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【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版
专题突破五 一元一次不等式中创新题（三大题型30道）【新定义】
题型一：一元一次不等式中求取值范围问题
1．(24-25八上·广东惠州一中集团·月考)对，定义一种新运算“”，规定：．若关于的不等式组有且只有一个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25八上·山东泰安肥城·期末)定义新运算，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25八下·甘肃兰州城关区甘肃弘毅绿地实验学校·月考)对，定义一种新运算“”，规定：．若关于的不等式组有且只有一个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．(2025·浙江省衢州市·模拟)两个数、，定义：，若关于正数的不等式组恰好有2个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．(24-25八上·广西桂林·期末)定义新运算“※”如下：当时，；当时，．例如，，，若则x的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．
6．(24-25七上·北京西城区北京第四中学·期中)对于实数和，我们定义符号的意义为：当时，；当时，．如，设，则的取值范围为 ．
7．(24-25八下·江西九江第十一中学·期中)对于任意实数m，n，定义一种运算，等式的右边是通常的加减和乘法送算，例如：．请根据上述定义解决问题：若，则x的取值范围是 ．
8．(25-26九上·福建漳州漳浦县新启点教育集团·月考)定义：若满足（为常数）且，则称点为“友好点”，若均为“友好点”，已知，且当时，都有，则的取值范围是 ．
题型二：一元一次不等式中求代数式的值
1．(24-25七下·湖南长沙湖南师大附中教育集团联考·期末)在实数范围内定义一种新运算“”， 其运算规则为∶．例如∶，． 若关于x的不等式组 的解集为．则的值为（ ）
A．72 B．76 C．80 D．89
2．对于实数a，b定义运算“※”，规定：，例如：．若关于x的不等式，有且只有两个正整数解，且m为整数，则所有满足条件的m的和为（ ）
A． B． C．1 D．3
3．(24-25八上·湖北武汉一初慧泉中学·月考)定义，如．若为两不相等整数，且满足，则的值为（ ）
A．36 B．6 C．8 D．64
4．(2024九·江苏省南通市·二模)定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（ ）
A． B．6 C． D．3
5．(24-25九下·山东泰安宁阳县·期中)定义一种新运算“”，规定当时，；当时，．例如：．如果，那么的值为 ．
6．(24-25八下·河北保定第十七中学·期中)对于m，n定义一种新运算T，规定：，即：当时，；当时，，这里等式左边括号里及等式右边的运算都是通常的四则运算．
若关于x的不等式的最大整数解为，则 ．
7．(24-25七下·湖南衡阳一中教育集团·期末)定义新运算“”，规定当时，；当时，．例如：，．如果，那么x的值为 ．
8．我们定义，例如，若，均为整数，且满足，则的值是 ．
9．(23-24八下·四川成都武侯区·期末)定义：若关于x的不等式组的解集是，且，满足，则称该不等式组的解集是一个“对称集”．已知关于x的不等式组的解集是一个对称集，则c的值为 ．
10．(23-24七下·广东惠州仲恺区·期末)定义：把的值叫做不等式组的“长度”若关于的一元一次不等式组解集的“长度”为3，则该不等式组的整数解之和为 ．
题型三：一元一次不等式综合
1．定义一种新运算“※”：当时，※；当时，※．例如：3※，※．
(1)计算：※；
(2)若，求的取值范围．
2．(24-25七下·湖南长沙中雅培粹双语中学·期末)对x，y定义一种新运算T，
规定：（其中 a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．
(1)已知，．
①求a，b的值；
②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围；
(2)若对任意实数x，y都成立（这里和均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？
3．(24-25七下·湖南长沙开福区长沙立信中学·期末)若关于x的一元一次不等式组的解集为且，则称这样的不等式组为“对称不等式组”如关于的不等式组的解集为，其中，所以该不等式组为“对称不等式组”请同学们根据“对称不等式组”的定义完成以下问题：
(1)判断下列不等式组中哪些是“对称不等式组”_________（请填序号）
① ② ③
(2)若关于x的不等式组为“对称不等式组”且在解集范围内有2025个整数解，求整数a，b的值．
(3)若关于x的不等式组为“对称不等式组”且恰好有7个整数解，求a，b的值或取值范围．
