【精品解析】浙教版数学九年级上学期重难点复习2:相似三角形(二)

浙教版数学九年级上学期重难点复习2:相似三角形(二)
一、手拉手相似模型
1． 如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE，连接BD，CE，若AC=BC 则BD的长为 (　　)
A． B．2 C． D．
2．（2024·临安模拟）如图是以点O为圆心，为直径的圆形纸片，点C在上，将该圆形纸片沿直线对折，点B落在上的点D处（不与点A重合），连接，，．设与直径交于点E．若，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC和△ADE中，∠ACB=∠AED，∠EAC=∠DAB，连接BD，CE，若∠ACE=25°，∠BAC=∠DAE则∠ABD=　 　°.
4． 如图，在矩形ABCD 和矩形DEFG中， 连接AG，BF，则 的值为　 　.
5． 如图，在△ABC中，将△ABC 绕点 A 旋转到△AB'C'的位置，连接 BB'，CC'，若AB=5，AC=3，则的值为　 　.
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，P为AB的中点，点 M，N分别在边AC，BC上，且PM⊥PN，则 的值为　 　.
7．如图，点D是等腰直角三角形ABC的重心，∠ACB=90°，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE.若△ABC的周长为6，则△DCE的周长为 　 　.
8．（2025·温江模拟）如图，在中，，，，点D是边上一动点（点D不与B，C重合），连接，以为边在直线右侧作，使得．
【初步感知】
（1）如图1，在点D的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由．
【深入探究】
（2）如图2，随着点D位置的变化，的位置随之发生变化，当的中点M恰好落在上时，求的值．
【拓展延伸】
（3）如图3，交于点F，P为的中点．当为等边三角形时，求的长．
9．（2024·天河模拟）如图1，正方形中，点E是边上任意一点（不与点B重合），以为边在它的外侧作正方形，点M和点P分别是这两个正方形的对称中心，连接．
（1）填空：当时，线段长的最大值是　 　；
（2）在正方形的边上，是否存在一点Q，使得为等腰直角三角形？若存在，通过证明确定所有满足条件的点Q的具体位置；若不存在，请说明理由；
（3）如图2．连接并延长，与交于点O．求的度数，并求出与的数量关系．
10．（2023九上·海珠期末）在中，，分别取、的中点并且同时将这两个中点绕点C按顺时针方向旋转依次得到点D、E，记旋转角为（），连接、、，如图所示．
（备用图）
（备用图）
（1）当时，求证：；
（2）若，当B、D、E三点共线时，求线段的长；
（3）当时，延长交于点H，连接，探究线段，，之间的数量关系并说明理由．
二、射影定理模型（双垂直模型）
11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，若BD=1，AB=4，则BC的长为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（2025·凉州模拟）如图，在中，于点，若，则的长为（　　）
A．9 B． C．13 D．12
13．（2024八下·高青期末）如图，在中，，于点D，下列结论错误的有（　　）个
①图中只有两对相似三角形；②；③若，AD＝8，则CD＝4．
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
14．（2024·杭州模拟）如图，在中，，于点，设，，，给出下面三个结论：①；②；③若，则．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
15．（2024·浙江模拟）如图，两个阴影正方形与4个全等的直角三角形拼成正方形，延长交于点F，若，则阴影部分的面积之和用含的代数式表示是（　　）
A． B． C． D．
16．（2024九上·福田期中）如图，Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为 D，AE平分∠BAC，分别交 BD，BC于点 F，E．若 AB：BC＝3：4，则=　 　.
17．（2024·仙居模拟）在中，，，，过点A作于点D，以D为顶点作一个直角，其两边分别与边，交于点E，F，点F不与点B重合，则　 　．
18．（2024九上·杭州期中）如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，AF⊥DE于点F，已知DF＝5EF＝5，过C、D、F的⊙O与边AD交于点G，则DG＝　 　．
19．（2024八下·长春净月高新技术产业开发期中）如图，在中，，D为延长线上一点，，，过D作，交的延长线于点H．
（1）求证：．
（2）求长度．
20．（2024·杭州模拟）如图，在中，，，以C为圆心，为半径作圆.点D为AB上的动点，DP、DQ分别切圆C于点P、点Q，连结PQ，分别交AC和BC于点E、F，取PQ的中点M.
（1）当时，求劣弧PQ的度数；
（2）当时，求AD的长；
（3）连结，.
①证明：.
②在点D的运动过程中，BM是否存在最小值？若存在，直接写出BM的值；若不存在，请说明理由.
三、母子相似模型（公共边公共角）
21．（专题特训七 相似三角形的基本模型—【拔尖特训】浙教版数学九年级上册课时训练） 如图，在△ABC 中，点 D 在边 AB 上. 若∠ACD=∠B，AD=2BD，BC=6，则CD 的长为(　　)
A．2 B．3 C．2 D．5
22．（2025·镇海区模拟）如图，已知内接于，点M为的中点，连接交于点E，且C为弧的中点，连接 ，在上存在点 H，使得 若 ， 则的长（　　）
A．4 B． C． D．
23．（2024·宁波模拟）如图，中，，点在边上，于点，点在边上，连结，已知的值，则可求得以下哪个图形的面积（　　）
A． B． C． D．
24．（2024·拱墅模拟）如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点的对称点落在边AB上，点的对称点为点F，EF交AD于点，连接CG交PQ于点，连接，下列说法错误的是（　　）
A． B．当时，
C．当时，或3 D．
25．（2024·镇海区模拟）如图，是的内接三角形，、弦交CO的延长线于点.已知，则AM：AN为（　　）
A．1：2 B．5：11 C．6：11 D．2：3
26．（2024九上·杭州月考）如图，在中，，已知点D为的中点，点E在线段上，连结，若与相似，则的值为　 　．
27．（2024·金东模拟）如图，过外一点P作圆的切线，点B为切点，为直径，连接交于点C，若，则　 　．
28．（2024·瓯海模拟）如图，在正方形中，点，分别在边，上（不与顶点重合），且满足，连接，交于点．，分别是边，的中点，连结接，．若正方形的边长为，则的最小值为　 　．
29．（2025·萧山模拟）如图，已知点是线段AB的黄金分割点，，以点为圆心，以AP长为半径画弧；再以点为圆心，以一定长为半径画弧，两弧交于点，连结AC，PC，BC．
（1）求证：．
（2）若，求AC的长．
30．（2025九下·杭州月考）如图，在中，是边上的点，已知．
（1）求证：；
（2）若，，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】手拉手相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，
∵ ∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE，
∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠CAE=∠BAD
又∵
△ABD∠ACB=∠AED=90°，
∴AC：AB=1： ，
∴BD
故答案为：B.
【分析】根据两角相等得到即可得到，然后证明△ABD，得到AC：AB=1： ，解题即可.
2．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；手拉手相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接，则，
∴，
由折叠得，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
∴，
故答案为：B．
【分析】连接，根据等边对等角得到，由折叠得到，即可得到，求得，然后推理得到，即可得到，代入数值计算解题．
3．【答案】25
【知识点】手拉手相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵ ∠EAC=∠DAB，
∴∠BAC=∠DAE，
又∵ ∠ACB=∠AED ，
∴
∴∠EAC=∠DAB，
∴△CAE∽△BAD，
∴∠ABD=∠ACE=25°.
故答案为：25.
【分析】根据两角对应相等得到△ABC∽△ADE，即可得到再根据∠EAC=∠DAB，即可得到△CAE∽△BAD，根据对应角相等解答即可.
4．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；解直角三角形—边角关系；手拉手相似模型；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：如解图，连接 BD，DF，
∵在矩形ABCD 和矩形 DEFG 中， ∠BAD = ∠E =∠EDG=90°，EF=DG=3.
