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【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版
专题突破四 一元一次不等式与几何综合（三大题型20道）【压轴题】
题型一：一元一次不等式中动点问题
1．(25-26八上·重庆六校联考·期中)如图，在中，，射线，点从点出发沿射线以 的速度运动，同时点从点出发沿射线以的速度运动，连接，，．设点运动时间为．
(1)若，则的取值范围是______；
(2)求为何值时，平分的面积；
(3)求为何值时，．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，三角形中线的性质，数形结合是解答本题的关键．
（1）根据当时，点在点的右侧运动可得答案；
（2）根据当平分的面积时，点是线段的中点可得答案；
（3）分类讨论：点在点左侧和点在点的右侧时，可得关于的一元一次方程，解方程可得答案．
【详解】（1）解：当时，，
，
解得，
故答案为：；
（2）解：平分的面积，
，
，
；
（3）解：分两种情况讨论：
点在点左侧时，，
则，
解得；
当点在点的右侧时，，
则，
解得，
综上所述，或时，．
2．(24-25七下·吉林长春高新技术产业开发区慧谷学校·月考)如图，在中，，，．为的中点，动点从点出发，先以的速度沿运动，到达点后再以的速度沿向终点运动．设点的运动时间为，的面积为．
(1)当______时，点运动到点；
(2)当点在边上运动时，的长度为多少厘米．（用含的代数式表示）；
(3)在点的运动过程中，请用含的代数式表示；
(4)当时，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)的取值范围为或或
【分析】本题考查了列代数式，一元一次不等式的应用，合理分类讨论是解题的关键．
（1）根据时间等于路程除以速度求解即可；
（2）求出，分点在上运动和点在上运动两种情况，分别列式即可；
（3）分点在上，点在上，点在上，三种情况讨论，分别根据三角形的面积公式列式即可；
（4）分，，三种情况讨论，分别根据列不等式，求解即可．
【详解】（1）解：∵，以的速度沿运动，
∴点运动到点的时间为，
故答案为：；
（2）解：∵，为的中点，
∴，
∴点运动到点的时间为，
点运动到点的时间为，
∴当点在上运动时，，
当点在上运动时，，
综上，；
（3）解：当点在上时，即，
根据题意，得；
当点在上时，即，
根据题意，得，
当点在上时，即，
根据题意，得，
∴；
（4）解：当时，
根据题意，得，
解得；
当时，
根据题意，得，
解得；
当时，
根据题意，得，
解得；
综上，的取值范围为或或．
3．(24-25八下·宁夏银川第二十四中学·期末)如图，在中，．射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，当点E先出发后，点F也从点B出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点F运动时间为t（s），其中．
(1)当t为何值时，？
(2)当t为何值时，．
【答案】(1)或时，；
(2)当时，．
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的面积，解一元一次方程以及解一元一次不等式．
（1）分类讨论：当点F在点C左侧时，点F再点C的右侧时，可得关于t的一元一次方程，根据解方程，可得答案；
（2）根据平行线间的距离相等，可得三角形的高相等，根据等高的三角形的底边越长，三角形的面积越大，可得不等式，计算即可．
【详解】（1）解：分两种情况讨论：
①点F在点C左侧时，，
则，
解得；
②当点F在点C的右侧时，，
则，
解得；
综上所述，或时，；
（2）解：∵平行线间的距离相等，
∴、、的高相等，
当时，，
，
解得，
当时，．
4．如图，在中，．射线，点从点A出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点运动时间为，其中．
(1)若，则t的取值范围是 ；
(2)当t为何值时，；
(3)是否存在某一时刻t，使．若存在，请求出t的值；若不存在请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，
【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；
（1）由可得出，然后根据点的速度和运动时间列出不等式，解之即可得出结论；
（2）分别表示出和的长度，由即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）由结合可得出 点在线段上，根据平行线的性质可得出和的高相等，进而可得出，即 ，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：，
，
解得：，
当时，，
故答案为：；
（2）解：由题意得：， ，
或 ，
，
或，
解得：或，
即或时，；
（3）解： ，
点在线段上，
，
和的高相等，
，
即 ，
解得：，
即当秒时，．
5．(24-25七下·江苏淮安文通中学·月考)如图：在长方形中，，，动点从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点停止运动，设点运动的时间为秒．
(1)①当点在上时，的面积与时间的关系________．
②当的面积时，时间________秒．
(2)点整个运动过程中，是否存在这样的，使得的面积？如果存在，请求出的取值范围；如果不存在，请说明理由．
(3)若另一动点与动点同时从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点后立即原路返回，并且在边，上的速度等于原速，当点停止时点也随之停止．在整个运动过程中，是否存在时间使得的面积总大于的面积，如果存在，直接写出的取值范围；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)①；②或
