由 得 则 求得符合题意的x值为 则黄金比 的值为
(2)①作. 于点R，则 ， 由 得，所以 则点D是线段BC的黄金分割点；
②由 得 所以
(3)由证明 所以则 由 得 所以 则 所以， 则 可知 直线AN不是 的黄金分割线.
1 / 1浙教版数学九年级上册第4章相似三角形 核心素养测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024九上·滨江期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴1，
∴，
故答案为：A．
【分析】由已知条件可得，再根据比例的性质求出的值即可．
2．（2025九上·婺城期末）如图，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】
解：∵，，∴．
故选：D．
【分析】由相似三角形的性质知，相似三角形的对应角相等，其中与恰好对应。
3．（2025九上·上城期末）如图，点，在直线上，点，在直线上，且，若，，，，则的值为（ ）
A．3 B．4 C． D．6
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：；
故答案为：C．
【分析】如果两条直线被一组平行线所截，那么所截的对应线段成比例，据此建立方程，求解即可.
4．（2025九上·丽水期末）如图，四个三角形的顶点都在方格子的格点上，下列两个三角形中相似的是（ ）
A．①④ B．①③ C．②③ D．②④
【答案】B
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】三角形①的三边分别为；
三角形②的三边分别为：；
三角形③的三边分别为；
三角形④的三边分别为：．
显然三角形①③的三边成比例，即，即三角形①③相似．
故选：B．
【分析】先分别求出三角形的各边长，根据三边成比例的两个三角形相似解题即可．
5．（2025九上·嘉兴期末）如图，与是位似图形，点为位似中心，．若的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】A字型相似模型；相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：，
，
与是位似图形，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：C ．
【分析】根据根据位似图形的概念得到AB∥DE，△ABC∽△DEF，由平行于三角形一边得直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△OAB∽△ODE，根据相似三角的形的性质得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，计算即可．
6．（2024九上·杭州期中）如图，正方形内接于，点在上，点分别在和边上，且上的高，，则正方形的边长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
7．（2021九上·上城月考）下列语句中，正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②等弦对等弧；
③若两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的周长比是4：3；
④已知线段AB＝2，点C是AB的黄全分割点，则；
⑤三角形的外心到三角形的三边距离相等.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；三角形的外接圆与外心；黄金分割；相似多边形
【解析】【解答】解：①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，原说法错误，故不符合题意；
②在同圆或等圆中，等弦所对的优弧相等，等弦所对的劣弧相等，原说法错误，故不符合题意；
③若两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的周长比是4：3，原说法正确，故符合题意；
④已知线段AB＝2，点C是AB的黄全分割点，
则或，原说法错误，故不符合题意；
⑤三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，原说法错误，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据弧、弦、圆心角的关系，相似多边形的性质、黄全分割点、三角形的外心的性质分别进行判断即可.
8．（2025九上·钱塘期末）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵与是位似图形，点的对应点为，
∴与的位似比为，
∴点的对应点的坐标为，即，
故答案为：C．
【分析】由点的坐标可得位似比，然后根据位似图形对应点的横、纵坐标同时乘以位似比解题．
9．（2025九上·湖州期末）如图，点在等腰直角的腰上运动，以为腰，点为直角顶点作等腰直角与交于点，连结，当与的面积比为时，的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠ECD=∠CAB=∠CED=45°，∠B=∠CDE=90°，，CB=AB，
∴∠BCD+∠ACD=∠ACD+∠ACE，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△CBD∽△CAE，
∴∠CBD=∠CAE=90°，，
∴∠CDF=∠CAE =90°，
∵∠CFD=∠EFA，
∴△CFD∽△EFA，
∴
∵△CDF与△AEF的面积比为2：1，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴CD=2BD，
在Rt△CBD中，CB2+BD2=CD2，
∴CB2+ BD2=(2BD)2，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】利用等腰三角形的性质可证得：∠BCD=∠ACE，，再利用相似三角形的判定证得△CBD∽△CAE，再证得△CFD∽△EFA，利用△CDF与△AEF的面积比为2：1，推出，进而得出CD=2BD，利用勾股定理可得，即可求得答案.
