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专题3.5.2一元一次不等式组的实际应用七大题型
（一课一讲）
题型一：列一元一次不等式组
【例题1】用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里的积存的污水，估计积存的污水超过1200吨而不足1500吨，设用分钟将这些污水抽完，那么根据题意列出的不等式组是（）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】(24-25七下·广西百色县级·期中)在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-3】(23-24七下·广西百色·期中)“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-4】(24-25八上·浙江宁波海曙区·期中)将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，若小朋友的人数为x，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-5】(24-25八下·福建三明建宁县·期中)一本书共98页，张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
题型二：一元一次不等式组实际应用之行程问题
【例题2】小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（ ）
A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈
【变式训练2-1】(24-25六下·黑龙江哈尔滨第十七中学·月考)哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（ ）
A． B．7 C．7 D．7
【变式训练2-2】某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过12时，但不到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 ．
【变式训练2-3】(24-25七下·湖南永州柳子中学·期中)热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示．
(1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）；
(2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小；
(3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数．
【变式训练2-4】(24-25七下·江苏南京秦淮区·期末)如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地 甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发 在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以 的速度行驶，乙车始终以 的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶．
(1)若
①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点”
②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h
(2)已知两车在P处相遇．
①若P与N重合，求V的值；
②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围．
题型三：一元一次不等式组实际应用之工程问题
【例题3】锦潭社区计划对某区域进行绿化，经投标，由甲、乙两个工程队一起来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用天．
（1）求甲、乙两工程队每天各能完成的绿化面积；
（2）若计划绿化的区域面积是，甲队每天绿化费用是万元，乙队每天绿化费用为万元．
①当甲、乙各施工几天，既能刚好完成绿化任务，又能使总费用恰好为万元；
②按要求甲队至少施工天，乙队至多施工天，当甲乙各施工几天，既能刚好完成绿化任务，又使得总费用最少（施工天数不能是小数）并求最少总费用．
【变式训练3-1】某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同.
（1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？
（2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量（以百米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来.
【变式训练3-2】已知某项工程，乙工程队单独完成所需天数是甲工程队单独完成所需天数的两倍，若甲工程队单独做10天后，再由乙工程队单独做15天，恰好完成该工程的，共需施工费用85万元，甲工程队每天的施工费用比乙工程队每天的施工费用多1万元．
（1）单独完成此项工程，甲、乙两工程对各需要多少天？
（2）甲、乙两工程队每天的施工费各为多少万元？
（3）若要完成全部工程的施工费用不超过116万元，且乙工程队的施工天数大于10天，求甲工程队施工天数的取值范围？
【变式训练3-3】(24-25七下·湖北丹江口·期末)随着城镇化建设的开展，我市加快了交通与住房建设，产生了不少建筑渣土，渣土运输公司承包了某工程的渣土运输任务﹐拟派出大、小两种型号的渣土运输车清运渣土，已知3辆大型渣土运输车与4辆小型渣土运输车一次共运输土方吨，5辆大型渣土运输车与5辆小型渣土运输车一次共运输土方吨．
(1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输渣土多少吨？
(2)该渣土运输公司决定派出大，小两种型号的渣土运输车共辆参与运输渣土，每辆大型渣土车一次需费用元，每辆小型渣土车一次需费用元．若运输土方总量不少于87吨，且总费用低于元．请列出所有运输方案；
(3)在（2）的条件下，哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？
【变式训练3-4】(24-25八上·湖北武汉洪山区·期末)2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单独施工则会超过规定工期80天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成．
(1)求这项工程的规定工期是多少天？
(2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a和总工期均为正整数）
【变式训练3-5】习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成．
(1)乙队单独完成这项工程需要几个月？
(2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？
题型四：一元一次不等式组实际应用之经济问题
【例题4】在实施“城乡危旧房改造工程”中，某区计划推出A，B两种新户型．根据预算，建成10套A户型和30套B户型共需资金480万元，建成30套A户型和10套B户型共需资金400万元．
(1)在实施“城乡危旧房改造工程”中，建成一套A户型和一套B户型所需资金分别为多少元？
(2)该区共800套房屋需要改造，改造资金由国家危旧房补贴和地方财政共同承担．若国家补贴拨付的改造资金不少于2 100万，该区财政投入额资金不超过7 700万元，其中，国家财政投入A，B两种户型的改造资金分别为每套2万元和3万元．请你通过计算，表示出A种户型可以建造的数量的范围．
【变式训练4-1】(24-25八下·四川成都东部新区·期末)一家批发兼零售的文具店规定：凡一次性购买铅笔支以上（包括支），可以按批发价付款；购买支以下（不包括支）只能按零售价付款．小明来该店购买铅笔，如果给学校八年级学生每人购买支，那么只能按零售价付款，需要元；如果多购买支，那么可以按批发价付款，需要元．
(1)这个学校八年级的学生总数在什么范围？
(2)如果按批发价购买支与按零售价购买支所付款相同，那么这个八年级学生有多少人？
【变式训练4-2】(24-25七下·陕西咸阳永寿县上邑中学·期末)为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球．已知篮球价格为200元/个，足球价格为150元/个．若学校计划用不超过3550元的总费用购买篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球的数量，求学校购买篮球的数量．
【变式训练4-3】(24-25八下·贵州贵阳南明区北京师范大学贵安新区附属学校·)美丽的滨海城市深圳，不仅阳光充沛，而且特色水果丰富，其中南山荔枝是广东省著名的荔枝品种，某经销商计划从南山购进糯米糍、桂味两种荔枝．已知购进糯米糍2箱，桂味3箱，共需690元；购进糯米糍1箱，桂味4箱，共需720元．
(1)糯米糍、桂味每箱的价格分别是多少元？
(2)该经销商计划用不超过5400元购进糯米糍、桂味共40箱，且糯米糍的箱数不超过桂味箱数的3倍，糯米糍最多为多少箱？
【变式训练4-4】(24-25七下·江苏扬州·期末)青少年读书行动启动后，某中学积极响应，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜2个、乙种书柜3个，共需资金900元；若购买甲种书柜3个，乙种书柜4个，共需资金1250元．
(1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
(2)若该校计划购进这两种规格的书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4300元，则购买甲种书柜至少多少个？
【变式训练4-5】(24-25七下·江苏无锡夏港中学·)苹果的进价是元/千克，香梨的进价是2元/千克；李老板购进苹果的重量比香梨重量的3倍多20千克，一共花费420元；为方便销售，定价均为7元/千克．（销售量取整数）
