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【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版
专题突破六 一元一次不等式中阅读题型（三大题型25道）
题型一：一元一次不等式中改正错误步骤
1．(24-25七下·山西朔州右玉县右玉教育集团初中部·月考)下面是小乐同学解一元一次不等式的解答过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：去分母，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项，得，……第三步 合并同类项，得，……第四步 两边都除以，得．……第五步
任务：
(1)第一步的依据是_____．（填序号）
①不等式的基本性质1 ②不等式的基本性质2 ③不等式的基本性质3
(2)第____步开始出现错误，错误的原因是__．
(3)直接写出该不等式正确的解集．
2．(24-25八下·河南郑州西一中学·调研)下面是小明同学解不等式组 的过程，请认真阅读，完成相应的任务．
解：由不等式①，得．第一步
解得．第二步
由不等式②，得．第三步
移项，得．第四步
解得．第五步
所以，原不等式组的解集是．第六步
(1)小明的解答过程中，第 步开始出现错误，错误的具体原因是 ，得到第三步的根据是
(2)请写出解此不等式组的完整过程．
3．(24-25八下·宁夏银川第六中学·月考)下面是小明同学解不等式的过程，请阅读并完成相应任务．
解： 第一步
， 第二步
， 第三步
， 第四步
(1)任务一：
①以上解题过程中，第一步变形的依据是 ；
②第 步出现错误，这一步出现错误的原因是 ；
(2)任务二：请直接写出该不等式的正确解集，并把解集表示在数轴上．
4．(24-25八上·河北石家庄栾城区·期末)下面是小明同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：去分母，得．……………………………………第一步 移项，得．………………………………………第二步 合并同类项，得．……………………………………………第三步 化系数为1，得．……………………………………………………第四步
(1)去分母的依据是______；
(2)解答过程中，从前一步到后一步的变形，共出现______处错误，其中最后一处错误在第______步，错误的原因是______；
(3)请写出不等式的正确解答过程，并把解集表示在数轴上；
5．(24-25八下·宁夏银川第三十八中学·期中)计算：
下面是小亮同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
任务一：填空：①以上解题过程中第二步是依据 （运算律）进行变形的；
②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ．
任务二：解不等式组：．
6．(24-25七下·河南南阳唐河县·期中)下面是小颖同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：去分母，得…第一步
去括号，得…第二步
移项，得…第三步
合并同类项，得…第四步
系数化为1，得…第五步
任务：
任务一：填空：
①上述解题过程中，第一步的依据是________________________；
②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是__________________；
任务二：请直接写出该不等式的正确解集；
任务三：除了任务一中出现的错误外，请根据平时的学习经验，就解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
7．(24-25七下·上海闵行区明星学校·月考)下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
．
解：，第一步
，第二步
，第三步
，第四步
．第五步
任务一：填空
①以上解题过程中，第一步是依据________________________进行变形的；
②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________________．
任务二：请写出正确的解题过程．
题型二：一元一次不等式中与绝对值结合
1．(24-25八上·江苏泰州高港实验初级中学·)阅读下列材料：
，像这样的不等式，叫绝对值不等式．解绝对值不等式的方法是想办法去掉绝对值符号，转化成已学过的不等式（组）来解决．例如：
解不等式：．
解：①当时，原不等式变形为，解得；
②当时，原不等式变形为，解得．
综合①②可得，原不等式的解集为或．
(1)解不等式：；
(2)解不等式：；
(3)若关于的不等式中，对于任意的都有使得该不等式成立，当______时，有最大值为_______．
2．(24-25八下·河南郑州枫杨外国语中学、朗悦慧外国语、行知中学等联考·月考)阅读下列材料：我们知道，的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数对应的点之间的距离．
例1：解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为或．
例2：解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．
参考阅读材料，解答下列问题：
(1)方程的解为 ．
(2)解不等式：．
(3)解不等式：．
3．(24-25八上·安徽蚌埠第一实验学校·期中)先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．
①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为．
②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．
(1)的解集为___________，的解集为___________．
(2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值．
(3)不论x取何值，都有成立，请直接写出t的取值范围．
4． 阅读理解：请阅读下面求含绝对值的不等式和的解集过程．
对于含绝对值的不等式，从图1的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集为；对于含绝对值的不等式，从图2的数轴上看：小于或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或．
问题解决：
(1)求出含绝对值的不等式的解集．
