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专题3.1&3.2认识不等式及不等式的基本性质九大题型
（一课一讲）
①不等式的定义
像v≤80，t≥6000，3x＞5，p＜q+2，x≠3这样，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），“≠”连接而成的数学式子，叫作不等式。这些用来连接的符号统称不等号。
②不等式在数轴上表示
（1）x＜a表示小于a的全体实数，在数轴上对应点A左边的所有点，不包括点A在内（图3-4）；（2）x≥a表示大于或等于a的全体实数，在数轴上对应点A 右边的所有点，包括点A在内（图 3-5）；（3）b＜x＜a（b＜a）表示大于b而小于a的全体实数，数轴表示如图3-6所示。
题型一：判断是否是不等式
【例题1】下列式子中，属于不等式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查不等式的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．用不等号 “”“”“”“”“” 连接的式子叫做不等式．
根据不等式的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、是等式，故本选项不符合题意；
B、是代数式，故本选项不符合题意；
C、是不等式，故本选项符合题意；
D、是代数式，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式训练1-1】下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题考查了不等式的定义，能熟记不等式的定义是解此题的关键，注意：用不等号，，，，表示不等关系的式子，叫不等式．
根据不等式的定义逐个判断即可．
【详解】解：依题意，不等式有：①，②，⑤，⑥，共4个，
故选：C．
【变式训练1-2】(24-25七下·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校·月考)以下式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不等式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据不等式的定义：“用不等号表示两个量间的不等关系的式子叫做不等式”分析各个式子进行判断即可
【详解】解：①是等式，不符合题意；
②是不等式，符合题意；
③是不等式，符合题意；
④不是不等式，不符合题意；
⑤是不等式，符合题意；
⑥是不等式，符合题意；
∴有4个不等式，
故选：C
【变式训练1-3】(23-24八下·四川成都锦江区·期中)下列各式中，是不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了不等式，用不等号连接的式子叫不等式，据此判断即可求解，掌握不等式的定义是解题的关键．
【详解】解：、是等式，故不符合题意；
、是不等式，故符合题意；
、是代数式，不是不等式，故不符合题意；
、是等式，故不符合题意；
故选：．
【变式训练1-4】(24-25八下·广东河源龙川第一实验学校·月考)老师在黑板上写了下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是不等式的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】本题考查不等式，解题的关键是掌握不等式的定义：用符号“”、“”、“”、“”或“”连接的式子，叫做不等式．
【详解】解：个式子中，其中式子，，是不等式，有个．
故选：C．
【变式训练1-5】(24-25八下·贵州毕节七星关区第三实验学校·月考)给出下面式子：①；②；③；④．其中不等式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】依据不等式的定义（用不等号表示不相等关系的式子），对每个式子逐一判断是否为不等式．本题主要考查不等式的定义，明确不等式是用不等号（、、、、 等）表示不等关系的式子，熟练掌握该定义是判断式子是否为不等式的关键．
【详解】解：判断①：，用“”表示不等关系，符合不等式定义，是不等式．
判断②：，用“”表示相等关系，是等式，不是不等式．
判断③：，用“”表示不等关系，符合不等式定义，是不等式．
判断④：，用“”表示不等关系，符合不等式定义，是不等式．
综上，①③④是不等式，共个，
故选 C ．
题型二：列不等式
【例题2】假期里全家去旅游，路边的限速标志牌如图所示，爸爸开小型客车走中间车道，你给爸爸建议车速为 ．
【答案】80（答案不唯一）
【分析】本题考查了不等式的定义，掌握图标的意义是解题的关键．根据标志可得出行驶速度的范围，取其中任意数即可．
【详解】解：由图可知：该车道上车辆行驶速度的取值范围，
建议车速为.
故答案为：（答案不唯一）．
【变式训练2-1】(24-25八下·四川宣汉县红峰中学·期中)如图，天平右盘中每个砝码的重量都是，如图中显示出某药品A重量的范围是（ ）
A．大于 B．小于
C．大于且小于 D．大于或小于
【答案】C
【分析】本题考查的是不等式的应用，解决问题的关键是读懂图意．
根据图形就可以得到药品A的质量的范围．
【详解】解： 由第一个图可知药品A质量大于2克，由第二个图可知药品A质量小于3克，故药品A质量范围是大于2克且小于3克．
故选：C．
【变式训练2-2】(24-25七下·河北邢台威县县直中学·月考)如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，若用表示汽车的速度，则与应满足的关系为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查不等式的概念，用不等号将两个整式连接起来所成的式子，叫做不等式．根据题意可知汽车的速度不超过，即汽车的速度小于等于，然后用符号表示即可．
【详解】解：根据题意知速度不超过，即小于等于，
故用不等式表示为，
故答案为：．
【变式训练2-3】(24-25七下·陕西西安新城区睿知教育培训中心·月考)用不等式表示下列不等关系：
(1)a的5倍加上b小于2；
(2)m的与n的的和是非负数；
(3)x的2倍减去x的不大于11．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了由实际问题抽象出不等式，根据各数量之间的关系，正确列出不等式是解题的关键．
（1）a的5倍加上b表示为，小于2表示为，进而可得出；
（2）m的与n的的和表示为，非负数表示为，进而可得出；
（3）x的2倍减去x的表示为，不大于11表示为，进而可列出．
【详解】（1）解：根据题意得：；
（2）解：根据题意得：；
（3）解：根据题意得：．
【变式训练2-4】(24-25八下·陕西咸阳永寿县豆家中学·月考)根据下列数量关系写出不等式．
(1)x与5的和的不大于；
(2)m除以4的商加上3至多为5；
(3)a与b两数和的平方不小于3．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查列不等式．抓住题目中的“至多”、“不大于”、“非正数”等关键词是解题关键．
（1）根据“不大于” 即可列出不等式；
（2）根据“至多为5” 即可列出不等式；
（3）根据“不小于3” 即可列出不等式．
【详解】（1）解：由题意得：；
（2）解：由题意得：
（3）解：由题意得：．
①不等式的基本性质
（1）不等式的基本性质1：。这个性质也叫作不等式的传递性。
（2）不等式的基本性质2：不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得到的不等式仍成立。
