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特殊三角形（A卷·基础知识达标卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025八上·诸暨月考）国家卫生健康委面向公众发布的《体重管理指导原则（2025年版）》，手把手教你科学减肥!下列适合健康减肥的优选食物的图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·成都期中）以下列各组数为长度的线段中，能构成直角三角形的为（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
3．（2024八上·温州期中）如图，在中，，是斜边上的中线，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八上·钱塘期中）等腰三角形中，一个角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）
A． B．或 C． D．或
5．（2024八上·威宁期末）下列各组数，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5
C．，， D．7，24，25
6．（2024八上·哈尔滨月考）如图、等腰三角形中，，中线与角平分线交于点F，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024八上·兰州期中）如图，用4个全等直角三角形与1个正方形拼成正方形图案．已知大正方形面积为100．小正方形面积为9．若用表示直角三角形的两条直角边．下列说法正确的有（ ）
①；②；③；④
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
8．（2024八上·玉州期中）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳和，当固定点B、C到脚杆E的距离相等，点B、E、C在同一直线上时，电线杆就垂直于，工程人员这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角 B．等腰三角形的三线合一
C．垂线段最短 D．是的垂直平分线
9．（2024八上·鄞州期中）如图，中，D为中点，．若，，则的长度（ ）
A．5 B．5.5 C．6 D．6.5
10．（2024八上·宁波竞赛）如图，在 中， ， ， ，若点 是 边上的动点，则 的最小值是 ( )
A．6 B． C． D．4
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025八上·温州期中）命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题是
12．（2024八上·金牛期中）如图，A，B，C是三个正方形，当的面积为14，的面积为19时，则的面积为 ．
13．（2024八上·惠城期中）等腰三角形其中两边长为7和5，则等腰三角形的周长为 ．
14．（2024八上·湖州期中）在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且DE＝4，则AD＋AE的值为 ．
15．（2024八上·高州月考） 已知一个三角形的三边长分别为，，．则这个三角形的面积为 ．
16．（2024八上·上城期末）如图，以所在直线为对称轴作，，则 ．
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024八上·船营期中）如图，在中，，平分，．
（1）求的度数；
（2）若，垂足为，交于点，求的度数．
18．（2024八上·杭州期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于D、E．
（1）若，求的周长．
（2）若，求的度数．
19．（2023八上·连平期中）已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，BD＝9．
（1）求CD的长．
（2）求AD的长．
（3）△ABC是直角三角形吗？请说明理由．
20．（2024八上·义乌月考）如图1，于点，于点B，P，Q分别为线段上任意一点．
（1）如图1，若，，求之间的数量关系；
（2）如图2，将“，”改为“（为锐角）”．若，，判断（1）中的数量关系是否会改变？并说明理由．
21．（2024九上·香洲期末）如图，在中，，，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，连接AE．
（1）求证：AE是∠BAC的角平分线：
（2）若，求BC的长．
22．（2024八上·海曙开学考）如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于，交于，且．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，，求的周长．
23．（2024八上·丰城开学考）如图，已知是的角平分线，、分别是和的高．
（1）请你判断与关系，并说明理由；
（2）若，，，求的长．
24．（2024八上·盐田期中）已知：a、b、c满足
（1）求a、b、c的值；
（2）试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请判断三角形的形状：若不能构成三角形，请说明理由．
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特殊三角形（A卷·基础知识达标卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025八上·诸暨月考）国家卫生健康委面向公众发布的《体重管理指导原则（2025年版）》，手把手教你科学减肥!下列适合健康减肥的优选食物的图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A图形不能沿某条直线对折后完全重叠，故A不符合题意，
B图形不能沿某条直线对折后完全重叠，故B不符合题意，
C图形沿某条直线对折后可以完全重叠，故C符合题意，
D图形不能沿某条直线对折后完全重叠，故D不符合题意，
故答案为：C.