(1)李老板购进苹果和香梨各多少千克？
(2)前4天，平均每天卖出苹果和香梨共50千克，若每天利润大于268元，且苹果的平均日销售量小于香梨平均日销售量的3倍．问：这4天苹果和香梨的平均日销售量分别是多少千克？
【变式训练4-6】(2025·辽宁省沈阳市·二模)一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300支以上（不包括300支），可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款．小明来该店购买铅笔，如果给学校八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用120元；如果多购买60支，那么可以按批发价付款，同样需用120元．设该校八年级的学生总数为x人．
(1)求八年级的学生总数x的取值范围；
(2)如果按批发价购买360支铅笔与按零售价购买300支所付款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？
题型五：一元一次不等式组实际应用之分配问题
【例题5】春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有 人．
【变式训练5-1】学校现有若干个房间分配给初三班的男生住宿，已知该班男生不足人，若每间住人，则余人无住处；若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）．那么该班的男生人数是 人．
【变式训练5-2】为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？
【变式训练5-3】(24-25八上·浙江金华金东区·期末)某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元．
(1)求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？
(2)考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？
题型六：一元一次不等式组实际应用之方案选择问题
【例题6】随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了购物效率和顾客的满意度．某商场计划购进一批智能机器人，其计划单中部分信息如下：
型号 单价（元） 数量（台） 总金额（元）
型 27000
型 12000
已知计划购进型机器人比购进型机器人多2台，且型机器人的进价比型机器人的进价每台高50%．
(1)求，两种型号的机器人的进价各是多少？
(2)春节将至，为应对购物高峰，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的型机器人的数量不少于型机器人的数量，问该商场如何采购这批机器人？总费用是多少？
【变式训练6-1】(25-26八上·湖南长沙雅礼中学·月考)某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，共需费用元；4台A型空调和5台B型空调，共需费用元．
(1)求A型空调和B型空调每台各需多少元；
(2)若学校计划采购A、B型号空调共台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过元，该校共有哪几种采购方案？
【变式训练6-2】人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．为提高公司员工工作效率，某公司准备引进A类人工智能机器人和B类人工智能机器人若干台．
(1)若购买2台A类人工智能机器人和6台B类人工智能机器人，共需23万元，且每台A类人工智能机器人比B类人工智能机器人便宜0.5万元，求A类人工智能机器人和B类人工智能机器人的单价分别是多少？
(2)现该公司准备购买A类和B类人工智能机器人共12台，其中购买B类人工智能机器人的数量不少于A类人工智能机器人数量的2倍，且总费用不超过35万元，求该公司共有哪几种购买方案？
【变式训练6-3】(24-25七下·云南丽江·期末)“云南鲜花饼”是云南的著名特产．某商店销售A，B两种品牌的鲜花饼，若购买3箱A种鲜花饼和2箱B种鲜花饼共需120元；若购买2箱A种鲜花饼和3箱B种鲜花饼共需105元．
(1)求A种鲜花饼和B种鲜花饼每箱的价格分别是多少元？
(2)若某旅行团计划购买A，B两种鲜花饼共15箱，且A种鲜花饼的数量多于B种鲜花饼的数量，但又不超过B种鲜花饼的数量的2倍，请问有哪几种购买方案？并求出最省钱的购买方案的费用．
【变式训练6-4】为强化国防忧患意识，增强民族凝聚力和向心力，某校组织九年级600名师生到某国防研学营地开展以“深化国防教育，凝聚强国力量”为主题的国防教育活动，学校准备租用大巴车和小客车来接送师生．已知租用4辆大巴车和5辆小客车的租金为6200元，租用3辆大巴车和4辆小客车的租金为4800元，大巴车和小客车载客量分别为40人/辆和25人/辆(此处载客量不计司机)．
(1)每辆大巴车和小客车的租金分别为多少元？
(2)该校准备租用大巴车和小客车共20辆，需要保证每一位参加活动的师生都有座位，且大巴车不超过9辆，那么共有几种租车方案？哪种租车方案最划算？
【变式训练6-5】(24-25七下·浙江台州黄岩区、路桥区·期末)某书店购进两种新书，相关信息如下表：
种新书 种新书
进价（元/本）
售价（元/本） 14 16
(1)该书店购进种新书15本和种新书10本需要240元；购进种新书10本和种新书6本需要152元，求的值；
(2)若该书店购进两种新书共100本，投入资金不少于960元且不超过970元，则有哪几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，若书店售出的种新书每本捐出元给当地福利院，种新书售价不变，则书店应如何进货才能获得最大利润？
【变式训练6-6】(25-26八上·湖南长沙长郡梅溪湖中学·期中)近年来随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递22万件；
B型机器人每台每天可分拣快递18万件．
(1)求A、B两种型号智能机器人的单价；
(2)现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，需要每天分拣快递不少于200万件，购买机器人的总费用不超过750万元，则有哪几种购买方案？
题型七：一元一次不等式组实际应用之阶梯收费问题
【例题7】如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车．它的收费标准如下：洗车13分钟内（包括13分钟）收费6元，超出后加收元/分钟，不足一分钟按一分钟计算．某同学的爸爸洗车花费了元，请你写出洗车的时间的范围（单位：分钟） ．
【变式训练7-1】某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围 ．
【变式训练7-2】(24-25七下·辽宁大连西岗区·期末)大连地铁票收费标准如下：
不超过，2元人次；超过到（含），元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过到（含），8元/人次； 超过部分，票价每增加元可再乘坐．
一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为 ．
【变式训练7-3】(24-25七下·重庆第七中学校·期中)为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）．
价目表
每月用水量 单价
不超出6立方米的部分 2元/立方米
超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米
超出10立方米的部分 8元/立方米
(1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元；
(2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示）
(3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？中小学教育资源及组卷应用平台
专题3.5.2一元一次不等式组的实际应用七大题型
（一课一讲）
题型一：列一元一次不等式组
【例题1】用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里的积存的污水，估计积存的污水超过1200吨而不足1500吨，设用分钟将这些污水抽完，那么根据题意列出的不等式组是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，熟练掌握“抽水量抽水速度抽水时间”以及根据不等关系列不等式组是解题的关键．根据抽水机的抽水速度、抽水时间与污水量的关系，结合污水量的范围列出不等式组．
【详解】解：由题意可得
故选：C．
【变式训练1-1】(24-25七下·广西百色县级·期中)在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．根据题意，总棵数在两种情况下保持不变，当每人植树3棵时，最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），由此建立不等式组即可．
【详解】解：设该班同学人数为人，则植树的总棵数为棵，位同学植树棵数为，
最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），可列不等式组为：．
故选：B．
【变式训练1-2】某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】考查了列不等式，正确理解收费标准是关键．设他行驶的路程为千米，则付费，根据不足1千米按1千米计算，可得答案．
【详解】解：设他行驶的路程为千米，
∴，
故选A
【变式训练1-3】(23-24七下·广西百色·期中)“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题目中的不等关系，列出不等式组．
设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组．
【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个，