(2)存在；或
(3)存在；或
【分析】（1）①根据三角形面积公式进行求解即可；
②分两种情况：当点在上时，当点P在上时，分别列出方程求出结果即可；
（2）分两种情况：当点在上时，当点P在上时，分别列出不等式求出结果即可；
（3）分四种情况：当点Q从点A向点B运动时，当点Q从点B向点C运动时，当点Q从点C向点B运动时，当点Q从点B向点A运动时，分别列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：①当点在上时，的面积与时间的关系为：
；
②当时，点P在上，，
解得：；
当时，点P在上，，
解得：，
综上分析可知：或；
（2）解：存在；
当时，点在上，，
解得：，
∴此时；
当时，点在上时，，
解得：，
∴此时；
综上分析可知：或；
（3）解：存在；
当时，点Q从点A向点B运动，，
∴，
∴当时，；
当时，点Q从点B向点C运动，则，
解得：，
∴当时，；
当时，点Q从点C向点B运动，则，
解得：，
∴此时没有符合条件的t存在；
当时，点Q从点B向点A运动，，
整理得：，
∵此时，
∴，
∴总成立，
∴时，；
综上分析可知：或时，．
【点睛】本题主要考查了列代数式，求不等式的解集，一元一次方程的应用，三角形面积计算，解题的关键是注意进行分类讨论．
6．(23-24七下·江苏苏州振华中学校·期中)如图，在中，．射线，点从点出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点运动时间为，其中．
(1)若，则的取值范围是 ；
(2)当为何值时，；
(3)是否存在某一时刻，使．若存在，请求出的值；若不存在请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，
【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用；
（1）由可得出，然后根据点的速度和运动时间列出不等式，解之即可得出结论；
（2）分别表示出和的长度，由即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）由结合可得出 点在线段上，根据平行线的性质可得出和的高相等，进而可得出，即 ，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：，
，
解得：，
当时，，
故答案为：；
（2）由题意得：， ，
或 ，
，
或，
解得：或，
即或时，；
（3） ，
点在线段上，
，
和的高相等，
，
即 ，
解得：，
即当秒时，．
7．(24-25八上·河南新乡金瀚学校·期中)如图，在中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，，．设点运动时间为，其中．
(1)若，则的取值范围是______；
(2)求为何值时，平分的面积；
(3)求为何值时，．
【答案】(1)
(2)2.5秒
(3)秒或12秒
【分析】（1）根据当时，点F在线段上运动可得答案；
（2）根据当平分的面积时，点F是线段的中点可得答案；
（3）分类讨论：当点F在点C左侧时，点F再点C的右侧时，可得关于t的一元一次方程，根据解方程，可得答案；
【详解】（1）当时，，
∴，
解得，
故答案为：；
（2）∵平分的面积，
∴，
∴，
∴；
（3）分两种情况讨论：
①点F在点C左侧时，，
则，
解得；
②当点F在点C的右侧时，，
则，
解得，
综上所述，或12时，；
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，三角形中线的性质，数形结合是解答本题的关键．
题型二：一元一次不等式与数轴结合的动点问题
1．如图，数轴上有点A、B两个点，OA＝16，点B所表示的数为20，AC＝6AB．
（1）求点C所表示的数；
（2）动点P、Q分别自A、B两点同时出发，均以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点E为线段CP的中点，点F为线段CQ的中点，求出线段EF的长度；
（3）在（2）的条件下，点P、Q分别自A、B出发的同时，动点M自点C出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t（秒），3＜t＜时，数轴上的有一点N与点M的距离始终为2，且点N在点M的左侧，点T为线段MN上一点（点T不与点M、N重合），在运动的过程中，若满足MQ﹣NT＝3PT（点T不与点P重合），求出此时线段PT的长度．
【答案】（1）﹣8；（2）2；（3）1或．
【分析】（1）根据线段的和差得到，得到，于是得到点所表示的数为；
（2）分三种情况：设运动时间为，则，求得，，根据线段中点的定义得到，，于是得到结论；
（3）根据题意得到表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为，知，由知，，从而以点与点位置先后来分类讨论，利用列式求解可得．
【详解】解：（1），点所表示的数为20，
，
，
，
，
点所表示的数为；
（2）设运动时间为，
当时，点，在点的右侧，则，
，，
，，
点为线段的中点，点为线段的中点，
，，
；
当时，点，在点的左右，，，
点为线段的中点，点为线段的中点，
，，
，
当时，点，在点的左侧，，，
，，
，
综上所述，；
（3）由题意得，表示的数为，表示的数为，
表示的数为，表示的数为，
则，
，
，，
当时，
，，
，
，
解得；
当时，
，，
，
解得；
综上或．
【点睛】本题考查了两点间的距离，数轴，线段中点的定义，正确的理解题意是解题的关键．
2．(24-25八上·湖北孝感八校联谊·月考)如图，点、是数轴上的两个点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，且．
(1)直接写出：__________，_________，线段的中点对应的数为_________；