4．(24-25七下·江苏无锡锡中实验学校·期末)定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“亲密方程”，例如：的“亲密方程”为．
(1)方程的“亲密方程”为___________；
(2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“亲密方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值；
(3)已知整数，，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“亲密方程”，求的值．
5．(24-25七下·江苏扬州邗江区梅苑双语学校·月考)我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，若A的解都是B的解，则称A与B存在“雅含”关系，且A不等式称为B不等式的“子式”．如A：，B：，满足A的解都是B的解，所以A与B存在“雅含”关系，A是B的“子式”．
(1)若关于x的不等式A：，B：，则A与B存在“雅含”关系，________的“子式”（填“A是B”或“B是A”）；
(2)已知关于x的不等式C：，D：，若C与D存在“雅含”关系，且C是D的“子式”，求a的取值范围；
(3)已知，，，，且k为整数，关于x的不等式P：，Q：，请分析是否存在k，使得P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，若存在，请直接写出k的值；若不存在，请说明理由．
6．(24-25八下·贵州毕节赫章县第八中学·月考)定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称一元一次方程为这个一元一次不等式组的“子方程”．例如：的解为，的解集为．因为在的范围内，所以是的“子方程”．
(1)方程______不等式组的“子方程”；（填“是”或“不是”）
(2)若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围；
(3)若方程是关于的不等式组的“子方程”，求的取值范围．
7．(24-25七下·山东淄博张店区·期末)定义：如果一个一元一次方程的解也是一个一元一次不等式组的解，那么称这个一元一次方程为这个一元一次不等式组的“友好方程”例如：一元一次方程的解为，一元一次不等式组的解集为，因为，，所以，称一元一次方程是一元一次不等式组的友好方程．
(1)问一元一次方程是否是一元一次不等式组的友好方程？请说明理由；
(2)若关于的一元一次方程是一元一次不等式组的友好方程，求的取值范围；
(3)若一元一次方程和都是关于的一元一次不等式组的友好方程，请直接写出的取值范围．
8．(24-25七下·江苏泰州泰兴·期末)定义：如果一元一次不等式组的解都是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组的解都不是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相斥不等式组”．
(1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的______填序号“相容不等式组”或“相斥不等式组”；
(2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围；
(3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围．
9．(24-25七下·甘肃庆阳镇原县·期末)【背景知识】对于实数x，y我们定义一种新运算，其中m，n均为非零常数，等式的右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中叫做线性数的一个数对．若实数x，y都取正整数，我们称为正格线性数，这时的叫做正格线性数的正格数对．
【感受新知】已知，，求的值．
解：由【背景知识】可得，解得，故．
【学以致用】已知，．
（1）填空：______，______；
【综合应用】
（2）若正格线性数，问是否有满足这样条件的正格数对？若有，请找出来；若没有，请说明理由；
【拓展提升】
（3）若正格线性数，求满足的正格数对．
10．(24-25七下·江苏扬州梅岭中学教育集团·期末)定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“学梅方程”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程是不等式的“学梅方程”．反之，若一元一次方程的解不在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“思梅方程”．
(1)在下列方程①；②；③中，不等式组的“学梅方程”是________；（填序号）
(2)若关于x的方程是的“思梅方程”，求a的取值范围．
(3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“学梅方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求m的取值范围．