(2)已知关于x，y的二元一次方程的解满足，其中m是正数，求m的取值范围．
5．(24-25八上·江苏扬州中学教育集团树人学校·月考)请阅读下面求含绝对值的不等式和的解集过程．
对于含绝对值的不等式，从图1的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集为；对于含绝对值的不等式，从图2的数轴上看：小于或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或．
(1)求含绝对值的不等式的解集；
(2)已知含绝对值的不等式的解集为，求a，b的值．
6．(24-25七下·福建漳州龙海区·期中)【阅读材料】
我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离，例如表示数轴上表示这个数的点到原点的距离，那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离，于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于或等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1的距离小于或等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点），这样我们就可以得到不等式的解集为．
【解决问题】
参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题：
(1)不等式的解集为___________．
(2)求不等式的解集．
(3)求不等式的解集．
7．先阅读材料，再完成下列问题：
（i）解不等式．如图1，从数轴上可以发现，大于-2而小于2的数的绝对值小于2，所以的解集应为．
（ii）满足的数用数轴表示如图2所示，也就是说，小于-2的数或大于2的数的绝对值大于2，所以的解集应为或．
请完成：
(1)的解集为_____，的解集为_____．
(2)试着写出不等式的解集：______．
(3)解不等式的实质是求不等式_______的解集，即求不等式组_______的解集，其解集为______；
(4)求不等式的解集应先求出不等式_____与不等式______的解集，请直接写出该绝对值不等式的解集：______．
(5)解不等式：．
题型三：一元一次不等式中其他类阅读题型
1．(25-26八上·黑龙江哈尔滨顺迈中学·月考)阅读以下例题：解不等式：
解：①当，则，即可以写成：，解不等式组得：．
②当，则，即可以写成：，解不等式组得：．
综合以上两种情况：原不等式的解集为：或．
以上解法的依据为：当，则同号．
请你模仿例题的解法，解不等式：
(1)；
(2)．
2．(24-25七下·河南驻马店正阳县·期末)阅读下列材料：
例：已知，且，试确定的取值范围．
解：
又
又．①
同理，得．②
由得，
的取值范围是
请按照上述方法，完成下列问题：
(1)已知，且，则的取值范围是___________．
(2)已知，若，且，求的取值范围（结果用含的式子表示）．
3．(24-25七下·广西河池宜州区·期末)阅读理解与应用
阅读下列材料：解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法：
解：， 又，，．
又， …………①．
同理可得…………②．
由①②得：．
的取值范围是．
按照上述方法，完成下列问题：
(1)已知，且，，则的取值范围是___________；
(2)已知关于，的方程组的解都是正数，求的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若，，求的取值范围．
4．(24-25七下·山西晋城沁水县部分学校·期中)阅读与思考：
解不等式：． 解：①当时，则， 即 解得 ． ②当时，则， 即 解得 ． 综上所述：原不等式的解集为或． 以上解法依据：当时，则，同号．
请你模仿上述方法，完成下面问题：
(1)解不等式：；
(2)直接写出不等式：的解集为________．
5．(24-25七下·四川广元剑阁县·期末)阅读与思考
定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”． 例如：方程的解为， 不等式组的解集为． ， 方程为不等式组的“相伴方程”．
阅读上面的内容完成下列问题：
(1)填空：下列方程是不等式组的“相伴方程”的是__________；（填序号）
①； ②； ③．
(2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围．
6．(24-25八上·吉林东北师大附中净月实验校·期末)阅读材料：
矩阵的定义：由个数排成的行列的数表，称为行列的矩阵，简称矩阵．
记作：，其中表示第行第列的数字．如表示矩阵．
矩阵的性质：若有两个矩阵相等，则相应位置的数字相等．
例如，若，即，则有．
矩阵的运算：对于矩阵，有着自己的运算方法：，比如矩阵：
例如：．
(1)求中的值．
(2)请将方程组改写成矩阵的运算形式．
(3)关于的不等式组只有3个整数解，的取值范围是_____．
7．(24-25七下·江苏淮安开明集团校·期末)【阅读材料】：
解答＂已知，且，试确定的取值范围＂有如下解法：
解：解题思想一：＂消元＂
∵（①（用含y的代数式表示），
∴．
∵，即②．
又∵．
解题思想二：＂配凑＂
上式三边先同时乘2，得③，
再同时加1，得，
∴的取值范围是．
【完善材料】材料中①为，②为，③为；
【方法应用】若，且，试确定的取值范围；
【拓展提升】若（是大于3的整数），且，当的取值范围内恰有个整数时，则的值为．
8．(24-25八下·江西鹰潭余江区正源学校·月考)【阅读材料】
我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化，“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差，变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数a，b的大小，只要求出它们的差：若，则；若，则；若，则．
【解决问题】
(1)已知，试比较，的大小；
(2)若，，，求和的取值范围．
9．(24-25八上·湖北武汉青竹湖湘一外国语学校·期末)请阅读以下材料，并解决问题：
材料一：我们知道，解不等式组求解集有一口诀：大小小大取中间。对于解集取中间的不等式组（比如：，，，） ， 我们规定其“青一距离”均为， 不等式组的整数解称为不等式组的“求真点”．例如：的“青一距离”， “求真点”为，，0， 1， 2．
材料二：对于两个不等式组成的不等式组，我们求其解集就是分别解这两个不等式，再取其解集公共部分；类似的，对于三个或三个以上的不等式组成的不等式组，我们依然是分别解出每一个不等式，再求出它们解集的公共部分.
