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特殊三角形 单元全优测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024八上·温州期中）下面的交通标志中，轴对称图形是（ ）．
A． B．
C． D．
2．（2024八上·杭州期中）在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024八上·惠东期中）如图，已知点与坐标系原点重合，若点P在x轴上，且是等腰三角形，则点P的坐标最多有（ ）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（2024八上·罗湖期中）如图，在等腰直角中，，，为边上一点，连接，且，连接，若，，则的长为（ ）
A．15 B． C．18 D．
5．（2024八上·唐山月考）如图，已知在和中，，，与相交于点E，过点E作于点F．下列说法：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
6．（2024八上·化州月考）如图，数轴上点A表示的数是，，，以点O为圆心，为半径画弧，与数轴的负半轴相交，则交点P所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024八上·桑植期末）下列命题为假命题的是（ ）
A．三角形的内角和等于180°
B．内错角相等，两直线平行
C．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
D．如果，，那么
8．（2024八上·江山期中）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
9．（2024八上·孝昌月考）如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
10．（2024八上·常德期末）如图，在中，，点是上一点，交延长线于点，连接交于点，已知，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八上·余杭期末）已知在△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高线AD=8，则BC边的长为 .
12．（2024八上·乐清期中）如图，为外一点，，平分的一个外角，．若，，则的长为 ．
13．（2024八上·义乌期末）如图，在的网格中， ．
14．（2024八上·怀化期末）如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为 ．
15．（2024八上·哈尔滨开学考）如图，是的角平分线，于点，，和的面积分别为26和16，则的面积为 ．
16．（2024八上·宝安期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B为x轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点P为的中点，连接，则的长的最小值为 ．
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024八上·黄石港期中）定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
（1）若是“准互余三角形”，，，则_____°；
（2）若是直角三角形，．
①如图，若是的角平分线，请你判断是否为“准互余三角形”？并说明理由．
②点E是边上一点，是“准互余三角形”，若，求的度数．
18．（2024八上·益阳开学考）如图，点在线段上，，，，平分．
（1）证明：≌；
（2）若，，求的面积．
19．（2024八上·浙江期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E， 的垂直平分线分别交于点F、G．
（1）若，求的周长．
（2）若，求的度数．
20．（2025八上·期中）如图， 是等腰三角形， 是等边三角形，且点B，D，E，C在同一条直线上.
（1）若AD=2，BC=12，求CE的长；
（2）以AC为腰在AC下方作等腰 使AF=AC，连接EF，BF.若BD=EF.求证： 是等边三角形.
21．（2025八上·拱墅期末）如图，在中，是斜边AB上的高线，CE是斜边AB上的中线.
（1）若，求证：.
（2）若，求CD的长．
22．（2024八上·昆明期中）如图，中，，，于，平分分别与，交于点，．
（1）求证：是等边三角形；
（2）若，求的长
23．（2024八上·郫都期中）已知，以为边在外作等腰，其中．
（1）如图1，以为边也在外作等腰，其中，连接与，交于点．若，则______；
（2）如图2，若，是等边三角形，，，求的长；
（3）如图3，若为锐角，作于，当时，试判断与的数量关系，并证明你的结论．
24．（2024八上·义乌期中）如图，在长方形中，，点是上一点，且．
（1）如图1所示，若为等腰三角形，求的值；
（2）如图2所示，若，点是长方形边上一点，且为等腰三角形，求的面积；
（3）在长方形边上找一点，使得为等腰三角形，这样的点存在5个，请直接写出此时的范围．
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特殊三角形 单元全优测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024八上·温州期中）下面的交通标志中，轴对称图形是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：C是轴对称图形，A、B、D不是轴对称图形；故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形的定义分析即可.
2．（2024八上·杭州期中）在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵ ，
∴，
∵，
∴，故△ABC是直角三角形，此选项不符合题意；
B、∵ ，，
∴，故△ABC是直角三角形，此选项不符合题意；
C、设，
∵，
，
∴，故△ABC不是直角三角形，此选项符合题意；
D、∵ ，
∴，故△ABC是直角三角形，此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】有一个内角为90°的三角形是直角三角形，据此结合三角形的内角和定理，由所给条件判断出三角形中最大内角的度数，即可判断A、B选项；一个三角形的三边如果满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，该三角形就是直角三角形，据此可判断C、D选项.
