浙教版数学九年级上学期重难点复习2:相似三角形(一)
一、A字型相似模型
1．（2024九上·嵊州期末）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高为，测得，，则建筑物的高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的实际应用；A字型相似模型
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先得到，然后根据平行得到，即可得到解题即可．
2．（2024九上·杭州月考）如图，在中，点D，E分别在AB，AC上，且，则（ ）
A．1∶8 B．1∶7 C．1∶3 D．1∶9
【答案】A
【知识点】A字型相似模型；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵， ∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】先根据两边成比例且夹角相等得到△ADE∽△ABC，即可得到，然后解题即可.
3．（2024九上·江北期末）如图，在中，，，，点为此三角形的重心，连结并延长交于点，过点作于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；三角形的重心及应用；A字型相似模型
【解析】【解答】解：过作于，
∵为此三角形的重心，
∴，，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵AB=10，AD=4，BC=6，
∴，解得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，BE=2，BD=3，解得：，
∴.
故答案为：．
【分析】先证明，列出比例式，求出DH，再证明，列出比例式，求出EF．
4．（2024九上·杭州期末）如图，在中，E是边上一点，连结并延长交的延长线于点F．若，则与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，，
∴△CDE∽△FAE，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴△AEF∽△BCF，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等得CD∥AB，CD=AB，AD∥BC，由平行于三角形一边得直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△CDE∽△FAE，由相似三角形对应边成比例及等量代换可推出，再根据平行于三角形一边得直线，截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△AEF∽△BCF，最后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得答案.
5．（2024九上·拱墅期中）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是（ ）
A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm
【答案】B
【知识点】垂径定理；相似三角形的判定；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接OD，
设⊙O的半径为r，则，，
∵，
∴，，
∵AC是⊙O的直径，，，
∴，
在中， ，即，
解得，
∴， ， ，
在和中，
∴，
∴，即，
解得．
故答案为：B．
【分析】连接OD，设⊙O的半径为r，先利用垂径定理、勾股定理求出r的值，再根据线段的和差求出CE的长，根据勾股定理可求出BC的长，然后利用相似三角形的判定与性质即可求得OF的长度．
6．（2024九上·杭州期末）如图，在中，点，分别在边，上，，，，那么 ．
【答案】
【知识点】A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：.
，
，
，
（负值舍去），
，
，
故答案为： ．
【分析】先得到，然后根据面积比等于相似比的平方解题即可．
7．（2024九上·诸暨月考）在如图的正方形格点纸中，每个小的四边形都是边长为1的正方形，A、B、C、D都是格点，AB与CD相交于O，则AO：OB＝ ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定；A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据相似三角形的判定得，由相似三角形对应边成比例的性质求出，从而得，然后推出，得的值.
8．（2025九上·鹿城期末）如图，在矩形中，，E为边上一点，正方形的顶点P，Q分别在线段上，M，N在边上，若A，P，M三点恰好在同一直线上，则的长为 ．
【答案】4
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图所示：延长交于点，则.
根据题意得：四边形为矩形，
∴，
设正方形的边长为，
∵四边形是正方形
，
∴，
∴，
解得：，
∵三点恰好在同一直线上，
∴，
∴，
∴，，
∵四边形是矩形，
，
∴，
∴，即
∴，
∴，
故答案为：4．
【分析】延长交于点，则；因为三点共线，则，即；由可算出PN的长，则MN、BN、PF、AF都可知；再利用可算出EF长，则AE＝AF+FE。主要是相似三角形的判定与性质的综合应用。
9．（2024九上·郴州期末）如图，点B，C分别在的边，上．已知，且，，，求的长．
【答案】解：，，
，
，
，即，
解得：，
，
的长为7．
【知识点】A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】根据相似三角形的对应边成比例得到，即可求出长，然后根据解题即可．
10．（2024九下·青田模拟）如图，在中，，以为边作，交与点F，
（1）若，求的度数．
（2）若，求．
【答案】（1）解：在中，，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴。
（2）解：∵，∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；A字型相似模型；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质可求，再根据平行四边形的对应角相等的性质可求；
（2）先证明出，然后根据相似三角形的相似比求出的长度，最后根据即可求解．
二、8字型相似模型
11．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，AB：CD=1：2，OB=2，那么BC=( )
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定；8字型相似模型
【解析】【解答】解：如图
∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴AB：CD=OB：OC，
∵ AB：CD=1：2，OB=2 ，
∴OC=4，
∴BC=OC+OB=2+4=6，
故答案为：6.
【分析】根据相似三角形的判定，根据已知条件可以判断出△AOB∽△COD，根据相似三角形的性质，可以推断出AB：CD=OB：OC，根据已知条件计算出OC的值，这样可以计算出BC的值.
12．如图 ，在 ABCD中，AG平分∠BAD 分别交 BD，BC，DC的延长线于点 F，G，E，记△ADF 与△CEG的面积分别为S1，S2，若AB：AD=2：3，则 的值是 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵AG平分
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC， AD = BC，
设AD=BC=3a， 则AB=2a， GB=2a，
∴CG=a，
设/S△GBF =4S， 则S△ADF =9S，
∴S△ABF =6S，
故答案为： C.
【分析】根据平行四边形的性质，得到，根据边的比例得出面积之比，从而得出 的值.
