浙教版数学八（上） 第二章第3-4节 等腰三角形性质与判定定理 周测卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025八上·西湖期末）如图，在中，，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∠A=40°，
∴∠ABC+∠C=140°，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=70°，
∵BD平分∠ABC，
∴，
故答案选：B．
【分析】根据三角形的内角和定理，与等腰三角形顶角的度数，可求出等腰三角形的底角度数；再根据角平分线的概念，即可得出结论.
2．（2024八上·永吉期末）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等边上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等边三角形的性质
【解析】【解答】解∶如图所示：
在等边中，，
，
，
．
太阳光线平行，
∴，
．
故答案为：B．
【分析】先求出∠ACD=120°，再利用三角形的内角和等于180°求出∠BDC=36°，然后求出，最后根据平行线的性质计算求解即可。
3．（2024八上·南宁期中）如图所示，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A.由作法可知，以点A为圆心，为半径画弧，交于点D，
，
是等腰三角形，不符合题意；
B.由作法可知，是线段是垂直平分线，
和不一定是等腰三角形，符合题意；
C. 由作法可知，分别以点B、点A为圆心，大于为半径画弧，连接弧线，交于点D，交于点E，
是线段是垂直平分线，
是等腰三角形，不符合题意；
D. 由作法知，是的角平分线，
，
是等腰三角形，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
4．（2025八上·隆回期末）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，，，则的周长是（ ）
A．17 B．20 C．22 D．26
【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，的平分线交于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为
，
故答案为：B
【分析】根据角平分线定义可得，再根据直线平行性质可得，则，由等角对等边可得，再根据三角形周长即可求出答案.
5．（2025八上·拱墅开学考）如图，在中，内角与外角的平分线相交于点P，，交于点F，交于点G，连结，有下列结论：①；②；③垂直平分；④，其中一定正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；两直线平行，内错角相等
6．（2025八上·慈溪期末）如图，D、E为等边△ABC边AB、BC上的点，连结DE，∠ADE和∠DEC的角平分线恰好过 AC边上同一点F。若要知道△ABC 的周长，只需要知道下列哪个三角形的周长 该三角形是（ ）
A．△ADF B．△BDE C．△CEF D．△DEF
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点O作OG⊥AC于点G， OH⊥DE于点H， OM⊥BC于点M， 连接OE， GM， OC， 如图，
∵ DF是∠ADE的平分线， OG⊥AC，
OH⊥DE，
∴OG=OH.
在Rt△DGO和Rt△DHO中，
，
∴Rt△DGO≌Rt△DHO(HL)，
∴DG=DH，
∵O为△ABC的内心，
∴CO平分∠ACB，
∵OG⊥AC， OM⊥BC，
∴OG=OM，
∴OH=OM.
在Rt△CGO和Rt△CMO中，
，
∴Rt△CGO≌Rt△CMO(HL)，
∴CG=CM.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴△CGM为等边三角形，
∴CG=CM = MG.
∵O为正△ABC的内心，
在Rt△EHO和Rt△EMO中，
，
∴Rt△EHO≌Rt△EMO(HL)，
∴EH=EM，
∴△CDE的周长=CD+DE+CE
=CD+DH+EH+CE
=CD+DG+EM+CE
=CG+CM
=2CG
= AC.
∴△ABC的周长
=AB+AC+BC=3AC=3△CDE的周长，
∴要知道△ABC的周长，则只需要知道△CDE的周长即可.
故答案为：A.
【分析】过点O作 于点G， 于点H， 于点M， 连接OE， GM， OC， 利用三角形的内心是三个内角平分线的交点和角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，得到 ， 从而计算得到 的周长为AC，进而得出 的周长的周长，则结论可得.
