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【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册同步练习浙教版
专题3.1&3.2认识不等式及不等式的基本性质九大题型
（一课一练）
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．用不等式可将“a与b的和的平方为非负数”表示为( )
A． B． C． D．
2．如图，天平右盘中每个砝码的重量都是，如图中显示出某药品A重量的范围是（ ）
A．大于 B．小于
C．大于且小于 D．大于或小于
3．若，则下列不等式变形错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，数轴上的点表示的数为有理数，下列各数中在0，1之间的是（ ）
A． B． C． D．..
5．下列说法错误的是（ ）
A．是不等式的解
B．若，则
C．不等式的解集是
D．不等式的解集是所有非零实数
6．已知，，，则M与N的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
7．下列说法错误的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，，那么
8．根据物体的沉浮条件，物体在同一液体中受到的浮力与物体重力的关系决定物体的状态：当时物体上浮；当时物体悬浮或漂浮；时物体下沉．不等式做如下变化时依据不等式的性质该物体一定仍然上浮的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知三个实数a、b、c满足（），，则（ ）
A． B． C． D．
10．从五个数a，b，c，d，e中抽取三个数相加，得到以下五个等式：，，，，，已知，则以下四个数中，最小的是（ ）
A．a B．b C．c D．d
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．若，则 ．（填“＜”、“＞”或“＝”号）
12．当 时，不等式的解集是．
13．在实数和之间的所有整数的和为 ．
14．已知一个三角形的两边长分别为和，这个三角形的周长C取值范围为 ．
15．已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①当时，；②当时，x与y互为相反数；③无论a取何值时，都有；④当时，．其中正确结论的序号是 ．
16．若，，当时，A与B的大小关系是 ．
17．任意实数，表示不超过的最大整数．例如：，．若，，则所有可能的值为 ．
18．关于，的方程组，用含的式子表示 ，若，令，则的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．根据下列关系列出不等式．
(1)是非负数；
(2)的相反数与1的差小于2；
(3)与7的和比x的2倍小；
(4)的2倍与5的和是正数；
(5)，两数的平方差不小于1．
20．根据不等式的性质，将下列不等式化成“”或“”的形式．
(1)
(2)
21．如图，是内一点，连接和．
(1)试说明：；
(2)若，，，求的取值范围．
22．求同时满足 ，，且 的a的最大整数值及最小整数值．
23．有两根同样长度的铁丝，一根折成长方形铁框（如图1），另一根折成正方形铁框（如图2）：设长方形铁框的长为a，宽为b（）．
(1)用a，b表示正方形的面积；
(2)小明同学认为“用上述同样长度的铁丝围成的长方形和正方形，正方形面积一定比长方形面积大”，请你通过计算加以说明．
24．根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
(1)①如果，那么 ；
②如果，那么 ；
③如果，那么 ．
(2)如（1）中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下面的问题：
①若，比较，的大小；
②比较与的大小．
试卷第1页，共3页
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【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册同步练习浙教版
专题3.1&3.2认识不等式及不等式的基本性质九大题型
（一课一练）
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．用不等式可将“a与b的和的平方为非负数”表示为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【来源】重庆市第八中学2023-2024学年八年级上学期数学周末练习试卷（12.24）
【分析】本题考查了列不等式、非负数的概念（非负数即大于等于 0 的数）以及代数式的正确表示；解题的关键是准确拆解文字表述中的数量关系，先确定 “a 与 b 和的平方” 对应的代数式，再结合 “非负数” 的符号特征列出不等式．
先分析文字表述：“a 与 b 的和” 表示为，“和的平方” 即对整体平方，为；“非负数” 表示该式的值大于等于 0，即，由此组合得到对应的不等式，再与选项对比确定答案．
【详解】解：A、选项表示 “a 的平方与 b 的平方的和为非负数”，并非 “a 与 b 和的平方”，此选项不符合题意；
B、选项表示 “a 与 b 和的平方为非负数”，与文字表述完全一致，此选项符合题意；
C、选项表示 “a 的平方与 b 的平方的和为正数”，既不是 “和的平方” 也排除了非负数中的 0，此选项不符合题意；
D、选项表示 “a 与 b 的和的平方为正数”，虽为 “和的平方” 但排除了非负数中的 0，此选项不符合题意；
故选：B．
2．如图，天平右盘中每个砝码的重量都是，如图中显示出某药品A重量的范围是（ ）
A．大于 B．小于
C．大于且小于 D．大于或小于
【答案】C
【来源】四川省宣汉县红峰中学2012-2013学年八年级下学期期中检测数学试题
【分析】本题考查的是不等式的应用，解决问题的关键是读懂图意．
根据图形就可以得到药品A的质量的范围．
【详解】解： 由第一个图可知药品A质量大于2克，由第二个图可知药品A质量小于3克，故药品A质量范围是大于2克且小于3克．
故选：C．
3．若，则下列不等式变形错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【来源】 河南省信阳市2020-2021学年七年级下学期期末数学试卷
【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
根据不等式的性质逐一判断即可．
【详解】A． 由可得，原不等式变形正确；
B． 由可得，即，原不等式变形错误；
C． 由可得，即，原不等式变形正确；
D． 由可得，即，原不等式变形正确；
故选：B．
4．如图，数轴上的点表示的数为有理数，下列各数中在0，1之间的是（ ）
A． B． C． D．..
