中小学教育资源及组卷应用平台
专题3.3一元一次不等式及其解法十大题型
（一课一讲）
①一元一次不等式的定义
不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式。
我们把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解，所有这些解得全体称为这个不等式的解集。求不等式解集的过程叫作解不等式。
题型一：判断是否为一元一次不等式
【例题1】下列不等式中是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】(24-25七下·黑龙江哈尔滨南岗区虹桥初级中学·期中)下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】(24-25七下·黑龙江哈尔滨南岗区第六十九中学·月考)下列式子（）；（）；（）；（），是一元一次不等式的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式训练1-3】(23-24七下·安徽滁州金太阳中学·月考)下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-4】(24-25八下·贵州贵阳南明区贵阳南明区华麟中学·月考)下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-5】(24-25八下·四川达州大竹县大竹中学·期中)下列各式是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
题型二：利用一元一次不等式的定义求参数
【例题2】若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集为 ．
【变式训练2-1】(24-25七下·重庆鲁能巴蜀中学·期末)已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为
【变式训练2-2】(24-25八下·辽宁沈阳大东区·期末)若是关于的一元一次不等式，则 ．
【变式训练2-3】(24-25八下·广东梅州梅县区联考·期中)已知是关于的一元一次不等式，则的值是 ，这个一元一次不等式的解集是 ．
【变式训练2-4】(24-25七下·甘肃武威第十二中学教育集团·期末)若关于x的不等式是一元一次不等式，则 ．
【变式训练2-5】(24-25七下·陕西榆林高新一中·月考)关于x的不等式是一元一次不等式，则 ．
解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤类似。解一元一次不等式的一般步骤和依据如下：
题型三：在数轴上表示一元一次不等式
【例题3】不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-1】在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-2】(24-25七下·贵州遵义新蒲新区滨湖中学·期末)将不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-3】(25-26八上·浙江温州苍南县龙港青华学校·月考)不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-4】解不等式，下列在数轴上表示的解集正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-5】在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型四：解一元一次不等式
【例题4】解不等式，并写出此不等式的非负整数解．
【变式训练4-1】(24-25七下·江苏东台梁垛镇中学·期中)解不等式，并把解集在数轴上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解．
【变式训练4-2】(24-25七下·广东惠州博罗县·期末)解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
【变式训练4-3】解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来．
(1)
(2)
(3)
【变式训练4-4】解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．
【变式训练4-5】(24-25七下·贵州兴义民族师范学院附属中学·月考)解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来．
(1)
(2)
题型五：二元一次方程组与一元一次不等式综合
【例题5】已知方程组的解满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】(24-25七下·山东济宁梁山县·期末)若方程组的解满足，且，则整数k的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【变式训练5-2】(25-26八上·浙江杭州拱墅区启正中学·开学考)若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-3】(24-25七下·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校·月考)若方程组的解满足，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-4】(24-25七下·江苏东台梁垛镇中学·期末)若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为 ．
【变式训练5-5】(24-25七下·黑龙江哈尔滨南岗区工大附中·期中)方程组的解、满足，则的取值范围是 ．
题型六：分式方程与一元一次不等式综合
【例题6】若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
【变式训练6-1】若关于的分式方程的解为正实数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．且
C．且 D．
【变式训练6-2】(24-25八下·江苏宿迁沭阳县如东实验学校·期末)若关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是 ．
【变式训练6-3】(2025·江苏省南通市如皋市·模拟)已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是 ．
【变式训练6-4】(24-25七下·江西景德镇·期中)已知关于x的方程的解适合，则的范围是 ．
【变式训练6-5】(24-25七下·安徽合肥长丰县梅冲湖中学·月考)已知关于的分式方程．
（1）若此方程无解，则的值为 ．
（2）若此方程的解为正数，则的取值范围为 ．
题型七：根据不等式的解集求解
【例题7】若不等式的解是，则不等式的解为 ．
【变式训练7-1】若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是 ．
【变式训练7-2】当a 时，不等式的解集是．
【变式训练7-3】(24-25七下·上海曹杨第二中学附属实验中学·月考)已知关于的不等式的解集是，则的取值范围是 ．
【变式训练7-4】关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ．
【变式训练7-5】(24-25七下·湖南邵阳新邵县·期末)不等式的解集为，则的取值范围是 ．
题型八：已知一元一次不等式的整数解求参数
