2.3 用频率估计概率 同步测试（含解析）

2.3
用频率估计概率
同步测试
一、单选题
1、下列说法正确的是（　　）
①试验条件不会影响某事件出现的频率；
②在相同的条件下试验次数越多，就越有可能得到较精确的估计值，但各人所得的值不一定相同；
③如果一枚骰子的质量分布均匀，那么抛掷后每个点数出现的机会均等；
④抛掷两枚质量分布均匀的相同的硬币，出现“两个正面”、“两个反面”、“一正一反”的机会相同．
A、①②
B、②③
C、③④
D、①③
【答案】
B
【考点】
利用频率估计概率
【解析】
【解答】解：①错误，实验条件会极大影响某事件出现的频率；
②正确；
③正确；
④错误，“两个正面”、“两个反面”的概率为，
“一正一反”的机会较大，为．
故选B．
【分析】根据频率与概率的关系分析各个选项即可．　
2、关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（　　）
A、频率等于概率
B、实验得到的频率与概率不可能相等
C、当实验次数很小时，概率稳定在频率附近
D、当实验次数很大时，频率稳定在概率附近
【答案】
D
【考点】
利用频率估计概率
【解析】
【解答】解：A、频率只能估计概率，故此选项错误；
B、实验得到的频率与概率可能相等，故此选项错误；
C、当实验次数很大时，频率稳定在概率附近，故此选项错误；
D、当实验次数很大时，频率稳定在概率附近，正确．
故选：D．
【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果．　
3、一个口袋中有红、白、黑球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回袋中．不断重复这个过程，共摸了100次球，发现有49次摸到红球，21次摸到黑球，则袋中白球大约是（　　）
A、5个
B、4个
C、3个
D、2个
【答案】
C
【考点】
利用频率估计概率
【解析】
【解答】解：∵
从中随机摸出一个球，记下颜色后放回袋中．不断重复这个过程，共摸了100次球，发现有49次摸到红球，21次摸到黑球，
∴
所以摸到红球和黑球的频率分别为0.49和0.21，
∴
摸到红球和黑球的概率分别为0.49和0.21，
∵
口袋中有红、白、黑球共10个，
∴
红球和黑球数量和为（0.49+0.21）×10=7（个），
∴
这个口袋中白球的数量=10﹣7=3（个）．
故选C．
【分析】先计算出摸到红球和黑球的频率分别为0.49和0.21，根据利用频率估计概率得到摸到红球和黑球的概率分别为0.49和0.21，然后根据概率公式可估计这个口袋中红球和黑球的量，再计算白球的数量即可．　
4、做重复试验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次．经过统计得“凸面向上”的次数约为420次，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为（　　）
A、0.22
B、0.42
C、0.50
D、0.58
【答案】
D
【考点】
利用频率估计概率
【解析】
【解答】解：∵
抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次．经过统计得“凸面向上”的次数约为420次，
∴
这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的次数为1000﹣420=580，
∴
抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为=0.58，
故选D．
【分析】首先求得“凹面向上”的次数，然后不用概率公式求解；　
5、一个暗箱里放有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中红球只有4个，若每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，那么可以推算出a大约是（　　）
A、25
B、20
C、15
D、10
【答案】
B
【考点】
利用频率估计概率
【解析】
【解答】解：由题意可得，×100%=20%，
解得a=20．
故选B．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．　
6、在一个不透明的口袋中装有若干个颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有3个红球且摸到红球的频率为，
那么口袋中球的总个数为（　　）
A、13
B、14
C、15
D、16
【答案】
C
【考点】
利用频率估计概率
【解析】
【解答】解：∵
口袋中装有3个红球且摸到红球的频率为，
∴
口袋中装有3个红球且摸到红球的概率为，
∴
球的总个数为3÷=15，
即口袋中球的总数为15个．
故选C．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率　
