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有理数的运算（A卷·基础知识达标卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024七上·余庆期中）用四舍五入法对取近似数，精确到，得到的正确结果是（ ）
A．1.89 B．1.9 C．1.90 D．1.897
2．（2024七上·襄州期中）过度包装既浪费资源又污染环境，据测算，如果全国每年减少的过度包装纸用景，那么可减排二氧化碳吨，把数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024七上·渠县期中）式子中用的运算律是（ ）
A．乘法结合律及分配律 B．乘法交换律及分配律
C．乘法交换律及乘法结合律 D．分配律及加法结合律
4．（2024七上·广州月考）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．1
5．（2024七上·青秀期中）下列各组数中相等的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
6．（2024七上·瓯海期中）下表为国外几个城市与北京的时差：
城市 东京 巴黎 伦敦 纽约 莫斯科 悉尼
时差/小时
小明于10月1日20：00从北京乘飞机，经过16小时的飞行到达纽约，到达纽约时当地的时间是（ ）
A．10月1日23时 B．10月1日12时 C．10月1日7时 D．9月30日23时
7．（2024七上·花溪期中）某同学在计算时，误将“”看成“”，算出的结果是，则计算的正确结果是（ ）
A．6 B． C．4 D．
8．（2024七上·绍兴竞赛）下列运算过程中，有错误的是（ ）
A．（3﹣4）×2＝3﹣4×2
B．﹣4×（﹣7）×（﹣125）＝﹣（4×125×7）
C．9×16＝（10﹣）×16＝160﹣
D．[3×（﹣25）]×（﹣2）＝3×[（﹣25）×（﹣2）]
9．（2024七上·龙岗月考）有理数a，b在数轴上对应的位置如图，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2024七上·旺苍期中）若，且，那么的值是（ ）
A．5或1 B．5或 C．或13 D．或
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024七上·福田期末）定义一种新运算：，如．则 ．
12．（2024七上·石家庄月考） ．
13．（2024七上·昭通月考）的底数是 ．
14．（2024七上·桂林月考）点A在数轴上距原点3个长度单位，且位于原点左侧．若一个点从点A向右移动4个单位长度，再向左移动1个长度单位，此时终点所表示的数是 ．
15．（2024七上·新都开学考）甲、乙、丙三个共存钱元，已知甲存的钱是丙的3倍，乙存的钱是丙的2倍，那么甲存钱 元．
16．（2024七上·达川期中）如果，那，，的大小顺序是 ．（请用“<”连接）
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024七上·长沙月考）计算：
（1）
（2）
（3）
18．（2024七上·新邵期中）计算
（1）
（2）
19．（2024七上·天河期中）在珠海举行第十三届中国航展中，中国空军航空大学“红鹰”飞行表演队在航展上表演特技飞行．表演从空中某一位置开始，上升的高度记作正数，下降的高度记作负数，五次特技飞行高度记录如下：，，，，（单位：千米）．
（1）飞机最后所在的位置比开始位置高还是低？高了或低了多少千米？
（2）若飞机平均上升千米或下降千米需消耗升燃油，则飞机在这次特技飞行中，一共消耗多少升燃油？
20．（2024七上·昭通期中）小安在电脑上设计了一个有理数运算程序：输入a，加*键，再输入b，得到运算：．
（1）求的值；
（2）小燕在运用此程序计算时，屏幕显示“该程序无法操作”，你猜小燕在输入数据时，出现这种情况的原因是什么？
21．（2024七上·延庆期中）先阅读材料，再解决问题．
阅读材料：下面矩形框中是小明在计算的主要思考过程以及解答．
思考过程：①观察、判断运算类型：有理数的乘法；②再观察运算对象：异号两数；③确定积的符号：根据两数相乘，异号得负，确定积的符号为“”；④确定积的绝对值：根据积的绝对值等于乘数绝对值的积，因为，，所以⑤得出结果：
解答：解：
解决问题：
请你类比小明的思考过程及解答，写出计算的思考过程及解答．
22．（2024七上·佛山期中）佛山地铁3号线首通段年月日正式开通运营，从南到北串联大良、伦敦、北滘、乐从、石湾、祖庙六大镇街，其中部分站点如图所示，志愿者小刚在图中个地铁站点做值勤服务．小刚从季华六路站开始乘坐地铁，在图中个地铁站点做值勤志愿服务，到站下车时，本次活动结束，约定向“潭州会展”站方向为正，当天的乘车记录如下（单位：站）：，，，，，，，．
（1）请你通过计算说明站是哪一站？
（2）若相邻两站之间的平均距离为千米，求小刚在服务期间乘坐地铁行进的总路程．
23．（2024七上·惠州月考）已知，，
（1）当时，求的值；
（2）若，求值.