13．（2025九上·镇海区期末）如图，中，平分分别交，，延长线于点F，G，E，分别记与的面积为和．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，，
∵，
∴设，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】利用平行四边形的性质可得，，，，然后根据角平分线得到，即可得到，然后证明，可以得到，再根据得到，然后计算比值即可．
14．（2024九上·东阳期末）如图，C、D是圆上的两点，，点D刚好为的中点，交于点E．若，则的长为（ ）．
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【知识点】勾股定理；圆周角定理；8字型相似模型
【解析】【解答】解：过C作交的延长线于F，
∴，
∵D为 的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
令，
∵，
∴，
∴，
∴（舍去负值），
∴．
故答案为：B．
【分析】过C作CF∥AB交AD的延长线于F，由二直线平行，内错角相等得∠F=∠BAE，由等弧所对的圆周角相等得∠CAE=∠BAE，则，由等角对等边得，由平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得，由相似三角形对应边成比例得到，令，由勾股定理建立方程求出x的值，此题得解.
15．（2024九上·苍南月考） 如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，连结HF交DE于点M．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；8字型相似模型；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：延长CB，DE，交于点N，设AH=1，AE=2，
∵正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，
∴BE=1，DH=BF=2，
∵AD//BN，
∴△ADE∽△BNE，
∴，即
∴BN=1.5，
∵DH//NF，
∴△DHM∽△NFM，
∴
故答案为：C.
【分析】延长CB，DE，交于点N，设AH=1，AE=2，依据△ADE∽△BNE，即可得出BN=1.5；再根据△DHM∽△NFM，即可得到的值.
16．（2025九上·镇海区期末）如图，在矩形中，，，点P是上的动点，连结交对角线于点E，若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】利用矩形的性质可得，长，然后根据勾股定理得到长，然后得到解题即可．
17．（2024九上·永康期中）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F，BE与DF交于点O．若△ADE的面积为4，则四边形BOGC的面积= ．
【答案】7
【知识点】三角形的中位线定理；A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DEBC，DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵△ADE的面积为4，
∴S△ABC=16，
∵DEBC，
∴△ODE∽△OFB，∠EDG=∠F，∠DEG=∠GCF，
∴，
又EG=CG，
∴△DEG≌△FCG（AAS），
∴DE=CF，
∴BF=3DE，
∴，
∵AD=BD，
∴S△BDE=S△ADE=S，
∵AE=CE=2EG，
∴S△DEG=S△ADE=2，
∵，
∴S△ODE=S△BDE=1，
∴S△OEG=S△DEG-S△ODE=1，
∵S四边形DBCE=S△ABC-S△ADE=12，
∴S四边形OBCG=S四边形DBCE-S△BDE-S△OEG=12-4-1=7.
故答案为：7.
【分析】根据根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半可得DEBC，DE=BC，根据平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似可证明△ADE∽△ABC与△ODE∽△OFB，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等可证明△DEG≌△FCG，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方与等高三角形的面积比等于对应底的比即可求解.
18．（2024九上·瑞安期末）如图，在中，，分别交边于点，连结交于点，若的面积为3，的面积为13，则的值为 ；的面积为 ．
【答案】；
【知识点】A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，设点到的高为，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
设，
∴，
如图所示，过点作于点，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，整理得，，
∴，
∴，
解得，，，
检验，当，时，原分式方程有意义，
当时，；
当时，，不符合题意，舍去；
∴，
∵
∴，
∴，
故答案为：①；②．
【分析】设点到的高为，根据三角形的面积可得，然后证明，，即可得到，然后设，即可得到，再过点作于点，利用面积得到，即可得到，解出a的值即可解题．
19．（2024九上·杭州期中）如图，点D、E是△ABC边AB、AC的中点，连接BE，点G是线段BE的中点，连接CG并延长，交ED的延长线于点，交AB于点.
（1）求的值；
（2），求HG的长.
【答案】（1）解： ∵点D、E是△ABC边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC， BC=2DE，
∴∠BCG =∠F， ∠CBG =∠FEG，
∵点G是线段BE的中点，
∴BG=EG，
在△BCG和△EFG中，
，
∴△BCG≌△EFG(AAS)，
∴BC = EF， CG=FG，
∵BC=2DE，
∴BC =EF =DF+DE=2DE，
∴DF=DE，
∴BC=2DF，
又∵DE∥BC，
∴∠F=∠FCB，∠FDB=∠DBC，
∴△FHD∽△CHB，
∴；
（2）解：∵CF=18，
∴CG=FG=9， CH=CF-FH=18-FH，
∵
∴FH：(18-FH)=1：2，
∴FH=6，
∴HG=FG-FH =9-6=3.
【知识点】三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)先得到DE是△ABC的中位线， 则DE∥BC，BC =2DE， 证明△BCG和△EFG全等DEBC =EF， 则BC=2DF， 然后根据△FHD∽△CHB即可得出结论；
(2)先求出CG=FG=9，CH=CF-FH=18-FH， 再根据 (1) 的结论得FH：CH=DF：BC， 则FH：(18–FH)=1：2， 由此可求出FH， 进而即可得出HG的长.
20． 如图，在 ABCD 中，E 为边 BC 上一点，连结AE 并延长，交DC 的延长线于点 M，交BD于点G，过点 G 作GF∥BC 交DC 于点
（1）若BD=20，求BG 的长.
（2） 求 的值.
【答案】（1）解：∵GF∥BC，
∵BD=20，
（2）解：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴ AB∥CD，BA=CD.
∴△DMG∽△BAG.