∵AB=1，AD=DE=
在 Rt△ABD 中， ，
∴ ∠ADB = 30°.
在 Rt △DGF 中，∵=∠ADB+∠ADF，∠ADG=∠ADF+∠GDF，∠ADB=∠GDF，
∴∠BDF=∠ADG，
∴△BDF∽△ADG，
故答案为：.
【分析】根据矩形的性质，利用勾股定理求出对角线的长，然后得到 即可求出∠BDF=∠ADG，得到△BDF∽△ADG，即可根据对应边成比例解答即可.
5．【答案】
【知识点】旋转的性质；手拉手相似模型；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵ △ABC 绕点 A 旋转到△AB'C'的位置，
，
，
∴，
∴△ABB'∽△ACC'，
.
故答案为：.
【分析】根据旋转，利用两边成比例且夹角相等得到ABB'∽△ACC'，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可.
6．【答案】
【知识点】解直角三角形—边角关系；手拉手相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如解图，过点 P 作 DP⊥AB交 BC 于点 D，
∵ ∠BPD =∠C = 90°，
∴∠PDN=∠A，∠DPN=∠APM，
∴△DPNC∽△APM
∵P 为AB 的中点，
∴ BP=AP，
∵∠PDN=∠A=60°，∠BPD=90°，
在Rt△BPD中，
故答案为：.
【分析】过点 P 作 DP⊥AB交 BC 于点 D，即可得到△DPNC∽△APM进而得到然后在Rt△BPD中，根据正切求出比值即可.
7．【答案】4
【知识点】相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；手拉手相似模型
【解析】【解答】解：如图，延长CD，
由题意可得都是等腰直角三角形，
，，
，
点D是等腰直角三角形ABC的重心，，
，，，
设CD=2x，CF=3x，
，
的周长为，
的周长为4.
故答案为：4.
【分析】由题意可得都是等腰直角三角形，故，利用相似三角形的性质证得，设CD=2x，CF=3x，利用等腰直角三角形的性质求得，进而求得的周长为4.
8．【答案】解：（1）∵，
∴，，
∴，，
∴；
（2）如图，过点M作于，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：或，
经检验，或时是分式方程的解，且符合题意，
∴或，
∴，
∴的值为或；
（3）如图，连接，
由（1）可得，
∴，
∵P为的中点．
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴、、、四点共圆，
∴，
设，则，，
∵在中，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
解得：，
∴．
【知识点】等边三角形的性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；手拉手相似模型
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质可得，，从而得，，进而根据相似三角形的判定得证结论；
（2）过点M作于，则，从而根据相似三角形的判定推出，进而根据相似三角形的性质求出，的值，得的值，然后根据“一线三垂直“相似模型证明，得，
接下来设，则，于是得关于a的分式方程，解方程求出a的值，即可得的值，最后由正切的定义计算即可得解；
（3）连接，由（1）可得，得出，由直角三角形的性质可得，由等边三角形的性质可得，，证明、、、四点共圆，由圆周角定理可得，设，则，，求出，，再由相似三角形的性质求出的值，即可得解．
9．【答案】（1）10
（2）解：存在，理由如下，
由（1）得BM假设 为等腰直角三角形成立，
①若以P为直角顶点，过点P作垂线，此时与正方形ABCD无交点，故该类情况不成立，舍去；
②若以M为直角顶点，过点M作垂线交CD于AB于点Q1和Q2，如图，过点M作MH⊥CD，垂足为点H，连接CM，
易得MH=，CM=，
其中，
由，
∴，
同理，故
此时等腰直角△MPQ不成立，
③若以点Q为直角顶点，则点P落在AB或BC上，
1)若点Q在AB边上，此时QM=QP，
如图，分别过点M和点P作MS⊥AG，PT⊥AG，垂足分别为点S、T，
在正方形ABCD和正方形BGFE中，
设AB=BC=2a，BG=BE=2b，
在等腰Rt△BTP和等腰Rt△BSM，
∴BT=PT=，BS=MS=，
∴∠MSQ=∠MQP=∠PTQ=90°，
∴∠SMQ+∠MQS=90°，∠MQS+∠PQT=90°，
∴∠SMQ=∠TQP，
∴△MSQ≌QTP(AAS)
∴SQ=PT=b，QT=MS=a，
∴AQ=AB-BQ=AB-QT+BT=2a-a+b=a+b.
又∵AG=AB+BG=2a+2b，
∴此时点Q在AG中点处.
2)若点Q在BC边上，此时QM=QP，
如图，分别过点M和点P作MS⊥BC，PT⊥BC，垂足分别为点S、T，
同理可证△MSQ≌QTP(AAS)
∴SQ=PT=b，QT=MS=a，
∴CQ=BC-BQ=BC-QT-BT=2a-a-b=a-b=.
∴此时点Q在BC边上，CQ点距离为.
综上所述，点Q在AB边时，其在AG中点处；点Q在BC边时，其距离C点距离为.
（3）解：如图，连接BD和BF，
同理，
又∵∠ABE=∠DBF=90°，
∴△ABE∽△DBF，.
∴∠BAE=∠BDO，
又∵∠DNO=∠ANB，
∴∠DOA=∠DBA=45°，
∴∠DOA=45°，.
【知识点】正方形的性质；同侧一线三垂直全等模型；异侧一线三垂直全等模型；手拉手相似模型
【解析】【解答】（1）解：如图，连接BM，BP，
在正方形ABCD和正方形BGFE中，
∵∠CBM=∠CBP=45°，BM=BC=，BP=BE，
∴∠MBP=∠MBC+∠PBC=90°，
在Rt△MBP中，
，
若使MP最大，即使得BE最大即可，
∵0∴；
【分析】（1）连接正方形对角线，易推与目标线段MP与已知线段AB的关系，进一步将MP最值问题转换为小正方形边长问题进行分析得出结论；
（2）对构成等腰直角△MPQ的结构进行分类，逐一判断并结合一线三垂之全等或K型全等证明此时Q点位置；
（3）为求DF与AE线段数量关系，通过连接对角线与猜想不难猜出与正方形的比例有关，进而证明手拉手相似得证数量关系及推理目标角度.
10．【答案】（1）证明：∵BC=AC，D、E分别是BC和AC的中点，
∴CD=AE=，
又∵∠DCE=∠BCA=90°，即∠BCD+∠ACD=∠ACD+∠ACE=90°，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△BCD≌△ACE(SAS)，
∴∠DBC=∠EAC.
（2）解：①如图，当点D在△ABC内时，过点C作CF⊥DE，
由（1）可知，若BC=AC，则△CDE为等腰直角三角形，其中CD==2，
当B、D、E三点共线时，
∴∠BDC=180°-∠CDE=135°，
∴∠BFC=90°，DF=EF=CF=2，
在Rt△BFC中，，
此时BE=BF+EF=；
②如图，当点D在△ABC外时，过点C作CF⊥DE，
同理可得，.
（3）解：如图，过点C作CG⊥CH，交BD于点G，
由（1）同理，∠BCD=∠ACE，
又∵，
∴△BCD∽△ACE，
∴∠CBD=∠CAE，
由∠BCA=∠GCH=90°，同理可得，∠BCG=∠ACH，
∴△BCG∽△ACH，
∴，
又∵，
∴，即，
∴，
在Rt△GCH中，
，
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；手拉手相似模型
【解析】【分析】（1）根据已知条件信息读题标量易判定目标角所在两三角形全等（手拉手全等），进而得证；
（2）画出对应草图，需先根据旋转角度不同进行分类分析，在全等基础上进一步解形，即利用特殊等腰直角三角形进一步构造结合勾股定理求解即可；
（3）类比分析即可得出类似（1）中结论，即相似(手拉手相似)，进一步为集中目标AH，BH，CH，即为共顶点的三组线段，同理通过逆向构造旋转相似进行线段转化从而得证目标三组线段数量关系.