24．（2024七上·义乌月考）观察下列两个等式：，．给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数“，”为“共生有理数对”，记为，如数对，都是“共生有理数对”．
（1）判断数对是不是“共生有理数对”，并写出计算过程；
（2）如果是“共生有理数对”，且，求的值．
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有理数的运算（A卷·基础知识达标卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024七上·余庆期中）用四舍五入法对取近似数，精确到，得到的正确结果是（ ）
A．1.89 B．1.9 C．1.90 D．1.897
【答案】C
【解析】【解答】解：用四舍五入法对1.8971取近似数，精确到0.01得：1.90．
故答案为：C．
【分析】精确到0.01保留小数点后两位小数，数点后第三位小数进行四舍五入。
2．（2024七上·襄州期中）过度包装既浪费资源又污染环境，据测算，如果全国每年减少的过度包装纸用景，那么可减排二氧化碳吨，把数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：，
故选：B．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
3．（2024七上·渠县期中）式子中用的运算律是（ ）
A．乘法结合律及分配律 B．乘法交换律及分配律
C．乘法交换律及乘法结合律 D．分配律及加法结合律
【答案】A
【解析】【解答】解：运算过程中，先运用了乘法结合律，然后运用了乘法分配律．
故答案为：A．
【分析】观察式子到的变化，是将后两个因数6和24先结合相乘，再与第一个因数相乘；观察式子到的变化，是将括号内的每一个数分别与(4×24)相乘，再把所得的积相加，据此逐一判断得出答案.
4．（2024七上·广州月考）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】【解答】解：
．
故选：A．
【分析】根据有理数乘除运算法则和混合运算顺序，从左到右计算．
5．（2024七上·青秀期中）下列各组数中相等的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】C
【解析】【解答】解：A、，不相等，故A不符合题意；
B、，不相等，故B不符合题意；
C、，相等，故C符合题意；
D、，不相等，故D不符合题意；
故选：C．
【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，其中求n个相同因数a的积运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫指数，根据乘方的运算法则，结合选项，逐项求解，即可得到答案.
6．（2024七上·瓯海期中）下表为国外几个城市与北京的时差：
城市 东京 巴黎 伦敦 纽约 莫斯科 悉尼
时差/小时
小明于10月1日20：00从北京乘飞机，经过16小时的飞行到达纽约，到达纽约时当地的时间是（ ）
A．10月1日23时 B．10月1日12时 C．10月1日7时 D．9月30日23时
【答案】A
【解析】【解答】解：，
∴到达纽约时北京时间是月日时，
∵纽约与北京的时间差是，
，
∴纽约时间是月日时，
故选：A．
【分析】先得出到达纽约时北京时间，再根据时差利用有理数的加法即可求出纽约时间．
7．（2024七上·花溪期中）某同学在计算时，误将“”看成“”，算出的结果是，则计算的正确结果是（ ）
A．6 B． C．4 D．
【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意，得，
，
．
故答案为：D．
【分析】先由已知条件可得关于字母a的一元一次方程，求解得出a的值，把a的值代入原式，根据有理数的除法法则求出结果．
8．（2024七上·绍兴竞赛）下列运算过程中，有错误的是（ ）
A．（3﹣4）×2＝3﹣4×2
B．﹣4×（﹣7）×（﹣125）＝﹣（4×125×7）
C．9×16＝（10﹣）×16＝160﹣
D．[3×（﹣25）]×（﹣2）＝3×[（﹣25）×（﹣2）]
【答案】A
【解析】【解答】解：选项A，（3﹣4）×2＝3×2 ﹣4×2，错误，当选；
其余BCD选项计算正确
故答案为：A.
【分析】选项A，可以利用乘法分配律将括号去掉计算，即（a-b）×c=ac-bc；选项B，三个负数相乘，奇数个负数相乘结果肯定是负数；选项C，通过变形，同样利用乘法分配律计算；选项D，可以利用结合律计算.
9．（2024七上·龙岗月考）有理数a，b在数轴上对应的位置如图，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：根据数轴可知，b>1，-1＜a<0，且.
∴a+b＞0，A错误；
∴a-b＜0，B正确；
∴，C错误；
∴a÷b＜0，D错误.
故答案为：B.
【分析】根据数轴确定a和b的符号，再根据有理数的加减乘除法法则判断即可．
10．（2024七上·旺苍期中）若，且，那么的值是（ ）
A．5或1 B．5或 C．或13 D．或
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，，且，
∴，，
∴或
故答案为：D．
【分析】根据绝对值的意义求出x、y的值，再根据有理数的加法法则知：两个数的和为负数，则这两个数至少有一个为负数，且负数的绝对值较大，据此判断出适合题意得x、y的值，最后根据有理数的减法法则计算可得答案.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024七上·福田期末）定义一种新运算：，如．则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：.
