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有理数的运算（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024七上·叙州期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳记数”的方法来记录自己读书的天数，如图1是他从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，表示的天数为66天．按同样的方法，图2表示的天数是（ ）
A．72 B．343 C．366 D．1032
2．（2024七上·郫都期末）如图，数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024七上·裕华期末）在计算时，有四位同学给出了以下四种计算步骤，其中正确的是（ ）
A．原式
B．原式
C．原式
D．原式
4．（2024七上·江北期中）下列各组数中，结果相等的是（ ）
A．与 B． 与
C．与 D．与
5．（2024七上·长安期中）2×2×…×2（m个2）÷（3+3+…+3）（n个3）＝（ ）
A． B． C． D．
6．（2024七上·莲都期末）下列四个式子中，计算结果最小的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024七上·苍南期中）据国家文化和旅游部10月8日公布2024年国庆节期间全国国内出游765 000 000人次， 数据765 000 000用科学记数法表示为( )
A． B． C． D．
8．（2024七上·福田期中）已知：，且，，则m的值不可能是（ ）．
A． B． C．0 D．2
9．（2021七上·松山期中）、、是有理数且，则的值是（ ）
A． B．3或 C．1 D．或1
10．（2021七上·安吉期末）如图，已知正方形的边长为24厘米，甲，乙两动点分别从正方形ABCD的顶点D，B同时沿正方形的边开始移动，甲点按顺时针方向环行，乙点按逆时针方向环行，若乙的速度为9厘米/秒，甲的速度为3厘米/秒，当它们运动了2022秒时，它们在正方形边上相遇了（ ）
A．252 次 B．253次 C．254次 D．255次
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024七上·南海期中）某公交车原坐有人，经过个站点时上下车情况如下（上车为正，下车为负）：，，，，则车上还有 人．
12．（2024七上·竹溪期末）定义新运算：，如，则 ．
13．（2024七上·东莞月考）已知，则 ．
14．（2024七上·港南期末）按如图的程序计算，若开始输入的值为1，则输出的结果为 ．
15．（2024七上·青原月考）计算： .
16．（2023七上·深圳期中）观察下列等式：，将以上三个等式两边分别相加得：．应用计算：
．
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024七上·萧山月考）计算
（1）
（2）
（3）
18．（2024七上·青原月考）计算题．
（1）
（2）
（3）
（4）
19．（2024七上·南昌期中）若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如．
（1）求的值；
（2）求的值．
20．（2024七上·义乌月考）喜迎杭州亚运会期间，我校体育老师为了强化训练学生快速转身跑的能力，张老师设计了折返跑训练，张老师在东西方向的操场上画了一条直线，并插上不同的折返旗帜，如果约定向西为正，向东为负，练习一组折返跑的移动记录如下（单位：米）：
，，，，，，．
（1）学生最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？
（2）学生训练过程中，最远处离出发点多远？
（3）小梁同学在这一组练习过程中，每次转身平均用时秒，跑的速度是4米/秒，求他完成这一组练习需要多长时间？
21．（2024七上·义乌月考）出租车司机李师傅从上午8：00～9：15在厦大至会展中心的环岛路上营运，共连续运载8批乘客.若规定向东为正，向西为负，李师傅营运八批乘客里程如下：（单位：千米）；
（1）将最后一批乘客送到目的地时，李师傅距离第一批乘客出发地的位置怎样？距离多少千米
（2）上午8：00~9：15李师傅开车的平均速度是多少千米每小时？
（3）若出租车的收费标准为：起步价8元（不超过3千米），超过3千米，超过部分每千米2元.则李师傅在上午8：一共收入多少元？
22．（2024七上·敦化期末） 某食品厂从生产的食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过的部分用正数表示，不足的部分用负数表示，记录如表：
与标准质量的差值（克） －5 －2 0 1 3 6
袋数（袋） 2 4 5 5 1 3
（1）若每袋标准质量为250克，则这批抽样检测的样品的总质量是多少克 ；
（2）若该食品的包装袋上标有产品合格要求为“净重（250±2）克”，则这批样品的合格率为多少
23．（2024七上·新昌期中）国庆期间小明妈妈收到浙江电力9月份家庭用电的短信，妈妈把短信截图（如图1）发给正在读七年级的小明，让小明计算一下电费，小明根据所学知识展开计算：
小明通过查阅资料，获得图2材料并归纳出以下信息：
①为了鼓励大家错峰用电，每天22：00至第二天8：00实行低谷电价，8：00至22：00实行高峰电价；
②居民年用电量第一档共有2760度，第二档共有2040度；
（1）根据用电情况信息，可以得出9月份440度用电量中，处于第二档收费的用电量是______度；
（2）请计算小明家今年前9个月的总用电量；
（3）求小明家9月份的电费．
24．（2023七上·黄陂期中）（1）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题．
①取何值时，的值最小，最小值是多少？
②取何值时，的值最大，最大值是多少？
（2）已知若，则，即，若，则，即，如果、、是有理数，且，时，求的值．
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有理数的运算（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024七上·叙州期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳记数”的方法来记录自己读书的天数，如图1是他从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，表示的天数为66天．按同样的方法，图2表示的天数是（ ）
A．72 B．343 C．366 D．1032
【答案】C
【解析】【解答】由题意可得图2表示的天数 =
故答案为：C.