（3）不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所得的不等号仍成立；不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的不等式成立。
题型三：根据不等式的性质判断选项
【例题3】如果：，则下列说法中不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了不等式的性质，正确理解不等式的性质是解题关键．
根据不等式的性质以及反例法，逐项分析判断即可．
【详解】解：A.因为，所以，所以，故该选项正确，不符合题意；
B. 因为，即，所以，故该选项正确，不符合题意；
C. 因为，所以，故该选项正确，不符合题意；
D.可令，则，因为，所以此时，即不一定正确，本选项符合题意．
故选：D．
【变式训练3-1】下列不等式的变形正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质，进行计算即可解答．
【详解】解：A、若，则，故不符合题意；
B、若，则，故不符合题意；
C、若，则，故不符合题意；
D、若，则，
若，则，与矛盾，
故，所以，符合题意．
故选：D．
【变式训练3-2】(24-25八下·江苏泰州白马中学·)如果，下列各式中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，正负数大小的比较，解题的关键是掌握不等式的基本性质．
根据不等式的基本性质，正负数大小的比较，逐项进行判断即可．
【详解】解：A.根据不等式的基本性质得，该选项正确，不符合题意；
B. 根据不等式的基本性质得，该选项正确，不符合题意；
C. 根据正负数大小比较，该选项正确，不符合题意；
D. 根据正负数大小比较，该选项错误，符合题意；
故选：D．
【变式训练3-3】(24-25七下·四川乐山夹江县·期末)已知三个数、、满足，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．注意：不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A：由，两边同时减，根据不等式的性质，不等号方向不变，即，因此A错误；
B：由，根据不等式的性质，当时，两边乘以负数，不等号方向改变，即，因此，B错误；
C：当时，，则，则错误，因此，C错误；
D：由得，，则，因此，D正确．
故选D．
【变式训练3-4】(24-25七下·云南丽江·期末)若，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查不等式的基本性质，性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质逐项判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴，故本选项的结论正确；
B、∵，
∴，故本选项的结论正确；
C、∵，
∴，
∴，故本选项的结论正确；
D、∵，
∴，
∴，故本选项的结论错误．
故选：D
【变式训练3-5】(24-25七下·黑龙江哈尔滨南岗区哈尔滨工业大学附属中学校·月考)若，则下列式子错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，
根据不等式的基本性质2判断A（考虑情况），再根据不等式的基本性质3和性质1判断B，然后根据不等式的基本性质2，判断C，D即可.
【详解】解：不等式，不等式两边都乘以，可得，所以A正确，不符合题意；
不等式，不等式两边都乘以，得，两边加上3，得，所以B不正确，符合题意；
不等式，不等式两边都除以，可得，所以C正确，不符合题意；
不等式，不等式两边都除以2，可得，所以D正确，不符合题意.
故选：B.
题型四：不等式的性质与数轴的关系
【例题4】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．由数轴可知，，根据不等式的性质逐一推理即可．
【详解】A、由图可知，，，所以，，所以，故选项A错误，不符合题意；
B、由图可知，，，所以，故选项B错误，不符合题意；
C、由图可知，，所以，所以，故选项C错误，不符合题意；
D、由图可知，，，所以，故选项D正确，符合题意．
故选：D．
【变式训练4-1】实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了数轴与实数，不等式的性质，由数轴知，，，，然后逐项排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：、由数轴知，，原选项错误，不符合题意；
、由数轴知，，原选项错误，不符合题意；
、由数轴知，，原选项错误，不符合题意；
、由数轴知，，
∴，原选项正确，符合题意；
故选：．
【变式训练4-2】(25-26九上·广东深圳红岭教育集团·开学考)实数与在数轴上的位置如图所示，若，则取值可能为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【分析】本题考查了利用数轴比较实数大小，不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．由数轴可知，，再根据不等式两边同时乘以一个不为0的正数，不等式方向不变，即可得到答案．
【详解】解：由数轴可知，，
若，则，
即取值可能为1，
故选：D．
【变式训练4-3】实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据数轴的性质，有理数的加法，有理数的乘法，有理数的大小比较的原则，逐一判断即可．
本题考查了数轴上点表示有理数，有理数大小的比较，有理数的加法，有理数的乘法，数轴的意义，熟练掌握数轴的意义，有理数的大小比较是解题的关键．
【详解】解：如图，根据题意，得，且，，
故，，
A. 错误，不符合题意；
B. 正确，符合题意；
C. 错误，不符合题意
D. 错误，不符合题意；
故选：B．
【变式训练4-4】(2025·陕西省西安市·模拟)实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负，观察数轴判断a，b的大小和绝对值的大小关系，然后根据有理数的乘法法则、加法法则、不等式的基本性质和绝对值的性质对各个选项进行判断即可．
【详解】解：观察数轴可知：，，，，
∴，
∴，，，，
∴A，B，C选项均错误，D选项正确，
故选：D．
【变式训练4-5】(24-25七下·江苏泰州泰兴·期末)如图，数轴上的点与点所表示的数分别为，，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．由数轴可得，利用不等式的性质逐项判断即可．
【详解】解：由数轴可得，
两边同时加上得，则A不符合题意，
两边同时减去得，则B符合题意，
两边同时乘以得，则C不符合题意，
当时，，则D不符合题意，
故选：B．
题型五：利用不等式的性质比较大小
【例题5】若实数，则实数，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查学生对利用不等式比较大小的方法的灵活使用情况，利用作差法分别比较即可．
【详解】解：∵，
，
，
，，
而，
，
，
故选：B．
【变式训练5-1】已知，，，若，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查分式的减法，不等式的性质，根据，利用分式的减法确定，，即可得出结论．掌握分式的减法运算法则是解题的关键．
【详解】解：∵，，，，
又∵
，
∴，
∵
，
∴，
∴，，的大小关系为．
故选：D．
【变式训练5-2】(24-25八下·陕西西咸新区沣东新城第六初级中学·月考)已知三个实数，，满足，，，则（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【分析】本题考查不等式的性质，将各式进行正确的等量代换是解题的关键．