由(1)，知
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；8字型相似模型；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)由 推出 即可解决问题；
(2)由 推出 可得 解决问题；
三、一线三等角相似模型（K字型相似模型）
21．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 上一点，过点E作EF⊥AE，交DC于点F，连结AF，则AF的最小值是（ ）
A．5 B． C．2 D．3
【答案】A
【知识点】二次函数的最值；勾股定理；正方形的性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，∠B=∠C=∠D=90°
∴∠BAE+∠AEB=90°，
设BE=x，则EC=BC-BE=4-x，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°
∴∠AEB+∠FEC=180°-∠AEF=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴△ABE∽△ECF
∴
∴
∴
∴当x=2时，CF最大=1，
此时DF最小=DC-CF=3，
在Rt△ADF中，，
∴当DF最小=3时，AF取最小值，
∴，
∴AF的最小值是5，
故答案为：5.
【分析】根据正方形的性质可得AB=BC=CD=AD=4，∠B=∠C=∠D=90°，再设BE=x，则EC=BC-BE=4-x，根据一线三等角相似模型证明△ABE∽△ECF，从而可得，进而可得当x=2时，CF最大=1，然后可得DF最小=3，最后在Rt△ADF中，利用勾股定理求出AF的最小值，即可解答.
22． 如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边 BC，AB上，∠ADE=60°.若BD=4DC，DE=2.4，则AD的长为 （ ）
A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠B=∠C=60°，
∴∠CAD+∠ADC=120°，
∵∠ADE=60°.
∴∠BDE+∠ADC=120°，
∴∠CAD=∠BDE，
∴△ADC∽△DEB，
∴
∵BD=4DC
∴设DC=x，
则BD=4x，
∴BC=AC=5x，
∴
∴AD=3，
故答案为：C.
【分析】先证∠CAD=∠BDE，再根据∠B=∠C=60°，得出△ADC∽△DEB，根据相似三角形的性质即可求出 AD的长.
23．如图， 在 中， ， 分别以 ， 为边作正方形 交 于点 ． 若 ， 则 的长为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正方形的性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形ABPQ，ACFH为正方形，
∴PB=AB，AC=CF=CB+BF=4，
∠F=∠C=90°，∠PBA=90°，
∴∠FOB+∠FBO=90°，∠ABC+∠FBO=90°，
∴∠FOB=∠ABC，
∴△FOB∽△CBA，
∴，
即，
∴OF=1，
在Rt△FBO中，由勾股定理得，
，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据正方形的性质得到△FOB∽△CBA，根据相似三角形的性质得到OF，利用勾股定理分别求出OB，PB进而可求.
24．（2024·湖州模拟）在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，顶点恰好分别落在函数的图象上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；求正弦值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：过点分别作轴，轴，垂足为，
点在反比例函数上，点在上，
又
，
设则
在
故答案为：
【分析】本题首先根据两个反比例函数，可以先求出△AOD和△BOE的面积，因为这两个三角形是相似的，因此面积比就是相似比的平方，这样，然后放到直角三角形AOB中，利用勾股定理即可求出三边长度，最后即可求出正弦值。
25．如图， 在边长为 4 的等边三角形 中， 是 边上的一个动点， 沿过点 的直线折叠 ， 使点 落在 边上的点 外， 折痕交 于点 ， 当 时， 则 的长是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【解答】解：∵等边的边长为4，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=4，
根据折叠的性质，得∠DFE=∠A=60°，
∴∠DFB+∠EFC=180°-60°=120°，
∵∠B=60°，
∴∠DFB+∠BDF=180°-60°=120°，
∴∠EFC=∠BDF，
∴，
∴，
又∵AC=BC=4，，BF=1，
∴，CF=BC-BF=4-1=3，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形的性质、折叠的性质，得∠A=∠B=∠C=∠DFE=60°，AB=AC=BC=4，然后利用”一线三等角“模型证出∠EFC=∠BDF，从而有，根据相似三角形的性质得，然后求出CF、CE的值，代入求出BD的值，最后求AD=AB-BD的值即可.
26．（2025九下·临平月考） 在直角坐标系中，含30°的Rt∠AOB如图放置，∠AOB=90°，∠B=30°，AB的中点C在х轴上，第一象限内点A在反比例函数y=图象上，则过第四象限内点B的反比例函数表达式是 .
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；相似三角形的判定；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，设点A的坐标为（a，），过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥y轴于点E，
∴∠ADO=∠BEO=90°.
∴AD=a，OD=，
∵ ∠AOB=90°，
∴tan∠ABO=，
∵∠ABO=30°，
∴=，
∵BE⊥y轴，∠AOB=90°，
∴∠BOE+∠OBE=90°，∠BOE+∠AOD=90°，
∴∠OBE=∠AOD，
∴△OBE∽△AOD，
∴OD：BE=AD：OE=AO：BO=，
∴：BE=a：OE=，
解得OE=a，BE=.
∴点B的坐标为（，-a）.
∵×（-a）=-，
∴过第四象限内点B的反比例函数表达式为，即.
故答案为：.
【分析】先利用正切求出，再证明△OBE∽△AOD，列出比例式，用a表示出OE与BE，从而可得B点的坐标，点B的坐标的横坐标、纵坐标的积为过第四象限内点B的反比例函数表达式的比例系数，由此可得过第四象限内点B的反比例函数表达式.
27． 如图，△DEF 的三个顶点分别在等边 三 角 形 ABC 的三 条 边 上，BC =4， 则 DF 长度的最小值是 .