(2)点、分别从点、出发同时向左匀速运动，点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，当时，求的值；
(3)在（2）的条件下，为线段的中点，为线段的中点，点、在运动过程中，当为何值时，有最小值，最小值为多少？
【答案】(1)，，
(2)当或时，
(3)当为何值时，有最小值，最小值为
【分析】（1）根据绝对值和平方的非负数，求出，，再根据中点的性质，即可；
（2）根据题意，得到，，，分类讨论：当点在点的左侧时，当点在点的左侧时，解出，即可；
（3）综上所述，当为何值时，有最小值，最小值为．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴线段的中点对应的数为：，
故答案为：，，．
（2）解：∵，
∴，
∵点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，
∴，，，
当点在点的左侧时，
∴，
∵，
∴，
解得：；
当点在点的左侧时，
∴，
∵，
∴，
解得：；
综上所述，当或时，．
（3）解：由（2）得，点表示数是，点表示数是，点表示的数为，点表示数为；
∵为线段的中点，为线段的中点
∴点表示的数为：，点表示的数为：，
∴，
∴
当点在点的右侧时，，
∴，
∴；
∴；
当点不在点的右侧，且点在点的右侧时，
∴，，
∴，
∴，
∴，
当点不在点的右侧，且点不在点的右侧时
∴，，
∴，
∴，
∴；
综上所述，当为何值时，有最小值，最小值为．
【点睛】本题考查一元一次方程，一元一次不等式，数轴，绝对值等知识，解题的关键是掌握一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，绝对值的非负性的应用，根据题意，列出方程，进行解答，即可．
3．(24-25八上·山西大同第二中学·期中)【综合与探究】数轴是一个重要概念．利用“数轴”这个工具，从数形结合的观点出发，我们研究了相反数、绝对值、有理数的大小比较以及有理数的运算等内容．
(1)数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上移动3个单位长度得到点，则点表示的数是 ；
(2)折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题：
①表示的点与表示 的点重合；
②若数轴上A，两点的距离为7(A在的左侧)，且折叠后A，两点重合，则点表示的数为 ，点B表示的数为___________；
(3)我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点的“雅中点”．
①若点A表示的数为，点B表示的数为1，点M为点A与点的“雅中点”，则点M表示的数为___________；
②若A、两点的“雅中点M”表示的数为2，且A、两点的距离为9(A在的左侧)，则点A表示的数为___________，点表示的数为___________；
(4)点A表示的数为，点，表示的数分别是，，点O为数轴原点，点为线段上一点（点可与、两点重合）．
①设点M表示的数为m，若点M为点A与点的“雅中点”，则m可取的所有整数为___________；
②若点A以每秒2个单位长度的速度向数轴正半轴方向移动．设移动的时间为秒，直接写出的所有整数值 ，使得原点O为点A与点的“雅中点”．
【答案】(1)1或
(2)①6；②，5.5
(3)①；②，6.5
(4)①，；②4，5
【分析】（1）分向左平移和向右平移两种情况解答即可；
（2）①先确定折痕处的数轴，然后再根据折叠的性质即可解答；②根据对称性求解即可；
（3）①根据“雅中点”的定义求解即可；②根据“雅中点”的定义求解即可；
（4）①根据“雅中点”的定义求解即可；②根据“雅中点”的定义列不等式组组求解．
【详解】（1）解：∵点A表示的数是，
∴点A在数轴上向右移动3个单位长度得到点表示的数为：；
点A在数轴上向左移动3个单位长度得到点表示的数为：．
故答案为：1或．
（2）解：∵折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，
∴折痕表示的数为：，
①表示的点与表示a的点重合，则有：，解得：；
故答案为：6；
②设 A表示的数为a，则B表示的数为：，
由题意可得：，解得：
所以A表示的数为，则B表示的数为：．
故答案为：，5.5 ．
（3）解：①设点M表示的数为m，则有：，解得：；
故答案为：；
②设 A表示的数为n，则B表示的数为：，
由题意可得：，解得：
所以A表示的数为，则B表示的数为：．
故答案为：，6.5．
（4）解：设B表示的数为，
①由题意可得：，即，
∵，
∴
∴整数m的值为：，；
故答案为：，；
②由题意得：A表示的数为：，
O可以为点A与点B的“雅中点”，
∴B表示的数为：，
∵点B为线段上一点（点B可与C、D两点重合），
，解得：，
∴t的所有整数值为：4，5．
【点睛】本题主要考查了数轴、新定义、点的移动、解一元一次方程、解不等式等知识点，掌握数形结合思想、方程思想和不等式思想都是解题的关键．
4．(2025·河北省邯郸市·三模)如图，数轴上点O为原点，点A，B，C表示的数分别是，，．
(1)________（用含m的代数式表示）；
(2)若点B为线段的中点，求的长；
(3)设，求当与的差不小于时整数x的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)整数x的最小值为25
【分析】（1）直接利用两点之间的距离公式进行计算即可；
（2）点B为线段的中点，可得，再建立方程求解即可；
（3）由，，，再利用当与的差不小于，建立不等式求解即可．
【详解】（1）解：∵点A，B表示的数分别是，，
∴；
（2）∵点B为线段的中点，
∴，
∵，，
即，
解得．
∴B点表示的数为，
∴．
（3）∵，，，
由题意得，
解得，
∴，
∴整数x的最小值为25．
【点睛】本题主要考查数轴上两点间的距离，列方程、不等式解决问题，考查学生的几何直观和运算能力．