【分析】根据从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，结合图2列出算式计算即可求解.
2．（2024七上·郫都期末）如图，数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A.由图可知，，，
，A不符合题意，A错误，
B.“同号为正，异号为负”，
，B不符合题意，B错误，
C.a到原点的距离大于b到原点的距离，
，C不符合题意，C错误，
D由上述可知，，
D符合题意，D正确.
故答案为：D．
【分析】本题考查利用数轴的比较数的大小，有理数乘法法则，绝对值的意义.先根据图中a、b的位置，可推出a、b的取值范围，据此可判断A选项；再根据符号法则可判断B选项；根据绝对值的意义可知a到原点的距离大于b到原点的距离，据此可判断C选项；利用有理数的加法法则进行运算可判断D选项.
3．（2024七上·裕华期末）在计算时，有四位同学给出了以下四种计算步骤，其中正确的是（ ）
A．原式
B．原式
C．原式
D．原式
【答案】C
【解析】【解答】解：，
故答案为：C.
【分析】有理数的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里面的，乘法运算律在有理数范围依旧适用，据此求解．
4．（2024七上·江北期中）下列各组数中，结果相等的是（ ）
A．与 B． 与
C．与 D．与
【答案】D
【解析】【解答】解：A、-12=-1，（-1）2=1，故本选项错误；
B、，，故本选项错误；
C、-|-2|=-2，-（-2）=2，故本选项错误；
D、（-3）3=-27，-33=-27，故本选项正确．
故答案为：D．
【分析】根据有理数的乘方，绝对值及相反数分别求值，再判断即可.
5．（2024七上·长安期中）2×2×…×2（m个2）÷（3+3+…+3）（n个3）＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵m个2相乘得2m，n个3相加得3n，
∴原式＝.
故答案为：A.
【分析】m个2相乘可表示为2m，n个3相加可表示为3n，据此判断.
6．（2024七上·莲都期末）下列四个式子中，计算结果最小的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：原式；
原式；
原式；
原式，
则计算结果最小的是．
故选：D．
【分析】本题考查有理数的乘方和有理数大小比较．先利用有理数的乘方依次计算出每个式子的大小，据此可得：A原式，B原式，C原式，D原式，再根据有理数的大小比较结果，据此可选出答案．
7．（2024七上·苍南期中）据国家文化和旅游部10月8日公布2024年国庆节期间全国国内出游765 000 000人次， 数据765 000 000用科学记数法表示为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】 765 000 000是9位数，所以 765 000 000=7.65×
故答案为：B
【分析】科学记数法是一种表示很大或很小的数字的简便方式，其形式为，其中，n是比位数少1.据此作出选择.
