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专题3.5.1一元一次不等式组九大题型
（一课一讲）
①一元一次不等式组的定义
一般地，由几个含同一个未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组。
组成不等式组的各个不等式解集的公共部分，就是不等式组的解集。当它们没有公共部分时，我们称这个不等式组无解。
题型一：判断是否为一元一次不等式组
【例题1】下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了对一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义，需满足：①只含有一个未知数；②所有不等式均为一次整式不等式，据此解答即可．
【详解】解：A、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
B、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
C、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
D、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
故选：A．
【变式训练1-1】在下列各式中，是一元一次不等式组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义．根据一元一次不等式组的定义进行判断．几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
【详解】解：A．第二个不等式不是整式不等式，故本选项不符合题意；
B．该不等式组中有2个未知数，故本选项不符合题意；
C．该不等式组中的第二个不等式中不含有未知数，故本选项不符合题意；
D．该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式训练1-2】下列不等式组：
①②③④⑤
其中是一元一次不等式组的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
学年七年级数学下册同步学与练（人教版2024）
【分析】此题考查了一元一次不等式组的辨别能力，根据一元一次不等式组的定义判断即可．
【详解】解：∵③中含有x，y两个未知数，⑤中未知项的次数不仅是1，
∴不等式组③，⑤不是一元一次不等式组；
而①，②，④都符合一元一次不等式组的概念，它们都是一元一次不等式组，
故选：B．
【变式训练1-3】(24-25八下·贵州毕节毕节三联学校·月考)下列是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组定义，会根据定义识别一元一次不等式组是解题关键．利用一元一次不等式组的定义判断即可．
【详解】解：A、含有两个未知数，不符合一元一次不等式组定义；
B、符合一元一次不等式组的定义；
C、含有等式，不符合一元一次不等式组定义；
D、含有等式，且有两个未知数，不符合一元一次不等式组定义；
故选：B．
【变式训练1-4】下列各式中是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据一元一次不等式组的定义进行判断．
【详解】解：A、第二个不等式不是整式不等式，故本选项不合题意；
B、该不等式组中有2个未知数，故本选项不合题意；
C、该不等式组中的第二个不等式中不含有未知数，故本选项不合题意；
D、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义．几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
【变式训练1-5】下列选项中是一元一次不等式组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一元一次不等式组的定义即用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式组解答即可．
【详解】解：A、含有三个未知数，不符合题意；
B、未知数的最高次数是2，不符合题意；
C、含有两个未知数，不符合题意；
D、符合一元一次不等式组的定义，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题比较简单，考查的是一元一次不等式组的定义，只要熟练掌握一元一次不等式组的定义即可轻松解答．
题型二：一元一次不等式组在数轴上表示
【例题2】不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查求不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集，判断即可．
【详解】解：解，得：，
在数轴上表示解集如图：
故选D．
【变式训练2-1】(2025·江苏省苏州市·期末)不等式组的解集在数轴上的表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，解题的关键是正确的计算；根据不等式的解法分别算出两个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小大小去中间，大大小小无解”得到不等式组解集，并表示在数轴上即可得到答案；
【详解】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
将解集表示在数轴上如下：
故选：B．
【变式训练2-2】不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解题的关键．
先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可得到答案．