5．(24-25七下·重庆第七中学校·期中)如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，是不等式最小整数解，且满足．点从点出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点后立刻返回到点，到达点后再返回到点并停止．
(1)______，______，_______．
(2)点从点开始运动后，到达点的过程中，经过秒钟，，求的值．
(3)点从点出发的同时，数轴上的动点分别从点和点同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设t秒钟时，、、三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的的值．
【答案】(1)
(2)或或
(3)1，，，8．
【分析】（1）根据绝对值以及偶次方的非负性即可得出a、c的值，再求解不等式的整数解得出b的值；
（2）由题意知，依次求出的长，再进行分类讨论即可：当从到A时，当从A到时，两种情况分类讨论．
（3）用表示出，对应的数，根据的取值分类讨论确定，，的位置关系，根据中点数值的两倍是端点数字的和求解值即可．
本题考查了非负数的性质，数轴上两点间距离，数轴的动点问题，一元一次方程的应用．正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：∵且，满足，
∴，
∴，
解不等式得，
∴不等式最小整数解为，
∴，
故答案为：；
（2）解：由题意知，此过程中，当点P在上时．
∴．
∴．
又∵．
∴．
当从到时，如图所示：
∵，
可以列方程为：，
解得：；
当从到时，分两种情况讨论：
①当P在线段之间时，如图所示：
可以列方程为：,
解得：，
②当P在线段之间时，如图所示：
∵，
∵，
∴，
∴，
可列方程为：，
解得：．
综上所述，或或．
（3）解：点对应的数字为：，点对应的数字为：，
时，点对应的数字为：，
时，点对应的数字为：，
时，点对应的数字为：，
当，重合时，或或，
解得：或（舍）或（舍），
当，重合时，或或，
解得：（舍）或或（舍），
当，重合时，，
解得：，
当，在，之间，
，
解得：，不符合题意；
当时，在，之间，
，
解得：，不符合题意；
当时，在，之间，
，
解得：；
当时，在，之间，
，
解得：；
当时，在，之间，
，
解得：；
当时，在，之间，
，
解得：；
综上所述，或或或．
6．(23-24七上·河北邯郸邯郸冀南新区·期末)如图，嘉淇设计了一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒．
(1)的长为 个单位长度，x的值为 ；
(2)当时，求点M表示的数；
(3)当机器人M，N之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人M变成彩色，求机器人M变成彩色的总时长；
(4)当机器人M，N和点C中有一个点到其他两点的距离相等时，直接写出t的值．
【答案】(1)8，6
(2)点M表示的数是
(3)机器人M变成彩色的总时长为8秒
(4)t的值为4或10.4或8或20或
【分析】此题考查了数轴的动点问题和一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意和分类讨论．
（1）本问考查数轴上两点之间的距离，根据点，表示的数，即可算出的长，再利用是的中点，得到，即可解得的值．
（2）本问根据线段的和差，得到点只能在点的右边，推出的长，即可解题；
（3）分情况讨论，然后综合各种情况得到机器人变成彩色的总时长；
（4）分情况进行讨论，然后综合各种情况得到的值；
【详解】（1）解：∵数轴上点A，B表示的数分别为，，
∴，
∵ 是的中点，
∴，
∴表示的数分别为，即的值为，
故答案为：，；
（2）解：∵，，
∴点只能在点的右边，位置如图所示：
∴，即，整理得，解得，
∴点表示的数为；
（3）解：由（）可知，从运动到需秒，
∴，，
∴，
当追上时，
，
解得，
当追上之前，
∵，
∴
解得，
∴，
当追上之后，
，
∵，
∴
解得，
∴，
综上可知，，
（秒）
∴机器人变成彩色的总时长为秒；
（4）解：当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，设机器人的运动时间为秒，则机器人的运动时间为秒，
当时，即点到点和点到点距离相等时，
当机器人到达点，此时点与点重合，即，
当机器人过点时，即，
解得或，
当时，即点到点和点到点距离相等时，
当机器人到达点时，即，
当机器人超过机器人时，，
解得或（舍去），
当时，即点到点和点到点距离相等时，
当机器人未到达点时，即，
当机器人与机器人相遇时，即，
解得或，
综上可知，的值为或或或或．
7．(24-25七上·北京师范大学附属中学·期中)已知图形和线段，若图形上存在不同的两点和，使得点与点到线段中点的距离相等，则称图形为线段的“关联图”．已知：、、在数轴上对应的数分别为、0和．
(1)若．请回答以下两个问题：
①记以下数在数轴上对应的点为，则满足线段是线段的“关联图”的有______．（填序号）
① ②3 ③5
②设点、对应的数分别为、，若线段为线段的“关联图”，则满足的所有整数的值为______．
(2)已知数轴上三点、、在数轴上对应的数分别为、、18，现将、均以每秒4个单位长度沿数轴向右移动，将以每秒2个单位长度沿数轴向左移动，移动时间为秒．当时，线段上总存在点，使线段为线段的“关联图”，则的取值范围为______．
【答案】(1)①：②③；②：4、5；
(2)
【分析】（1）①由题意可知，线段的中点在数轴上对应的数为，再结合“关联图”的定义求解即可；②根据“关联图”的定义，得到，再由绝对值的意义，写出满足条件的所有整数解即可；
（2）线段的中点在数轴上对应的数为，由题意可知，移动后数轴上三点、、在数轴上对应的数分别为、、，分三种情况讨论：①当时，点在点的左侧；②当时，点在线段上，③当时，点在点的右侧，结合“关联图”的定义分别求解即可．