(1)不等式组的“青一距离” ；“求真点”为 ；
(2)若不等式组的“青一距离”，求m的取值范围；
(3)若不等式组的“青一距离” ， 此时是否存在实数n使得关于y的不等式组恰有2个“求真点”，若存在，求出n的取值范围；若不存在，请说明理由．
10．(24-25七下·江苏泰州姜堰区南苑学校·期中)阅读材料：如果是一个有理数，我们把不超过的最大整数记作，例如，，那么，，其中．
例如，，，．
请你解决下列问题：
(1)_______________；
(2)如果，那么的取值范围是_______________；
(3)如果，求的值；
(4)如果，其中，且，直接写出的值．
11．(24-25七下·山西吕梁临县·月考)阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
整体思想解二元一次方程组解方程组： 解： 得，①②得， 则解得 评价：此题解法应用了整体思想，先得出整体“”和“”的值，再求解x和y的值． 练习：解方程组：
任务：
(1)直接写出研究报告中“■”处空的内容为______，“▲”处空缺的内容为______．
(2)应用整体思想完成练习中题目的解答．
(3)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，请直接写出k的取值范围．中小学教育资源及组卷应用平台
【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版
专题突破六 一元一次不等式中阅读题型（三大题型25道）
题型一：一元一次不等式中改正错误步骤
1．(24-25七下·山西朔州右玉县右玉教育集团初中部·月考)下面是小乐同学解一元一次不等式的解答过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：去分母，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项，得，……第三步 合并同类项，得，……第四步 两边都除以，得．……第五步
任务：
(1)第一步的依据是_____．（填序号）
①不等式的基本性质1 ②不等式的基本性质2 ③不等式的基本性质3
(2)第____步开始出现错误，错误的原因是__．
(3)直接写出该不等式正确的解集．
【答案】(1)②
(2)二：去括号时，括号内第二项没有乘2
(3)
【分析】本题考查了解一元一次不等式，不等式的基本性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）由去分母，不等式两边同时乘以一个正数可得，第一步变形的依据是不等式的基本性质2；
（2）根据乘法分配律，可判断第二步开始出错，错误的原因是去括号时括号内的1没有乘以2 ；
（3）先去分母，去括号，移项，合并同类项，然后系数化成1，即可得出答案．
【详解】（1）解：第一步的依据是不等式的基本性质2，
故选：②
（2）解：第二步开始出现错误，错误的原因是去括号时，括号内第二项没有乘2
（3）解：
去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
两边都除以，得
2．(24-25八下·河南郑州西一中学·调研)下面是小明同学解不等式组 的过程，请认真阅读，完成相应的任务．
解：由不等式①，得．第一步
解得．第二步
由不等式②，得．第三步
移项，得．第四步
解得．第五步
所以，原不等式组的解集是．第六步
(1)小明的解答过程中，第 步开始出现错误，错误的具体原因是 ，得到第三步的根据是
(2)请写出解此不等式组的完整过程．
【答案】(1)五；不等式两边同时除以负数时，不等号方向没有改变；不等式的性质2
(2)见解析
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
（1）由不等式的性质可知，第五步不等式两边同时除以一个负数时，不等号方向没有发生改变，据此可得答案；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】（1）解：小明的解答过程中，第五步开始出现了错误，产生错误的原因是不等式两边同时除以负数时，不等号方向没有改变；得到第三步的根据是不等式的性质2
故答案为：五；不等式两边同时除以负数时，不等号方向没有改变；不等式的性质2
（2）解：由不等式①，得．
解得．
由不等式②，得．
移项，得．
解得
所以，原不等式组的解集是．
3．(24-25八下·宁夏银川第六中学·月考)下面是小明同学解不等式的过程，请阅读并完成相应任务．
解： 第一步
， 第二步
， 第三步
， 第四步
(1)任务一：
①以上解题过程中，第一步变形的依据是 ；
②第 步出现错误，这一步出现错误的原因是 ；
(2)任务二：请直接写出该不等式的正确解集，并把解集表示在数轴上．
【答案】(1)①不等式的基本性质2；②四；不等式两边除以时，不等号的方向没有改变；
(2)，见解析．
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
任务一：①根据不等式的基本性质，即可解答；②根据解一元一次不等式的步骤，进行计算逐一判断即可解答；
任务二：按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：任务一：①以上解题过程中，第一步是进行去分母，变形依据是不等式的基本性质2；
②第四步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边除以时，不等号的方向没有改变；
故答案为：①不等式的基本性质 2 ；②四；不等式两边除以 时，不等号的方向没有改变；
（2）解：任务二：，
去分母得，，
移项合并同类项得，，
系数化为1得，．
把解集表示在数轴上如图所示：
4．(24-25八上·河北石家庄栾城区·期末)下面是小明同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：去分母，得．……………………………………第一步 移项，得．………………………………………第二步 合并同类项，得．……………………………………………第三步 化系数为1，得．……………………………………………………第四步
(1)去分母的依据是______；
(2)解答过程中，从前一步到后一步的变形，共出现______处错误，其中最后一处错误在第______步，错误的原因是______；
(3)请写出不等式的正确解答过程，并把解集表示在数轴上；
【答案】(1)不等式的性质2
(2)三，四，不等式的两边同除以时不等号方向未改变
(3)，数轴见解析
【分析】本题考查解不等式，并用数轴表示不等式的解集：
（1）根据不等式的性质，进行作答即可；
（2）根据解不等式的步骤，进行判断即可；
