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有理数的运算 单元同步测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024七上·坡头期末）在应用有理数减法法则计算时，其中需要把“－”变成“＋”的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
2．（2024七上·乌当期中）下列计算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
3．（2024七上·墨玉期中），，，，负数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2024七上·绍兴竞赛）若，且，则的值是（ ）
A．和 B．3和 C．和9 D．3和9
5．（2024七上·承德期末）下列说法中，错误的是（ ）
A．与1互为倒数 B．的绝对值是2
C．0的相反数是0 D．和相等
6．（2024七上·昭通月考）计算(－2)99＋(－2)100的结果是（ ）
A．299 B．－2 C．2 D．－299
7．（2024七上·苏州期中）在生产图纸上通常用来表示轴的加工要求，这里表示直径是，和是指直径在加到加之间的产品都属于合格产品．现加工一批轴，尺寸要求是，则下面产品合格的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024七上·鹿城期中）计算的结果是（ ）
A． B．3 C． D．5
9．（2024七上·克东期中）若 ， 都是不为零的数，则 的结果为（ ）
A．3或-3 B．3或-1 C．-3或1 D．3或-1或1
10．（2021七上·长沙期末）有理数 在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（ ）
① ；② ；③ ；④ .
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024七上·重庆市月考）定义一种运算符号“★”：，如：，那么的结果是 ．
12．（2024七上·中山月考）若a的相反数是1，则a与2022的乘积为 ．
13．（2024七上·浙江期中）北京时间和巴黎时间的时差为小时，若用表示北京时间，那么同一时刻的巴黎时间是．当北京时间是时，巴黎时间为 ．
14．（2024七上·深圳期中） 已知|a|=5，|b|=3且|a-b|=b-a， 那么a+b= .
15．（2024七上·江南期中） 若 a 与 2 互为相反数，则 a 的倒数为 .
16．（2024七上·鄞州期中）已知a，b，c，d表示4个不同的正整数，满足a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，则a+2b+3c+4d的最大值是 ．
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024七上·光明月考）计算题：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
18．（2024七上·深圳期中）计算：
（1）；
（2）；
（3）
（4）
19．（2024七上·江北期中）2024年欧洲杯在德国举行．某工厂设计了某款足球纪念品并进行生产，原计划每天生产10000个该款足球纪念品，但由于种种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入，下表是某一周的生产情况（超出记为正，不足记为负，单位：个）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
与计划量的差值
（1）根据记录的数据可知，本周生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少个？
（2）本周实际生产总量是否达到了计划数量？说明理由．
（3）若该款足球纪念品每个生成成本25元，并按每个30元出售，则该工厂本周的生产总利润是多少元？
20．（2024七上·长春月考）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为．
（1）a+b = ， cd = ， x = .
（2）求的值．
21．（2024七上·鹿城期中）小温与小周在玩数字游戏，现有5张写着不同数字的卡片，小温请小周按要求抽出卡片，完成下列各问题：
（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的差最大，请列式计算出最大值．
（2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，请列式计算出最大值．
22．（2024七上·浙江期中）为保护地球，节约资源，某市天然气采用阶梯收费，关注社情的小明同学从市天然气公司看到这样一张价目表：
用气类别 年用气量(m3) 单价(元/m^3) 备注
第一档 年用气量≤400 2.6 人口超过4人的家庭，每增加1人，第一、二档年用气量上限分别增加100m3、200m3
第二档 400<年用气量≤1000 2.8
第三档 年用气量>1000 3.6
小明一开始看不明白，公司员工举了一个例子：若某三口之家年用气500m3，则收费400 ×2.6+（500-400）×2.8＝1320元，小明恍然大悟。聪明的同学请跟小明一起解决下列问题吧!
（1）填空：若某三口之家1年用燃气300m3，则应收费 元；若另一三口之家该年用燃气420m3，则应收费 元；
（2）若某三口之家该年用燃气xm3（其中400＜x≤1000），则应收费多少元？（结果用含x的代数式表示）
（3）若某三口之家和五口之家该年用气量均为am3（其中1000＜a≤1200），则这两户人家燃气费用相差多少元？（结果用含a的代数式表示）
23．（2023七上·定州期中）某超市销售草莓，对一个月（按四周计算）的实际销售情况进行了统计.售价为每千克10元.现以每周的销售量300kg为标准，超过或不足的数量分别用正数、负数来表示，记录如下：
第一周 第二周 第三周 第四周
相对于标准销售数量/kg －10 10 20 100
（1）在这个月内，草莓销量最高的是第 周，这一周的销量是 千克.