3．（2024八上·惠东期中）如图，已知点与坐标系原点重合，若点P在x轴上，且是等腰三角形，则点P的坐标最多有（ ）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
则在x轴上共有4个这样的P点．
故答案为：C．
【分析】利用等腰三角形的判定方法，先分别以点A、B为圆心，AB长为半径作出圆弧与x轴的交点为点P，最后作出线段AB的垂直平分线与x轴的交点为点P，从而得解.
4．（2024八上·罗湖期中）如图，在等腰直角中，，，为边上一点，连接，且，连接，若，，则的长为（ ）
A．15 B． C．18 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：连接，
，
，
在和中，
，
，
，
，
且，
，
，
，
，
，
故选：B．
【分析】
连接后，可根据证得，进一步可知，利用角的关系可得，所以，，在Rt△CBE中利用勾股定理即可作答。
5．（2024八上·唐山月考）如图，已知在和中，，，与相交于点E，过点E作于点F．下列说法：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【解析】【解答】解：在和中，，∴，
∴，，
∴，故③正确；
∴，即，故①正确；
∵，，
∴，故②正确；
当时，则，
∴，
∴的条件是，显然与已知条件不符，故④错误，
综上，①②③正确，
故选：A．
【分析】根据直角三角形全等的判定定理先判定，然后根据全等三角形的性质即可得出，，判定是等腰三角形，进而推出EB=EC，即可判断③正确；再根据即可判断①正确；结合 和等腰三角形的性质可判断②正确；通过等角转换，判断④不正确．
6．（2024八上·化州月考）如图，数轴上点A表示的数是，，，以点O为圆心，为半径画弧，与数轴的负半轴相交，则交点P所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵点A表示的数是，
∴，
∵，，
∴根据勾股定理可得：，
∴，
∴点P所表示的数是，
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理求出OB长，然后根据数轴上点P的位置解题即可．
7．（2024八上·桑植期末）下列命题为假命题的是（ ）
A．三角形的内角和等于180°
B．内错角相等，两直线平行
C．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
D．如果，，那么
【答案】D
【解析】【解答】解：A、三角形的内角和等于180°是真命题，故此选项不符合题意；
B、内错角相等，两直线平行是真命题，故此选项不符合题意；
C、到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上是真命题，故此选项不符合题意；
D、如果，，，即，，但，所以如果，，那么是假命题，故此选项符合题意；
故答案为：D
【分析】根据三角形内角和定理判定A；根据平行线的判定定理判定B；根据线段的垂直平分线的判定定理判定C；用举反例法可判定D．
8．（2024八上·江山期中）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
【答案】A
【解析】【解答】解：如图所示：过两把直尺的交点作，，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴，
∴平分（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故答案为：A．
【分析】过两把直尺的交点作，，根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上即可求解.
9．（2024八上·孝昌月考）如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，①正确；
∴，
由三角形的外角性质得：
∴°，②正确；
作于，于，如图所示
则°，
在和中，，
∴，
∴，
∴平分，④正确；
正确的个数有3个；
故答案为：B．
【分析】证明，即可判断①；利用三角形的外角性质判断 ② ； 作于，于，再推导即可判断④解题即可.
10．（2024八上·常德期末）如图，在中，，点是上一点，交延长线于点，连接交于点，已知，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】，
，
，
，①故正确；
，
，
，即，
，
，故②正确；
，即，
，
，
，故③正确；
，
，
，
，故④错误，
正确的结论有①②③，共3个，
故选：C
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理.已知，根据三角形内角和定理可得：，再结合可判断判定①；利用角的运算可推出，再结合已知条件利用证明两个三角形全等，判定②；根据已知条件可推出，结合两个三角形全等面积相等可得：，进而判断判定③；根据③中结论代入三角形的面积公式可求出，可判定④．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八上·余杭期末）已知在△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高线AD=8，则BC边的长为 .
【答案】9或21
【解析】【解答】解：分两种情况，如图．
∵AB=17，AC=10，BC边上得高AD=8
∴在Rt△ABD中，由勾股定理得
在Rt△ACD中，由勾股定理得.
