等腰三角形等边对等角-浙教版数学八年级上册基础训练
一、选择题
1．若等腰三角形的一个角是70°，则它的底角是( )
A．55° B．70°
C．40°或 70° D．55°或 70°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角；分类讨论
【解析】【解答】解：当 是等腰三角形的底角时，它的底角是
当 是等腰三角形的顶角时，它的底角=
综上所述，等腰三角形的底角是或
故答案为： D.
【分析】分 是等腰三角形的底角和顶角两种情况讨论即可.
2．（2023八上·椒江月考）如图，已知等腰三角形，，长为半径画弧，交腰于点E，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：根据题意，得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠EBC+∠BEC+∠ACB=180°，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据题意，得，再根据等腰三角形”等边对等角“性质得，最后根据三角形内角和定理得.
3．（2025八上·拱墅期末）如图，在中，，点是边AB上的一个动点，则的度数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵，，
∴．
∵是的外角，
∴，
∴，
∴度数可能是．
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形等边对等角的性质，先求出，再根据三角形外角的性质得出的范围，进而得出答案．
4．如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC是钝角.点 D在底边 BC上，连结AD，恰好把△ABC分割成两个等腰三角形，则∠B 的度数是 ( )
A．30° B．36° C．45° D．60°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解： ∵AB=AC， AD， 恰好把△ABC分割成两个等腰三角形，
∴∠B=∠C， ∠B=∠BAD， ∠ADC =∠DAC
∵∠ADC =∠B+∠BAD，
∴∠ADC=∠DAC =∠B+∠BAD=2∠B=2∠C，
设∠C=x，
在△ADC中， ∠CAD+∠ADC+∠C=180°，即x+2x+2x=180°，
解得： x =36°，
∴∠C=36°，
∴∠B=36°，
故答案为： B.
【分析】由等腰三角形的性质得出∠B=∠C=∠BAD， ∠ADC =∠DAC， 根据三角形外角的性质得∠ADC=∠DAC=∠B+∠BAD=2∠B=2∠C，设∠C=x，在△ADC中，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可.
5．（2025九下·丽水模拟） 如图，在△ABC中，点D在BC上，∠DAC=∠ADC=2∠B，AC=3，AD=2，则BC的长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=2∠B，
∴∠B=∠BAD，
∴BD=AD=2，
∵ ∠DAC=∠ADC，
∴AC=CD=3，
∴BC=CD+BD=5.
故答案为：C.
【分析】由三角形外角性质及已知可推出∠B=∠BAD，由等角对等边得AC=CD=3，AC=CD=3，最后根据线段的和差，由BC=CD+BD，列式计算即可.
6．（2024八上·龙湾期中）在数学探究社团活动中，小明同学探索“具备什么条件的等腰三角形可以分割成两个等腰三角形”问题，通过尝试，他画出如图所示的，已知，上取一点D，连结，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
设
，
，
即
，
，
故选：C．
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理和外角性质的综合应用。解题关键在于由多组等边对等角融合外角性质，将多个角用未知数表示，最后利用三角形内角和为180°建立方程求解.
二、填空题
7．（2024八上·江山期中）如图，在中，是边上的高线，若，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余；三角形的高
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
解得，
∴，
∵BD是△ABC中AC边上的高线，
∴∠BDC=90°，
∴，
故答案为：．
【分析】根据等边对等角得，由三角形内角和定理求得，推出，由三角形高线定义得出∠BDC=90°，再利用直角三角形两锐角互补即可求解．
8．（2024八上·镇海区期中）在等腰三角形中，为，则底角的度数为 ．
【答案】70°或40°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：①当为等腰的顶角时，
∵∠A=40°，
∴底角的度数为；
②当为等腰的底角时，
∵∠A=40°，
∴底角的度数为40°，
故答案为：70°或40°．
【分析】先分类讨论：①当为等腰的顶角时，②当为等腰的底角时，然后根据等腰三角形”等边对等角“的性质、三角形内角和定理即可得到答案.
9．（2024八上·滨江期末）如图，在△ABC中，AB=AC，外角∠ACD=110°，则∠A= ．
【答案】40°
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵∠ACD=110，
∴∠ACB=180-110=70；
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=70；
∴∠A=∠ACD-∠B=110-70=40.
故答案为：40.
【分析】先求出∠ACB=70；然后根据等边对等角得到∠B=∠ACB=70，然后利用三角形外角求出∠A即可.