将代入中求得与0的大小关系，再将代入中求得与0的大小关系，然后将代入中解得的值即可．
【详解】解：三个实数，，满足，，，
，，
，，
，，
，，
，
，
综上，，，，
故选：B．
【变式训练5-3】(24-25七上·江苏苏州苏州工业园区星湾学校·月考)若，则，a，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的性质：不等式的两边都加或减同一个整式，不等号的方向不变，不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．由题意，，根据不等式的性质比较，a，的大小关系．
【详解】解：，
，
，
三个式子同时加上，
，
故选：D．
【变式训练5-4】实数满足：①；②；③．则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了实数的大小比较，以及不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解决本题的关键．
根据条件①变形可得到，将②变形可得到，两个条件可得到，再由③，可得，再由，可得，即，可得，由此可判断大小．
【详解】解：①，可得，
②，可得，
∴，即，
可得，
∵③，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
故选：A ．
【变式训练5-5】(24-25九下·安徽宣城宣城中学·)5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的性质的应用，关键是根据不等式的性质进行变形．根据已知得出，推出，求出，两边都除以2即可得出答案．
【详解】解：∵设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
故选：B．
题型六：不等式解集相关求解
【例题6】某不等式的解集是，下列表述不正确的是（ ）
A．0是这个不等式的解． B．不是这个不等式的解．
C．大于的数都是这个不等式的解． D．小于的数都不是这个不等式的解．
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次不等式的解的定义，不等式的解集是满足不等式的所有解的集合，使原不等式成立的数就是不等式的一个解，据此逐项分析求解即可．
【详解】解：A、∵某不等式的解集是，
∴0是这个不等式的解，故A不符合题意；
B、∵某不等式的解集是，
∴不是这个不等式的解，故B不符合题意；
C、∵某不等式的解集是，
∴大于的数都是这个不等式的解，大于且小于等于的数不是这个不等式的解，故C符合题意；
D、∵某不等式的解集是，
∴小于的数都不是这个不等式的解，故D不符合题意．
故选：C
【变式训练6-1】下列说法中，正确的是（ ）．
A．方程和不等式的解是一样的
B．不是不等式的解
C．是不等式的一个解
D．是不等式的解集
【答案】C
【分析】本题主要考查不等式的解，熟练掌握不等式的解是解题的关键；因此此题可根据不等式的解进行排除选项．
【详解】解：A、方程和不等式的解是不一样的，故原说法错误；
B、是不等式的解，故原说法错误；
C、是不等式的一个解，故原说法正确；
D、不是不等式的解集，故原说法错误；
故选C．
【变式训练6-2】下列说法正确的是（ ）
A．是不等式的解 B．是不等式的解集
C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次不等式的解及解集的定义，如果不等式中含有未知数，能使这个不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解．一般地，一个含有未知数的不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集．根据不等式的解及解集的定义逐项分析即可．
【详解】解：A．∵当时，，∴不是不等式的解，故不正确；
B．∵当时，，∴是不等式的解而不是解集，故不正确；
C．∵，∴，∴不等式的解集是，故不正确；
D．∵当时，，∴是不等式的一个解，故正确；
故选D．
【变式训练6-3】若不等式的解集是，则k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据题意可得不等式的两边同时除以k后，不等号方向发生了改变，而不等式两边同时除以一个小于0的数，不等号方向发生改变，据此可得答案．
【详解】解：因为不等式的解集是，
所以不等式的两边同时除以k后，不等号方向发生了改变，
所以，
故答案为：．
【变式训练6-4】(24-25七下·上海外国语大学附属奉贤外国语学校·期末)如果的解集为，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了不等式的性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
根据不等式的运算法则运算求解即可．
【详解】解：∵的解集为，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练6-5】(24-25八下·陕西西安雁塔区第三初级中学·月考)不等式，两边同除以，得，则m的取值范围为
【答案】
【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟知不等式两边同时乘或除一个负数，不等式号的方向要改变，是解本题的关键．
运用不等式的性质解题即可．
【详解】解：由题可知：，
解得：．
题型七：不等式的综合证明
【例题7】如图，用两根长度均为的绳子分别围成一个正方形和一个圆．
(1)图中正方形的边长为 ；圆的半径为 ；
(2)如果要使圆的面积不小于，那么绳长l应满足怎样的不等关系 ；
(3)当时，正方形和圆的面积哪个大？呢？
(4)根据（3）得出结果，由此你能得到什么猜想？并证明你的猜想．
【答案】(1)；
(2)
(3)当和时，都是圆的面积大
(4)不管l取何值，圆面积都大于正方形的面积；证明见解析
【分析】本题考查了列代数式，整式的加减运算的应用，列不等式，正确理解题意并列式计算是解题的关键．
（1）根据题意可直接列出代数式；
（2）根据题意可直接列出不等式并化简即可；
（3）当和时，分别计算正方形和圆的面积，再比较大小即可；
（4）根据（3）的结果可作出猜想；用作差法列式计算，即可证明猜想．
【详解】（1）解：因为正方形的周长为，所以其边长为；
因为圆周长为，所以圆的半径长为．
故答案为：；．
（2）解：根据题意可列不等式为，
即．
故答案为：．
（3）解：当时，
正方形的面积为（），
圆面积为（），
，
圆面积大；
当时，
正方形的面积为（），
圆面积为（），
，
圆面积大；
（4）解：猜想，不管l取何值，圆面积都大于正方形的面积．
证明：，
，
，
不管l取何值，圆面积都大于正方形的面积．
【变式训练7-1】阅读下面的分解因式的过程：
．
利用上述分解因式的方法证明：
如果a，b，c是的三条边的长，那么．
【答案】见解析
【分析】本题考查了因式分解的应用，三角形的三边关系以及不等式的性质，掌握因式分解是解本题的关键．
先对进行因式分解，得到，再利用三角形的三边关系判定其正负性即可．
【详解】解：
根据三角形三边关系：
，即；
，即；
所以：．
【变式训练7-2】(24-25七下·福建泉州德化县·期末)已知：a、b、m、n四个数中，，
(1)比较与的大小；
(2)若a、b、m、n都是正数，利用不等式的基本性质说明：
【答案】(1)
(2)详见解析
【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
（1）利用不等式的性质即可求得答案；
（2）利用不等式的性质易得，，然后利用不等式的传递性即可证得结论．
【详解】（1）解：解：，
两边同时乘以得；
（2）解：，m是正数，
，
，b是正数，
，
【变式训练7-3】(24-25七下·福建泉州南安·期末)已知有理数a，b，c．
(1)若，求的取值范围；
