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专题3.4一元一次不等式的应用八大题型
（一课一讲）
题型一：列一元一次不等式
【例题1】某次知识竞赛共有25道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分，小亮得分要超过70分，他至少要答对多少道题？如果设小亮答对了x道题，根据题意列式得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查列一元一次不等式，根据题中的数量关系列出不等式是解题的关键．
设小亮答对x道题，则答错或不答道题．根据得分规则，总得分等于答对得分减去答错扣分，需超过70分建立不等式即可解答．
【详解】解：设小亮答对了x道题，根据题意，得
．
故选：A．
【变式训练1-1】(24-25七下·海南文昌·期末)第十四届冬运会期间，某商店购进了一批服装，每件进价为200元，并以每件300元的价格出售，冬运会结束后，商店准备将这批服装降价处理，打折出售，使得每件衣服的利润率不低于，根据题意可列出来的不等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了列一元一次不等式，根据打折出售，得出折后的售价为，再结合利润率的公式，进行列式，即可作答．
【详解】解：依题意，打折出售，得出折后的售价为
∵每件进价为200元，且每件衣服的利润率不低于，
∴，
故选：B．
【变式训练1-2】(24-25七下·江西南昌三中教育集团·期末)用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素含量及购买这两种原料的价格如表：现配制这种饮料，要求至少含有单位的维生素，若所需甲种原料的质量为，则x应满足的不等式为（ ）
甲种原料 乙种原料
维生素C含量（单位/kg） 600 100
原料价格（元/kg） 8 4
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，理解表格，会把文字语言转换为数学语言是解决问题的关键．
首先由甲种原料所需的质量和饮料的总质量，表示出乙种原料的质量，再结合表格中的数据，根据“至少含有4200单位的维生素C”这一不等关系列不等式．
【详解】解：若所需甲种原料的质量为，则需乙种原料．
根据题意，得．
故选：D．
【变式训练1-3】(2023·浙江省宁波市·)对山体进行爆破时人应离爆破点以外（包括180米）才安全，导火索燃烧的速度是，点燃导火索后人马上以的速度离开，问导火索的长度至少要多少？设导火索的长度为，则列出的不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了根据题意列一元一次不等式．
由题意可知人应离导火索才安全，根据导火索的燃烧时间不小于人离开的时间列不等式即可．
【详解】解：∵对山体进行爆破时人应离爆破点以外（包括180米）才安全，设导火索的长度为，
∴人应离导火索才安全，
∵导火索燃烧的速度是，点燃导火索后人马上以的速度离开，
∴，
故选：B．
【变式训练1-4】(24-25七下·河北邢台威县·期末)某班级举行趣味问答活动，共有25道题，答对一题得4分，答错或不答扣2分，要使总得分不低于60分，则至少应该答对几道题？若设答对道题，可得不等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了从实际问题抽象出一元一次不等式，设答对x道题，根据总得分不低于60分列出一元一次不等式即可．
【详解】解：设答对x道题，则答错或不答的题共道，
由题意可得：．
故选：C．
【变式训练1-5】(24-25七下·湖南株洲荷塘区·期末)某校组织开展国家安全知识竞赛活动，共25道题，选对一题得4分，不选或选错扣2分，如果得分不低于60分即可获奖，那么要获奖至少应选对多少道题？设要获奖应选对道题，根据题意，可列不等式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的不等量关系．设要获奖应选对道题，则不选或错选的有道，根据题意列不等式求解即可．
【详解】解：设要获奖应选对道题，则不选或错选的有道，
根据题意得，，
故答案为：．
题型二：一元一次不等式实际应用之销售利润问题
【例题2】某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式，其中精包装每盒，售价25元，简包装每盒，售价35元．
(1)在实践活动中，学生共售出草莓350，销售总收入为8500元，请问两种包装分别销售了多少盒？
(2)已知每个精包装盒的成本为1元，简包装盒的成本为元，现需要将草莓恰好整盒分装完，且使购买包装盒的成本不超过13元，是否存在符合要求的分装方案？请通过计算说明．
【答案】(1)售出精装草莓200盒，则简装草莓100盒
(2)分装精装草莓1盒，则简包草莓23盒
【分析】（1）设售出精装草莓x盒，简装草莓盒，根据题意，得，解答即可；
（2）设分装精装草莓m盒，则简装草莓盒，根据题意，，且m是正整数，求得正整数解判定解答即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，熟练掌握解方程组，不等式是解题的关键．
【详解】（1）解：设售出精装草莓x盒，简装草莓盒，根据题意，得，
解得，
答：售出精装草莓200盒，则简装草莓盒．
（2）解：设分装精装草莓m盒，则简装草莓盒，根据题意，得
，
解得，
∵m是正整数，
∴，
∴取最大整数为，
故存在符合要求的分装方案，分装精装草莓1盒，简装草莓23盒．
【变式训练2-1】(24-25八上·湖南永州冷水滩区·期末)年月日，中国春节被列入世界非物质文化遗产，春节贴春联是中华民族的传统习俗．某商店为了满足人们的需求，计划在春节前购进甲、乙两种春联进行销售．经了解，每副乙种春联的进价比每副甲种春联的进价多元，用元购进甲种春联的数量与用元购进乙种春联的数量相同．
(1)甲、乙两种春联每副的进价分别是多少元？
(2)该商家计划购进这两种春联共副（两种都有），其中甲、乙两种春联的售价分别为元/副、元/副，若两种春联全部售完时获得的利润不低于元，问商家最多可以购进多少副甲种春联？
【答案】(1)每副甲种春联的进价为元，每副乙种春联的进价为元；
(2)商家最多可以购买副甲种春联．
【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，熟练掌握列分式方程和一元一次不等式解决实际问题的方法是解题的关键．
（1）通过设甲种春联进价为未知数，依据两种春联购进数量相同这一条件，列分式方程求解进价．
（2）设购进甲种春联数量，进而表示出乙种春联数量，根据利润不低于给定值的条件，列一元一次不等式求解．
【详解】（1）解：设每副甲种春联的进价为x元，则每副乙种春联的进价为元，
根据题意得：，解得，
经检验，是原方程的根，此时，
答：每副甲种春联的进价为6元，每副乙种春联的进价为8元；
（2）解：设购进甲种春联m副，则购进乙种春联副，
根据题意得：，
解得，
又∵m为正整数，
∴m可以取的最大值为150．
答：商家最多可以购买150副甲种春联．
【变式训练2-2】2023年9月15日至17日，第二届湖南旅游发展大会在郴州市隆重举行，大会吉祥物“山侠”和“水仙”，以郴州的“山之侠气”“水之仙气”为灵感创作．
(1)某商店用3600元共购进“山侠”和“水仙”两种吉祥物公仔110个，用于购买“山侠”公仔与购买“水仙”公仔的总费用相同，且“山侠”公仔的单价是“水仙”公仔的1.2倍．求该商店购进的“山侠”和“水仙”公仔的单价分别是多少元？
(2)吉祥物很受欢迎，公仔很快就卖完了，该商店计划用不超过10200元的资金再次购进“山侠”和“水仙”两种吉祥物公仔共300个．已知两种公仔的进价不变，求“山侠”公仔最多能购进多少个．
【答案】(1)“水仙”公仔的单价为元，则“山侠”公仔的单价为元
(2)“山侠”公仔最多能购进个
【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设“水仙”公仔的单价为元，则“山侠”公仔的单价为元，先求出购买“山侠”公仔与购买“水仙”公仔的总费用，再根据“商店用3600元共购进“山侠”和“水仙”两种吉祥物公仔110个”建立分式方程求解；
（2）设购进“山侠”个，则购进“水仙”个，根据“商店计划用不超过10200元的资金”建立一元一次不等式求解．
【详解】（1）解：设“水仙”公仔的单价为元，则“山侠”公仔的单价为元，
由题意得，购买“山侠”公仔与购买“水仙”公仔的总费用都为（元），
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴“山侠”公仔的单价为（元）
答：“水仙”公仔的单价为元，则“山侠”公仔的单价为元；
（2）解：设购进“山侠”个，则购进“水仙”个，
由题意得，，
解得：，
答：“山侠”公仔最多能购进个．
【变式训练2-3】(2025·安徽省滁州市·模拟)某厂生产一种零件，每个成本为元，销售单价为元．该厂为鼓励客户购买这种零件，决定当一次购买零件数超过个时，每多购买一个，全部零件的销售单价均降低元，但不能低于元．
(1)当一次购买多少个零件时，销售单价恰为元？
(2)当客户一次购买个零件时，该厂获得的利润是多少？
(3)当客户一次购买个零件时，该厂获得的利润是多少？利润售价成本
【答案】(1)个
(2)元
(3)元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，设当一次购买个零件时，销售单价恰为元，进行列出方程，再进行解方程，即可作答．
（2）结合当一次购买个零件时，销售单价恰为元，根据客户一次购买个零件，进行列式计算，即可作答．