【详解】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示为：，
故选：．
【变式训练2-3】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，把解集表示在数轴上；分别解两个不等式，将它们的解集表示在同一数轴上即可求解；带等于号的用实心点，不带等于号的用空心点．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
把不等式组的解集表示在数轴上，如图：
．
故选：C．
【变式训练2-4】(24-25九下·四川成都第七中学初中学校·期中)在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了解不等式组以及在数轴上表示不等式组的解集，先分别解出每个不等式的解集，得出不等式组的解集为，再把在数轴上表示出来，即可作答．
【详解】解：∵不等式组，
∴由得，
∴由得，
∴不等式组的解集为，
则在数轴上表示不等式组的解集是．
故选：B
【变式训练2-5】(25-26九上·浙江温州瑞安五校联考·)满足不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式组的解集是解题的关键．先分别解两个不等式，再求公共解，并讲解集在数轴上表示，即可判断答案．
【详解】解：，
解①得，，
解②得，，
所以不等式组的解集为．
在数轴上表示如下：
故选：D．
题型三：解一元一次不等式组（计算题）
【例题3】解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴表示见解析
【分析】本题主要考查了解不等式组以及在数轴上表示不等式组的解集，根据不等式组，分别求出两个不等式中的取值，然后画出数轴，数轴上相交的点的集合就是该不等式组的解集．若没有交点，则不等式组无解．
求一元一次不等式组的解，一般要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若较小的数、较大的数，那么解集为介于两数之间．
【详解】解：解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为：，
在数轴上表示解集：
【变式训练3-1】(24-25八下·贵州贵阳第十九中学·期中)解下列不等式和不等式组，并将解集表示在数轴上．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，在数轴上表示时需要注意空心，实心．
（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可；
（2）先分别解出两个不等式的解集，再求公共解集即可．
【详解】（1）解：
去分母得：
去括号得：
移项得：
合并同类项得：
系数化为1得：
解集在数轴上可表示为：
（2）解：
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式组的解集为：
解集在数轴上可表示为：
【变式训练3-2】解不等式组．
【答案】
【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，掌握确定不等式组解集的方法是解题的关键．
先求得各不等式的解集，然后再确定不等式组的解集即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为x．
【变式训练3-3】(24-25九上·新疆乌鲁木齐九十八中学·月考)解不等式组，并写出该不等式组的非负整数解．
【答案】；0，1
【分析】本题考查了解一元一次不等式组及求其整数解，掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．
分别求出不等式组中两个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：解不等式得，
解不等式得，
不等式组的解集为，
不等式组的非负整数解为0，1．
【变式训练3-4】(24-25七下·重庆育才中学校·期末)解不等式组：
(1)解不等式组；
(2)解不等式组，并把解集在数轴上表示出来，并指出它的所有整数解．
【答案】(1)
(2)，数轴见解析，它的所有整数解为，，，，，，
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上，最后写出所有的整数解即可．
【详解】（1）解：，
解不等式①可得：，
解不等式②可得：，
∴不等式组的解集为；
（2）解：，
解不等式①可得：，
解不等式②可得：，
∴不等式组的解集为，
表示在数轴上如图所示：
，
∴它的所有整数解为，，，，，，．
【变式训练3-5】(24-25八下·贵州白云三中·期中)按要求解不等式组
(1)求的所有整数解．
(2)求的非负整数解．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解．
（1）分别求两不等式的解集，进而求出不等式组的解集，然后求其整数解；
（2）分别求两不等式的解集，进而求出不等式组的解集，然后求其非负整数解．
【详解】（1）解不等式得：
解不等式得：
∴
整数解为；
（2）解不等式得：
解不等式得：
∴
非负整数解为
题型四：求一元一次不等式组的整数解
【例题4】不等式组的所有整数解的和为（ ）
A．3 B．2 C．0 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而确定不等式组的整数解，再把整数解相加，即可得到答案．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
∴原不等式组的整数解为，
∴原不等式组的所有整数解的和为，
故选：A．
【变式训练4-1】(2025九·广东省佛山市·模拟)不等式组的最大整数解是（ ）
A． B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出其最大整数解．