(2)若a，b，c都是正整数，且是偶数，请说明：是偶数．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题主要考查了不等式的性质、整式的加减、数的奇偶性等知识点．
（1）由已知可得，代入，可得，再由，得出的取值范围；
（2）由都是整数，得出是偶数；再由已知条件可得，由此得证．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
．
（2）解：（方法一）都是正整数，
是偶数，
；
也是偶数，偶数偶数偶数，
是偶数．
（方法二）都是正整数，且是偶数，
若为偶数，则也必是偶数，
为同奇同偶，
必是偶数．是偶数．
若为奇数，则也必是奇数，
为一奇一偶，
必是奇数，
是偶数，
综上所述：是偶数．
【变式训练7-4】(24-25八下·福建宁德·期末)代数推理是指通过代数式的推导、变形和运算，来解决数学问题的方法．代数推理基于代数的基本运算规律和逻辑推理，与几何证明相比，其最大特点是“以算代证”．
例如：已知，为实数，且，求证：
证明：①______，
，，．
又，．（②______）
．③______
．
(1)请将例题中的证明补充完整；（提示：②写依据）
(2)已知，且，求证：．
【答案】(1)①；②不等式的两边同时都减去同一个整式，不等号的方向不变（或“不等式的性质1”，或“不等式的性质”）；③
(2)见解析
【分析】本题考查了等式的基本性质、不等式的基本性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据不等式的性质补全过程即可；
（2）将式子变形为，再结合以及等式的基本性质计算即可得解．
【详解】（1）证明：，
，，
．
又，
．（不等式的两边同时都减去同一个整式，不等号的方向不变）
．
，
，
故答案为：①；②不等式的两边同时都减去同一个整式，不等号的方向不变（或“不等式的性质1”，或“不等式的性质”）；③；
（2）证明：，
．
．
①．
，
．
等式①的两边同时除以，得，
．
【变式训练7-5】(24-25七下·福建泉州永春县永春第一中学·月考)阅读材料：
小安论证结论“若，则”的正确性，证明过程如下：
因为，将不等式的两边都乘以正数x，由不等式的性质2，
可得，①
将不等式的两边都乘以正数y，由不等式的性质2，
可得 ** ，②
由①②，可得．
(1)在阅读材料中，**处应填_______；
(2)请尝试证明：若，则．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】本题考查不等式的性质，关键是掌握不等式的性质．
（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题；
（2）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时加上c得到，由此即可证明问题．
【详解】（1）解：∵，
将不等式的两边都乘以正数x，由不等式的性质2，可得，①
将不等式的两边都乘以正数y，由不等式的性质2，可得，②
由①②，可得，
故答案为：；
（2）证明：因为，将不等式两边都加上c，由不等式的性质1，
可得，①
因为，将不等式两边都加上b，由不等式的性质1，
可得，， ②
由①②，得．
【变式训练7-6】(24-25八下·河南洛阳汝阳县·期中)有一列按一定顺序和规律排列的数：第一个数是；第二个数是；第三个数是；……第n个数是．
(1)经过探究，我们发现：．设这列数的第5个数为a，你认为下列三个式子正确的是_______．
①，②，③；
(2)请你观察第1个数，第2个数，第3个数，猜想这列数的第个数（即用正整数n表示第n个数），并且证明“第n个数与第个数的和等于”；
(3)设，求证：．
【答案】(1)②
(2)第个数为，证明见解析
(3)证明见解析
【分析】本题主要考查了分式的拆分规律、数列的规律探究以及不等式的放缩证明，熟练掌握分式拆分技巧和数列规律推导、放缩法的运用是解题的关键．
（1）根据数列规律得出第5个数表达式，再结合已知的拆分形式判断．
（2）先根据数列规律猜想第个数的表达式，再通过分式拆分、化简证明第个数与第个数的和的等式．
（3）通过对进行放缩，利用相邻分式差的形式累加，推导的范围．
【详解】（1）解：第5个数，又已知，当时，，即，
∴②正确．
故答案为：②；
（2）解：由题意猜想第个数为，
由(1)可知第n个数为，
，
即第n个数与第个数的和等于；
（3）解：，
，
，
……
，
，
，
即．
题型八：不等式的阅读题型
【例题8】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】三个有理数，，满足，求的值．
【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
，，都是正数，即，，时，则；
当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则．
综上所述，值为或．
【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
(1)已知，是不为的有理数，当时，则的值是______；
(2)已知，，是有理数，当时，求的值；
(3)已知，，是有理数，，，求的值．
【答案】(1)
(2)或1
(3)
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，不等式，有理数的乘法，代数式求值，分类讨论思想方法，能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键．
（1）仿照题目给出的思路和方法，解决即可；
（2）根据， 分 , , 为一负两正或三负两种情况讨论，再化简求值即可；
（3）根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出中负数有1个，正数有2个，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可．
【详解】（1）解：是不为的有理数，当时，即，
∴ 或，
当时，；
当 时，．
故答案为：．
（2）∵，
、、都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，
当、、都是负数，即时，
则：；
、、有一个为负数，另两个为正数时，设，
则；
（3）为三个不为的有理数，且，，
∴，
∴a、、中一个为负数，另两个为正数，设，
．
【变式训练8-1】(24-25七下·新疆生产建设兵团第二师铁门关·期末)【阅读与思考】用求差法比较大小
两个数量的大小可以通过它们的差来判断．
如果两个数a，b比较大小，那么 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 反过来也对，即 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有．
因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小．
【探究与实践】
(1)请用作差法证明不等式的性质3：不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
如果，，那么（或）．
(2)制作某产品有两种用料方案．
方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板；
方案二：用3块A型钢板，9块B型钢板．
已知A型钢板的面积比B型钢板大，从省料角度考虑，应选哪种方案？
【答案】(1)证明见解析
(2)从省料角度考虑，应选方案二
【分析】本题考查了整式的加减运算，因式分解的含义，熟练掌握作差法比较大小是解题的关键．
（1）先作差可得，，再结合条件进一步证明即可．
（2）设一块型钢板的面积为，一块型钢板的面积为， 利用作差法进行比较，即可解答．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，