（3）根据当一次购买零件数超过个时，每多购买一个，全部零件的销售单价均降低元，且客户一次购买个零件，进行列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵每个成本为元，销售单价为元，决定当一次购买零件数超过个时，每多购买一个，全部零件的销售单价均降低元，但不能低于元，
设当一次购买个零件时，销售单价恰为元，
依题意得：
解之得：；
依题意，，
，
故符合题意，
即当一次购买个零件时，销售单价恰为元；
（2）解：由（1）得当一次购买个零件时，销售单价恰为元；
∵，
当客户一次购买个零件时，该厂获得的利润是：（元）
（3）解：当客户一次购买个零件时，
该厂获得的利润是：
【变式训练2-4】赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品．临近春节，某水果商店老板想购进一批赣南脐橙进行销售，已知用1200元购买的精品果箱数与用900元购买的普通果箱数相同，每箱精品果比普通果的价格贵15元．
(1)求精品果和普通果每箱的价格；
(2)若该老板想要购进精品果与普通果共100箱，且花费不超过5000元，求最少要购进普通果多少箱．
【答案】(1)精品果每箱的价格为60元，普通果每箱的价格为45元
(2)最少要购进普通果67 箱
【分析】本题考查了分式方程的实际应用与一元一次不等式的实际应用，理解题意，正确列出方程与不等式是关键；
（1）设精品果每箱的价格为x元，则普通果每箱的价格为元，根据等量关系：用1200元购买的精品果箱数与用900元购买的普通果箱数相同，列出分式方程并求解，最后检验即可．
（2）设购进普通果m箱，则购进精品果箱，根据不等关系：购进精品果与普通果共花费不超过5000元，列出不等式，解不等式，求出最小整数解即可．
【详解】（1）解：设精品果每箱的价格为x元，则普通果每箱的价格为元．
根据题意得，
解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
∴（元），
答：精品果每箱的价格为60元，普通果每箱的价格为45元；
（2）解：设购进普通果m箱，则购进精品果箱．
根据题意得，，
解得
∴符合题意的m的最小值为67，
答：最少要购进普通果67 箱．
【变式训练2-5】(24-25八下·[名校联盟]辽宁辽阳九中·期末)辽阳广佑寺的门票每张元，一次使用，考虑到人们的不同需要，也为了吸引更多的游客，该寺除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买年票”的方法．年票分为A、B、C三种：A年票每张元，持票进入不用再买门票；B类每张元，持票进入寺内需要再买门票，每张2元，C类年票每张元，持票进入寺内时，购买每张3元的门票．
(1)如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用元花在该寺的门票上，试通过计算，找出可使进入该寺的次数最多的购票方式．
(2)求一年中进入该寺至少多少时，购买A类年票才比较合算．
【答案】(1)用元花在该寺门票上，买C类票次数最多次
(2)一年中进入该寺至少次时，购买A类比较合算
【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
（1）对三类票，分别计算，再作出判断；
（2）设一年中进入该寺次，对B、C两类，分别列不等式求解，再与A类比较即可得结论．
【详解】（1）解：①直接买票：（张）；
②A年票每张元，，
∴A类不够买.
③B类可以买（张）；
④C类可以买，即可买张，
综上所述，用元花在该寺门票上，买C类票次数最多次；
（2）解：设一年中进入该寺次，
A类票：A年票每张元，
B类票：，
解得：，
C类票：，
所以，
直接买票：,
解得,
所以一年中进入该寺至少31次时，购买A类比较合算
题型三：一元一次不等式实际应用之工程问题
【例题3】某农场要在面积为400万平方米的土地上播种玉米，为了尽量减少种植的时间，实际播种时，若每小时比原计划多播种，就可以提前10小时完成播种任务．
(1)求原计划每小时播种多少万平方米？
(2)若有甲、乙两台播种机参与播种，其中甲播种机每小时可播种12万平方米，乙播种机每小时可播种8万平方米，若安排甲播种机先播种一段时间后离开，再由乙播种机完成播种任务，在保证至少提前10小时完成播种任务的前提下，甲播种机至少要播种多少小时？
【答案】(1)原计划每小时播种8万平方米
(2)甲播种机至少要播种20小时
【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，分析题意找到合适的等量关系是解决问题的关键，注意分式方程要检验．
（1）设原计划每小时播种万平方米，根据题意列出方程解答即可;
（2）设甲播种机播种小时，根据题意列出不等式解答即可．
【详解】（1）解：设原计划每小时播种x万平方米，
由题意得：
解得：
经检验是原方程的解，
答：原计划每小时播种8万平方米．
（2）解：设甲播种机播种a小时，
则乙播种机播种小时，
根据题意得
解得
答：甲播种机至少要播种20小时．
【变式训练3-1】(24-25八下·黑龙江哈尔滨南岗区虹桥中学·模拟)某市新区为美化环境，计划对面积为3600平方米的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．
(1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少平方米？
(2)若每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过16万元，至少应安排甲队工作多少天？
【答案】(1)甲每天能完成绿化的面积为100平方米，乙队每天能完成绿化的面积为50平方米
(2)20
【分析】本题主要考查了列分式方程解决实际问题，列一元一次不等式解决实际问题，解题的关键是理解题意，找出等量关系和不等关系．
（1）假设乙队每天能完成绿化的面积为平方米，则甲每天能完成绿化的面积为平方米，根据完成400平方米的绿化天数，列出方程求解即可；
（2）设安排甲队工作天，则乙队工作的天数为天，根据花费钱数列出不等式，然后求解即可．
【详解】（1）解：假设乙队每天能完成绿化的面积为平方米，则甲每天能完成绿化的面积为平方米，根据题意得，
解得，
经检验，是分式的方程的解，并符合题意，
∴，
答：甲每天能完成绿化的面积为100平方米，乙队每天能完成绿化的面积为50平方米；
（2）解：设安排甲队工作天，则乙队工作的天数为天，根据题意得，
，
解得，
∴至少应安排甲队工作20天．
【变式训练3-2】(23-24七下·湖北武汉七一华源中学·月考)某果农将1000斤水果以果篮的形式出售，圆篮每篮8斤，售价160元；方篮每篮18斤，售价270元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤水果（两种方式都有）．
(1)当销售总收入为16760元时．
①若这批水果全部售完，请问圆篮共包装了多少篮，方篮共包装了多少篮？
②若果农留下篮圆篮水果送给福利院，其余的水果全部售出，求的值；
(2)该果农用大、中两种货车运送方篮水果720篮，大车比中车每车多送30篮，若一半水果用大车送，一半水果用中车送．运送完这批水果，大、中货车运送车次比为3：4，求每辆大、中货车各运送方篮水果几篮？
【答案】(1)①圆篮共包装了44篮，则方篮共包装36 篮；②b的值为9或18
(2)每辆大货车运送方形杨梅120篮，每辆中货车运送方形杨梅90篮
【分析】本题主要考查了本二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式和分式方程的实际应用，解答本题的关键是仔细审题，理解题目所述的意思，转化为方程思想求解．
（1）①设圆篮共包装了x篮，则方篮共包装y 篮，根据等量关系可得出方程组，解出即可；②设此时出售了m篮圆篮，n篮方篮杨梅，根据等量关系可得出关于m和n的方程组，根据n为正整数，可以求出b的大致范围以及b为9的倍数，从而得到b的值；
（2）每辆大货车运送方形水果p篮，则每辆中货车运送方篮水果篮，再根据运送完这批水果大中货车运送车次比为列方程组求解即可．
【详解】（1）解：①设圆篮共包装了x篮，方篮共包装y 篮，由题意，得
，
解得：，
答：圆篮共包装了44篮，则方篮共包装36 篮．
②设此时出售了m篮圆篮水果，n篮方篮水果，
由题意得，
解这个关于m和n的方程组，可得：，
∵n为正整数，
∴，且b应为9的倍数，
解得：，
∴b的值为9或18．
（2）解：设每辆大货车运送方篮水果p篮，则每辆中货车运送方篮水果篮，
由题意得， ，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴
答：每辆大货车运送方篮水果120篮，每辆中货车运送方篮水果90篮．
【变式训练3-3】(24-25八上·广西桂林第一中学·)在某市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲工程队每天能完成绿化的面积是乙工程队每天能完成绿化面积的2倍，如果两工程队各自独立完成的绿化面积，那么甲工程队比乙工程队少用6天．
(1)甲、乙两个工程队每天能完成绿化的面积分别是多少？
(2)若甲工程队每天绿化费用为1.2万元，乙工程队每天绿化费用为0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，且乙工程队施工时间不超过36天，则一共有多少种安排方案？（工作天数为整数）
【答案】(1)甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是、；
(2)一共有3种安排方案．
【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．
（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是，根据题意列出方程：，解方程即可；