（2）这个月草莓实际销售数量是多少千克？
（3）已知这种草莓的进价是每千克8元，则这家超市本月实际销售草莓的利润是多少元？
24．（2023七上·柯桥月考）国庆节期间，某商场对顾客实行这样的优惠政策：若一次购物不超过200元，则不予折扣；若一次购物超过200元不超过500元，则按标价给予八折优惠：若一次购物超过500元，其中500元按上述八折优惠外，超过500元的部分给予七折优惠．小明的妈妈两次购物分别付款192元和384元。
（1） 两次购物原价分别是多少元？
（2）如果她合起来一次性购买同样多的商品，那么她可以节约多少元？
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有理数的运算 单元同步测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024七上·坡头期末）在应用有理数减法法则计算时，其中需要把“－”变成“＋”的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】C
【解析】【解答】解：，
∴需要把“-”变成“+”的号的是②③．
故选：C．
【分析】本题考查了有理数的减法运算法则，其中减去一个数等于加上这个数的相反数，据此即可求解．
2．（2024七上·乌当期中）下列计算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、，故A错误.
B、，故B错误.
C、，故C错误.
D、，故D正确 .
故答案为：D.
【分析】根据有理数的加法，减法，乘法，除法的法则对A、B、C、D各选项进行计算即可得答案.
3．（2024七上·墨玉期中），，，，负数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】【解答】解：∵，，，，
∴是负数，共1个，
故答案为：A．
【分析】先利用绝对值、去括号、有理数的乘方化简，再利用负数的定义逐个分析判断即可.
4．（2024七上·绍兴竞赛）若，且，则的值是（ ）
A．和 B．3和 C．和9 D．3和9
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∵，
∴，或，，
当，时，，
当，时，，
∴的值是3和9．
故答案为：D．
【分析】根据绝对值的定义得到，，然后可得x，y的值，代入计算解题即可．
5．（2024七上·承德期末）下列说法中，错误的是（ ）
A．与1互为倒数 B．的绝对值是2
C．0的相反数是0 D．和相等
【答案】A
【解析】【解答】解：A中，与互为相反数，不是互为倒数，故说法错误，所以A符合题意；
B中，的绝对值是2，正确，所以B不符合题意；
C中，0的相反数是0，正确，所以C不符合题意；
D中，，，故，正确，所以 D不符合题意．
故选：A．
【分析】此题考查了相反数、倒数、绝对值定义、以及有理数的乘方，根据相反数定义、倒数定义、绝对值的定义、以及有理数的乘方计算，逐项分析判定，即可求解.
6．（2024七上·昭通月考）计算(－2)99＋(－2)100的结果是（ ）
A．299 B．－2 C．2 D．－299
【答案】A
【解析】【解答】解：(－2)99＋(－2)100
故答案为：A
【分析】先把化为， 逆用乘法的分配律，即可求出答案.
7．（2024七上·苏州期中）在生产图纸上通常用来表示轴的加工要求，这里表示直径是，和是指直径在加到加之间的产品都属于合格产品．现加工一批轴，尺寸要求是，则下面产品合格的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】由题意得：合格范围为：到，
而，，
∴A，C，D都不合格，
∵
∴B选项是合格品，
故答案为：B．
【分析】首先根据 求出合格的范围，然后再分别进行判断即可得出答案。
8．（2024七上·鹿城期中）计算的结果是（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】A
【解析】【解答】解：；
故答案为：A．
【分析】利用有理数加法法则直接计算即可．
9．（2024七上·克东期中）若 ， 都是不为零的数，则 的结果为（ ）
A．3或-3 B．3或-1 C．-3或1 D．3或-1或1
【答案】B
【解析】【解答】由绝对值的性质可知， ， ，
当 都为正数时， ，∴
当 有一个正数时， ，∴
当 都是负数时， ，∴
综上，结果为3或 ，
故答案为：B.
【分析】根据绝对值的性质，正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，分情况讨论可得出结论.
10．（2021七上·长沙期末）有理数 在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（ ）
① ；② ；③ ；④ .