7．（2025八上·江阳期末）已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（ ）
A． B． C．或 D．不能确定
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：等腰三角形的一个外角等于，
与它相邻的内角，
三角形内角和为，
等腰三角形的顶角为，
故选：B．
【分析】根据三角形的外角与其相邻的内角之和为180°，求出的内角是100°，根据三角形的内角和定理，100°只能为顶角．
8．（2025八上·镇海区开学考）如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交、于点、． 若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵M在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上，
，
，
，，
，
∵
，
∴，
故选：A．
【分析】先根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形的外角的性质得到，，可得，从而可求得，再根据三角形内角和定理求解即可．
9．（2025八上·吉林期末）如图，中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
10．（2025八上·鼓楼月考）如图，在中，，，点、在上，将、分别沿、翻折，点、分别落在点、的位置，再将、分别沿、翻折，点与点恰好重合于点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图所示：延长到．
，，
．
由翻折的性质可知：，，，．
．
．
故答案为：B．
【分析】由等腰直角三角形性质得；延长CO到F，由翻折的性质可得，，，，最后利用三角形外角的性质可求得的度数．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2025八上·鼓楼月考）如图，中，，点E为的中点，点D在上，且、相交于点F，若，则等于 ．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵中，，点E为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，由等边对等角得，，再利用三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得，，计算得角度．
12．（2025八上·拱墅开学考）如图，在中，，平分，于点，于点D，且与交于点H，于点F，且与交于点G．则下面的结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有 ．
【答案】①②④
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
13．（2024八上·静安期末）如图，∠A＝52°，O是AB，AC的垂直平分线的交点，则∠OCB＝ ．
【答案】38°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】
如图，连接OB、OA．
是AB、AC垂直平分线的交点
故答案是：38°．
【分析】
连接OA、OB，由题意知O是的外心，即OA=OB=OC，则，再由三角形的内角和定理知，又已知，则度数可求．
14．（2024八上·广水期中）如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵是的平分线，
∴垂直平分，
∴．
过点B作于点Q，交于点P，如图所示．
则此时取最小值，最小值为的长，
∵
∴．
故答案为：9.6．
【分析】根据三线合一得到垂直平分，过点B作于点Q，交于点P，这时取最小值，最小值为的长，利用面积法解答即可．
15．（2025八上·南漳期末）为等边三角形，点E在边上，，在射线上取点D，使，连接并延长交射线于点F，则下列说法正确的是： ．
①当时，为等腰三角形；
②；
③在边上存在点E，使；
④．
【答案】①②④
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
当时，，
∴，故①正确；
∵，
∴，故②正确；
连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
当时，，故，
解得：（不符合题意），故③错误．
④证明：在上截取，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故④正确；
故答案为：①②④．
【分析】根据等边三角形性质可得，根据等边对等角及三角形内角和定理可得，当时，，根据等角对等边可判断①；根据角之间的关系可判断②；连接，根据等边对等角及三角形内角和定理可得，，当时，，故，解方程可判断③；在上截取，连接，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，则，再根据边之间的关系可判断④.
三、解答题（共8题，共75分）
16．（2024八上·金寨期末）如图，在中，，平分，．
（1）求的度数；
（2）若，垂足为，交于点，求的度数．
【答案】（1）解：，
∴，
设，
平分，
，
∵，
，
∵，
，
解得：，
；
（2）解：由（1）得，
，
∴，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形“等边对等角”的性质可设，由角平分线的定义得，从而得，进而利用三角形内角和定理列出关于的方程并解之即可；
（2）由（1）得，求出，由对顶角相等的性质即可得的度数.
（1）解：，
设，
平分，
，
∵，
，
在中，，
，
；
（2）解：，
，
，
，
．
17．（2024八上·江阴期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于D、E．
（1）若，求的周长．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：∵边的垂直平分线分别交于，
∴，
∵，
∴的周长为：；
（2）解：∵，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由线段垂直平分线性质求得，最后根据线段和差关系，进行等量代换即可求解；
（2）利用三角形内角和定理得，由等腰三角形“等边对等角”性质得，最后根据角的和差关系即可求得的度数．
（1）解：∵在中，边的垂直平分线分别交于D、E，
∴，
又∵，
∴的周长；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
18．（2024八上·余杭期中）如图，中，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点E、F，且CE，作交BC于点.