【答案】
【知识点】二次函数的最值；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；正切的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点F作FH⊥BC，垂足为H，
∵∠EDF=90°，，
∴∠EFD=60°，
∴∠AFE+∠DFC=120°，
∵△ABC是等边三角形，BC=4，
∴∠C=∠A=60°，AC=BC=4，
∴∠AFE+∠AEF=120°，
又∵∠AFE+∠DFC=120°，
∴∠AEF=∠DFC，
∴△AEF∽△CFD，
∴，
∵∠EDF=90°，∠EFD=60°，
∴
∴，
∴设CD=a，则AF=2a，
∴CF=AC-AF=4-2a，
在Rt△CFH中，∠C=60°，
∴
∴
∴DH=CD-CH=a-（2-a）=2a-2，
在Rt△DFH中，DF2=DH2+FH2，
即
∴DF2的最小值为，
∴DF的最小值为.
故答案为： .
【分析】根据已知可得∠EFD=60°，利用一线三等角模型证明△AEF∽△CFD，可得，设CD=a，在Rt△DFH利用勾股定理构造DF2关于a的二次函数关系，利用二次函数最值即可求解．
28．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形CB∥OA，OC=BA，OA=7，BC=1，AB=5，P为x轴上的一个动点，点P 不与点O，A 重合.连结CP，过点 P 作PD 交AB 于点 D.
（1）直接写出点 B 的坐标： ；
（2）当点 P 在线段OA 上运动时，使得∠CPD=∠OAB，且 BD：AD=3：2，则点 P的坐标为 .
【答案】（1）(4，4)
（2）(2，0)或(5，0)
【知识点】坐标与图形性质；等腰梯形的性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：(1)过C作CM⊥OA于M，过B作BN⊥OA于N，
∵BC//OA，
∴四边形MNBC是矩形，
∴CM=NB，MN=BC=1，
∵OC=BA，
∴Rt△COM≌Rt△BAN(HL)，
∴OM=AN，
∵OM+AN+MN=OA=7，
∴2AN=7-1=6，
∴AN=3，
∴，
∵ON=OA-AN=7-3=4，
∴点B的坐标是(4，4)，
故答案为：(4，4).
(2)∵BC//AO，OC=AB，
∴四边形AOCB是等腰梯形，
∴∠OAB=∠POC，
∵∠OAB=∠CPD，
∴∠POC=∠CPD，
∵∠CPD+∠APD=∠PCO+∠POC
∴∠APD=∠PCO，
∵∠OAB=∠POC，
∴△PAD∽△COP，
∴PA：OC=AD：OP，
∵BD：AD=3：2，OC=AB=5
∴AD=2，
∴(7-OP)：5=2：OP，
∴OP=2或5，
∴点P的坐标为(2，0)或(5，0).
故答案为：(2，0)或(5，0).
【分析】(1)过C作CM⊥OA于M，过B作BN⊥OA于N，利用梯形的性质和全等三角形的判定(HL)得出OM=AN，再利用勾股定理计算BN的长度，从而得出点B的坐标；
(2)利用相似三角形的性质得出PA：OC=AD：OP，再根据BD：AD=3：2和OC=AB=5，计算出OP的值，从而得出点P的坐标.
29． 如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边 BC上移动(点 E 不与点 B，C 重合)，点D，F 分别在边 AB 和 AC 上，且满足∠DEF=∠B.
（1）求证：△BDE∽△CEF.
（2）若BE=CE，且BD=6，CF=4，求 的值.
【答案】（1）证明： ∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠CED=∠CEF+∠DEF=∠B+∠BDE
， ∠DEF=∠B，
∴∠CEF =∠BDE，
∴△BDE∽△CEF；
（2）证明：∵△BDE∽△CEF，
∴BE·CE=BD·CF，
∵BE =CE， 且BD =6， CF =4，
【知识点】一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】 (1)由AB=AC得到∠B =∠C， 由三角形外角的性质得到∠CEF+∠DEF =∠B+∠BDE， 已知∠DEF =∠B， 得到∠CEF =∠BDE， 即可得到结论；
(2)由△BDE∽△CEF得到 则BE·CE=BD·CF， 由BE=CE， 且BD=6， CF=4， 得到 求出 即可得到 的值.
30．（2024九上·杭州开学考）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF=y．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
（3）若，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？
【答案】解：（1）如图，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴
∴关于的函数关系式为；
（2）当=8时，有，
∴，
∴当=4时，的值最大值是2；
（3）当时，有，
∴，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∵是等腰三角形，
∴，
易证，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴当时，有；
当时，有；
综上所述，的值应为6或2时，是等腰三角形.
【知识点】二次函数的最值；矩形的性质；同侧一线三垂直全等模型；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得，然后由“一线三等角相似模型“推出，得，代入数值即可求解；
（2）把的值代入函数关系式，将函数关系式化为顶点式，再求二次函数的最大值；
（3）先把的值代入函数关系式，求出的值，然后根据，只有当时，为等腰三角形，于是利用”一线三垂直全等模型“易证，得，结合矩形的性质得，最后分情况求出的值即可.