（3）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，解不等式，进而在数轴上表示出解集即可．
【详解】（1）解：去分母的依据是不等式的性质2；
（2）解：三，四，不等式的两边同除以时不等号方向未改变；
（3）解：，
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
化系数为1，得，
这个不等式的解集在数轴上表示如下图：
5．(24-25八下·宁夏银川第三十八中学·期中)计算：
下面是小亮同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
任务一：填空：①以上解题过程中第二步是依据 （运算律）进行变形的；
②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ．
任务二：解不等式组：．
【答案】任务一：乘法分配律；五，不等式两边都除以，不等号的方向没有改变；
任务二：
【分析】本题考查了解一元一次不等式，以及一元一次不等式组，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
任务一：根据解不等式的方法作答即可；
任务二：解各不等式求得的取值范围后取它们的公共部分即可．
【详解】任务一：解：填空：①以上解题过程中，第二步是依据乘法分配律（运算律）进行变形的；
②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边都除以，不等号的方向没有改变；
故答案为：①乘法分配律；②五，不等式两边都除以，不等号的方向没有改变；
任务二：解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
故原不等式组的解集为．
6．(24-25七下·河南南阳唐河县·期中)下面是小颖同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：去分母，得…第一步
去括号，得…第二步
移项，得…第三步
合并同类项，得…第四步
系数化为1，得…第五步
任务：
任务一：填空：
①上述解题过程中，第一步的依据是________________________；
②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是__________________；
任务二：请直接写出该不等式的正确解集；
任务三：除了任务一中出现的错误外，请根据平时的学习经验，就解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
【答案】任务一：①不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，②二去括号时，括号前面是“”，去掉括号后括号内的第二项没有变号；任务二：不等式的解集为；任务三：(答案不唯一，合理即可)不等式左右两边同时乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变
【分析】本题主要考查解一元一次不等式的步骤及易错点，熟练掌握不等式的基本性质、去括号、移项等解不等式的操作要点，以及准确辨析错误步骤是解题关键，核心知识点涵盖不等式基本性质、解不等式的流程与易错点分析．
任务一
①思考解不等式去分母步骤的依据，即不等式的基本性质，确定第一步依据．
②逐步检查解不等式过程，找出开始出错的步骤，分析去括号时符号错误原因．
任务二：按照正确的解不等式步骤，重新求解，得出正确解集．
任务三：结合解不等式的常见易错点，提出一条合理建议．
【详解】任务一：
①第一步去分母依据是不等式的基本性质2（不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变 ），因为给不等式两边同时乘（和的最小公倍数 ），不等号方向不变．
②第二步开始出现错误，原因是去括号时，展开应为，小颖同学错误得到，即去括号时没有正确变号（括号前是负号，括号内各项要变号 ） ．
任务二：
重新解不等式
去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为，得
故该不等式的正确解集为 ．
任务三：
建议：不等式左右两边同时乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．
7．(24-25七下·上海闵行区明星学校·月考)下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
．
解：，第一步
，第二步
，第三步
，第四步
．第五步
任务一：填空
①以上解题过程中，第一步是依据________________________进行变形的；
②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________________．
任务二：请写出正确的解题过程．
【答案】任务一：①不等式的性质2：不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变；②三，移项没有改变符号；任务二：见解析
【分析】任务一：①根据不等式的性质2可得答案；②由移项没有改变符号可得第三步开始出现错误；
任务二：先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可；
【详解】解：任务一：①以上解题过程中，第一步是依据不等式的性质2：不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变进行变形的；
②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是移项没有改变符号；
任务二：
．
解：，
，
，
，
．
题型二：一元一次不等式中与绝对值结合
1．(24-25八上·江苏泰州高港实验初级中学·)阅读下列材料：
，像这样的不等式，叫绝对值不等式．解绝对值不等式的方法是想办法去掉绝对值符号，转化成已学过的不等式（组）来解决．例如：
解不等式：．
解：①当时，原不等式变形为，解得；
②当时，原不等式变形为，解得．
综合①②可得，原不等式的解集为或．
(1)解不等式：；
(2)解不等式：；
(3)若关于的不等式中，对于任意的都有使得该不等式成立，当______时，有最大值为_______．
【答案】(1)
(2)
(3)0；6
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，根据不等式的解集情况求参数，绝对值的几何意义，正确理解题意是解题的关键．