【分析】轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，则这个图形是轴对称图形，这条直线称为对称轴。
2．（2024八上·成都期中）以下列各组数为长度的线段中，能构成直角三角形的为（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】B
【解析】【解答】解：、，
根据勾股定理逆定理可得该组线段无法构成直角三角形，
∴此选项不符合题意；
、，
根据勾股定理逆定理可得该组线段可以构成直角三角形，
∴此选项符合题意；
、，
根据勾股定理逆定理可得该组线段无法构成直角三角形，
∴此选项不符合题意；
、，
根据勾股定理逆定理可得该组线段无法构成直角三角形，
∴此选项不符合题意．
故答案为：．
【分析】 由题意，分别计算各选项中两较短边的平方和与最长边的平方，观察它们的值是否相等，然后根据勾股定理逆定理依次判断即可求解．
3．（2024八上·温州期中）如图，在中，，是斜边上的中线，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：在中，，是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
故答案为：C．
【分析】先根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半求出AD=CD，进而得到，最后根据三角形的外角计算即可.
4．（2024八上·钱塘期中）等腰三角形中，一个角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【解析】【解答】解：①顶角为50°；
②当底角为50°时，顶角的度数为180°-50°-50°=80°；
综上所述，等腰三角形的顶角度数为50°或80°，
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形“等边对等角”的性质以及三角形内角和定理，分已知角是顶角和底角两种情况讨论，即可求解.
5．（2024八上·威宁期末）下列各组数，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5
C．，， D．7，24，25
【答案】D
【解析】【解答】A、∵12+22≠32，∴A不符合题意；
B、∵0.3，0.4和0.5是小数不是整数，∴B不符合题意；
C、∵，和不是整数，∴C不符合题意；
D、∵72+242=252，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用勾股数的定义逐项分析判断即可.
6．（2024八上·哈尔滨月考）如图、等腰三角形中，，中线与角平分线交于点F，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】
先由等腰三角形的性质知，再利用三角形的内角和可得，再利用角平分线的概念可得，再由等腰三角形三线合一得，最后再利用三角形的外角性质即可．
7．（2024八上·兰州期中）如图，用4个全等直角三角形与1个正方形拼成正方形图案．已知大正方形面积为100．小正方形面积为9．若用表示直角三角形的两条直角边．下列说法正确的有（ ）
①；②；③；④
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【解析】【解答】解：∵大正方形面积为100，直角三角形的两直角边分别为，
∴，故①正确；
∵小正方形面积为9，
∴，
∴或（舍去），故②正确；
∵，，
∴，故④正确；
∴，
∵，
∴，故③正确；
综上所述，说法正确的有①②③④，
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理以及正方形面积可得，，从而求出，根据完全平方公式求出，.
8．（2024八上·玉州期中）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳和，当固定点B、C到脚杆E的距离相等，点B、E、C在同一直线上时，电线杆就垂直于，工程人员这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角 B．等腰三角形的三线合一
C．垂线段最短 D．是的垂直平分线
【答案】B
【解析】【解答】解：∵
∴，
故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故答案为：B．
【分析】利用等腰三角形“三线合一”的性质（等腰三角形顶角的角平分线，底边上的中点和底边上的高线是同一条线）分析求解即可.
9．（2024八上·鄞州期中）如图，中，D为中点，．若，，则的长度（ ）
A．5 B．5.5 C．6 D．6.5
【答案】C
【解析】【解答】解：，
，
，为中点，
，
，
由勾股定理得：．
故选：C．
【分析】本题考查直角三角形的性质和勾股定理.利用垂直的定义可得：，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出长，再根据勾股定理进行计算可求出．
10．（2024八上·宁波竞赛）如图，在 中， ， ， ，若点 是 边上的动点，则 的最小值是 ( )
A．6 B． C． D．4
【答案】A
【解析】【解答】解：过点C作射线CE，使∠BCE=30°，再过动点D作DF⊥OE，垂足为点F，连接AD，如图所示：
在Rt△DFC中，∠DCF=30°，
∴，
∵，
∴当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长，
此时，∠B=∠ADB=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD=AB=2
在Rt△ABC中，
∠A=90°，∠B=60°，AB=2，
∴BC=4，
∴DC=2，
∴，
∴AF=AD+DF=2+1=3，
∴2(AD+DF)=2AF=6，
∴2AD+DC的最小值为6，
故答案为：A.