【详解】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
则不等式组的最大整数解为3，
故选：B．
【变式训练4-2】不等式组的整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了求不等式组的整数解．
分别解两不等式，求出不等式组的解集，进而可求不等式组的整数解．
【详解】解：解不等式得：
解不等式得：
∴
∴不等式组的整数解有共4个
故选：D
【变式训练4-3】(23-24七下·山西吕梁交口县部分学校·期末)不等式组的非负整数解是（ ）
A．0，1，2，3 B．1，2，3 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．根据解不等式组的一般步骤解不等式组，求出不等式组的解集，即可求出它的非负整数解．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的非负整数解是：0，1，2，3，
故选：A
【变式训练4-4】(24-25七下·吉林长春德惠第二十九中学·期末)不等式组的解集中，有（ ）个整数解．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出整数解即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
则不等式组的整数解有、、、共个．
故选：B．
【变式训练4-5】(24-25七下·辽宁大连普兰店·期末)能使不等式成立的所有整数x的和是（ ）
A．3 B．7 C．9 D．10
【答案】B
【分析】本题考查不等式组的整数解，先估算，然后得到整数解求和即可．
【详解】解：∵，
∴不等式成立的所有整数为，，，，，，，
∴所有整数x的和是，
故选：B．
题型五：已知一元一次不等式组的整数解求参数取值范围
【例题5】关于x的不等式组整数解共有3个，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【来源】广东省广州市荔湾区2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题
【分析】本题考查了求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
先解出一元一次不等式组的解集，然后根据解集来取不等式的个整数解，再根据这个整数解求的取值范围．
【详解】解：，
不等式①的解集是：，
不等式②的解集是：，
原不等式组的解集是：；
当关于的不等式组的整数解共有个时，
的值可以取、、，
的取值范围是；
故选：C．
【变式训练5-1】(24-25七下·江西丰城·期中)若关于的不等式组仅有2个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，再根据题意即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∵不等式组仅有2个整数解，
∴，
故选：B．
【变式训练5-2】(24-25七下·江苏常州溧阳·期末)若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，列出关于m的不等式组，再借助数轴做出正确的取舍，首先确定不等式组的解集，再根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于m的不等式，从而求出m的范围．
【详解】解：由，得，
，
原不等式的解集为，
不等式组的整数解共有4个，
其整数解应为：1、2、3、4，
m的取值范围是，
故选：D．
【变式训练5-3】(24-25七下·山东烟台龙口·期末)已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集，后确定整数解即可．
本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键．
【详解】解：∵
∴不等式组的解集为，
∵不等式组恰好有6个整数解，分别为，
∴，
故选：D．
【变式训练5-4】(24-25七下·重庆渝中区·期末)关于x的不等式组的所有整数解的和为，则的取值范围是
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解确定参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式组的求解过程和不等式组解的意义．
先解不等式组，确定整数解的可能情况，再根据整数解的和为确定的取值范围．
【详解】解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
因此，不等式组的解集为，
∵整数解需满足，且和为，分两种情况讨论：
情况一：整数解为和，和为，此时的范围为，解得；
情况二：整数解为、、、、，和为，此时的范围为，解得；
当时，解集为，整数解为、，和为，符合条件；
当时，解集为，整数解为、、、、，和为，符合条件；
综上，的取值范围是或，
故选：C．
【变式训练5-5】(24-25七下·陕西榆林高新区·期末)若关于x的不等式组的解集中至少有2个整数解，则整数a的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查解一元一次不等式组及整数解问题．
需先分别解两个不等式，确定解集范围，再根据整数解的个数确定参数a的取值范围，进而求出整数a的最小值．
【详解】解不等式组：
解第一个不等式，得．
解第二个不等式，两边同乘3得，解得．
因此，不等式组的解集为．
不等式组解集中至少有2个整数解，即不等式组解集内至少包含整数1和2．
需满足，即．
因此，整数a的最小值为2．
故选：B．
题型六：一元一次不等式与分式方程综合
【例题6】若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和是 ．
【答案】7