（1）若，求的度数.
（2）若的周长为17cm，求DC的长.
【答案】（1）解：∵EF垂直平分 AC，
∴AE＝EC，
∴AE＝EC＝AB
∴∠B＝∠AEB＝68°
∴∠C＝∠EAC＝34°
（2）解：∵AD⊥BC，AB＝AE
∴BD＝DE
△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝AB＋BD＋DE＋CE＋AC
＝CE＋DE＋DE＋CE＋AC＝2CD＋AC＝17
∴CD＝5
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到：进而求出，进而即可求解；
（2）根据垂直平分线的性质得到：进而根据线段间的等量关系计算即可.
19．（2024八上·澄海期中）如图，，，，．
（1）求的度数；
（2）判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：，
，
，
（2）解：是等边三角形，理由如下：
，，
，
由（1）知，
，
，
，
是等边三角形．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的判定
【解析】【分析】（1）角度计算：利用等腰三角形“等边对等角”和内角和，快速求出 .
（2） 形状判定：通过垂直关系计算 ，再结合三角形外角或互余关系，证明 三角均为 ，判定为等边三角形.
（1）解：，
，
，
；
（2）解：是等边三角形，理由如下：
，，
，
由（1）知，
，
，
，
是等边三角形．
20．（2025八上·鄞州期末）如图， ，点 在 上．
（1）求证： ；
（2）若 平分 ，求 的度数．
【答案】（1）证明：∵∠BAE=∠CAD，
∴∠BAE+∠EAC= ∠CAD + Z∠EAC，
∴∠BAC= ∠EAD，
在△BAC和△EAD中，
，
∴△BAC≌△EAD(SAS)
（2）解：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE= ∠CAE = 42°，
∵∠BAE=∠CAD，
∴∠CAD=∠BAE= ∠CAE = 42°，
∵△BAC≌△EAD，
∴AC=AD，∠ACB= ∠D，
∴∠ACB=∠D=∠ACD，
∵∠ACD + ∠D + ∠CAD =180°， ∠ACD + ∠ACB +∠BCE=180°，
∴∠BCE= ∠CAD =42°
【知识点】三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】(1)根据SAS即可证明△BAC≌△EAD；
(2)由角平分线的定义得∠BAE=∠CAE，由全等三角形的性质得AC=AD，∠ACB=∠D，从而得∠ACB=∠D=∠ACD，进而可求出 BCE=∠CAD 的度数.
21．（2025八上·期中）如图， 是等腰三角形， 是等边三角形，且点B，D，E，C在同一条直线上.
（1）若AD=2，BC=12，求CE的长；
（2）以AC为腰在AC下方作等腰 使AF=AC，连接EF，BF.若BD=EF.求证： 是等边三角形.
【答案】（1）解：∵ △ABC 是等腰三角形，AB=AC，△ADE是等边三角形，且点 B，D，E，C在同一条直线上，
∴∠ABD=∠ACE，∠ADE=∠AED，DE=AD，
∴ ∠ADB=∠AEC.
在△ABD 和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(AAS)，
∴BD=CE.
∵BC=12，DE=AD=2，
∴CE = (BC-DE)= 5
（2）证明：∵AF=AC，AC=AB，
∴AF=AB，
∴△ABF是等腰三角形，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，AE=AD
在△AEF和△ADB中，
∴△AEF≌△ADB(SSS)，
∴∠EAF=∠DAB，
∴ ∠BAF = ∠DAF+∠DAB = ∠DAF +∠EAF =∠DAE=60°，
∴等腰△ABF是等边三角形.