【分析】过点C作射线CE，使∠BCE=30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，在Rt△DFC中，∠DCE=30°，，，当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025八上·温州期中）命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题是
【答案】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：“内错角相等，两直线平行”的逆命题是两直线平行，内错角相等，
故答案为：两直线平行，内错角相等.
【分析】逆命题是把结论作条件，条件作结论，由此可得答案.
12．（2024八上·金牛期中）如图，A，B，C是三个正方形，当的面积为14，的面积为19时，则的面积为 ．
【答案】5
【解析】【解答】解：如图，
正方形的面积为14，正方形的面积为19，
，.
，
，
的面积．
故答案为：5．
【分析】根据 正方形面积公式得到ML2及NL2的值，根据勾股定理可得MN2=NL2-ML2，从而代值计算求出MN2的值，最后根据正方形面积公式可得答案.
13．（2024八上·惠城期中）等腰三角形其中两边长为7和5，则等腰三角形的周长为 ．
【答案】19或17
【解析】【解答】解：根据题意，
①当腰长为7时，底为5，此时可以构成三角形，
∴周长；
②当腰长为5时，底为7， 此时可以构成三角形，
∴周长；
∴等腰三角形的周长为19或17，
故答案为：19或17．
【分析】
本题分两种情况：①根据三角形三边关系可知，当腰长为7时，底为5，此时可构成三角形，且周长为19②根据三角形三边关系可知，当腰长为5时，底为7，此时可构成三角形，且周长为17。．
14．（2024八上·湖州期中）在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且DE＝4，则AD＋AE的值为 ．
【答案】6或14
【解析】【解答】∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴AD＋AE＝BD＋CE，
∵BC＝10，DE＝4，
当△ABC 为钝角三角形时，
AD＋AE＝BD＋CE＝BC﹣DE＝10﹣4＝6，
当△ABC 为锐角三角形时，
AD＋AE＝BD＋CE＝BC＋DE＝10＋4＝14，
综上所述，AD＋AE＝6或14；
故填：6或14；
【分析】
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，AE＝CE，然后分钝角三角形和锐角三角形两种情况求解即可.
15．（2024八上·高州月考） 已知一个三角形的三边长分别为，，．则这个三角形的面积为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∴此三角形是直角三角形
∴此三角形是直角三角形的面积为：
故答案为：.
【分析】由于题目给了三角形三边的长，所以考虑勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，进一步求得它的面积.
16．（2024八上·上城期末）如图，以所在直线为对称轴作，，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题可知，与关于AC所在直线的对称，
，，
又，
，
.
故答案为：90°.
【分析】根据轴对称图形的对应的角相等得，，由， 可得.
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024八上·船营期中）如图，在中，，平分，．
（1）求的度数；
（2）若，垂足为，交于点，求的度数．
【答案】（1）解：，
∴，
设，
平分，
，
∵，
，
∵，
，
解得：，
；
（2）解：由（1）得，
，
∴，
，
．
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形“等边对等角”的性质可设，由角平分线的定义得，从而得，进而利用三角形内角和定理列出关于的方程并解之即可；
（2）由（1）得，求出，由对顶角相等的性质即可得的度数.