（1）当时，原不等式变形为，当时，原不等式变形为，分别解不等式组即可得到答案；
（2）当时，原不等式变形为，当时，原不等式变形为，分别解不等式组即可得到答案；
（3）可把原不等式变形为，根据绝对值的几何意义可得当时，有最小值，最小值为，再由关于的不等式中，对于任意的都有使得该不等式成立，得到，解不等式即可得到答案．
【详解】（1）解：当时，原不等式变形为，
解得；
当时，原不等式变形为，此时不等式组无解；
综上所述，；
（2）解：当时，原不等式变形为，
解得；
当时，原不等式变形为，
解得；
当时，原不等式变形为，
解得；
综上所述，；
（3）解：∵，
∴；
由绝对值的几何意义可知表示的是数轴上表示数x的点到表示数的点和到表示数1的点的距离之和，
∴当时，有最小值，最小值为，
∵，
∴当时，有最小值，最小值为0，
∴当时，和能同时取得最小值，
∴当时，有最小值，最小值为，
∵关于的不等式中，对于任意的都有使得该不等式成立，
∴，
∴，
∴m的最大值为6，
∴当时，m有最大值为6．
2．(24-25八下·河南郑州枫杨外国语中学、朗悦慧外国语、行知中学等联考·月考)阅读下列材料：我们知道，的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数对应的点之间的距离．
例1：解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为或．
例2：解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．
参考阅读材料，解答下列问题：
(1)方程的解为 ．
(2)解不等式：．
(3)解不等式：．
【答案】(1)或者
(2)
(3)或者
【分析】本题考查了绝对值及不等式的知识． 解题的关键是理解表示在数轴上数与数对应的点之间的距离．
（1）利用在数轴上到对应的点的距离等于4的点的对应的数为1或求解即可；
（2）先求出的解，再求出的解集即可；
（3）先在数轴上找出的解，即可得出的解集．
【详解】（1）解：∵在数轴上到对应的点的距离等于4的点的对应的数为1或
∴方程的解为或，
故答案为：或；
（2）解：∵在数轴上到3对应的点的距离等于5的点的对应的数为或8
∴方程的解为或
∴的解集为．
（3）解：由绝对值的几何意义可知，方程就是求在数轴上到4和对应的点的距离之和等于8的点对应的x的值．
∵在数轴上4和对应的点的距离是6
∴满足方程的x的点在4的右边或的左边
若x对应的点在4的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得
∴方程的解为或
∴的解集为或者．
3．(24-25八上·安徽蚌埠第一实验学校·期中)先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．
①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为．
②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．
(1)的解集为___________，的解集为___________．
(2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值．
(3)不论x取何值，都有成立，请直接写出t的取值范围．
【答案】(1)；或
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义、二元一次方程组的特殊解法，求一元一次不等式组的整数解等知识点，理解绝对值的几何意义是解答本题的关键．
（1）根据阅读材料的结论即可解答；
（2）先将二元一次方程组的两方程求和可得，再代入得到关于的绝对值不等式，然后求解，最后确定满足题意的的值即可；
（3）表示数轴上表示x的点到表示1与表示的点的距离之和，因此不论x取何值，，从而得到，求解即可．
【详解】（1）解：由阅读材料提供方法可得：的解集为；
由可得或，
∴或．
故答案为：；或．
（2）解：二元一次方程组
可得：，
∴
，
是正整数
．
（3）解：∵表示数轴上表示x的点到表示1与表示的点的距离之和，
∴当时，有最小值为，
当或时，
∴不论x取何值，，
∵，
∴，
∴，
∴．
4． 阅读理解：请阅读下面求含绝对值的不等式和的解集过程．
对于含绝对值的不等式，从图1的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集为；对于含绝对值的不等式，从图2的数轴上看：小于或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或．
问题解决：
(1)求出含绝对值的不等式的解集．
(2)已知关于x，y的二元一次方程的解满足，其中m是正数，求m的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】本题考查了解含有绝对值的不等式，求不等式组的解集，理解题中的方法是解题的关键．
（1）根据题中提供的方法进行解答即可；
（2）根据题中提供的方法进行解答即可；
【详解】（1）解：∵
∴或．
（2）解：，
，
，
，
解得，
又m是正数，
．
5．(24-25八上·江苏扬州中学教育集团树人学校·月考)请阅读下面求含绝对值的不等式和的解集过程．
对于含绝对值的不等式，从图1的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集为；对于含绝对值的不等式，从图2的数轴上看：小于或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或．
(1)求含绝对值的不等式的解集；
(2)已知含绝对值的不等式的解集为，求a，b的值．
【答案】(1)或
(2)
【分析】本题主要考查解一元一次不等式，绝对值的几何意义，解二元一次方程组，解题的关键是掌握绝对值的几何意义及解一元一次不等式的能力．
（1）依据题意，由绝对值的几何意义即可得出答案；
（2）依据题意，由知，据此得出，再结合可得出关于、的方程组，解之即可求出、的值，从而得出答案．
【详解】（1）解：对于含绝对值的不等式，
从如图的数轴上看：小于或大于2的数的绝对值大于2，
所以的解集为或．
根据绝对值的定义得：或；
（2）解：由题意，
，
，
，
解集为，
，
．
6．(24-25七下·福建漳州龙海区·期中)【阅读材料】