【分析】本题考查了新定义及有理数的混合运算，根据新定义的运算：，求得的算式，进行计算，即可求解.
12．（2024七上·石家庄月考） ．
【答案】0
【解析】【解答】解：，
故答案为：0．
【分析】先利用有理数的乘方的运算方法（①正数的任何次幂都为正数；②负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数）化简，再计算即可.
13．（2024七上·昭通月考）的底数是 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：根据乘方的定义，的底数是3．
故答案为：3．
【分析】根据乘方的定义即可求出答案.
14．（2024七上·桂林月考）点A在数轴上距原点3个长度单位，且位于原点左侧．若一个点从点A向右移动4个单位长度，再向左移动1个长度单位，此时终点所表示的数是 ．
【答案】0
【解析】【解答】解：∵点A在数轴上距离原点3个单位长度，且位于原点左侧，
∴点A表示的数是，
将点A向右平移4个单位长度得到的点表示的数是，
再向左平移1个单位长度得到的点表示的数是．
故答案为：0.
【分析】先求出点A表示的数是，再利用数轴上点平移的特征“左减右加”分析求解即可.
15．（2024七上·新都开学考）甲、乙、丙三个共存钱元，已知甲存的钱是丙的3倍，乙存的钱是丙的2倍，那么甲存钱 元．
【答案】810
【解析】【解答】解：1620÷(1+2+3)×3=270×3=810(元).
即甲存的钱是元．
故答案为：．
【分析】根据甲、乙、丙三人共存钱元，且 甲存的钱是丙的3倍，乙存的钱是丙的2倍列算式：1620÷（1+2+3）得丙存的钱数，再×3即可得到甲存的钱数．
16．（2024七上·达川期中）如果，那，，的大小顺序是 ．（请用“<”连接）
【答案】
【解析】【解答】解：a×＝b×(-)＝c÷(-)＝1．
a×＝1，则a＝1÷＝1×3＝3，
b×(-)＝1，则b＝1÷(-)＝1×(-3)＝-3，
c÷(-)＝1，则c＝1×(-)＝-．
∵a＝3，b＝-3，c＝-．
∴b＜c＜a.
故答案为：b＜c＜a.
【分析】先分别求出a、b、c的值，再比较大小即可.
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024七上·长沙月考）计算：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解：原式，
，
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
.
【解析】【分析】（1）先将小数化为分数，然后将除法变成乘法，最后根据有理数的乘法法则进行计算；
（2）先计算括号内的减法，然后将除法变成乘法，最后根据有理数的乘法法则进行计算；
（3）根据有理数的混合运算顺序，先算乘除，最后再算加减即可．
（1）原式，
，
；
（2）原式
（3）原式
18．（2024七上·新邵期中）计算
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式.
（2）解：原式.
【解析】【分析】（1）根据有理数的混合运算的运算法则，先乘方，去绝对值，再进行乘法运算，最后计算加减，即可求解；
（2）根据有理数的混合运算的运算法则，先乘方，再乘除，最后算加减，即可求解．
（1）解：原式
（2）原式
19．（2024七上·天河期中）在珠海举行第十三届中国航展中，中国空军航空大学“红鹰”飞行表演队在航展上表演特技飞行．表演从空中某一位置开始，上升的高度记作正数，下降的高度记作负数，五次特技飞行高度记录如下：，，，，（单位：千米）．
（1）飞机最后所在的位置比开始位置高还是低？高了或低了多少千米？
（2）若飞机平均上升千米或下降千米需消耗升燃油，则飞机在这次特技飞行中，一共消耗多少升燃油？
【答案】（1）解： (千米)．
答：飞机最后所在的位置比开始位置高，高了千米．
（2）解：（升），
答：一共消耗升燃油．
【解析】【分析】（1）将这一组数据相加，根据结果的正负可得出高低，根据结果的绝对值可得出高低的千米数；
（2）首先求出这一组数据绝对值的和，再乘以6，即可得出答案。
（1）解： (千米)．
答：飞机最后所在的位置比开始位置高，高了千米．
（2）解：（升），
答：一共消耗升燃油．
20．（2024七上·昭通期中）小安在电脑上设计了一个有理数运算程序：输入a，加*键，再输入b，得到运算：．
（1）求的值；
（2）小燕在运用此程序计算时，屏幕显示“该程序无法操作”，你猜小燕在输入数据时，出现这种情况的原因是什么？
【答案】（1）解：由，
得
．
（2）解：运算是除法运算，故除数不能为0，
故时，，根据除数为0无意义，
故出现这种情况的原因可能是输入的数是相同的数．
【解析】【分析】（1）根据新定义的运算法则，把，，代入，列出算式，进行计算，即可得到答案；
（2）根据新定义的运算法则：，得到程序运算中有除法，除数不能为0，即可得到答案.
