等腰三角形-浙教版数学八年级上册培优训练
一、单选题
1．（2024七下·市中区月考）如图，在中，，、是的两条中线，P是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021八上·攀枝花期中）如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2023七下·盐湖期末）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（ ）．
A． B．
C． D．
4．如图，Rt中，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形.其作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·东阳二模）如图，是边长为的正三角形，点，分别是边，上的动点，连结，交于点，且作于点，于点下列两条线段的和，不随，的运动而改变的是( )
A． B． C． D．
6．（2024八下·麒麟月考）如图所示，在矩形中，，将矩形沿折叠，点落在点处，与交于点，则重叠部分的面积是（ ）
A．20 B．16 C．12 D．10
7．（2021八上·长沙期末）如图，等边 中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点， ， ，在BD上有一动点E，则 的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
二、填空题
8．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册2.4等腰三角形的判定定理 同步训练）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线DE交AC于D，交AB于E，（1）BD平分∠ABC；（2）点D是线段AC的中点；（3）AD=BD=BC；（4）△BDC的周长等于AB+BC，上述结论正确的是 ．
9．（2024八上·西湖月考）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是 ．（填写正确的序号）
10．（2025·营山模拟）如图，在矩形中，，点为射线上一个动点，将沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为 ．
11．（2025·荔湾模拟）如图，在中，，，的垂直平分线交于，交于，若，则的长为 ．
12．（2024八上·碧江期末）如图，在中，，，的面积为，的垂直平分线分别交，边于点，，若为边的中点， 为线段上一动点，则的最小值为 ．
13．（2020八上·扎兰屯期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是∠BAC的平分线，AD＝4．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．
14．（2024八上·花都期末）如图，，M，N分别为射线，上的动点，P为内一点，连接，，． 当周长取得最小值时，则的度数为 ．
15．（2023八下·济阳期中）如图，中，，，P为内一点，，则的最小值为 ．
16．（2024八上·香洲期末）如图，已知平分，P是OD上一定点，以点P为顶点作，将绕点P旋转，PM与OA交于点E，PN与OB交于F，连接EF交OP于点G（点G在O，P之间），以下4个结论：①是等腰三角形；②当时，是等边三角形；③当时，；④在旋转过程中，四边形OEPF的面积也随之变化．其中正确的选项有 ．
三、解答题
17．（2024八上·江岸期末）以线段AC、CB为底按顺时针方向在平面内构造等腰与等腰，，，，，且．
（1）如图1，当点A、B、C三点共线时，求证：；
（2）如图2，当点A、B、C三点不共线时，连接，点为中点，连接、，求证：；
（3）如图3，当点在线段上运动时（点与A、D不重合），请直接写出与的数量关系．（直接填写答案）
18．（2024八下·南海月考）如图，在中，，，点D是边的中点，交于点E，连接．
（1）求的度数；
（2），求的面积．
19．（2025八下·揭阳期中）如图，在中，，点在上运动，点在上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点，交于点，连接．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，，求线段的长．
20．（2024八上·临海期中）如图， △ABC是等边三角形，点D沿ABC的边从点A运动到点B，再从点B运动到点C点E是边BC上一点，运动过程中始终满足BD=CE.
（1）如图1，当点D在AB边上时，连接AE，CD相交于点G①求证：AE=CD.②求∠CGE的度数.
（2）如图2，当点D在BC边上时，延长AB至点F，使BF=BE，连接AE.DF.判断AE与DF是否相等 并说明理由.
21．（2023八上·临邑开学考）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，≌，，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）当时，试判断的形状，并说明理由；
（3）探究：当为多少度时，是等腰三角形．
22．（2025七下·普宁期末） 【问题背景】
如图1，在中，已知，，AH是的高，，，过点C的直线，动点D从点C开始沿射线CB方向以3cm/s的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线MN上以2cm/s的速度向远离C点的方向运动，连接AD、AE，设运动时间为t(t>0)秒
（1）【思考尝试】请直接写出CD、CE的长度（用含有t的代数式表示）：CD= cm，CE= cm
（2） 当t为多少时，的面积为？
（3）【深入探究】如图2，当点D在线段BC上，且时，是否与全等？说明理由，此时的值为多少？
（4） 请利用备用图探究，当点D在线段CB的延长线上，且时，CD与CE有什么数量关系？请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接，
，是的中线，
，，
垂直平分，
，
，
即的最小值是线段的长，
故答案为：C．
【分析】连接CP，利用垂直平分线的性质可得BP=CP，再利用三角形三边的关系可得，从而可得的最小值是线段的长.
2．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；轴对称的性质
【解析】【解答】解：要使△ABP与△ABC全等，
必须使点P与点C关于AB对称或关于AB的垂直平分线对称，据此可得点P1、P4满足要求，进而再根据轴对称性可知点P3也满足要求，
所以点P的位置可以是P1，P2，P4三个，
故答案为：C．
【分析】要使△ABP与△ABC全等，由于AB为公共边，根据轴对称的性质即可一一判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：利用轴对称的性质可得，C选项中AC+BC的长最小，
故答案为：C.
【分析】利用“将军饮马”的方法求解即可.