【例题8】关于x不等式有且只有2个负整数解，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练8-1】(24-25七下·江苏苏州中学伟长班·期中)若关于的不等式的正整数解恰有两个，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练8-2】(24-25七下·安徽铜陵枞阳县·期末)若关于x的不等式的正整数解是1、2、3，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练8-3】(24-25八下·辽宁辽阳·期末)若关于的不等式有2个正整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练8-4】(24-25七下·安徽合肥合肥新站高新技术产业开发区合肥三十中联考·期末)关于的一元一次不等式的解集如图所示，且该不等式的负整数解有且只有四个，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练8-5】(24-25七下·广西南宁三中初中部青秀校区·期末)若关于的不等式至少有3个正整数解．则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型九：求一元一次不等式解得最值
【例题9】已知a，b，c为三个非负实数，且满足，若，则W的最大值为（ ）
A．20 B．40 C．60 D．80
【变式训练9-1】(24-25七下·广东汕头澄海区·期末)已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（ ）
A．3 B．-3 C．4 D．-4
【变式训练9-2】(24-25七下·河南南阳西峡县·期末)已知二元一次方程组，，则的最小值是（ ）
A．1 B． C．0 D．
【变式训练9-3】(23-24七下·江苏泰州兴化·期末)关于的不等式的最小整数解为，则的值为 ．
【变式训练9-4】(24-25七下·福建泉州泉港区·期末)已知实数，，．若，则的最大值为 ．
【变式训练9-5】(24-25八下·河南平顶山·期中)对于实数对，定义偏左数为，偏右数为．对于实数对，若，则x的最小整数值是 ．
题型十：解|x|＞a型的不等式
【例题10】先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有大于且小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为．
(1)的解集为______；
(2)解不等式；
(3)解不等式．
【变式训练10-1】(23-24七下·江苏盐城建湖县秀夫实验初级中学·月考)先阅读，再完成练习．
一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．
，x表示到原点的距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数，它们到原点的距离小于3，所以的解集是；
，x表示到原点的距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数，它们到原点的距离大于3，所以的解集是或．
解答下面的问题：
(1)解不等式．
(2)解不等式．
(3)直接写出不等式的解集： ．
【变式训练10-2】(24-25八下·江西南昌二中教育集团初中部联考·期末)如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题．
例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义，
∵
∴的解集为，
∵
∴解集为或．
根据以上探究，解答下列问题：
(1)填空：不等式的解集为______；
(2)解不等式；
(3)求不等式的解集．
【变式训练10-3】(24-25七下·河北保定唐县·期末)小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．求绝对值不等式的解集．小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出时的值，并在数轴上表示为点，，如图所示．观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于2；点与点之间的点表示的数的绝对值小于2；点右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或．
【迁移应用】
(1)填空：的解集是_____；
(2)求绝对值不等式的解集；
(3)已知关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围_____．
【变式训练10-4】(24-25七下·福建漳州龙海区·期中)【阅读材料】
我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离，例如表示数轴上表示这个数的点到原点的距离，那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离，于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于或等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1的距离小于或等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点），这样我们就可以得到不等式的解集为．
【解决问题】
参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题：
(1)不等式的解集为___________．
(2)求不等式的解集．
(3)求不等式的解集．
【变式训练10-5】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．
⑴. 发现问题：代数式的最小值是多少？
⑵. 探究问题：如图，点分别表示的是 ，．
∵的几何意义是线段与的长度之和
∴当点在线段上时，;当点点在点的左侧或点的右侧时
∴的最小值是3．
⑶.解决问题：
①.的最小值是 ；
②.利用上述思想方法解不等式：
③.当为何值时，代数式的最小值是2．中小学教育资源及组卷应用平台
专题3.3一元一次不等式及其解法十大题型
（一课一讲）
①一元一次不等式的定义
不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式。
我们把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解，所有这些解得全体称为这个不等式的解集。求不等式解集的过程叫作解不等式。
题型一：判断是否为一元一次不等式
【例题1】下列不等式中是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此进行判断即可．
【详解】解：A、化简得，是一元一次不等式，故A正确；
B、含有二次项，不是一元一次不等式，故B错误；
C、不含未知数，不是一元一次不等式，故C错误；
D、化简后为，不含未知数，不是一元一次不等式，故D错误；
故选：A．
【变式训练1-1】(24-25七下·黑龙江哈尔滨南岗区虹桥初级中学·期中)下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一元一次不等式的判断，根据一元一次不等式的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、不含未知数，不是一元一次不等式，不符合题意；
B、不是整式，不是一元一次不等式，不符合题意；
C、是代数式，不是不等式，不符合题意；
D、是一元一次不等式，符合题意；
故选D．
【变式训练1-2】(24-25七下·黑龙江哈尔滨南岗区第六十九中学·月考)下列式子（）；（）；（）；（），是一元一次不等式的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】本题考查的是一元一次不等式的定义，即含有一个未知数，未知数的次数是，且用不等号连接的整式不等式；根据一元一次不等式的定义对各小题进行逐一分析即可．