∴，
∴；
∵，，，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：设一块型钢板的面积为，一块型钢板的面积为，
方案一所用钢板的面积为，
方案二所用钢板的面积为，
，
，
∴，
，
从省料角度考虑，应选方案二．
【变式训练8-2】(24-25七下·山西阳泉矿区阳泉第十五中学校·期末)阅读与思考
下面是小敏同学的数学日记，请你认真阅读并完成下列任务．
×年×月×日 星期五 晴 我们运用代数推理，对方程与不等式进行变形和化简，可以找到解和解集．下列是我利用不等式的基本性质比较代数式大小的代数推理过程． 例（1）已知，试比较与的大小． 解：∵，，．（依据1） ∴．（依据2） 例（2）已知，，试比较与的大小． 解：∵，∴．① ∵，∴．② 由不等式①②，得．
任务：
(1)小敏日记中的“依据1”是________，“依据2”是________．
(2)已知a，b，c，d都是正数，且，，请类比小敏日记中例（2）的推理过程，比较与的大小关系．
【答案】(1)不等式的基本性质3（或者不等式的两边都乘以或都除以同一个负数，不等号的方向改变）；不等式的基本性质1（或者不等式的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变）．
(2)
【分析】本题考查了不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）联系上下文，结合不等式的性质进行分析，即可作答．
（2）模仿题干过程，先由，，得，再结合，，则，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，依据1：不等式的基本性质3（或者不等式的两边都乘以或都除以同一个负数，不等号的方向改变）．
依据2：不等式的基本性质1（或者不等式的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变）．
（2）解：依题意，∵，，
∴①，
又∵，，
∴②，
由①②可得：
【变式训练8-3】(24-25八下·河南项城第四初级中学·月考)【阅读材料】
我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化，
“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数的大小，只要求出它们的差．若，则；若，则；若，则．
【解决问题】
(1)已知，试比较，的大小；
(2)，，若，求，的取值范围．
【答案】(1)
(2)的取值范围为任意实数，的取值范围为
【分析】本题考查整式的加减，不等式的基本性质，解题的关键是正确理解“求差法”．
（1）求差、变形，结合已知条件确定差的符号，即可完成比较大小；
（2）整体代入，进行整式加减运算，解不等式即可．
【详解】（1）解：
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
解得，，
∴的取值范围为任意实数，的取值范围为．
【变式训练8-4】(24-25七下·吉林长春净月高新区·期末)【教材呈现】如表是华师版七年级下册数学教材第页的部分内容．
例利用不等式的性质说明下列结论的正确性： （1）如果，，那么； 解：（1）因为，所以． 又因为，所以． 由①②，可得． 由数的大小比较可知，不等式关系其有传递性，即如果且，那么，它也可以作为推理的依据．
通过例，利用不等式的传递性，我们可以证出不等式的同向可加性．
根据上述性质解决问题：若，，则的取值范围是______；
若，，则的取值范围是______；
【性质应用】已知，且，，求的取值范围，补全解答过程：
解：由，得．
将代入得，
，
即．
又因为，
所以．
求解过程缺失
【拓展提升】已知，且，，则的取值范围是______．
【答案】【教材呈现】，；【性质应用】见解析；【拓展提升】
【分析】教材呈现：根据不等式的性质进行计算即可；
性质应用：先根据已知条件把用表示出来，再根据和求出的取值范围，然后再根据不等式的性质进行解答即可；
拓展提升：先根据已知条件把用表示出来，再根据和求出的取值范围，然后再根据不等式的性质进行解答即可．
本题主要考查了不等式和等式的性质，解题关键是熟练掌握不等式的基本性质．
【详解】解：教材呈现：
，，
，即，
，，
，即，
故答案为：，；
性质应用：
由，得，
将代入得，
，
，
，
，
，
，
，
；
拓展提升：
，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【变式训练8-5】(24-25七下·山东临沂沂南县·期末)阅读下列材料，并完成相应任务．
探究同向不等式间的相加运算：
例如：已知可得；已知，可得；已知，可得．
我们可以得出结论：一般地，如果，那么▲．
证明：∵，∴．
∵，∴______，
∴▲．
任务：
(1)材料中“▲”处空缺的内容为______．（用“”或“”填空）
(2)材料证明过程中，横线缺失的步骤应为_______
(3)已知，，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握：不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
（1）根据题干信息的提示，猜想结果即可；
（2）根据不等式的性质可得，，可推出，由此即可证明结论；
（3）先求出，再根据（2）的结论，即可得到答案.
【详解】（1）解：根据题干例子可知，材料中“▲”处空缺的内容为：；
故答案为：；
（2）证明：，
．（依据：不等式的性质1：不等式的两边都加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变）
，
，
．
故答案为：；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴．
题型九：不等式中最值问题
【例题9】阅读材料，解决下列问题．
材料：已知实数、满足，求证：．
证明：且，均为正 （已知）
，（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变）
（不等式的传递性）
即，
解决问题（要求：采用推理方式解决下列问题，可以不写各步骤的依据）
(1)若，求证：；
(2)已知有理数，，满足：，，．试求的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查不等式的性质，关键是掌握不等式的性质．
（1）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即可证明问题．
（2）由条件可得，而，进一步可得，结合可得答案．
【详解】（1）证明：，
，
，
；
（2）解：，，
，
即，
又，
，
，
，
，
的最小值是．
【变式训练9-1】(24-25七下·江苏扬州朱自清中学·)阅读材料：在本学期第十一章我们已经学习了不等式的相关知识，而在后续的学习中我们还会接触到一些“基本不等式”，如：其证明过程如下：
∵右边左边，
∴，即．
当，即当时，取得等号．
我们可以发现：“基本不等式”两侧中有一侧为常数时，可以快速解决一些最值问题．
如：若正数a、b满足，则利用可以得出：当且仅当时，取得最小值18．
(1)理解：证明“基本不等式”：．
(2)感悟：已知x、y满足，求的最大值，并求出此时m的值．
(3)应用：如图，某校劳动小组计划利用已有的一堵墙（墙足够长），用围成一个“日”字形的劳动基地．外部为长方形，中间用笆隔开，且．若篱笆的总长为20米，则边长为多少米时，基地的面积最大，最大面积为多少？
【答案】(1)见解析
(2)的最大值为25，
(3)AB边长为时，基地的面积最大，最大面积为
【分析】本题考查完全平方公式的变形和应用；
（1）仿照例题方法证明即可；
（2）根据题意求出，利用（1）中结论计算解题；