（1）解：由，
得
．
（2）解：运算是除法运算，故除数不能为0，
故时，，根据除数为0无意义，
故出现这种情况的原因可能是输入的数是相同的数．
21．（2024七上·延庆期中）先阅读材料，再解决问题．
阅读材料：下面矩形框中是小明在计算的主要思考过程以及解答．
思考过程：①观察、判断运算类型：有理数的乘法；②再观察运算对象：异号两数；③确定积的符号：根据两数相乘，异号得负，确定积的符号为“”；④确定积的绝对值：根据积的绝对值等于乘数绝对值的积，因为，，所以⑤得出结果：
解答：解：
解决问题：
请你类比小明的思考过程及解答，写出计算的思考过程及解答．
【答案】解：①观察、判断运算类型：有理数的加法；
②再观察运算对象：异号两数；
③确定和的符号：根据异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，因为，
，所以确定和的符号为“”；
④确定和的绝对值：根据和的绝对值等于用较大的绝对值减去较小的绝对值，
所以；
⑤得出结果：，
解：．
【解析】【分析】本题考查有理数的加法和乘法运算法则，观察、判断运算类型，异号两数，根据和的绝对值等于用较大的绝对值减去较小的绝对值，逐步计算，即可求解.
22．（2024七上·佛山期中）佛山地铁3号线首通段年月日正式开通运营，从南到北串联大良、伦敦、北滘、乐从、石湾、祖庙六大镇街，其中部分站点如图所示，志愿者小刚在图中个地铁站点做值勤服务．小刚从季华六路站开始乘坐地铁，在图中个地铁站点做值勤志愿服务，到站下车时，本次活动结束，约定向“潭州会展”站方向为正，当天的乘车记录如下（单位：站）：，，，，，，，．
（1）请你通过计算说明站是哪一站？
（2）若相邻两站之间的平均距离为千米，求小刚在服务期间乘坐地铁行进的总路程．
【答案】（1）解：（站），
站是岳步站，
答：站是岳步站
（2）解：
（千米），
答：小刚在服务期间乘坐地铁行进的总路程为千米。
【解析】【分析】（1）根据正数和负数的定义，然后将题干中的数字进行相加即可求解；
（2）根据绝对值的意义，分别求出每个数字的绝对值，然后再将这些数相加，最后再乘以1.5，即可求解。
（1）解：（站），
站是岳步站，
答：站是岳步站；
（2）解：
（千米），
即：小刚在服务期间乘坐地铁行进的总路程为千米．
23．（2024七上·惠州月考）已知，，
（1）当时，求的值；
（2）若，求值.
【答案】（1）解：由 | m | = 5 ，得 m = 5 或 m = 5 ；由 | n | = 2 ，得 n = 2 或 n = 2，
∵mn < 0，
∴若 m = 5 ，则 n = 2 ，此时 m + n = 5 + ( 2 ) = 3 ，
若 m = 5 ，则 n = 2 ，此时 m + n = 5 + 2 = 3 ，
∴ m + n 的可能值为 3 或 3 .
（2）解：由 | m | = 5 ，得 m = 5 或 m = 5 ；由 | n | = 2 ，得 n = 2 或 n = 2，
∵m < n
∴m = 5 ， n = 2 ，乘积为 10 ；
m = 5 ， n = 2 ，乘积为 10 ；
∴mn 的值为 10 或 10.
【解析】【分析】 (1) 根据绝对值的定义得 m = 5 或 m = 5，； n = 2 或 n = 2；由mn < 0得m，n异号，代入数值计算即可解答；
(2) 根据绝对值的定义得 m = 5 或 m = 5，； n = 2 或 n = 2；由m < n得m比n小，代入数值计算即可解答.
24．（2024七上·义乌月考）观察下列两个等式：，．给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数“，”为“共生有理数对”，记为，如数对，都是“共生有理数对”．
（1）判断数对是不是“共生有理数对”，并写出计算过程；
（2）如果是“共生有理数对”，且，求的值．
【答案】（1）解：不是“共生有理数对”，理由如下：
，，，
不是“共生有理数对”；
（2）解：是“共生有理数对”，且，
，
解得，
．
【解析】【分析】（1）根据题目中的定义，可以计算出数对是否为“共生有理数对”；
（2）根据是“共生有理数对”，且，可以求出，进而求得的值．
（1）解：不是“共生有理数对”，是“共生有理数对”，
理由：，，，
不是“共生有理数对”；
（2）解：是“共生有理数对”，且，
，
解得，
．
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