【详解】解：()不含有未知数，不符合“含有一个未知数”的要求，不是一元一次不等式，故本小题不符合题意；
()含有一个未知数，未知数的次数是，且是用不等号连接的整式不等式，符合一元一次不等式的定义，是一元一次不等式，故本小题符合题意；
()未知数的最高次数是，不符合“未知数的次数是”的要求，不是一元一次不等式，故本小题不符合题意；
()含有一个未知数，未知数的次数是，且是用不等号连接的整式不等式，符合一元一次不等式的定义，是一元一次不等式，故本小题符合题意；
综上，是一元一次不等式的有()和()，共个．
故选：B．
【变式训练1-3】(23-24七下·安徽滁州金太阳中学·月考)下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次不等式“含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式”，熟记一元一次不等式的定义是解题关键．根据一元一次不等式的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、中，不是整式，则此项不是一元一次不等式，不符合题意；
B、中，含有两个未知数，则此项不是一元一次不等式，不符合题意；
C、中，的次数是2，则此项不是一元一次不等式，不符合题意；
D、是一元一次不等式，符合题意；
故选：D．
【变式训练1-4】(24-25八下·贵州贵阳南明区贵阳南明区华麟中学·月考)下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查不等式的定义，只含有一个未知数，并且未知数的次数是的不等式，叫做一元一次不等式．熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．
根据一元一次不等式的定义进行逐个分析，即可作答．
【详解】A、分母中含有未知数，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
B、，未知数的次数是，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
C、，含有两个未知数，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
D、，是一元一次不等式，故本选项符合题意；
故选：．
【变式训练1-5】(24-25八下·四川达州大竹县大竹中学·期中)下列各式是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次不等式“含有一个未知数，未知数的次数是1次的不等式，叫做一元一次不等式”，熟记一元一次不等式的定义是解题关键．根据一元一次不等式的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、不是一元一次不等式，则此项不符合题意；
B、不是一元一次不等式，则此项不符合题意；
C、是一元一次不等式，则此项符合题意；
D、中的的次数不是1次，不是一元一次不等式，则此项不符合题意；
故选：C．
题型二：利用一元一次不等式的定义求参数
【例题2】若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，解一元一次不等式，先结合是关于的一元一次不等式，得出，故，再解得，即可作答．
【详解】解：∵是关于的一元一次不等式，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
【变式训练2-1】(24-25七下·重庆鲁能巴蜀中学·期末)已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为
【答案】
【分析】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．利用一元一次不等式的定义判断即可．
【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式，
∴，，
解得：，
故答案为：．
【变式训练2-2】(24-25八下·辽宁沈阳大东区·期末)若是关于的一元一次不等式，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，绝对值，根据一元一次不等式的定义可得且，求解即可，正确把握定义是解题的关键．
【详解】解：∵是关于的一元一次不等式，
∴且，
解得，
∴的值为，
故答案为：．
【变式训练2-3】(24-25八下·广东梅州梅县区联考·期中)已知是关于的一元一次不等式，则的值是 ，这个一元一次不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义及解法，熟练掌握一元一次不等式中未知数次数为且系数不为是解题的关键．要确定的值，需根据一元一次不等式的定义，即未知数的次数为且系数不为；再解所得不等式求解集．
【详解】解：是关于的一元一次不等式，
未知数的次数，且系数．
由，解得；
由，得．
综上，．
把代入原不等式，得，即，
两边同时除以，得．
故答案为：； ．
【变式训练2-4】(24-25七下·甘肃武威第十二中学教育集团·期末)若关于x的不等式是一元一次不等式，则 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1且系数不为0，据此求解即可．
【详解】解：∵关于x的不等式是一元一次不等式，
∴且，
解得：，
故答案为：1．
【变式训练2-5】(24-25七下·陕西榆林高新一中·月考)关于x的不等式是一元一次不等式，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式定义，解题的关键在于正确理解一元一次不等式定义．
根据一元一次不等式定义，推出且，解之，即可解题．
【详解】解：关于x的不等式是一元一次不等式，
且，
解得且，
综上，；
故答案为：．
解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤类似。解一元一次不等式的一般步骤和依据如下：
题型三：在数轴上表示一元一次不等式
【例题3】不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解一元一次不等式，将不等式的解集表示在数轴上，先解一元一次不等式，再将解集表示在数轴上即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：解不等式可得，
将解集表示在数轴上如图所示：
故选：A．
【变式训练3-1】在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先去分母，再移项得，系数化为1得，最后把在数轴上表示出来，即可作答．
【详解】解：∵，
∴去分母得，
则移项得，
∴，
∴，
∴在数轴上表示如下：
．
故选：C
【变式训练3-2】(24-25七下·贵州遵义新蒲新区滨湖中学·期末)将不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．求出不等式的解集，进而将解集表示在数轴上即可．
【详解】解：，
解得：，
把解集在数轴上表示如下：
故选：A．
【变式训练3-3】(25-26八上·浙江温州苍南县龙港青华学校·月考)不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示解集，先解出一元一次不等式，然后在数轴上表示解集即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：
∴，
∴在数轴上表示解集为：
故选：．
【变式训练3-4】解不等式，下列在数轴上表示的解集正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式的解集为
在数轴上表示不等式的解集，应从表示的点向右画，并且不包含的点，即表示的点画空心圆圈即可.