11．(24-25八上·山东滨州沾化区·期末)新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记作，即：当x为非负整数时，如果，则；反之，当n为非负整数时，如果，则，如，，，，
试解决下列问题
(1)填空：①___________，
②如果，则实数x的取值范围为___________；
(2)求满足的所有非负实数x的值；
(3)若关于x的不等式组的整数解恰有3个，求a的取值范围．
12．(24-25七下·湖南永州蓝山县·期中)我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”、例如：已知方程与不等式，当时，与同时成立，则称是方程和不等式的“梦想解”．
(1)已知①，②，③，则方程的解是它与不等式_____的“梦想解”．（填序号）
(2)若关于的二元一次方程组和不等式有“梦想解”，且为整数，求的值．
(3)若关于的方程组和不等式的“梦想解”均为正数（即“梦想解”中的均为正数），请直接写出的取值范围．中小学教育资源及组卷应用平台
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专题突破五 一元一次不等式中创新题（三大题型30道）【新定义】
题型一：一元一次不等式中求取值范围问题
1．(24-25八上·广东惠州一中集团·月考)对，定义一种新运算“”，规定：．若关于的不等式组有且只有一个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是实数的运算，一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解的确定，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
本题根据新运算列出不等式组求出的取值范围，根据题意列出关于的不等式组，解不等式组求出实数的取值范围．
【详解】解：由，根据新运算，可化简为：，
解这个不等式组，解得：，
∵关于的不等式组有且只有一个整数解，
∴，
∴，
解得：，
故选：B．
2．(24-25八上·山东泰安肥城·期末)定义新运算，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了新定义，解一元一次不等式，正确理解新定义是解题的关键．
根据新运算的定义，当左边的数小于右边的数时，结果为右边的数，因此，由可知，解此不等式即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
因此，的取值范围是，
故选：B．
3．(24-25八下·甘肃兰州城关区甘肃弘毅绿地实验学校·月考)对，定义一种新运算“”，规定：．若关于的不等式组有且只有一个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式，定义新运算的题目，弄清题中的新定义是解本题的关键．
已知不等式组利用题中的新定义化简，根据不等式组有且只有一个整数解，确定出的范围即可．
【详解】解：
整理得
解不等式组得，
∵原不等式组有且只有一个整数解，
∴，
解得，
故选：B．
4．(2025·浙江省衢州市·模拟)两个数、，定义：，若关于正数的不等式组恰好有2个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，根据x的取值范围列出相应的关于x的不等式组并解不等式组是解题的关键．
根据定义将函数表示，再将不等式组转化为绝对值不等式，然后再结合解集要求恰好有2个整数解确定的求值范围即可．
【详解】解：∵，
∴当时，由可得：；
当时，由可得：（无解）．
∴的解集为．
∵，，
∴，即．
∴．
∵不等式组恰好有2个整数解，
∴整数为6和7．
∴，即．
故选：B．
5．(24-25八上·广西桂林·期末)定义新运算“※”如下：当时，；当时，．例如，，，若则x的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了解不等式，新定义运算，解题的关键是根据题意列出不等式，注意进行分类讨论．先根据题意分两种情况：当时，当时，列出不等式，解不等式即可得出答案．
【详解】解：当时，，
解不等式得：，
解不等式得：
∴；
当时，，
解不等式得：，
解不等式得：，
∴此时无解；
综上分析可知：x的取值范围是．
故选：C．
6．(24-25七上·北京西城区北京第四中学·期中)对于实数和，我们定义符号的意义为：当时，；当时，．如，设，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了新定义，解不等式，解题的关键是正确理解题目所给新定义的运算法则，以及解一元一次不等式的方法和步骤．
根据题目所给新定义，进行分类讨论，先求出x的取值范围，再去除y的取值范围即可．
【详解】解：当，即时，，
∴；
当，即，，
∴，
综上：的取值范围为．
故答案为：．