【详解】（1）解：、在数轴上对应的数分别为、，
线段的中点在数轴上对应的数为，
线段是线段的“关联图”，
线段上存在不同的两点到线段中点的距离相等，
在数轴上对应的数为0，
点在数轴上对应的数，
②③满足条件；
②设点、对应的数分别为、，
线段为线段的“关联图”，
线段上存在不同的两点到线段中点的距离相等，
，，
，
，
到点的距离与到点的距离之差为5，且x必须为整数，
满足的所有整数的值为4、5；
（2）解：、在数轴上对应的数分别为、，
线段的中点在数轴上对应的数为，
由题意可知，移动后数轴上三点、、在数轴上对应的数分别为、、，
若点和点重合，则，解得；
若点和点重合，则，解得：；
①当时，点在点的左侧，
此时，
解得：，
；
②当时，点在线段上，
此时或，
解得：或，
或；
③当时，点在点的右侧，
此时，
解得：，
，
综上可知，的取值范围为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用数轴表示有理数，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解“关联图”的定义是解题关键．
8．(24-25六下·黑龙江哈尔滨星光中学校·期中)如图，数轴上有A、B、C、D四个点，分别对应的数为a、b、c、d，A、B两点表示的数满足，其中，．请根据条件完成此题．
(1)求a、b、c、d的值；（直接写出结果）
__________，__________，___________，____________；
(2)若A、B两点以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时C、D两点以2个单位长度/秒向左匀速运动，并设运动时间为t秒，问t为多少时，A、C两点相遇？
(3)在（2）的条件下，A、B、C、D四个点继续运动，当点B运动到点D的右侧时，问是否存在时间t，使B与C的距离是A与D的距离的4倍，若存在，求时间t；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）根据非负数的性质，及相反数的定义，可得出a、b、c、d的值；
（2）根据题意列出方程求解即可；
（3）分两种情况，①点A运动到点D的左边，点B运动到点D的右边，②点A、点B均在点D的右边，然后分别表示出的长度，建立方程，求解即可．
【详解】（1）解：解方程得：或．
∵是方程的两根且，
∴，
∵，
∴，
可得：；
（2）解：，
当点A、C相遇时：，
解得；
（3）解：经时间时，A的值为：，B的值为：，C的值为：的值为：，
①点A运动到点D的左边，点B运动到点D的右边，
则，
解得：，
，
由题意得：，
解得：，
满足；
②点、点均在点的右边，
此时，解得：，
，
由题意得，，
解得：，
满足；
综上，存在，当时间或4秒时，B与C的距离是A与D的距离的4倍．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，涉及了非负数的性质，相反数的定义，以及数轴上的动点问题的计算，解答本题关键是表示出运动后四个点的坐标，注意分类讨论思想的运用，难度较大．
题型三：一元一次不等式中几何综合问题
1．(24-25八上·江苏苏州姑苏区·期末)有一副三角尺，其中中，，；中，，．将这副直角三角尺按如图①放置．此时边与在同一直线上，且三角尺的顶点落在边的中点处．若将三角尺绕点按逆时针方向旋转，旋转角为．
(1)当______时，；当______时，：
(2)如图②，设边所在直线与边所在直线交于点，边所在直线与边所在直线交于点，记，．在整个旋转过程中，请探究与的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若，直接写出的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或
(3)或
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质及三角形内角和定理，
（1）根据当时，，当时，，求出结论即可；
（2）分两种情况：当时或当时，分别根据三角形内角和定理求出结论即可；
（3）分两种情况：当时或当时，分别列不等式解决即可．
【详解】（1）解：中，，，
当时，，
中，，，
，
；
当时，，
；
（2）解：当时，，理由如下：
中，，，
，
，
，
，
即；
当时，，理由如下：
中，，，
，
，
，
，
即；
综上所述，或；
（3）解：当时，由题意得：
，，
，，
，
，
；
当时，由题意得：
，，
，，
，
，
；
综上所述，的取值范围是或．
2．如图1，在中，，在边上有一点从向运动，运动到点处停止．
(1)当时，求的度数；
(2)如图2，把沿直线翻折，点的对应点为，若点在的内部（不包含的边）．
①直接写出的取值范围；
②探索与之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，在点从向运动过程中，设，同时将绕点按顺时针方向旋转，即，且满足，若运动过程中所在直线相交于点，当时，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②，见解析
(3)且
【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，一元一次方程的应用及一元一次不等式的应用．
（1）设，根据三角形内角和定理求出，再根据是的外角，由，即可求解；
（2）①根据题意结合（1）中，分别求出当点落在上，即时，当点M落在上时，的临界值，再根据点在的内部（不包含的边），即可得出的取值范围为；②延长交于点N，由翻折可知：，利用三角形外角的性质进行推导即可；
（3）设，当射线与射线交于点P时，利用三角形内角和定理结合，求出；当射线与射线交于点P时，同理求出，当直线与直线平行时，得到，再结合，即可得出结论．
【详解】（1）解：设，
在中：
∵，
∴，即，
∴，
∴．