【详解】解：
，
则解集在数轴上表示如下：
故选C
【变式训练3-5】在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】此题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集．先按照去分母去括号移项系数化为1的步骤解不等式，再把解集表示在数轴上即可．
【详解】解：，
去分母得，，
移项得，，
解得，．
把不等式的解集表示在数轴上如下：
故选：B
题型四：解一元一次不等式
【例题4】解不等式，并写出此不等式的非负整数解．
【答案】，非负整数解为：，，．
【分析】根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式的解集，进而求出其非负整数解即可．
本题考查求一元一次不等式的非负整数解，正确计算不等式的解集是解题的关键．
【详解】解：去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为得，，
非负整数解为：，，．
【变式训练4-1】(24-25七下·江苏东台梁垛镇中学·期中)解不等式，并把解集在数轴上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解．
【答案】图示见详解，最小整数解为
【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．先通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为解不等式，得到解集后在数轴上表示，再找出最小整数解即可．
【详解】由，
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为得，，
把解集在数轴上表示出来为：
则这个不等式的最小整数解为．
【变式训练4-2】(24-25七下·广东惠州博罗县·期末)解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】；图见解析
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求出不等式的解集，再把不等式的解集在数轴上表示出来即可．
【详解】解：先同时乘6，则，
即，
，解得，
解集在数轴上表示为：
．
【变式训练4-3】解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来．
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)，见详解
(2)，见详解
(3)，见详解
【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1，在数轴上表示该不等式的解集，即可作答．
（2）先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1，在数轴上表示该不等式的解集，即可作答．
（3）先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1，在数轴上表示该不等式的解集，即可作答．
【详解】（1）解：，
去括号，得，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化1，得；
∴在数轴上表示出来：
（2）解：，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，
系数化1得，；
∴在数轴上表示出来：
（3）解：，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化1得，．
∴在数轴上表示出来：
【变式训练4-4】解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴见解析．
【分析】本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．先对不等式进行求解，然后再在数轴上表示即可．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
解得：．
在数轴上表示不等式的解集为
【变式训练4-5】(24-25七下·贵州兴义民族师范学院附属中学·月考)解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来．
(1)
(2)
【答案】(1)，数轴见详解
(2)，数轴见详解
【分析】本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键；
（1）根据一元一次不等式的解法进行求解，然后再把解集在数轴上表示即可；
（2）根据一元一次不等式的解法进行求解，然后再把解集在数轴上表示即可．
【详解】（1）解：
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
系数化为1得：；
在数轴上表示如下：
（2）解：
去分母得：，
移项、合并同类项得：，
系数化为1得：；
在数轴上表示如下：
题型五：二元一次方程组与一元一次不等式综合
【例题5】已知方程组的解满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式的综合应用，解题的关键是通过将方程组两方程相加直接得出的表达式，无需单独求解、，再代入不等式求解的取值范围．
将方程组的两个方程左右两边分别相加，得到含的等式；化简等式求出的表达式；根据列出关于的一元一次不等式；解不等式得到的取值范围，对应选项确定答案．
【详解】解：
将两方程左右两边分别相加：，
化简得：，即，
因，故，
两边同乘3得：，
移项得：，
解得：，
故选：C．
【变式训练5-1】(24-25七下·山东济宁梁山县·期末)若方程组的解满足，且，则整数k的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程和不等式的综合问题，掌握以上知识是解答本题的关键．
本题可运用加减消元法，将，用含的代数式表示，然后根据，且，得出的范围，再根据为整数可得出的值．
【详解】解：，
得：，
∴，
∵，
∴，
解得：，
把代入②得：，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵为整数，