7．(24-25八下·江西九江第十一中学·期中)对于任意实数m，n，定义一种运算，等式的右边是通常的加减和乘法送算，例如：．请根据上述定义解决问题：若，则x的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查的是新定义和一元一次不等式的整数解，正确理解新定义、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键，根据新定义列出不等式组，根据一元一次不等式组的解法解出不等式组即可．
【详解】解：由题意得，，
解得：，
故答案为：．
8．(25-26九上·福建漳州漳浦县新启点教育集团·月考)定义：若满足（为常数）且，则称点为“友好点”，若均为“友好点”，已知，且当时，都有，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了新定义运算，因式分解，解不等式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先充分理解“友好点”的定义，则，，整理得，，因为，，得，，再整理得，结合当时，都有，进行分析作答即可．
【详解】 均为“友好点”，满足（为常数）且，
，，
两式分别相减，得，，
，，得，，
根据题意，，且当时，都有，
，
，
，
，
故答案为：．
题型二：一元一次不等式中求代数式的值
1．(24-25七下·湖南长沙湖南师大附中教育集团联考·期末)在实数范围内定义一种新运算“”， 其运算规则为∶．例如∶，． 若关于x的不等式组 的解集为．则的值为（ ）
A．72 B．76 C．80 D．89
【答案】B
【分析】本题主要依托新定义考查解不等式组，根据新运算规则将不等式组转化为常规不等式，结合解集确定参数值，进一步求得代数式的值即可．
【详解】解：根据规则转化第一个不等式得，解集为．
题目解集为，故，解得；
根据规则转化第二个不等式：，解得 ，
题目解集为，故，解得；
此时，
故选：B．
2．对于实数a，b定义运算“※”，规定：，例如：．若关于x的不等式，有且只有两个正整数解，且m为整数，则所有满足条件的m的和为（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】A
【分析】本题考查新定义运算，求一元一次不等式组的整数解．根据新定义运算将转化为，结合解的条件列关于m的不等式组，求出不等式组的解集，筛选符合条件的整数并求和即可．
【详解】解：根据“※”定义，不等式为 ，
解得 ，
有且只有两个正整数解，
正整数解为1，2，
，
解得，
m为整数，
，
所有满足条件的m的和为，
故选：A．
3．(24-25八上·湖北武汉一初慧泉中学·月考)定义，如．若为两不相等整数，且满足，则的值为（ ）
A．36 B．6 C．8 D．64
【答案】A
【分析】本题考查新定义的实数运算，解答此题的关键是根据题意列出不等式，根据x，y均为整数求出x、y的值即可．
【详解】解：，
解得：，
∵为两不相等整数，
∴
∴时
∴，
∴，
故选A．
4．(2024九·江苏省南通市·二模)定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（ ）
A． B．6 C． D．3
【答案】A
【分析】此题考查了新定义实数问题，解不等式组，分式的化简等知识，
首先根据题意得到，求出，由得到，然后代入，解不等式组求解即可．
【详解】∵，是一对“互助数”
∴
去分母得，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
整理得，
∴
∴或
∴或
∴解得或
但当时，，，不符合题意，
所以或，
∴p的值可以为．
故选：A．
5．(24-25九下·山东泰安宁阳县·期中)定义一种新运算“”，规定当时，；当时，．例如：．如果，那么的值为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、新定义下的有理数运算，正确计算是解题的关键．
根据新定义运算，分两种情况得到方程，解方程即可．
【详解】解：根据题意得：当即时，
，解得：，
当即时，
，解得：，
综上可得：的值为或
故答案为：或．
6．(24-25八下·河北保定第十七中学·期中)对于m，n定义一种新运算T，规定：，即：当时，；当时，，这里等式左边括号里及等式右边的运算都是通常的四则运算．
若关于x的不等式的最大整数解为，则 ．
【答案】或
【分析】此题考查了新定义、解一元一次不等式组和一元一次不等式，正确列出不等式和不等式组是关键．根据题意列出一元一次不等式，解不等式得到，再根据关于的不等式的最大整数解为进行求解即可．
【详解】解：由题意可得，，
∴
解得，
∵关于的不等式的最大整数解为，
∴
解得
∵为最大整数，
∴或；
故答案为：或
7．(24-25七下·湖南衡阳一中教育集团·期末)定义新运算“”，规定当时，；当时，．例如：，．如果，那么x的值为 ．
【答案】2或
【分析】本题主要考查解一元一次方程，一元一次不等式和新定义题型，先判断两个式子的大小，得到一元一次不等式，根据新定义题的题意得到一元一次方程，进而解答即可．
【详解】解：分两种情况讨论：
当时，即，，解得：，，成立；
当时，即，，解得，，成立．
故答案为：2或．
8．我们定义，例如，若，均为整数，且满足，则的值是 ．
【答案】