（2）设甲工程队施工天，乙工程队施工天刚好完成绿化任务，由题意得：，则，根据题意得出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设乙工程队每天能完成绿化的面积是，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是，
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是、；
（2）解：设甲工程队施工天，乙工程队施工天刚好完成绿化任务，
由题意得：，则，
根据题意得：，
解得：，
因为：，
所以，
又是整数，可取32或33或34或35或36，
且也是整数，则可取32或34或36，
答：一共有3种安排方案．
【变式训练3-4】(24-25八下·陕西咸阳乾县吴店九年制学校·期末)某单位为美化环境，计划对面积为1600平方米的区域进行绿化，现安排甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的1.2倍，并且在独立完成面积为480平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用2天．
(1)甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少平方米？
(2)若该单位每天需付给甲队的绿化费用为550元，付给乙队的费用为500元，要使这次的绿化总费用不超过19800元，至少安排甲队工作多少天？
【答案】(1)甲工程队每天能完成绿化的面积是48平方米，乙工程队每天能完成绿化的面积是40平方米
(2)至少应安排甲队工作4天
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是平方米，根据工作时间工作总量工作效率结合在独立完成面积为480平方米区域的绿化时甲队比乙队少用2天，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设安排甲队工作天，则需安排乙队工作天，根据总费用甲队工作时间乙队工作时间结合这次的绿化总费用不超过19800元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
【详解】（1）解：设乙工程队每天能完成绿化的面积是平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是平方米，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：甲工程队每天能完成绿化的面积是48平方米，乙工程队每天能完成绿化的面积是40平方米；
（2）解：设安排甲队工作天，则需安排乙队工作天，
依题意，得：，
解得：，
所以最小值是4．
答：至少应安排甲队工作4天．
【变式训练3-5】(24-25八·四川成都天府新区·期末)成都市域铁路S5线，又称成都地铁眉山线，是连接成都天府新区与眉山市东坡区的重要轨道交通线路，其中某标段路基工程长度为米，由甲，乙两个工程队施工，已知甲队每天铺设路基长度比乙队多10米，甲队单独完成该标段需要的时间是乙队单独完成所需时间的
(1)求甲、乙两队每天各铺设路基多少米？
(2)为加快进度，甲乙两队决定先合作施工一段时间，剩下的由甲队单独完成，若工期要求不超过160天，求两队至少需合作多少天才能确保完成该标段．
【答案】(1)甲队每天铺设路基50米，乙队每天铺设路基40米
(2)两队至少需合作50天才能确保完成该标段
【分析】设甲队每天铺设路基x米，则乙队每天铺设路基米，根据某标段路基工程长度为米，甲队单独完成该标段需要的时间是乙队单独完成所需时间的，列出分式方程，解分式方程即可；
设两队需合作y天才能确保完成该标段，甲乙两队决定先合作施工一段时间，剩下的由甲队单独完成，工期要求不超过160天，结合的结论，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，正确列出相应的分式方程和不等式．
【详解】（1）解：设甲队每天铺设路基x米，则乙队每天铺设路基米，
由题意得：，
解得：，
，
答：甲队每天铺设路基50米，乙队每天铺设路基40米；
（2）设两队需合作y天才能确保完成该标段，
由题意得：，
解得：，
答：两队至少需合作50天才能确保完成该标段．
题型四：一元一次不等式实际应用之行程问题
【例题4】小华计划星期天与同学去登山，上午点出发，尽可能去最远的山，已知各山距出发点的距离如图所示，他们想在到达山顶后休息游玩小时，下午点前必须回到出发点，去时平均速度为千米/时，返回时平均速度为千米/时，则他们最远能登上（ ）
A．山 B．山 C．山 D．山
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设他们要登的山峰距出发点千米，根据题意列出不等式即可求解，根据题意找到不等量关系是解题的关键．
【详解】解：设他们要登的山峰距出发点千米，
由题意得，，
解得，
∴他们最远能登上山，
故选：．
【变式训练4-1】(24-25七下·安徽芜湖无为·期末)“红灯停，绿灯行，斑马线上安全行”，行人也是交通参与者，过马路时必须要遵守交通规则．若一条人行横道全长24米，小华开始以米/秒的速度匀速通过该人行横道，当他走完全程的时，发现绿灯还剩下8秒．小华要在红灯亮起前通过该人行横道，他的速度至少要提高到原来的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．2倍
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设小华的速度要提高到原来的x倍，根据小华在8秒后要通过人行道，即8秒内的路程要大于等于米，据此列出不等式求解即可．
【详解】解；设小华的速度要提高到原来的x倍，
由题意得，，
解得：，
∴他的速度至少要提高到原来的倍，
故选：A．
【变式训练4-2】(24-25八·期中测评试卷·期中)学校运动会长跑比赛中，张华跑在前面，离终点时，在他身后的李明想以的速度冲刺超过张华，假设这时张华需以的速度进行以后的冲刺，这样才能在到达终点时始终保持领先位置，则下列满足题意的不等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了列一元一次不等式，正确理解题意是解题的关键．根据在到达终点时张华始终保持领先位置列不等式即可．
【详解】解；由题意，得
．
故选A．
【变式训练4-3】(24-25七下·甘肃武威古浪县第四中学·期中)导火线的燃烧速度为，爆破员点燃后跑开的速度为，为了点火后能够跑到150m外的安全地带，导火线的长度至少是
【答案】
【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，设导火线应有x厘米长，根据题意可得跑开时间要小于等于爆炸的时间，由此可列出不等式，然后求解即可．
【详解】解：设导火线应有厘米长，
根据题意，
解得：．
故导火线至少应有24厘米．
故答案为：．
【变式训练4-4】(24-25七下·安徽巢湖·期末)甲、乙两地相距，李明以每小时的速度步行可按时到达，现在李明走了3小时后，因为有事停留了半个小时，为了不迟到，李明后来的速度至少是 千米每小时
【答案】8
【分析】本题主要考查行程问题中的时间统筹与速度调整，涉及路程、速度、时间三者关系的应用，以及不等式在实际问题中的运用．解答此题先通过总路程除以原速度得到原计划所需时间，再根据已走路程和停留时间，确定剩余路程和剩余可用时间，最后再将剩余路程除以剩余时间得到最低速度，确保总时间不超过原计划．
【详解】解：设李明后来的速度为x千米／时，
由题意得：，
，
．
∴为了不迟到，李明后来的速度至少是8千米／时．
故答案为：8．
【变式训练4-5】(24-25八下·陕西咸阳永寿县上邑中学·期末)随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行路程为16千米．若采用传统车辆匀速配送，配送路程为30千米，且配送速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多6分钟．
(1)求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时；
(2)若要求无人机在15分钟以内（含15分钟）从物流基地匀速飞行到达该医院，则无人机的速度至少还要增加多少千米/时，才能完成此次配送任务？
【答案】(1)无人机配送速度是千米/时，传统车辆配送速度是千米/时
(2)无人机的速度还要至少增加千米/时
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用；找出等量关系式及不等关系式是解题的关键．
（1）等量关系式：传统车辆匀速配送路程为30千米的所用时间无人机飞行路程为16千米的所用时间小时，据此列方程，即可求解；
（2）不等关系式：小时无人机的增速后的速度千米，据此列不等式，即可求解．
【详解】（1）解：设无人机的配送速度分别是千米/时，由题意得
，
解得：，
经检验：是所列方程的解，且符合实际意义；
（千米/时），
答：无人机配送速度是千米/时，传统车辆配送速度是千米/时；
（2）解：设无人机的速度还要增加千米/时，由题意得
，
解得：，
答：无人机的速度还要至少增加千米/时．
题型五：一元二次方程和差倍问题
【例题5】某工厂准备生产和两种防疫用品，已知种防疫用品每箱成本比种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产种防疫用品的箱数与用4500元生产种防疫用品的箱数相等．请解答下列问题：
(1)求，两种防疫用品每箱的成本；
(2)该工厂计划用不超过90000元同时生产和两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？并计算出最省钱方案的费用．