（3）设，则，表示基地面积，利用（1）中结论求出最值即可解题．
【详解】（1）证明：∵右边左边
∴，即．
（2）解：由得
∴，即的最大值为25．
解得，
代入求得．
（3）设，则．
基地的面积
当且仅当，即时，基地的面积最大．
【变式训练9-2】(54-25八下·四川眉山仁寿县城区初中学校2·期中)阅读材料：在处理分数和分式的问题时，我们可以将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，我们把这种处理方法叫分离常数（整式）法．如这样分式就拆分成整式和分式和的形式．根据以上阅读材料，解答下列问题：
(1)分式用分离整式法可化为_____________形式．
(2)已知，利用分离整式法求y的取值范围？
(3)若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求代数式的最小值？
【答案】(1)
(2)
(3)27
【分析】本题考查了分式的变形、运算，完全平方公式的应用，解题的关键是应用分离常数法，把所求分式变形．
（1）按照阅读材料方法，把变形即可；
（2）用分离常数法，把原式化为 ，由即可得答案；
（3）用分离常数法，把原式化为，根据已知用a的代数式表示x、y，进而得出，即可得答案．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，
∵分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，
∴，
∴，
∴，
而，
∵，
∴（，
∴当时，最小值是27．
【变式训练9-3】(24-25八上·吉林长春五十二中学赫行实验学校·期中)【提出问题】
利用“图形”能够证明“等式”，如“完全平方公式”“平方差公式”都可以用图形进行证明，那么“图形”能否证明“不等式”呢？请完成以下探究性学习内容．
【自主探究】
用直角边分别为a和b的两个等腰直角三角形进行拼图，由图①得到图②．
（1）请你仔细观察图形变化，解决下列问题．
（ⅰ）图①中两个三角形的面积分别为________和________，图②中长方形的面积为________．（用含a，b的字母表示）
（ⅱ）当时，比较大小：________．（填“”或“”）
（ⅲ）当a和b满足什么条件时，与相等？甲同学说：我可以通过计算进行说明．乙同学说：我可以通过画图进行说明．请你选择其中一人的方法，进行说明．
【知识应用】
（2）已知，，且，利用（1）发现的结论，求的最小值．
【答案】（1）（ⅰ），，；（ⅱ）（ⅲ），见详解；（2）
【分析】本题考查了利用图形面积证明不等式；理解图形面积与不等式之间的关系是解题的关键．
（1）（ⅰ）根据图形即可求解；
（ⅱ）由图②中的矩形面积及两个三角形的面积和即可求解；
（ⅲ）甲同学：当时，分别计算即可求解；乙同学：画出图形即可求解；
（2）由（1）得，即可求解；
【详解】解：（1）（ⅰ）由题意得
①中两个三角形的面积分别为和，图②中长方形的面积为，
（ⅱ）由图②得
当时，，
（ⅲ）当时，，
甲同学：当时，
，
，
当时，；
乙同学：
当时，；
（2）
，
∵，，结合（1）得：
，
∵，
，
，
的最小值为．
【变式训练9-4】(24-25八上·山东临沂莒南县·期末)发现与探索：
(1)根据小明的解答将下列各式因式分解．
小明的解答：
①；
②．
(2)根据小丽的思考解决下列问题：
小丽的思考：代数式无论取何值，都大于等于0，再加上4，则代数式大于等于4，则有最小值为4．
①说明：代数式的最小值为；
②请仿照小丽的思考解释代数式的最大值为8，并求代数式的最大值．
【答案】(1)① ②
(2)①见解析 ②见解析，
【分析】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式分解因式，不等式的性质等知识点，熟练掌握乘法公式、公式法分解因式及不等式的性质是解题的关键．
（1）①将变形为，然后利用完全平方公式将其变形为，再利用平方差公式分解因式即可；
②将变形为，然后利用完全平方公式将其变形为，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）①将变形为，然后利用完全平方公式将其变形为，再利用不等式的性质即可得出结论；
②利用不等式的性质即可解释代数式的最大值为8；将变形为，然后利用完全平方公式将其变形为，再利用不等式的性质即可求出其最大值．
【详解】（1）解：①
；
②
；
（2）解：①
，
无论取何值都大于等于0，再加上，则代数式大于等于，
则的最小值为；
②无论取何值都小于等于0，再加上8，则代数式小于或等于8，
则的最大值为8，
，
无论取何值都小于等于0，再加上28，则代数式小于等于28，则的最大值为28．
【变式训练9-5】(24-25八上·甘肃天水麦积区·期末)习题、试题解答不能盲目套用例题的解答方法，因为习题、试题与例题有时候看起来很像，但多少会发生一些变化．“不变”的地方说明解题方法或有相似之处，解答问题（1）（2）．
例如：，因为，所以，所以代数式有最小值，最小值是2．
(1)代数式的最小值是___，此时x的值是___；
(2)求代数式的最小值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，平方的非负性，不等式的性质，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题关键．
（1）仿照例题，利用完全平方公式把原式变形，再根据偶次方的非负性解答即可；
（2）先把原式提公因式，再利用完全平方公式把原式变形，再根据偶次方的非负性解答即可．
【详解】（1）解：，
因为，
所以，
所以代数式有最小值，最小值是3，此时x的值是，
故答案为：，．
（2）解：，
因为，
所以，
所以代数式的最小值是．中小学教育资源及组卷应用平台
专题3.1&3.2认识不等式及不等式的基本性质九大题型
（一课一讲）
①不等式的定义
像v≤80，t≥6000，3x＞5，p＜q+2，x≠3这样，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），“≠”连接而成的数学式子，叫作不等式。这些用来连接的符号统称不等号。
②不等式在数轴上表示
（1）x＜a表示小于a的全体实数，在数轴上对应点A左边的所有点，不包括点A在内（图3-4）；（2）x≥a表示大于或等于a的全体实数，在数轴上对应点A 右边的所有点，包括点A在内（图 3-5）；（3）b＜x＜a（b＜a）表示大于b而小于a的全体实数，数轴表示如图3-6所示。
题型一：判断是否是不等式
【例题1】下列式子中，属于不等式的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-1】下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式训练1-2】(24-25七下·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校·月考)以下式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不等式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式训练1-3】(23-24八下·四川成都锦江区·期中)下列各式中，是不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-4】(24-25八下·广东河源龙川第一实验学校·月考)老师在黑板上写了下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是不等式的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式训练1-5】(24-25八下·贵州毕节七星关区第三实验学校·月考)给出下面式子：①；②；③；④．其中不等式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型二：列不等式
