3.3垂径定理课后培优提升训练（含答案）浙教版2025—2026学年九年级数学上册

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3.3垂径定理课后培优提升训练浙教版2025—2026学年九年级数学上册
一、选择题
1．如图，将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，直径，弦，且于点，，，则的半径是（ ）
A． B．2 C． D．3
3．如图，已知的直径为26，弦，动点P、Q在上，弦，若点M、N分别是弦、的中点，则线段的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是的直径，弦于点，，，则的长为（ ）
A．3 B．2.5 C．2 D．1.5
5．下列语句中，不正确的是（ ）
A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．大小不相等的两个圆中不存在等弧
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
D．垂直于弦的直径也必平分弦
6．如图，在中，直径平分弦于点．若，，则弦（ ）
A． B．8 C．16 D．
7．游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一．如图，大摆锤以为圆心前后摆动，大摆锤底端前后摆动1次的运动轨迹可以看作，连接，交于点，已知，且点为的中点，，，则大摆锤的长度为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，的半径为5，四边形内接于，且于点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，是的直径，弦于点E，且，则的半径为 ．
10．如图是一个管道的横截面，管道截面的半径为，管道内水的最大深度，则截面圆中弦的长为 ．
11．是的内接三角形，，若的半径为5，圆心到的距离为3，则的长度为 ．
12．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段圆弧所在圆的圆心．已知米，C是上的一点，，垂足为D，米．则这段弯路的半径是 米．
三、解答题
13．如图，在中，弦与半径交于点．
(1)的半径为5， ，，垂足为E，则______．
(2)在中，，，，则______．
(3)的半径为5，，垂足为E，，则弦=______．
(4)，，弦，求的半径．
14．如图，在等腰中，，．
(1)实践与操作：用尺规作图法作的平分线；再作线段的垂直平分线与直线交于点O；
(2)应用与证明：在（1）的条件下，以点O为圆心，线段长为半径作圆，求出圆的半径．
15．如图，，交于点，，是半径，且于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
16．已知A，C，E为上的点，且．
(1)如图①，求证：．
(2)如图②，AB为的直径，且于点D．
①求证：；
②若，求AC的长．
17．如图，是的直径，是的两条弦，点C与点D在的两侧，E是上一点（），连接，且．
(1)如图1，若，，求的半径；
(2)如图2，若，求证：．
18．如图1，在中，直径垂直弦于点G，，连接交于点F．
(1)若，，求的长；
(2)连接，如图2，若，求的度数．
参考答案
一、选择题
1．B
2．A
3．A
4．B
5．C
6．D
7．C
8．A
二、填空题
9．
10．
11．或
12．145
三、解答题
13．【解】（1）解：连接，
∵，过圆心，
∴，
∵，
∴
故答案为：．
（2）解：连接，
∵，过圆心，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
故答案为：5．
（3）解：连接，
∵，过圆心，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（4）解：连接，
∵，过圆心，
∴，
设半径为，则，
∴在中，由勾股定理得，
解得，
∴的半径为5．
14．【解】（1）解：所作图形如图所示：
（2）解：如图，则的半径为，连接，
设交于T．
∵，平分，
∴，，
∴，
在中，
则有，解得．
∴圆的半径为5．
15．【解】（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，
设的半径是，
，，
，，
，
，
，
，
，
的半径是．
16．【解】（1）解：（1）证明：如图①，连接CE，OA，OE．
．
，
，
是的平分线，
．
（2）①证明：如图②，连接CO并延长交AE于点M，
．
．
，
，
，
．
②设的半径为，则．
由（2）①可知，，
．
．
在中，，即，解得，
，
．
17．【解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
解得，
即的半径为3；
（2）证明：过O作于F，
∴，
∵，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴．
18．【解】（1）解：如图1：连接，
直径弦，
．
，
，
，
．
设，则．
在中，，即，解得，
∴．
（2）解：如图2，连接交于点H，
由（1）知，
．
，，
，
，
，
，
．
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