10．（2024八上·萧山期中）△ABC是等腰三角形，∠C=100°，则∠A= .
【答案】40°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵ △ABC是等腰三角形，∠C=100°，
∴∠A=∠B=(180°-∠C)=40°.
故答案为：40°.
【分析】由于等腰三角形的两底角相等及三角形的内角和为180°可得∠C只能为等腰△ABC的顶角，据此即可求出∠A的度数.
11．（2025九上·温州开学考）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，则∠CBD= 度.
【答案】36
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：
∵DE垂直平分AB，
故答案为：36.
【分析】由等腰三角形的性质推出. 由线段垂直平分线的性质推出.DA=DB，得到 即可求出. 的度数.
12． 如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE=AD，则∠EDC= °.
【答案】15
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：
为等边三角形，
∵AD是等边三角形ABC的中线，
BC，
故答案为： 15.
【分析】由等边三角形的性质可求解 BC，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得 的度数，进而可求解.
三、解答题
13．（2024八上·江山期中）把下列证明过程补充完整．
已知：如图，在中，，是边上的中线，于点E．求证：．
证明：∵，
∴ ，
∵是边上的中线，
∴ （ ）．
∴．
∴ ，
∵，
∴．
∵ ，
∴．（ ）
【答案】，，等腰三角形三线合一，，，等角的余角相等．
【知识点】余角；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】证明：∵，
∴，
∵是边上的中线，
∴ （等腰三角形的三线合一）
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．（等角的余角相等）
故答案为：，，等腰三角形三线合一，，，等角的余角相等．
【分析】由等边对等角得，由等腰三角形的三线合一得，进而根据直角三角形两锐角互余及等角的余角相等得出∠CAD=∠BCE.
14．（2024八上·杭州期中）如图，在中，，．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线交于，交于；
（2）连接，求证：平分．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵，，∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
即平分
【知识点】线段垂直平分线的性质；角平分线的概念；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）利用尺规作图作出的垂直平分线得出即可；
（2）利用等边对等角及三角形的内角和定理求出∠ACB的度数，再利用线段垂直平分线的性质可知，利用等边对等角可求出∠ACD的度数，由此可证得，由此即可证明结论．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
即平分．
1 / 1等腰三角形等边对等角-浙教版数学八年级上册基础训练
一、选择题
1．若等腰三角形的一个角是70°，则它的底角是( )
A．55° B．70°
C．40°或 70° D．55°或 70°
2．（2023八上·椒江月考）如图，已知等腰三角形，，长为半径画弧，交腰于点E，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025八上·拱墅期末）如图，在中，，点是边AB上的一个动点，则的度数可能是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC是钝角.点 D在底边 BC上，连结AD，恰好把△ABC分割成两个等腰三角形，则∠B 的度数是 ( )
A．30° B．36° C．45° D．60°
5．（2025九下·丽水模拟） 如图，在△ABC中，点D在BC上，∠DAC=∠ADC=2∠B，AC=3，AD=2，则BC的长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
6．（2024八上·龙湾期中）在数学探究社团活动中，小明同学探索“具备什么条件的等腰三角形可以分割成两个等腰三角形”问题，通过尝试，他画出如图所示的，已知，上取一点D，连结，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2024八上·江山期中）如图，在中，是边上的高线，若，则的度数为 ．
8．（2024八上·镇海区期中）在等腰三角形中，为，则底角的度数为 ．
9．（2024八上·滨江期末）如图，在△ABC中，AB=AC，外角∠ACD=110°，则∠A= ．
10．（2024八上·萧山期中）△ABC是等腰三角形，∠C=100°，则∠A= .
11．（2025九上·温州开学考）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，则∠CBD= 度.
12． 如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE=AD，则∠EDC= °.
三、解答题
13．（2024八上·江山期中）把下列证明过程补充完整．
已知：如图，在中，，是边上的中线，于点E．求证：．
证明：∵，
∴ ，
∵是边上的中线，
∴ （ ）．
∴．
∴ ，
∵，
∴．
∵ ，
∴．（ ）
14．（2024八上·杭州期中）如图，在中，，．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线交于，交于；
（2）连接，求证：平分．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角；分类讨论
【解析】【解答】解：当 是等腰三角形的底角时，它的底角是
当 是等腰三角形的顶角时，它的底角=
综上所述，等腰三角形的底角是或
故答案为： D.
【分析】分 是等腰三角形的底角和顶角两种情况讨论即可.