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质可得∠ABD=∠ACE，∠ADE=∠AED，DE=AD，则∠ADB=∠AEC，再根据全等三角形判定定理可得△ABD≌△ACE(AAS)，则BD=CE，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据等腰三角形判定定理可得△ABF是等腰三角形，再根据等边三角形性质可得∠DAE=60°，AE=AD，再根据全等三角形判定定理可得△AEF≌△ADB(SSS)，则∠EAF=∠DAB，再根据角之间的关系可得∠BAF=60°，再根据等边三角形判定定理即可求出答案.
22．（2024八上·郫都期中）已知，以为边在外作等腰，其中．
（1）如图1，以为边也在外作等腰，其中，连接与，交于点．若，则______；
（2）如图2，若，是等边三角形，，，求的长；
（3）如图3，若为锐角，作于，当时，试判断与的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）
（2）解：将绕点顺时针旋转得，连接；
由（1）知，
，，
是等边三角形
，
，
在中，
（3）解：，理由如下：
证明：过点作于，使，连接，
则
，
过点作于，则四边形为矩形，
，
，
是的垂直平分线，
在和中
，
∴（SSS）
，
即
，为锐角，
，
，
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：，
，
在△和△中
∴（SAS）
，
；
故答案为：120°.
【分析】（1）由题意，用边角边可证，由全等三角形的对应角相等可得，再根据三角形外角性质可求解；
（2）将绕点顺时针旋转得，连接，同理可得，由全等三角形的对应边相等可得，在中，根据勾股定理可求解；
（3）过点作于，使，连接，，由可得，过点作于，则四边形为矩形，用边边边可证，由全等三角形的对应角相等可得，结合角的构成可求解.
（1）解：，
，
又，，
∴
，
；
（2）将绕点顺时针旋转得，连接
由（1）知，
，，
是等边三角形
，
，
在中，
；
（3）证明：过点作于，使，连接，
则
，
过点作于，则四边形为矩形
，
，
是的垂直平分线，
在和中
，
∴
，
即
，为锐角，
，
，
23．（2024八上·中山期中）【探究学习】
规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“类似三角形”．
规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“类似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“完美分割线”．
【概念理解】
（1）如图1，在中，，平分，则与 （填“是”或“不是”）互为“类似三角形”．
（2）如图2，在中，平分，，．求证：为的完美分割线；
【概念应用】
（3）在中，，是的完美分割线，直接写出的度数．
【答案】（1）是；
（2）证明：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，，
∴为的完美分割线．
（3）或或或．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴与互为“类似三角形”．
故答案为：是．
（3）（Ⅰ）当是等腰三角形时，
①如图1，
当时，则，
∴，
∵，
∴；
∴，，
∵，
∴，
∴此种情况符合题意；
②如图2，
当时，则，
此时，
∴；
∴，，
∵，
∴，
∴此种情况符合题意；
③当时，这种情况不存在；
（Ⅱ）当是等腰三角形时，
①如图3，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；，，
∴，，
∵，
∴，
∴此种情况符合题意；
②如图4，
当，时，
∴，
由，得，
∴，
∴，
∴，；
∴，，
∵，
∴，
∴此种情况符合题意；
③当时，这种情况不存在；
综上所述：或或或．
【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、三角内角和定理．
（1）先求出、根据AB=AC，利用三角形的内角和定理可求出、，再根据平分， 利用角平分线的性质可求出， 再根据， 可求出，再根据“类似三角形”的定义可得出结论；
（2）利用角的运算和角平分线的性质可得：，，进而可推出 ，再根据“完美分割线”的定义可证明结论；
（3）根据题意可两种情况：当是等腰三角形和是等腰三角形.当 是等腰三角形时，再分为：三种情形讨论；当是等腰三角形时，也分为三种情形： 当时 ；当；当时；利用三角形的内角和定理，利用角的运算，分别计算可求出的度数．
1 / 1浙教版数学八（上） 第二章第3-4节 等腰三角形性质与判定定理 周测卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025八上·西湖期末）如图，在中，，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·永吉期末）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等边上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八上·南宁期中）如图所示，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025八上·隆回期末）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，，，则的周长是（ ）