1 / 1浙教版数学九年级上学期重难点复习2:相似三角形(一)
一、A字型相似模型
1．（2024九上·嵊州期末）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高为，测得，，则建筑物的高是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·杭州月考）如图，在中，点D，E分别在AB，AC上，且，则（ ）
A．1∶8 B．1∶7 C．1∶3 D．1∶9
3．（2024九上·江北期末）如图，在中，，，，点为此三角形的重心，连结并延长交于点，过点作于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·杭州期末）如图，在中，E是边上一点，连结并延长交的延长线于点F．若，则与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·拱墅期中）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是（ ）
A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm
6．（2024九上·杭州期末）如图，在中，点，分别在边，上，，，，那么 ．
7．（2024九上·诸暨月考）在如图的正方形格点纸中，每个小的四边形都是边长为1的正方形，A、B、C、D都是格点，AB与CD相交于O，则AO：OB＝ ．
8．（2025九上·鹿城期末）如图，在矩形中，，E为边上一点，正方形的顶点P，Q分别在线段上，M，N在边上，若A，P，M三点恰好在同一直线上，则的长为 ．
9．（2024九上·郴州期末）如图，点B，C分别在的边，上．已知，且，，，求的长．
10．（2024九下·青田模拟）如图，在中，，以为边作，交与点F，
（1）若，求的度数．
（2）若，求．
二、8字型相似模型
11．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，AB：CD=1：2，OB=2，那么BC=( )
A．4 B．5 C．6 D．8
12．如图 ，在 ABCD中，AG平分∠BAD 分别交 BD，BC，DC的延长线于点 F，G，E，记△ADF 与△CEG的面积分别为S1，S2，若AB：AD=2：3，则 的值是 ( )
A． B． C． D．
13．（2025九上·镇海区期末）如图，中，平分分别交，，延长线于点F，G，E，分别记与的面积为和．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
14．（2024九上·东阳期末）如图，C、D是圆上的两点，，点D刚好为的中点，交于点E．若，则的长为（ ）．
A．12 B．10 C．8 D．6
15．（2024九上·苍南月考） 如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，连结HF交DE于点M．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
16．（2025九上·镇海区期末）如图，在矩形中，，，点P是上的动点，连结交对角线于点E，若，则的长为 ．
17．（2024九上·永康期中）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F，BE与DF交于点O．若△ADE的面积为4，则四边形BOGC的面积= ．
18．（2024九上·瑞安期末）如图，在中，，分别交边于点，连结交于点，若的面积为3，的面积为13，则的值为 ；的面积为 ．
19．（2024九上·杭州期中）如图，点D、E是△ABC边AB、AC的中点，连接BE，点G是线段BE的中点，连接CG并延长，交ED的延长线于点，交AB于点.
（1）求的值；
（2），求HG的长.
20． 如图，在 ABCD 中，E 为边 BC 上一点，连结AE 并延长，交DC 的延长线于点 M，交BD于点G，过点 G 作GF∥BC 交DC 于点
（1）若BD=20，求BG 的长.
（2） 求 的值.
三、一线三等角相似模型（K字型相似模型）
21．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 上一点，过点E作EF⊥AE，交DC于点F，连结AF，则AF的最小值是（ ）
A．5 B． C．2 D．3
22． 如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边 BC，AB上，∠ADE=60°.若BD=4DC，DE=2.4，则AD的长为 （ ）
A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2
23．如图， 在 中， ， 分别以 ， 为边作正方形 交 于点 ． 若 ， 则 的长为 （ ）
A． B． C． D．
24．（2024·湖州模拟）在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，顶点恰好分别落在函数的图象上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
25．如图， 在边长为 4 的等边三角形 中， 是 边上的一个动点， 沿过点 的直线折叠 ， 使点 落在 边上的点 外， 折痕交 于点 ， 当 时， 则 的长是（ ）
A． B． C．2 D．
26．（2025九下·临平月考） 在直角坐标系中，含30°的Rt∠AOB如图放置，∠AOB=90°，∠B=30°，AB的中点C在х轴上，第一象限内点A在反比例函数y=图象上，则过第四象限内点B的反比例函数表达式是 .
27． 如图，△DEF 的三个顶点分别在等边 三 角 形 ABC 的三 条 边 上，BC =4， 则 DF 长度的最小值是 .
28．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形CB∥OA，OC=BA，OA=7，BC=1，AB=5，P为x轴上的一个动点，点P 不与点O，A 重合.连结CP，过点 P 作PD 交AB 于点 D.
（1）直接写出点 B 的坐标： ；
（2）当点 P 在线段OA 上运动时，使得∠CPD=∠OAB，且 BD：AD=3：2，则点 P的坐标为 .
29． 如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边 BC上移动(点 E 不与点 B，C 重合)，点D，F 分别在边 AB 和 AC 上，且满足∠DEF=∠B.
（1）求证：△BDE∽△CEF.
（2）若BE=CE，且BD=6，CF=4，求 的值.
30．（2024九上·杭州开学考）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF=y．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
（3）若，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相似三角形的实际应用；A字型相似模型
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先得到，然后根据平行得到，即可得到解题即可．
2．【答案】A
【知识点】A字型相似模型；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵， ∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】先根据两边成比例且夹角相等得到△ADE∽△ABC，即可得到，然后解题即可.
3．【答案】A
【知识点】勾股定理；三角形的重心及应用；A字型相似模型
【解析】【解答】解：过作于，
∵为此三角形的重心，
∴，，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵AB=10，AD=4，BC=6，
∴，解得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，BE=2，BD=3，解得：，
∴.