11．【答案】B
【知识点】射影定理模型（双垂直模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】射影【解答】解：∵ ∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACB=∠CDB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△DBC∽△CBA，
4，
∴BC2=4，
∴BC=2(负值已舍去).
故答案为：B.
【分析】根据两角对应相等得到△DBC∽△CBA，然后根据对应边成比例解题即可.
12．【答案】C
【知识点】射影定理模型（双垂直模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
∴；
故选C．
【分析】根据两角对应相等得到，根据对应边成比例解答即可．
13．【答案】A
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；射影定理模型（双垂直模型）
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴，
∵，
∴△ACD∽△ABC∽△CBD，故①错误，
∵S△ACB=AC BC=AB CD，
∴BC AC=AB CD，故②正确，
∵△CBD∽△ABC，
∴，
∴，
∴BD=2或-10（舍弃），
在Rt△CDB中，CD=，故③正确，
故答案为：A．
【分析】
①根据相似三角形判定△ACD∽△ABC∽△CBD判断；②利用面积法证明即可；③利用相似三角形△CBD∽△ABC的性质求出BD，再利用勾股定理求出CD即可．
14．【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；垂线段最短及其应用；不等式的性质；射影定理模型（双垂直模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：①∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在△ABD和△CAD中，
，
∴，
∴即：，整理得：，因此结论①正确，
②设BC的中点为E，连接AE，如下图所示：
∵∠BAC=90°，
∴AE=BC=，
根据“垂线段最短”得：AE≥AD，
∴≥c，
即a+b≥2c，因此结论②正确，
③∵，
∴b=，
又∵a＞b，
∴，
∵a＞0，c＞0，
∴，
即a＞c，因此结论③正确，
综上所述，正确的结论是①②③，
故答案为：．
【分析】①根据已知条件易证△ABD和△CAD相似，再根据相似三角形的性质可对结论①进行判断；②设设BC的中点为E，连接AE，则AE=BC=，根据“垂线段最短”得：AE≥AD，即≥c，由此可对结论②进行判断；③先由得b=，再根据a＞b得，由此根据不等式的性质可对结论③进行判断，综上所述即可得出答案.
15．【答案】A
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；射影定理模型（双垂直模型）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：阴影部分的面积之和．
，
，
，
∵图中是4个全等的直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】由图形的构成可得阴影部分的面积之和为．根据，可得用表示的的代数式，由题意，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得，由相似三角形的性质可得比例式即可得到的值，整理即可得到阴影部分的面积之和．
16．【答案】
【知识点】相似三角形的判定；射影定理模型（双垂直模型）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵AB：BC＝3：4，
∴设AB＝3x，BC＝4x，
∵∠ABC＝90°，
∴AC＝＝5x，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝∠ABC＝90°，
∵∠BAD＝∠CAB，
∴△ABD∽△ACB，
∴，
∴，
∴AD＝，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠DAF，
∴∠AEB＝∠AFD，
∵∠AFD＝∠BFE，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴BE＝BF，
∵∠ABE＝∠ADF＝90°，
∠BAE＝∠DAF，
∴△ABE∽△ADF，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】设AB＝3x，BC＝4x，则AC＝＝5x，再证出△ABD∽△ACB，可得，将数据代入求出AD＝，再证出△ABE∽△ADF，可得，再将数据代入求出即可.
17．【答案】
【知识点】射影定理模型（双垂直模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵∠CAB=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠C+∠CAD=90°，
∴∠B=∠CAD，
∴△DAB∽△DCA（AA），
∴=，
∵AD⊥BC，∠EDF=90°，
∴∠ADB=∠EDF=90°，
∴∠BDF+∠FDA=∠EDA+∠FDA，
∴∠BDF=∠EDA，
又∴∠B=∠CAD，
∴△DBF∽△DAE（AA），
∴=，
∴=，
∵，，
∴==，
故答案为：．
【分析】先通过角度关系证明，求得，再根据角度关系证明，得到，进的得出=，进而即可得出结论
18．【答案】
【知识点】正方形的性质；圆内接四边形的性质；射影定理模型（双垂直模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应三线；射影定理
【解析】【解答】解：连接CF、GF，如图：
在正方形ABCD中，∠EAD＝∠ADC＝90°，AF⊥DE，
∴△AFD∽△EAD，
∴，
又∵DF＝5EF＝5，
∴AD＝＝CD，
在Rt△AFD中，AF＝，
∵∠CDF＋∠ADF＝90°，∠DAF＋∠ADF＝90°，
∴∠DAF＝∠CDF，
∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，
∴∠FCD＋∠DGF＝180°，
∵∠FGA＋∠DGF＝180°，
∴∠FGA＝∠FCD，
∴△AFG∽△DFC，
∴，
∴，
∴AG＝，
∴DG＝AD﹣AG＝，
故答案为：．
【分析】连接CF、FG，由已知可得 结合，可计算 再证明 从而可知 求出AG，即可由 解题.
19．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，BC=1，
∴，
∴，
∴，
由（）知，
∴，即，
∴，
∴（负值舍去），
答：的长度为．
【知识点】相似三角形的判定；射影定理模型（双垂直模型）；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠A=∠HDC，再结合∠CBD=∠A，可得，即可证明；
（2）根据得到，由相似三角形的性质可得，于是可计算出BH的长；再结合，根据相似三角形的性质即可求出DH的长.
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（）知，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
答：的长度为．
20．【答案】（1）解：如图，连结CP、CQ.
因为DP、DQ分别切圆C于点P、点Q，所以，
所以，当时，则弧PQ为130°
.
（2）解：连结CD，显然，当时，显然，
则，即CD平分，过点D作DG垂直BC于点G，则AD=AG，
则，解得.
（3）解：①根据相似于可得，即
②由（2）可得，C、D、M三点共线，且，则相似于，可得，又由①中，得：，即，解得，所以点M在以CE为直径的圆上运动，取CE的中点H，当B、M、H三点共线时，BM最短，此时最小值为6.
【知识点】切线长定理；定角定弦辅助圆模型；射影定理模型（双垂直模型）；圆的对称性
【解析】【分析】（1）由切线连接半径，从已知角逐步往目标角推理得出角度即可；
（2）由切线长连接CD，结合对称性，即若CE=CF，此时点D在已知定△ABC中的∠ACB的角平分线上，可以通过勾股定理算出斜边BC，并利用角平分线的性质作垂结合等积求出AD即可；
（3）①由切线长推出CD经过PQ中点M，此时PQ垂直平分CD，故而得证与目标线段相关的两三角形相似，最后利用相似对应边成比例得证；
②利用①的结论即在Rt△CPD中典型的射影定理进行推理计算，找出动态变化中的不变量，即CE为定值，∠CME为定角，从而得出M的运动轨迹为圆，进而分析出其最值即可.
21．【答案】C
【知识点】母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设AD=2x(x>0)，则BD=x，AB=3x.∵∠ACD=∠B，∠A =∠A，∴ △ACD∽△ABC. 又∵BC=
故答案为：C .
【分析】设AD=2x，BD=x，所以AB=3x，易证 △ACD∽△ABC ，根据对应边成比例解答即可.
22．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；圆周角定理；母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵点M为的中点，
∴，
∵C为弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
同理可得：，
∴，
∵，，
∴，
过作于，作于，
∴，
由面积法可得：，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：C.