由题意得．
故选：C．
【变式训练1-4】(24-25八上·浙江宁波海曙区·期中)将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，若小朋友的人数为x，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由“每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果，且小朋友的人数为”，可得出这箱苹果共个，结合“若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个”，即可列出关于的一元一次不等式组，此题得解．
【详解】解：每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果，且小朋友的人数为，
这箱苹果共个，
每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据各数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题关键．
【变式训练1-5】(24-25八下·福建三明建宁县·期中)一本书共98页，张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由“张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完”可建立不等式组．
【详解】解：设张力平均每天读x页，则李永平均每天读页
由“张力读了一周（7天）还没读完”可得：
由“李永不到一周就已读完” 可得：
故：
故选：A．
【点睛】本题考查列一元一次不等式组．正确理解题意是解题关键．
题型二：一元一次不等式组实际应用之行程问题
【例题2】小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（ ）
A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了圈时，他的运动里程数小于，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出的取值范围，再根据，代入求出的取值即可．
【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，
∴当小明跑了圈时，他的运动里程数小于，
设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，根据题意，得，
解得，
∴
∴，
又，
∴，
∴，
∴整数，
即他一共跑的圈数是17，
故选：D．
【变式训练2-1】(24-25六下·黑龙江哈尔滨第十七中学·月考)哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（ ）
A． B．7 C．7 D．7
【答案】D
【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，根据超过部分每千米2元，求出超过的千米数为千米，根据不足1千米按1千米计，实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米，据此列出不等式组解不等式组即可．
【详解】解：∵总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，超过部分每千米2元，
∴超过的千米数为千米，
∵不足1千米按1千米计，
∴实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米，
∴，
解得：，
故选：D．
【变式训练2-2】某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过12时，但不到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 ．
【答案】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，理解题意是解题的关键．设A、B两地相距x千米，根据到B地时已过12时，但不到12时10分，列一元一次不等式组即可．
【详解】解：根据题意，得，
故答案为：．
【变式训练2-3】(24-25七下·湖南永州柳子中学·期中)热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示．
(1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）；
(2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小；
(3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数．
【答案】(1)
(2)
(3)7
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，正确理解题意，得出不等式是解题的关键．
（1）由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于；
（2）利用不等式的基本性质求解即可；
（3）设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值范围即可．
【详解】（1）解：由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，
∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数；
（2）解：∵
∴
∴；
（3）解：设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，
由题意得：，
解得：，
∴，
∴
又∵李子宸同学跑到时恰好回到起点，
，
∴，
∴，
∵x是正整数，
∴，即此时小明总共跑的圈数为7．
【变式训练2-4】(24-25七下·江苏南京秦淮区·期末)如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地 甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发 在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以 的速度行驶，乙车始终以 的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶．
(1)若
①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点”
②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h
(2)已知两车在P处相遇．
①若P与N重合，求V的值；
②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围．
【答案】(1)①M，N；②
(2)①，②或
【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果；
②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间；
①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度；
②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果．
本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解：①依题意，，，，
，
甲车从A地出发，始终以的速度行驶，
甲车2小时共行驶了，
甲车出发2小时，行至M处，
乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶，
乙车共行驶了，
乙车行至N处，
故答案为：M，N；
②甲车行至的中点时，所用时间为：，
此时乙车行驶所用时间：，
故答案为：；
（2）①两车在P处相遇，P与N重合，
甲车所用时间为，
此时乙车所用时间为，
乙车的速度为；
②P在非施工道路上不与M，N重合，
若P在上，设甲的行驶时间为t，则，
此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为，
，
，
，
解得，
限速为，
，
若P在上，设甲的行驶时间为t，，
则，
此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为，
，
，
，
解得，
限速为，
，
综上所述或．
题型三：一元一次不等式组实际应用之工程问题
【例题3】锦潭社区计划对某区域进行绿化，经投标，由甲、乙两个工程队一起来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用天．
（1）求甲、乙两工程队每天各能完成的绿化面积；
（2）若计划绿化的区域面积是，甲队每天绿化费用是万元，乙队每天绿化费用为万元．
①当甲、乙各施工几天，既能刚好完成绿化任务，又能使总费用恰好为万元；
②按要求甲队至少施工天，乙队至多施工天，当甲乙各施工几天，既能刚好完成绿化任务，又使得总费用最少（施工天数不能是小数）并求最少总费用．
【答案】（1）甲每天绿化，乙每天绿化；（2）①甲施工天，乙施天；②甲施工天，乙施工天时，费用最小为万元
【分析】（1）设乙队每天能完成绿化面积xm2，则甲队每天能完成绿化面积1.5xm2，则，解得x＝50，经检验，x＝50是该方程的根，即可得出结果；
（2）①设甲施工天，乙施工天，得到 ，计算即可得到答案；②设甲施工天，乙施工天，可得， 由于乙队至多施工天，则，解得．故费用，再进行计算即可得到答案.
【详解】解：（1）设乙每天绿化面积为，则甲的绿化面积为，由题意得
，
解得，
经检验是原分式方程的解，
甲每天绿化，乙每天绿化．
（2）①设甲施工天，乙施工天，
解得
甲施工天，乙施天．
②设甲施工天，乙施工天，
，
．
乙队至多施工天，
，解得．
费用．
，
越大费用就越大
且天数不能是小数，
要为偶数，
最小为，
费用为（万元），
即甲施工天，乙施工天时，费用最小为万元．
【点睛】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是掌握分式方程的应用，一元一次不等式组的应用.