7、在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表，由表估计该麦种的发芽概率是（　　）
试验种子数n（粒）
50
200
500
1000
3000
发芽频数m
45
188
476
951
2850
发芽频率
0.9
0.94
0.952
0.951
0.95
A、0.8
B、0.9
C、0.95
D、1
【答案】
C
【考点】
利用频率估计概率
【解析】
【解答】解：∵
种子粒数3000粒时，种子发芽的频率趋近于0.95，
∴
估计种子发芽的概率为0.95．
故选C．
【分析】根据5批次种子粒数从50粒增加到3000粒时，种子发芽的频率趋近于0.95，所以估计种子发芽的概率为0.95．　
8、一个口袋中装有10个红球和若干个黄球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，求出其中红球与10的比值，再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程20次，得到红球数与10的比值的平均数为0.4．根据上述数据，估计口袋大约有（　　）个黄球．
A、7
B、10
C、15
D、20
【答案】
C
【考点】
利用频率估计概率
【解析】
【解答】解：∵
小明通过多次摸球实验后发现其中摸到红色球的频率稳定在0.4，
设黄球有x个，
∴
0.4（x+10）=10，
解得x=15．
故选C．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，先求得红球的频率，再乘以总球数求解．　
9、随机掷一枚均匀的硬币20次，其中有8次出现正面，12次出现反面，则掷这枚均匀硬币出现正面的概率是（　　)
A、
B、
C、
D、
【答案】
B
【考点】
利用频率估计概率
【解析】
【解答】解：抛一枚均匀硬币出现正面和反面的概率是相等的，都是．
故选B．
【分析】抛一枚均匀硬币出现正面和反面的概率是相等的，都是．
　
10、一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为估计白球数，小刚向其中放入8个黑球摇匀后，从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球200次，其中44次摸到黑球，你估计盒中大约有白球（　　）
A、20个
B、28个
C、36个
D、无法估计
【答案】
B
【考点】
利用频率估计概率
【解析】
【解答】解：设盒子里有白球x个，
根据黑球个数：小球总数=摸到黑球次数：摸球的总次数得：
=解得：x=28．
经检验得x=28是方程的解．
答：盒中大约有白球28个．
故选：B．
【分析】可根据“黑球数量÷黑白球总数=黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数=黑球个数+白球个数“，“黑球所占比例=随机摸到的黑球次数÷总共摸球的次数”．　
11、历史上，雅各布．伯努利等人通过大量投掷硬币的实验，验证了“正面向上的频率在0.5左右摆动，那么投掷一枚硬币10次，下列说法正确的是（　　）
A、“正面向上”必会出现5次
B、“反面向上”必会出现5次
C、“正面向上”可能不出现
D、“正面向上”与“反面向上”出现的次数必定一样，但不一定是5次
【答案】
C
【考点】
利用频率估计概率
【解析】
【解答】解：A、“正面向上”不一定会出现5次，故本选项错误；
B、“反面向上”不一定会出现5次，故本选项错误；
C、“正面向上”可能不出现，只是几率不太大，故本选项正确；
D、“正面向上”与“反面向上”出现的次数可能不一样，故本选项错误；
故选C．
【分析】利用频率估计概率时，只有做大量试验，才能用频率会计概率，但少数实验不能确定一定会出现和概率相符的结果．　
12、为了看图钉落地后钉尖着地的概率有多大，小明做了大量重复试验，发现钉尖着地的次数是实验总次数的40%，下列说法错误的是（　　）
A、钉尖着地的频率是0.4
B、随着试验次数的增加，钉尖着地的频率稳定在0.4附近
C、钉尖着地的概率约为0.4
D、前20次试验结束后，钉尖着地的次数一定是8次
【答案】
D
【考点】
利用频率估计概率
【解析】
【解答】解：A、钉尖着地的频率是=0.4，故此选项正确，不符合题意；
B、随着试验次数的增加，钉尖着地的频率稳定在0.4，故此选项正确，不符合题意；
C、∵
钉尖着地的频率是0.4，∴钉尖着地的概率大约是0.4，故此选项正确，不符合题意；
D、前20次试验结束后，钉尖着地的次数应该在8次左右，故此选项错误，符合题意；
故选：D．
【分析】利用已知数据先求出的频率，找到频率的稳定值，再估算概率分别判断即可．　
13、做重复试验，抛掷同一枚啤酒瓶盖，经过统计得“凸面朝上”的频率约为0.44，则可以估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面朝上”的概率约为（　　）
A、22%
B、44%
C、50%
D、56%
【答案】
B
【考点】
利用频率估计概率
【解析】
【解答】解：∵
凸面向上”的频率约为0.44，
∴