【分析】如图，连接，由题意，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证，由相似三角形的对应边的比相等可得，即，设，则，同理可证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，过作于，作于，由面积法可得关于x的方程，解方程即可求解．
23．【答案】B
【知识点】三角形的面积；母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，
设，
则，
，
，
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当已知时，的值为已知，
∴只可求出，
故答案为：B
【分析】先用字母可表示出则，，，，再证明，然后根据相似三角形的性质，列出比例式，求DE，再表示出，然后根据已知的值，作出判断.
24．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰直角三角形；母子相似模型（公共边公共角）
【解析】【解答】解：A、由折叠可知：∠D=∠F=90°，∠PEF=∠BCD=90°
∴∠BEP+∠BPE=90°，∠BEP+∠AEG=90°
∴∠BEP=∠AGE=∠FGQ∵∠B=∠F=90°，
∴，故A正确
B、设BP=x，则EP=CP=6-x，
在Rt△EBP中，
则
∴BP=，EP=
由A知：∠BEP=∠AGE=∠FGQ
∴tan∠BEP=tan∠AGE=tan∠FGQ
∴
∴
∴AG=3，EG=5，FG=6-5=1
∴FQ=
由折叠可知：DQ=FQ=，故B错误
C、设EB=x，BP=y，EP=CP=6-y，由B可知：
∴
由B可知：tan∠BEP=tan∠AGE
∴
∴
∵
∵
∴或3
故C正确
D、如图所示：过点C作CM⊥EG于M，连接DH，MH，HE
由折叠可知；PQ垂直平分CB，∠DCE=∠MEC
∴EH=HC
∵AB∥CD
∴∠DCE=∠BEC
∴∠MEC=∠BEC
∵∠B=∠EMC=90°，EC=EC
∴△BEC≌△MEC(AAS)
∴∠BCE=∠MCE，CB=CD
∵CG=CG
∴Rt△CMG≌Rt△CDG(HL)
∴∠MCG=∠DCG
∴∠ECH=45°
∴△ECH为等腰直角三角形
∴∠EHG=90°，∠HCE=∠HEC=45°
∴
∵PQ垂直平分CB，
∴∠CHP=∠EHP=45°
又∵∠EMC=∠EHC=90°
∴E，C，H，M四点共圆
∴∠HMC=∠HEC=45°
∵CH=CH，∠MCG=∠DCG，CM=CD
∴△MCH≌△DCH(SAS)
∴∠CDH=∠CMH=45°
∴∠HDG=90°-45°=45°
∵∠CHP=∠GHQ=45°
∴∠GHQ=∠HDG
∵∠DGH=∠DGH
∴△GHQ∽△GDH
∴
∴
∵
∴
故D正确
故答案为：B.
【分析】
A、由折叠得出∠D=∠F=90°，再根据等角的余角相等和对顶角相等得出∠BEP=∠FGQ，即可推出；
B、先BP=x，在Rt△EBP中利用勾股定理求出BP，EP的值，再根据A知：tan∠BEP=tan∠AGE=tan∠FGQ，即，可求出AG，EG，这样就可以求出FG，再根据正切值，求出FQ即可；
C、设设EB=x，BP=y，EP=CP=6-y，在Rt△EBP中利用勾股定理得到x，y的关系，再根据tan∠BEP=tan∠AGE，求出AG的值，最后在Rt△AEG中利用勾股定理，得到关于x的方程，解出x即可；
D、先过点C作CM⊥EG于M，连接DH，MH，HE，构造出直角三角形EMC，再通过证明两次全等△BEC≌△MEC(AAS)，Rt△CMG≌Rt△CDG(HL)得出∠ECH=45°，从而△ECH为等腰直角三角形，可得：，再证明四点E，C，H，M共圆以及△MCH≌△DCH推出∠CDH=∠CMH=45°，从而得出∠GDH=45°，最后通过证明母子型△GHQ∽△GDH，根据对应边成比例，得出即可.
25．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定与性质；母子相似模型（公共边公共角）
【解析】【解答】解：如图，连接AO，BO，NO，记CO延长线交AB于点D，
∵CA=CB，OA=OB=OC=5，
∴△AOC≌△BOC(SSS)，
∴∠ACO=∠BCO，
∴CD平分∠ACB，
∴CD⊥AB，AD=BD=，
在Rt△AOD和Rt△ADC中，
，，
又∵BN∥AC，
∴∠CBN=∠ACB=2∠ACO，
又∵，
∴∠CAN=∠CBN，
∴∠CAN=∠ACB，
又∵∠CAO=∠ACO，
∴∠CAN=∠ACB=2∠ACO=2∠CAO=∠CAO+∠NAO，
∴∠OAN=∠OAC=∠ACO，
又∵AO=ON，
∴∠ANO=∠OAN=∠ACO，
又∵AO=AO，
∴△AOC≌△AON(AAS)，
∴AN=AC=，
设DM=a，则OM=3-a，CM=8-a，
同理由勾股定理可得
又∵∠AMC=∠OMA，
∴△AMO∽△CMA，
∴，即，
∴，解得，
∴，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据已知等腰三角形及圆的对称性，首先通过垂径定理的相关推论连接半径，进而根据已知线段结合勾股定理进一步推理计算出其他线段长；其次根据先有角度推理及平行线的已知条件推得较多等角，进而利用全等得出目标线段AN的长，最后由推理的等角利用相似间接设元即可建立等量关系求出AM，从而得出目标线段的比值；注：因本题点均为定点，故题型可归纳为定形解形，其方法多样，解析仅供参考之一.
26．【答案】或3
【知识点】母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵为的中点，，
当时，
∵AB=4，AC=6，AD=2，
解得：AE=3；
当时，
∵AB=4，AC=6，AD=2，
解得：
故答案为：或3．
【分析】分“”、“”两种情况，分别列出比例式求解，求得的值．
27．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程；圆周角定理；切线的性质；母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵为的直径，
∴，
∵为的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，（负根舍去），
∴，
故答案为：
【分析】连接，得到，即可得到，设，，求出PB长，根据，列关于a，b的方程解答即可．
28．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定；母子相似模型（公共边公共角）
【解析】【解答】取AD中点O，连接OF，取OF的中点G，连接EG，取OG的中点H，连接OP、PH，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，，OF=AB，
又∵AM=BN，
∴△AMD≌△BNA（SAS），
∴∠ADM=∠BAN，
又∠ADM+∠DMA=90°，
∴∠BAN+∠DMA=90°，
∴∠APM=90°，
∴OP==4，
∵H为OG的中点，G为OF的中点，
∴OH===2，
∵，，
∴，
又∵∠POH=∠POH，
∴△OHP∽△OPF，
∴，
∴HP=，
∴PE+=PE+HP，
当H、P、E三点共线时，PE+PF最短，
故连HE，最小值即为HE，
∴HE=，
故答案为：．
【分析】取AD中点O，连接OF，取OF的中点G，连接EG，取OG的中点H，连接OP、PH，易证△AMD≌△BNA，得∠APM=90°，利用证明△OHP∽△OPF，得，从而得到HP=，PE+=PE+HP，得当H、P、E三点共线时，PE+PF最短，故连HE，最小值即为HE，利用勾股定理求出HE=即可.
29．【答案】（1）证明：点是线段AB的黄金分割点，
由作图可知，
即
又
（2）解：
【知识点】黄金分割；母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据黄金分割点的性质，AP与PB的比例为黄金比，即AP/AB =。结合BC=AP，可推导出对应边成比例；
(2)已知PC=2，利用(1)中的相似三角形，根据对应边成比例列式，即可求出AC.