【答案】(1)种防疫用品成本为2000元，种防疫用品成本为1500元
(2)共有6种方案；87500元
【分析】本题考查了分式方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据题意列出分式方程即可；
（2）根据题意列出一元一次不等式，求出不等式的解集，用代数式表示出总费用，并分析费用何时最少．
【详解】（1）解：设种防疫用品成本元，种防疫用品成本元，
依题意，得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
（元）；
答：种防疫用品成本为2000元，种防疫用品成本为1500元；
（2）解：设种防疫用品生产箱，种防疫用品生产箱，
则有：，
解得：，
∵种防疫用品不超过25箱，
∴，
∵为正整数，
∴，，，，，，共6种方案；
设生产和两种防疫用品费用为元，
则有：，其中，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，取得最小值，此时元；
答：共有6种方案，最省钱方案的费用为87500元．
【变式训练5-1】(24-25八下·辽宁沈阳于洪区·期末)端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某超市在端午节来临之际用元购进的种粽子与用元购进的种粽子的个数相同．已知种粽子的单价比种粽子单价少3元．
(1)求两种粽子的单价各是多少元？
(2)若超市计划用不超过元的资金再次购进两种粽子共个，已知两种粽子的进价不变，求至少要购进种粽子多少个？
【答案】(1)种粽子单价为元，种粽子单价为元
(2)个
【分析】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用；
（1）根据题意列分式方程求解即可；
（2）设购进种粽子个，则购进种粽子个，列不等式求解即可．
【详解】（1）解：设种粽子单价为元，则种粽子单价为元，
根据题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：种粽子单价为元，种粽子单价为元．
（2）解：设购进种粽子个，则购进种粽子个，
依题意，得：，
解得：，
答：至少要购进种粽子个．
【变式训练5-2】(2025·湖南省长沙市·模拟)近年来共享经济盛行，某充电宝共享租赁公司在运营过程中需要生产一批新的充电宝进行补充，其中4个A型充电宝和1个B型充电宝的生产成本为340元；10个A型充电宝比2个B型充电宝的生产成本多400元．
(1)求1个A型充电宝和1个B型充电宝的生产成本各为多少元．
(2)该公司在生产时，要求B型充电宝的数量比A型充电宝数量的多100个，因实际生产过程中物料及人工等变化，每个B型充电宝的生产成本是原来生产成本的，公司要求生产部门生产总费用不超过50000元，那么最多可生产多少个A型充电宝？
【答案】(1)1个A型充电宝的生产成本为60元，1个B型充电宝的生产成本为100元．
(2)最多可生产420个A型充电宝
【分析】本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，解题关键是根据题意找出等量关系和不等关系，进而列出方程和不等式求解．
（1）设1个A型充电宝的生产成本为元，1个B型充电宝的生产成本为元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设生产个A型充电宝，则生产个B型充电宝，根据题意列出一元一次不等式求解即可．
【详解】（1）解：设1个A型充电宝的生产成本为元，1个B型充电宝的生产成本为元，
由题意得
解得
答：1个A型充电宝的生产成本为60元，1个B型充电宝的生产成本为100元．
（2）设生产个A型充电宝，则生产个B型充电宝，
由题意得，
解得．
答：最多可生产420个A型充电宝．
【变式训练5-3】(24-25八上·辽宁大连庄河·期末)华联超市10月份用2000元人民币购进某种水果销售，由于销售情况良好，过了一段时间后，又购进这种水果3600元，这次所购数量是第一次购进数量的1.5倍，但每千克该水果的价格比第一次贵了2元．
(1)华联超市第一次购进某种水果多少千克？
(2)如果华联超市两次购进的水果按相同标价销售，最后剩下的30千克按标价的五折优惠销售，若两次购进水果全部售完，利润不低于1190 元，则每千克水果的标价至少是多少元？
【答案】(1)华联超市第一次购进某种水果200千克
(2)至少是14元
【分析】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系与不等关系是解决问题的关键．
（1）设该商店第一次购进水果千克，则第二次购进水果千克，然后根据每千克的价格比第一次购进的价格贵了2元，列出方程求解即可；
（2）设每千克水果的标价是元，然后根据两次购进水果全部售完，利润不低于1190元列出不等式，然后求解即可得出答案．
【详解】（1）解：设华联超市第一次购进某种水果千克，依题意，得
，
解得， ，
经检验是原方程的解，且符合题意，
所以，华联超市第一次购进某种水果200千克．
（2）解：设每千克水果标价y元，依题意，得
，
解得，，
答：每千克水果的标价至少是14元．
【变式训练5-4】某超市用4000元购进了甜柿和三华李各200千克，三华李的进价比甜柿的进价每千克多10元．
(1)甜柿和三华李的进价分别是每千克多少元？
(2)受天气影响，在运输过程中三华李损耗了，若三华李的售价为每千克20元，要使此次销售获利不少于2100元，则甜柿的售价为最少应为多少元？
【答案】(1)甜柿的进价是每千克5元，则三华李的进价是每千克15元
(2)甜柿的售价最少应为12.5元
【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程和不等式是解题的关键：
（1）设甜柿的进价是每千克x元，根据用4000元购进了甜柿和三华李各200千克，三华李的进价比甜柿的进价每千克多10元，列出方程进行求解即可；
（2）设甜柿的售价为a元，根据此次销售获利不少于2100元，列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：设甜柿的进价是每千克x元，则三华李的进价是每千克元，依题意，得
解得
此时；
答：甜柿的进价是每千克5元，则三华李的进价是每千克15元．
（2）解：设甜柿的售价为a元，依题意，得
，
解得；
答：甜柿的售价最少应为12.5元．
【变式训练5-5】(24-25七下·黑龙江哈尔滨香坊区德强中学初中部·期中)校团委开展了以“开学第一天”为主题的有奖征文活动，并为获奖的同学颁发奖品，到文化商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本10个，乙种笔记本5个，共用110元，且买甲种笔记本30个比买乙种笔记本20个少花20元．
(1)求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？
(2)根据获奖情况本次购买甲种笔记本的数量比乙种笔记本的数量的2倍还少10个，经与商店洽谈，商店决定购买乙种笔记本给予九折优惠，甲种笔记本无优惠，且购买这两种笔记本的总金额不超过640元，求本次乙种笔记本最多购买多少个？
【答案】(1)甲种笔记本的单价是6元；乙种笔记本的单价是10元．
(2)本次乙种笔记本最多购买33个．
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用等知识点，理解题意、找出题目中的等量关系或不等关系是列出不等式或方程的关键．
（1）设甲种笔记本的单价是x元，乙种笔记本的单价是y元，根据等量关系“买甲种笔记本10个，乙种笔记本5个，共用110元”和“买甲种笔记本30个比买乙种笔记本20个少花20元”列出方程组求解即可；
（2）设乙种笔记本购买a个，则购买甲种笔记本个，由题意得不等关系“购买这两种笔记本的总金额不超过640元”系列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设甲种笔记本的单价是x元，乙种笔记本的单价是y元，由题意得：
，解得：．
答：甲种笔记本的单价是6元；乙种笔记本的单价是10元．
（2）解：设乙种笔记本购买a个，则购买甲种笔记本购买个，
由题意得：，解得：，
∵a为整数，，即,
∴a取33．
答：本次乙种笔记本最多购买33个．
题型六：一元二次方程方案选择问题
【例题6】随着信息技术的快速发展，“互联网+”渗透到我们的日常生活领域，网上学习交流已经不再是梦，现有某教学网站策划了，两种上网学习的月收费方式如下表：
收费方式 月使用费/（元） 包时上网时间/（） 超时费/（元/）
7 25
10 50
注：包时上网时间指月使用费中包含的免费上网时间，超时费指超过免费时间部分的费用
(1)若在该网站学习的时间为每月20个小时，选择______收费方式合算，若在该网站学习的时间为每月40个小时，选择______收费方式合算．
(2)赵军想要在该网站学习，选择哪种收费方式所用的费用少？
【答案】(1)A；B；
(2)当学习时间为30个小时时，选择哪种方式上网学习都行；当学习时间大于30小时时，选择B方式上网学习合算；当学习时间少于30小时时，选择A方式上网学习合算．
【分析】题目主要考查有理数的乘法运算的应用，一元一次方程及不等式的应用，理解题意，列出方程不等式是解题关键．
（1）根据题意列式计算比较即可；
（2）设在该网站学习时间为x小时，分别列出方程和不等式求解即可．
【详解】（1）解：当学习的时间为每月20个小时，A收费7元，B收费10元，
∴选择A收费方式合算；
在该网站学习的时间为每月40个小时，
A收费为：元，
B收费10元，
∴选择B收费方式合算；
故答案为：A；B；
（2）解：当时，A方式收费7元，B方式收费10元，A方式合算，
当，时，
解得：，
∴当学习时间为30个小时时，选择哪种方式上网学习都行；
当，