【来源】专题03 一元一次不等式（知识串讲 热考题型 真题训练）-2023-2024学年八年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（浙教版）
【分析】本题考查了新定义计算，涉及解不等式及整数的计算．先根据定义列不等式解出，再利用，均为整数确定，的值，即可求解．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴，
∵，均为整数，
∴为整数，
∴，
∴时，；时，；时，；时，，
∴或，
故答案为：．
9．(23-24八下·四川成都武侯区·期末)定义：若关于x的不等式组的解集是，且，满足，则称该不等式组的解集是一个“对称集”．已知关于x的不等式组的解集是一个对称集，则c的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了新定义“对称集”，解一元一次不等式组；解不等式组得解集为，由“对称集”的定义，即可求解；理解新定义，会解不等式组是解题的关键．
【详解】解：
解：由①得
，
由②得
，
原不等式组的解集为，
解集是一个对称集，
，
解得：；
故答案为：．
10．(23-24七下·广东惠州仲恺区·期末)定义：把的值叫做不等式组的“长度”若关于的一元一次不等式组解集的“长度”为3，则该不等式组的整数解之和为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，结合题意得出，求出的值即可得出答案．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∵关于的一元一次不等式组解集的“长度”为3，
∴，
解得：，
∴不等式组的解集为：，
∴该不等式组的整数解为：、、、，
∴该不等式组的整数解之和为，
故答案为：．
题型三：一元一次不等式综合
1．定义一种新运算“※”：当时，※；当时，※．例如：3※，※．
(1)计算：※；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了定义新运算，有理数的混合运算，解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤和弄清新定义是关键．
（1）根据公式计算可得；
（2）结合公式对的大小关系进行分类讨论求解之可得．
【详解】（1）解：※，
故答案为：；
（2）解：根据新运算的定义，对的大小进行讨论，
当，即，
根据定义：※，原等式成立；
当，即，
根据定义：※，
整理得：，
解得：，该解满足，
故：或．
2．(24-25七下·湖南长沙中雅培粹双语中学·期末)对x，y定义一种新运算T，
规定：（其中 a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．
(1)已知，．
①求a，b的值；
②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围；
(2)若对任意实数x，y都成立（这里和均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？
【答案】(1)①，②
(2)
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法以及一元一次不等式组的整数解，解题的关键是正确理解新定义运算法则以及整式的加减运算与乘除运算法则．
（1）①根据新定义得到；，解方程组即可得到答案；②根据新定义得到，求出不等式组的解集，再由不等式组恰好有2个整数解进行求解即可；
（2）根据新定义得到，进而得到，据此可得答案．
【详解】（1）解：①根据题意得：
，
解得：，
②由题意得：，
则可以化为，
解得：，
恰有2个整数解，
故
解得
（2）∵对任意实数x，y都成立
即对任意实数都成立
即
3．(24-25七下·湖南长沙开福区长沙立信中学·期末)若关于x的一元一次不等式组的解集为且，则称这样的不等式组为“对称不等式组”如关于的不等式组的解集为，其中，所以该不等式组为“对称不等式组”请同学们根据“对称不等式组”的定义完成以下问题：
(1)判断下列不等式组中哪些是“对称不等式组”_________（请填序号）
① ② ③
(2)若关于x的不等式组为“对称不等式组”且在解集范围内有2025个整数解，求整数a，b的值．
(3)若关于x的不等式组为“对称不等式组”且恰好有7个整数解，求a，b的值或取值范围．
【答案】(1)②
(2)，
(3)或，且
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
（1）根据“对称不等式组”的定义进行判断即可．
（2）根据“对称不等式组”的定义，得到，然后根据整数解的个数得到，，求出整数a，b即可．
（3）分为和两种情况，根据“对称不等式组”的定义得到，然后根据整数解的个数求出a的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵不等式组无解，
∴①不是“对称不等式组”；
解不等式组的，且，
∴②是“对称不等式组”；
解不等式组的，但是前边没有等于，
∴③是“对称不等式组”；
故答案为：②；
（2）解：解不等式组得，
又∵不等式组是“对称不等式组”，
∴，