∵是的外角，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①由（1）可得当点落在上，即时，，
如图，当点M落在上时，
则，
∵点在的内部（不包含的边），
∴的取值范围为；
②，证明如下：
延长交于点N，
由翻折可知：，
∵是的外角，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，可设，
如图1，当射线与射线交于点P时，
∵，
，
且，
∴，
∴，
∴；
如图2，当射线与射线交于点P时，
，
∵
，
且，
∴，
∴，
∴，
当直线与直线平行时，则，
∴，
∴，
∴，
∵所在直线相交于点P，
∴，
又∵点D从B运动到点C停止，
∴，
∴且．
3．(24-25七下·重庆凤鸣山中学教共体·期中)如图，中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止，设点运动的时间为秒．
(1)点整个运动过程中，共需___秒；
(2)若的面积为时，求的值；
(3)若的面积大于时，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)的值为或
(3)
【分析】本题考查了一元一次不等式和一元一次方程的应用，动点问题，解题的关键是分类讨论．
（1）先求出运动的路程，再根据时间路程速度，即可求解；
（2）分两种情况：当在上运动时，当在上运动时，根据三角形的面积公式列方程即可求解；
（3）根据当时，，当时，，即可求解．
【详解】（1）解： ，，
点整个运动过程中，路程为，
点整个运动过程中，所需时间为秒，
故 答 案 为：；
（2）当在上运动时，，
解 得：，
当在上运动时，，
解得：，
综上可得的值为或；
（3）当时，，
解得：，
当时，，
解得：，
综上可得：．
4．(24-25七上·江苏南京外国语学校·期末)【概念提出】
已知及射线，我们称的值为与的“关联度”，并用符号表示，其中都在到之间（含和）．
(1)若，则 ；
(2)尺规作图：如图1，已知，作一条射线，使得．
（要求：保留作图痕迹，写出必要的说明）
【拓展延伸】
(3)如图2，已知，射线与射线重合，射线位于内部或边上，将图2中的绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转，的值随旋转时间及的位置变化而变化．
①如图3，当旋转时间为45秒时，的最小值为 ；
②在旋转一周的过程中，当旋转时间为 秒时，．
【答案】(1)1或
(2)见解析
(3) 2 75
【分析】（1）根据题意，分射线在的内部或外部2种情况计算即可；
（2）由，分射线在下方、在内部、在上方3种情况讨论，得出符合题意，再利用尺规作图—作一个角等于已知角的方法，作出的2倍即可得到射线；
（3）①根据题意，讨论和，分别计算出的取值范围，即可得出最小值；②设旋转时间为秒，结合图形可得，再分3种情况讨论：；；；再结合，运用不等式的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：若射线在的内部，则，
；
若射线在的外部，则，
；
综上所述，或．
故答案为：1或．
（2）解：，
，
，
若射线在下方，此时，
，即（不符合题意，舍去）；
若射线在内部，此时，
，
，即射线为的三等分线，
由于尺规作图不能三等分任意角，故不符合题意，舍去；
若射线在上方，此时，
，
，
如下图，则射线即为所求：
（3）解：①当旋转时间为45秒时，，
，
射线位于内部或边上，
下面分2种情况讨论：
当，此时，
，
由图可知，，
；
当，此时，
；
综上所述，的最小值为2．
故答案为：2．
②当射线在内部或边上时，则有，
此时，不符合题意，
射线不能在内部或边上，即的两边都在的外部，
设旋转时间为秒，
当射线从图2的位置旋转至，则，
当射线从图2的位置旋转至，则，
；
当时，如图，
则，此时，
当，此时，
，
此时的最小值为3，不符合题意，
在范围内不存在符合题意的旋转时间；
当时，如图，
则，此时，
当，此时，
，
此时的最小值为3，不符合题意，
在范围内不存在符合题意的旋转时间；
当时，如图，
当，由①中的结论有：，符合题意；
当，此时有或，
令，则或，
解得：或，
射线位于内部或边上，
或，
当时，，
当时，，
当时，．
故答案为：75．
【点睛】本题主要考查了角的和差倍分问题、尺规作图、不等式的性质，熟练掌握以上知识点，理解题意，学会结合图形分类讨论计算是解题的关键，本题属于综合题，需要较强的推理论证和数形结合能力，适合有能力解决难题的学生．
5．(24-25八上·江苏淮安淮安区·期中)新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形．
(1)初步尝试：如图1，已知中，，，，P为AC上一点，当______时，与为积等三角形；
(2)理解运用：如图2，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长．
【答案】(1)3
(2)2或3
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，利用倍长中线的模型构造全等三角形是解题关键．
（1）利用三角形中线的平分三角形面积即可解决问题
（2）由与为积等三角形，可得，过点C作，交的延长线于点E，证明，推出，，利用三角形的三边关系即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，在中，，
∵，，
∴，
∴，，
∵与为积等三角形，
∴．，即，
∴．
当时，与为积等三角形．
（2）解：如图，过点C作，交的延长线于点E，
∵与为积等三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵为正整数，
∴．
∴的长为2或3．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页中小学教育资源及组卷应用平台
【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版