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A、根据图可得AD=AC，
∴△ACD是等腰三角形，故选项A不符合题意；
B、根据图可得所作直线是线段BC的垂直平分线，
∴不能推出△ACD和△ABD是等腰三角形，故选项B符合题意；
C、根据图可得所作直线是线段AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴△ABD是等腰三角形，故选项C不符合题意；
D、∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
根据图可得AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=30°=∠B，
∴DB=DA，
∴△ABD是等腰三角形，故选项D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】作法知AD=AC可得A中存在等腰三角形；由作法知所作直线是线段BC的垂直平分线，不能找出B中的等腰三角形；由作法知，所作性质是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得DA=DB，可得C中存在等腰三角形；由作法知AD是∠BAC的平分线，推得∠BAD=∠B，根据等角对等边得到DB=DA，可得D中存在等腰三角形.
5．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：设BG=a，
∵△ABC是等边三角形，且边长为1，
∴AB=BC=AC=1，∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∵DG⊥BC，EH⊥BC，
∴△BDG和△CEH都是直角三角形，
在Rt△BDG中，∠BDG=90°-∠ABC=30°，
∴BD=BG=2a，
由勾股定理得：
，
∵∠BFD是△FBC的外角，且∠BFD=60°，
∴∠FBC+∠BCD=60°，
∵∠ABE+∠FBC=∠ABC=60°，
∴∠ABE=∠BCD，
在△ABE和△BCD中，
∴△ABE △BCD(ASA)，
∴BD=AE=2a，
∴CE=AC-AE=1-2a，
在Rt△CEH中，∠CEH=90°-∠ACB=30°，
∴，
由勾股定理得：
，
∴
∴，
∴DG+EH的值不随D，E的运动而改变，始终是，
故答案为：D.
【分析】设BG=a，在Rt△BDG中，∠BDG=30°，则BD=BG=2a，，证明△ABE和△BCD全等得BD=AE=2a，则CE=AC-AE=1-2a，在Rt△CEH中，根据∠CEH=30°得，进而由勾股定理得，则，据此即可得出答案.
6．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质可得
四边形ABCD是矩形，
BF=DF，
在Rt△DFC中，
解得DF=5，
故答案为：D.
【分析】由折叠的性质可得再证明得到BF=DF，利用勾股定理列出关于DF的方程，解方程得到DF的值，利用三角形的面积公式即可求解.
7．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，
是等边三角形，
，
∵D为AC中点，
∴ ，
∵ ， ，
，
作点Q关于BD的对称点Q' ，连接PQ'交BD于E，连接QE ，此时PE+QE的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ' ，
， ，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
∴PE+QE 的最小值为10.
故答案为：C.
【分析】作点Q关于BD的对称点Q' ，连接PQ'交BD于E，连接QE ，此时PE+QE的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ' ，进而判断△APQ'是等边三角形，即可解决问题.
8．【答案】（1），（3），（4）
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵△ABC为等腰三角形，DE是AB边的中垂线，所以（1）正确；
∵∠A=36°，
∴∠C=∠BDC=∠ABC=72°，∠ABD=∠A=36°，
∴BC=BD=AD，（3）正确；
△BCD的周长为BC+BD+CD，∵AD=BD，
∴△BCD的周长为AB+BC，（4）正确；
（ 2 ）中点D无法判断其是AC的中点，（2）错误
所以正确的结论为（1），（3），（4）．
故填（1），（3），（4）
【分析】由中垂线上的点到线段两个端点的距离相等得出AD=BD，故∠A=36°=∠ABD，由三角形的内角和及外角定理得出∠C=∠BDC=∠ABC=72°，根据等角对等边得出BC=BD=AD；再根据角的和差得出∠DBC=36°=∠ABD，故BD平分∠ABC；根据三角形周长的计算方法，及等量代换得出△BCD的周长为BC+BD+CD=AB+BC；即可一一判断得出答案。
9．【答案】①②③
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：①∵在中，，
∴，
∵和是和的平分线，
∴，
∴，
∴结论正确；
②在上截取，
∵是的角平分线，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴结论正确；
③作于于，
∵和的平分线，相交于点，，
∴，
∵，
∴，
∴结论正确；
∴正确的序号为①②③；
故答案为①②③．
【分析】①根据三角形的内角和定理及角平分线的性质可判断求解；
②在上截取，用边角边可证，由全等三角形的对应角相等可得∠BOH=∠BOE，结合已知，根据角边角可证，由全等三角形的对应边相等可得AF=AH，然后根据线段的和差AB=BH+AH可判断求解；
③作于于，根据角平分线的性质及三角形的面积可判断求解．
10．【答案】2.5或10
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
11．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：的垂直平分线交于，交于，
，，
，
，
根据勾股定理。
故答案为：。
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可求出AD=BD的值，进而可求出的值，然后再根据三角形的外角定理，即可求出的值，再根据直角三角形的性质，求出AC的值，最后再根据勾股定理： ，代入数据，即可求解。
12．【答案】10
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接，，
∵是等腰三角形，点是边的中点，
∴，
∴，
于是解得：，
又∵是线段的垂直平分线，
∴点关于直线的对称点为点，
则，
当点在线段上时，的值为最小，
∴的长为的最小值
故答案为：．
【分析】连接AD，AM，又由于是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD上BC，再根据三角形的面积公式可以求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论。
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴BP＝CP．
如图，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，
∵S△ABC＝ BC AD＝ AC BQ，
∴BQ＝ ＝ ，
即PC+PQ的最小值是 ．
故答案为 ．
【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长，即可得解。
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：如图所示：分别作点关于，的对称点C、D，连接，分别交于M，交于点N．
则，，，
根据轴对称的性质，可得，，
则的周长最小为点C、M、N和D四点共线，最小值为，
∴，
在等腰中，，
则，
故答案为：．
【分析】考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，通过作点关于直线的对称点，将三角形的周长转化为两点间的线段长度来求解最小值，再利用等腰三角形得到.