8．（2024七上·福田期中）已知：，且，，则m的值不可能是（ ）．
A． B． C．0 D．2
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，，
、、三数中只有2负1正，
，
，，，
∴，
∴当，，时，；
当，，时，；
当，，时，；
的值为0或或，不可能是2．
故选：D．
【分析】本题考查了绝对值的定义，以及有理数的运算，由，得到、、三数中只有2负1正，再由，得到，，，进而得到，最后分三种情况讨论，进行求解，即可得到答案．
9．（2021七上·松山期中）、、是有理数且，则的值是（ ）
A． B．3或 C．1 D．或1
【答案】D
【解析】【解答】∵，
∴ｘ、y、z这三个数中有一个或三个数为负数，
当这三个数中有一个负数时，假设，，，
则；
当这三个数中有三个负数时，假设，，，
则；故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】先求出ｘ、y、z这三个数中有一个或三个数为负数，再分类讨论，化简求解即可。
10．（2021七上·安吉期末）如图，已知正方形的边长为24厘米，甲，乙两动点分别从正方形ABCD的顶点D，B同时沿正方形的边开始移动，甲点按顺时针方向环行，乙点按逆时针方向环行，若乙的速度为9厘米/秒，甲的速度为3厘米/秒，当它们运动了2022秒时，它们在正方形边上相遇了（ ）
A．252 次 B．253次 C．254次 D．255次
【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意可得：第一次相遇所需时间为：（秒）
从第2此相遇起，相遇路程变成了正方形的周长，也就是24×4=96（厘米）
因此，之后每次相遇所需时间为：（秒）
2022-4=2018（秒）
所以，在第一次相遇后还有252此相遇
因此，总共相遇了252+1=253（次）
故答案为：B.
【分析】根据相遇问题的公式求出第一次和第二次之后的相遇时间，再根据周期规律，求解出相遇次数。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024七上·南海期中）某公交车原坐有人，经过个站点时上下车情况如下（上车为正，下车为负）：，，，，则车上还有 人．
【答案】13
【解析】【解答】解：∵公交车原坐有人，上车为正，下车为负， 经过个站点时上下车情况为：（+3，-6），（-5，+8），（-4，+2），（+1，-8），
∴22+3+（-6）+（-5）+8+（-4）+2+1+（-8）
=(22+3+8+2+1)+[(-6)+(-5)+(-4)+(-8)]
=36+(-23)
=13（人），
∴经过个站点后车上还有人，
故答案为：．
【分析】由题意，将经过个站点记录的数据相加，根据有理数加减法运算法则计算即可求解．
12．（2024七上·竹溪期末）定义新运算：，如，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查的是新定义运算的含义，以及含乘方的有理数的混合运算，根据新定义的运算法则，直接进行计算，即可求解．
13．（2024七上·东莞月考）已知，则 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：∵，
而，，
，，
解得，，
∴．
故答案为：3．
【分析】由题意，根据绝对值的非负性可列关于、的方程，解方程求出a、b的值，然后把a、b的值代入所求代数式计算即可求解．
14．（2024七上·港南期末）按如图的程序计算，若开始输入的值为1，则输出的结果为 ．
【答案】15
【解析】【解答】解：输入x＝1，
则2×1＋1＝2＋1＝3＜10，返回继续运算；
2×3＋1＝6＋1＝7＜10，返回继续运算；
2×7＋1＝14＋1＝15＞10，输出结果；
故答案为：15．
【分析】根据流程图中的计算方法及步骤列出算式求解即可.
15．（2024七上·青原月考）计算： .
【答案】
【解析】【解答】解：令，
则，
因此，
所以，
所以
．故答案为：．
【分析】令①，
则②，利用②+①可求出S，再代入原式计算即可.
16．（2023七上·深圳期中）观察下列等式：，将以上三个等式两边分别相加得：．应用计算：
．
【答案】
【解析】【解答】解：
=
=
=
=
故答案为：.
【分析】根据观察式子中的规律拆分计算即可.
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024七上·萧山月考）计算
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【解析】【分析】（1）先求绝对值|-5|=5，然后从左到右计算即可；
（2）先算乘除法，再计算加减法，需要注意的是“负数乘以负数等于整数”；
（3）先分别计算24=16、（-3）2=9，然后计算中括号里面的减法，接着计算乘除法，最后再计算加减法即可．
（1）解：
（2）
（3）
18．（2024七上·青原月考）计算题．
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝；
（2）解：
＝
＝
＝；
（3）解：
＝
＝
＝
＝
＝；
（4）解：
＝
＝
＝
＝
＝18．
【解析】【分析】（1）观察式子，先将带分数转化成假分数，再将除法转化为乘法，先约分再计算即可；
（2）观察分子和分母，可化为，约分即可；
（3）根据式子将式子转化后进行计算；
（4）有小数、带分数、分数的计算，将小数转化为分数，带分数转化为假分数计算.