【变式训练3-1】某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同.
（1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？
（2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量（以百米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来.
【答案】（1）甲、乙工程队每天分别能铺设米和米.
（2）所以分配方案有3种．
方案一：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米；
方案二：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米；
方案三：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米．
【分析】（1）设甲工程队每天能铺设x米．根据甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同，列方程求解；
（2）设分配给甲工程队y米，则分配给乙工程队（1000-y）米．根据完成该项工程的工期不超过10天，列不等式组进行分析．
【详解】（1）解：设甲工程队每天能铺设米，则乙工程队每天能铺设（）米.
根据题意得：.解得.
检验:是原分式方程的解.
答：甲、乙工程队每天分别能铺设米和米.
（2）解：设分配给甲工程队米，则分配给乙工程队（）米.
由题意，得
解得．
所以分配方案有3种．
方案一：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米；
方案二：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米；
方案三：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米．
【变式训练3-2】已知某项工程，乙工程队单独完成所需天数是甲工程队单独完成所需天数的两倍，若甲工程队单独做10天后，再由乙工程队单独做15天，恰好完成该工程的，共需施工费用85万元，甲工程队每天的施工费用比乙工程队每天的施工费用多1万元．
（1）单独完成此项工程，甲、乙两工程对各需要多少天？
（2）甲、乙两工程队每天的施工费各为多少万元？
（3）若要完成全部工程的施工费用不超过116万元，且乙工程队的施工天数大于10天，求甲工程队施工天数的取值范围？
【答案】（1）甲、乙两工程队各需要25天和50天；
（2）甲工程队每天的施工费为4万元，乙工程队每天的施工费为3万元；
（3）取值范围是：17≤m＜20．
【详解】分析：（1）设甲工程队单独施工完成此项工程的天数为x天，乙工程队单独施工完成此项工程的天数为2x天，根据工程队单独做10天后，再由乙工程队单独做15天，恰好完成该工程的，列方程求解即可；
（2）设甲工程队每天的施工费为a万元，则乙工程队每天的施工费为（a-1）万元，根据甲队的10天的总费用+乙队15天的总费用=85”列方程求解可得；
（3）根据题意表示出甲、乙两队的施工天数，再根据不等关系：①甲队施工总费用+乙队施工总费用≤116，②乙队施工天数＞10，列出不等式组，求出范围．
详解：（1）设甲工程队单独施工完成此项工程的天数为x天，乙工程队单独施工完成此项工程的天数为2x天，根据题意得：
+=，
解得：x=25，
经检验：x=25是原方程的根，
则2x=25×2=50（天），
答：甲、乙两工程队各需要25天和50天；
（2）设甲工程队每天的施工费为a万元，则乙工程队每天的施工费为（a-1）万元，
根据题意得：10a+15（a-1）=85，
解得：a=4，
则a-1=3（万元），
答：甲工程队每天的施工费为4万元，乙工程队每天的施工费为3万元；
（3）设全部完成此项工程中，甲队施工了m天，
则甲完成了此项工程的，乙队完成了此项工程的（），
故乙队在全部完成此项工程中，施工时间为：=50-2m（天），
根据题意得：，
解得：17≤m＜20．
答：甲工程队施工天数m的取值范围是：17≤m＜20．
点睛：本题考查分式方程、一元一次一次方程、一元一次不等式组的应用，分析题意，找到合适的等量关系，列出方程和不等式组是解决问题的关键，注意分式方程要检验．
【变式训练3-3】(24-25七下·湖北丹江口·期末)随着城镇化建设的开展，我市加快了交通与住房建设，产生了不少建筑渣土，渣土运输公司承包了某工程的渣土运输任务﹐拟派出大、小两种型号的渣土运输车清运渣土，已知3辆大型渣土运输车与4辆小型渣土运输车一次共运输土方吨，5辆大型渣土运输车与5辆小型渣土运输车一次共运输土方吨．
(1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输渣土多少吨？
(2)该渣土运输公司决定派出大，小两种型号的渣土运输车共辆参与运输渣土，每辆大型渣土车一次需费用元，每辆小型渣土车一次需费用元．若运输土方总量不少于87吨，且总费用低于元．请列出所有运输方案；
(3)在（2）的条件下，哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？
【答案】(1)一辆大型渣土运输车一次运输8吨，一辆小型渣土运输车一次运输5吨
(2)有三种派车方案，第一种方案：大型运输车9辆，小型运输车3辆；第二种方案：大型运输车辆，小型运输车2辆；第三种方案：大型运输车辆，小型运输车1辆
(3)大型运输车9辆，小型运输车3辆所需费用最少，最少费用是元
【分析】本题考查了方程组的应用，不等式组的应用，熟练掌握解方程组，不等式组是解题的关键．
（1）设一辆大型渣土运输车一次运输x吨，一辆小型渣土运输车一次运输y吨，根据3辆大型渣土运输车与4辆小型渣土运输车一次共运输土方吨，5辆大型渣土运输车与5辆小型渣土运输车一次共运输土方吨，列方程组求解即可．
（2）设该渣土运输公司决定派出大型渣土运输车m辆，则小型渣土运输车()辆．根据运输土方总量不少于吨，且总费用低于元列不等式组，并求整数解即可．
（3）分别计算，比较大小解答即可．
【详解】（1）解：设一辆大型渣土运输车一次运输x吨，一辆小型渣土运输车一次运输y吨，
则，
解得．
即一辆大型渣土运输车一次运输8吨，一辆小型渣土运输车一次运输5吨．
（2）解：设该渣土运输公司决定派出大型渣土运输车m辆，则小型渣土运输车辆．
由题意可得，，
解得： ，
故有三种派车方案，
第一种方案：大型运输车9辆，小型运输车3辆；
第二种方案：大型运输车辆，小型运输车2辆；
第三种方案：大型运输车辆，小型运输车1辆．
（3）解：方案1费用：元；
方案2费用：元；
方案3费用：元；
∵，
∴大型运输车9辆，小型运输车3辆所需费用最少，最少费用是元．
【变式训练3-4】(24-25八上·湖北武汉洪山区·期末)2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单独施工则会超过规定工期80天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成．
(1)求这项工程的规定工期是多少天？
(2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a和总工期均为正整数）
【答案】(1)120天
(2)当，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天；当，具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天；当，具体施工方案甲、乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天．
【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及不等式组的应用；
（1）设这项工程的规定工期是t天，根据甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成，再建立分式方程求解即可；
（2）由（1）求解甲队工作效率，乙队工作效率，设缩短后总工期t天，可得，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：设这项工程的规定工期是t天，