15．【答案】5
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题；旋转的性质
【解析】【解答】解：将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AP'C'，连接PP'，延长PA交BC于点E，过点A作AD⊥BC'与点D，如图：
由旋转得∠APC=∠AP'C'=120°，PA=P'A，CA=C'A，CP=C'P'，∠PAP'=60°，
∵PA=P'A，∠PAP'=60°，
∴△PAP'为等边三角形，
∴∠PP'A=∠APP'=60°，PA=P'A=PP'，
∵∠BPA+∠APP'=60°+120°=180°，
∴点P'，P，B共线，
∵∠PP'A+∠C'P'A=60°+120°=180°，
∴点P，P'，C共线，
∴点P，P'，B，C'共线，
∵AB=CA=C'A，
∴DB=DC'，
∵AP=AP'，
∴DP=DP'，
∴BD-PD=C'D-P'D，
∴PB=C'P'，
∴CP=C'P'=PB，
∵∠APC=∠APB=120°，
∴∠EPC=∠BPE=60°，
∵PC=PB，，
∴BC⊥PE，BE=，
∴∠EBP=90°-60°=30°，
∴PB=2PE，
∵，
∴，
∴PE=1，
∴BP=2PE=2，
∵，
∴，
∴AP=AE-PE=1，
∴PA+PB+PC=5，
∴的最小值5
故答案为：5
【分析】将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AP'C'，连接PP'，延长PA交BC于点E，过点A作AD⊥BC'与点D，先根据等边三角形的性质结合题意得到点P，P'，B，C'共线，再根据等腰三角形的性质结合含30°直角三角形的性质和勾股定理即可求出AE的长，进而即可求出PA+PB+PC的最小值。
16．【答案】①②③
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的判定；等边三角形的判定；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过P点作PH⊥OA于H点，PQ⊥OB于Q点，如图所示，
∵OP平分∠AOB，PH⊥OA，PQ⊥OB，
∴PH＝PQ，∠PHO＝∠PQO＝90°，
∵∠HOQ＝60°，
∴∠HPQ＝180° 60°＝120°，
∵∠EPF＝120°，
∴∠HPE＝∠QPF，
在△PHE和△PQF中，
∴△PHE≌△PQF（ASA），
∴PE＝PF，
∴△EPF是等腰三角形，
∴①正确；
∴∠PEF＝∠PFE＝30°，
当PM⊥OA时，
∴∠PEO＝90°，
∴∠FEO＝∠PEO ∠PEF＝90° 30°＝60°，
∵∠EOF＝60°，
∴此时△OEF是等边三角形，
∴②正确；
当EF⊥OA时，
∴∠FEO＝90°，
∴∠EOP＝30°，
∴∠OGE＝60°，
∵∠PEG＝30°，
∴∠EPG＝30°，
∵∠EOP＝∠EPG，
∴OE＝PE，
∵PE＝PF，
∴OE＝PF，
在△EOG和△PFG中，
∴△EOG≌△PFG（AAS），
∴③正确；
∵△PHE≌△PQF，
∴S△PHE＝S△PQF，
∴S四边形OEPF＝S四边形OHPQ，
∵S四边形OHPQ＝2S△OPH＝2××OH×PH=PH×PH=×OP×OP=OP2，且OP为定值，
∴S四边形OHPQ为定值，
∴S四边形OEPF为定值，
∴④错误．
综上，正确的结论是：①②③．
故答案为：①②③．
【分析】过P点作PH⊥OA于H点，PQ⊥OB于Q点，先利用“ASA”证明△PHE≌△PQF，再利用全等三角形的性质可得PE＝PF，可判断出①正确；利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠PEF＝∠PFE＝30°，当PM⊥OA时，则∠FEO＝60°，结合∠EOF＝60°，证出△OEF是等边三角形，从而可判断出②正确；当EF⊥OA时，则∠OGE＝60°，利用三角形外角性质求出∠EPG＝30°，证出OE＝PE，再证出△EOG≌△PFG，从而可判断出③正确；利用△PHE≌△PQF，可得S四边形OEPF＝S四边形OHPQ，再利用S四边形OHPQ＝2S△OPH＝OP2，从而得到S四边形OEPF为定值，从而可对④进行判断．
17．【答案】（1）证明：在中
∵
∴
∵
∴
∴
同理可得：
∵
∴
∴
（2）证明：延长DF至Q，使，连BQ，
在和中
∴
∴，
又∵
∴
由（1）知，
设，，，
∴
∴
由（1）知
∴，
在和中
∴
∴
又∵
∴ .
（3）解：或
【知识点】三角形的综合
【解析】【解答】解：（3）取AB的中点，连接EF，由（2）知： ，
∴
∵
∴
①当点E在AC上方，
∵
∴
∴
∴
②当点E在AC下方，
∵
∴
综上所述，或.
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得到：，同理得到：，进而平角的定义的可得到方程，进而即可求出∠DCE的度数，进而即可求证；
（2）延长DF至Q，使，连BQ，利用"ASA"证明，得到： ，，结合（1）设，，，，即可证明再利用"SAS"证明得到，进而根据垂直平分线的判定即可求证；
（3）取AB的中点，连接EF，由（2）知： ，结合题意可知：然后分两种情况讨论，①当点E在AC上方，②当点E在AC下方，分别根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解.
18．【答案】（1）解：设的度数为x，则，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴.
（2）解：∵点D是边的中点，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴根据勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
．
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）设的度数为x，则，再利用，可得，最后求出x的值即可；
（2）先利用含30°角的直角三角形的性质可得，再利用勾股定理求出BC的长，再求出，最后利用三角形的面积公式及割补法求出△ABC的面积即可.