（1）解：
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝；
（2）解：
＝
＝
＝；
（3）解：
＝
＝
＝
＝
＝；
（4）解：
＝
＝
＝
＝
＝18．
19．（2024七上·南昌期中）若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）解：；
（2）解：，
．
【解析】【分析】（1）根据“*”的运算法则计算即可；
（2）根据“*”的运算法则先求出算，再求的值解题即可．
（1）解：；
（2）解：，
．
20．（2024七上·义乌月考）喜迎杭州亚运会期间，我校体育老师为了强化训练学生快速转身跑的能力，张老师设计了折返跑训练，张老师在东西方向的操场上画了一条直线，并插上不同的折返旗帜，如果约定向西为正，向东为负，练习一组折返跑的移动记录如下（单位：米）：
，，，，，，．
（1）学生最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？
（2）学生训练过程中，最远处离出发点多远？
（3）小梁同学在这一组练习过程中，每次转身平均用时秒，跑的速度是4米/秒，求他完成这一组练习需要多长时间？
【答案】（1）解：
∴学生最后到达的地方在出发点的西边45米
（2）解：第一次距离出发点40米，
第二次距离出发点米，
第一次距离出发点米，
第一次距离出发点米，
第一次距离出发点米，
第一次距离出发点米，
第一次距离出发点米，
∴学生训练过程中，最远处离出发点60米
（3）解：
∴他完成这一组练习需要56.75秒
【解析】【分析】（1）根据有理数加法计算法则，将正数与正数相加、负数与负数相加，进而计算即可；
（2）求出每一段离出发点的距离，即可求解；
（3）利用绝对值的性质以及有理数加法计算法则计算即可.
21．（2024七上·义乌月考）出租车司机李师傅从上午8：00～9：15在厦大至会展中心的环岛路上营运，共连续运载8批乘客.若规定向东为正，向西为负，李师傅营运八批乘客里程如下：（单位：千米）；
（1）将最后一批乘客送到目的地时，李师傅距离第一批乘客出发地的位置怎样？距离多少千米
（2）上午8：00~9：15李师傅开车的平均速度是多少千米每小时？
（3）若出租车的收费标准为：起步价8元（不超过3千米），超过3千米，超过部分每千米2元.则李师傅在上午8：一共收入多少元？
【答案】（1）解：
=-5
（千米）
∴ 将最后一批乘客送到目的地时，李师傅距离第一批乘客出发地的位置向西，距离5千米
（2）解：
=45（千米）
上午8：00~9：15 ，共计1.25小时，因此平均速度是45÷1.25=36（千米每小时）
（3）解：
=7+3+0+4+2+6+0
=22（千米）
22×2+8×8=108（元）
∴ 李师傅在上午8：一共收入108元
【解析】【分析】（1）题因为问题是“ 李师傅距离第一批乘客出发地的位置怎样 ”，所以需要利用“ 向东为正，向西为负 ”这个条件。即李师傅出门为0点，向东为+，向西为-，列式计算即可；而距离只能是正数，因此取绝对值即为距离原点的距离；
（2）题问题是求平均速度，速度=路程÷时间，而路程都是正数，不分正负情况，因此需要对八批乘客里程的各数据取绝对值后进行计算得出路程合计，然后计算出上午8：00~9：15 ，共计1.25小时（1+15÷60=1.25小时），最后路程除以时间即可算出平均速度；
（3）题中，收费标准分为“起步价8元和超过3千米之后的每千米2元 ”，此时可以分开计算。8批乘客，只要上车就有起步价，因此起步价合计8×8=64元；超过3千米的部分另外收费，因此每位乘客只要路程超过3千米就要单独考虑，因此用路程数据的绝对值减去3千米，这部分乘以2就是超过部分的价格。其中乘客里程为+2的路程，因为不超过3千米，因此没有超过部分的价格。最后计算求和即可。
22．（2024七上·敦化期末） 某食品厂从生产的食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过的部分用正数表示，不足的部分用负数表示，记录如表：
与标准质量的差值（克） －5 －2 0 1 3 6
袋数（袋） 2 4 5 5 1 3
（1）若每袋标准质量为250克，则这批抽样检测的样品的总质量是多少克 ；
（2）若该食品的包装袋上标有产品合格要求为“净重（250±2）克”，则这批样品的合格率为多少
【答案】（1）解：由题意可得，
，-3分
答：这批抽样检测的样品的总质量是5008克；
（2）解：由题意可得，
净重在克范围内的有：（袋），
合格率为：
答：这批样品的合格率是70%
【解析】【分析】(1)总质量=标准质量x抽取的袋数+超过(或不足的)质量，把相关数值代入计算即可；
(2)找到所给数值中，绝对值小于或等于2的食品的袋数占总袋数的多少即可.