10．（2025九上·镇海区期末）如图，中，平分分别交，，延长线于点F，G，E，分别记与的面积为和．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，，
∵，
∴设，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】利用平行四边形的性质可得，，，，然后根据角平分线得到，即可得到，然后证明，可以得到，再根据得到，然后计算比值即可．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025九上·温州开学考）若3x=5y（y≠0），则的值为 .
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】根据内项之积等于外项之积求解.
12．（2024九上·义乌月考）如图，已知，若，，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
13．（2024九上·奉化期中）如图，是的斜边上的高，图中与相似的三角形为 （填一个即可）．
【答案】或（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定-AA；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：或（答案不唯一）．
【分析】由三角形高线定义得 ∠ADC=∠CDB=90°， 利用有两组角相等的两个三角形相似得，然后由同角得余角相等得，进而利用有两组角相等的两个三角形相似得，于是得解．
14．（2024九上·诸暨月考）在如图的正方形格点纸中，每个小的四边形都是边长为1的正方形，A、B、C、D都是格点，AB与CD相交于O，则AO：OB＝ ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定；A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据相似三角形的判定得，由相似三角形对应边成比例的性质求出，从而得，然后推出，得的值.
15．（2021九上·鄞州期末）如图，矩形 被分割为5个全等的长方形，若这5个矩形都与矩形 相似，则 的值是 .
【答案】
【知识点】全等图形的概念；相似多边形
【解析】【解答】解：
设AE＝a，
∵五个小矩形全等，
∴AD＝5AE＝5a，
∵每个小矩形都与矩形ABCD相似
∴ ＝
，
∴AB2＝AD AE＝5AE2＝5a2，
AB＝
a，
∴AD：AB＝5a：
a＝
.
故答案为：
.
【分析】对图形进行点标注，设AE＝a，则AD＝5AE＝5a，根据相似图形的性质可得
＝
，表示出AB，据此解答.
16．（2025九上·婺城期末）如图，地面上的点处放置平面镜，光线从点射出经平面镜（点处）反射后照射到点．已知，，垂足分别为、，米，米，米，则长为 米．
【答案】
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】
解：设米，米，
米，
由物理性质可得入射角等于反射角，，
∴，
∴，
即，
∵，
∴
∴，
∴，
即，
解得，即米．
故答案为：．
【分析】镜面相似相对简单，由于已有一组直角相等，再利用入射角等于反射角相等即可证明两三角形相似。
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024九上·浙江期中）已知，求的值．
【答案】解：由，可设
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】
可设，由可得再代入求解即可．
18．（2023九上·思明月考）如图，在中，，求的长度．
【答案】解：∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
19．（2023九上·绥化月考）如图，已知是坐标原点，、两点的坐标分别为、．
（1）以点为位似中心在轴的左侧将放大到两倍即新图与原图的相似比为，画出图形并写出点、的坐标；
（2）将绕点逆时针旋转，画出旋转后的图形，并求出点所经过的路线长．
【答案】（1）解：如图所示：、的坐标分别为：，；
（2）解：如图所示：即为所求，点所经过的路线长为：．
【知识点】弧长的计算；作图﹣位似变换；作图﹣旋转；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【分析】（1）先利用相似图形的性质及特征找出点O、B、C的对应点，再连接并直接求出点B1、C1的坐标即可；
（2）先利用点旋转的特征找出点B、O、C的对应点，再连接即可得到，最后利用弧长公式求解即可.