19．【答案】（1）解：，理由如下：
，
，
垂直平分，
，
，
在中，，
，
，
，
.
（2）解：连接，如图所示：
，，，
，，
设，则，
在中，根据勾股定理，得，
在中，根据勾股定理，得，
，
解得，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）先利用垂直平分线的性质可得ED=EB，再利用等边对等角的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，从而可证出；
（2）连接PE，设，则，利用勾股定理可得，再求出x的值即可.
（1）解：，理由如下：
，
，
垂直平分，
，
，
在中，，
，
，
，
；
（2）解：连接，如图所示：
，，，
，，
设，
则，
在中，根据勾股定理，得，
在中，根据勾股定理，得，
，
解得，
．
20．【答案】（1）解：①如图1.
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，BC=AC.
∵BD=CE.
∴△ACE≌△CBD.
∴AE=CD.
②∵△ACE≌△CBD.
∴∠CAE=∠BCD
∵∠ACD+∠BCD=60°
∵∠CGE=∠ACD+∠CAE=∠ACD+∠BCD=60°
（2）解：AE=DF.
方法 1.如图2，在AB上截取AH=BF，连接 DH，可得 HF=AB.
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60，AB=AC=BC=HF
∵BF=BE，BD=CE.
∴BH=CE=BD.
∴△BDH 是等边三角形，
∴∠BHD=∠ACB=60°
∴△ACE≌△FHD
∴AE=DF
方法 2.如图3，在AB上截取 AH=BF，连接 DH，CH，可得 HF=AB.
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，HF=AB=BC=AC
∵BH=CE，
∴△ACE≌△CBH.
∴AE=CH.
∵BF=BE，BD=CE.
∴BH=CE=BD.
∴△BDH 是等边三角形.
∴∠HDB=∠ABC=60°，BD=DH
∴∠CDH=∠DBF-120°
∴
∴CH=DF.
∴AE=DF
方法3.如图4，在AB上截取 BH=BF，连接 EH.
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC
∴△BEH 是等边三角形.
∴∠EHB=∠ABC-60°，EH=BE=BH=BF.
∴∠AHE=∠DBF=120°，AH=CE.
∵BD=CE，
∴AH=BD.
∴△AEH≌△DFB.
∴AE=DF
方法 4.如图5，过点E作EH∥AB交AC 于点 H
∴∠CHE=∠CAB，∠CEH=∠CBA.
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠CHE=∠CEH=∠ABC=∠CAB=∠C=60°.AC=BC
∴△CEH 是等边三角形，∠AHE=∠FBD=120°
∴CE=CH=EH
∴BE=AH.
∴BF=BE.
∴BF=AH.
∴BD=CE，
∴BD=EH.
∴△AEH≌△FDB.
∴AE=DF
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）由△ABC是等边三角形 ，求出△ACE≌△CBD，得出 AE=CD 与 ∠CGE的度数 ；
（2）先判断AE=DF，再说明理由，方法一：根据△ABC是等边三角形的性质得出的结论推断出△ACE≌△FHD，再根据全等三角形的性质得出结论AE=DF；方法二：根据△ABC是等边三角形的性质得出的结论推断出△ACE≌△CBH，进而得出△BDH 是等边三角形，再根据等边三角形的性质，得出△CDH≌△FBD，最终求解AE=DF；方法三：先证明△BEH 是等边三角形，再求证△AEH≌△DFB，最后推出AE=DF；方法四：先根据等边三角形的判定得出△CEH 是等边三角形，再求证△AEH≌△FDB，最后得出结果AE=DF.
21．【答案】（1）证明：≌，
．
，
是等边三角形．
（2）解：是直角三角形．
理由如下：
是等边三角形，
，
≌，，
，
，
是直角三角形．
（3）解：是等边三角形，
．
，，
，
，
．
当时，，
．
当时，，
．
当时，
，
．
综上所述：当或或时，是等腰三角形．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，再根据等边三角形的判定定理即可求出答案.
（2）根据等边三角的性质及全等三角形性质即可求出答案.
（3）根据等边三角形性质，四边形内角和定理分，，时，根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
22．【答案】（1）3t；2t
（2）解： 当0＜t＜时，点D在BC上，BD=（8-3t）cm，
∵，
∴2（8-3t）=12，
解得：；
当t≥时，点D在CB的延长线上，BD=（3t-8）cm，
∴，
解得：，
综上所述：当 t 为或时， 的面积为 ；
（3）解：与全等，理由如下：
如图3，∵AD⊥AE，
∴∠DAE=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，
∴当BD=CE时，△ABD≌△ACE（SAS），
∴8-3t=2t，
解得：，
∴当 时， 与全等；
此时 ；
（4）解：或，理由如下：
如图所示：
∵AD⊥AE，
∴∠DAE=90°，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD=180°-∠ABC=135°，∠ACE=∠ACB+90°=135°，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴BD=CE，
∴3t-8=2t，
解得：t=8，
∴CD=3t=24cm，CE=2t=16cm，
∴CD=3CE或.
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：CD=3tcm，CE=2tcm，
故答案为：3t；2t.
【分析】（1）根据速度×时间=路程计算求解即可；
（2）分类讨论，利用三角形的面积公式计算求解即可；
（3）根据题意先求出∠BAD=∠CAE，再求出△ABD≌△ACE，最后计算求解即可；
（4）根据等腰直角三角形的性质求出∠ABC=∠ACB=45°，再利用ASA证明△ABD≌△ACE，最后计算求解即可.