∴①BC=BD+CD=15+6=21
②BC=BD-CD=15-6=9．
故答案为：9或21.
【分析】根据勾股定理求出BA、CD的长，再分两种情况讨论：①高AD落在△ABC内部；②高AD落在△ABC外部，即可求出BC的长度.
12．（2024八上·乐清期中）如图，为外一点，，平分的一个外角，．若，，则的长为 ．
【答案】8
【解析】【解答】解：如图，AD交CB于点E，
∵，
∴，
∵平分，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得到．
故答案为：8．
【分析】根据等腰三角形的判定定理可得，再通过证明，可得，从而可求、的长度，最后在中利用勾股定理求解即可．
13．（2024八上·义乌期末）如图，在的网格中， ．
【答案】45
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵，，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
故答案为：45．
【分析】连接，然后根据勾股定理的逆定理得到为等腰直角三角形，即可得到，然后根据两直线平行，内错角相等得出，，即可得到．
14．（2024八上·怀化期末）如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】过P作PF∥BC交AC于F，
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∠A=60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF．
∵PE⊥AC，
∴AE=EF．
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ，
在△PFD和△QCD中，
∵，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD．
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DEAC．
∵AC=3，
∴DE．
故答案为：．
【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出△APF是等边三角形，然后证明△PFD≌△QCD，即可得到FD=CD，进而得到DEAC解题．
15．（2024八上·哈尔滨开学考）如图，是的角平分线，于点，，和的面积分别为26和16，则的面积为 ．
【答案】5
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作于H，
因为是的角平分线，，由角平分线的性质，可得，
在和中，，
所以，则，
在和中，，
所以，则，
因为和的面积分别为26和16，
所以，所以.
故答案为：5．
【分析】过点D作，利用角平分线的性质，得到，再利用“”证得和全等，然后根据全等三角形的面积相等，列出方程，即可求解.
16．（2024八上·宝安期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B为x轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点P为的中点，连接，则的长的最小值为 ．
【答案】6
【解析】【解答】解：如图，以为边作等边三角形，连接，过点作于，
点的坐标为，
点为的中点，
是等边三角形，，
，
，
，
在和中，
，
当有最小值时，有最小值，即轴时，有最小值，
的最小值为，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】本题考查轴对称―最短路线问题，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．以为边作等边三角形，连接，过点作于，根据点A的坐标可求出OA=8，再根据中点的性质可得AP=4，利用等边三角形的性质可得，利用角的运算可得，利用全等三角形的判定定理“”可证明，利用全等三角形的性质可得，则当有最小值时，有最小值，利用线段的运算可得：的最小值为，再代入数据进行计算可求出答案．
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024八上·黄石港期中）定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
（1）若是“准互余三角形”，，，则_____°；
（2）若是直角三角形，．
①如图，若是的角平分线，请你判断是否为“准互余三角形”？并说明理由．
②点E是边上一点，是“准互余三角形”，若，求的度数．
【答案】（1）
（2）解：①是“准互余三角形；理由：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴是“准互余三角形”；
②∵点E是边上一点，是“准互余三角形”，
∴或，
∵，
∴或，
∴或，
当，时，，
当，时，，
∴的度数为：或．
【解析】【解答】（1）解：∵，，且是“准互余三角形”，
∴，
∴，
故答案为：17；
【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义可得，解题即可；
（2）①由直角三角形的两锐角互余得到，然后利用角平分线的定义得到，再根据“准互余三角形”定义判断即可；
②根据“准互余三角形”的定义可得或，然后根据三角形的内角和定理解题即可．
（1）解：∵，，且是“准互余三角形”，
∴，
∴，
故答案为：17；
（2）解：①是“准互余三角形；
理由：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴是“准互余三角形”；
②∵点E是边上一点，是“准互余三角形”，
∴或，
∵，
∴或，
∴或，
当，时，，
当，时，，
∴的度数为：或．
18．（2024八上·益阳开学考）如图，点在线段上，，，，平分．
（1）证明：≌；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）证明：，
，
在和中，
，
≌；
（2）解：由（1）知≌，
，
又平分，
，，
垂直平分，
，．
，
，
即的面积是．
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可得∠A=∠B，再利用“SAS”证出≌即可；
（2）利用全等三角形的性质可得DC=CE，再利用垂直平分线的性质求出，最后利用三角形的面积公式求出即可.