根据题意得：，
解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，
答：这项工程的规定工期是120天；
（2）解：由（1）得甲队工作效率，乙队工作效率，
设缩短后总工期t天，
根据题意得：，
解得：，
∵，均为正整数且由实际可知，
∴，
得
故当，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天；
当，具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天；
当，具体施工方案甲、乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天．
【变式训练3-5】习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成．
(1)乙队单独完成这项工程需要几个月？
(2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？
【答案】(1)乙队需要16个月完成
(2)方案一：甲队作6个月，乙队作4个月；方案二：甲队作7个月，乙队作4个月．方案一最省钱，费用为126万元．
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，正确列出方程和不等式组是解答本题的关键．
（1）设完成本项工程的工作总量为1，由题意可知，从而得出x=15． 即单独完成这项工程需要15个月．
（2）根据工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工列出方程组，得出a的取值范围，确定工程方案，再求出费用即可．
【详解】（1）设乙队需要x个月完成，根据题意得：，
解得，
经检验是原方程的根
答：乙队需要16个月完成；
（2）根据题意得：，
解得
方案一：甲队作6个月，乙队作4个月，万元；
方案二：甲队作7个月，乙队作4个月，万元；
所以方案一最省钱，费用为126万元．
题型四：一元一次不等式组实际应用之经济问题
【例题4】在实施“城乡危旧房改造工程”中，某区计划推出A，B两种新户型．根据预算，建成10套A户型和30套B户型共需资金480万元，建成30套A户型和10套B户型共需资金400万元．
(1)在实施“城乡危旧房改造工程”中，建成一套A户型和一套B户型所需资金分别为多少元？
(2)该区共800套房屋需要改造，改造资金由国家危旧房补贴和地方财政共同承担．若国家补贴拨付的改造资金不少于2 100万，该区财政投入额资金不超过7 700万元，其中，国家财政投入A，B两种户型的改造资金分别为每套2万元和3万元．请你通过计算，表示出A种户型可以建造的数量的范围．
【答案】(1)建成一套A种户型住房所需的资金是9万元，一套B种户型住房所需的资金是13万元；
(2)A种户型至少可以建100套，最多可以建300套．
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用、一元一次不等式组的实际应用：
（1）设建成一套A种户型住房所需的资金是a元，一套B种户型住房所需的资金是b元，列出方程组即可解决问题．
（2）设A种户型有x套，则B种户型有套．列出不等式组即可解决问题．
【详解】（1）解：设建成一套A种户型住房所需的资金是a万元，一套B种户型住房所需的资金是b万元，
根据题意得：，
解得：，
答：建成一套A种户型住房所需的资金是9万元，一套B种户型住房所需的资金是13万元；
（2）解：①设A种户型可以建x套，则B种户型可以建套，
根据题意得：，
解得：，
答：A种户型至少可以建100套，最多可以建300套．
【变式训练4-1】(24-25八下·四川成都东部新区·期末)一家批发兼零售的文具店规定：凡一次性购买铅笔支以上（包括支），可以按批发价付款；购买支以下（不包括支）只能按零售价付款．小明来该店购买铅笔，如果给学校八年级学生每人购买支，那么只能按零售价付款，需要元；如果多购买支，那么可以按批发价付款，需要元．
(1)这个学校八年级的学生总数在什么范围？
(2)如果按批发价购买支与按零售价购买支所付款相同，那么这个八年级学生有多少人？
【答案】(1)这个学校八年级的学生总数不少于人且少于人；
(2)这个八年级学生有人．
【分析】本题考查了不等式组的应用，分式方程的应用，读懂题意，列出不等式组，分式方程是解题的关键．
（）设这个学校八年级有人，根据题意得，然后解不等式组即可；
（）设铅笔的零售价为元支，则批发价为元支，根据题意得，然后解分式方程并检验即可．
【详解】（1）解：设这个学校八年级有人，
根据题意得：，
解得：，
答：这个学校八年级的学生总数不少于人且少于人；
（2）解：设铅笔的零售价为元支，则批发价为元支，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是方程的解，且符合题意，
∴（人），
答：这个八年级学生有人．
【变式训练4-2】(24-25七下·陕西咸阳永寿县上邑中学·期末)为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球．已知篮球价格为200元/个，足球价格为150元/个．若学校计划用不超过3550元的总费用购买篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球的数量，求学校购买篮球的数量．
【答案】
【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用，找出不等关系并列出不等式组是解题的关键．
根据总费用不超过3550元，购买篮球的数量多于购买足球的数量，列出不等式组，求解即可．
【详解】设购买篮球个，则购买足球个，根据题意，得
，
解得：，
∵篮球和足球的数量是整数，
∴，
答：学校购买篮球个．
【变式训练4-3】(24-25八下·贵州贵阳南明区北京师范大学贵安新区附属学校·)美丽的滨海城市深圳，不仅阳光充沛，而且特色水果丰富，其中南山荔枝是广东省著名的荔枝品种，某经销商计划从南山购进糯米糍、桂味两种荔枝．已知购进糯米糍2箱，桂味3箱，共需690元；购进糯米糍1箱，桂味4箱，共需720元．
(1)糯米糍、桂味每箱的价格分别是多少元？
(2)该经销商计划用不超过5400元购进糯米糍、桂味共40箱，且糯米糍的箱数不超过桂味箱数的3倍，糯米糍最多为多少箱？
【答案】(1)糯米糍每箱的价格是元，桂味每箱的价格是元
(2)糯米糍最多为箱
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
（1）设糯米糍每箱的价格是元，桂味每箱的价格是元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解；
（2）设糯米糍有箱，则桂味有箱，据题意列出一元一次不等式组，解不等式组得出，即可求解．
【详解】（1）解：设糯米糍每箱的价格是元，桂味每箱的价格是元，
根据题意得：，
解得：，
答：糯米糍每箱的价格是元，桂味每箱的价格是元；
（2）解：设糯米糍有箱，则桂味有箱，
由题意可得：
解得：，
为正整数，
糯米糍最多为箱．
【变式训练4-4】(24-25七下·江苏扬州·期末)青少年读书行动启动后，某中学积极响应，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜2个、乙种书柜3个，共需资金900元；若购买甲种书柜3个，乙种书柜4个，共需资金1250元．
(1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
(2)若该校计划购进这两种规格的书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4300元，则购买甲种书柜至少多少个？
【答案】(1)甲种书柜单价为150元，乙种书柜的单价为200元
(2)甲种书柜至少购买10个
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，找出等量关系式和不等关系式是解题的关键．
（1）根据若购买甲种书柜2个、乙种书柜3个，共需资金900元；若购买甲种书柜3个，乙种书柜4个，共需资金1250元列方程组，即可求解；