我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离，例如表示数轴上表示这个数的点到原点的距离，那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离，于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于或等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1的距离小于或等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点），这样我们就可以得到不等式的解集为．
【解决问题】
参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题：
(1)不等式的解集为___________．
(2)求不等式的解集．
(3)求不等式的解集．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查了绝对值、数轴与不等式．
（1）根据绝对值的意义及数轴求解；
（2）根据绝对值的意义及数轴求解；
（3）先把不等式变形，再根据绝对值的意义及数轴求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：法①：在数轴上到2的距离大于或等于3的点对应的数小于或等于或者大于或等于5，
不等式的解集为或；
法②：不等式可化为或，
解得：或；
不等式的解集为或；
（3）解：不等式可化为，
，
所以原不等式的解集为：．
7．先阅读材料，再完成下列问题：
（i）解不等式．如图1，从数轴上可以发现，大于-2而小于2的数的绝对值小于2，所以的解集应为．
（ii）满足的数用数轴表示如图2所示，也就是说，小于-2的数或大于2的数的绝对值大于2，所以的解集应为或．
请完成：
(1)的解集为_____，的解集为_____．
(2)试着写出不等式的解集：______．
(3)解不等式的实质是求不等式_______的解集，即求不等式组_______的解集，其解集为______；
(4)求不等式的解集应先求出不等式_____与不等式______的解集，请直接写出该绝对值不等式的解集：______．
(5)解不等式：．
【答案】(1)；或
(2)
(3)；；
(4)；；或
(5)
【分析】此题主要考查了一元一次不等式，理解绝对值的意义，掌握解一元一次不等式的方法解决问题是解题的关键．
（1）根据阅读材料可知， ：大于而小于的数的绝对值小于；：小于或大于的数的绝对值大于，即可得解；
（2）根据题意可得出大于而小于的数的绝对值小于，列出不等式计算即可；
（3）根据大于而小于的数的绝对值小于，可得不等式，分开写即为不等式组，然后解不等式组即可；
（4）根据小于或大于的数的绝对值大于，得到不等式组求解即可；
（5）根据大于或等于而小于或等于的数的绝对值小于或等于，得到不等式组求解即可．
【详解】（1）根据阅读材料可知， ：大于而小于的数的绝对值小于，
的解集为：；
根据阅读材料可知，：小于或大于的数的绝对值大于，
的解集为：或．
故答案是：，或．
（2）根据题意可得：大于而小于的数的绝对值小于，
，
解得：．
故答案是：．
（3）根据题意可得，：大于而小于的数的绝对值小于，
，
化为不等式组为，
解得，
不等式的解集为．
故答案是：；；．
（4）根据题意可得，：小于或大于的数的绝对值大于，
或，
解得：或．
故答案是：；；或．
（5）由题意可得，：大于或等于而小于或等于的数的绝对值小于或等于，
，
可得不等式组，
解得，
不等式组的解集为：．
题型三：一元一次不等式中其他类阅读题型
1．(25-26八上·黑龙江哈尔滨顺迈中学·月考)阅读以下例题：解不等式：
解：①当，则，即可以写成：，解不等式组得：．
②当，则，即可以写成：，解不等式组得：．
综合以上两种情况：原不等式的解集为：或．
以上解法的依据为：当，则同号．
请你模仿例题的解法，解不等式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)或
(2)
【分析】本题考查了解不等式组的应用，解题的关键在于熟练掌握两式之积大于0，则两式为同号，两式之积小于0则两式为异号．
（1）当，则；当，则，分别解出两个不等式组即可；
（2）当，则；当，则，分别解出两个不等式组即可．
【详解】（1）解：，
①当，则，即可以写成：，
解不等式组得：．
②当，则，即可以写成：，
解不等式组得：．
综合以上两种情况：原不等式的解集为：或．
（2）解：，
①当，则，即可以写成：，
解不等式组得：不等式组无解．
②当，则，即可以写成：，
解不等式组得：．
综合以上两种情况：原不等式的解集为：．
2．(24-25七下·河南驻马店正阳县·期末)阅读下列材料：
例：已知，且，试确定的取值范围．
解：
又
又．①
同理，得．②
由得，
的取值范围是
请按照上述方法，完成下列问题：
(1)已知，且，则的取值范围是___________．
(2)已知，若，且，求的取值范围（结果用含的式子表示）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元一次不等式组的运用、一元一次不等式的解法，二元一次方程，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的解法，并能进行推理论证．
（1）仿照材料方法，先求出y的取值范围，同理得出x的取值范围，即可求解；
（2）仿照材料方法，先求出y的取值范围，同理得出x的取值范围，即可求解．
【详解】（1）
又∵
又．①
同理，得．②
由得，
的取值范围是．
故答案为：．
（2）
，
又
同理得
由 ．
得取值范围是：
3．(24-25七下·广西河池宜州区·期末)阅读理解与应用
阅读下列材料：解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法：
解：， 又，，．
又， …………①．
同理可得…………②．
由①②得：．
的取值范围是．
按照上述方法，完成下列问题：
(1)已知，且，，则的取值范围是___________；
(2)已知关于，的方程组的解都是正数，求的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若，，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式，解二元一次方程组，理解题意，熟练掌握题干已知解法是解题关键．
（1）仿照已知解法进行求解即可得到答案；
（2）先解不等式组，再根据不等式组的解都是正数，即可求出a的取值范围；
（3）仿照已知解法结合（2）中结论，进行求解即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
又，
①，
同理可得②，
由得：，
的取值范围是，
故答案为：；
（2）解：，
解得：，
，，
，
解不等式组得：，
的取值范围为：；
（3）解：∵，
∴，
∴，
由（2）得，，
∴，
∴①，
又∵，
∴，