∴可取0，1，2，3，
∴的个数为4个．
故选：B．
【变式训练5-2】(25-26八上·浙江杭州拱墅区启正中学·开学考)若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，解一元一次不等式．
两方程相加可得，再根据求解即可．
【详解】，
得，
即，
∵关于x、y的二元一次方程组的解满足，
∴，
解得：，
故选：D．
【变式训练5-3】(24-25七下·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校·月考)若方程组的解满足，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是二元一次方程组和一元一次不等式的综合问题，解题的关键是掌握相关知识．方程组两方程相加，变形后表示出，代入已知不等式计算即可求出的范围．
【详解】解：
得：
，
方程组的解满足，
，
解得：，
故选：C．
【变式训练5-4】(24-25七下·江苏东台梁垛镇中学·期末)若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查解二次一次方程组，解一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先通过加减消元法求出的表达式，再根据已知条件列出关于的不等式，解不等式得到的取值范围．
【详解】根据方程组，
由得：，
，
，
，
解得，
故答案为：．
【变式训练5-5】(24-25七下·黑龙江哈尔滨南岗区工大附中·期中)方程组的解、满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，以及一元一次不等式的求解，求解出是解决本题的关键．
先通过方程组求出关于的表达式，再根据列出关于的不等式，进而求出的取值范围．
【详解】解：将两个方程左右两边分别相加，可得：，
去括号得：，
合并同类项得：，
提取公因式得：，
两边同时除以得：，
∵，
∴，解得．
故答案为：．
题型六：分式方程与一元一次不等式综合
【例题6】若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
【答案】D
【分析】本题主要考查解分式方程、分式方程的解等知识点，掌握解分式方程步骤是解题的关键．
解分式方程用m表示x，再根据关于x的分式方程的解是正数以及分式方程的增根列不等式求出m的取值范围即可．
【详解】解：，
方程两边同乘以得，解得：，
∵关于的分式方程的解是正数，
∴且，解得：且．
∴m的取值范围为且．
故选：D．
【变式训练6-1】若关于的分式方程的解为正实数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．且
C．且 D．
【答案】C
【分析】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法．利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：，
方程两边同乘得，，
解得，，
，
，
由题意得，，
解得，
实数的取值范围是：且．
故选：C．
【变式训练6-2】(24-25八下·江苏宿迁沭阳县如东实验学校·期末)若关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查解分式方程，分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程及不等式的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，根据题意列出关于k的一元一次不等式，解不等式并结合方程有意义的条件即可求得k的取值范围．
【详解】解：去分母，得，
解得，
∵该分式方程的解是非负数，且，
∴，且，
解得且．
故答案为：且．
【变式训练6-3】(2025·江苏省南通市如皋市·模拟)已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题主要考查了分式方程的求解方法以及根据方程解的取值范围确定参数取值范围的能力，同时要考虑到分式方程中分母不能为零这一重要条件．熟练掌握分式方程的求解步骤，以及能够根据题目条件准确列出关于参数的不等式组是解题的关键．
首先解给定的分式方程，将方程的解用含的表达式表示出来；然后根据方程的解为非负数这一条件，以及分式方程中分母不能为零的限制，列出关于的不等式组；最后求解这个不等式组，得到的取值范围．
【详解】解：
，
，
，
，
，
．
∵分式方程分母不能为，即，，
∴，．
又∵方程的解为非负数，
∴，．
综上，且．
故答案为：且．
【变式训练6-4】(24-25七下·江西景德镇·期中)已知关于x的方程的解适合，则的范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查了分式方程的解以及不等式的求解，解题的关键是先求解分式方程，再结合不等式的条件确定的范围．
先解分式方程得到关于的表达式，再根据不等式求出的范围，进而确定的范围，同时要考虑分式方程分母不为0的情况．
【详解】解：方程，两边同乘得：，
移项可得：，即，
求解不等式
因为，不等式两边同时除以一个负数，不等号方向改变，
所以，
由，解得－，
即，
又因为分式方程分母，即，
所以，移项可得，即，
综上，的范围是且．
故答案为：且．
【变式训练6-5】(24-25七下·安徽合肥长丰县梅冲湖中学·月考)已知关于的分式方程．
（1）若此方程无解，则的值为 ．
（2）若此方程的解为正数，则的取值范围为 ．
【答案】 且
【分析】本题考查了解分式方程，以及根据分式方程解的情况求参数．
（1）将分式方程化为整式方程，根据此方程无解，建立等式求解，即可解题；
（2）根据此方程的解为正数，建立不等式求解，并考虑无解的情况，即可解题．
【详解】解：（1）
，
若此方程无解，则，解得；
（2）若此方程的解为正数，则，解得；
∵时，方程无解，
∴且．
故答案为：，且．
题型七：根据不等式的解集求解
【例题7】若不等式的解是，则不等式的解为 ．
【答案】/
【分析】此题考查了由不等式的解集求参数，解一元一次不等式，解题的关键是得到．
首先根据题意得到，，得到，，然后代入解不等式即可．
【详解】解：∵不等式的解是，
∴，且
∴，，
∴，
∴，
∴
∴
∴．
故答案为：．