解得：，即当学习时间大于30小时时，选择B方式上网学习合算；
当，
解得：，即当学习时间少于30小时时，选择A方式上网学习合算．
综上所述：当学习时间为30个小时时，选择哪种方式上网学习都行；当学习时间大于30小时时，选择B方式上网学习合算；当学习时间少于30小时时，选择A方式上网学习合算．
【变式训练6-1】(24-25下·福建南安·期末)某乡村在开展“美丽乡村”建设时，决定购买A，B两种树苗对村里的主干道进行绿化改造，已知购买A种树苗3棵，B种树苗4棵，需要370元；购买A种树苗5棵，B种树苗2棵，需要430元．
(1)求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？
(2)现需购买这两种树苗共100棵，要求购买A种树苗不少于60棵，且用于购买这两种树苗的资金不超过5860元．则有哪几种购买方案？
【答案】(1)购买A，B两种树苗每棵分别需70元，40元
(2)有三种购买方案，分别为：方案一：购进A种树苗60棵，B种树苗40棵；方案二：购进A种树苗61棵，B种树苗39棵；方案三：购进A种树苗62棵，B种树苗38棵
【分析】本题考查的是二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
（1）设购买A，B两种树苗每棵分别需x元，y元，根据等量关系：购买A种树苗3棵，B种树苗4棵，需要370元；购买A种树苗5棵，B种树苗2棵，需要430元，列方程组进行求解即可得；
（2）设购进A种树苗m棵，根据购买这两种树苗共100棵，要求购买A种树苗不少于60棵，且用于购买这两种树苗的资金不超过5860元，列出不等式，解不等式即可得出答案．
【详解】（1）解：设购买A，B两种树苗每棵分别需x元，y元，则
，
解得．
答：购买A，B两种树苗每棵分别需70元，40元．
（2）解：设购进A种树苗m棵，则
解得．
∵购进A种树苗不能少于60棵，且m为整数，
∴或61或62，
∴有三种购买方案，分别为：
方案一：购进A种树苗60棵，B种树苗40棵；
方案二：购进A种树苗61棵，B种树苗39棵；
方案三：购进A种树苗62棵，B种树苗38棵．
【变式训练6-2】某商场推出两种优惠方案．
方案一：购买商品一律按标价的九折优惠；
方案二：若购物金额满500元，则超出500元的部分按八折优惠．
(1)若顾客购买标价为800元的商品，选择哪种方案更划算？请通过计算说明．
(2)设顾客购买商品的标价为x元（），分别用含x的代数式表示两种方案下顾客需要支付的金额，然后分析当x满足什么条件时，方案二更优惠．
【答案】(1)选择方案一更划算，理由见解析
(2)方案一：；方案二：；当时，方案二更优惠
【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用、列代数式、解一元一次不等式等知识点，读懂题目信息，理解两种优惠方法是解题的关键．
（1）分别按“方案一”和“方案二”求得所需要的金额，然后再比较即可；
（2）先列出方案一：需支付元，方案二：需支付（元），再根据方案二更优惠得，解一元一次不等式即可．
【详解】（1）解：方案一：按标价的九折优惠，购买标价为800元的商品需支付（元），
方案二：购物金额满500元，超出部分为（元），
这部分按八折优惠，则需支付（元）；
因为，
所以选择方案一更划算；
（2）解：设顾客购买商品的标价为x元（），
方案一：需支付元；
方案二：需支付（元）；
若方案二更优惠，则，
移项可得：，
即，
解得，
所以当时，方案二更优惠．
【变式训练6-3】(24-25七下·江苏南通海门·期末)2021年4月23日，第26个世界读书日．为了推进中华传统文化教育，营造浓郁的读书氛围，我区某学校举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园”主题活动，为此特为每个班级订购了一批新的图书．初一年级两个班订购图书情况如表：
老舍文集（套） 四大名著（套） 总费用（元）
初一（1）班 4 5 900
初一（2）班 8 3 820
(1)求老舍文集和四大名著每套各是多少元；
(2)学校准备再购买老舍文集和四大名著共10套，总费用不超过700元，请设计该学校的购买方案．
【答案】(1)老舍文集每套50元，四大名著每套140元
(2)方案1：老舍文集8套，四大名著为2套；方案2：老舍文集9套，四大名著为1套；方案3：老舍文集10套，四大名著为0套
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键：
（1）设老舍文集每套x元，四大名著每套y元，根据表格数据，列出方程组进行求解即可；
（2）设学校决定购买老舍文集a套，则购买四大名著套，根据总费用不超过700元，列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：设老舍文集每套x元，四大名著每套y元．
根据题意，得：，
解得：，
答：老舍文集每套50元，四大名著每套140元．
（2）解：设学校决定购买老舍文集a套，则购买四大名著套．
由题意，得，
解得
又∵，
的取值范围为，且为整数，
∴，9，10，
所以，该学校有以下3种方案：
方案1：老舍文集8套，四大名著为2套；
方案2：老舍文集9套，四大名著为1套；
方案3：老舍文集10套，四大名著为0套；
【变式训练6-4】(24-25八上·黑龙江七台河·期末)某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．
(1)该商家购进的第一批衬衫是多少件？
(2)若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
(3)商家以（2）中每件衬衫的最少标价卖出，把所得利润的全部用于购进甲、乙型号的电风扇赠给敬老院，如果甲型号电风扇每台250元，乙型号电风扇每台150元，那么有哪几种购买方案？请直接写出答案．
【答案】(1)120件
(2)150元
(3)共两种方案，方案一：购买甲型号电风扇3台，乙型号电风扇2台；方案二：购买甲型号电风扇0台，乙型号电风扇7台
【分析】（1）依据题意，设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，根据题意，列出方程，进而计算可以得解；
（2）依据题意，由，又设每件衬衫的标价y元，依题意，列出不等式，进而计算可以得解；
（3）依据题意得，由（2）知每件衬衫标价150元，可得到两批衬衫的利润，设购买甲型号电风扇m台，乙型号电风扇n台，可得，结合m、n为非负整数，即可判断得解．
本题主要考查了一元一次不等式的应用、分式方程的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出方程是关键．
【详解】（1）解：由题意，设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：该商家购进的第一批衬衫是120件．
（2）解：由题意，，
设每件衬衫的标价y元，依题意有
，
答：每件衬衫的标价至少是150元．
（3）解：由题意得，由（2）知每件衬衫标价150元，
两批衬衫的利润为：
元
利润的为
设购买甲型号电风扇m台，乙型号电风扇n台，
、n为非负整数，
存在以下两种情况：
当时，，，，；
当时，，
有两种购买方案：
方案一：购买甲型号电风扇3台，乙型号电风扇2台．
方案二：购买甲型号电风扇0台，乙型号电风扇7台．
【变式训练6-5】(24-25七下·黑龙江哈尔滨南岗区工大附中·期中)三月份某批发公司有甲、乙、丙三种书包，甲种书包60元/个，乙种书包40元/个，丙种书包30元/个，某超市现有资金840元，计划全部用于从这家批发公司购进两种品牌的书包共16个．
(1)请你设计购买方案供超市选择；
(2)若一个甲书包售价为80元，一个乙书包售价为70元，一个丙书包售价为42元，假设书包都卖完，（1）中哪种方案获利最多；
(3)由于甲、乙这两种书包受到市民欢迎，九月份超市决定再次购进甲、乙两种书包共80个，每种书包的进价和三月份相同，甲种书包购进数量不超过乙种书包的购进数量的，在乙书包购进数量最少的情况下和（2）中的售价下，为了回馈顾客，两种书包打折促销，甲书包打8折，为使九月份两种书包的总获利不低于1232元，乙种书包最多打几折？
【答案】(1)购进甲种书包10个，购进乙种书包6个或购进甲种书包12个，购进丙种书包4个
(2)应该选择方案1获利最多
(3)乙种书包最多打9折
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
（1）利用单价总价数量可求出16个书包的平均价格，进而可得出可能有两种购买方案，①设购进甲种书包x个 则购进乙种书包个，根据总价单价数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出一种进货方案；②设购进甲种书包个，则购进丙种书包个，根据总价单价数量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出另一种进货方案；
（2）根据总利润单个利润数量，分别求出两种进货方案可获得的利润，比较后即可得出结论；
（3）先根据再次购进甲、乙两种书包共80个设未知数，根据甲种包购进数量不超过乙种书包的购进数量的，列不等式可得：乙书包最少购进48个，最后根据两种书包的利润1232，列不等式可得结论．
【详解】（1）解：（元），
可能有两种购买方案，分别为购进甲、乙两种书包或购进甲、丙两种书包.
①设购进甲种书包个，则购进乙种书包个，
依题意，得：，
解得：，
，
方案：购进甲种书包个，购进乙种书包个；
②设购进甲种书包个，则购进丙种书包个，
依题意，得：，
解得：，
，
方案：购进甲种书包个，购进丙种书包个；
综上，购进甲种书包10个，购进乙种书包6个或购进甲种书包12个，购进丙种书包4个；
（2）解：方案可获得的利润为；
方案可获得的利润为；
，
应该选择方案获利最多.