【例题2】假期里全家去旅游，路边的限速标志牌如图所示，爸爸开小型客车走中间车道，你给爸爸建议车速为 ．
【变式训练2-1】(24-25八下·四川宣汉县红峰中学·期中)如图，天平右盘中每个砝码的重量都是，如图中显示出某药品A重量的范围是（ ）
A．大于 B．小于
C．大于且小于 D．大于或小于
【变式训练2-2】(24-25七下·河北邢台威县县直中学·月考)如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，若用表示汽车的速度，则与应满足的关系为 ．
【变式训练2-3】(24-25七下·陕西西安新城区睿知教育培训中心·月考)用不等式表示下列不等关系：
(1)a的5倍加上b小于2；
(2)m的与n的的和是非负数；
(3)x的2倍减去x的不大于11．
【变式训练2-4】(24-25八下·陕西咸阳永寿县豆家中学·月考)根据下列数量关系写出不等式．
(1)x与5的和的不大于；
(2)m除以4的商加上3至多为5；
(3)a与b两数和的平方不小于3．
①不等式的基本性质
（1）不等式的基本性质1：。这个性质也叫作不等式的传递性。
（2）不等式的基本性质2：不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得到的不等式仍成立。
（3）不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所得的不等号仍成立；不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的不等式成立。
题型三：根据不等式的性质判断选项
【例题3】如果：，则下列说法中不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】下列不等式的变形正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式训练3-2】(24-25八下·江苏泰州白马中学·)如果，下列各式中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-3】(24-25七下·四川乐山夹江县·期末)已知三个数、、满足，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-4】(24-25七下·云南丽江·期末)若，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-5】(24-25七下·黑龙江哈尔滨南岗区哈尔滨工业大学附属中学校·月考)若，则下列式子错误的是（ ）
A． B． C． D．
题型四：不等式的性质与数轴的关系
【例题4】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】(25-26九上·广东深圳红岭教育集团·开学考)实数与在数轴上的位置如图所示，若，则取值可能为（ ）
A． B． C．0 D．1
【变式训练4-3】实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-4】(2025·陕西省西安市·模拟)实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-5】(24-25七下·江苏泰州泰兴·期末)如图，数轴上的点与点所表示的数分别为，，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
题型五：利用不等式的性质比较大小
【例题5】若实数，则实数，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】已知，，，若，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】(24-25八下·陕西西咸新区沣东新城第六初级中学·月考)已知三个实数，，满足，，，则（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【变式训练5-3】(24-25七上·江苏苏州苏州工业园区星湾学校·月考)若，则，a，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-4】实数满足：①；②；③．则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-5】(24-25九下·安徽宣城宣城中学·)5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则（ ）
A． B． C． D．以上都不对
题型六：不等式解集相关求解
【例题6】某不等式的解集是，下列表述不正确的是（ ）
A．0是这个不等式的解． B．不是这个不等式的解．
C．大于的数都是这个不等式的解． D．小于的数都不是这个不等式的解．
【变式训练6-1】下列说法中，正确的是（ ）．
A．方程和不等式的解是一样的
B．不是不等式的解
C．是不等式的一个解
D．是不等式的解集
【变式训练6-2】下列说法正确的是（ ）
A．是不等式的解 B．是不等式的解集
C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解
【变式训练6-3】若不等式的解集是，则k的取值范围是 ．
【变式训练6-4】(24-25七下·上海外国语大学附属奉贤外国语学校·期末)如果的解集为，则的取值范围是 ．
【变式训练6-5】(24-25八下·陕西西安雁塔区第三初级中学·月考)不等式，两边同除以，得，则m的取值范围为
题型七：不等式的综合证明
【例题7】如图，用两根长度均为的绳子分别围成一个正方形和一个圆．
(1)图中正方形的边长为 ；圆的半径为 ；
(2)如果要使圆的面积不小于，那么绳长l应满足怎样的不等关系 ；
(3)当时，正方形和圆的面积哪个大？呢？
(4)根据（3）得出结果，由此你能得到什么猜想？并证明你的猜想．
【变式训练7-1】阅读下面的分解因式的过程：
．
利用上述分解因式的方法证明：
如果a，b，c是的三条边的长，那么．
【变式训练7-2】(24-25七下·福建泉州德化县·期末)已知：a、b、m、n四个数中，，
(1)比较与的大小；
(2)若a、b、m、n都是正数，利用不等式的基本性质说明：
【变式训练7-3】(24-25七下·福建泉州南安·期末)已知有理数a，b，c．
(1)若，求的取值范围；
(2)若a，b，c都是正整数，且是偶数，请说明：是偶数．
【变式训练7-4】(24-25八下·福建宁德·期末)代数推理是指通过代数式的推导、变形和运算，来解决数学问题的方法．代数推理基于代数的基本运算规律和逻辑推理，与几何证明相比，其最大特点是“以算代证”．
例如：已知，为实数，且，求证：
证明：①______，
，，．
又，．（②______）
．③______
．
(1)请将例题中的证明补充完整；（提示：②写依据）
(2)已知，且，求证：．
【变式训练7-5】(24-25七下·福建泉州永春县永春第一中学·月考)阅读材料：
小安论证结论“若，则”的正确性，证明过程如下：
因为，将不等式的两边都乘以正数x，由不等式的性质2，
可得，①
将不等式的两边都乘以正数y，由不等式的性质2，
可得 ** ，②
由①②，可得．
(1)在阅读材料中，**处应填_______；
(2)请尝试证明：若，则．
【变式训练7-6】(24-25八下·河南洛阳汝阳县·期中)有一列按一定顺序和规律排列的数：第一个数是；第二个数是；第三个数是；……第n个数是．
(1)经过探究，我们发现：．设这列数的第5个数为a，你认为下列三个式子正确的是_______．
①，②，③；
(2)请你观察第1个数，第2个数，第3个数，猜想这列数的第个数（即用正整数n表示第n个数），并且证明“第n个数与第个数的和等于”；
(3)设，求证：．
题型八：不等式的阅读题型