【变式训练7-1】若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查的知识点是一元一次不等式的求解，以及根据不等式的解集确定不等式中参数的取值范围，进而求解另一个相关不等式；根据一元一次不等式的基本性质，在不等式两边同时除以一个负数时，不等号方向要改变，可判断出，且利用已知不等式的解集是，得，且，从而确定参数之间的关系，再代入到另一个不等式中进行求解．
【详解】解：∵，
∴，
若，则，
若，则，
∵不等式的解集是，
∴，
∴，
∴，且，
∵，
即：，
，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式训练7-2】当a 时，不等式的解集是．
【答案】
【分析】本题考查解一元一次不等式，不等式的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．
解需不等式两边同除以，由题目所给解集可知不等号方向改变，因此，计算可得答案．
【详解】解：解，需不等式两边同除以，
∵解集为，不等号方向改变，
∴，
解得．
故答案为：．
【变式训练7-3】(24-25七下·上海曹杨第二中学附属实验中学·月考)已知关于的不等式的解集是，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了不等式的性质、解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．先根据不等式的性质可得，再解不等式即可得．
【详解】解：∵关于的不等式的解集是，
∴，
解得，
故答案为：．
【变式训练7-4】关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式的解法及不等式性质的应用，解题的关键是根据已知不等式的解集确定系数的正负关系和a与b的数量关系，再代入所求不等式求解．
先将已知不等式整理为标准形式，根据解集的不等号方向判断未知数系数的正负；再结合解集的具体值建立等式，求出a与b的关系；接着根据系数正负确定b的符号；最后将a用b表示代入所求不等式，判断其未知数系数的正负，进而求解不等式．
【详解】解：对不等式整理得：．
∵该不等式的解集为，
∴不等号方向改变，即且．
由得：
展开得：
移项合并得：即．
∵代入得：
∴则．
对不等式将代入：
左边系数：
右边常数：
不等式化为：．
∵
∴
不等式两边同时除以（正数），不等号方向不变，．
故答案为：．
【变式训练7-5】(24-25七下·湖南邵阳新邵县·期末)不等式的解集为，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．先判断出，再解一元一次不等式即可得．
【详解】解：∵不等式的解集为，
∴，
解得，
故答案为：．
题型八：已知一元一次不等式的整数解求参数
【例题8】关于x不等式有且只有2个负整数解，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了根据一元一次不等式的解的情况求参数，先求出解集，然后根据不等式有且只有2个负整数解得到参数的取值，根据解的情况求出参数的取值是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵关于x的不等式有且只有2个负整数解，
∴负整数解有：，
∴，
解得：，
故选：A．
【变式训练8-1】(24-25七下·江苏苏州中学伟长班·期中)若关于的不等式的正整数解恰有两个，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查一元一次不等式正整数解的应用，理解正整数解的个数与不等式中参数取值范围的关系是关键．先确定满足“正整数解恰有两个”时正整数解的具体值，再据此分析实数的取值范围，从而求出的最大值．
【详解】解：∵正整数解恰有两个，而最小的正整数是，
∴这两个正整数解为和，
要使正整数解是和，那么要大于（如果，则的正整数解只有 ）；
同时不能大于（如果，则的正整数解会有，可能还有，不满足恰有两个正整数解），
∴，
∴的最大值为．
故选：D．
【变式训练8-2】(24-25七下·安徽铜陵枞阳县·期末)若关于x的不等式的正整数解是1、2、3，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了不等式正整数解的知识，首先解不等式得到解集范围，再根据正整数解的情况确定参数a的上下限，即可获得答案．
【详解】解：解不等式，得，
∵该不等式的正整数解为1、2、3，
∴．
故选：D．
【变式训练8-3】(24-25八下·辽宁辽阳·期末)若关于的不等式有2个正整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了关于x不等式的正整数解及解一元一次不等式组的解集问题，解题的关键是：根据关于x不等式的正整数解的情况来确定关于m的不等式组的取值范围，其过程需要熟练掌解不等式的步骤．首先解关于x的不等式，然后根据x只有2个正整数解，来确定关于m的不等式组的取值范围，再进行求解即可．
【详解】解：解不等式得： ，
∵原不等式有2个正整数解，
∴这2个正整数解为：1、2，
∴，
∴．
故选：C．
【变式训练8-4】(24-25七下·安徽合肥合肥新站高新技术产业开发区合肥三十中联考·期末)关于的一元一次不等式的解集如图所示，且该不等式的负整数解有且只有四个，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了数轴表示解集、不等式的整数解、解不等式组等知识点，根据不等式的解集情况得到关于m的不等式组成为解题的关键．
根据不等该不等式的负整数解有且只有四个，可知这四个负整数解为；再根据数轴可得，进而得到关于m的不等式组求解即可．
【详解】解：∵该不等式的负整数解有且只有四个，
∴这四个负整数解为，
由数轴可知不等式解集为：，
∴，即．
故选：A．
【变式训练8-5】(24-25七下·广西南宁三中初中部青秀校区·期末)若关于的不等式至少有3个正整数解．则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的整数解等知识点．
求出不等式的解集，根据已知得出，根据至少有3个正整数解求出的范围即可．
【详解】解：，
解得：，
∵关于的不等式至少有3个正整数解，
∴，
∴，
故选：C．
题型九：求一元一次不等式解得最值
【例题9】已知a，b，c为三个非负实数，且满足，若，则W的最大值为（ ）