（3）解：设购进乙种书包个，则购进甲种书包个，
则，
，
则乙种书包购进数量的最小值是个，此时甲种书包购进个，
设乙种书包打折，
则，
；
答：乙种书包最多打折．
题型七：一元一次不等式实际应用之比赛积分问题
【例题7】(23-24七下·安徽滁州金太阳中学·月考)某次知识竞赛的试卷有20道题，评分方式是答对1道得5分，不答得0分，答错1道扣3分，小明有2道题没答，但成绩超过70分，则小明答对的题数至少是（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】C
【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意；设小明答对的题数为x道，由题意可得不等式为，然后进行求解即可．
【详解】解：设小明答对的题数为x道，由题意得：
，
解得：，
故小明答对的题数至少是16道；
故选C．
【变式训练7-1】(24-25七下·黑龙江哈尔滨南岗区·期末)某次知识竞赛共有30道选择题，答对一题得10分，若答错或不答一题，则扣3分，要使总分不低于70分，则至少应答对的题数为（ ）
A．15 B．14 C．13 D．12
【答案】C
【分析】本题主要考查了列一元一次不等式解决实际问题，解题的关键是假设未知数，找出不等关系，列出不等式求解．
设答对道题，则答错或不答的题数为道，根据题意，总得分不低于70分，列出不等式并求解，确定的最小整数值．
【详解】解：设答对道题，则答错或不答的题数为道，根据题意得，
总得分为：，
解不等式得，
即
因为整数，故最小为13，
因此至少需答对13道题，
故选：C．
【变式训练7-2】(24-25七下·黑龙江哈尔滨香坊区德强中学初中部·期中)一次竞赛中，一共有25道题，答对一题得10分，答错（或不答）一题扣5分．则至少答对 道题，成绩超过100分．
【答案】16
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意正确列出不等式是解题的关键．设他答对x道题，则答错（或不答）道题，根据题意列出不等式，求出的范围，得出的最小值即可解答．
【详解】解：设他答对x道题，则答错（或不答）道题，
依题意得：，
解得：，
为整数，
的最小值为16，即他至少答对16道题．
故答案为：16．
【变式训练7-3】(24-25七下·陕西汉中略阳县·期中)为了增强学生的安全防范意识，某校举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共有20道，得分规则如下：每答对一题得5分，每答错或不答一题扣1分．小红想要自己的成绩不低于80分，她至少需要答对几道题？
【答案】她至少需要答对17道题
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，正确理解题意、列出不等式求解是解题的关键．设她答对了道题，根据成绩不低于80分列出不等式解决即可．
【详解】解：设她答对了道题，
根据题意可得，
解得，
为整数，
最小为17．
答：她至少需要答对17道题．
【变式训练7-4】在一次数学竞赛中，共有20道选择题，答对一题得5分，答错一题扣3分，不答得0分．小红有2道题未答，设小红答对x道题．
(1)用含x的式子表示小红的得分y；
(2)若小红的得分不低于70分，求x的取值范围；
(3)小红的得分能达到95分吗？为什么？
【答案】(1)
(2)
(3)不能，见解析
【分析】本题主要考查了一元一次方程与一元一次不等式的应用，熟练掌握根据实际问题列方程和不等式的方法是解题的关键．
（1）先确定答错的题数，再根据得分规则列出得分的表达式．
（2）根据得分不低于70分列出不等式，求解并结合实际意义确定的取值范围．
（3）假设得分能达到95分，列出方程求解，根据需为整数判断是否能达到．
【详解】（1）解：总题数20，2道未答，答对道，答错道．
，
，
；
（2）解：由，即，
，
，
，
因为为整数且，
所以；
（3）解：假设能达到，，
，
，
，
因为不是整数，
所以不能达到．
【变式训练7-5】学校把学生的纸笔测试、实践能力两项成绩分别按，的比例计入学期总成绩．小明实践能力这一项成绩是81分，若想学期总成绩不低于90分，则纸笔测试的成绩至少是多少分？
【答案】纸笔测试的成绩至少是96分
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．设纸笔测试的成绩为分，根据题意列不等式计算即可．
【详解】解：设纸笔测试的成绩为分，
则，
解得．
答：纸笔测试的成绩至少是96分．
题型八：一元二次方程实际应用之几何综合
【例题8】如图，中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止，设点运动的时间为秒．
(1)点整个运动过程中，共需___秒；
(2)若的面积为时，求的值；
(3)若的面积大于时，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)的值为或
(3)
【分析】本题考查了一元一次不等式和一元一次方程的应用，动点问题，解题的关键是分类讨论．
（1）先求出运动的路程，再根据时间路程速度，即可求解；
（2）分两种情况：当在上运动时，当在上运动时，根据三角形的面积公式列方程即可求解；
（3）根据当时，，当时，，即可求解．
【详解】（1）解： ，，
点整个运动过程中，路程为，
点整个运动过程中，所需时间为秒，
故 答 案 为：；
（2）当在上运动时，，
解 得：，
当在上运动时，，
解得：，
综上可得的值为或；
（3）当时，，
解得：，
当时，，
解得：，
综上可得：．
【变式训练8-1】(24-25八上·江苏淮安淮安区·期中)新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形．
(1)初步尝试：如图1，已知中，，，，P为AC上一点，当______时，与为积等三角形；
(2)理解运用：如图2，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长．
【答案】(1)3
(2)2或3
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，利用倍长中线的模型构造全等三角形是解题关键．
（1）利用三角形中线的平分三角形面积即可解决问题
（2）由与为积等三角形，可得，过点C作，交的延长线于点E，证明，推出，，利用三角形的三边关系即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，在中，，
∵，，
∴，
∴，，
∵与为积等三角形，
∴．，即，
∴．
当时，与为积等三角形．
（2）解：如图，过点C作，交的延长线于点E，
∵与为积等三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵为正整数，
∴．
∴的长为2或3．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形中位线、全等三角形的判定与性质．理解并掌握积等三角形的定义，是解题的关键．
【变式训练8-2】(24-25七下·浙江宁波七中教育集四·期末)的边长都为正整数，且，设，若为大于5的实数，满足，求三角形各边长．
【答案】，
【分析】本题考查的是非负数的性质，因式分解的应用，勾股定理的应用，理解题意，将不等式化简得出是解题关键．
由可得，则，可得，结合题意及勾股定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵n为大于5的实数，
∴，而，
∴，
解得：，
∴，
∵的边长都为正整数，且，
∴．
【变式训练8-3】(23-24七下·江苏泰州靖江·期末)一副直角三角板如图1放置，，，，它们的斜边在同一直线上，为边上一点，三角板绕点按顺时针方向旋转．
(1)当________时，；当________时，；
(2)设交边于点，交直线于点，记为，为．
①如图2，当，求的值；
②当时，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)①；②且
【分析】本题考查平行线的性质，两种三角板的角度，一元一次不等式的几何应用等知识，找出、与的关系是解题的关键．
（1）先分别画出符合条件的情况，再根据平行线的性质分别求出即可；
（2）①分别求出和，再做差即可；
②分当时、当时和当时三种情况分析，求出和，根据列出不等式并求解，最后综合三种情况即可得解．
【详解】（1）如下图所示，
要使得，
则，
∴当时，；
如下图所示，
要使得，
则，
∴，
又∵，
∴，
即当时，，
故答案为：，；
（2）①∵，即，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
②当时，
同理：∵，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
解得：，
∴，
当，，此时不合题意；
当时，的延长线与的延长线无交点，如下图所示：
同理可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
综上所述：的取值范围是且．
【变式训练8-4】(23-24七下·重庆沙坪坝区·期末)如图，在中，是边上的高，，，．点在高上，且．点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点运动时间为秒．
(1)求点整个运动过程共需多少秒？
(2)当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求的值；
(3)当的长大于点运动总路程的时，求的取值范围．
【答案】(1)12秒
(2)2或6
(3)或
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，注意分情况讨论是解题的关键．
（1）利用速度、路程、时间的关系求解；
（2）当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，，分点P在点D左侧与右侧两种情况，根据列方程，即可求解；
（3）点运动总路程为，分“点在边上运动”和“点在边上运动”两种情况，根据的长大于点运动总路程的列不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：，
（秒），
即点整个运动过程共需12秒；
（2）解： 是边上的高，
当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，，
当点P在点D左侧时，，即，
解得；
当点P在点D右侧时，，即，
解得；
综上可知，的值为2或6；
（3）解：点运动总路程为，
当点在边上运动时，，
则，
解得；
当点在边上运动时，，
则，
解得，
点整个运动过程共需12秒，
，
综上可知，的取值范围为或．
【变式训练8-5】(23-24七下·江苏苏州振华中学校·期中)如图，在中，．射线，点从点出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点运动时间为，其中．
(1)若，则的取值范围是 ；
(2)当为何值时，；
(3)是否存在某一时刻，使．若存在，请求出的值；若不存在请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，
【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用；
（1）由可得出，然后根据点的速度和运动时间列出不等式，解之即可得出结论；