专题突破四 一元一次不等式与几何综合（三大题型20道）【压轴题】
题型一：一元一次不等式中动点问题
1．(25-26八上·重庆六校联考·期中)如图，在中，，射线，点从点出发沿射线以 的速度运动，同时点从点出发沿射线以的速度运动，连接，，．设点运动时间为．
(1)若，则的取值范围是______；
(2)求为何值时，平分的面积；
(3)求为何值时，．
2．(24-25七下·吉林长春高新技术产业开发区慧谷学校·月考)如图，在中，，，．为的中点，动点从点出发，先以的速度沿运动，到达点后再以的速度沿向终点运动．设点的运动时间为，的面积为．
(1)当______时，点运动到点；
(2)当点在边上运动时，的长度为多少厘米．（用含的代数式表示）；
(3)在点的运动过程中，请用含的代数式表示；
(4)当时，请直接写出的取值范围．
3．(24-25八下·宁夏银川第二十四中学·期末)如图，在中，．射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，当点E先出发后，点F也从点B出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点F运动时间为t（s），其中．
(1)当t为何值时，？
(2)当t为何值时，．
4．如图，在中，．射线，点从点A出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点运动时间为，其中．
(1)若，则t的取值范围是 ；
(2)当t为何值时，；
(3)是否存在某一时刻t，使．若存在，请求出t的值；若不存在请说明理由．
5．(24-25七下·江苏淮安文通中学·月考)如图：在长方形中，，，动点从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点停止运动，设点运动的时间为秒．
(1)①当点在上时，的面积与时间的关系________．
②当的面积时，时间________秒．
(2)点整个运动过程中，是否存在这样的，使得的面积？如果存在，请求出的取值范围；如果不存在，请说明理由．
(3)若另一动点与动点同时从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点后立即原路返回，并且在边，上的速度等于原速，当点停止时点也随之停止．在整个运动过程中，是否存在时间使得的面积总大于的面积，如果存在，直接写出的取值范围；如果不存在，请说明理由．
6．(23-24七下·江苏苏州振华中学校·期中)如图，在中，．射线，点从点出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点运动时间为，其中．
(1)若，则的取值范围是 ；
(2)当为何值时，；
(3)是否存在某一时刻，使．若存在，请求出的值；若不存在请说明理由．
7．(24-25八上·河南新乡金瀚学校·期中)如图，在中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，，．设点运动时间为，其中．
(1)若，则的取值范围是______；
(2)求为何值时，平分的面积；
(3)求为何值时，．
题型二：一元一次不等式与数轴结合的动点问题
1．如图，数轴上有点A、B两个点，OA＝16，点B所表示的数为20，AC＝6AB．
（1）求点C所表示的数；
（2）动点P、Q分别自A、B两点同时出发，均以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点E为线段CP的中点，点F为线段CQ的中点，求出线段EF的长度；
（3）在（2）的条件下，点P、Q分别自A、B出发的同时，动点M自点C出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t（秒），3＜t＜时，数轴上的有一点N与点M的距离始终为2，且点N在点M的左侧，点T为线段MN上一点（点T不与点M、N重合），在运动的过程中，若满足MQ﹣NT＝3PT（点T不与点P重合），求出此时线段PT的长度．
2．(24-25八上·湖北孝感八校联谊·月考)如图，点、是数轴上的两个点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，且．
(1)直接写出：__________，_________，线段的中点对应的数为_________；
(2)点、分别从点、出发同时向左匀速运动，点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，当时，求的值；
(3)在（2）的条件下，为线段的中点，为线段的中点，点、在运动过程中，当为何值时，有最小值，最小值为多少？
3．(24-25八上·山西大同第二中学·期中)【综合与探究】数轴是一个重要概念．利用“数轴”这个工具，从数形结合的观点出发，我们研究了相反数、绝对值、有理数的大小比较以及有理数的运算等内容．
(1)数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上移动3个单位长度得到点，则点表示的数是 ；
(2)折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题：
①表示的点与表示 的点重合；
②若数轴上A，两点的距离为7(A在的左侧)，且折叠后A，两点重合，则点表示的数为 ，点B表示的数为___________；
(3)我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点的“雅中点”．
①若点A表示的数为，点B表示的数为1，点M为点A与点的“雅中点”，则点M表示的数为___________；
②若A、两点的“雅中点M”表示的数为2，且A、两点的距离为9(A在的左侧)，则点A表示的数为___________，点表示的数为___________；
(4)点A表示的数为，点，表示的数分别是，，点O为数轴原点，点为线段上一点（点可与、两点重合）．