【例题8】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】三个有理数，，满足，求的值．
【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
，，都是正数，即，，时，则；
当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则．
综上所述，值为或．
【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
(1)已知，是不为的有理数，当时，则的值是______；
(2)已知，，是有理数，当时，求的值；
(3)已知，，是有理数，，，求的值．
【变式训练8-1】(24-25七下·新疆生产建设兵团第二师铁门关·期末)【阅读与思考】用求差法比较大小
两个数量的大小可以通过它们的差来判断．
如果两个数a，b比较大小，那么 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 反过来也对，即 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有．
因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小．
【探究与实践】
(1)请用作差法证明不等式的性质3：不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
如果，，那么（或）．
(2)制作某产品有两种用料方案．
方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板；
方案二：用3块A型钢板，9块B型钢板．
已知A型钢板的面积比B型钢板大，从省料角度考虑，应选哪种方案？
【变式训练8-2】(24-25七下·山西阳泉矿区阳泉第十五中学校·期末)阅读与思考
下面是小敏同学的数学日记，请你认真阅读并完成下列任务．
×年×月×日 星期五 晴 我们运用代数推理，对方程与不等式进行变形和化简，可以找到解和解集．下列是我利用不等式的基本性质比较代数式大小的代数推理过程． 例（1）已知，试比较与的大小． 解：∵，，．（依据1） ∴．（依据2） 例（2）已知，，试比较与的大小． 解：∵，∴．① ∵，∴．② 由不等式①②，得．
任务：
(1)小敏日记中的“依据1”是________，“依据2”是________．
(2)已知a，b，c，d都是正数，且，，请类比小敏日记中例（2）的推理过程，比较与的大小关系．
【变式训练8-3】(24-25八下·河南项城第四初级中学·月考)【阅读材料】
我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化，
“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数的大小，只要求出它们的差．若，则；若，则；若，则．
【解决问题】
(1)已知，试比较，的大小；
(2)，，若，求，的取值范围．
【变式训练8-4】(24-25七下·吉林长春净月高新区·期末)【教材呈现】如表是华师版七年级下册数学教材第页的部分内容．
例利用不等式的性质说明下列结论的正确性： （1）如果，，那么； 解：（1）因为，所以． 又因为，所以． 由①②，可得． 由数的大小比较可知，不等式关系其有传递性，即如果且，那么，它也可以作为推理的依据．
通过例，利用不等式的传递性，我们可以证出不等式的同向可加性．
根据上述性质解决问题：若，，则的取值范围是______；
若，，则的取值范围是______；
【性质应用】已知，且，，求的取值范围，补全解答过程：
解：由，得．
将代入得，
，
即．
又因为，
所以．
求解过程缺失
【拓展提升】已知，且，，则的取值范围是______．
【变式训练8-5】(24-25七下·山东临沂沂南县·期末)阅读下列材料，并完成相应任务．
探究同向不等式间的相加运算：
例如：已知可得；已知，可得；已知，可得．
我们可以得出结论：一般地，如果，那么▲．
证明：∵，∴．
∵，∴______，
∴▲．
任务：
(1)材料中“▲”处空缺的内容为______．（用“”或“”填空）
(2)材料证明过程中，横线缺失的步骤应为_______
(3)已知，，请直接写出的取值范围．
题型九：不等式中最值问题
【例题9】阅读材料，解决下列问题．
材料：已知实数、满足，求证：．
证明：且，均为正 （已知）
，（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变）
（不等式的传递性）
即，
解决问题（要求：采用推理方式解决下列问题，可以不写各步骤的依据）
(1)若，求证：；
(2)已知有理数，，满足：，，．试求的最小值．
【变式训练9-1】(24-25七下·江苏扬州朱自清中学·)阅读材料：在本学期第十一章我们已经学习了不等式的相关知识，而在后续的学习中我们还会接触到一些“基本不等式”，如：其证明过程如下：
∵右边左边，
∴，即．
当，即当时，取得等号．
我们可以发现：“基本不等式”两侧中有一侧为常数时，可以快速解决一些最值问题．
如：若正数a、b满足，则利用可以得出：当且仅当时，取得最小值18．
(1)理解：证明“基本不等式”：．
(2)感悟：已知x、y满足，求的最大值，并求出此时m的值．
(3)应用：如图，某校劳动小组计划利用已有的一堵墙（墙足够长），用围成一个“日”字形的劳动基地．外部为长方形，中间用笆隔开，且．若篱笆的总长为20米，则边长为多少米时，基地的面积最大，最大面积为多少？
【变式训练9-2】(54-25八下·四川眉山仁寿县城区初中学校2·期中)阅读材料：在处理分数和分式的问题时，我们可以将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，我们把这种处理方法叫分离常数（整式）法．如这样分式就拆分成整式和分式和的形式．根据以上阅读材料，解答下列问题：
(1)分式用分离整式法可化为_____________形式．
(2)已知，利用分离整式法求y的取值范围？
(3)若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求代数式的最小值？
【变式训练9-3】(24-25八上·吉林长春五十二中学赫行实验学校·期中)【提出问题】
利用“图形”能够证明“等式”，如“完全平方公式”“平方差公式”都可以用图形进行证明，那么“图形”能否证明“不等式”呢？请完成以下探究性学习内容．
【自主探究】
用直角边分别为a和b的两个等腰直角三角形进行拼图，由图①得到图②．
（1）请你仔细观察图形变化，解决下列问题．
（ⅰ）图①中两个三角形的面积分别为________和________，图②中长方形的面积为________．（用含a，b的字母表示）
（ⅱ）当时，比较大小：________．（填“”或“”）
（ⅲ）当a和b满足什么条件时，与相等？甲同学说：我可以通过计算进行说明．乙同学说：我可以通过画图进行说明．请你选择其中一人的方法，进行说明．
【知识应用】
（2）已知，，且，利用（1）发现的结论，求的最小值．
【变式训练9-4】(24-25八上·山东临沂莒南县·期末)发现与探索：
(1)根据小明的解答将下列各式因式分解．
小明的解答：
①；
②．
(2)根据小丽的思考解决下列问题：
小丽的思考：代数式无论取何值，都大于等于0，再加上4，则代数式大于等于4，则有最小值为4．
①说明：代数式的最小值为；
②请仿照小丽的思考解释代数式的最大值为8，并求代数式的最大值．
【变式训练9-5】(24-25八上·甘肃天水麦积区·期末)习题、试题解答不能盲目套用例题的解答方法，因为习题、试题与例题有时候看起来很像，但多少会发生一些变化．“不变”的地方说明解题方法或有相似之处，解答问题（1）（2）．
例如：，因为，所以，所以代数式有最小值，最小值是2．
(1)代数式的最小值是___，此时x的值是___；
(2)求代数式的最小值．
