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特殊三角形（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024八上·宁明期末）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．对顶角相等
C．全等三角形的对应角相等
D．如果两个数相等，则它们的绝对值也相等
2．（2024八上·宽城期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD．若∠CAD＝27°，则∠BAD的大小为（ ）
A．50° B．51° C．52° D．54°
3．（2024八上·瑞安月考）若等腰三角形的一边等于3，一边等于7，则此三角形的周长为（ ）
A．10 B．13 C．17 D．13或17
4．（2024八上·安州期末）在中，若，则是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
5．（2024八上·河北期末）如图，若≌，则下列结论中不成立的是（ ）
A． B． C．平分 D．
6．（2024八上·高邑期末）如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024八上·华容期末）下列命题的逆命题不成立的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等
B．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
C．三个角都是的三角形是等边三角形
D．负数没有平方根
8．（2023八上·临平月考）如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接下列结论：；；平分；平分其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024八上·余杭期中）如图，在中，，，，线段的两个端点D，E分别在边和边所在的直线上滑动，且，若点P，Q分别是的中点，则下列有关说法正确的是（ ）
A．有最大值为 B．有最大值为
C．有最小值为 D．有最小值为
10．（2024八上·寻乌期末）如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④和都是等腰三角形．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八上·璧山期末）如图，将长方形纸片沿其对角线折叠，使点落在点的位置，与交于点． 若，求图中阴影部分的周长 ．
12．（2024八上·滨江期末）在中，，外角，则 ．
13．（2024八上·杭州月考）如图，以点为端点的四条射线，，，分别过四点，它们依次是，，，，则 （填“”、“”或“”．
14．（2024八上·揭阳期末）如图，在数轴上点表示的实数是 ．
15．（2024八上·龙泉驿期末）如图，在中，，，为外一点，连接，，，发现，且，则 ．
16．（2024八上·湖北期中）如图，中，，的角平分线，相交于点，过作交的延长线于点，交于点，连接．下列结论：①平分；②；③；④，其中正确的结论有 （填序号）．
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024八上·四会期末）已知：如图， 为 的角平分线，且，为延长线上的一点， ，过作，为垂足．求证：
（1）；
（2）；
（3）．
18．（2023八上·新兴期末）如图，点A，C，E在同一条直线上，和都是等边三角形，连接，，分别交，于点P，Q，与交于点.
（1）求证：.
（2）求的度数.
19．（2024八上·拱墅期末）如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE＝CE，AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G.
（1）求证：EA=EG
（2）若BE＝10，CD＝3，G为CE中点，求AG的长.
20．（2023八上·花垣期中） 如图，欲在公路l同一侧挖两个土坑A、B，要求分别距公路10m、30m，且CD＝30m，挖出的土要运到公路边P处堆放，且要求点P到A、B距离之和最短．
（1）找到堆放点P的位置；
（2）求PA+PB的最小值．
21．（2023八上·翁源月考）是等边三角形，是三角形外一动点，交于O，满足
（1）如图①，当点在的垂直平分线上时，求证：；
（2）如图②，当D点不在的垂直平分线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
22．（2023八上·南岗月考）已知，在△ABC中，AB＝AC．
（1）如图①，∠A＝30°，求∠B的度数．
（2）如图②，∠B＝30°，求∠A的度数．
23．（2024八上·丽水期中）如图，在等腰△ABC中，∠CAB＝∠CBA，作射线BC，AD是腰BC的高线，E是△ABC外射线BC上一动点，连结AE．
（1）当AD＝4，BC＝5时，求CD的长．
（2）当BC＝CE时，求证：AE⊥AB．
（3）设△ACD的面积为S1，△ACE的面积为S2，且，在点E的运动过程中，是否存在△ACE为等腰三角形，若存在，求出相应的的值，若不存在，请说明理由．
24．（2024八上·杭州月考）如图，在四边形中，，交于点，交的延长线于点，点为的中点．
（1）求证：点也是的中点；
（2）若，且，，，求的长；
（3）在（2）的条件下，若线段上有一点，使得是等腰三角形，求的长．
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特殊三角形（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024八上·宁明期末）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．对顶角相等
C．全等三角形的对应角相等
D．如果两个数相等，则它们的绝对值也相等
【答案】A
【解析】【解答】解：A、原命题的逆命题是：两直线平行，同位角相等，真命题，∴A符合题意；
B、原命题的逆命题是：相等的角是对顶角，假命题，∴B不符合题意；
C、原命题的逆命题是对应角相等三角形的是全等三角形，假命题，∴C不符合题意；
D、原命题的逆命题是如果两数的平方相等，那么这两个实数相等，假命题，∴D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】先分别求出每一个选项的逆命题，再分别判断是否是真命题即可.