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及分式方程的解，熟知解一元一次不等式组及解分式方程的步骤是解题的关键．先根据所给方程的解为非负数，得出的取值范围，再结合所给不等式组的整数解只有3个即可解决问题．
【详解】解：由方程得，，
∵此分式方程的解为非负数，
∴，
解得，
解不等式组得，，
∵此不等式组有且仅有3个整数解，
∴，
解得，
∵当时，，
此时分式方程无解，故舍去，
∴且，
则符合条件的所有整数的和是：．
故答案为：7．
【变式训练6-1】(24-25九下·重庆开州区大进初级中学·月考)若关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程等知识点，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的一般步骤．
先解一元一次不等式组，求出x的取值范围，然后根据关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，求出a的取值范围，再解分式方程，根据关于y的分方程有非负整数解，列出关于a的不等式，求出a的值，从而求出答案即可．
【详解】解：，
解得，
∵一元一次不等式组有且只有4个整数解，即2，3，4，5，
∴，
∴
∴或5或6或7或8或9，
解分式方程，
∴，
∴，
∵分式方程有非负整数解，
∴，为整数，即或2或4或或8，
∴或6或4或2或0，
∵，
∴
∴，
∴，
∴或4或2或0．
∵，
∴符合条件的整数a有4，8
∴．
故答案为：12．
【变式训练6-2】若关于的不等式组有且只有4个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的积为 ．
【答案】0
【分析】本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组的整数解的个数及分式方程的解确定m的取值范围． 根据不等式组的整数解的个数确定m的取值范围，再根据分式方程的非负数解确定m的取值范围，从而求出符合条件的所有整数，然后代入原分式方程验证即可得结论．
【详解】解：
解不等式，得．
解不等式，得．
不等式组的解集为．
不等式组有且只有4个整数解，
．
解得．
，
解得．
关于的分式方程的解为非负数，
，解得．
是分式方程的增根，
此时，无意义，舍去．
且．
符合题意的整数m的值，，0．
当m的值为时，
．
解得∶，是非负数，符合题意．
当m的值为时，
．
解得∶，是非负数，符合题意．．
当m的值为0时，
．
解得∶，是非负数，符合题意．．
符合题意的整数m的值为，，0．
符合条件的所有整数m的积是．
故答案为∶ 0
【变式训练6-3】(24-25九上·重庆巴渝学校·月考)若关于的不等式组的解集为，关于的分式方程有整数解，则满足条件整数的和为 ．
【答案】
【分析】本题考查了由不等式组的解集求参数的取值范围，根据分式方程解的情况求参数．先分别解不等式组里的两个不等式，根据解集求出的取值范围，再由分式方程解的情况求出的取值范围，即可求出整数的值，进而求解．
【详解】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
∵不等式组的解集为，
∴，
解得：；
关于的分式方程，
去分母，得，
整理，得，
即，且，，
即，
故，
当时，，
∴，
∵分式方程的解为整数解，
即是整数，
故是整数，且，
当时，此时（舍去），
当时，此时，则，，
当时，此时（舍去），
当时，此时，则，，
综上，的值为、，
故满足条件整数的和为．
故答案为：．
【变式训练6-4】(24-25七下·安徽池州青阳县·期末)已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数，根据分式方程的解的情况求参数，有理数的乘法运算，先解不等式组，根据不等式组解集的情况求出的取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解为正整数求出整数的值，最后把所有满足条件的整数的值相乘即可求解，正确计算是解题的关键．
【详解】解：，
由①得，，
由②得，，
∵不等式组的解集为，
∴，
∴，
解方程，得，
∵方程的解为正整数，，
∴或或，
又∵，
∴，
∴，
∴满足条件的整数的值为和，
∴所有满足条件的整数的积为，
故答案为：．
【变式训练6-5】(24-25七下·重庆永川区·期末)若关于x的不等式组有且只有3个整数解，且关于y的方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数a的和是 ．
【答案】8
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次方程，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．首先解不等式组，根据不等式组有且只有3个整数解得出关于a的不等式组，求出a的取值范围，再解方程，根据方程的解是非负整数求出所有的a可能的值，进而得到符合条件的所有整数a，求和即可得到答案．
【详解】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∵该不等式组有且只有3个整数解，则这3个整数为2，1，0，
∴，
解得，
∴整数a为2，3，4，5；
解方程，得，
∵该方程的解是非负整数，
∴符合条件的所有整数a为3和5，
∴符合条件的所有整数a的和为．
故答案为：8．
题型七：一元一次不等式与二元一次方程综合
【例题7】关于x，y的二元一次方程组的解为整数，关于z的不等式组有且仅有2个整数解，则所有满足条件的整数k的和为（ ）
A．6 B．7 C．11 D．12
【答案】A
【分析】本题考查了解含参数的二元一次方程组整数解，含参数的不等式组整数解问题；解出方程组，根据整数解确定的取值，解出不等式组，由整数解的个数确定的取值范围，即可求解；能正确解出含参数的方程组和不等式组，并确定的取值范围是解题的关键．
【详解】解：解方程组得：
，
∵关于x，y的二元一次方程组的解为整数，
∴k可取，1，，4，5，，