A．17 B．20 C．22 D．26
5．（2025八上·拱墅开学考）如图，在中，内角与外角的平分线相交于点P，，交于点F，交于点G，连结，有下列结论：①；②；③垂直平分；④，其中一定正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
6．（2025八上·慈溪期末）如图，D、E为等边△ABC边AB、BC上的点，连结DE，∠ADE和∠DEC的角平分线恰好过 AC边上同一点F。若要知道△ABC 的周长，只需要知道下列哪个三角形的周长 该三角形是（ ）
A．△ADF B．△BDE C．△CEF D．△DEF
7．（2025八上·江阳期末）已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（ ）
A． B． C．或 D．不能确定
8．（2025八上·镇海区开学考）如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交、于点、． 若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为 （ ）
A． B． C． D．
9．（2025八上·吉林期末）如图，中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025八上·鼓楼月考）如图，在中，，，点、在上，将、分别沿、翻折，点、分别落在点、的位置，再将、分别沿、翻折，点与点恰好重合于点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2025八上·鼓楼月考）如图，中，，点E为的中点，点D在上，且、相交于点F，若，则等于 ．
12．（2025八上·拱墅开学考）如图，在中，，平分，于点，于点D，且与交于点H，于点F，且与交于点G．则下面的结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有 ．
13．（2024八上·静安期末）如图，∠A＝52°，O是AB，AC的垂直平分线的交点，则∠OCB＝ ．
14．（2024八上·广水期中）如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ．
15．（2025八上·南漳期末）为等边三角形，点E在边上，，在射线上取点D，使，连接并延长交射线于点F，则下列说法正确的是： ．
①当时，为等腰三角形；
②；
③在边上存在点E，使；
④．
三、解答题（共8题，共75分）
16．（2024八上·金寨期末）如图，在中，，平分，．
（1）求的度数；
（2）若，垂足为，交于点，求的度数．
17．（2024八上·江阴期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于D、E．
（1）若，求的周长．
（2）若，求的度数．
18．（2024八上·余杭期中）如图，中，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点E、F，且CE，作交BC于点.
（1）若，求的度数.
（2）若的周长为17cm，求DC的长.
19．（2024八上·澄海期中）如图，，，，．
（1）求的度数；
（2）判断的形状，并说明理由．
20．（2025八上·鄞州期末）如图， ，点 在 上．
（1）求证： ；
（2）若 平分 ，求 的度数．
21．（2025八上·期中）如图， 是等腰三角形， 是等边三角形，且点B，D，E，C在同一条直线上.
（1）若AD=2，BC=12，求CE的长；
（2）以AC为腰在AC下方作等腰 使AF=AC，连接EF，BF.若BD=EF.求证： 是等边三角形.
22．（2024八上·郫都期中）已知，以为边在外作等腰，其中．
（1）如图1，以为边也在外作等腰，其中，连接与，交于点．若，则______；
（2）如图2，若，是等边三角形，，，求的长；
（3）如图3，若为锐角，作于，当时，试判断与的数量关系，并证明你的结论．
23．（2024八上·中山期中）【探究学习】
规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“类似三角形”．
规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“类似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“完美分割线”．
【概念理解】
（1）如图1，在中，，平分，则与 （填“是”或“不是”）互为“类似三角形”．
（2）如图2，在中，平分，，．求证：为的完美分割线；
【概念应用】
（3）在中，，是的完美分割线，直接写出的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∠A=40°，
∴∠ABC+∠C=140°，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=70°，
∵BD平分∠ABC，
∴，
故答案选：B．
【分析】根据三角形的内角和定理，与等腰三角形顶角的度数，可求出等腰三角形的底角度数；再根据角平分线的概念，即可得出结论.