故答案为：．
【分析】先证明，列出比例式，求出DH，再证明，列出比例式，求出EF．
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，，
∴△CDE∽△FAE，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴△AEF∽△BCF，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等得CD∥AB，CD=AB，AD∥BC，由平行于三角形一边得直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△CDE∽△FAE，由相似三角形对应边成比例及等量代换可推出，再根据平行于三角形一边得直线，截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△AEF∽△BCF，最后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得答案.
5．【答案】B
【知识点】垂径定理；相似三角形的判定；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接OD，
设⊙O的半径为r，则，，
∵，
∴，，
∵AC是⊙O的直径，，，
∴，
在中， ，即，
解得，
∴， ， ，
在和中，
∴，
∴，即，
解得．
故答案为：B．
【分析】连接OD，设⊙O的半径为r，先利用垂径定理、勾股定理求出r的值，再根据线段的和差求出CE的长，根据勾股定理可求出BC的长，然后利用相似三角形的判定与性质即可求得OF的长度．
6．【答案】
【知识点】A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：.
，
，
，
（负值舍去），
，
，
故答案为： ．
【分析】先得到，然后根据面积比等于相似比的平方解题即可．
7．【答案】
【知识点】相似三角形的判定；A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据相似三角形的判定得，由相似三角形对应边成比例的性质求出，从而得，然后推出，得的值.
8．【答案】4
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图所示：延长交于点，则.
根据题意得：四边形为矩形，
∴，
设正方形的边长为，
∵四边形是正方形
，
∴，
∴，
解得：，
∵三点恰好在同一直线上，
∴，
∴，
∴，，
∵四边形是矩形，
，
∴，
∴，即
∴，
∴，
故答案为：4．
【分析】延长交于点，则；因为三点共线，则，即；由可算出PN的长，则MN、BN、PF、AF都可知；再利用可算出EF长，则AE＝AF+FE。主要是相似三角形的判定与性质的综合应用。
9．【答案】解：，，
，
，
，即，
解得：，
，
的长为7．
【知识点】A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】根据相似三角形的对应边成比例得到，即可求出长，然后根据解题即可．
10．【答案】（1）解：在中，，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴。
（2）解：∵，∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；A字型相似模型；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质可求，再根据平行四边形的对应角相等的性质可求；
（2）先证明出，然后根据相似三角形的相似比求出的长度，最后根据即可求解．
11．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定；8字型相似模型
【解析】【解答】解：如图
∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴AB：CD=OB：OC，
∵ AB：CD=1：2，OB=2 ，
∴OC=4，
∴BC=OC+OB=2+4=6，
故答案为：6.
【分析】根据相似三角形的判定，根据已知条件可以判断出△AOB∽△COD，根据相似三角形的性质，可以推断出AB：CD=OB：OC，根据已知条件计算出OC的值，这样可以计算出BC的值.
12．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵AG平分
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC， AD = BC，
设AD=BC=3a， 则AB=2a， GB=2a，
∴CG=a，
设/S△GBF =4S， 则S△ADF =9S，
∴S△ABF =6S，
故答案为： C.
【分析】根据平行四边形的性质，得到，根据边的比例得出面积之比，从而得出 的值.
13．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，，
∵，
∴设，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】利用平行四边形的性质可得，，，，然后根据角平分线得到，即可得到，然后证明，可以得到，再根据得到，然后计算比值即可．
14．【答案】B
【知识点】勾股定理；圆周角定理；8字型相似模型
【解析】【解答】解：过C作交的延长线于F，
∴，
∵D为 的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
令，
∵，
∴，
∴，
∴（舍去负值），
∴．
故答案为：B．
【分析】过C作CF∥AB交AD的延长线于F，由二直线平行，内错角相等得∠F=∠BAE，由等弧所对的圆周角相等得∠CAE=∠BAE，则，由等角对等边得，由平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得，由相似三角形对应边成比例得到，令，由勾股定理建立方程求出x的值，此题得解.
15．【答案】C
【知识点】正方形的性质；8字型相似模型；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：延长CB，DE，交于点N，设AH=1，AE=2，
∵正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，
∴BE=1，DH=BF=2，
∵AD//BN，
∴△ADE∽△BNE，
∴，即
∴BN=1.5，
∵DH//NF，
∴△DHM∽△NFM，
∴
故答案为：C.
【分析】延长CB，DE，交于点N，设AH=1，AE=2，依据△ADE∽△BNE，即可得出BN=1.5；再根据△DHM∽△NFM，即可得到的值.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】利用矩形的性质可得，长，然后根据勾股定理得到长，然后得到解题即可．
17．【答案】7
【知识点】三角形的中位线定理；A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DEBC，DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵△ADE的面积为4，
∴S△ABC=16，
∵DEBC，
∴△ODE∽△OFB，∠EDG=∠F，∠DEG=∠GCF，
∴，
又EG=CG，
∴△DEG≌△FCG（AAS），
∴DE=CF，
∴BF=3DE，
∴，
∵AD=BD，
∴S△BDE=S△ADE=S，
∵AE=CE=2EG，
∴S△DEG=S△ADE=2，
∵，
∴S△ODE=S△BDE=1，
∴S△OEG=S△DEG-S△ODE=1，
∵S四边形DBCE=S△ABC-S△ADE=12，
∴S四边形OBCG=S四边形DBCE-S△BDE-S△OEG=12-4-1=7.
故答案为：7.
