三角形的认识学案+例题+解析+练习+答案

三角形的认识
教学目的
认识三角形的角、边以及角平分线、中线和高线；
会根据边的关系判断能否组成三角形，以及会画角平分线、中线和高线；
利用三角形的性质解决问题。
教学内容
一．【知识梳理】
知识点一：认识三角形
1.概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺序相接所组成的图形叫三角形。
“三角形”用符号“ △ ”表示。如图：顶点是A,B,C的三角形记做“ △ ABC”
∠A, ∠B, ∠C是在三角形,由相邻两边组成的角，称为“三角形的内角”，简称“三角形的角”。
线段AB ,BC,CA是三角形的三条边。
2.知识回顾
（1）、三角形三个内角和等于180°
（2）、三角形按内角的大小进行分类
三个内角都是锐角的三角形是“锐角三角形”
（3）、三角形 有一个内角是直角的三角形是“直角三角形”
有一个内角是钝角的三角形是“钝角三角形”
（4）、三角形任何两边的和大于第三边
（5）、三角形任何两边之差小于第三边
例题一：
（一）填空题。
1、在△ABC中， ∠A＝40°，∠B＝∠C，则∠C＝ ．
2、小华要从长度分别为5cm、6cm、11cm、16cm的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是
3、三角形的一边为5 cm，一边为7 cm，则第三边的取值范围是
4、△ABC中，若∠A＝35°,∠B＝65°,则∠C＝ ；若∠A＝120°,∠B＝2∠C，则∠C＝ 。
（二）选择题
1.如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是( )
　 A.锐角三角形 B.钝角三角形; C.直角三角形 D.钝角或直角三角形
2.若三角形中最大内角是60°，则这个三角形是（　　）
A、不等边三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、不能确定
3.已知△ABC中,∠A=2(∠B+∠C),则∠A的度数为( )
A.100° B.120° C.140° D.160°
4．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，③∠A=90°－∠B，④∠A=∠B=? ∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
小结：1、判断能组成三角形的三条线段只需满足较小两边之和大于最大边，或最大边与任意较小边之差小于第三边即可；
2、三角形的内角之和满足180°即可
知识点二：三角形的高线
定义：过一个三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。（即三角形的高的两个端点一个为三角形的顶点，一个为顶点所对边上的垂足）
画法：过顶点作对边的垂线
性质：1、三角形的高线垂直于三角形一边；
2、三角形高线与所在边所成角为90°
3、三角形面积=（底1×高1）2=（底2×高2）2=（底3×高3）2
另外：锐角三角形三条高线在三角形内，直角三角形斜边上的高线在三角形内，直角边互为高线。钝角三角形钝角边上的高线在三角形外，钝角所对边上的高线在三角形内。三角形的高所在直线交于一点。
例题二：
1、作出下列三角形三条边上的高：
【对应练习】如图所示，画△ABC的一边上的高，下列画法正确的是（ ）．
总结：（1）三角形的三条高线所在的直线相交于 点；（2）锐角三角形的三条高相交于三角形的 ；（3）钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形的 ；（4）直角三角形的三条高相交于三角形的 ；（5）交点我们叫做三角形的垂心。
知识点三：三角形的角平分线
定义：三角形一个角的平分线与三角形的一边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线。
性质：三角形的角平分线平分三角形一角。
例题三：
1、作出下列三角形三个角的角平分线：
2、AD是△ABC的∠BAC的角平分线，则∠BAD=∠ =
【对应练习】如图，若∠1=∠BAC，∠2 =∠3，则∠BAC的平分线为 ，
∠ABC的平分线为 .
总结：（1）三角形的三条角平分线相交于 点；（2）锐角三角形的三条角平分线相交三角形的 ；（3）钝角三角形的三条角平分线相交三角形的 ；（4）直角三角形的三条角平分线相交三角形的 ；（5）交点我们叫做三角形的内心。
【知识延伸】
角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
在的平分线上
于，于
角平分线的判定
到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
于，于
且
在的平分线上
（或写成是的平分线）
知识点四：三角形的中线
定义：三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
性质：1、平分三角形一边；
平分三角形的面积
例题四：
1、作出下列三角形三边上的中线
2、AD是△ABC的边BC上的中线，则有BD = = ，
【对应练习】如图，D、E是边AC的三等分点，图中有 个三角形， BD是三角形 中 边上的中线， BE是三角形 中 边上的中线；
总结：（1）三角形的三条中线相交于 点；（2）锐角三角形的三条中线相交三角形的 ；（3）钝角三角形的三条中线相交三角形的 ；（4）直角三角形的三条中线相交三角形的 ；（5）交点我们叫做三角形的重心。
归纳：
线段名称
三角形的高
三角形的中线
三角形的角平分线
文字语言
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．
三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．
图形语言
作图语言
过点A作AD⊥BC于点D．
取BC边的中点D，连接AD．
作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．
标示图形
符号语言
1．AD是△ABC的高．
2．AD是△ABC中BC边上的高．
3．AD⊥BC于点D．
4．∠ADC＝90°，