2．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等边三角形的性质
【解析】【解答】解∶如图所示：
在等边中，，
，
，
．
太阳光线平行，
∴，
．
故答案为：B．
【分析】先求出∠ACD=120°，再利用三角形的内角和等于180°求出∠BDC=36°，然后求出，最后根据平行线的性质计算求解即可。
3．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A.由作法可知，以点A为圆心，为半径画弧，交于点D，
，
是等腰三角形，不符合题意；
B.由作法可知，是线段是垂直平分线，
和不一定是等腰三角形，符合题意；
C. 由作法可知，分别以点B、点A为圆心，大于为半径画弧，连接弧线，交于点D，交于点E，
是线段是垂直平分线，
是等腰三角形，不符合题意；
D. 由作法知，是的角平分线，
，
是等腰三角形，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，的平分线交于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为
，
故答案为：B
【分析】根据角平分线定义可得，再根据直线平行性质可得，则，由等角对等边可得，再根据三角形周长即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；两直线平行，内错角相等
6．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点O作OG⊥AC于点G， OH⊥DE于点H， OM⊥BC于点M， 连接OE， GM， OC， 如图，
∵ DF是∠ADE的平分线， OG⊥AC，
OH⊥DE，
∴OG=OH.
在Rt△DGO和Rt△DHO中，
，
∴Rt△DGO≌Rt△DHO(HL)，
∴DG=DH，
∵O为△ABC的内心，
∴CO平分∠ACB，
∵OG⊥AC， OM⊥BC，
∴OG=OM，
∴OH=OM.
在Rt△CGO和Rt△CMO中，
，
∴Rt△CGO≌Rt△CMO(HL)，
∴CG=CM.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴△CGM为等边三角形，
∴CG=CM = MG.
∵O为正△ABC的内心，
在Rt△EHO和Rt△EMO中，
，
∴Rt△EHO≌Rt△EMO(HL)，
∴EH=EM，
∴△CDE的周长=CD+DE+CE
=CD+DH+EH+CE
=CD+DG+EM+CE
=CG+CM
=2CG
= AC.
∴△ABC的周长
=AB+AC+BC=3AC=3△CDE的周长，
∴要知道△ABC的周长，则只需要知道△CDE的周长即可.
故答案为：A.
【分析】过点O作 于点G， 于点H， 于点M， 连接OE， GM， OC， 利用三角形的内心是三个内角平分线的交点和角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，得到 ， 从而计算得到 的周长为AC，进而得出 的周长的周长，则结论可得.
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：等腰三角形的一个外角等于，
与它相邻的内角，
三角形内角和为，
等腰三角形的顶角为，
故选：B．
【分析】根据三角形的外角与其相邻的内角之和为180°，求出的内角是100°，根据三角形的内角和定理，100°只能为顶角．
8．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵M在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上，
，
，
，，
，
∵
，
∴，
故选：A．
【分析】先根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形的外角的性质得到，，可得，从而可求得，再根据三角形内角和定理求解即可．
9．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
10．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图所示：延长到．
，，
．
由翻折的性质可知：，，，．
．
．
故答案为：B．
【分析】由等腰直角三角形性质得；延长CO到F，由翻折的性质可得，，，，最后利用三角形外角的性质可求得的度数．
11．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵中，，点E为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，由等边对等角得，，再利用三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得，，计算得角度．
12．【答案】①②④
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
13．【答案】38°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】
如图，连接OB、OA．
是AB、AC垂直平分线的交点
故答案是：38°．
【分析】
连接OA、OB，由题意知O是的外心，即OA=OB=OC，则，再由三角形的内角和定理知，又已知，则度数可求．
14．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵是的平分线，
∴垂直平分，
∴．
过点B作于点Q，交于点P，如图所示．
则此时取最小值，最小值为的长，
∵
∴．
故答案为：9.6．
【分析】根据三线合一得到垂直平分，过点B作于点Q，交于点P，这时取最小值，最小值为的长，利用面积法解答即可．
15．【答案】①②④
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
当时，，
∴，故①正确；
∵，
∴，故②正确；
连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
当时，，故，
解得：（不符合题意），故③错误．
④证明：在上截取，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故④正确；
故答案为：①②④．
【分析】根据等边三角形性质可得，根据等边对等角及三角形内角和定理可得，当时，，根据等角对等边可判断①；根据角之间的关系可判断②；连接，根据等边对等角及三角形内角和定理可得，，当时，，故，解方程可判断③；在上截取，连接，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，则，再根据边之间的关系可判断④.