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：由数轴可得，b＜c＜0＜a，且|b|＞|c|＞|a|，
∴abc＞0，①正确；
a-b+c＞0， ，②不正确；
，③正确；
，④正确，
故答案为：C.
【分析】由数轴可得b＜c＜0＜a，且|b|＞|c|＞|a|，根据有理数的乘法，有理数的加法，绝对值的性质分别计算，再判断即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024七上·重庆市月考）定义一种运算符号“★”：，如：，那么的结果是 ．
【答案】8
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】根据新定义运算，先求出，然后再求的值即可.
12．（2024七上·中山月考）若a的相反数是1，则a与2022的乘积为 ．
【答案】
【解析】【解答】∵的相反数是1，
故答案为：．
【分析】由相反数的定义得出a值，结合有理数的乘法法则代入计算即可得出结果．
13．（2024七上·浙江期中）北京时间和巴黎时间的时差为小时，若用表示北京时间，那么同一时刻的巴黎时间是．当北京时间是时，巴黎时间为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由北京时间和巴黎时间的时差为小时，
当北京时间是时，则，
∴巴黎时间为，
故答案为：．
【分析】运用有理数的减法解题即可．
14．（2024七上·深圳期中） 已知|a|=5，|b|=3且|a-b|=b-a， 那么a+b= .
【答案】-2或-8
【解析】【解答】解：∵|a|＝5，b＝|3|，
∴a＝±5，b＝±3，
∵|a b|＝b a，
∴b a≥0，即b≥a，
∴a＝ 5，b＝3或a＝ 5，b＝ 3，
∴a＋b＝ 5＋3＝ 2或a＋b＝ 5 3＝ 8．
故答案为： 2或 8．
【分析】先利用绝对值的性质可得b a≥0，即b≥a，再结合a＝±5，b＝±3，可得a＝ 5，b＝3或a＝ 5，b＝ 3，最后将其代入 a+b计算即可.
15．（2024七上·江南期中） 若 a 与 2 互为相反数，则 a 的倒数为 .
【答案】
【解析】【解答】解：由题意a=-2，则a的倒数为
故答案为：.
【分析】根据相反数和倒数的概念计算即可.
16．（2024七上·鄞州期中）已知a，b，c，d表示4个不同的正整数，满足a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，则a+2b+3c+4d的最大值是 ．
【答案】81
【解析】【解答】解：∵a，b，c，d表示4个不同的正整数，且a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，
∴d4＜90，则d＝2或3，
∵c3＜90，则c＝1，2，3或4，
∵b2＜90，则b＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，
∵a＜90，则a＝1，2，3，…，89，
∴4d≤12，3c≤12，2b≤18，a≤89，
∴要使得a+2b+3c+4d取得最大值，则a取最大值时，a＝90﹣（b2+c3+d4）取最大值，
∴b，c，d要取最小值，则d取2，c取1，b取3，
∴a的最大值为90﹣（32+13+24）＝64，
∴a+2b+3c+4d的最大值是64+2×3+3×1+4×2＝81，
故答案为：81．
【分析】
根据题意结合乘方分别确定a，b，c，d的取值范围，得到4d≤12，3c≤12，2b≤18，a≤89，再分别确定a，b，c，d的值，即可得到a+2b+3c+4d的最大值．
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024七上·光明月考）计算题：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）解：
．
【解析】【分析】（1）先根据减去一个数等于加上这个数的相反数将减法转变为加法，再运用有理数加法运算法则计算即可；
（2）先将小数化为分数，再根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法化为乘法，然后再运用有理数乘法运算法则计算即可；
（3）直接运用有理数乘法分配律用-24与括号内的每一个加数相乘，再计算加减法可得答案；
（4）先计算乘方，再计算括号内的减法，进而计算乘法，最后计算加法得出答案.