∵，
，
②，
由①②得：，
的取值范围是．
4．(24-25七下·山西晋城沁水县部分学校·期中)阅读与思考：
解不等式：． 解：①当时，则， 即 解得 ． ②当时，则， 即 解得 ． 综上所述：原不等式的解集为或． 以上解法依据：当时，则，同号．
请你模仿上述方法，完成下面问题：
(1)解不等式：；
(2)直接写出不等式：的解集为________．
【答案】(1)或
(2)
【分析】本题考查了因式分解式不等式的求解，解题的关键在于熟练掌握两式之积大于0，则两式为同号，两式之积小于0则两式为异号．
（1）利用两式之积大于0，推出两式同号，分别列出两个不等式组，求出原不等式的解集．
（2）利用两式之积小于0，推出两式异号，分别列出两个不等式组，即可求出原不等式的解集．
【详解】（1）①当，则，
即可以写成：
解不等式组得：
②当若，则，
即可以写成：，
解不等式组得：．
综合以上两种情况：原不等式的解集为：或．
（2）解：①当，则，
即可以写成：
解，得；
解，得 ．
∴不等式组无解．
②当若，则，
即可以写成：，
解不等式组得：．
综合以上两种情况：原不等式的解集为：．
故答案为：．
5．(24-25七下·四川广元剑阁县·期末)阅读与思考
定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”． 例如：方程的解为， 不等式组的解集为． ， 方程为不等式组的“相伴方程”．
阅读上面的内容完成下列问题：
(1)填空：下列方程是不等式组的“相伴方程”的是__________；（填序号）
①； ②； ③．
(2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围．
【答案】(1)②
(2)
【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组等知识点，能准确解一元一次方程和不等式组是解此题的关键．
（1）先分别求出方程的解和不等式组的解集，再逐个判断即可；
（2）先分别求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出，求出结果即可．
【详解】（1）解不等式组得：
解方程①得：，
解方程②得：，
解方程③得：，
不等式组的“相伴方程”的是②．
故答案为：②．
（2）解不等式组得：
解方程得：，
是不等式组的“相伴方程”
解得：
的取值范围为．
6．(24-25八上·吉林东北师大附中净月实验校·期末)阅读材料：
矩阵的定义：由个数排成的行列的数表，称为行列的矩阵，简称矩阵．
记作：，其中表示第行第列的数字．如表示矩阵．
矩阵的性质：若有两个矩阵相等，则相应位置的数字相等．
例如，若，即，则有．
矩阵的运算：对于矩阵，有着自己的运算方法：，比如矩阵：
例如：．
(1)求中的值．
(2)请将方程组改写成矩阵的运算形式．
(3)关于的不等式组只有3个整数解，的取值范围是_____．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，一元一次不等式组的求解，读懂题意根据题目中给出的新定义列出不等式组为解题关键．
（1）根据题目中给出的定义列出不等式组，利用加减消元法求解即可；
（2）根据题目中给出的定义将不等式组改为矩阵的运算形式即可；
（3）根据题目中给出的定义列出不等式组再根据整数解求出结果即可．
【详解】（1）解：
，
，
得：，解得：，
将代入②得：，解得：，
，；
（2），，
（3），
，，
即，解得：
不等式组只有3个整数解，即为0,1,2
，
解得：．
7．(24-25七下·江苏淮安开明集团校·期末)【阅读材料】：
解答＂已知，且，试确定的取值范围＂有如下解法：
解：解题思想一：＂消元＂
∵（①（用含y的代数式表示），
∴．
∵，即②．
又∵．
解题思想二：＂配凑＂
上式三边先同时乘2，得③，
再同时加1，得，
∴的取值范围是．
【完善材料】材料中①为，②为，③为；
【方法应用】若，且，试确定的取值范围；
【拓展提升】若（是大于3的整数），且，当的取值范围内恰有个整数时，则的值为．
【答案】[完善材料]①，②，③；[方法应用]；[拓展提升]8
【分析】本题考查了不等式的性质以及解不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的性质进行求解．
（1）根据材料中的解题思路和不等式的性质来确定①、②、③的值；
（2）根据材料中的解题思想，通过消元法、配凑法确定的取值范围；
（3）根据已知条件，通过消元表示出，再根据的取值范围内恰有个整数来确定n的值．
【详解】解题思想一：“消元”
，（用含y的代数式表示），
，即，
又∵，
解题思想二：：“配凑”上式三边先同时乘2，得③，
再同时加1，得，
∴的取值范围是．
故答案为：①； ；③；
[方法应用]
∵，
，
，
，
即，
又∵，
，
，
，即，
∴的取值范围是；
[拓展提升]
∵，
，
，
，
，
又∵，
，
，
，
∴的取值范围是，
∵的取值范围内恰有个整数，且是大于3的整数，
故答案为：8．
8．(24-25八下·江西鹰潭余江区正源学校·月考)【阅读材料】
我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化，“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差，变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数a，b的大小，只要求出它们的差：若，则；若，则；若，则．
【解决问题】
(1)已知，试比较，的大小；
(2)若，，，求和的取值范围．
【答案】(1)
(2)a为任意实数，
【分析】本题主要考查了利用不等式的性质比大小、解不等式，整式的混合运算．
（1）根据题意用作差法得出，再结合，利用不等式的性质即可得出结论．
（2）把，代入，解一元一次不等式即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
又∵，
∴，即，
∴．
（2）解：∵
，
又∵，
∴，
∴，
解得，
∵的值与的取值无关，
∴a为任意实数．
9．(24-25八上·湖北武汉青竹湖湘一外国语学校·期末)请阅读以下材料，并解决问题：
材料一：我们知道，解不等式组求解集有一口诀：大小小大取中间。对于解集取中间的不等式组（比如：，，，） ， 我们规定其“青一距离”均为， 不等式组的整数解称为不等式组的“求真点”．例如：的“青一距离”， “求真点”为，，0， 1， 2．
材料二：对于两个不等式组成的不等式组，我们求其解集就是分别解这两个不等式，再取其解集公共部分；类似的，对于三个或三个以上的不等式组成的不等式组，我们依然是分别解出每一个不等式，再求出它们解集的公共部分.