又∵解集范围内有2025个整数解，
∴ 整数为到，
即，，
解得，；
（3）当时，解不等式组得，
∵不等式组为“对称不等式组”，
∴，
解得，
又∵恰好有7个整数解，
∴，
解得，
当时，解不等式组得，
∴，
解得，
又∵恰好有7个整数解，
∴，
解得，
综上所述，或，且．
4．(24-25七下·江苏无锡锡中实验学校·期末)定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“亲密方程”，例如：的“亲密方程”为．
(1)方程的“亲密方程”为___________；
(2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“亲密方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值；
(3)已知整数，，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“亲密方程”，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，解一元一次不等式组，正确理解新定义是解题的关键．
（1）由亲密方程的定义即可求解；
（2）先求出与它的“亲密方程”组成的方程组的解，代入，得到的关系，再变形代入求值即可；
（3）由 “亲密方程”得到，解得，继而得到不等式组，再求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，方程的“亲密方程”为，
故答案为：；
（2）解：由题意得：，
解得：，
∵，
∴
∴方程组的解为，
∵方程组的解是方程的一个解，
∴，
∴，
∴
；
（3）解：∵是关于，的二元一次方程的“亲密方程”，
∴，
解得：，
∵整数，，，满足条件，
∴，
∴，
∴；
5．(24-25七下·江苏扬州邗江区梅苑双语学校·月考)我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，若A的解都是B的解，则称A与B存在“雅含”关系，且A不等式称为B不等式的“子式”．如A：，B：，满足A的解都是B的解，所以A与B存在“雅含”关系，A是B的“子式”．
(1)若关于x的不等式A：，B：，则A与B存在“雅含”关系，________的“子式”（填“A是B”或“B是A”）；
(2)已知关于x的不等式C：，D：，若C与D存在“雅含”关系，且C是D的“子式”，求a的取值范围；
(3)已知，，，，且k为整数，关于x的不等式P：，Q：，请分析是否存在k，使得P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，若存在，请直接写出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)A与B存在“雅含”关系，B是A的“子式”．
(2)
(3)0或1
【分析】本题考查了不等式组的解法及整数解的确定，求不等式组的解集，应遵循以下原则∶同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
（1）根据“雅含”关系的定义即可判断；
（2）根据“雅含”关系的定义得出，解不等式即可
（3）首先解关于m、n的方程组即可求得m、n的值，然后根据， ，且k为整数即可得到一个关于k的范围，从而求得k的整数值；
【详解】（1）解∶不等式A：的解集为，
A与B存在“雅含”关系，B是A的“子式”．
（2）解：不等式C：的解集为，
不等式D：的解集为，
且C是D的“子式”，
，解得．
（3）解：由 得
，，
解得．
k为整数，
的值为，0，1，2．
不等式P：，整理得；
不等式Q：的解集为．
当时，不等式P的解集是全体实数，
P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”；
当时，不等式P的解集为
不能满足P与Q存在“雅含”关系；
当时，不等式P：的解集为．
P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，
，且，解得．
为整数，
．
综上k的值为0或1．
6．(24-25八下·贵州毕节赫章县第八中学·月考)定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称一元一次方程为这个一元一次不等式组的“子方程”．例如：的解为，的解集为．因为在的范围内，所以是的“子方程”．
(1)方程______不等式组的“子方程”；（填“是”或“不是”）
(2)若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围；
(3)若方程是关于的不等式组的“子方程”，求的取值范围．
【答案】(1)是
(2)
(3)
【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式组，解一元一次不等式，解题的关键是正确理解“子方程”的定义．
（1）求得方程的解和不等式组的解集，即可判断；
（2）求得方程的解和不等式组的解集，即可得出的取值范围；
（3）求得方程的解和不等式组的解集，即可得出的取值范围．
【详解】（1）解：由，得，
由，得，