解关于z的不等式组得，
∵关于z的不等式组有且仅有2个整数解，
，
解得：，
∴整数k为，1，，4，
其和为，
故选：A．
【变式训练7-1】(24-25下·吉林东北师大附中净月实验校·期末)若不等式组的解集为，则关于的方程组的解
为 ．
【答案】
【分析】本题考查了根据一元一次不等式组的解集求参数，利用加减消元法求解二元一次方程组的解，利用不等式组的解集求出，，代入再利用加减消元法求解方程组的解即可．
【详解】解：不等式组的解集为，
，，
，
得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
则方程组的解为，
故答案为：．
【变式训练7-2】(25-26八上·重庆渝中区鲁能巴蜀中学校·期中)如果关于x的不等式组的解集为，且整数使得关于，的二元一次方程组的解为整数（，均为整数），则符合条件的所有整数的和为 ．
【答案】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，解二元一次方程组．
根据不等式组的解集，可得，解二元一次方程组，结合解为整数，可得或或，从而可得符合条件的所有整数的和．
【详解】解：，
由得，
由得，
∵关于的不等式组的解集为，
∴，
解关于，的二元一次方程组，
得，
∵，均为整数，
∴或或或，
∴或或或，
∵，
∴或或，
∴符合条件的所有整数的和为．
故答案为：．
【变式训练7-3】(23-24八下·四川成都通锦中学校·月考)若关于x的一元一次不等式组的解集是，且关于y的方程有正整数解， 则符合条件的整数k的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组、一元一次方程的解和解一元一次方程．先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据关于x的一元一次不等式组的解集是，可以求得k的取值范围，再求出关于y的方程的解，然后根据关于y的方程有正整数解，即可求出k的值，从而可以解答本题．
【详解】解：，
解不等式得：
解不等式得：，
∵不等式组的解集是，
∴，
，
解得：，
∵关于y的方程有正整数解，
∴整数k的值为1．
故答案为：1
【变式训练7-4】(23-24七下·重庆育才中学校·期末)若为正整数，关于，的二元一次方程组的解为整数，且关于的不等式的解集是，则满足条件的与的和为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式组等知识．熟练掌握加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式组是解题的关键．
加减消元法解二元一次方程组得，由方程组的解为整数可求，解一元一次不等式组可求，然后求和即可．
【详解】解：，
得，，
解得，，
将代入②可得，，
∴，
∵关于，的二元一次方程组的解为整数，
∴，
，
解得，；
解得，；
∵关于的不等式的解集是，
∴当时，，（舍去），
当时，，，符合题意，
∴，
故答案为：5．
【变式训练7-5】(24-25七·重庆两江新区·)如果关于的不等式组的解集为，且整数使得关于的二元一次方程组的解为整数（均为整数），则符合条件的所有整数的和是 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和二元一次方程组以及分式的整数值，解不等式组，结合其解集得出；解方程组得出其解，结合解均为整数得出整数m的值；综合前面m的取值范围确定m的最终取值，从而得出答案．
【详解】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∵不等式的解集为，
∴，
解方程组得，
∵解集为整数，
∴或或或，
∴或或或，
∵，
∴或或，
∴整数的和是，
故答案为：2．
题型八：根据一元一次不等式解集的情况求参数
【例题8】如果不等式组的解集是无解，那么m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查“求一元一次不等式组参数的取值范围”，熟练掌握“一元一次不等式组的解是各个不等式的解的公共部分”是解题的关键．先把不等式组进行化简，再根据条件，即可得到m的取值范围．
【详解】由，解①得，，
，
不等式组的解集是无解，
，
故选：D．
【变式训练8-1】(24-25七下·安徽定远县七里塘中学·月考)关于的不等式组的解集为，那么的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，关键是熟悉不等式组解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．先解不等式得到，再根据，由不等式组解集的规律即可得解．
【详解】解：解不等式得到，
∵关于x的不等式组的解集为，
∴．
故选：B．
【变式训练8-2】(24-25七下·广东惠州博罗县·期末)若不等式组无解，则实数 的取值范围是 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式组无解问题．
先分别解两个不等式，得到各自的解集，再根据不等式组无解的条件确定参数的取值范围．
【详解】解：解得；
解得；
即，
∵不等式组无解，
∴，
解得，
故选：D．
【变式训练8-3】(24-25八下·贵州贵阳第十九中学·期中)若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了不等式组无解问题．
先分别解两不等式，求出不等式组的解集，再根据不等式组无解列出关于a的不等式求解即可．
【详解】解不等式得：，
解不等式得：，
∵不等式组无解，
∴，
解得：，
故选：B．
【变式训练8-4】(25-26七下·湖北武汉汉铁初级中学·月考)若不等式组无解，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了不等式组无解的情况．
分别求出两不等式的解集，求出不等式组的解集，再根据不等式组无解判断即可．
【详解】解：解不等式得
解不等式得
∵不等式组无解，
∴
解得