（2）根据乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4300元列出不等式组即可求解．
【详解】（1）设甲种书柜单价为元，乙种书柜的单价为元，由题意得：
，
解之得：，
答：甲种书柜单价为150元，乙种书柜的单价为200元．
（2）设甲种书柜购买个，则乙种书柜购买个；
由题意得：，
解之得：，
所以甲种书柜至少购买10个．
【变式训练4-5】(24-25七下·江苏无锡夏港中学·)苹果的进价是元/千克，香梨的进价是2元/千克；李老板购进苹果的重量比香梨重量的3倍多20千克，一共花费420元；为方便销售，定价均为7元/千克．（销售量取整数）
(1)李老板购进苹果和香梨各多少千克？
(2)前4天，平均每天卖出苹果和香梨共50千克，若每天利润大于268元，且苹果的平均日销售量小于香梨平均日销售量的3倍．问：这4天苹果和香梨的平均日销售量分别是多少千克？
【答案】(1)李老板购进香梨千克，苹果千克；
(2)这4天平均每天卖出苹果千克，则平均每天卖出香梨千克．
【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出方程或不等式是解题的关键．
（1）设李老板购进香梨千克，苹果千克，根据题意列出方程求解，即可解题；
（2）设这4天平均每天卖出苹果千克，则平均每天卖出香梨千克，根据题意列出不等式组求解，即可解题．
【详解】（1）解：设李老板购进香梨千克，苹果千克，
根据题意得：，
解得，
则（千克），
答：李老板购进香梨千克，苹果千克；
（2）解：设这4天平均每天卖出苹果千克，则平均每天卖出香梨千克，
每天利润大于268元，
，
解得，
苹果的平均日销售量小于香梨平均日销售量的3倍．
，
解得，
综上，，且销售量取整数，
，则（千克），
答：这4天平均每天卖出苹果千克，则平均每天卖出香梨千克．
【变式训练4-6】(2025·辽宁省沈阳市·二模)一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300支以上（不包括300支），可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款．小明来该店购买铅笔，如果给学校八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用120元；如果多购买60支，那么可以按批发价付款，同样需用120元．设该校八年级的学生总数为x人．
(1)求八年级的学生总数x的取值范围；
(2)如果按批发价购买360支铅笔与按零售价购买300支所付款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？
【答案】(1)八年级的学生总数x的取值范围为
(2)这个学校八年级学生有300人
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出分式方程．
（1）根据“给八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款；多购买60支，可以按批发价付款”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围；
（2）由按批发价购买360支与按零售价购买300支付款相同，可得出批发价是零售价的，利用单价总价数量，结合批发价是零售价的，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得：，
答：的取值范围为；
（2）解：按批发价购买360支与按零售价购买300支付款相同，
批发价是零售价的．
根据题意得：，
解得：．
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：这个学校八年级学生有300人．
题型五：一元一次不等式组实际应用之分配问题
【例题5】春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有 人．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．
设预定每组分配人，根据两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人，列出不等式方程组求解即可．
【详解】解：设预定每组分配人，根据题意可得：
解得：
∵为整数，
∴，
故答案为：．
【变式训练5-1】学校现有若干个房间分配给初三班的男生住宿，已知该班男生不足人，若每间住人，则余人无住处；若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）．那么该班的男生人数是 人．
【答案】
【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用，解决本题的关键是读懂题意，并根据题意列出不等式组．设有间宿舍，利用“若每间住人，则余人无住处”得出总人数为，利用“若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）”列式求出范围，再结合为正整数，依次对的值进行判断该班男生是否不足人，即可求解．
【详解】解：设有间宿舍．
根据题意，得：，
解得：，
因为为正整数，
当时，人数为；
当时，人数为；
当时，人数为；
因为该班男生不足人，
所以该班的男生人数是人，
故答案为：．
【变式训练5-2】为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？
【答案】全班至少有25人，至多有27人
【分析】本题考查的是二元一次方程与不等式组的应用，设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得，再进一步解题即可．
【详解】解：设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得
由①得：，
将代入②，得，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∵是正整数，
∴全班至少有25人，至多有27人．
【变式训练5-3】(24-25八上·浙江金华金东区·期末)某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元．
(1)求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？
(2)考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？
【答案】(1)A型50元，B型100元；
(2)A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件
【分析】本题考查了二元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系．
（1）设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元，根据若采购A型10件，B型5件，需要1000元；若采购A型5件，B型3件，需要550元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件，根据采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，根据两种纪念品一共花费4000元，列出二元一次方程，整理得，再根据采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，且不超过B型纪念品数量的8倍，得出，解得，然后求出正整数解，即可得出答案．
【详解】（1）解：设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元，
依题意得：
，
解得：，
答：采购A型纪念品每件需50元，采购B型纪念品每件需100元；
（2）解：设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件，
由题意得：，
整理得：，
由题意可知，，
∴，
解得：，