∵在的范围内，
∴是的“子方程”，
故答案为：是．
（2）解：由，得，
由，得，
∵是不等式组的“子方程”，
∴，
解得，，
答：的取值范围是．
（3）解：由，得，
由，得，
∵是关于的不等式组的“子方程”，
∴，
∴，
答：的取值范围是．
【点睛】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式组，解一元一次不等式，理解定义，掌握解一元一次方程、解一元一次不等式组、解一元一次不等式的步骤是正确解答的前提，理解“子方程”的意义．
7．(24-25七下·山东淄博张店区·期末)定义：如果一个一元一次方程的解也是一个一元一次不等式组的解，那么称这个一元一次方程为这个一元一次不等式组的“友好方程”例如：一元一次方程的解为，一元一次不等式组的解集为，因为，，所以，称一元一次方程是一元一次不等式组的友好方程．
(1)问一元一次方程是否是一元一次不等式组的友好方程？请说明理由；
(2)若关于的一元一次方程是一元一次不等式组的友好方程，求的取值范围；
(3)若一元一次方程和都是关于的一元一次不等式组的友好方程，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)方程是一元一次不等式组的友好方程，理由见解答
(2)的取值范围是
(3)的取值范围为
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组和一元一次方程的解，正确解方程和不等式组是解题的关键．
（1）先求解方程和不等式组，判断一元一次方程的解是不是一元一次不等式组的解即可；
（2）先求解方程和不等式组，再将含有的方程的解代入一元一次不等式组的解中，即可求出的取值范围；
（3）分别求出两个方程的解，再解不等式组，根据友好方程的定义得到关于的不等式组，求出不等式组的解集即可．
【详解】（1）解：方程是一元一次不等式组的友好方程．
理由如下：
解不等式组，
由得；
由得
得：，
解方程，得：，
，
方程是一元一次不等式组的友好方程．
（2）解：解不等式组，
得：，
解方程，
得：，
关于的一元一次方程是一元一次不等式组的友好方程，
，
解得：，
即的取值范围是．
（3）解：解方程，
得，
解方程
∴
得：，
一元一次方程和都是关于的一元一次不等式组的友好方程，
不等式组的解集为，
，
解得．
即的取值范围为．
8．(24-25七下·江苏泰州泰兴·期末)定义：如果一元一次不等式组的解都是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组的解都不是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相斥不等式组”．
(1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的______填序号“相容不等式组”或“相斥不等式组”；
(2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围；
(3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键．
（1）依据题意，由不等式组的解集是，不等式组的解集是，进而可以判断得解；
（2）依据题意，由关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为，则或，进而计算可以得解；
（3）依据题意，由是的“相容不等式组”，则，可得，又和的整数解相同，可得，进而可得，最后即可判断得解．
【详解】（1）解：由题意，不等式组的解集是，不等式组的解集是，
不等式组是不等式组的“相斥不等式组”．
故答案为：．
（2）由题意，关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为，
或．
或．
（3）由题意，是的“相容不等式组”，
．
．
的整数解为，且和的整数解相同，
．
．
．
综上所述：．
9．(24-25七下·甘肃庆阳镇原县·期末)【背景知识】对于实数x，y我们定义一种新运算，其中m，n均为非零常数，等式的右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中叫做线性数的一个数对．若实数x，y都取正整数，我们称为正格线性数，这时的叫做正格线性数的正格数对．
【感受新知】已知，，求的值．
解：由【背景知识】可得，解得，故．
【学以致用】已知，．
（1）填空：______，______；
【综合应用】
（2）若正格线性数，问是否有满足这样条件的正格数对？若有，请找出来；若没有，请说明理由；
【拓展提升】
（3）若正格线性数，求满足的正格数对．
【答案】（1），4；（2）有正格数对，正格数对为：，，；（3），，，
【分析】本题主要考查实数的运算，围绕新定义运算“”展开，通过已知条件建立方程组求解m、n，再利用所得关系解决正格线性数的存在性、取值范围等问题．核心是运用方程思想，结合正整数条件分析求解．
（1）根据新运算M的定义，得，进而求得m与n；
（2）根据正格线性数的定义解决本题；
（3）根据正格线性数的定义解决本题．
【详解】解：（1）根据题意，，，，
，
解得，