故选：A
【变式训练8-5】(24-25七下·福建泉州第六中学·期中)如果不等式组无解，那么不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．无解
【答案】A
【分析】本题考查了求不等式组解集，首先由不等式组解集的情况判断出的大小，进而即可求解，理解不等式组无解的意义是解题的关键．
【详解】解：∵不等式组无解，
∴，
∴，
∴不等式组的解集是，
故选：．
题型九：一元一次不等式中新定义类问题
【例题9】定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式的其中一个解，则称该一元一次方程为该不等式的相伴方程．若方程，都是关于x的不等式的相伴方程，则m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次方程、解一元一次不等式，分别求出两个一元一次方程的解，再求出一元一次不等式的解，结合不等式的相伴方程的定义即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：解方程得：，
解方程得：，
由得，
∵方程，都是关于x的不等式的相伴方程，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练9-1】(23-24七下·北京第一六一中学·期中)对，，定义一种新运算，规定：，其中，为非负数．若，设，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式性质的应用；根据题意得到关于a、b、c的方程组，得到用a的代数式表示的b、c；由b非负求得a的范围，把H用a的代数式表示，利用不等式的性质即可求出H的取值范围．
【详解】解：∵，
∴，
解得：；
∵，为非负数，
∴，
即，
∴；
∴
，
∵，
∴，
即；
故答案为：．
【变式训练9-2】(24-25七下·江苏苏州吴江区·期末)定义：关于的二元一次方程（其中是常数）叫做方程的“移变方程”．例如：的“移变方程”为．已知常数满足条件，并且是关于的二元一次方程的“移变方程”，则的取值范围为 ．
【答案】且
【分析】本题考查了新定义，解二元一次方程组，以及解一元一次不等式，解题关键是理解新定义，并正确求解含参方程．
根据新定义，仿照示例，得到二元一次方程与“移变方程”系数之间的关系，列出不等式组，求出的范围，并注意二元一次方程的系数不为0，即可求解．
【详解】解：根据“移变方程”的定义，知的移变方程为：
，
又也是的移变方程，
∴，
由②得，，
代入①，得，
∵，
∴，
解得，
又是二元一次方程，则：
且，
∴
解得且，
又，
∴的取值范围为且．
故答案为：且．
【变式训练9-3】(24-25七下·湖北武汉江汉区四校·期中)用符号“※”定义一种新运算：对于任意实数和，规定，例如：．
(1)求；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了新定义，解一元一次不等式组，正确理解新定义是解题的关键．
（1）根据新定义可得，据此计算求解即可；
（2）根据新定义可得，则可得到不等式组，解不等式组即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴
；
（2）解：∵
∴
，
∵，
∴，
解得．
【变式训练9-4】【阅读材料】
定义：若关于的一元一次方程的解及解的2倍都在一元一次不等式组的解集范围内，则称这个方程为该不等式组的“绝美子方程”．例如，方程的解为，则；不等式组的解集是，可以发现方程的解和都在不等式组的解集的范围内，则称方程为不等式组的“绝美子方程”．
【解决问题】
(1)在方程①；②中，为不等式组的“绝美子方程”的是 ；（填序号）
(2)若方程为不等式组的“绝美子方程”，求的取值范围；
(3)若方程为不等式组的“绝美子方程”，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)①
(2)
(3)
【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，一元一次不等式组的解法，掌握新定义的含义是解本题的关键；
（1）先解两个方程得到方程的解，再解不等式组，得到不等式组的解，再根据新定义的含义判定即可；
（2）由（1）知不等式组得到解集为，再由方程可得，，再结合新定义的含义建立不等式组，即可得到答案；
（3）先求出不等式组得到解集为，再由方程可得，，再结合新定义的含义即可得到答案．
【详解】（1）解：①，
∴，
∴；
②，
∴，
∴，
∴，
∵，
解不等式得，
解不等式得，
∴，
∵均在范围内；不在范围内；
①为不等式组的“绝美子方程”，②则不是不等式组的“绝美子方程”；
故答案为：①；
（2）解：由（1）知不等式组的解集为，
解方程，得，
∴，
方程为不等式组的“绝美子方程”，
，且，
∴，且，
∴；
（3）解：，
解不等式得，
解不等式得，
∴，
解方程，得，
∴，
方程为不等式组的“绝美子方程”，
∴，
∴．
【变式训练9-5】(24-25七下·吉林长春高新技术产业开发区慧谷学校·月考)定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，可以发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相伴方程”，问题解决：
(1)在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”_____（填序号）；
(2)若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围；
(3)若方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，试求m的取值范围．
【答案】(1)②
(2)
(3)
【分析】本题主要考查一元一次不等式组和一元一次方程相结合的问题，能根据题目中的已知条件构建一元一次不等式组是解题的关键．