∵n为正整数
∴n为8或9或10，
当时，；
当时，；
当时，；
∴A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件．
题型六：一元一次不等式组实际应用之方案选择问题
【例题6】随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了购物效率和顾客的满意度．某商场计划购进一批智能机器人，其计划单中部分信息如下：
型号 单价（元） 数量（台） 总金额（元）
型 27000
型 12000
已知计划购进型机器人比购进型机器人多2台，且型机器人的进价比型机器人的进价每台高50%．
(1)求，两种型号的机器人的进价各是多少？
(2)春节将至，为应对购物高峰，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的型机器人的数量不少于型机器人的数量，问该商场如何采购这批机器人？总费用是多少？
【答案】(1)型机器人的进价为4500元；型机器人的进价为3000元；
(2)商场应购买型机器人3台，型机器人2台，总费用为19500元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确的列出二元一次方程组和一元一次不等式组并求解是解题的关键．
（1）设型机器人的进价为元，则型机器人进价为元，设购进型机器人台，则购进型机器人台，根据题意列出方程组，解方程即可．
（2）设再次购买型机器人台，则购买型机器人台，根据题意列出不等式组，解不等式即可．
【详解】（1）解：设B型机器人进价为元，购进B型机器人台，则型机器人进价为元，购进型机器人台，
根据题意，可列方程，
解得，
即B型机器人进价为3000元，型机器人进价为元．
（2）解：设再次购买型机器人a台，则购买型机器人台，
根据题意，得，
解得，
由于为整数，所以，
总费用为元，
故商场应购买型机器人3台，B型机器人2台，总费用为19500元．
【变式训练6-1】(25-26八上·湖南长沙雅礼中学·月考)某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，共需费用元；4台A型空调和5台B型空调，共需费用元．
(1)求A型空调和B型空调每台各需多少元；
(2)若学校计划采购A、B型号空调共台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过元，该校共有哪几种采购方案？
【答案】(1)A型空调每台需元，B型空调每台需元
(2)见解析
【分析】本题考查了销售、利润问题(二元一次方程组的应用)，不等式组的方案选择问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
（1）设型空调单价为元，型空调单价为元，根据题意，列出方程组求解；
（2）设型空调购台，则型空调购台，根据题意，列出不等式组求解，再求出正整数解即可得方案．
【详解】（1）解：设型空调单价为元，型空调单价为元，
则，
解得：，
答：A型空调每台需元，B型空调每台需元；
（2）解：设型空调购台，则型空调购台，
则，
解得：，
对应方案为：
①，，费用：（元）；
②，，费用：（元）；
③，，费用：（元），
因此共有三种采购方案．
【变式训练6-2】人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．为提高公司员工工作效率，某公司准备引进A类人工智能机器人和B类人工智能机器人若干台．
(1)若购买2台A类人工智能机器人和6台B类人工智能机器人，共需23万元，且每台A类人工智能机器人比B类人工智能机器人便宜0.5万元，求A类人工智能机器人和B类人工智能机器人的单价分别是多少？
(2)现该公司准备购买A类和B类人工智能机器人共12台，其中购买B类人工智能机器人的数量不少于A类人工智能机器人数量的2倍，且总费用不超过35万元，求该公司共有哪几种购买方案？
【答案】(1)类人工智能机器人的单价为2.5万元，类人工智能机器人的单价为3万元；
(2)方案①4台A类、8台B类；方案②3台A类、9台B类；方案③2台A类、10台B类．
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题意，找出关系，列出方程组和不等式组是解题的关键．
（）设类人工智能机器人的单价为万元，类人工智能机器人的单价为万元，根据题意列方程组求解即可；
（）设购买类人工智能机器人的数量为台，则购买类人工智能机器人的数量为台，根据题意得，然后解不等式组即可．
【详解】（1）解：设类人工智能机器人的单价为万元，类人工智能机器人的单价为万元，
由题意可得，
解得
答：类人工智能机器人的单价为2.5万元，类人工智能机器人的单价为3万元．
（2）设购买类人工智能机器人的数量为台，则购买类人工智能机器人的数量为台．
根据题意得
解得．
共有三种购买方案，购买方案如下：①4台A类、8台B类；②3台A类、9台B类；③2台A类、10台B类．
【变式训练6-3】(24-25七下·云南丽江·期末)“云南鲜花饼”是云南的著名特产．某商店销售A，B两种品牌的鲜花饼，若购买3箱A种鲜花饼和2箱B种鲜花饼共需120元；若购买2箱A种鲜花饼和3箱B种鲜花饼共需105元．
(1)求A种鲜花饼和B种鲜花饼每箱的价格分别是多少元？
(2)若某旅行团计划购买A，B两种鲜花饼共15箱，且A种鲜花饼的数量多于B种鲜花饼的数量，但又不超过B种鲜花饼的数量的2倍，请问有哪几种购买方案？并求出最省钱的购买方案的费用．
【答案】(1)A种鲜花饼和B种鲜花饼每箱的价格分别是元和元；
(2)有三种购买方案：购买种鲜花饼箱，购买种鲜花饼箱；
购买种鲜花饼箱，购买种鲜花饼箱；
购买种鲜花饼箱，购买种鲜花饼箱；
当购买种鲜花饼箱，购买种鲜花饼箱最省钱，费用为元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等组的应用，掌握相关知识是解题的关键．
（1）设A种鲜花饼和B种鲜花饼每箱的价格分别是元和元，依题意列出方程组求解即可；
（2）设购买种鲜花饼箱，则购买种鲜花饼箱，依题意列了不等式组，求解即可得出答案．
【详解】（1）解：设A种鲜花饼和B种鲜花饼每箱的价格分别是元和元，依题意得：
，
解得：，
答：A种鲜花饼和B种鲜花饼每箱的价格分别是元和元；
（2）解：设购买种鲜花饼箱，则购买种鲜花饼箱，依题意得：
，
解得：，
∵为整数，
∴，
当购买种鲜花饼箱，则种鲜花饼箱，费用为：元，
当购买种鲜花饼箱，则种鲜花饼箱，费用为：元，
当购买种鲜花饼箱，则种鲜花饼箱，费用为：元，
∴最省钱的方案为：当购买种鲜花饼箱，则种鲜花饼箱，费用为元．
【变式训练6-4】为强化国防忧患意识，增强民族凝聚力和向心力，某校组织九年级600名师生到某国防研学营地开展以“深化国防教育，凝聚强国力量”为主题的国防教育活动，学校准备租用大巴车和小客车来接送师生．已知租用4辆大巴车和5辆小客车的租金为6200元，租用3辆大巴车和4辆小客车的租金为4800元，大巴车和小客车载客量分别为40人/辆和25人/辆(此处载客量不计司机)．
(1)每辆大巴车和小客车的租金分别为多少元？
(2)该校准备租用大巴车和小客车共20辆，需要保证每一位参加活动的师生都有座位，且大巴车不超过9辆，那么共有几种租车方案？哪种租车方案最划算？
【答案】(1)每辆大巴车租金为800元，每辆小客车的租金为600元
(2)共有3种租车方案，租用大巴车7辆，租用小客车13辆最划算
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准数量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）设每辆大巴车租金为a元，每辆小客车的租金为b元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设租用大巴车x辆，则租用小客车辆，根据“需要保证每一位参加活动的师生都有座位，且大巴车不超过9辆”列出一元一次不等式组，解不等式组，即可得到租车方案；写出所有设计方案，再求出每个方案的费用，然后比较即可．
【详解】（1）解：设每辆大巴车租金为a元，每辆小客车的租金为b元，
由题意得，
解得．
答：每辆大巴车租金为800元，每辆小客车的租金为600元；
（2）解：设租用大巴车x辆，则租用小客车辆，