A．20 B．40 C．60 D．80
【答案】D
【分析】本题考查了解三元一次方程组及不等式约束条件下的最值问题．先通过方程组消元，消去变量c，建立a与b的关系，再将a的表达式代入c的表达式，得到c与b的关系式，利用非负条件限制b的取值范围（b最大为），再把a，c代入W的表达式，化简为只含b的表达式，最终取b的最大值计算W的最大值即可得出结果．
【详解】解：，
由①得，，
将c代入②：，
∴，
∴，
代入c的表达式：，
∵a，b，c为三个非负实数，
∴，，
∴，
∵，
∴当时，W取得最大值：
此时．
故选：D．
【变式训练9-1】(24-25七下·广东汕头澄海区·期末)已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（ ）
A．3 B．-3 C．4 D．-4
【答案】A
【分析】将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可．
【详解】∵是不等式的一个解，
∴，
解得，
∴整数k的最小值是3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
【变式训练9-2】(24-25七下·河南南阳西峡县·期末)已知二元一次方程组，，则的最小值是（ ）
A．1 B． C．0 D．
【答案】B
【分析】先解二元一次方程组，再根据条件列出不等式，解不等式即可求得答案．
【详解】
①②得：
①②得：
解得
的最小值为．
故选B．
【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式，根据题意列出不等式是解题的关键．
【变式训练9-3】(23-24七下·江苏泰州兴化·期末)关于的不等式的最小整数解为，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式；
先解不等式求出x的取值范围，再根据题意得出关于n的方程，求解即可．
【详解】解：解不等式得：，
∵关于的不等式的最小整数解为，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练9-4】(24-25七下·福建泉州泉港区·期末)已知实数，，．若，则的最大值为 ．
【答案】6
【分析】由得，与相加得，由及，可得a的最大值为3，从而得出的最大值．
【详解】解：由得，
由得，
及，
解得：，
的最大值为3，
的最大值．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了不等式的性质运用．关键是由已知等式得出的表达式，再求最大值．
【变式训练9-5】(24-25八下·河南平顶山·期中)对于实数对，定义偏左数为，偏右数为．对于实数对，若，则x的最小整数值是 ．
【答案】8
【分析】根据题干信息先求出和，再求解不等式即可．
【详解】解：对于实数对，定义偏左数为，偏右数为，
对于实数对，，，
，
，
解得：，
的最小整数值是8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，新定义，解题的关键是根据题干所给信息列出不等式．
题型十：解|x|＞a型的不等式
【例题10】先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有大于且小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为．
(1)的解集为______；
(2)解不等式；
(3)解不等式．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了绝对值的意义，不等式组的解集，加减消元法解二元一次方程组等知识．理解题意是解题的关键．
（1）根据题意求解集即可；
（2）根据题意解不等式即可；
（3）根据题意解不等式即可．
【详解】（1）解：由题意知，的解集为，
故答案为：；
（2）解：由题意得不等式可化为，
解得；
（3）解：不等式可化为或，
解得或．
【变式训练10-1】(23-24七下·江苏盐城建湖县秀夫实验初级中学·月考)先阅读，再完成练习．
一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．
，x表示到原点的距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数，它们到原点的距离小于3，所以的解集是；
，x表示到原点的距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数，它们到原点的距离大于3，所以的解集是或．
解答下面的问题：
(1)解不等式．
(2)解不等式．
(3)直接写出不等式的解集： ．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义、解不等式等知识点，从材料中得到解题方法是解题的关键．
（1）把当做一个整体，然后利用阅读求出的取值范围，进而确定x的取值范围即可；
（2）把当做一个整体，然后利用阅读求出的取值范围，进而确定x的取值范围即可；
（3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴．
（2）解：，
∴或，
∴或．
（3）解：在数轴上找出的解．
由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．
∵在数轴上1和对应的点的距离为3，
∴满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．
若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得，
∴方程的解是或，
∴不等式的解集为．
故答案为．
【变式训练10-2】(24-25八下·江西南昌二中教育集团初中部联考·期末)如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题．
例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义，
∵
∴的解集为，
∵
∴解集为或．
根据以上探究，解答下列问题：
(1)填空：不等式的解集为______；
(2)解不等式；
(3)求不等式的解集．
【答案】(1)或；
(2)；
(3)或．