2．（2024八上·宽城期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD．若∠CAD＝27°，则∠BAD的大小为（ ）
A．50° B．51° C．52° D．54°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，，
∴， ，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】由等腰三角形的性质：等边对等角可知，利用三角形内角和定理得出，解得．
3．（2024八上·瑞安月考）若等腰三角形的一边等于3，一边等于7，则此三角形的周长为（ ）
A．10 B．13 C．17 D．13或17
【答案】C
【解析】【解答】解：①若等腰三角形的一个腰长为7，则另一腰长为7，底边长为3，
∵
∴此情况可构成等腰三角形，
∴周长为：
②若等腰三角形的一个腰长为3，则另一腰长为3，底边长为7，
∵
∴此情况不能构成等腰三角形，
故答案为：C.
【分析】先分两种情况讨论，①若等腰三角形的一个腰长为7，则另一腰长为7，底边长为3，②若等腰三角形的一个腰长为3，则另一腰长为3，底边长为7，分别根据三角形三边关系定理判断其是否可以构成等腰三角形，最后进行计算即可.
4．（2024八上·安州期末）在中，若，则是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【解析】【解答】解：，
，
又，
，
∠C=90°.
是直角三角形.
故答案为：A.
【分析】先根据 得到，再利用三角形的内角和定理得到∠C=90°，进而可判断 的形状.
5．（2024八上·河北期末）如图，若≌，则下列结论中不成立的是（ ）
A． B． C．平分 D．
【答案】D
【解析】【解答】解： A.∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC=∠DAE
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC
∴∠BAD=∠CAE，故本选项不符合题意；
B.
∵△ABC≌△ADE
∴∠C=∠E
又∵∠AOE=∠DOC（对顶角相等）
∠E+∠CAE+ ∠AOE=180°
∠C+∠COD+∠CDE=180°（三角形内角和）
∴∠CAE=∠CDE
∵∠BAD=∠CAE（由A项可得）
∴∠BAD=∠CDE，故本选项不符合题意；
C.∵△ABC≌△ADE
∴∠B=∠ADE， AB=AD，
∴∠B=∠BDA，
∴∠BDA=∠ADE，
∴DA平分BDE，故本选项不符合题意；
D. ∵△ABC≌△ADE
∴BC=DE，故本选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的性质得出∠BAC=∠DAE，∠B=∠ADE，∠C=∠E，AB=AD，等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠E+∠CAE+ ∠AOE=180°，∠C+∠COD+∠CDE=180°，据此判断即可。
6．（2024八上·高邑期末）如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设绳索AC长为x米
在Rt△ADC中
AD=AB-BD=AB-(DE-BE)=(x-3)m
∵DC=6m，AC=xm
∴，即
解得：
故答案为：B
【分析】设绳索AC长为x米，根据边之间的关系可得AD=(x-3)m，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求出答案.
7．（2024八上·华容期末）下列命题的逆命题不成立的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等
B．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
C．三个角都是的三角形是等边三角形
D．负数没有平方根
【答案】A
【解析】【解答】解：A.全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的两个三角形全等，逆命题不成立，故A符合题意；
B.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的逆命题是到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上，逆命题成立，故B不符合题意；
C.三个角都是60°的三角形是等边三角形的逆命题是等边三角形的三个角都是60°，逆命题成立，故C不符合题意；
D.负数没有平方根的逆命题是没有平方根的数是负数，逆命题成立，故D不符合题意.
故答案为：A
【分析】分别写出各个命题的逆命题，然后根据全等三角形的判定定理、线段垂直平分线的判定、等边三角形的判定定理、平方根的性质判断即可.