【答案】D
【来源】浙江省台州市黄岩区2021-2022学年七年级上学期期末数学试题
【分析】本题考查数轴、绝对值及有理数的运算，题目较容易，关键是根据数轴上点的位置判断的范围．根据数轴上的位置可得得范围，逐项判断从而得到答案．
【详解】解：由图可知，
A、，故本选项不符合题意，
B、，故本选项不符合题意，
C、，则，故本选项不符合题意，
D、，则，故本选项符合题意，
故选：D．
5．下列说法错误的是（ ）
A．是不等式的解
B．若，则
C．不等式的解集是
D．不等式的解集是所有非零实数
【答案】C
【来源】湖南省邵阳市大祥区2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷
【分析】本题主要考查了不等式的性质，依据题意，由不等式的性质逐个进行分析即可得解，熟练掌握并理解不等式的性质是解题的关键．
【详解】解：、∵，
∴，
∴是不等式的解，选项原说法正确，不符合题意；
、∵，
∴，
∴，
∴，选项原说法正确，不符合题意；
、不等式的解集是，选项原说法错误，符合题意；
、不等式的解集是所有非零实数，选项原说法正确，不符合题意；
故选：．
6．已知，，，则M与N的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【来源】上海市外国语大学附属外国语学校2023-2024学年上学期七年级年级数学期末试卷
【分析】本题考查了整式的加减运算，整式比较大小，因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键．多项式比较大小，采用“作差法”，将多项式因式分解，再根据已知条件判断的符号．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
又，
，
即．
故选：C．
7．下列说法错误的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，，那么
【答案】C
【来源】2025年吉林省长春五十二中赫行实验学校中考模拟预测数学试题
【分析】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
【详解】解：A. 如果，那么，故该选项说法正确，不符合题意；
B. 如果，那么，故该选项说法正确，不符合题意；；
C. 当 取负数时， 不一定成立。例如，取 ，满足 ，但此时 ，不满足 ，故该选项说法错误，符合题意；
D. 如果，，那么，故该选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
8．根据物体的沉浮条件，物体在同一液体中受到的浮力与物体重力的关系决定物体的状态：当时物体上浮；当时物体悬浮或漂浮；时物体下沉．不等式做如下变化时依据不等式的性质该物体一定仍然上浮的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【来源】辽宁省朝阳市建平县2024-2025学年八年级下学期期末学业水平质量检测数学试卷
【分析】此题考查了不等式的性质，根据不等式性质逐一验证各选项是否保持原不等式关系即可．
【详解】∵，
∴选项A：两边加不同数和，无法确定与的大小关系，故无法保证原不等式成立；
选项B：两边同乘以2得，再两边同加上得，故一定成立；
选项C：两边减不同数和，若，可能破坏原不等式，故不成立；
选项D：两边乘2后减不同数，若，可能使左边更小，故不成立．
故选：B．
9．已知三个实数a、b、c满足（），，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【来源】 2024年安徽（合肥）中考三模数学模拟（猜想）试卷
【分析】本题考查了不等式的性质，等式的性质，因式分解等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键．
先由得到，然后代入，根据不等式的性质，等式的性质化简判断的符号；，再由，判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
而，
∴，
∴
故选：B．
10．从五个数a，b，c，d，e中抽取三个数相加，得到以下五个等式：，，，，，已知，则以下四个数中，最小的是（ ）
A．a B．b C．c D．d
【答案】C
【来源】福建省厦门市思明区2024-2025学年七年级下学期数学期末考试卷
【分析】本题主要考查了不等式的性质．根据，可得，再由，可得，然后根据，可得到，即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∵，， ，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴四个数中，最小的是c．
故选：C
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．若，则 ．（填“＜”、“＞”或“＝”号）
【答案】
【来源】山东省淄博市博山区第六中学2013-2014学年八年级上学期第一次诊断性检测数学试题
【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边加减同一个数（或式），不等号方向不变；不等式两边同乘除同一个正数，不等号方向不变；同时乘以或除以同一个负数，不等号方向变反. 据此即可求解.