1 / 1等腰三角形-浙教版数学八年级上册培优训练
一、单选题
1．（2024七下·市中区月考）如图，在中，，、是的两条中线，P是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接，
，是的中线，
，，
垂直平分，
，
，
即的最小值是线段的长，
故答案为：C．
【分析】连接CP，利用垂直平分线的性质可得BP=CP，再利用三角形三边的关系可得，从而可得的最小值是线段的长.
2．（2021八上·攀枝花期中）如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；轴对称的性质
【解析】【解答】解：要使△ABP与△ABC全等，
必须使点P与点C关于AB对称或关于AB的垂直平分线对称，据此可得点P1、P4满足要求，进而再根据轴对称性可知点P3也满足要求，
所以点P的位置可以是P1，P2，P4三个，
故答案为：C．
【分析】要使△ABP与△ABC全等，由于AB为公共边，根据轴对称的性质即可一一判断得出答案.
3．（2023七下·盐湖期末）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：利用轴对称的性质可得，C选项中AC+BC的长最小，
故答案为：C.
【分析】利用“将军饮马”的方法求解即可.
4．如图，Rt中，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形.其作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A、根据图可得AD=AC，
∴△ACD是等腰三角形，故选项A不符合题意；
B、根据图可得所作直线是线段BC的垂直平分线，
∴不能推出△ACD和△ABD是等腰三角形，故选项B符合题意；
C、根据图可得所作直线是线段AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴△ABD是等腰三角形，故选项C不符合题意；
D、∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
根据图可得AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=30°=∠B，
∴DB=DA，
∴△ABD是等腰三角形，故选项D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】作法知AD=AC可得A中存在等腰三角形；由作法知所作直线是线段BC的垂直平分线，不能找出B中的等腰三角形；由作法知，所作性质是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得DA=DB，可得C中存在等腰三角形；由作法知AD是∠BAC的平分线，推得∠BAD=∠B，根据等角对等边得到DB=DA，可得D中存在等腰三角形.
5．（2025·东阳二模）如图，是边长为的正三角形，点，分别是边，上的动点，连结，交于点，且作于点，于点下列两条线段的和，不随，的运动而改变的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：设BG=a，
∵△ABC是等边三角形，且边长为1，
∴AB=BC=AC=1，∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∵DG⊥BC，EH⊥BC，
∴△BDG和△CEH都是直角三角形，
在Rt△BDG中，∠BDG=90°-∠ABC=30°，
∴BD=BG=2a，
由勾股定理得：
，
∵∠BFD是△FBC的外角，且∠BFD=60°，
∴∠FBC+∠BCD=60°，
∵∠ABE+∠FBC=∠ABC=60°，
∴∠ABE=∠BCD，
在△ABE和△BCD中，
∴△ABE △BCD(ASA)，
∴BD=AE=2a，
∴CE=AC-AE=1-2a，
在Rt△CEH中，∠CEH=90°-∠ACB=30°，
∴，
由勾股定理得：
，
∴
∴，
∴DG+EH的值不随D，E的运动而改变，始终是，
故答案为：D.
【分析】设BG=a，在Rt△BDG中，∠BDG=30°，则BD=BG=2a，，证明△ABE和△BCD全等得BD=AE=2a，则CE=AC-AE=1-2a，在Rt△CEH中，根据∠CEH=30°得，进而由勾股定理得，则，据此即可得出答案.
6．（2024八下·麒麟月考）如图所示，在矩形中，，将矩形沿折叠，点落在点处，与交于点，则重叠部分的面积是（ ）
A．20 B．16 C．12 D．10
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质可得
四边形ABCD是矩形，
BF=DF，
在Rt△DFC中，
解得DF=5，
故答案为：D.
【分析】由折叠的性质可得再证明得到BF=DF，利用勾股定理列出关于DF的方程，解方程得到DF的值，利用三角形的面积公式即可求解.
7．（2021八上·长沙期末）如图，等边 中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点， ， ，在BD上有一动点E，则 的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，
是等边三角形，
，
∵D为AC中点，
∴ ，
∵ ， ，
，
作点Q关于BD的对称点Q' ，连接PQ'交BD于E，连接QE ，此时PE+QE的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ' ，
， ，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
∴PE+QE 的最小值为10.
故答案为：C.
【分析】作点Q关于BD的对称点Q' ，连接PQ'交BD于E，连接QE ，此时PE+QE的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ' ，进而判断△APQ'是等边三角形，即可解决问题.