8．（2023八上·临平月考）如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接下列结论：；；平分；平分其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠AOB=∠COD=40°
∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD
即∠AOC=∠BOD
在△AOC和△BOD中
∴△AOC≌△BOD(SAS)
∴∠OCA=∠ODB，∠OAC=∠OBD，AC=BD，①正确；
由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD
∴∠AMB=∠AOB=40°，②正确；
作OG⊥MC交于点G，OH⊥MB交于点H
则∠OGC=∠OHD=90°
在△OCG和△ODH中
∴△OCG≌△ODH(AAS)
∴0G=OH
∴OM平分∠BMC，④正确；
∵∠AOB=∠COD
∴当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC
假设∠DOM=∠AOM
∵△AOC≌△BOD
∴∠COM=∠BOM
∵MO平分∠BMC
∴∠CMO=∠BMO
在△COM和△BOM中
∴△COM≌△BOM(ASA)
∴OB=OC
∵OA=OB
∴OA=OC
与OA>OC矛盾
∴③错误；
正确的有①②④
故选：D
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
9．（2024八上·余杭期中）如图，在中，，，，线段的两个端点D，E分别在边和边所在的直线上滑动，且，若点P，Q分别是的中点，则下列有关说法正确的是（ ）
A．有最大值为 B．有最大值为
C．有最小值为 D．有最小值为
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接，
在中，，
∴，
∵，点Q、P分别是的中点，
∴，，
∵在中，两边之差小于第三边，QPCP-CQ
∴当C、Q、P在同一直线上时，取最小值，
∴的最小值为：，
故选：D．
【分析】连接，根据勾股定理得到，根据直角三角形的斜边上的中线的性质得到，，在中，两边之差小于第三边，QPCP-CQ，当C、Q、P在同一直线上时，取最小值，于是得到结论．
10．（2024八上·寻乌期末）如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④和都是等腰三角形．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】【解答】解：
①；
故①结论正确
②；
故②结论正确
③；
故③结论正确
④和都是等腰三角形．
同理
故④结论正确
其中正确的结论有：①②③④
故答案为：D
【分析】已知条件相等角度较多，在草图中标示清楚以便分析；根据角平分线的定义可得等角或二倍角或半角关系式，根据外角定理可写出与不相邻的两个内角的等量关系式；从结论的一侧出发，不断进行等量代换，可得到角的倍或半的关系；由同位角相等两直线平行可以判定平行关系，由等角对等边的定理可以判定等腰三角形；本题需要逐一判定，故相关的定理要灵活应用以快速推导。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八上·璧山期末）如图，将长方形纸片沿其对角线折叠，使点落在点的位置，与交于点． 若，求图中阴影部分的周长 ．
【答案】
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD为矩形，
∴B'C=BC=AD，∠B'=∠B=∠D=90°
∵∠B'EC=∠DEA，
在△AED和△CEB'中，
∴△AED≌△CEB'（AAS） ，
∴EA=EC，AE=CE，DE=EB'，
∴点E在线段AC的垂直平分线上 ，
∵将长方形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B'的位置，
∴CB'=BC=AD，
∴阴影部分的周长为AD+DE+EA+EB'+B'C+EC，
=AD+DE+EC+EA+EB'+B'C，
=AD+DC+AB'+B'C，
=3+8+8+3
=22
故答案为：22.
【分析】先利用AAS证明△AED≌△CEB'，再说是点E在线段AC的垂直平分线上 ，结合折叠的性质求出阴影部分的周长.
12．（2024八上·滨江期末）在中，，外角，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，
∵∠ACD=110°，
∴∠ACB=180°-∠ACD=70°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=70°，
∴∠A=180°-∠B-∠ACB=40°；
故答案为：40°.
【分析】先根据题意画出图形，邻补角互补得到三角形一个底角的度数，再根据等腰三角形两底角相等得到另一个底角度数，最后根据三角形内角和为180°得到顶角A的度数.
13．（2024八上·杭州月考）如图，以点为端点的四条射线，，，分别过四点，它们依次是，，，，则 （填“”、“”或“”．
【答案】=
【解析】【解答】解：连接BC，DE，
∵点B（1，2），点C（2，4），点A（3，1）
∴AB2=12+22=5，AC2=12+32=10，CB2=12+22=5，
∴AB=BC，AB2+BC2=CA2，
∴∠CBA=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
∵AE=DE=2，∠ADE=90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAE=45°，
∠BAC=∠DAE.
故答案为：=.
【分析】连接BC，DE，利用点的坐标及勾股定理的逆定理可证得△ABC是等腰直角三角形，可求出
∠BAC的度数，同时可证得△ADE是等腰直角三角形，可求出∠DAE的度数，即可得到这两个角的大小关系.
14．（2024八上·揭阳期末）如图，在数轴上点表示的实数是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：根据图形可得：原点到A点的距离为：，
则数轴上点A表示的实数是：.
故答案为：.
【分析】先利用勾股定理求出原点到点A的距离，再结合数轴求出点A表示的数即可.