（2）分别表示出和的长度，由即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）由结合可得出 点在线段上，根据平行线的性质可得出和的高相等，进而可得出，即 ，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：，
，
解得：，
当时，，
故答案为：；
（2）由题意得：， ，
或 ，
，
或，
解得：或，
即或时，；
（3） ，
点在线段上，
，
和的高相等，
，
即 ，
解得：，
即当秒时，．中小学教育资源及组卷应用平台
专题3.4一元一次不等式的应用八大题型
（一课一讲）
题型一：列一元一次不等式
【例题1】某次知识竞赛共有25道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分，小亮得分要超过70分，他至少要答对多少道题？如果设小亮答对了x道题，根据题意列式得（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-1】(24-25七下·海南文昌·期末)第十四届冬运会期间，某商店购进了一批服装，每件进价为200元，并以每件300元的价格出售，冬运会结束后，商店准备将这批服装降价处理，打折出售，使得每件衣服的利润率不低于，根据题意可列出来的不等式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】(24-25七下·江西南昌三中教育集团·期末)用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素含量及购买这两种原料的价格如表：现配制这种饮料，要求至少含有单位的维生素，若所需甲种原料的质量为，则x应满足的不等式为（ ）
甲种原料 乙种原料
维生素C含量（单位/kg） 600 100
原料价格（元/kg） 8 4
A． B．
C． D．
【变式训练1-3】(2023·浙江省宁波市·)对山体进行爆破时人应离爆破点以外（包括180米）才安全，导火索燃烧的速度是，点燃导火索后人马上以的速度离开，问导火索的长度至少要多少？设导火索的长度为，则列出的不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-4】(24-25七下·河北邢台威县·期末)某班级举行趣味问答活动，共有25道题，答对一题得4分，答错或不答扣2分，要使总得分不低于60分，则至少应该答对几道题？若设答对道题，可得不等式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-5】(24-25七下·湖南株洲荷塘区·期末)某校组织开展国家安全知识竞赛活动，共25道题，选对一题得4分，不选或选错扣2分，如果得分不低于60分即可获奖，那么要获奖至少应选对多少道题？设要获奖应选对道题，根据题意，可列不等式为 ．
题型二：一元一次不等式实际应用之销售利润问题
【例题2】某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式，其中精包装每盒，售价25元，简包装每盒，售价35元．
(1)在实践活动中，学生共售出草莓350，销售总收入为8500元，请问两种包装分别销售了多少盒？
(2)已知每个精包装盒的成本为1元，简包装盒的成本为元，现需要将草莓恰好整盒分装完，且使购买包装盒的成本不超过13元，是否存在符合要求的分装方案？请通过计算说明．
【变式训练2-1】(24-25八上·湖南永州冷水滩区·期末)年月日，中国春节被列入世界非物质文化遗产，春节贴春联是中华民族的传统习俗．某商店为了满足人们的需求，计划在春节前购进甲、乙两种春联进行销售．经了解，每副乙种春联的进价比每副甲种春联的进价多元，用元购进甲种春联的数量与用元购进乙种春联的数量相同．
(1)甲、乙两种春联每副的进价分别是多少元？
(2)该商家计划购进这两种春联共副（两种都有），其中甲、乙两种春联的售价分别为元/副、元/副，若两种春联全部售完时获得的利润不低于元，问商家最多可以购进多少副甲种春联？
【变式训练2-2】2023年9月15日至17日，第二届湖南旅游发展大会在郴州市隆重举行，大会吉祥物“山侠”和“水仙”，以郴州的“山之侠气”“水之仙气”为灵感创作．
(1)某商店用3600元共购进“山侠”和“水仙”两种吉祥物公仔110个，用于购买“山侠”公仔与购买“水仙”公仔的总费用相同，且“山侠”公仔的单价是“水仙”公仔的1.2倍．求该商店购进的“山侠”和“水仙”公仔的单价分别是多少元？
(2)吉祥物很受欢迎，公仔很快就卖完了，该商店计划用不超过10200元的资金再次购进“山侠”和“水仙”两种吉祥物公仔共300个．已知两种公仔的进价不变，求“山侠”公仔最多能购进多少个．
【变式训练2-3】(2025·安徽省滁州市·模拟)某厂生产一种零件，每个成本为元，销售单价为元．该厂为鼓励客户购买这种零件，决定当一次购买零件数超过个时，每多购买一个，全部零件的销售单价均降低元，但不能低于元．
(1)当一次购买多少个零件时，销售单价恰为元？
(2)当客户一次购买个零件时，该厂获得的利润是多少？
(3)当客户一次购买个零件时，该厂获得的利润是多少？利润售价成本
【变式训练2-4】赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品．临近春节，某水果商店老板想购进一批赣南脐橙进行销售，已知用1200元购买的精品果箱数与用900元购买的普通果箱数相同，每箱精品果比普通果的价格贵15元．
(1)求精品果和普通果每箱的价格；
(2)若该老板想要购进精品果与普通果共100箱，且花费不超过5000元，求最少要购进普通果多少箱．
【变式训练2-5】(24-25八下·[名校联盟]辽宁辽阳九中·期末)辽阳广佑寺的门票每张元，一次使用，考虑到人们的不同需要，也为了吸引更多的游客，该寺除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买年票”的方法．年票分为A、B、C三种：A年票每张元，持票进入不用再买门票；B类每张元，持票进入寺内需要再买门票，每张2元，C类年票每张元，持票进入寺内时，购买每张3元的门票．
(1)如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用元花在该寺的门票上，试通过计算，找出可使进入该寺的次数最多的购票方式．
(2)求一年中进入该寺至少多少时，购买A类年票才比较合算．
题型三：一元一次不等式实际应用之工程问题
【例题3】某农场要在面积为400万平方米的土地上播种玉米，为了尽量减少种植的时间，实际播种时，若每小时比原计划多播种，就可以提前10小时完成播种任务．
(1)求原计划每小时播种多少万平方米？
(2)若有甲、乙两台播种机参与播种，其中甲播种机每小时可播种12万平方米，乙播种机每小时可播种8万平方米，若安排甲播种机先播种一段时间后离开，再由乙播种机完成播种任务，在保证至少提前10小时完成播种任务的前提下，甲播种机至少要播种多少小时？
【变式训练3-1】(24-25八下·黑龙江哈尔滨南岗区虹桥中学·模拟)某市新区为美化环境，计划对面积为3600平方米的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．
(1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少平方米？
(2)若每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过16万元，至少应安排甲队工作多少天？
【变式训练3-2】(23-24七下·湖北武汉七一华源中学·月考)某果农将1000斤水果以果篮的形式出售，圆篮每篮8斤，售价160元；方篮每篮18斤，售价270元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤水果（两种方式都有）．
(1)当销售总收入为16760元时．
①若这批水果全部售完，请问圆篮共包装了多少篮，方篮共包装了多少篮？
②若果农留下篮圆篮水果送给福利院，其余的水果全部售出，求的值；
(2)该果农用大、中两种货车运送方篮水果720篮，大车比中车每车多送30篮，若一半水果用大车送，一半水果用中车送．运送完这批水果，大、中货车运送车次比为3：4，求每辆大、中货车各运送方篮水果几篮？
【变式训练3-3】(24-25八上·广西桂林第一中学·)在某市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲工程队每天能完成绿化的面积是乙工程队每天能完成绿化面积的2倍，如果两工程队各自独立完成的绿化面积，那么甲工程队比乙工程队少用6天．
(1)甲、乙两个工程队每天能完成绿化的面积分别是多少？
(2)若甲工程队每天绿化费用为1.2万元，乙工程队每天绿化费用为0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，且乙工程队施工时间不超过36天，则一共有多少种安排方案？（工作天数为整数）
【变式训练3-4】(24-25八下·陕西咸阳乾县吴店九年制学校·期末)某单位为美化环境，计划对面积为1600平方米的区域进行绿化，现安排甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的1.2倍，并且在独立完成面积为480平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用2天．
(1)甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少平方米？
(2)若该单位每天需付给甲队的绿化费用为550元，付给乙队的费用为500元，要使这次的绿化总费用不超过19800元，至少安排甲队工作多少天？
【变式训练3-5】(24-25八·四川成都天府新区·期末)成都市域铁路S5线，又称成都地铁眉山线，是连接成都天府新区与眉山市东坡区的重要轨道交通线路，其中某标段路基工程长度为米，由甲，乙两个工程队施工，已知甲队每天铺设路基长度比乙队多10米，甲队单独完成该标段需要的时间是乙队单独完成所需时间的
(1)求甲、乙两队每天各铺设路基多少米？
(2)为加快进度，甲乙两队决定先合作施工一段时间，剩下的由甲队单独完成，若工期要求不超过160天，求两队至少需合作多少天才能确保完成该标段．
题型四：一元一次不等式实际应用之行程问题
【例题4】小华计划星期天与同学去登山，上午点出发，尽可能去最远的山，已知各山距出发点的距离如图所示，他们想在到达山顶后休息游玩小时，下午点前必须回到出发点，去时平均速度为千米/时，返回时平均速度为千米/时，则他们最远能登上（ ）
A．山 B．山 C．山 D．山
【变式训练4-1】(24-25七下·安徽芜湖无为·期末)“红灯停，绿灯行，斑马线上安全行”，行人也是交通参与者，过马路时必须要遵守交通规则．若一条人行横道全长24米，小华开始以米/秒的速度匀速通过该人行横道，当他走完全程的时，发现绿灯还剩下8秒．小华要在红灯亮起前通过该人行横道，他的速度至少要提高到原来的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．2倍
【变式训练4-2】(24-25八·期中测评试卷·期中)学校运动会长跑比赛中，张华跑在前面，离终点时，在他身后的李明想以的速度冲刺超过张华，假设这时张华需以的速度进行以后的冲刺，这样才能在到达终点时始终保持领先位置，则下列满足题意的不等式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练4-3】(24-25七下·甘肃武威古浪县第四中学·期中)导火线的燃烧速度为，爆破员点燃后跑开的速度为，为了点火后能够跑到150m外的安全地带，导火线的长度至少是
【变式训练4-4】(24-25七下·安徽巢湖·期末)甲、乙两地相距，李明以每小时的速度步行可按时到达，现在李明走了3小时后，因为有事停留了半个小时，为了不迟到，李明后来的速度至少是 千米每小时