30．【答案】（1）证明：，，
；
（2）解：，
，
，解得：，
，
．
【知识点】母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据两个三角形有两对角分别相等，证得这两个三角形相似；
（2）根据相似三角形的性质，列出比例式，求出AB，再求出两个三角形的面积比.
1 / 1浙教版数学九年级上学期重难点复习2:相似三角形(二)
一、手拉手相似模型
1． 如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE，连接BD，CE，若AC=BC 则BD的长为 (　　)
A． B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】手拉手相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，
∵ ∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE，
∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠CAE=∠BAD
又∵
△ABD∠ACB=∠AED=90°，
∴AC：AB=1： ，
∴BD
故答案为：B.
【分析】根据两角相等得到即可得到，然后证明△ABD，得到AC：AB=1： ，解题即可.
2．（2024·临安模拟）如图是以点O为圆心，为直径的圆形纸片，点C在上，将该圆形纸片沿直线对折，点B落在上的点D处（不与点A重合），连接，，．设与直径交于点E．若，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；手拉手相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接，则，
∴，
由折叠得，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
∴，
故答案为：B．
【分析】连接，根据等边对等角得到，由折叠得到，即可得到，求得，然后推理得到，即可得到，代入数值计算解题．
3．如图，在△ABC和△ADE中，∠ACB=∠AED，∠EAC=∠DAB，连接BD，CE，若∠ACE=25°，∠BAC=∠DAE则∠ABD=　 　°.
【答案】25
【知识点】手拉手相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵ ∠EAC=∠DAB，
∴∠BAC=∠DAE，
又∵ ∠ACB=∠AED ，
∴
∴∠EAC=∠DAB，
∴△CAE∽△BAD，
∴∠ABD=∠ACE=25°.
故答案为：25.
【分析】根据两角对应相等得到△ABC∽△ADE，即可得到再根据∠EAC=∠DAB，即可得到△CAE∽△BAD，根据对应角相等解答即可.
4． 如图，在矩形ABCD 和矩形DEFG中， 连接AG，BF，则 的值为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；解直角三角形—边角关系；手拉手相似模型；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：如解图，连接 BD，DF，
∵在矩形ABCD 和矩形 DEFG 中， ∠BAD = ∠E =∠EDG=90°，EF=DG=3.
∵AB=1，AD=DE=
在 Rt△ABD 中， ，
∴ ∠ADB = 30°.
在 Rt △DGF 中，∵=∠ADB+∠ADF，∠ADG=∠ADF+∠GDF，∠ADB=∠GDF，
∴∠BDF=∠ADG，
∴△BDF∽△ADG，
故答案为：.
【分析】根据矩形的性质，利用勾股定理求出对角线的长，然后得到 即可求出∠BDF=∠ADG，得到△BDF∽△ADG，即可根据对应边成比例解答即可.
5． 如图，在△ABC中，将△ABC 绕点 A 旋转到△AB'C'的位置，连接 BB'，CC'，若AB=5，AC=3，则的值为　 　.
【答案】
【知识点】旋转的性质；手拉手相似模型；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵ △ABC 绕点 A 旋转到△AB'C'的位置，
，
，
∴，
∴△ABB'∽△ACC'，
.
故答案为：.
【分析】根据旋转，利用两边成比例且夹角相等得到ABB'∽△ACC'，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可.
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，P为AB的中点，点 M，N分别在边AC，BC上，且PM⊥PN，则 的值为　 　.
【答案】
【知识点】解直角三角形—边角关系；手拉手相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如解图，过点 P 作 DP⊥AB交 BC 于点 D，
∵ ∠BPD =∠C = 90°，
∴∠PDN=∠A，∠DPN=∠APM，
∴△DPNC∽△APM
∵P 为AB 的中点，
∴ BP=AP，
∵∠PDN=∠A=60°，∠BPD=90°，
在Rt△BPD中，
故答案为：.
【分析】过点 P 作 DP⊥AB交 BC 于点 D，即可得到△DPNC∽△APM进而得到然后在Rt△BPD中，根据正切求出比值即可.
7．如图，点D是等腰直角三角形ABC的重心，∠ACB=90°，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE.若△ABC的周长为6，则△DCE的周长为 　 　.
【答案】4
【知识点】相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；手拉手相似模型
【解析】【解答】解：如图，延长CD，
由题意可得都是等腰直角三角形，
，，
，
点D是等腰直角三角形ABC的重心，，
，，，
设CD=2x，CF=3x，
，
的周长为，
的周长为4.
故答案为：4.
【分析】由题意可得都是等腰直角三角形，故，利用相似三角形的性质证得，设CD=2x，CF=3x，利用等腰直角三角形的性质求得，进而求得的周长为4.
8．（2025·温江模拟）如图，在中，，，，点D是边上一动点（点D不与B，C重合），连接，以为边在直线右侧作，使得．
【初步感知】
（1）如图1，在点D的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由．
【深入探究】
（2）如图2，随着点D位置的变化，的位置随之发生变化，当的中点M恰好落在上时，求的值．
【拓展延伸】
（3）如图3，交于点F，P为的中点．当为等边三角形时，求的长．
【答案】解：（1）∵，
∴，，
∴，，
∴；
（2）如图，过点M作于，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：或，
经检验，或时是分式方程的解，且符合题意，
∴或，
∴，
∴的值为或；
（3）如图，连接，
由（1）可得，
∴，
∵P为的中点．
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴、、、四点共圆，
∴，
设，则，，
∵在中，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
解得：，
∴．
【知识点】等边三角形的性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；手拉手相似模型
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质可得，，从而得，，进而根据相似三角形的判定得证结论；
（2）过点M作于，则，从而根据相似三角形的判定推出，进而根据相似三角形的性质求出，的值，得的值，然后根据“一线三垂直“相似模型证明，得，
接下来设，则，于是得关于a的分式方程，解方程求出a的值，即可得的值，最后由正切的定义计算即可得解；
（3）连接，由（1）可得，得出，由直角三角形的性质可得，由等边三角形的性质可得，，证明、、、四点共圆，由圆周角定理可得，设，则，，求出，，再由相似三角形的性质求出的值，即可得解．
9．（2024·天河模拟）如图1，正方形中，点E是边上任意一点（不与点B重合），以为边在它的外侧作正方形，点M和点P分别是这两个正方形的对称中心，连接．
（1）填空：当时，线段长的最大值是　 　；
（2）在正方形的边上，是否存在一点Q，使得为等腰直角三角形？若存在，通过证明确定所有满足条件的点Q的具体位置；若不存在，请说明理由；
（3）如图2．连接并延长，与交于点O．求的度数，并求出与的数量关系．
【答案】（1）10
（2）解：存在，理由如下，
由（1）得BM假设 为等腰直角三角形成立，
①若以P为直角顶点，过点P作垂线，此时与正方形ABCD无交点，故该类情况不成立，舍去；
②若以M为直角顶点，过点M作垂线交CD于AB于点Q1和Q2，如图，过点M作MH⊥CD，垂足为点H，连接CM，
易得MH=，CM=，
其中，
由，
∴，
同理，故
此时等腰直角△MPQ不成立，
③若以点Q为直角顶点，则点P落在AB或BC上，
1)若点Q在AB边上，此时QM=QP，
如图，分别过点M和点P作MS⊥AG，PT⊥AG，垂足分别为点S、T，
在正方形ABCD和正方形BGFE中，
设AB=BC=2a，BG=BE=2b，
在等腰Rt△BTP和等腰Rt△BSM，
∴BT=PT=，BS=MS=，
∴∠MSQ=∠MQP=∠PTQ=90°，
∴∠SMQ+∠MQS=90°，∠MQS+∠PQT=90°，
∴∠SMQ=∠TQP，
∴△MSQ≌QTP(AAS)
∴SQ=PT=b，QT=MS=a，
∴AQ=AB-BQ=AB-QT+BT=2a-a+b=a+b.