（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）解：
．
18．（2024七上·深圳期中）计算：
（1）；
（2）；
（3）
（4）
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【解析】【分析】（1）根据减去一个数等于加上这个数的相反数将减法转变为加法，并写成省略加号和括号的形式，然后根据有理数的加减法法则从左至右依次计算即可；
（2）根据乘法分配律，用-36与括号内的每一个加数都相乘，再根据有理数的乘法法则计算乘法，然后根据有理数的加减法法则从左至右依次计算即可；
（3）先算乘除，再算加减即可；
（4）含乘方的有理数的混合运算，先算乘方及第一个括号内的减法，同时根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，再算第二个括号内的减法，进而计算乘法，最后算加减即可．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
19．（2024七上·江北期中）2024年欧洲杯在德国举行．某工厂设计了某款足球纪念品并进行生产，原计划每天生产10000个该款足球纪念品，但由于种种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入，下表是某一周的生产情况（超出记为正，不足记为负，单位：个）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
与计划量的差值
（1）根据记录的数据可知，本周生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少个？
（2）本周实际生产总量是否达到了计划数量？说明理由．
（3）若该款足球纪念品每个生成成本25元，并按每个30元出售，则该工厂本周的生产总利润是多少元？
【答案】（1）解：142-（-82）=224（个）
答：本周生产量最多的一天比最少的一天多生产224个.
（2）解：是
理由：因为（43+142+21）-（35+50+82+29）=206-196=10＞0.
所以达到了.
（3）解：（30-25）×（10000×7+10）
=5×70010
=350050（元）
答：该工厂本周的生产总利润是350050元.
【解析】【分析】（1）由表格可知：本周生产最多的一天是周四，最少的一天是周五，然后相减即可；
（2）首先求出与计划量的总差值，然后根据其结果的正负进行解答；
（3）求出一周计划的生产量，然后加上与计划的差值求出实际的生产量，再乘以每个的利润即可求出总利润.
20．（2024七上·长春月考）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为．
（1）a+b = ， cd = ， x = .
（2）求的值．
【答案】（1）0；1；
（2）解：由（1）知，a+b=0，cd=1，x=
当x=5时，原式=12024+（-1）2023-5=1+（-1）-5=-5
当x=-5时，原式=12024+（-1）2023-（-5）=1+（-1）+5=5
∴ 的值为5或-5.
【解析】【解答】解：（1）∵a，b互为相反数，
∴ a+b=0
∵c，d互为倒数
∴ cd=1
∵x的绝对值为．
∴ x=
【分析】本题考查相反数、倒数及绝对值的知识。两个数互为相反数，和为0.两个数互为倒数积为1，两个数互为相反数，绝对值相等。
21．（2024七上·鹿城期中）小温与小周在玩数字游戏，现有5张写着不同数字的卡片，小温请小周按要求抽出卡片，完成下列各问题：
（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的差最大，请列式计算出最大值．
（2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，请列式计算出最大值．
【答案】（1）解：抽取卡片上的数字分别为4和这2张，
2张卡片上数字差的最大值为
（2）解：抽取卡片上的数字分别为和这2张，
2张卡片上数字积的最大值为
【解析】【分析】（1）根据两数相减，用最大的数减去最小的数差最大，找出并计算即可；
（2）根据两数相乘，同号得正，异号得负，正数大于负数抽取计算即可.
（1）解：抽取卡片上的数字分别为4和这2张，
2张卡片上数字差的最大值为；
（2）解：抽取卡片上的数字分别为和这2张，
2张卡片上数字积的最大值为；
22．（2024七上·浙江期中）为保护地球，节约资源，某市天然气采用阶梯收费，关注社情的小明同学从市天然气公司看到这样一张价目表：
用气类别 年用气量(m3) 单价(元/m^3) 备注
第一档 年用气量≤400 2.6 人口超过4人的家庭，每增加1人，第一、二档年用气量上限分别增加100m3、200m3
第二档 400<年用气量≤1000 2.8
第三档 年用气量>1000 3.6
小明一开始看不明白，公司员工举了一个例子：若某三口之家年用气500m3，则收费400 ×2.6+（500-400）×2.8＝1320元，小明恍然大悟。聪明的同学请跟小明一起解决下列问题吧!