∠ADB＝90°．
(或∠ADC＝∠ADB＝90°)
1．AD是△ABC的中线．
2．AD是△ABC中BC边上的中线．
3．BD＝DC＝BC
4．点D是BC边的中点．
1．AD是△ABC的角平分线．
2．AD平分∠BAC，交BC于点D．
3．∠1＝∠2＝∠BAC．
推理语言
因为AD是△ABC的高，
所以AD⊥BC．
(或∠ADB＝∠ADC＝90°)
因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC．
因为AD平分∠BAC，
所以∠1＝∠2＝∠BAC．
用途举例
1．线段垂直．
2．角度相等．
1．线段相等．
2．面积相等．
角度相等．
注意事项
1．与边的垂线不同．
2．不一定在三角形内．
—
与角的平分线不同．
重要特征
三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．
一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．
一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．
知识点五：三角形的稳定性：
三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性
看下面的图，思考并回答以下问题：
1.用三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
2.用四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
3.在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？这说明的问题是：
二．【专题】
1、下列说法中正确的个数有（ ）
①三角形的角平分线、中线、高都是线段；
②三角形的三条角平分线，三条中线，三条高都在三角形内部；
③直角三角形只有一条高；
④三角形的三条角平分线，三条中线，三条高所在的直线分别相交于一点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、如图，∠ACB>90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB， 则在△ABC中，AC边上的高是（ ）
A．AD B．CF C．BE D．AE
3、一个三角形的周长是个偶数，其中的两条边长分别是4和1997，则满足上述条件的三角形个数
为 （ ）
A．1个 B．3个 C．5个 D．7个
如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，AF是△ABC的中线，
（ （1）写出图中所有相等的角和相等的线段；
（2）当BF=8cm,AD=7cm时，求△ABC的面积。
5、已知：CD平分∠ACB，BF是△ABC的高，若∠A＝80°
∠ABC＝50°求∠BMC的度数。
6、在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形各边的长．
7、如图，C在直线BE上，∠ABC与∠ACE的角平分线交于点A1，
(1)若∠A=60°，求∠A1的度数；
(2)若∠A=m，求∠A1的度数；
(3)在(2)的条件下，若再作∠A1BE、∠A1CE的平分线，交于点A2；再作∠A2BE、∠A2CE的平
分线，交于点A3；……；依次类推，则∠A2，∠A3，……，∠An分别为多少度？
例题答案：
答案：
例题一：
填空题：
1.70；
2.6cm 11cm 16cm；
3，小于12，大于2
4.40° 20°
选择题
1.A 2.C 3.B 4.B
例题二：
1.作图略
对应练习：C
总结：（1）三角形的三条高线所在的直线相交于 同一 点；（2）锐角三角形的三条高相交于三角形的 内部 ；（3）钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形的 外部 ；（4）直角三角形的三条高相交于三角形的 直角顶点上
例题三：
1.
2.∠BAD=∠ DAC = ∠BAC
对应练习:∠BAC的平分线为 AD ，∠ABC的平分线为 BE .
总结：（1）三角形的三条角平分线相交于 同一 点；（2）锐角三角形的三条角平分线相交三角形的 内部 ；（3）钝角三角形的三条角平分线相交三角形的 内部 ；（4）直角三角形的三条角平分线相交三角形的 内部 ；
例题四：
1.
BD = DC = BC ，
对应练习：图中有 7 个三角形， BD是三角形 △ABE 中 AE 边上的中线， BE是三角形 △DBC 中 DC 边上的中线；
总结：（1）三角形的三条中线相交于 同一 点；（2）锐角三角形的三条中线相交三角形的 内部 ；（3）钝角三角形的三条中线相交三角形的 内部 ；（4）直角三角形的三条中线相交三角形的 内部 ；
例题五：
不改变
改变
不改变，三角形具有稳定性
专题答案：
故相等的角有：∠BAE=∠CAE和∠BDA=∠CDA=90°
相等的线段为：BF=CF．
（2）∵BF=8cm BF=CF BC=BF+CF=16cm
∴△ABC的面积=(BCCD)2=(167)2=56cm2
解析：∵∠A=80°，∠ABC=50°，
∴∠ACB=50°．
∵CD平分∠ACB，BF⊥AC，
∴∠MCF=25°，∠MFC=90°，
∴∠BMC=∠MCF+∠MFC=25°+90°=115°．
6.10cm、10cm、7cm或8cm、8cm、11cm．
解析：如图，∵AB=AC，BD是AC边上的中线，
即AD=CD，
∴|（AB+AD+BD）-（BC+BD+CD）|=|AB-BC|=15-12=3（cm），AB+BC+AC=2AB+BC=12+15=27cm，
若AB＞BC，则AB-BC=3cm，
又∵2AB+BC=27cm，
联立方程组并求解得：AB=10cm，BC=7cm，
10cm、10cm、7cm三边能够组成三角形；
若AB＜BC，则BC-AB=3cm，
又2AB+BC=27cm，
联立方程组并求解得：AB=8cm，BC=11cm，
8cm、8cm、11cm三边能够组成三角形；
∴三角形的各边长为10cm、10cm、7cm或8cm、8cm、11cm．
故答案为：10cm、10cm、7cm或8cm、8cm、11cm．