又∵AG=AB+BG=2a+2b，
∴此时点Q在AG中点处.
2)若点Q在BC边上，此时QM=QP，
如图，分别过点M和点P作MS⊥BC，PT⊥BC，垂足分别为点S、T，
同理可证△MSQ≌QTP(AAS)
∴SQ=PT=b，QT=MS=a，
∴CQ=BC-BQ=BC-QT-BT=2a-a-b=a-b=.
∴此时点Q在BC边上，CQ点距离为.
综上所述，点Q在AB边时，其在AG中点处；点Q在BC边时，其距离C点距离为.
（3）解：如图，连接BD和BF，
同理，
又∵∠ABE=∠DBF=90°，
∴△ABE∽△DBF，.
∴∠BAE=∠BDO，
又∵∠DNO=∠ANB，
∴∠DOA=∠DBA=45°，
∴∠DOA=45°，.
【知识点】正方形的性质；同侧一线三垂直全等模型；异侧一线三垂直全等模型；手拉手相似模型
【解析】【解答】（1）解：如图，连接BM，BP，
在正方形ABCD和正方形BGFE中，
∵∠CBM=∠CBP=45°，BM=BC=，BP=BE，
∴∠MBP=∠MBC+∠PBC=90°，
在Rt△MBP中，
，
若使MP最大，即使得BE最大即可，
∵0∴；
【分析】（1）连接正方形对角线，易推与目标线段MP与已知线段AB的关系，进一步将MP最值问题转换为小正方形边长问题进行分析得出结论；
（2）对构成等腰直角△MPQ的结构进行分类，逐一判断并结合一线三垂之全等或K型全等证明此时Q点位置；
（3）为求DF与AE线段数量关系，通过连接对角线与猜想不难猜出与正方形的比例有关，进而证明手拉手相似得证数量关系及推理目标角度.
10．（2023九上·海珠期末）在中，，分别取、的中点并且同时将这两个中点绕点C按顺时针方向旋转依次得到点D、E，记旋转角为（），连接、、，如图所示．
（备用图）
（备用图）
（1）当时，求证：；
（2）若，当B、D、E三点共线时，求线段的长；
（3）当时，延长交于点H，连接，探究线段，，之间的数量关系并说明理由．
【答案】（1）证明：∵BC=AC，D、E分别是BC和AC的中点，
∴CD=AE=，
又∵∠DCE=∠BCA=90°，即∠BCD+∠ACD=∠ACD+∠ACE=90°，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△BCD≌△ACE(SAS)，
∴∠DBC=∠EAC.
（2）解：①如图，当点D在△ABC内时，过点C作CF⊥DE，
由（1）可知，若BC=AC，则△CDE为等腰直角三角形，其中CD==2，
当B、D、E三点共线时，
∴∠BDC=180°-∠CDE=135°，
∴∠BFC=90°，DF=EF=CF=2，
在Rt△BFC中，，
此时BE=BF+EF=；
②如图，当点D在△ABC外时，过点C作CF⊥DE，
同理可得，.
（3）解：如图，过点C作CG⊥CH，交BD于点G，
由（1）同理，∠BCD=∠ACE，
又∵，
∴△BCD∽△ACE，
∴∠CBD=∠CAE，
由∠BCA=∠GCH=90°，同理可得，∠BCG=∠ACH，
∴△BCG∽△ACH，
∴，
又∵，
∴，即，
∴，
在Rt△GCH中，
，
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；手拉手相似模型
【解析】【分析】（1）根据已知条件信息读题标量易判定目标角所在两三角形全等（手拉手全等），进而得证；
（2）画出对应草图，需先根据旋转角度不同进行分类分析，在全等基础上进一步解形，即利用特殊等腰直角三角形进一步构造结合勾股定理求解即可；
（3）类比分析即可得出类似（1）中结论，即相似(手拉手相似)，进一步为集中目标AH，BH，CH，即为共顶点的三组线段，同理通过逆向构造旋转相似进行线段转化从而得证目标三组线段数量关系.
二、射影定理模型（双垂直模型）
11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，若BD=1，AB=4，则BC的长为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】射影定理模型（双垂直模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】射影【解答】解：∵ ∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACB=∠CDB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△DBC∽△CBA，
4，
∴BC2=4，
∴BC=2(负值已舍去).
故答案为：B.
【分析】根据两角对应相等得到△DBC∽△CBA，然后根据对应边成比例解题即可.
12．（2025·凉州模拟）如图，在中，于点，若，则的长为（　　）
A．9 B． C．13 D．12
【答案】C
【知识点】射影定理模型（双垂直模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
∴；
故选C．
【分析】根据两角对应相等得到，根据对应边成比例解答即可．
13．（2024八下·高青期末）如图，在中，，于点D，下列结论错误的有（　　）个
①图中只有两对相似三角形；②；③若，AD＝8，则CD＝4．
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【答案】A
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；射影定理模型（双垂直模型）
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴，
∵，
∴△ACD∽△ABC∽△CBD，故①错误，
∵S△ACB=AC BC=AB CD，
∴BC AC=AB CD，故②正确，
∵△CBD∽△ABC，
∴，
∴，
∴BD=2或-10（舍弃），
在Rt△CDB中，CD=，故③正确，
故答案为：A．
【分析】
①根据相似三角形判定△ACD∽△ABC∽△CBD判断；②利用面积法证明即可；③利用相似三角形△CBD∽△ABC的性质求出BD，再利用勾股定理求出CD即可．
14．（2024·杭州模拟）如图，在中，，于点，设，，，给出下面三个结论：①；②；③若，则．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；垂线段最短及其应用；不等式的性质；射影定理模型（双垂直模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：①∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在△ABD和△CAD中，
，
∴，
∴即：，整理得：，因此结论①正确，
②设BC的中点为E，连接AE，如下图所示：
∵∠BAC=90°，
∴AE=BC=，
根据“垂线段最短”得：AE≥AD，
∴≥c，
即a+b≥2c，因此结论②正确，
③∵，
∴b=，
又∵a＞b，
∴，
∵a＞0，c＞0，
∴，
即a＞c，因此结论③正确，
综上所述，正确的结论是①②③，
故答案为：．
【分析】①根据已知条件易证△ABD和△CAD相似，再根据相似三角形的性质可对结论①进行判断；②设设BC的中点为E，连接AE，则AE=BC=，根据“垂线段最短”得：AE≥AD，即≥c，由此可对结论②进行判断；③先由得b=，再根据a＞b得，由此根据不等式的性质可对结论③进行判断，综上所述即可得出答案.
15．（2024·浙江模拟）如图，两个阴影正方形与4个全等的直角三角形拼成正方形，延长交于点F，若，则阴影部分的面积之和用含的代数式表示是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；射影定理模型（双垂直模型）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：阴影部分的面积之和．
，
，
，
∵图中是4个全等的直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】由图形的构成可得阴影部分的面积之和为．根据，可得用表示的的代数式，由题意，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得，由相似三角形的性质可得比例式即可得到的值，整理即可得到阴影部分的面积之和．
16．（2024九上·福田期中）如图，Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为 D，AE平分∠BAC，分别交 BD，BC于点 F，E．若 AB：BC＝3：4，则=　 　.