16．【答案】（1）解：，
∴，
设，
平分，
，
∵，
，
∵，
，
解得：，
；
（2）解：由（1）得，
，
∴，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形“等边对等角”的性质可设，由角平分线的定义得，从而得，进而利用三角形内角和定理列出关于的方程并解之即可；
（2）由（1）得，求出，由对顶角相等的性质即可得的度数.
（1）解：，
设，
平分，
，
∵，
，
在中，，
，
；
（2）解：，
，
，
，
．
17．【答案】（1）解：∵边的垂直平分线分别交于，
∴，
∵，
∴的周长为：；
（2）解：∵，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由线段垂直平分线性质求得，最后根据线段和差关系，进行等量代换即可求解；
（2）利用三角形内角和定理得，由等腰三角形“等边对等角”性质得，最后根据角的和差关系即可求得的度数．
（1）解：∵在中，边的垂直平分线分别交于D、E，
∴，
又∵，
∴的周长；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
18．【答案】（1）解：∵EF垂直平分 AC，
∴AE＝EC，
∴AE＝EC＝AB
∴∠B＝∠AEB＝68°
∴∠C＝∠EAC＝34°
（2）解：∵AD⊥BC，AB＝AE
∴BD＝DE
△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝AB＋BD＋DE＋CE＋AC
＝CE＋DE＋DE＋CE＋AC＝2CD＋AC＝17
∴CD＝5
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到：进而求出，进而即可求解；
（2）根据垂直平分线的性质得到：进而根据线段间的等量关系计算即可.
19．【答案】（1）解：，
，
，
（2）解：是等边三角形，理由如下：
，，
，
由（1）知，
，
，
，
是等边三角形．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的判定
【解析】【分析】（1）角度计算：利用等腰三角形“等边对等角”和内角和，快速求出 .
（2） 形状判定：通过垂直关系计算 ，再结合三角形外角或互余关系，证明 三角均为 ，判定为等边三角形.
（1）解：，
，
，
；
（2）解：是等边三角形，理由如下：
，，
，
由（1）知，
，
，
，
是等边三角形．
20．【答案】（1）证明：∵∠BAE=∠CAD，
∴∠BAE+∠EAC= ∠CAD + Z∠EAC，
∴∠BAC= ∠EAD，
在△BAC和△EAD中，
，
∴△BAC≌△EAD(SAS)
（2）解：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE= ∠CAE = 42°，
∵∠BAE=∠CAD，
∴∠CAD=∠BAE= ∠CAE = 42°，
∵△BAC≌△EAD，
∴AC=AD，∠ACB= ∠D，
∴∠ACB=∠D=∠ACD，
∵∠ACD + ∠D + ∠CAD =180°， ∠ACD + ∠ACB +∠BCE=180°，
∴∠BCE= ∠CAD =42°
【知识点】三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】(1)根据SAS即可证明△BAC≌△EAD；
(2)由角平分线的定义得∠BAE=∠CAE，由全等三角形的性质得AC=AD，∠ACB=∠D，从而得∠ACB=∠D=∠ACD，进而可求出 BCE=∠CAD 的度数.
21．【答案】（1）解：∵ △ABC 是等腰三角形，AB=AC，△ADE是等边三角形，且点 B，D，E，C在同一条直线上，
∴∠ABD=∠ACE，∠ADE=∠AED，DE=AD，
∴ ∠ADB=∠AEC.