(1)不等式组的“青一距离” ；“求真点”为 ；
(2)若不等式组的“青一距离”，求m的取值范围；
(3)若不等式组的“青一距离” ， 此时是否存在实数n使得关于y的不等式组恰有2个“求真点”，若存在，求出n的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；，，
(2)
(3)或
【分析】本题考查的是新定义运算的含义，一元一次不等式组的解法；不等式组的整数解问题；
（1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据新定义的含义即可得答案；
（2）不等式组的“青一距离”，可得不等式组的解集为：，再分，，讨论即可得答案；
（3）根据不等式组的“青一距离” ，得出值，得出不等式组，再表示不等式组的解集，根据恰有2个“求真点”列不等式组求出解集即可得答案．
【详解】（1）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的“青一距离”；“求真点”为，，.
（2）解：，
由①得：，
解得：，
由②得：，
∴，
解得：，
由③得：，
∵不等式组的“青一距离”，
∴不等式组的解集为：，
∴当，即，
∴不等式的解集为，
∴，
∴，
解得：，
此时，
当时，即时，不等式③成立，
当时，即，
∴不等式的解集为，
∴，
∴，
∴，
此时：，
综上：.
（3）解：∵不等式组的“青一距离” ，
∴，
解得：，
∴化为，
由①得：，
由②得：，
∵关于y的不等式组恰有2个“求真点”，
∴不等式组的解集为：，且有2个整数解，
则存在这样的整数满足：
，
由③得：，
由④得：，
当时，可得：，
此时，
当时，可得：，
此时，
当时，符合题意，
当为另外的整数时，不等式组无解；
综上：或.
10．(24-25七下·江苏泰州姜堰区南苑学校·期中)阅读材料：如果是一个有理数，我们把不超过的最大整数记作，例如，，那么，，其中．
例如，，，．
请你解决下列问题：
(1)_______________；
(2)如果，那么的取值范围是_______________；
(3)如果，求的值；
(4)如果，其中，且，直接写出的值．
【答案】(1)5；
(2)；
(3)；
(4)或．
【分析】（1）根据材料中对（不超过的最大整数）的定义，直接确定的值．
（2）依据的定义，分析当时，的取值边界，从而确定取值范围．
（3）利用的性质，即是整数且（），结合已知，列出关于的不等式组，求解并验证．
（4）设（为整数），由和建立等式，结合确定的值，进而求出．
本题主要考查了对新定义（不超过的最大整数）的理解与运用，涉及不等式组求解、整数性质等知识，熟练掌握的定义及通过设未知数转化条件建立等式或不等式组求解是解题的关键．
【详解】（1）解：，
故答案为：5；
（2）解：是不超过的最大整数，
，
故答案为：；
（3）解：设（为整数）
则，且，
将代入得：
解得，
解得；
∴，
又是整数，
∴，
∴，
解得；
（4）解：设（为整数），
，
，
又，
，
，
，
解得；
解得
为整数，
或
当时，，
当时，，
或．
11．(24-25七下·山西吕梁临县·月考)阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
整体思想解二元一次方程组解方程组： 解： 得，①②得， 则解得 评价：此题解法应用了整体思想，先得出整体“”和“”的值，再求解x和y的值． 练习：解方程组：
任务：
(1)直接写出研究报告中“■”处空的内容为______，“▲”处空缺的内容为______．
(2)应用整体思想完成练习中题目的解答．
(3)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，请直接写出k的取值范围．
【答案】(1)5，
(2)
(3)
【分析】本题考查了整体思想解二元一次方程组，一元一次不等式，理解“整体思想”是解题的关键．
（1）根据题意填空即可；
（2），得，，得，然后联立，即可得到答案；
（3）由得，即，然后解不等式即可．
【详解】（1）解：5，，理由如下：
得，①-②得，
故答案为：5，；
（2）解：，
，得，
，得，
则
，得，
，得，
原方程组的解为；
（3）解：，理由如下：
由
得，即．
，
，解得．