19．（2024八上·浙江期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E， 的垂直平分线分别交于点F、G．
（1）若，求的周长．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：∵是的垂直平分线，是的垂直平分线，
∴，
∴的周长
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，然后利用三角形的周长公式解答即可；
（2）根据三角形内角和定理得到，然后根据等边对等角得到，再利用角的和差解题即可．
（1）解：∵是的垂直平分线，是的垂直平分线，
∴，
∴的周长；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
20．（2025八上·期中）如图， 是等腰三角形， 是等边三角形，且点B，D，E，C在同一条直线上.
（1）若AD=2，BC=12，求CE的长；
（2）以AC为腰在AC下方作等腰 使AF=AC，连接EF，BF.若BD=EF.求证： 是等边三角形.
【答案】（1）解：∵ △ABC 是等腰三角形，AB=AC，△ADE是等边三角形，且点 B，D，E，C在同一条直线上，
∴∠ABD=∠ACE，∠ADE=∠AED，DE=AD，
∴ ∠ADB=∠AEC.
在△ABD 和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(AAS)，
∴BD=CE.
∵BC=12，DE=AD=2，
∴CE = (BC-DE)= 5
（2）证明：∵AF=AC，AC=AB，
∴AF=AB，
∴△ABF是等腰三角形，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，AE=AD
在△AEF和△ADB中，
∴△AEF≌△ADB(SSS)，
∴∠EAF=∠DAB，
∴ ∠BAF = ∠DAF+∠DAB = ∠DAF +∠EAF =∠DAE=60°，
∴等腰△ABF是等边三角形.
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质可得∠ABD=∠ACE，∠ADE=∠AED，DE=AD，则∠ADB=∠AEC，再根据全等三角形判定定理可得△ABD≌△ACE(AAS)，则BD=CE，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据等腰三角形判定定理可得△ABF是等腰三角形，再根据等边三角形性质可得∠DAE=60°，AE=AD，再根据全等三角形判定定理可得△AEF≌△ADB(SSS)，则∠EAF=∠DAB，再根据角之间的关系可得∠BAF=60°，再根据等边三角形判定定理即可求出答案.
21．（2025八上·拱墅期末）如图，在中，是斜边AB上的高线，CE是斜边AB上的中线.
（1）若，求证：.
（2）若，求CD的长．
【答案】（1）证明：因为在中，是斜中线，
所以，
因为，
所以，所以是等边三角形，
所以
（2）因为，所以，
所以，
由勾股定理，
可得
【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质得，再由线段垂直平分线的性质得，从而得出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可证明；
（2）根据线段数量关系得，，进而得出CE=5，再由勾股定理即可求解.
22．（2024八上·昆明期中）如图，中，，，于，平分分别与，交于点，．
（1）求证：是等边三角形；
（2）若，求的长
【答案】（1）证明：∵∠BAC = 90°，
∠C = 30°，
∴∠ABC = 60° ，
∵BF 平分∠ ABC，
∴∠ABF = ∠CBF = 30° ，
∴BF = CF
∵AD ⊥ BC ，
∴∠ADB = 90° ，
∴∠AEF = ∠BED = 90° - ∠CBF = 60° ，
∵∠AFB = 90° - ∠ABF = 60°，
∴∠AFE = ∠AEF = 60° ，
∴△AEF 是等边三角形 ．
（2）解：∵∠ADB = 90°，∠ABC = 60° ，
∴∠BAE = ∠ABF = 30° ，
∴ AE = BE ，
由（1）知△AEF 是等边三角形，
∴ AE = EF = 2 ，
∴BE = EF = 2 ，
∴BF = 2EF = 4 ，
由（1）知，CF = BF = 4 ．
【解析】【分析】（1）根据∠BAC=90°，∠C=30°可求出∠ABC=60°，再根据BF平分∠ABC，AD⊥BC可求出∠EAF=∠AEF=60°，即可证明△AEF为等边三角形。
（2）根据∠ABC=60°，BF平分∠ABC，可得∠EBA=∠BAE=30°，EF=AE=AF=BE=2，即BF=4，∠C=∠FBC=30°，即可得CF=BF=4.