【答案】
【知识点】相似三角形的判定；射影定理模型（双垂直模型）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵AB：BC＝3：4，
∴设AB＝3x，BC＝4x，
∵∠ABC＝90°，
∴AC＝＝5x，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝∠ABC＝90°，
∵∠BAD＝∠CAB，
∴△ABD∽△ACB，
∴，
∴，
∴AD＝，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠DAF，
∴∠AEB＝∠AFD，
∵∠AFD＝∠BFE，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴BE＝BF，
∵∠ABE＝∠ADF＝90°，
∠BAE＝∠DAF，
∴△ABE∽△ADF，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】设AB＝3x，BC＝4x，则AC＝＝5x，再证出△ABD∽△ACB，可得，将数据代入求出AD＝，再证出△ABE∽△ADF，可得，再将数据代入求出即可.
17．（2024·仙居模拟）在中，，，，过点A作于点D，以D为顶点作一个直角，其两边分别与边，交于点E，F，点F不与点B重合，则　 　．
【答案】
【知识点】射影定理模型（双垂直模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵∠CAB=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠C+∠CAD=90°，
∴∠B=∠CAD，
∴△DAB∽△DCA（AA），
∴=，
∵AD⊥BC，∠EDF=90°，
∴∠ADB=∠EDF=90°，
∴∠BDF+∠FDA=∠EDA+∠FDA，
∴∠BDF=∠EDA，
又∴∠B=∠CAD，
∴△DBF∽△DAE（AA），
∴=，
∴=，
∵，，
∴==，
故答案为：．
【分析】先通过角度关系证明，求得，再根据角度关系证明，得到，进的得出=，进而即可得出结论
18．（2024九上·杭州期中）如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，AF⊥DE于点F，已知DF＝5EF＝5，过C、D、F的⊙O与边AD交于点G，则DG＝　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；圆内接四边形的性质；射影定理模型（双垂直模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应三线；射影定理
【解析】【解答】解：连接CF、GF，如图：
在正方形ABCD中，∠EAD＝∠ADC＝90°，AF⊥DE，
∴△AFD∽△EAD，
∴，
又∵DF＝5EF＝5，
∴AD＝＝CD，
在Rt△AFD中，AF＝，
∵∠CDF＋∠ADF＝90°，∠DAF＋∠ADF＝90°，
∴∠DAF＝∠CDF，
∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，
∴∠FCD＋∠DGF＝180°，
∵∠FGA＋∠DGF＝180°，
∴∠FGA＝∠FCD，
∴△AFG∽△DFC，
∴，
∴，
∴AG＝，
∴DG＝AD﹣AG＝，
故答案为：．
【分析】连接CF、FG，由已知可得 结合，可计算 再证明 从而可知 求出AG，即可由 解题.
19．（2024八下·长春净月高新技术产业开发期中）如图，在中，，D为延长线上一点，，，过D作，交的延长线于点H．
（1）求证：．
（2）求长度．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，BC=1，
∴，
∴，
∴，
由（）知，
∴，即，
∴，
∴（负值舍去），
答：的长度为．
【知识点】相似三角形的判定；射影定理模型（双垂直模型）；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠A=∠HDC，再结合∠CBD=∠A，可得，即可证明；
（2）根据得到，由相似三角形的性质可得，于是可计算出BH的长；再结合，根据相似三角形的性质即可求出DH的长.
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（）知，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
答：的长度为．
20．（2024·杭州模拟）如图，在中，，，以C为圆心，为半径作圆.点D为AB上的动点，DP、DQ分别切圆C于点P、点Q，连结PQ，分别交AC和BC于点E、F，取PQ的中点M.
（1）当时，求劣弧PQ的度数；
（2）当时，求AD的长；
（3）连结，.
①证明：.
②在点D的运动过程中，BM是否存在最小值？若存在，直接写出BM的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：如图，连结CP、CQ.
因为DP、DQ分别切圆C于点P、点Q，所以，
所以，当时，则弧PQ为130°
.
（2）解：连结CD，显然，当时，显然，
则，即CD平分，过点D作DG垂直BC于点G，则AD=AG，
则，解得.
（3）解：①根据相似于可得，即
②由（2）可得，C、D、M三点共线，且，则相似于，可得，又由①中，得：，即，解得，所以点M在以CE为直径的圆上运动，取CE的中点H，当B、M、H三点共线时，BM最短，此时最小值为6.
【知识点】切线长定理；定角定弦辅助圆模型；射影定理模型（双垂直模型）；圆的对称性
【解析】【分析】（1）由切线连接半径，从已知角逐步往目标角推理得出角度即可；
（2）由切线长连接CD，结合对称性，即若CE=CF，此时点D在已知定△ABC中的∠ACB的角平分线上，可以通过勾股定理算出斜边BC，并利用角平分线的性质作垂结合等积求出AD即可；
（3）①由切线长推出CD经过PQ中点M，此时PQ垂直平分CD，故而得证与目标线段相关的两三角形相似，最后利用相似对应边成比例得证；
②利用①的结论即在Rt△CPD中典型的射影定理进行推理计算，找出动态变化中的不变量，即CE为定值，∠CME为定角，从而得出M的运动轨迹为圆，进而分析出其最值即可.
三、母子相似模型（公共边公共角）
21．（专题特训七 相似三角形的基本模型—【拔尖特训】浙教版数学九年级上册课时训练） 如图，在△ABC 中，点 D 在边 AB 上. 若∠ACD=∠B，AD=2BD，BC=6，则CD 的长为(　　)
A．2 B．3 C．2 D．5
【答案】C
【知识点】母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设AD=2x(x>0)，则BD=x，AB=3x.∵∠ACD=∠B，∠A =∠A，∴ △ACD∽△ABC. 又∵BC=
故答案为：C .
【分析】设AD=2x，BD=x，所以AB=3x，易证 △ACD∽△ABC ，根据对应边成比例解答即可.
22．（2025·镇海区模拟）如图，已知内接于，点M为的中点，连接交于点E，且C为弧的中点，连接 ，在上存在点 H，使得 若 ， 则的长（　　）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；圆周角定理；母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵点M为的中点，
∴，
∵C为弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
同理可得：，
∴，
∵，，
∴，
过作于，作于，
∴，
由面积法可得：，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：C.
【分析】如图，连接，由题意，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证，由相似三角形的对应边的比相等可得，即，设，则，同理可证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，过作于，作于，由面积法可得关于x的方程，解方程即可求解．
23．（2024·宁波模拟）如图，中，，点在边上，于点，点在边上，连结，已知的值，则可求得以下哪个图形的面积（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，
设，
则，
，
，
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当已知时，的值为已知，
∴只可求出，
故答案为：B
【分析】先用字母可表示出则，，，，再证明，然后根据相似三角形的性质，列出比例式，求DE，再表示出，然后根据已知的值，作出判断.