二、填空题
8．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册2.4等腰三角形的判定定理 同步训练）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线DE交AC于D，交AB于E，（1）BD平分∠ABC；（2）点D是线段AC的中点；（3）AD=BD=BC；（4）△BDC的周长等于AB+BC，上述结论正确的是 ．
【答案】（1），（3），（4）
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵△ABC为等腰三角形，DE是AB边的中垂线，所以（1）正确；
∵∠A=36°，
∴∠C=∠BDC=∠ABC=72°，∠ABD=∠A=36°，
∴BC=BD=AD，（3）正确；
△BCD的周长为BC+BD+CD，∵AD=BD，
∴△BCD的周长为AB+BC，（4）正确；
（ 2 ）中点D无法判断其是AC的中点，（2）错误
所以正确的结论为（1），（3），（4）．
故填（1），（3），（4）
【分析】由中垂线上的点到线段两个端点的距离相等得出AD=BD，故∠A=36°=∠ABD，由三角形的内角和及外角定理得出∠C=∠BDC=∠ABC=72°，根据等角对等边得出BC=BD=AD；再根据角的和差得出∠DBC=36°=∠ABD，故BD平分∠ABC；根据三角形周长的计算方法，及等量代换得出△BCD的周长为BC+BD+CD=AB+BC；即可一一判断得出答案。
9．（2024八上·西湖月考）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是 ．（填写正确的序号）
【答案】①②③
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：①∵在中，，
∴，
∵和是和的平分线，
∴，
∴，
∴结论正确；
②在上截取，
∵是的角平分线，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴结论正确；
③作于于，
∵和的平分线，相交于点，，
∴，
∵，
∴，
∴结论正确；
∴正确的序号为①②③；
故答案为①②③．
【分析】①根据三角形的内角和定理及角平分线的性质可判断求解；
②在上截取，用边角边可证，由全等三角形的对应角相等可得∠BOH=∠BOE，结合已知，根据角边角可证，由全等三角形的对应边相等可得AF=AH，然后根据线段的和差AB=BH+AH可判断求解；
③作于于，根据角平分线的性质及三角形的面积可判断求解．
10．（2025·营山模拟）如图，在矩形中，，点为射线上一个动点，将沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为 ．
【答案】2.5或10
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
11．（2025·荔湾模拟）如图，在中，，，的垂直平分线交于，交于，若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：的垂直平分线交于，交于，
，，
，
，
根据勾股定理。
故答案为：。
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可求出AD=BD的值，进而可求出的值，然后再根据三角形的外角定理，即可求出的值，再根据直角三角形的性质，求出AC的值，最后再根据勾股定理： ，代入数据，即可求解。
12．（2024八上·碧江期末）如图，在中，，，的面积为，的垂直平分线分别交，边于点，，若为边的中点， 为线段上一动点，则的最小值为 ．
【答案】10
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接，，
∵是等腰三角形，点是边的中点，
∴，
∴，
于是解得：，
又∵是线段的垂直平分线，
∴点关于直线的对称点为点，
则，
当点在线段上时，的值为最小，
∴的长为的最小值
故答案为：．
【分析】连接AD，AM，又由于是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD上BC，再根据三角形的面积公式可以求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论。
13．（2020八上·扎兰屯期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是∠BAC的平分线，AD＝4．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴BP＝CP．
如图，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，
∵S△ABC＝ BC AD＝ AC BQ，
∴BQ＝ ＝ ，
即PC+PQ的最小值是 ．
故答案为 ．
【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长，即可得解。
14．（2024八上·花都期末）如图，，M，N分别为射线，上的动点，P为内一点，连接，，． 当周长取得最小值时，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：如图所示：分别作点关于，的对称点C、D，连接，分别交于M，交于点N．
则，，，
根据轴对称的性质，可得，，
则的周长最小为点C、M、N和D四点共线，最小值为，
∴，
在等腰中，，
则，
故答案为：．
【分析】考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，通过作点关于直线的对称点，将三角形的周长转化为两点间的线段长度来求解最小值，再利用等腰三角形得到.
15．（2023八下·济阳期中）如图，中，，，P为内一点，，则的最小值为 ．
【答案】5
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题；旋转的性质
【解析】【解答】解：将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AP'C'，连接PP'，延长PA交BC于点E，过点A作AD⊥BC'与点D，如图：
由旋转得∠APC=∠AP'C'=120°，PA=P'A，CA=C'A，CP=C'P'，∠PAP'=60°，
∵PA=P'A，∠PAP'=60°，
∴△PAP'为等边三角形，
∴∠PP'A=∠APP'=60°，PA=P'A=PP'，
∵∠BPA+∠APP'=60°+120°=180°，
∴点P'，P，B共线，
∵∠PP'A+∠C'P'A=60°+120°=180°，
∴点P，P'，C共线，
∴点P，P'，B，C'共线，
∵AB=CA=C'A，
∴DB=DC'，
∵AP=AP'，
∴DP=DP'，
∴BD-PD=C'D-P'D，
∴PB=C'P'，
∴CP=C'P'=PB，
∵∠APC=∠APB=120°，
∴∠EPC=∠BPE=60°，
∵PC=PB，，
∴BC⊥PE，BE=，
∴∠EBP=90°-60°=30°，
∴PB=2PE，
∵，
∴，
∴PE=1，
∴BP=2PE=2，
∵，
∴，
∴AP=AE-PE=1，
∴PA+PB+PC=5，
∴的最小值5
故答案为：5