23．（2024八上·郫都期中）已知，以为边在外作等腰，其中．
（1）如图1，以为边也在外作等腰，其中，连接与，交于点．若，则______；
（2）如图2，若，是等边三角形，，，求的长；
（3）如图3，若为锐角，作于，当时，试判断与的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）
（2）解：将绕点顺时针旋转得，连接；
由（1）知，
，，
是等边三角形
，
，
在中，
（3）解：，理由如下：
证明：过点作于，使，连接，
则
，
过点作于，则四边形为矩形，
，
，
是的垂直平分线，
在和中
，
∴（SSS）
，
即
，为锐角，
，
，
【解析】【解答】（1）解：，
，
在△和△中
∴（SAS）
，
；
故答案为：120°.
【分析】（1）由题意，用边角边可证，由全等三角形的对应角相等可得，再根据三角形外角性质可求解；
（2）将绕点顺时针旋转得，连接，同理可得，由全等三角形的对应边相等可得，在中，根据勾股定理可求解；
（3）过点作于，使，连接，，由可得，过点作于，则四边形为矩形，用边边边可证，由全等三角形的对应角相等可得，结合角的构成可求解.
（1）解：，
，
又，，
∴
，
；
（2）将绕点顺时针旋转得，连接
由（1）知，
，，
是等边三角形
，
，
在中，
；
（3）证明：过点作于，使，连接，
则
，
过点作于，则四边形为矩形
，
，
是的垂直平分线，
在和中
，
∴
，
即
，为锐角，
，
，
24．（2024八上·义乌期中）如图，在长方形中，，点是上一点，且．
（1）如图1所示，若为等腰三角形，求的值；
（2）如图2所示，若，点是长方形边上一点，且为等腰三角形，求的面积；
（3）在长方形边上找一点，使得为等腰三角形，这样的点存在5个，请直接写出此时的范围．
【答案】（1）解：∵在长方形，∴，，
∵，
∴为钝角三角形，
∵为等腰三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：如图，分别以、为圆心，为半径画圆，与正方形的交点为点，作的垂直平分线与正方形的交点为点，此时为等腰三角形，
∵，
∴，
当时，如图，此时，；
当时，如图，此时；
当时，如图，此时
综上所述，△QPB的面积为10；12.5；20
（3）解：分别以、为圆心，为半径画圆，与长方形的交点为点，两个圆在右边交于点，此时或，即为等腰三角形，作的垂直平分线与长方形的交点为点，交于，此时，即为等腰三角形，
左右移动，找到点存在5个的大致位置如下：
由（2）可得，，
∴，即，
由作图可得，，
∴，
当经过点时，只有3个符合条件的点，则
综上所述，且
【解析】【分析】（1）根据得到为等腰三角形时可得PD的长，再利用勾股定理求出的长.
（2）分别以、为圆心，为半径画圆，与正方形的交点为点，作的垂直平分线与正方形的交点为点，此时为等腰三角形，可得到AP的长，再分情况讨论：当时；当时；当时；分别求出△QPB的面积即可.
（3）分别以、为圆心，为半径画圆，与长方形的交点为点，作的垂直平分线与长方形的交点为点，此时为等腰三角形，然后左右移动，找到点存在5个的大致位置即可求解．
（1）解：∵在长方形，
∴，，
∵，
∴为钝角三角形，
∵为等腰三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，分别以、为圆心，为半径画圆，与正方形的交点为点，作的垂直平分线与正方形的交点为点，此时为等腰三角形，
∵，
∴，
当时，如图，此时，；
当时，如图，此时；
当时，如图，此时；
（3）解：分别以、为圆心，为半径画圆，与长方形的交点为点，两个圆在右边交于点，此时或，即为等腰三角形，
作的垂直平分线与长方形的交点为点，交于，此时，即为等腰三角形，
左右移动，找到点存在5个的大致位置如下：
由（2）可得，，
∴，即，
由作图可得，，
∴，
当经过点时，只有3个符合条件的点，则
综上所述，且．
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