（1）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据“相伴方程”的定义即可求得答案；
（2）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据“相伴方程”的定义，可得到关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求解；
（3）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据 “相伴方程”的定义，可得到关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】（1）解：方程①，
解得：，
方程②：，
解得：，
不等式组，
解得：，
在范围内，
方程②是不等式组的“相伴方程”，
故答案为：②；
（2）解：方程，
解得：，
不等式组
整理得，
解得：，
由题意可得：，
整理得
解得：；
（3）解：方程，
解得：，
方程，
整理得
解得：，
，
解得：，
和都在范围内，
，
解得：．中小学教育资源及组卷应用平台
专题3.5.1一元一次不等式组九大题型
（一课一讲）
①一元一次不等式组的定义
一般地，由几个含同一个未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组。
组成不等式组的各个不等式解集的公共部分，就是不等式组的解集。当它们没有公共部分时，我们称这个不等式组无解。
题型一：判断是否为一元一次不等式组
【例题1】下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-1】在下列各式中，是一元一次不等式组的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】下列不等式组：
①②③④⑤
其中是一元一次不等式组的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式训练1-3】(24-25八下·贵州毕节毕节三联学校·月考)下列是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-4】下列各式中是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-5】下列选项中是一元一次不等式组的是（ ）
A． B． C． D．
题型二：一元一次不等式组在数轴上表示
【例题2】不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-1】(2025·江苏省苏州市·期末)不等式组的解集在数轴上的表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-2】不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-3】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C． D．
【变式训练2-4】(24-25九下·四川成都第七中学初中学校·期中)在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-5】(25-26九上·浙江温州瑞安五校联考·)满足不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
题型三：解一元一次不等式组（计算题）
【例题3】解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【变式训练3-1】(24-25八下·贵州贵阳第十九中学·期中)解下列不等式和不等式组，并将解集表示在数轴上．
(1)
(2)
【变式训练3-2】解不等式组．
【变式训练3-3】(24-25九上·新疆乌鲁木齐九十八中学·月考)解不等式组，并写出该不等式组的非负整数解．
【变式训练3-4】(24-25七下·重庆育才中学校·期末)解不等式组：
(1)解不等式组；
(2)解不等式组，并把解集在数轴上表示出来，并指出它的所有整数解．
【变式训练3-5】(24-25八下·贵州白云三中·期中)按要求解不等式组
(1)求的所有整数解．
(2)求的非负整数解．
题型四：求一元一次不等式组的整数解
【例题4】不等式组的所有整数解的和为（ ）
A．3 B．2 C．0 D．
【变式训练4-1】(2025九·广东省佛山市·模拟)不等式组的最大整数解是（ ）
A． B．3 C．4 D．5
【变式训练4-2】不等式组的整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练4-3】(23-24七下·山西吕梁交口县部分学校·期末)不等式组的非负整数解是（ ）
A．0，1，2，3 B．1，2，3 C． D．
【变式训练4-4】(24-25七下·吉林长春德惠第二十九中学·期末)不等式组的解集中，有（ ）个整数解．
A． B． C． D．
【变式训练4-5】(24-25七下·辽宁大连普兰店·期末)能使不等式成立的所有整数x的和是（ ）
A．3 B．7 C．9 D．10
题型五：已知一元一次不等式组的整数解求参数取值范围
【例题5】关于x的不等式组整数解共有3个，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】(24-25七下·江西丰城·期中)若关于的不等式组仅有2个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】(24-25七下·江苏常州溧阳·期末)若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-3】(24-25七下·山东烟台龙口·期末)已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-4】(24-25七下·重庆渝中区·期末)关于x的不等式组的所有整数解的和为，则的取值范围是
A． B．