【分析】根据根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半可得DEBC，DE=BC，根据平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似可证明△ADE∽△ABC与△ODE∽△OFB，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等可证明△DEG≌△FCG，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方与等高三角形的面积比等于对应底的比即可求解.
18．【答案】；
【知识点】A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，设点到的高为，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
设，
∴，
如图所示，过点作于点，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，整理得，，
∴，
∴，
解得，，，
检验，当，时，原分式方程有意义，
当时，；
当时，，不符合题意，舍去；
∴，
∵
∴，
∴，
故答案为：①；②．
【分析】设点到的高为，根据三角形的面积可得，然后证明，，即可得到，然后设，即可得到，再过点作于点，利用面积得到，即可得到，解出a的值即可解题．
19．【答案】（1）解： ∵点D、E是△ABC边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC， BC=2DE，
∴∠BCG =∠F， ∠CBG =∠FEG，
∵点G是线段BE的中点，
∴BG=EG，
在△BCG和△EFG中，
，
∴△BCG≌△EFG(AAS)，
∴BC = EF， CG=FG，
∵BC=2DE，
∴BC =EF =DF+DE=2DE，
∴DF=DE，
∴BC=2DF，
又∵DE∥BC，
∴∠F=∠FCB，∠FDB=∠DBC，
∴△FHD∽△CHB，
∴；
（2）解：∵CF=18，
∴CG=FG=9， CH=CF-FH=18-FH，
∵
∴FH：(18-FH)=1：2，
∴FH=6，
∴HG=FG-FH =9-6=3.
【知识点】三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)先得到DE是△ABC的中位线， 则DE∥BC，BC =2DE， 证明△BCG和△EFG全等DEBC =EF， 则BC=2DF， 然后根据△FHD∽△CHB即可得出结论；
(2)先求出CG=FG=9，CH=CF-FH=18-FH， 再根据 (1) 的结论得FH：CH=DF：BC， 则FH：(18–FH)=1：2， 由此可求出FH， 进而即可得出HG的长.
20．【答案】（1）解：∵GF∥BC，
∵BD=20，
（2）解：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴ AB∥CD，BA=CD.
∴△DMG∽△BAG.
由(1)，知
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；8字型相似模型；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)由 推出 即可解决问题；
(2)由 推出 可得 解决问题；
21．【答案】A
【知识点】二次函数的最值；勾股定理；正方形的性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，∠B=∠C=∠D=90°
∴∠BAE+∠AEB=90°，
设BE=x，则EC=BC-BE=4-x，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°
∴∠AEB+∠FEC=180°-∠AEF=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴△ABE∽△ECF
∴
∴
∴
∴当x=2时，CF最大=1，
此时DF最小=DC-CF=3，
在Rt△ADF中，，
∴当DF最小=3时，AF取最小值，
∴，
∴AF的最小值是5，
故答案为：5.
【分析】根据正方形的性质可得AB=BC=CD=AD=4，∠B=∠C=∠D=90°，再设BE=x，则EC=BC-BE=4-x，根据一线三等角相似模型证明△ABE∽△ECF，从而可得，进而可得当x=2时，CF最大=1，然后可得DF最小=3，最后在Rt△ADF中，利用勾股定理求出AF的最小值，即可解答.
22．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠B=∠C=60°，
∴∠CAD+∠ADC=120°，
∵∠ADE=60°.
∴∠BDE+∠ADC=120°，
∴∠CAD=∠BDE，
∴△ADC∽△DEB，
∴
∵BD=4DC
∴设DC=x，
则BD=4x，
∴BC=AC=5x，
∴
∴AD=3，
故答案为：C.
【分析】先证∠CAD=∠BDE，再根据∠B=∠C=60°，得出△ADC∽△DEB，根据相似三角形的性质即可求出 AD的长.
23．【答案】A
【知识点】正方形的性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形ABPQ，ACFH为正方形，
∴PB=AB，AC=CF=CB+BF=4，
∠F=∠C=90°，∠PBA=90°，
∴∠FOB+∠FBO=90°，∠ABC+∠FBO=90°，
∴∠FOB=∠ABC，
∴△FOB∽△CBA，
∴，
即，
∴OF=1，
在Rt△FBO中，由勾股定理得，
，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据正方形的性质得到△FOB∽△CBA，根据相似三角形的性质得到OF，利用勾股定理分别求出OB，PB进而可求.
24．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；求正弦值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：过点分别作轴，轴，垂足为，
点在反比例函数上，点在上，
又
，
设则
在
故答案为：
【分析】本题首先根据两个反比例函数，可以先求出△AOD和△BOE的面积，因为这两个三角形是相似的，因此面积比就是相似比的平方，这样，然后放到直角三角形AOB中，利用勾股定理即可求出三边长度，最后即可求出正弦值。
25．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【解答】解：∵等边的边长为4，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=4，
根据折叠的性质，得∠DFE=∠A=60°，
∴∠DFB+∠EFC=180°-60°=120°，
∵∠B=60°，
∴∠DFB+∠BDF=180°-60°=120°，
∴∠EFC=∠BDF，
∴，
∴，
又∵AC=BC=4，，BF=1，
∴，CF=BC-BF=4-1=3，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形的性质、折叠的性质，得∠A=∠B=∠C=∠DFE=60°，AB=AC=BC=4，然后利用”一线三等角“模型证出∠EFC=∠BDF，从而有，根据相似三角形的性质得，然后求出CF、CE的值，代入求出BD的值，最后求AD=AB-BD的值即可.