由题意得，
解得．
∵x为整数，
∴x为7或8或9，
∴有三种租车方案；
方案1：租用大巴车7辆，租用小客车13辆，费用为：（元）；
方案2：租用大巴车8辆，租用小客车12辆，费用为：（元）；
方案3：租用大巴车9辆，租用小客车11辆，费用为：（元）；
∵，
∴租用大巴车7辆，租用小客车13辆最划算．
【变式训练6-5】(24-25七下·浙江台州黄岩区、路桥区·期末)某书店购进两种新书，相关信息如下表：
种新书 种新书
进价（元/本）
售价（元/本） 14 16
(1)该书店购进种新书15本和种新书10本需要240元；购进种新书10本和种新书6本需要152元，求的值；
(2)若该书店购进两种新书共100本，投入资金不少于960元且不超过970元，则有哪几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，若书店售出的种新书每本捐出元给当地福利院，种新书售价不变，则书店应如何进货才能获得最大利润？
【答案】(1)的值为8，的值为12
(2)有三种购买方案：①购进种新书58本，种新书42本；②购进种新书59本，种新书41本；③购进种新书60本，种新书40本
(3)书店购进种新书60本，种新书40本才能获得最大利润
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、整式加减的应用，正确建立方程组和不等式组的应用是解题关键．
（1）根据题意建立二元一次方程组，解方程组即可得；
（2）设该书店购进种新书本，则购进种新书本，根据题意建立一元一次不等式组，求出不等式组的解集，再根据为正整数解答即可得；
（3）分别求出三种方案的利润，再根据整式的加减法则比较大小，由此即可得．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得，
答：的值为8，的值为12．
（2）解：设该书店购进种新书本，则购进种新书本，
由题意得：，
解得，
因为为正整数，
所以有三种购买方案：①购进种新书58本，种新书42本；②购进种新书59本，种新书41本；③购进种新书60本，种新书40本，
答：有三种购买方案：①购进种新书58本，种新书42本；②购进种新书59本，种新书41本；③购进种新书60本，种新书40本．
（3）解：方案①购进种新书58本，种新书42本，
则书店获得的利润为（元）；
方案②购进种新书59本，种新书41本，
则书店获得的利润为（元）；
方案③购进种新书60本，种新书40本，
则书店获得的利润为（元）；
∵，
∴，，
∴，
答：书店购进种新书60本，种新书40本才能获得最大利润．
【变式训练6-6】(25-26八上·湖南长沙长郡梅溪湖中学·期中)近年来随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递22万件；
B型机器人每台每天可分拣快递18万件．
(1)求A、B两种型号智能机器人的单价；
(2)现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，需要每天分拣快递不少于200万件，购买机器人的总费用不超过750万元，则有哪几种购买方案？
【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元
(2)共有3种方案，A型号5台、B型号5台；A型号6台、B型号4台；当A型号为7台、B型号为3台
【分析】此题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，根据题意正确列出方程组和不等式是关键．
（1）设A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元．根据台数和总费用列方程组，解方程组即可得到答案；
（2）设购进A型台，B型台，根据需要每天分拣快递不少于200万件列出不等式，总费用不超过750万元列出不等式，解不等式组即可得到答案．
【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元．
，解得
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
（2）解：设购进A型台，B型台，
由题意得，，
解得，，
∴
又∵是整数
∴或6或7
答：共有3种方案，A型号5台、B型号5台；A型号6台、B型号4台；当A型号为7台、B型号为3台．
题型七：一元一次不等式组实际应用之阶梯收费问题
【例题7】如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车．它的收费标准如下：洗车13分钟内（包括13分钟）收费6元，超出后加收元/分钟，不足一分钟按一分钟计算．某同学的爸爸洗车花费了元，请你写出洗车的时间的范围（单位：分钟） ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确列出不等式组是解题关键．先求出超过13分钟后，洗车的最长时间为7分钟，再根据不足一分钟按一分钟计算建立不等式组，解不等式组即可得．
【详解】解：由题意得：（分钟），
∵不足一分钟按一分钟计算，
∴，
解得，
故答案为：．
【变式训练7-1】某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围 ．
【答案】
【分析】本题考查了不等式的应用，根据收费标准，超过32部分，每增加1元可再乘坐20，从而得出8元和9元最多乘坐的里程，进而得到x的范围即可．
【详解】解：由题意，7元可以最多乘坐：；
8元可以最多乘坐：；
9元可以最多乘坐：；
∴；
故答案为：．
【变式训练7-2】(24-25七下·辽宁大连西岗区·期末)大连地铁票收费标准如下：
不超过，2元人次；超过到（含），元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过到（含），8元/人次； 超过部分，票价每增加元可再乘坐．
一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．根据“超过部分，票价每增加元可再乘坐”，结合一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，即按里程计算超过元且不超过元，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
【变式训练7-3】(24-25七下·重庆第七中学校·期中)为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）．
价目表
每月用水量 单价
不超出6立方米的部分 2元/立方米
超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米
超出10立方米的部分 8元/立方米
(1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元；
(2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示）
(3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？
【答案】(1)；
(2)，；
(3)3月份用水立方米，4月份用水立方米．
【分析】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键．
（1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和．
（2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式．
（3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解．
【详解】（1）解：应交水费：（元），
故答案为：；
（2）解：当时，
水费为（元）
当时，
水费为（元）
故答案为：，；
（3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得，
，即．
当，即时，
水费为．
令，
解得（舍去）．
若，即，
水费为．
令，
解得．
∴3月份用水立方米，4月份用水立方米．