C．或 D．或
【变式训练5-5】(24-25七下·陕西榆林高新区·期末)若关于x的不等式组的解集中至少有2个整数解，则整数a的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型六：一元一次不等式与分式方程综合
【例题6】若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和是 ．
【变式训练6-1】(24-25九下·重庆开州区大进初级中学·月考)若关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【变式训练6-2】若关于的不等式组有且只有4个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的积为 ．
【变式训练6-3】(24-25九上·重庆巴渝学校·月考)若关于的不等式组的解集为，关于的分式方程有整数解，则满足条件整数的和为 ．
【变式训练6-4】(24-25七下·安徽池州青阳县·期末)已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的积为 ．
【变式训练6-5】(24-25七下·重庆永川区·期末)若关于x的不等式组有且只有3个整数解，且关于y的方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数a的和是 ．
题型七：一元一次不等式与二元一次方程综合
【例题7】关于x，y的二元一次方程组的解为整数，关于z的不等式组有且仅有2个整数解，则所有满足条件的整数k的和为（ ）
A．6 B．7 C．11 D．12
【变式训练7-1】(24-25下·吉林东北师大附中净月实验校·期末)若不等式组的解集为，则关于的方程组的解
为 ．
【变式训练7-2】(25-26八上·重庆渝中区鲁能巴蜀中学校·期中)如果关于x的不等式组的解集为，且整数使得关于，的二元一次方程组的解为整数（，均为整数），则符合条件的所有整数的和为 ．
【变式训练7-3】(23-24八下·四川成都通锦中学校·月考)若关于x的一元一次不等式组的解集是，且关于y的方程有正整数解， 则符合条件的整数k的值为 ．
【变式训练7-4】(23-24七下·重庆育才中学校·期末)若为正整数，关于，的二元一次方程组的解为整数，且关于的不等式的解集是，则满足条件的与的和为 ．
【变式训练7-5】(24-25七·重庆两江新区·)如果关于的不等式组的解集为，且整数使得关于的二元一次方程组的解为整数（均为整数），则符合条件的所有整数的和是 ．
题型八：根据一元一次不等式解集的情况求参数
【例题8】如果不等式组的解集是无解，那么m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练8-1】(24-25七下·安徽定远县七里塘中学·月考)关于的不等式组的解集为，那么的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练8-2】(24-25七下·广东惠州博罗县·期末)若不等式组无解，则实数 的取值范围是 （ ）．
A． B． C． D．
【变式训练8-3】(24-25八下·贵州贵阳第十九中学·期中)若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练8-4】(25-26七下·湖北武汉汉铁初级中学·月考)若不等式组无解，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练8-5】(24-25七下·福建泉州第六中学·期中)如果不等式组无解，那么不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．无解
题型九：一元一次不等式中新定义类问题
【例题9】定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式的其中一个解，则称该一元一次方程为该不等式的相伴方程．若方程，都是关于x的不等式的相伴方程，则m的取值范围为 ．
【变式训练9-1】(23-24七下·北京第一六一中学·期中)对，，定义一种新运算，规定：，其中，为非负数．若，设，则的取值范围是 ．
【变式训练9-2】(24-25七下·江苏苏州吴江区·期末)定义：关于的二元一次方程（其中是常数）叫做方程的“移变方程”．例如：的“移变方程”为．已知常数满足条件，并且是关于的二元一次方程的“移变方程”，则的取值范围为 ．
【变式训练9-3】(24-25七下·湖北武汉江汉区四校·期中)用符号“※”定义一种新运算：对于任意实数和，规定，例如：．
(1)求；
(2)若，求的取值范围．
【变式训练9-4】【阅读材料】
定义：若关于的一元一次方程的解及解的2倍都在一元一次不等式组的解集范围内，则称这个方程为该不等式组的“绝美子方程”．例如，方程的解为，则；不等式组的解集是，可以发现方程的解和都在不等式组的解集的范围内，则称方程为不等式组的“绝美子方程”．
【解决问题】
(1)在方程①；②中，为不等式组的“绝美子方程”的是 ；（填序号）
(2)若方程为不等式组的“绝美子方程”，求的取值范围；
(3)若方程为不等式组的“绝美子方程”，请直接写出的取值范围．
【变式训练9-5】(24-25七下·吉林长春高新技术产业开发区慧谷学校·月考)定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，可以发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相伴方程”，问题解决：
(1)在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”_____（填序号）；
(2)若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围；
(3)若方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，试求m的取值范围．