26．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；相似三角形的判定；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，设点A的坐标为（a，），过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥y轴于点E，
∴∠ADO=∠BEO=90°.
∴AD=a，OD=，
∵ ∠AOB=90°，
∴tan∠ABO=，
∵∠ABO=30°，
∴=，
∵BE⊥y轴，∠AOB=90°，
∴∠BOE+∠OBE=90°，∠BOE+∠AOD=90°，
∴∠OBE=∠AOD，
∴△OBE∽△AOD，
∴OD：BE=AD：OE=AO：BO=，
∴：BE=a：OE=，
解得OE=a，BE=.
∴点B的坐标为（，-a）.
∵×（-a）=-，
∴过第四象限内点B的反比例函数表达式为，即.
故答案为：.
【分析】先利用正切求出，再证明△OBE∽△AOD，列出比例式，用a表示出OE与BE，从而可得B点的坐标，点B的坐标的横坐标、纵坐标的积为过第四象限内点B的反比例函数表达式的比例系数，由此可得过第四象限内点B的反比例函数表达式.
27．【答案】
【知识点】二次函数的最值；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；正切的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点F作FH⊥BC，垂足为H，
∵∠EDF=90°，，
∴∠EFD=60°，
∴∠AFE+∠DFC=120°，
∵△ABC是等边三角形，BC=4，
∴∠C=∠A=60°，AC=BC=4，
∴∠AFE+∠AEF=120°，
又∵∠AFE+∠DFC=120°，
∴∠AEF=∠DFC，
∴△AEF∽△CFD，
∴，
∵∠EDF=90°，∠EFD=60°，
∴
∴，
∴设CD=a，则AF=2a，
∴CF=AC-AF=4-2a，
在Rt△CFH中，∠C=60°，
∴
∴
∴DH=CD-CH=a-（2-a）=2a-2，
在Rt△DFH中，DF2=DH2+FH2，
即
∴DF2的最小值为，
∴DF的最小值为.
故答案为： .
【分析】根据已知可得∠EFD=60°，利用一线三等角模型证明△AEF∽△CFD，可得，设CD=a，在Rt△DFH利用勾股定理构造DF2关于a的二次函数关系，利用二次函数最值即可求解．
28．【答案】（1）(4，4)
（2）(2，0)或(5，0)
【知识点】坐标与图形性质；等腰梯形的性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：(1)过C作CM⊥OA于M，过B作BN⊥OA于N，
∵BC//OA，
∴四边形MNBC是矩形，
∴CM=NB，MN=BC=1，
∵OC=BA，
∴Rt△COM≌Rt△BAN(HL)，
∴OM=AN，
∵OM+AN+MN=OA=7，
∴2AN=7-1=6，
∴AN=3，
∴，
∵ON=OA-AN=7-3=4，
∴点B的坐标是(4，4)，
故答案为：(4，4).
(2)∵BC//AO，OC=AB，
∴四边形AOCB是等腰梯形，
∴∠OAB=∠POC，
∵∠OAB=∠CPD，
∴∠POC=∠CPD，
∵∠CPD+∠APD=∠PCO+∠POC
∴∠APD=∠PCO，
∵∠OAB=∠POC，
∴△PAD∽△COP，
∴PA：OC=AD：OP，
∵BD：AD=3：2，OC=AB=5
∴AD=2，
∴(7-OP)：5=2：OP，
∴OP=2或5，
∴点P的坐标为(2，0)或(5，0).
故答案为：(2，0)或(5，0).
【分析】(1)过C作CM⊥OA于M，过B作BN⊥OA于N，利用梯形的性质和全等三角形的判定(HL)得出OM=AN，再利用勾股定理计算BN的长度，从而得出点B的坐标；
(2)利用相似三角形的性质得出PA：OC=AD：OP，再根据BD：AD=3：2和OC=AB=5，计算出OP的值，从而得出点P的坐标.
29．【答案】（1）证明： ∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠CED=∠CEF+∠DEF=∠B+∠BDE
， ∠DEF=∠B，
∴∠CEF =∠BDE，
∴△BDE∽△CEF；
（2）证明：∵△BDE∽△CEF，
∴BE·CE=BD·CF，
∵BE =CE， 且BD =6， CF =4，
【知识点】一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】 (1)由AB=AC得到∠B =∠C， 由三角形外角的性质得到∠CEF+∠DEF =∠B+∠BDE， 已知∠DEF =∠B， 得到∠CEF =∠BDE， 即可得到结论；
(2)由△BDE∽△CEF得到 则BE·CE=BD·CF， 由BE=CE， 且BD=6， CF=4， 得到 求出 即可得到 的值.
30．【答案】解：（1）如图，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴
∴关于的函数关系式为；
（2）当=8时，有，
∴，
∴当=4时，的值最大值是2；
（3）当时，有，
∴，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∵是等腰三角形，
∴，
易证，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴当时，有；
当时，有；
综上所述，的值应为6或2时，是等腰三角形.
【知识点】二次函数的最值；矩形的性质；同侧一线三垂直全等模型；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得，然后由“一线三等角相似模型“推出，得，代入数值即可求解；
（2）把的值代入函数关系式，将函数关系式化为顶点式，再求二次函数的最大值；
（3）先把的值代入函数关系式，求出的值，然后根据，只有当时，为等腰三角形，于是利用”一线三垂直全等模型“易证，得，结合矩形的性质得，最后分情况求出的值即可.
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