15．（2024八上·龙泉驿期末）如图，在中，，，为外一点，连接，，，发现，且，则 ．
【答案】6
【解析】【解答】解：如图，过点作，使，连接、
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
．
，，
．
，
．
故答案为：6．
【分析】如图，过点作，使，连接、，根据勾股定理可求出的长度，继而可以证明和全等，可知CE=BD，在△CDE中，可知∠EDC=90°，利用勾股定理即可求出CE的长度即BD的长度。
16．（2024八上·湖北期中）如图，中，，的角平分线，相交于点，过作交的延长线于点，交于点，连接．下列结论：①平分；②；③；④，其中正确的结论有 （填序号）．
【答案】①②④
【解析】【解答】解：在中，，
∴，
又∵分别平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分，故①正确；
∵，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
在和中，
，
∴，
∴，故②正确；
∴，
在和中，
∵，
，，
∴，
∴，，
又∵，
∴，故③错误；
∵，，
∴，
∴，
∴，故④正确；
综上分析可知：正确的有①②④．
故答案为：①②④．
【分析】
本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理．掌握相关性质是解题的关键．根据三角形内角和定理以及角平分线定义求出，得出，求出，得出，即可判断①；证明，得出，即可判断②；证明，得出，，根据，即可判断③；求出，得出，根据平行线的的性质判断④即可．
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024八上·四会期末）已知：如图， 为 的角平分线，且，为延长线上的一点， ，过作，为垂足．求证：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）解：为的角平分线，
，
在与中，
，
（2）解：，
，
，，
，
，，
和为等腰三角形，
，
，
，
（3）解：如图，过点作交的延长线于点，
平分，，，
，
在与中，
，
，
，
在与中，
，
，
，
【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义可得，然后由全等三角形的判定可得答案；
（2）由（1）得，可得，进而可得和为等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得；
（2）过点作交的延长线于点，根据全等三角形的判定可得，，从而得到，，由，等量代换可得结论.
18．（2023八上·新兴期末）如图，点A，C，E在同一条直线上，和都是等边三角形，连接，，分别交，于点P，Q，与交于点.
（1）求证：.
（2）求的度数.
【答案】（1）证明：和都是等边三角形，
，，，
，即.
在和中，，
，
（2）解：由（1）得，
，
在中，.
，.
在中，.
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得出，，推出，证明，由全等三角形的性质得出；
（2）由（1）得，根据全等三角形的性质得出，结合根据三角形的外角性质求出，再根据三角形内角和定理，即可求解．
19．（2024八上·拱墅期末）如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE＝CE，AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G.
（1）求证：EA=EG
（2）若BE＝10，CD＝3，G为CE中点，求AG的长.
【答案】（1）证明：∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴.
（2）解：过点E作EF⊥AD于点F，如图，
∴
∵
∴
∵G为CE中点，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴.
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义和直角三角形两个锐角互余得到：然后根据等腰三角形的性质得到：进而根据等角的余角相等和对顶角相等即可得到：进而即可求证；
（2）过点E作EF⊥AD于点F，根据等腰三角形的三线合一得到：然后利用"AAS"证明得到进而利用勾股定理求出DG的长度，进而即可求解.
20．（2023八上·花垣期中） 如图，欲在公路l同一侧挖两个土坑A、B，要求分别距公路10m、30m，且CD＝30m，挖出的土要运到公路边P处堆放，且要求点P到A、B距离之和最短．
（1）找到堆放点P的位置；
（2）求PA+PB的最小值．
【答案】（1）解：作点A的对称点A' ，连接A'B交直线l于点P，则点P即为所求；
（2）解：由（1）知，点P即为堆放P的位置，此时，PA+PB的最小值=A'B，过A'作A'H⊥BD交BD的延长线于H，则A'H=CD=30m， DH=A'C，
∵AC=10m，BD=30m，
∴A'C = AC = DH= 10m，
∴BH=40m，
∴A'B=√A'H2+BH2=√302+402=50(m)
即PA+PB的最小值为50m.