20．（2023九上·法库期中）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，如图，他们在旗杆底部所在的平地上放置一个平面镜E来测量学校旗杆的高度，镜子中心E与旗杆的距离米，当镜子中心E与测量者的距离米时，测量者刚好从镜子中看到旗杆顶部的端点A．已知测量者的身高为1.6米，测量者的眼睛距地面的高度为1.5米．
（1）在计算过程中C、D之间的距离应是______米；
（2）根据以上测量结果，求出学校旗杆的高度．
【答案】（1）1.5
（2）15米
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的实际应用
21．（2024九上·顺德月考）学习相似三角形相关知识后，善于思考的小明和小颖两位同学想通过所学计算桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点，再在河岸的这一边选出点和点，分别在、的延长线上取点、，使得．经测量，米，米，且点到河岸的距离为60米．已知于点，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度．
【答案】桥的长度为90米
【知识点】相似三角形的实际应用
22．（2024九上·重庆市月考）承载着古老文明的咸阳钟楼，为明清风格建筑，塔状三层正方形，楼体两层三重檐，木质结构，琉璃瓦顶，巍然耸峙，雄伟壮观．一天，小玲和平平带着标杆和皮尺来到咸阳钟楼进行测量，测量方案如下：如图，首先，小玲在处放置一平面镜，她从点沿后退，当退行3米到达处时，恰好在镜子中看到钟楼顶端的像，此时测得小玲眼睛到地面的距离为米；然后，平平在处竖立了一根高3米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和钟楼顶端在一条直线上，此时测得米，米，已知，，，点、、、、在一条直线上，请根据以上数据，计算咸阳钟楼的高度．
【答案】咸阳钟楼的高度米
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的实际应用
23．（2023九上·顺德期中）综合实践活动
主题：测量墙面高度
素材：手电筒，木板，平面镜，直尺
步骤：如图，小颖同学手持电筒从点处发射光线，通过水平放置在地面上的平面镜反射后，经过垂直于地面放置的木板上边缘点，落在垂直于地面的墙面处．小颖测得处离地面的高度，处离木板底端E处的长度，处到墙面底端处的长度，木板长度．
计算：已知光通过平面镜反射中入射角等于反射角，图中点，，，在同一水平线上．求点到地面的高度．
【答案】解：根据光反射可知：，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
由，
∴，
∴，即，
则，
∴点到地面的高度为米．
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】根据题意得出，根据有两个角相等的两个三角形是相似三角形得出，根据相似三角形的对应边之比相等得出EC的值，根据平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例节课求出FG的值.
24．（2024九上·宁波期中）综合与实践
【问题提出】
勾股定理和黄金分割是几何学中的两大瑰宝，其中"贵金分割"给人以美感.课本第56页这样定义"黄金分割点"：如图1，点将线段AB分成两部分，若，则称点为线段AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比.
（1）【初步感知】
如图1，若，求临金比的值.
（2）【类比探究】
如图2，在中，是BC边上一点，AD将分割成两个三角形（），若，则称AD为的黄金分割线.
①求证：点D是线段BC的黄金分割点：
②若△ABC的面积为4，求△ACD的面积.
（3）【拓展应用】
如图3，在中，为A，B上的一点（不与A，B重合），过D作DE∥BC，交AC于E，BE，CD相交于，连接AF并延长，与DE，BC分别交于M，N.请问直线AN是的黄金分割线吗 并说明理由.
【答案】（1）解：如图1， 设 则.
，
，
，
整理得：
解得 (不符合题意，舍去) ，
，
，
∴黄金比 的值为
（2）①证明： 如图2， 作 '于点R，
且，
∴，
，
∴点D是线段BC的黄金分割点.
②，
，
的面积是
（3）解：直线AN不是 的黄金分割线，
理由：如图3，
∴，
∴，
∴直线AN不是 的黄金分割线.
【知识点】黄金分割；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)设 则 由 得 则 求得符合题意的x值为 则黄金比 的值为
(2)①作. 于点R，则 ， 由 得，所以 则点D是线段BC的黄金分割点；
②由 得 所以
(3)由证明 所以则 由 得 所以 则 所以， 则 可知 直线AN不是 的黄金分割线.
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