24．（2024·拱墅模拟）如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点的对称点落在边AB上，点的对称点为点F，EF交AD于点，连接CG交PQ于点，连接，下列说法错误的是（　　）
A． B．当时，
C．当时，或3 D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰直角三角形；母子相似模型（公共边公共角）
【解析】【解答】解：A、由折叠可知：∠D=∠F=90°，∠PEF=∠BCD=90°
∴∠BEP+∠BPE=90°，∠BEP+∠AEG=90°
∴∠BEP=∠AGE=∠FGQ∵∠B=∠F=90°，
∴，故A正确
B、设BP=x，则EP=CP=6-x，
在Rt△EBP中，
则
∴BP=，EP=
由A知：∠BEP=∠AGE=∠FGQ
∴tan∠BEP=tan∠AGE=tan∠FGQ
∴
∴
∴AG=3，EG=5，FG=6-5=1
∴FQ=
由折叠可知：DQ=FQ=，故B错误
C、设EB=x，BP=y，EP=CP=6-y，由B可知：
∴
由B可知：tan∠BEP=tan∠AGE
∴
∴
∵
∵
∴或3
故C正确
D、如图所示：过点C作CM⊥EG于M，连接DH，MH，HE
由折叠可知；PQ垂直平分CB，∠DCE=∠MEC
∴EH=HC
∵AB∥CD
∴∠DCE=∠BEC
∴∠MEC=∠BEC
∵∠B=∠EMC=90°，EC=EC
∴△BEC≌△MEC(AAS)
∴∠BCE=∠MCE，CB=CD
∵CG=CG
∴Rt△CMG≌Rt△CDG(HL)
∴∠MCG=∠DCG
∴∠ECH=45°
∴△ECH为等腰直角三角形
∴∠EHG=90°，∠HCE=∠HEC=45°
∴
∵PQ垂直平分CB，
∴∠CHP=∠EHP=45°
又∵∠EMC=∠EHC=90°
∴E，C，H，M四点共圆
∴∠HMC=∠HEC=45°
∵CH=CH，∠MCG=∠DCG，CM=CD
∴△MCH≌△DCH(SAS)
∴∠CDH=∠CMH=45°
∴∠HDG=90°-45°=45°
∵∠CHP=∠GHQ=45°
∴∠GHQ=∠HDG
∵∠DGH=∠DGH
∴△GHQ∽△GDH
∴
∴
∵
∴
故D正确
故答案为：B.
【分析】
A、由折叠得出∠D=∠F=90°，再根据等角的余角相等和对顶角相等得出∠BEP=∠FGQ，即可推出；
B、先BP=x，在Rt△EBP中利用勾股定理求出BP，EP的值，再根据A知：tan∠BEP=tan∠AGE=tan∠FGQ，即，可求出AG，EG，这样就可以求出FG，再根据正切值，求出FQ即可；
C、设设EB=x，BP=y，EP=CP=6-y，在Rt△EBP中利用勾股定理得到x，y的关系，再根据tan∠BEP=tan∠AGE，求出AG的值，最后在Rt△AEG中利用勾股定理，得到关于x的方程，解出x即可；
D、先过点C作CM⊥EG于M，连接DH，MH，HE，构造出直角三角形EMC，再通过证明两次全等△BEC≌△MEC(AAS)，Rt△CMG≌Rt△CDG(HL)得出∠ECH=45°，从而△ECH为等腰直角三角形，可得：，再证明四点E，C，H，M共圆以及△MCH≌△DCH推出∠CDH=∠CMH=45°，从而得出∠GDH=45°，最后通过证明母子型△GHQ∽△GDH，根据对应边成比例，得出即可.
25．（2024·镇海区模拟）如图，是的内接三角形，、弦交CO的延长线于点.已知，则AM：AN为（　　）
A．1：2 B．5：11 C．6：11 D．2：3
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定与性质；母子相似模型（公共边公共角）
【解析】【解答】解：如图，连接AO，BO，NO，记CO延长线交AB于点D，
∵CA=CB，OA=OB=OC=5，
∴△AOC≌△BOC(SSS)，
∴∠ACO=∠BCO，
∴CD平分∠ACB，
∴CD⊥AB，AD=BD=，
在Rt△AOD和Rt△ADC中，
，，
又∵BN∥AC，
∴∠CBN=∠ACB=2∠ACO，
又∵，
∴∠CAN=∠CBN，
∴∠CAN=∠ACB，
又∵∠CAO=∠ACO，
∴∠CAN=∠ACB=2∠ACO=2∠CAO=∠CAO+∠NAO，
∴∠OAN=∠OAC=∠ACO，
又∵AO=ON，
∴∠ANO=∠OAN=∠ACO，
又∵AO=AO，
∴△AOC≌△AON(AAS)，
∴AN=AC=，
设DM=a，则OM=3-a，CM=8-a，
同理由勾股定理可得
又∵∠AMC=∠OMA，
∴△AMO∽△CMA，
∴，即，
∴，解得，
∴，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据已知等腰三角形及圆的对称性，首先通过垂径定理的相关推论连接半径，进而根据已知线段结合勾股定理进一步推理计算出其他线段长；其次根据先有角度推理及平行线的已知条件推得较多等角，进而利用全等得出目标线段AN的长，最后由推理的等角利用相似间接设元即可建立等量关系求出AM，从而得出目标线段的比值；注：因本题点均为定点，故题型可归纳为定形解形，其方法多样，解析仅供参考之一.
26．（2024九上·杭州月考）如图，在中，，已知点D为的中点，点E在线段上，连结，若与相似，则的值为　 　．
【答案】或3
【知识点】母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵为的中点，，
当时，
∵AB=4，AC=6，AD=2，
解得：AE=3；
当时，
∵AB=4，AC=6，AD=2，
解得：
故答案为：或3．
【分析】分“”、“”两种情况，分别列出比例式求解，求得的值．
27．（2024·金东模拟）如图，过外一点P作圆的切线，点B为切点，为直径，连接交于点C，若，则　 　．
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程；圆周角定理；切线的性质；母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵为的直径，
∴，
∵为的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，（负根舍去），
∴，
故答案为：
【分析】连接，得到，即可得到，设，，求出PB长，根据，列关于a，b的方程解答即可．
28．（2024·瓯海模拟）如图，在正方形中，点，分别在边，上（不与顶点重合），且满足，连接，交于点．，分别是边，的中点，连结接，．若正方形的边长为，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定；母子相似模型（公共边公共角）
【解析】【解答】取AD中点O，连接OF，取OF的中点G，连接EG，取OG的中点H，连接OP、PH，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，，OF=AB，
又∵AM=BN，
∴△AMD≌△BNA（SAS），
∴∠ADM=∠BAN，
又∠ADM+∠DMA=90°，
∴∠BAN+∠DMA=90°，
∴∠APM=90°，
∴OP==4，
∵H为OG的中点，G为OF的中点，
∴OH===2，
∵，，
∴，
又∵∠POH=∠POH，
∴△OHP∽△OPF，
∴，
∴HP=，
∴PE+=PE+HP，
当H、P、E三点共线时，PE+PF最短，
故连HE，最小值即为HE，
∴HE=，
故答案为：．
【分析】取AD中点O，连接OF，取OF的中点G，连接EG，取OG的中点H，连接OP、PH，易证△AMD≌△BNA，得∠APM=90°，利用证明△OHP∽△OPF，得，从而得到HP=，PE+=PE+HP，得当H、P、E三点共线时，PE+PF最短，故连HE，最小值即为HE，利用勾股定理求出HE=即可.
29．（2025·萧山模拟）如图，已知点是线段AB的黄金分割点，，以点为圆心，以AP长为半径画弧；再以点为圆心，以一定长为半径画弧，两弧交于点，连结AC，PC，BC．
（1）求证：．
（2）若，求AC的长．
【答案】（1）证明：点是线段AB的黄金分割点，
由作图可知，
即
又
（2）解：
【知识点】黄金分割；母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据黄金分割点的性质，AP与PB的比例为黄金比，即AP/AB =。结合BC=AP，可推导出对应边成比例；
(2)已知PC=2，利用(1)中的相似三角形，根据对应边成比例列式，即可求出AC.
30．（2025九下·杭州月考）如图，在中，是边上的点，已知．
（1）求证：；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）证明：，，
；
（2）解：，
，
，解得：，
，
．
【知识点】母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据两个三角形有两对角分别相等，证得这两个三角形相似；
（2）根据相似三角形的性质，列出比例式，求出AB，再求出两个三角形的面积比.
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