（1）解：，
设，
平分，
，
∵，
，
在中，，
，
；
（2）解：，
，
，
，
．
18．（2024八上·杭州期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于D、E．
（1）若，求的周长．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：∵边的垂直平分线分别交于，
∴，
∵，
∴的周长为：；
（2）解：∵，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∵，
∴．
【解析】【分析】（1）由线段垂直平分线性质求得，最后根据线段和差关系，进行等量代换即可求解；
（2）利用三角形内角和定理得，由等腰三角形“等边对等角”性质得，最后根据角的和差关系即可求得的度数．
（1）解：∵在中，边的垂直平分线分别交于D、E，
∴，
又∵，
∴的周长；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
19．（2023八上·连平期中）已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，BD＝9．
（1）求CD的长．
（2）求AD的长．
（3）△ABC是直角三角形吗？请说明理由．
【答案】解：（1）∵ CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°．
在Rt△CDB中，CD＝＝＝12．
（2）在Rt△ACD中，∵∠CDA=90°，AC=20，CD=12，
∴AD＝ ＝＝16．
（3）△ABC是直角三角形，理由如下：
∵AB＝AD＋BD＝16＋9＝25，
∴AC2＋CB2＝202＋152＝625，
AB2=252=625，
∴AC2＋CB2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
【解析】【分析】（1）在Rt△BCD中，根据勾股定理得CD＝，代数求解即可；
（2）在Rt△ACD中，根据运用勾股定理得AD＝，代数求解即可；
（3）先求出AB＝25，得到AC2＋CB2＝AB2，根据勾股定理的逆定理即可判定△ABC是直角三角形．
20．（2024八上·义乌月考）如图1，于点，于点B，P，Q分别为线段上任意一点．
（1）如图1，若，，求之间的数量关系；
（2）如图2，将“，”改为“（为锐角）”．若，，判断（1）中的数量关系是否会改变？并说明理由．
【答案】（1），理由如下：
∵于点，于点B
∴，，，
，
又，
，，
．
即．
（2）不会改变，理由如下：
∵（为锐角）
，
，
．
又，，
，
，，
即（1）中的数量关系不会改变．
【解析】【分析】（1）根据题意利用AAS证明，再利用全等三角形的对应边相等可得，，即可求之间的数量关系 ；
（2）根据题意利用AAS证明，再利用全等三角形的对应边相等得到，， 求之间的数量关系 ．
（1）解：由，，
，
，
又，
，，
．
即之间的数量关系为．
（2）不会改变，
理由：，
，
．
又，，
，
，，
即（1）中的数量关系不会改变．
21．（2024九上·香洲期末）如图，在中，，，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，连接AE．
（1）求证：AE是∠BAC的角平分线：
（2）若，求BC的长．
【答案】（1）证明：∵DE是AB的垂直平分线
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
∴
∴AE是∠BAC的角平分线
（2）解：∵DE是AB的垂直平分线，，AE是∠BAC的角平分线，
∴
又∵，
∴
∴
【解析】【分析】（1）先根据垂直平分线的性质得到，进而根据等腰三角形的性质得到，再根据题意进行角的运算得到，从而根据角平分线的判定即可求解；
（2）先根据垂直平分线的性质结合等腰三角形的性质（三线合一）得到，进而得到，再进行线段的运算即可求解。
22．（2024八上·海曙开学考）如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于，交于，且．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，，求的周长．
【答案】（1）证明：，
，．
平分，
．
．
．
是等腰三角形．
（2）解：是的中点，
．
，
．
由对顶角相等可知：．
在和中
≌．
．
，
．
．
的周长．
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可证∠B=∠DAE，∠C=∠CAE，利用角平分线的概念可推出∠B=∠C，利用等角对等边可得到AB=AC，据此可证得结论.
（2）利用线段中点的定义可证得AF=CF，利用平行线的性质可推出∠C=∠CAE；再利用ASA可证得△AFE≌△CFG，利用全等三角形的对应边相等可求出CG的长，从而可求出BG的长；然后求出△ABC的周长.
23．（2024八上·丰城开学考）如图，已知是的角平分线，、分别是和的高．
（1）请你判断与关系，并说明理由；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）解：垂直平分，理由如下：∵是的角平分线，、分别是和的高，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴．
【解析】【分析】（1）根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等得出，根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形是全等三角形得出，根据全等三角形的对应边相等得出，根据垂直于一条线段，并平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线即可证明；
（2）根据三角形面积公式得出，代入即可求解．
（1）解：垂直平分，理由如下：
∵是的角平分线，、分别是和的高，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴．
24．（2024八上·盐田期中）已知：a、b、c满足
（1）求a、b、c的值；
（2）试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请判断三角形的形状：若不能构成三角形，请说明理由．
【答案】（1）解：∵ ，
∴，
∴。
（2）解：由（1）得：，
∴a+c=＞6，
∴a+c＞b，
∴ 以a、b、c为边能构成三角形，
∵a2+c2=，b2=62=36，
∴a2+c2=b2，
∴三角形ABC是直角三角形，
又a=c，
∴三角形ABC是等腰直角三角形。
【解析】【分析】（1）根据三角形三边之间的关系，可以得出结论；
（2）根据勾股定理的逆定理，可以得出三角形是直角三角形，再根据a=c，即可得出三角形ABC是等腰直角三角形.
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