故答案为：3，4；
（2）有正格数对，理由如下：
，
，
实数x，y都取正整数，
，
满足的正格数对为：，，；
（3），
又且，
即且，
解得，
为正整数，
，12，13，14，
满足的正格数对为：，，，．
10．(24-25七下·江苏扬州梅岭中学教育集团·期末)定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“学梅方程”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程是不等式的“学梅方程”．反之，若一元一次方程的解不在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“思梅方程”．
(1)在下列方程①；②；③中，不等式组的“学梅方程”是________；（填序号）
(2)若关于x的方程是的“思梅方程”，求a的取值范围．
(3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“学梅方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求m的取值范围．
【答案】(1)②
(2)
(3)
【分析】本题可主要考查解一元一次方程和一元一次不等式（组），再根据“学梅方程”和“思梅方程”的定义来求解；
（1）先分别把三个方程解出来，再把不等式组求出解集，通过比较即可得到答案；
（2）先把看作常数，分别解一元一次方程和一元一次不等式，根据思梅方程的定义，列出关于的不等式，求出解集即可；
（3）先把看作常数，分别解一元一次方程和一元一次不等式组，根据不等式组恰好有3个整数解和学梅方程的定义，列出关于的不等式，求出解集即可；
【详解】（1）解：解不等式，移项可得，即；
解不等式，去括号得，移项合并同类项得，即，两边同时除以2得．
所以不等式组的解集为．
解方程①，得．
解方程②，得．
解方程③，得．
根据“学梅方程”的定义判断 ，因为，5和6不在范围内，
故答案是②．
（2）解：解方程，去括号得，移项合并同类项得，即，两边同时除以 3得．
解不等式的解集 移项可得，即，系数化为1 得 ．
据“思梅方程”的定义，所以2a< ，解得．
综上，的取值范围是．
（3）解：解方程 ，得．
解不等式，得．
解不等式，得．
所以不等式组的解集为．
根据“学梅方程”的定义和整数解的个数，所以，解不等式得；解不等式得，所以．
因为不等式组恰好有3个整数解，即1，2，3，所以，解不等式得；解不等式得，结合 ，可得．
综上，的取值范围是．
11．(24-25八上·山东滨州沾化区·期末)新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记作，即：当x为非负整数时，如果，则；反之，当n为非负整数时，如果，则，如，，，，
试解决下列问题
(1)填空：①___________，
②如果，则实数x的取值范围为___________；
(2)求满足的所有非负实数x的值；
(3)若关于x的不等式组的整数解恰有3个，求a的取值范围．
【答案】(1)①，②
(2)，
(3)
【分析】此题考查的是新定义类问题和解不等式组，理解新定义和掌握不等式组的解法是解决此题的关键．
（1）①根据新定义，即可求出；②根据新定义，即可求出实数的取值范围．
（2）根据新定义，设，k为整数，则，求出k的取值范围，即可求出k的整数值，从而求出x的值．
（3）解不等式组得，根据不等式的整数解即可求出的值，从而求出a的取值范围．
【详解】（1）解：①由题意可得．
故答案为：3．
②，
，
．
故答案为：．
（2）解：，且为整数，
∴设，k为整数，则，
∴，
，，
，
，1，
，．
（3）解：，
解不等式组得，
由不等式组的整数解恰有3个，得，
∵为非负整数，
∴，
∴．
12．(24-25七下·湖南永州蓝山县·期中)我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”、例如：已知方程与不等式，当时，与同时成立，则称是方程和不等式的“梦想解”．
(1)已知①，②，③，则方程的解是它与不等式_____的“梦想解”．（填序号）
(2)若关于的二元一次方程组和不等式有“梦想解”，且为整数，求的值．
(3)若关于的方程组和不等式的“梦想解”均为正数（即“梦想解”中的均为正数），请直接写出的取值范围．
【答案】(1)③
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组）、解一元一次方程等知识点，掌握相关解法是解题的关键．
（1）先求出方程的解和不等式的解集，然后进行判断；
（2）先求出方程组的解和不等式组的解集，根据题意得出关于的不等式组，最后解不等式组即可．
（3）先求出方程组的解集，代入不等式，根据“梦想解”的定义，即可得出．
【详解】（1）解方程，得：，
解①得：，故方程解不是①的“梦想解”；
解②得：，故方程解不是②“梦想解”；
解③得：，故方程解是③的“梦想解”；
即方程的解是不等式③的“梦想解”；
（2）解方程组
得：
∴
∵方程组的解是不等式组的梦想解
∴
∴
为整数，
∴为14或15；
（3）解方程组
得：
均为正数，
解得：
将代入
解得：
综上的取值范围为．