【变式训练4-5】(24-25八下·陕西咸阳永寿县上邑中学·期末)随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行路程为16千米．若采用传统车辆匀速配送，配送路程为30千米，且配送速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多6分钟．
(1)求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时；
(2)若要求无人机在15分钟以内（含15分钟）从物流基地匀速飞行到达该医院，则无人机的速度至少还要增加多少千米/时，才能完成此次配送任务？
题型五：一元二次方程和差倍问题
【例题5】某工厂准备生产和两种防疫用品，已知种防疫用品每箱成本比种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产种防疫用品的箱数与用4500元生产种防疫用品的箱数相等．请解答下列问题：
(1)求，两种防疫用品每箱的成本；
(2)该工厂计划用不超过90000元同时生产和两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？并计算出最省钱方案的费用．
【变式训练5-1】(24-25八下·辽宁沈阳于洪区·期末)端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某超市在端午节来临之际用元购进的种粽子与用元购进的种粽子的个数相同．已知种粽子的单价比种粽子单价少3元．
(1)求两种粽子的单价各是多少元？
(2)若超市计划用不超过元的资金再次购进两种粽子共个，已知两种粽子的进价不变，求至少要购进种粽子多少个？
【变式训练5-2】(2025·湖南省长沙市·模拟)近年来共享经济盛行，某充电宝共享租赁公司在运营过程中需要生产一批新的充电宝进行补充，其中4个A型充电宝和1个B型充电宝的生产成本为340元；10个A型充电宝比2个B型充电宝的生产成本多400元．
(1)求1个A型充电宝和1个B型充电宝的生产成本各为多少元．
(2)该公司在生产时，要求B型充电宝的数量比A型充电宝数量的多100个，因实际生产过程中物料及人工等变化，每个B型充电宝的生产成本是原来生产成本的，公司要求生产部门生产总费用不超过50000元，那么最多可生产多少个A型充电宝？
【变式训练5-3】(24-25八上·辽宁大连庄河·期末)华联超市10月份用2000元人民币购进某种水果销售，由于销售情况良好，过了一段时间后，又购进这种水果3600元，这次所购数量是第一次购进数量的1.5倍，但每千克该水果的价格比第一次贵了2元．
(1)华联超市第一次购进某种水果多少千克？
(2)如果华联超市两次购进的水果按相同标价销售，最后剩下的30千克按标价的五折优惠销售，若两次购进水果全部售完，利润不低于1190 元，则每千克水果的标价至少是多少元？
【变式训练5-4】某超市用4000元购进了甜柿和三华李各200千克，三华李的进价比甜柿的进价每千克多10元．
(1)甜柿和三华李的进价分别是每千克多少元？
(2)受天气影响，在运输过程中三华李损耗了，若三华李的售价为每千克20元，要使此次销售获利不少于2100元，则甜柿的售价为最少应为多少元？
【变式训练5-5】(24-25七下·黑龙江哈尔滨香坊区德强中学初中部·期中)校团委开展了以“开学第一天”为主题的有奖征文活动，并为获奖的同学颁发奖品，到文化商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本10个，乙种笔记本5个，共用110元，且买甲种笔记本30个比买乙种笔记本20个少花20元．
(1)求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？
(2)根据获奖情况本次购买甲种笔记本的数量比乙种笔记本的数量的2倍还少10个，经与商店洽谈，商店决定购买乙种笔记本给予九折优惠，甲种笔记本无优惠，且购买这两种笔记本的总金额不超过640元，求本次乙种笔记本最多购买多少个？
题型六：一元二次方程方案选择问题
【例题6】随着信息技术的快速发展，“互联网+”渗透到我们的日常生活领域，网上学习交流已经不再是梦，现有某教学网站策划了，两种上网学习的月收费方式如下表：
收费方式 月使用费/（元） 包时上网时间/（） 超时费/（元/）
7 25
10 50
注：包时上网时间指月使用费中包含的免费上网时间，超时费指超过免费时间部分的费用
(1)若在该网站学习的时间为每月20个小时，选择______收费方式合算，若在该网站学习的时间为每月40个小时，选择______收费方式合算．
(2)赵军想要在该网站学习，选择哪种收费方式所用的费用少？
【变式训练6-1】(24-25下·福建南安·期末)某乡村在开展“美丽乡村”建设时，决定购买A，B两种树苗对村里的主干道进行绿化改造，已知购买A种树苗3棵，B种树苗4棵，需要370元；购买A种树苗5棵，B种树苗2棵，需要430元．
(1)求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？
(2)现需购买这两种树苗共100棵，要求购买A种树苗不少于60棵，且用于购买这两种树苗的资金不超过5860元．则有哪几种购买方案？
【变式训练6-2】某商场推出两种优惠方案．
方案一：购买商品一律按标价的九折优惠；
方案二：若购物金额满500元，则超出500元的部分按八折优惠．
(1)若顾客购买标价为800元的商品，选择哪种方案更划算？请通过计算说明．
(2)设顾客购买商品的标价为x元（），分别用含x的代数式表示两种方案下顾客需要支付的金额，然后分析当x满足什么条件时，方案二更优惠．
【变式训练6-3】(24-25七下·江苏南通海门·期末)2021年4月23日，第26个世界读书日．为了推进中华传统文化教育，营造浓郁的读书氛围，我区某学校举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园”主题活动，为此特为每个班级订购了一批新的图书．初一年级两个班订购图书情况如表：
老舍文集（套） 四大名著（套） 总费用（元）
初一（1）班 4 5 900
初一（2）班 8 3 820
(1)求老舍文集和四大名著每套各是多少元；
(2)学校准备再购买老舍文集和四大名著共10套，总费用不超过700元，请设计该学校的购买方案．
【变式训练6-4】(24-25八上·黑龙江七台河·期末)某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．
(1)该商家购进的第一批衬衫是多少件？
(2)若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
(3)商家以（2）中每件衬衫的最少标价卖出，把所得利润的全部用于购进甲、乙型号的电风扇赠给敬老院，如果甲型号电风扇每台250元，乙型号电风扇每台150元，那么有哪几种购买方案？请直接写出答案．
【变式训练6-5】(24-25七下·黑龙江哈尔滨南岗区工大附中·期中)三月份某批发公司有甲、乙、丙三种书包，甲种书包60元/个，乙种书包40元/个，丙种书包30元/个，某超市现有资金840元，计划全部用于从这家批发公司购进两种品牌的书包共16个．
(1)请你设计购买方案供超市选择；
(2)若一个甲书包售价为80元，一个乙书包售价为70元，一个丙书包售价为42元，假设书包都卖完，（1）中哪种方案获利最多；
(3)由于甲、乙这两种书包受到市民欢迎，九月份超市决定再次购进甲、乙两种书包共80个，每种书包的进价和三月份相同，甲种书包购进数量不超过乙种书包的购进数量的，在乙书包购进数量最少的情况下和（2）中的售价下，为了回馈顾客，两种书包打折促销，甲书包打8折，为使九月份两种书包的总获利不低于1232元，乙种书包最多打几折？
题型七：一元一次不等式实际应用之比赛积分问题
【例题7】(23-24七下·安徽滁州金太阳中学·月考)某次知识竞赛的试卷有20道题，评分方式是答对1道得5分，不答得0分，答错1道扣3分，小明有2道题没答，但成绩超过70分，则小明答对的题数至少是（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【变式训练7-1】(24-25七下·黑龙江哈尔滨南岗区·期末)某次知识竞赛共有30道选择题，答对一题得10分，若答错或不答一题，则扣3分，要使总分不低于70分，则至少应答对的题数为（ ）
A．15 B．14 C．13 D．12
【变式训练7-2】(24-25七下·黑龙江哈尔滨香坊区德强中学初中部·期中)一次竞赛中，一共有25道题，答对一题得10分，答错（或不答）一题扣5分．则至少答对 道题，成绩超过100分．
【变式训练7-3】(24-25七下·陕西汉中略阳县·期中)为了增强学生的安全防范意识，某校举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共有20道，得分规则如下：每答对一题得5分，每答错或不答一题扣1分．小红想要自己的成绩不低于80分，她至少需要答对几道题？
【变式训练7-4】在一次数学竞赛中，共有20道选择题，答对一题得5分，答错一题扣3分，不答得0分．小红有2道题未答，设小红答对x道题．
(1)用含x的式子表示小红的得分y；
(2)若小红的得分不低于70分，求x的取值范围；
(3)小红的得分能达到95分吗？为什么？
【变式训练7-5】学校把学生的纸笔测试、实践能力两项成绩分别按，的比例计入学期总成绩．小明实践能力这一项成绩是81分，若想学期总成绩不低于90分，则纸笔测试的成绩至少是多少分？
题型八：一元二次方程实际应用之几何综合
【例题8】如图，中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止，设点运动的时间为秒．
(1)点整个运动过程中，共需___秒；
(2)若的面积为时，求的值；
(3)若的面积大于时，求的取值范围．
【变式训练8-1】(24-25八上·江苏淮安淮安区·期中)新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形．
(1)初步尝试：如图1，已知中，，，，P为AC上一点，当______时，与为积等三角形；
(2)理解运用：如图2，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长．
【变式训练8-2】(24-25七下·浙江宁波七中教育集四·期末)的边长都为正整数，且，设，若为大于5的实数，满足，求三角形各边长．
【变式训练8-3】(23-24七下·江苏泰州靖江·期末)一副直角三角板如图1放置，，，，它们的斜边在同一直线上，为边上一点，三角板绕点按顺时针方向旋转．
(1)当________时，；当________时，；
(2)设交边于点，交直线于点，记为，为．
①如图2，当，求的值；
②当时，求的取值范围．
【变式训练8-4】(23-24七下·重庆沙坪坝区·期末)如图，在中，是边上的高，，，．点在高上，且．点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点运动时间为秒．
(1)求点整个运动过程共需多少秒？
(2)当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求的值；
(3)当的长大于点运动总路程的时，求的取值范围．
【变式训练8-5】(23-24七下·江苏苏州振华中学校·期中)如图，在中，．射线，点从点出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点运动时间为，其中．
(1)若，则的取值范围是 ；
(2)当为何值时，；
(3)是否存在某一时刻，使．若存在，请求出的值；若不存在请说明理由．