【解析】【分析】（1）作点A的对称点A' ，连接A'B交直线l于点P，则，因此点P即为所求；
（2）过A'作A'H⊥BD交BD的延长线于H，构造直角三角形，利用勾股定理求A'B的长度。
21．（2023八上·翁源月考）是等边三角形，是三角形外一动点，交于O，满足
（1）如图①，当点在的垂直平分线上时，求证：；
（2）如图②，当D点不在的垂直平分线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【答案】（1）证明：∵D点在AC的垂直平分线上，
∴AD=CD，∠AOD=90°
∴∠DAO=90°-∠ADB=30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠BAD=90°，
∴∠ABD=90°-∠ADB=30°，
∴BD=2AD=AD+CD；
（2）解：成立．
理由：在DB上截取DE=AD，
∵∠ADB=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE=AD，∠EAD=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠BAE=∠CAD，
在△BAE和△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE=CD，
∴BD=DE+BE=AD+CD．
【解析】【分析】 (1)、 根据垂直平分线的性质求出AD=CD，∠AOD=90° ，再根据等边三角形的性质求出∠ABD的度数即可证明 ；
(2)、 在DB上截取DE=AD， 证明△BAE≌△CAD（SAS）得出BE=CD，线段等量代换即可证明.
22．（2023八上·南岗月考）已知，在△ABC中，AB＝AC．
（1）如图①，∠A＝30°，求∠B的度数．
（2）如图②，∠B＝30°，求∠A的度数．
【答案】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠A＝30°，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝75°；
（2）解：∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°．
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到：再根据三角形内角和定理即可求解；
（2）根据等腰三角形的性质得到：，再根据三角形内角和定理即可求解.
23．（2024八上·丽水期中）如图，在等腰△ABC中，∠CAB＝∠CBA，作射线BC，AD是腰BC的高线，E是△ABC外射线BC上一动点，连结AE．
（1）当AD＝4，BC＝5时，求CD的长．
（2）当BC＝CE时，求证：AE⊥AB．
（3）设△ACD的面积为S1，△ACE的面积为S2，且，在点E的运动过程中，是否存在△ACE为等腰三角形，若存在，求出相应的的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵ 等腰△ABC中，∠CAB＝∠CBA，
∴AC=BC=5.
∵AD=4， AD是腰BC的高线，
∴CD=3；
（2）证明：∵AC=BC，CE=BC，
∴CE=AC.
∴∠E=∠CAE，
∵∠B+∠CAB+∠E+∠CAE=180°，∠B=∠CAB，
∴∠CAE+∠CAB=90°，
即AE⊥AB.
（3）解：
∵
∴=
设CD=18k，CE=25k.
∴DE=CE－CD=7k.
∵AD⊥CE，DE≠CD，
∴AE≠AC.
当CE=CA时，△ACE为等腰三角形，
∵CA=CB，
∴CE=CB.
此时C为EB中点，.
当AE=EC=25k时，△ACE也是等腰三角形，
∵DE=7k，CD=18k，
∴AD=24k，
∴AC=BC=30k，
∴BE=55k，
∴
∴或者.
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质得AC=BC，利用勾股定理即可求得CD长；
（2）由AC=BC，CE=BC得CE=AC，于是得∠E=∠CAE，结合∠CAB＝∠CBA，用三角形内角和定理即可得∠CAE+∠CAB=90°，结论可证；
（3）根据 得DC：EC=18：25，可设出DC和EC，然后分AE=AC，CE=CA，AE=EC三种情况分别讨论存在性以及求的值.
24．（2024八上·杭州月考）如图，在四边形中，，交于点，交的延长线于点，点为的中点．
（1）求证：点也是的中点；
（2）若，且，，，求的长；
（3）在（2）的条件下，若线段上有一点，使得是等腰三角形，求的长．
【答案】（1）证明：，
，，
点为的中点，
，
在和中，，
，
，
点也是的中点；
（2）解：，，
，
在中，，
由（1）得：，
在中，；
（3）解：①当时，；
②当时，过点作于，如图1所示：
则，
，
即，
，
在中，，
；
③当时，如图2所示：
，
，
，，
，
，
，
；
综上所述，是等腰三角形，的长为4或或．
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可证得∠CEP=∠BAP，∠ECP=∠ABP，利用线段中点的定义可证得PE=PA，利用AAS证明△CEP≌△BAP，利用全等三角形的性质可证得PD=PB，即可证得结论.
（2）利用勾股定理求出CP的长，可得到PB的长，利用勾股定理求出AP的长即可.
（3）利用等腰三角形的性质分情况讨论：当AQ=AB时，可得到AQ的长；当BA=BQ时，利用三角形的面积公式求出BN的长，利用勾股定理求出AN的长，利用等腰三角形的性质可求出AQ的长；当AQ=BQ时，求出AQ的长；综上所述可得到符合题意的AQ的长.
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