【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，绝对值以及不等式的定义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法，理解绝对值、不等式的定义是正确解答的关键．
（1）根据题目所提供的数轴解法进行解答即可；
（2）根据题目所提供的数轴解法进行解答即可；
（3）根据所表示的意义，用数轴表示，进而得出x的取值范围即可．
【详解】（1）解：不等式的解集为或，
故答案为：或；
（2）解：不等式的解集为，
解得；
（3）解：所表示的意义为：数轴上表示数x的点，到表示数2，的点的距离之和大于7，
由数轴可知，
所以不等式的解集为或．
【变式训练10-3】(24-25七下·河北保定唐县·期末)小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．求绝对值不等式的解集．小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出时的值，并在数轴上表示为点，，如图所示．观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于2；点与点之间的点表示的数的绝对值小于2；点右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或．
【迁移应用】
(1)填空：的解集是_____；
(2)求绝对值不等式的解集；
(3)已知关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围_____．
【答案】(1)或
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查了解含绝对值的不等式，解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键．
（1）先求出时的x的值，再仿照题意可得答案；
（2）当时，则或，分界点把数轴分为三部分：
数左边的数与数的差的绝对值大于；数和数之间的数与数的差的绝对值小于等于3；数2右边的数与的差的绝对值大于3，据此可得答案；
（3）把方程组中的两个方程相加可得，则，同（2）分析可得答案．
【详解】（1）解：当时，，
∴根据题意可得的解集是或；
（2）解：当时，则或，
解得或，
，
分界点把数轴分为三部分：
数左边的数与数的差的绝对值大于；
数和数之间的数与数的差的绝对值小于等于3；
数2右边的数与的差的绝对值大于3，
∴的解集为或；
（3）解：，
∴方程组中的两个方程相加可得，
∵，
∴，
当时，则或，解得或，
，
分界点把数轴分为三部分：
数左边的数与数的差的绝对值大于；
数和数之间的数与数的差的绝对值小于等于3；
数2右边的数与的差的绝对值大于3，
∴的解集为．
【变式训练10-4】(24-25七下·福建漳州龙海区·期中)【阅读材料】
我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离，例如表示数轴上表示这个数的点到原点的距离，那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离，于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于或等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1的距离小于或等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点），这样我们就可以得到不等式的解集为．
【解决问题】
参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题：
(1)不等式的解集为___________．
(2)求不等式的解集．
(3)求不等式的解集．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查了绝对值、数轴与不等式．
（1）根据绝对值的意义及数轴求解；
（2）根据绝对值的意义及数轴求解；
（3）先把不等式变形，再根据绝对值的意义及数轴求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：法①：在数轴上到2的距离大于或等于3的点对应的数小于或等于或者大于或等于5，
不等式的解集为或；
法②：不等式可化为或，
解得：或；
不等式的解集为或；
（3）解：不等式可化为，
，
所以原不等式的解集为：．
【变式训练10-5】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．
⑴. 发现问题：代数式的最小值是多少？
⑵. 探究问题：如图，点分别表示的是 ，．
∵的几何意义是线段与的长度之和
∴当点在线段上时，;当点点在点的左侧或点的右侧时
∴的最小值是3．
⑶.解决问题：
①.的最小值是 ；
②.利用上述思想方法解不等式：
③.当为何值时，代数式的最小值是2．
【答案】①6；②或；③或
【分析】(3)①根据绝对值的几何意义可知，变成数轴上的点到-2的距离和到4的距离之和的最小值；
②根据题意画出相应的图形，确定出所求不等式的解集即可；
③根据原式的最小值为2，得到3左边和右边，且到3距离为2的点即可．
【详解】解：(3)①设A表示的数为4，B表示的数为-2，P表示的数为x，
∴表示数轴上的点P到4的距离，用线段PA表示，
表示数轴上的点P到-2的距离，用线段PB表示，
∴的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时取得最小值为AB，
且线段AB的长度为6，
∴的最小值为6.
故答案为：6.
②设A表示-3，B表示1，P表示x，
∴线段AB的长度为4，则，
的几何意义表示为PA+PB，
∴不等式的几何意义是PA+PB＞AB，
∴P不能在线段AB上，应该在A的左侧或者B的右侧，
即不等式的解集为或．
故答案为：或．
③设A表示-a，B表示3，P表示x，
则线段AB的长度为，
的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时PA+PB取得最小值，
∴
∴或，
即或；
故答案为：或.
【点睛】此题考查了解一元一次不等式，数轴，绝对值，以及数学常识，掌握绝对值的几何意义，学会分类讨论是解决本题的关键．