①设点M表示的数为m，若点M为点A与点的“雅中点”，则m可取的所有整数为___________；
②若点A以每秒2个单位长度的速度向数轴正半轴方向移动．设移动的时间为秒，直接写出的所有整数值 ，使得原点O为点A与点的“雅中点”．
4．(2025·河北省邯郸市·三模)如图，数轴上点O为原点，点A，B，C表示的数分别是，，．
(1)________（用含m的代数式表示）；
(2)若点B为线段的中点，求的长；
(3)设，求当与的差不小于时整数x的最小值．
5．(24-25七下·重庆第七中学校·期中)如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，是不等式最小整数解，且满足．点从点出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点后立刻返回到点，到达点后再返回到点并停止．
(1)______，______，_______．
(2)点从点开始运动后，到达点的过程中，经过秒钟，，求的值．
(3)点从点出发的同时，数轴上的动点分别从点和点同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设t秒钟时，、、三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的的值．
6．(23-24七上·河北邯郸邯郸冀南新区·期末)如图，嘉淇设计了一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒．
(1)的长为 个单位长度，x的值为 ；
(2)当时，求点M表示的数；
(3)当机器人M，N之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人M变成彩色，求机器人M变成彩色的总时长；
(4)当机器人M，N和点C中有一个点到其他两点的距离相等时，直接写出t的值．
7．(24-25七上·北京师范大学附属中学·期中)已知图形和线段，若图形上存在不同的两点和，使得点与点到线段中点的距离相等，则称图形为线段的“关联图”．已知：、、在数轴上对应的数分别为、0和．
(1)若．请回答以下两个问题：
①记以下数在数轴上对应的点为，则满足线段是线段的“关联图”的有______．（填序号）
① ②3 ③5
②设点、对应的数分别为、，若线段为线段的“关联图”，则满足的所有整数的值为______．
(2)已知数轴上三点、、在数轴上对应的数分别为、、18，现将、均以每秒4个单位长度沿数轴向右移动，将以每秒2个单位长度沿数轴向左移动，移动时间为秒．当时，线段上总存在点，使线段为线段的“关联图”，则的取值范围为______．
8．(24-25六下·黑龙江哈尔滨星光中学校·期中)如图，数轴上有A、B、C、D四个点，分别对应的数为a、b、c、d，A、B两点表示的数满足，其中，．请根据条件完成此题．
(1)求a、b、c、d的值；（直接写出结果）
__________，__________，___________，____________；
(2)若A、B两点以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时C、D两点以2个单位长度/秒向左匀速运动，并设运动时间为t秒，问t为多少时，A、C两点相遇？
(3)在（2）的条件下，A、B、C、D四个点继续运动，当点B运动到点D的右侧时，问是否存在时间t，使B与C的距离是A与D的距离的4倍，若存在，求时间t；若不存在，请说明理由．
题型三：一元一次不等式中几何综合问题
1．(24-25八上·江苏苏州姑苏区·期末)有一副三角尺，其中中，，；中，，．将这副直角三角尺按如图①放置．此时边与在同一直线上，且三角尺的顶点落在边的中点处．若将三角尺绕点按逆时针方向旋转，旋转角为．
(1)当______时，；当______时，：
(2)如图②，设边所在直线与边所在直线交于点，边所在直线与边所在直线交于点，记，．在整个旋转过程中，请探究与的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若，直接写出的取值范围．
2．如图1，在中，，在边上有一点从向运动，运动到点处停止．
(1)当时，求的度数；
(2)如图2，把沿直线翻折，点的对应点为，若点在的内部（不包含的边）．
①直接写出的取值范围；
②探索与之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，在点从向运动过程中，设，同时将绕点按顺时针方向旋转，即，且满足，若运动过程中所在直线相交于点，当时，求的取值范围．
3．(24-25七下·重庆凤鸣山中学教共体·期中)如图，中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止，设点运动的时间为秒．
(1)点整个运动过程中，共需___秒；
(2)若的面积为时，求的值；
(3)若的面积大于时，求的取值范围．
4．(24-25七上·江苏南京外国语学校·期末)【概念提出】
已知及射线，我们称的值为与的“关联度”，并用符号表示，其中都在到之间（含和）．
(1)若，则 ；
(2)尺规作图：如图1，已知，作一条射线，使得．
（要求：保留作图痕迹，写出必要的说明）
【拓展延伸】
(3)如图2，已知，射线与射线重合，射线位于内部或边上，将图2中的绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转，的值随旋转时间及的位置变化而变化．
①如图3，当旋转时间为45秒时，的最小值为 ；
②在旋转一周的过程中，当旋转时间为 秒时，．
5．(24-25八上·江苏淮安淮安区·期中)新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形．
(1)初步尝试：如图1，已知中，，，，P为AC上一点，当______时，与为积等三角形；
(2)理解运用：如图2，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