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：
12．当 时，不等式的解集是．
【答案】
【来源】苏州外国语学校2014-2015七年级上册 数学期末试卷
【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质可得不等式两边同时除以不等式变号，则，据此求解即可．
【详解】解：∵不等式的解集是，
∴，
解得，
故答案为：．
13．在实数和之间的所有整数的和为 ．
【答案】2
【来源】四川省达州市渠县第二中学 2025—2026学年八年级上学期9月月考数学测试题
【分析】本题考查了无理数的估算，有理数的加法应用，不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，整理得，，故，再找出在实数和之间的所有整数，计算它们的和值，即可作答．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴在实数和之间的所有整数分别为，
∴，
故答案为：2
14．已知一个三角形的两边长分别为和，这个三角形的周长C取值范围为 ．
【答案】
【来源】山东省2023年第二十九届YMO数学思维研学初赛七年级试题
【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系的应用是解题的关键．第三边的取值范围是再根据不等式性质即可得出答案．
【详解】解：设三角形第三边为，则三角形的周长，
∵，
∴，
即：，
故答案为：．
15．已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①当时，；②当时，x与y互为相反数；③无论a取何值时，都有；④当时，．其中正确结论的序号是 ．
【答案】①②③
【来源】 山东省济宁市泗水县2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题
【分析】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式，将代入方程组第二个方程可判断①；将代入方程组第一个方程可判断②；将方程组二个方程相加可判断③；将代入方程组第二个方程可判断④．
【详解】解：①当时，，
∴，
故①正确；
②当时，，
∴，
故②正确；
③方程组中的两个方程相加得，
，
∴，
故③正确；
④当时，，
∴，
故④不正确，
综上，正确的结论是①②③，
故答案为：①②③ ．
16．若，，当时，A与B的大小关系是 ．
【答案】
【来源】江西省上饶市玉山县2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题
【分析】本题主要考查了整式的加减混合运算的应用，不等式的性质，利用作差法求解是解此题的关键．
利用作差法求得，然后根据利用不等式的性质求解即可．
【详解】解：
∴当时，
∴
∴．
故答案为：．
17．任意实数，表示不超过的最大整数．例如：，．若，，则所有可能的值为 ．
【答案】6或7
【来源】山东省临沂市莒南县2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题
【分析】本题考查了新定义运算，由新定义得，，结合不等式的基本性质及新定义，即可求解．
【详解】解： ，，
，
，
，
或；
故答案为：6或7．
18．关于，的方程组，用含的式子表示 ，若，令，则的取值范围是 ．
【答案】
【来源】广东省广州市南沙区2024—2025学年下学期七年级期末数学试卷
【分析】本题考查二元一次方程组的变形以及不等式的性质．解题关键在于通过方程组中方程相减得到即关于的表达式，再利用的取值范围，结合不等式性质求出的取值范围．
先通过方程组中两个方程相减得出关于的表达式，再结合的取值范围来确定的取值范围．
【详解】解：，
得：，
去括号得：，
合并同类项得：，
两边同时除以，得到，
，
，
，
∴，
∴，
∴，
的取值范围是．
故答案为：，．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．根据下列关系列出不等式．
(1)是非负数；
(2)的相反数与1的差小于2；
(3)与7的和比x的2倍小；
(4)的2倍与5的和是正数；
(5)，两数的平方差不小于1．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【来源】035 课时1 不等式（1） 七年级数学下册苏教版2024
【分析】本题主要考查列不等式，准确找到不等量关系，理解“大于，小于，不大于，不小于”的意义是关键．
（1）根据不等量关系直接列出不等式即可．
（2）根据不等量关系直接列出不等式即可．