【分析】将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AP'C'，连接PP'，延长PA交BC于点E，过点A作AD⊥BC'与点D，先根据等边三角形的性质结合题意得到点P，P'，B，C'共线，再根据等腰三角形的性质结合含30°直角三角形的性质和勾股定理即可求出AE的长，进而即可求出PA+PB+PC的最小值。
16．（2024八上·香洲期末）如图，已知平分，P是OD上一定点，以点P为顶点作，将绕点P旋转，PM与OA交于点E，PN与OB交于F，连接EF交OP于点G（点G在O，P之间），以下4个结论：①是等腰三角形；②当时，是等边三角形；③当时，；④在旋转过程中，四边形OEPF的面积也随之变化．其中正确的选项有 ．
【答案】①②③
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的判定；等边三角形的判定；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过P点作PH⊥OA于H点，PQ⊥OB于Q点，如图所示，
∵OP平分∠AOB，PH⊥OA，PQ⊥OB，
∴PH＝PQ，∠PHO＝∠PQO＝90°，
∵∠HOQ＝60°，
∴∠HPQ＝180° 60°＝120°，
∵∠EPF＝120°，
∴∠HPE＝∠QPF，
在△PHE和△PQF中，
∴△PHE≌△PQF（ASA），
∴PE＝PF，
∴△EPF是等腰三角形，
∴①正确；
∴∠PEF＝∠PFE＝30°，
当PM⊥OA时，
∴∠PEO＝90°，
∴∠FEO＝∠PEO ∠PEF＝90° 30°＝60°，
∵∠EOF＝60°，
∴此时△OEF是等边三角形，
∴②正确；
当EF⊥OA时，
∴∠FEO＝90°，
∴∠EOP＝30°，
∴∠OGE＝60°，
∵∠PEG＝30°，
∴∠EPG＝30°，
∵∠EOP＝∠EPG，
∴OE＝PE，
∵PE＝PF，
∴OE＝PF，
在△EOG和△PFG中，
∴△EOG≌△PFG（AAS），
∴③正确；
∵△PHE≌△PQF，
∴S△PHE＝S△PQF，
∴S四边形OEPF＝S四边形OHPQ，
∵S四边形OHPQ＝2S△OPH＝2××OH×PH=PH×PH=×OP×OP=OP2，且OP为定值，
∴S四边形OHPQ为定值，
∴S四边形OEPF为定值，
∴④错误．
综上，正确的结论是：①②③．
故答案为：①②③．
【分析】过P点作PH⊥OA于H点，PQ⊥OB于Q点，先利用“ASA”证明△PHE≌△PQF，再利用全等三角形的性质可得PE＝PF，可判断出①正确；利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠PEF＝∠PFE＝30°，当PM⊥OA时，则∠FEO＝60°，结合∠EOF＝60°，证出△OEF是等边三角形，从而可判断出②正确；当EF⊥OA时，则∠OGE＝60°，利用三角形外角性质求出∠EPG＝30°，证出OE＝PE，再证出△EOG≌△PFG，从而可判断出③正确；利用△PHE≌△PQF，可得S四边形OEPF＝S四边形OHPQ，再利用S四边形OHPQ＝2S△OPH＝OP2，从而得到S四边形OEPF为定值，从而可对④进行判断．
三、解答题
17．（2024八上·江岸期末）以线段AC、CB为底按顺时针方向在平面内构造等腰与等腰，，，，，且．
（1）如图1，当点A、B、C三点共线时，求证：；
（2）如图2，当点A、B、C三点不共线时，连接，点为中点，连接、，求证：；
（3）如图3，当点在线段上运动时（点与A、D不重合），请直接写出与的数量关系．（直接填写答案）
【答案】（1）证明：在中
∵
∴
∵
∴
∴
同理可得：
∵
∴
∴
（2）证明：延长DF至Q，使，连BQ，
在和中
∴
∴，
又∵
∴
由（1）知，
设，，，
∴
∴
由（1）知
∴，
在和中
∴
∴
又∵
∴ .
（3）解：或
【知识点】三角形的综合
【解析】【解答】解：（3）取AB的中点，连接EF，由（2）知： ，
∴
∵
∴
①当点E在AC上方，
∵
∴
∴
∴
②当点E在AC下方，
∵
∴
综上所述，或.
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得到：，同理得到：，进而平角的定义的可得到方程，进而即可求出∠DCE的度数，进而即可求证；
（2）延长DF至Q，使，连BQ，利用"ASA"证明，得到： ，，结合（1）设，，，，即可证明再利用"SAS"证明得到，进而根据垂直平分线的判定即可求证；
（3）取AB的中点，连接EF，由（2）知： ，结合题意可知：然后分两种情况讨论，①当点E在AC上方，②当点E在AC下方，分别根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解.
18．（2024八下·南海月考）如图，在中，，，点D是边的中点，交于点E，连接．
（1）求的度数；
（2），求的面积．
【答案】（1）解：设的度数为x，则，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴.
（2）解：∵点D是边的中点，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴根据勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
．
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）设的度数为x，则，再利用，可得，最后求出x的值即可；
（2）先利用含30°角的直角三角形的性质可得，再利用勾股定理求出BC的长，再求出，最后利用三角形的面积公式及割补法求出△ABC的面积即可.
19．（2025八下·揭阳期中）如图，在中，，点在上运动，点在上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点，交于点，连接．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，，求线段的长．
【答案】（1）解：，理由如下：
，
，
垂直平分，
，
，
在中，，
，
，
，
.
（2）解：连接，如图所示：
，，，
，，
设，则，
在中，根据勾股定理，得，
在中，根据勾股定理，得，
，
解得，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）先利用垂直平分线的性质可得ED=EB，再利用等边对等角的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，从而可证出；
（2）连接PE，设，则，利用勾股定理可得，再求出x的值即可.
（1）解：，理由如下：
，
，
垂直平分，
，
，
在中，，
，
，
，
；
（2）解：连接，如图所示：
，，，
，，
设，
则，
在中，根据勾股定理，得，
在中，根据勾股定理，得，
，
解得，
．
20．（2024八上·临海期中）如图， △ABC是等边三角形，点D沿ABC的边从点A运动到点B，再从点B运动到点C点E是边BC上一点，运动过程中始终满足BD=CE.
（1）如图1，当点D在AB边上时，连接AE，CD相交于点G①求证：AE=CD.②求∠CGE的度数.
（2）如图2，当点D在BC边上时，延长AB至点F，使BF=BE，连接AE.DF.判断AE与DF是否相等 并说明理由.
【答案】（1）解：①如图1.
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，BC=AC.
∵BD=CE.