（1）填空：若某三口之家1年用燃气300m3，则应收费 元；若另一三口之家该年用燃气420m3，则应收费 元；
（2）若某三口之家该年用燃气xm3（其中400＜x≤1000），则应收费多少元？（结果用含x的代数式表示）
（3）若某三口之家和五口之家该年用气量均为am3（其中1000＜a≤1200），则这两户人家燃气费用相差多少元？（结果用含a的代数式表示）
【答案】（1）780；1096
（2）解：400x2.6+2.8(x-400)
=1040+2.8x-1120
=2.8x-80（元）
因此应收费2.8x-80元。
（3）解：三口之家：400x2.6+600x2.8+3.6(a-1000)=3.6a-880
五口之家：500x2.6+2.8(a-500)=2.8a-100
3.6a-880-(2.8a-100)=0.8a-780，
∴ 这两户人家燃气费用相差0.8a-780元。
【解析】【解答】（1）解：300×2.6=780（元），400×2.6+（420-400）×2.8=1096（元）
因此若某三口之家1年用燃气300m3，则应收费780元；若另一三口之家该年用燃气420m3，则应收费1096元.
故答案为：780；1096。
【分析】根据价目表和列举的例子信息可知，天然气阶梯收费的计算公式为：
4人一下的家庭（含4人），如果用气量为am3；当a≤400，对应的价格为2.6a；当400＜a≤1000，对应的价格为2.6×400+2.8（a-400）； 当a＞1000，对应的价格为 2.6×400+2.8×（1000-400）+3.6（a-1000） ；
如果是5人家庭，则用气量价目表变为“年用气量≤500，单价2.6元/m3；500<年用气量≤1200，单价2.8元/m3；年用气量>1200，单价3.6元/m3；并且每增加1人，第一、二档年用气量上限分别增加100m3、200m3。
（1）题因为燃气 300m3，在400范围之内，因此直接代入2.6a进行计算即可；三口之家该年用燃气420m3，代入2.6×400+2.8（a-400）中进行计算即可；
（2）题“ 三口之家该年用燃气xm3（其中400＜x≤1000） ”，因此代入2.6×400+2.8（a-400）中，将a替换为x计算化简即可；
（3）题需要利用公式分别计算并化简出三口之家和五口之家的燃气费，然后作差即可。
23．（2023七上·定州期中）某超市销售草莓，对一个月（按四周计算）的实际销售情况进行了统计.售价为每千克10元.现以每周的销售量300kg为标准，超过或不足的数量分别用正数、负数来表示，记录如下：
第一周 第二周 第三周 第四周
相对于标准销售数量/kg －10 10 20 100
（1）在这个月内，草莓销量最高的是第 周，这一周的销量是 千克.
（2）这个月草莓实际销售数量是多少千克？
（3）已知这种草莓的进价是每千克8元，则这家超市本月实际销售草莓的利润是多少元？
【答案】（1）四；400
（2）解：这个月草莓实际销售数量为：（千克）；
（3）解：根据题意，则（元）.
【解析】【解答】解：（1）∵-10＜10＜20＜100，
∴在这个月内，草莓销量最高的是第四周，这一周的销量为：300+100=400（千克），
故答案为：四；400.
【分析】（1）观察表格中的数据求出在这个月内，草莓销量最高的是第四周，再利用有理数的加法法则计算求解即可；
（2）结合题意，利用有理数的加减乘除运算法则计算求解即可；
（3）根据这种草莓的进价是每千克8元，利用利润公式计算求解即可。
24．（2023七上·柯桥月考）国庆节期间，某商场对顾客实行这样的优惠政策：若一次购物不超过200元，则不予折扣；若一次购物超过200元不超过500元，则按标价给予八折优惠：若一次购物超过500元，其中500元按上述八折优惠外，超过500元的部分给予七折优惠．小明的妈妈两次购物分别付款192元和384元。
（1） 两次购物原价分别是多少元？
（2）如果她合起来一次性购买同样多的商品，那么她可以节约多少元？
【答案】（1）解：第一次：未打折：192元
打8折前：192÷0.8=240元
第二次：因为500×0.8=400元，384<400，
所以第二次不超过500元，
384÷0.8=480元；
（2）解：①两次实际价格为192+480=672
实际付款500×0.8+172×0.7=520.4
节约了192+384-520.4=55.6
②两次实际价格为240+480=720元
实际付款500×0.8+220×0.7=554
节约了192=384-554=22
答：节约了55.6元或22元
【解析】【分析】（1）第一次购买商品分为未打折与打折两种情况考虑，第二次购买商品的总价根据优惠方案先判断是否超过500元，再解决；
（2）分类讨论：①两次实际价格为192+480=672，根据题干所给条件计算即可；②两次实际价格为240+480=720元，根据题干所给条件计算即可；
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