（3）根据不等量关系直接列出不等式即可．
（4）根据不等量关系直接列出不等式即可．
（5）根据不等量关系直接列出不等式即可．
【详解】（1）解：由题意得：
（2）解：由题意得：
（3）解：由题意得：
（4）解：由题意得：
（5）解：由题意得：
20．根据不等式的性质，将下列不等式化成“”或“”的形式．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【来源】陕西省咸阳市永寿县豆家中学2020—-2021学年八年级下学期学月测试（一）数学试题
【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键，注意不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
（1）不等式两边先同时加1，然后不等式两边同时除以2即可；
（2）不等式两边同时除以即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
21．如图，是内一点，连接和．
(1)试说明：；
(2)若，，，求的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【来源】 吉林省长春八十七中南阳校区2024-2025学年七年级下学期第三次月考数学试卷
【分析】本题考查三角形三边关系，不等式的性质，关键是掌握三角形三边关系定理．
（1）延长交于，由三角形三边关系定理得，，即可证明；
（2）由三角形三边关系定理得，因此，得到．
【详解】（1）证明：延长交于，
由三角形三边关系定理得：，，
∴，
∴；
（2）由三角形三边关系定理得：，
由（1）知，
∴，
，，，
∴．
22．求同时满足 ，，且 的a的最大整数值及最小整数值．
【答案】的最大整数值是，最小整数值是3
【来源】湖北省十堰市郧阳区柳陂镇柳陂中学2024-2025学年七年级上学期期末数学试题
【分析】本题考查了加减消元法解方程组，不等式的性质；通过消元法消去和，建立的取值范围，再结合不等式条件筛选出符合条件的整数值即可，特别需要注意代数运算的准确性及不等式链的处理．
【详解】解：依题意，
①②得：
即③
将③代入①得：
即
所以④
因为，即
所以，即
因为，即
所以，即
所以
所以
而
所以
即
所以的最大整数值是，最小整数值是．
答：同时满足 ，，且的的最大整数值是，最小整数值是3．
23．有两根同样长度的铁丝，一根折成长方形铁框（如图1），另一根折成正方形铁框（如图2）：设长方形铁框的长为a，宽为b（）．
(1)用a，b表示正方形的面积；
(2)小明同学认为“用上述同样长度的铁丝围成的长方形和正方形，正方形面积一定比长方形面积大”，请你通过计算加以说明．
【答案】(1)
(2)见解析
【来源】安徽省蚌埠市固镇县2024-2025学年七年级下学期5月期中考试数学试题
【分析】本题主要考查代数式的运用，不等式的性质比较大小，理解题意，掌握代数式的表示，不等式的性质比较大小的方法是关键．
（1）根据题意得到铁丝的长为，则正方形的边长为，根据正方形的面积的计算即可求解；
（2）根据题意得到正方形，长方形的面积差，进行比较即可．
【详解】（1）解：∵长方形的长为，宽为，
∴铁丝的长为，
∴正方形的边长为，
∴正方形的面积为：；
（2）解：正方形的面积与长方形的面积之差为：，
∵，
∴同样长度的铁丝围成的长方形和正方形，正方形面积一定比长方形面积大．
24．根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
(1)①如果，那么 ；
②如果，那么 ；
③如果，那么 ．
(2)如（1）中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下面的问题：
①若，比较，的大小；
②比较与的大小．
【答案】(1)①；②；③
(2)①；②
【来源】 浙江省杭州市萧山区高桥教育集团2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷
【分析】本题考查因式分解的应用、非负数的性质、不等式的性质，解答本题的关键是明确题意，求出题目中的不等关系．
（1）①根据不等式的性质，可以求得、的大小关系；
②根据不等式的性质，可以求得、的大小关系；
③根据不等式的性质，可以求得、的大小关系；
（2）①根据，移项并作差，然后即可得到和的关系；
②将两个多项式作差，然后与0比较大小，即可得到与的大小．
【详解】（1）解：①，
，
，
故答案为：；
②，
，
，
故答案为：；
③，
，
，
故答案为：；
（2）解：①，
，
，
，
，
；
②
，
．
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