∴△ACE≌△CBD.
∴AE=CD.
②∵△ACE≌△CBD.
∴∠CAE=∠BCD
∵∠ACD+∠BCD=60°
∵∠CGE=∠ACD+∠CAE=∠ACD+∠BCD=60°
（2）解：AE=DF.
方法 1.如图2，在AB上截取AH=BF，连接 DH，可得 HF=AB.
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60，AB=AC=BC=HF
∵BF=BE，BD=CE.
∴BH=CE=BD.
∴△BDH 是等边三角形，
∴∠BHD=∠ACB=60°
∴△ACE≌△FHD
∴AE=DF
方法 2.如图3，在AB上截取 AH=BF，连接 DH，CH，可得 HF=AB.
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，HF=AB=BC=AC
∵BH=CE，
∴△ACE≌△CBH.
∴AE=CH.
∵BF=BE，BD=CE.
∴BH=CE=BD.
∴△BDH 是等边三角形.
∴∠HDB=∠ABC=60°，BD=DH
∴∠CDH=∠DBF-120°
∴
∴CH=DF.
∴AE=DF
方法3.如图4，在AB上截取 BH=BF，连接 EH.
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC
∴△BEH 是等边三角形.
∴∠EHB=∠ABC-60°，EH=BE=BH=BF.
∴∠AHE=∠DBF=120°，AH=CE.
∵BD=CE，
∴AH=BD.
∴△AEH≌△DFB.
∴AE=DF
方法 4.如图5，过点E作EH∥AB交AC 于点 H
∴∠CHE=∠CAB，∠CEH=∠CBA.
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠CHE=∠CEH=∠ABC=∠CAB=∠C=60°.AC=BC
∴△CEH 是等边三角形，∠AHE=∠FBD=120°
∴CE=CH=EH
∴BE=AH.
∴BF=BE.
∴BF=AH.
∴BD=CE，
∴BD=EH.
∴△AEH≌△FDB.
∴AE=DF
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）由△ABC是等边三角形 ，求出△ACE≌△CBD，得出 AE=CD 与 ∠CGE的度数 ；
（2）先判断AE=DF，再说明理由，方法一：根据△ABC是等边三角形的性质得出的结论推断出△ACE≌△FHD，再根据全等三角形的性质得出结论AE=DF；方法二：根据△ABC是等边三角形的性质得出的结论推断出△ACE≌△CBH，进而得出△BDH 是等边三角形，再根据等边三角形的性质，得出△CDH≌△FBD，最终求解AE=DF；方法三：先证明△BEH 是等边三角形，再求证△AEH≌△DFB，最后推出AE=DF；方法四：先根据等边三角形的判定得出△CEH 是等边三角形，再求证△AEH≌△FDB，最后得出结果AE=DF.
21．（2023八上·临邑开学考）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，≌，，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）当时，试判断的形状，并说明理由；
（3）探究：当为多少度时，是等腰三角形．
【答案】（1）证明：≌，
．
，
是等边三角形．
（2）解：是直角三角形．
理由如下：
是等边三角形，
，
≌，，
，
，
是直角三角形．
（3）解：是等边三角形，
．
，，
，
，
．
当时，，
．
当时，，
．
当时，
，
．
综上所述：当或或时，是等腰三角形．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，再根据等边三角形的判定定理即可求出答案.
（2）根据等边三角的性质及全等三角形性质即可求出答案.
（3）根据等边三角形性质，四边形内角和定理分，，时，根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
22．（2025七下·普宁期末） 【问题背景】
如图1，在中，已知，，AH是的高，，，过点C的直线，动点D从点C开始沿射线CB方向以3cm/s的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线MN上以2cm/s的速度向远离C点的方向运动，连接AD、AE，设运动时间为t(t>0)秒
（1）【思考尝试】请直接写出CD、CE的长度（用含有t的代数式表示）：CD= cm，CE= cm
（2） 当t为多少时，的面积为？
（3）【深入探究】如图2，当点D在线段BC上，且时，是否与全等？说明理由，此时的值为多少？
（4） 请利用备用图探究，当点D在线段CB的延长线上，且时，CD与CE有什么数量关系？请说明理由.
【答案】（1）3t；2t
（2）解： 当0＜t＜时，点D在BC上，BD=（8-3t）cm，
∵，
∴2（8-3t）=12，
解得：；
当t≥时，点D在CB的延长线上，BD=（3t-8）cm，
∴，
解得：，
综上所述：当 t 为或时， 的面积为 ；
（3）解：与全等，理由如下：
如图3，∵AD⊥AE，
∴∠DAE=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，
∴当BD=CE时，△ABD≌△ACE（SAS），
∴8-3t=2t，
解得：，
∴当 时， 与全等；
此时 ；
（4）解：或，理由如下：
如图所示：
∵AD⊥AE，
∴∠DAE=90°，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD=180°-∠ABC=135°，∠ACE=∠ACB+90°=135°，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴BD=CE，
∴3t-8=2t，
解得：t=8，
∴CD=3t=24cm，CE=2t=16cm，
∴CD=3CE或.
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：CD=3tcm，CE=2tcm，
故答案为：3t；2t.
【分析】（1）根据速度×时间=路程计算求解即可；
（2）分类讨论，利用三角形的面积公式计算求解即可；
（3）根据题意先求出∠BAD=∠CAE，再求出△ABD≌△ACE，最后计算求解即可；
（4）根据等腰直角三角形的性质求出∠ABC=∠ACB=45°，再利用ASA证明△ABD≌△ACE，最后计算求解即可.
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