23．（2024七上·新昌期中）国庆期间小明妈妈收到浙江电力9月份家庭用电的短信，妈妈把短信截图（如图1）发给正在读七年级的小明，让小明计算一下电费，小明根据所学知识展开计算：
小明通过查阅资料，获得图2材料并归纳出以下信息：
①为了鼓励大家错峰用电，每天22：00至第二天8：00实行低谷电价，8：00至22：00实行高峰电价；
②居民年用电量第一档共有2760度，第二档共有2040度；
（1）根据用电情况信息，可以得出9月份440度用电量中，处于第二档收费的用电量是______度；
（2）请计算小明家今年前9个月的总用电量；
（3）求小明家9月份的电费．
【答案】（1）
（2）解：由（1）可得，平均每月的用电量为度，
∴今年前9个月的总用电量；（度）；
（3）解：9月份中度，第一档有度，其中谷度，
∴高峰时的电量为（度），
∴费用为：（元），
第二档用电量为度，其中谷度，
高峰时的电量为（度），
∴费用为：（元），
∴（元），
∴小明家9月份的电费是元．
【解析】【解答】（1）解：∵居民年用电量第一档共有度，
∴平均每月的用电量为：（度），
∵9月份的用电量是度，
∴处于第二档的有（度），
故答案为：；
【分析】
（1）根据材料提示，第一档平均每月的用电量为度，由此即可求解；
（2）根据第一档的平均用电量算出前8个月的电量，再加上9月的电量即可求解；
（3）分别算出第一档的费用，第二档的费用，然后将两档费用相加即可求解．
（1）解：∵居民年用电量第一档共有度，
∴平均每月的用电量为：（度），
∵9月份的用电量是度，
∴处于第二档的有（度），
故答案为：；
（2）解：由（1）可得，平均每月的用电量为度，
∴今年前9个月的总用电量；（度）；
（3）解：9月份中度，第一档有度，其中谷度，
∴高峰时的电量为（度），
∴费用为：（元），
第二档用电量为度，其中谷度，
高峰时的电量为（度），
∴费用为：（元），
∴（元），
∴小明家9月份的电费是元．
24．（2023七上·黄陂期中）（1）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题．
①取何值时，的值最小，最小值是多少？
②取何值时，的值最大，最大值是多少？
（2）已知若，则，即，若，则，即，如果、、是有理数，且，时，求的值．
【答案】解：（1）是非负数，
其最小值是0．
取最小值，
取最小值0，
，解得，
的值最小为；
答：当时，有最小值，最小值是；
取最大值，
取最小值，
，解得，
的最大值是5．
答：当时，有最大值，最大值是5；
（2），，
，，，且三个数中有一个数为负，其他两个数为正，
当，，时，
原式；
当，，时，
原式；
当，，时，
原式．
综上：代数式的值为-1．
【解析】【分析】（1）①先利用绝对值的非负数可得|x+3|≥0，再求出的值最小为即可；
②先利用绝对值的非负数可得|x-2|≥0，再求出的最大值是5即可；
（2）分类讨论：①当，，时，②当，，时，③当，，时，再分别利用绝对值的性质求解即可.
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