2．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：根据题意，得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠EBC+∠BEC+∠ACB=180°，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据题意，得，再根据等腰三角形”等边对等角“性质得，最后根据三角形内角和定理得.
3．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵，，
∴．
∵是的外角，
∴，
∴，
∴度数可能是．
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形等边对等角的性质，先求出，再根据三角形外角的性质得出的范围，进而得出答案．
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解： ∵AB=AC， AD， 恰好把△ABC分割成两个等腰三角形，
∴∠B=∠C， ∠B=∠BAD， ∠ADC =∠DAC
∵∠ADC =∠B+∠BAD，
∴∠ADC=∠DAC =∠B+∠BAD=2∠B=2∠C，
设∠C=x，
在△ADC中， ∠CAD+∠ADC+∠C=180°，即x+2x+2x=180°，
解得： x =36°，
∴∠C=36°，
∴∠B=36°，
故答案为： B.
【分析】由等腰三角形的性质得出∠B=∠C=∠BAD， ∠ADC =∠DAC， 根据三角形外角的性质得∠ADC=∠DAC=∠B+∠BAD=2∠B=2∠C，设∠C=x，在△ADC中，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可.
5．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=2∠B，
∴∠B=∠BAD，
∴BD=AD=2，
∵ ∠DAC=∠ADC，
∴AC=CD=3，
∴BC=CD+BD=5.
故答案为：C.
【分析】由三角形外角性质及已知可推出∠B=∠BAD，由等角对等边得AC=CD=3，AC=CD=3，最后根据线段的和差，由BC=CD+BD，列式计算即可.
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
设
，
，
即
，
，
故选：C．
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理和外角性质的综合应用。解题关键在于由多组等边对等角融合外角性质，将多个角用未知数表示，最后利用三角形内角和为180°建立方程求解.
7．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余；三角形的高
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
解得，
∴，
∵BD是△ABC中AC边上的高线，
∴∠BDC=90°，
∴，
故答案为：．
【分析】根据等边对等角得，由三角形内角和定理求得，推出，由三角形高线定义得出∠BDC=90°，再利用直角三角形两锐角互补即可求解．
8．【答案】70°或40°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：①当为等腰的顶角时，
∵∠A=40°，
∴底角的度数为；
②当为等腰的底角时，
∵∠A=40°，
∴底角的度数为40°，
故答案为：70°或40°．
【分析】先分类讨论：①当为等腰的顶角时，②当为等腰的底角时，然后根据等腰三角形”等边对等角“的性质、三角形内角和定理即可得到答案.
9．【答案】40°
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵∠ACD=110，
∴∠ACB=180-110=70；
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=70；
∴∠A=∠ACD-∠B=110-70=40.
故答案为：40.
【分析】先求出∠ACB=70；然后根据等边对等角得到∠B=∠ACB=70，然后利用三角形外角求出∠A即可.
10．【答案】40°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵ △ABC是等腰三角形，∠C=100°，
∴∠A=∠B=(180°-∠C)=40°.
故答案为：40°.
【分析】由于等腰三角形的两底角相等及三角形的内角和为180°可得∠C只能为等腰△ABC的顶角，据此即可求出∠A的度数.
11．【答案】36
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：
∵DE垂直平分AB，
故答案为：36.
【分析】由等腰三角形的性质推出. 由线段垂直平分线的性质推出.DA=DB，得到 即可求出. 的度数.
12．【答案】15
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：
为等边三角形，
∵AD是等边三角形ABC的中线，
BC，
故答案为： 15.
【分析】由等边三角形的性质可求解 BC，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得 的度数，进而可求解.
13．【答案】，，等腰三角形三线合一，，，等角的余角相等．
【知识点】余角；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】证明：∵，
∴，
∵是边上的中线，
∴ （等腰三角形的三线合一）
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．（等角的余角相等）
故答案为：，，等腰三角形三线合一，，，等角的余角相等．
【分析】由等边对等角得，由等腰三角形的三线合一得，进而根据直角三角形两锐角互余及等角的余角相等得出∠CAD=∠BCE.
14．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵，，∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
即平分
【知识点】线段垂直平分线的性质；角平分线的概念；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）利用尺规作图作出的垂直平分线得出即可；
（2）利用等边对等角及三角形的内角和定理求出∠ACB的度数，再利用线段垂直平分线的性质可知，利用等边对等角可求出∠ACD的度数，由此可证得，由此即可证明结论．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
即平分．
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