在△ABD 和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(AAS)，
∴BD=CE.
∵BC=12，DE=AD=2，
∴CE = (BC-DE)= 5
（2）证明：∵AF=AC，AC=AB，
∴AF=AB，
∴△ABF是等腰三角形，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，AE=AD
在△AEF和△ADB中，
∴△AEF≌△ADB(SSS)，
∴∠EAF=∠DAB，
∴ ∠BAF = ∠DAF+∠DAB = ∠DAF +∠EAF =∠DAE=60°，
∴等腰△ABF是等边三角形.
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质可得∠ABD=∠ACE，∠ADE=∠AED，DE=AD，则∠ADB=∠AEC，再根据全等三角形判定定理可得△ABD≌△ACE(AAS)，则BD=CE，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据等腰三角形判定定理可得△ABF是等腰三角形，再根据等边三角形性质可得∠DAE=60°，AE=AD，再根据全等三角形判定定理可得△AEF≌△ADB(SSS)，则∠EAF=∠DAB，再根据角之间的关系可得∠BAF=60°，再根据等边三角形判定定理即可求出答案.
22．【答案】（1）
（2）解：将绕点顺时针旋转得，连接；
由（1）知，
，，
是等边三角形
，
，
在中，
（3）解：，理由如下：
证明：过点作于，使，连接，
则
，
过点作于，则四边形为矩形，
，
，
是的垂直平分线，
在和中
，
∴（SSS）
，
即
，为锐角，
，
，
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：，
，
在△和△中
∴（SAS）
，
；
故答案为：120°.
【分析】（1）由题意，用边角边可证，由全等三角形的对应角相等可得，再根据三角形外角性质可求解；
（2）将绕点顺时针旋转得，连接，同理可得，由全等三角形的对应边相等可得，在中，根据勾股定理可求解；
（3）过点作于，使，连接，，由可得，过点作于，则四边形为矩形，用边边边可证，由全等三角形的对应角相等可得，结合角的构成可求解.
（1）解：，
，
又，，
∴
，
；
（2）将绕点顺时针旋转得，连接
由（1）知，
，，
是等边三角形
，
，
在中，
；
（3）证明：过点作于，使，连接，
则
，
过点作于，则四边形为矩形
，
，
是的垂直平分线，
在和中
，
∴
，
即
，为锐角，
，
，
23．【答案】（1）是；
（2）证明：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，，
∴为的完美分割线．
（3）或或或．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴与互为“类似三角形”．
故答案为：是．
（3）（Ⅰ）当是等腰三角形时，
①如图1，
当时，则，
∴，
∵，
∴；
∴，，
∵，
∴，
∴此种情况符合题意；
②如图2，
当时，则，
此时，
∴；
∴，，
∵，
∴，
∴此种情况符合题意；
③当时，这种情况不存在；
（Ⅱ）当是等腰三角形时，
①如图3，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；，，
∴，，
∵，
∴，
∴此种情况符合题意；
②如图4，
当，时，
∴，
由，得，
∴，
∴，
∴，；
∴，，
∵，
∴，
∴此种情况符合题意；
③当时，这种情况不存在；
综上所述：或或或．
【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、三角内角和定理．
（1）先求出、根据AB=AC，利用三角形的内角和定理可求出、，再根据平分， 利用角平分线的性质可求出， 再根据， 可求出，再根据“类似三角形”的定义可得出结论；
（2）利用角的运算和角平分线的性质可得：，，进而可推出 ，再根据“完美分割线”的定义可证明结论；
（3）根据题意可两种情况：当是等腰三角形和是等腰三角形.当 是等腰三角形时，再分为：三种情形讨论；当是等腰三角形时，也分为三种情形： 当时 ；当；当时；利用三角形的内角和定理，利用角的运算，分别计算可求出的度数．
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