估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为0.44=44%，
故选B．
【分析】根据多次重复试验中事件发生的频率估计事件发生的概率即可．　
14、用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币，“正面朝上”的概率为0.5，是指（　　）
A、连续掷2次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各1次
B、连续抛掷100次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各50次
C、抛掷2n次硬币，恰好有n次“正面朝上”
D、抛掷n次，当n越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于0.5
【答案】
D
【考点】
利用频率估计概率
【解析】
【解答】解：连续抛掷2n次不一定正好正面向上和反面向上的次数各一半，故A、B、C错误，
抛掷n次，当n越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于0.5，故D正确，
故选D．
【分析】利用“大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，这个常数可以估计事件发生的概率”进行判断即可．　
15、甲、乙两位同学在一次用频率估计概率的实验中统计了某一结果出现的频率给出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（　　）
A、掷一枚正六面体的骰子，出现5点的概率
B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率
C、任意写出一个整数，能被2整除的概率
D、一个袋子中装着只有颜色不同，其他都相同的两个红球和一个黄球，从中任意取出一个是黄球的概率
【答案】
D
【考点】
利用频率估计概率
【解析】
【解答】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现5点的概率为，
故本选项错误；
B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，
故本选项错误；
C、任意写出一个整数，能被2整除的概率为，
故本选项错误；
D、一个袋子中装着只有颜色不同，其他都相同的两个红球和一个黄球，从中任意取出一个是黄球的概率为≈0.33，故本选项正确．
故选D．
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．　
二、填空题
16、某口袋中装有红色、黄色、蓝色三种颜色的小球（小球出颜色外完全相同）共60个．通过多次摸球实验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是30%和45%，由此估计口袋中蓝球的数目约为________个．
【答案】
①15
【考点】
利用频率估计概率
【解析】
【解答】解：∵
摸到红球、黄球的频率分别是30%和45%，
∴
摸到蓝色球的频率为1﹣30%﹣45%=25%，
设有蓝球x个，根据题意得：=25%，
解得：x=15，
故答案为：15．
【分析】首先求得摸到红球的频率，然后利用概率公式求解即可．　
17、小军家的玩具店进了一箱除颜色外都相同的塑料球共1000个，小军将箱中的球搅匀后，随机摸出一个球记下颜色，放回箱中；搅匀后再随机摸出一个球记下颜色，放回箱中；…多次重复上述实验后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.2，由此可以估计纸箱内红球的个数约是　________ 　个．
【答案】
①200
【考点】
利用频率估计概率
【解析】
【解答】解：设红球的个数为x，根据题意得：
=0.2，
解得：x=200，
故答案为：200；
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出等式解答．　
18、从装有a个球的暗袋中随机的摸出一个球，已知袋中有5个红球，通过大量的实验发现，摸到红球的频率稳定在0.25左右，可以估计a约为________
【答案】
①20
【考点】
利用频率估计概率
【解析】
【解答】解：∵
a个球中红球有5个，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，
∴
=0.25，
∴
a=20．
故答案为：20
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，根据红球的个数除以总数等于频率，求解即可．　
19、在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小新从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，…如此大量摸球实验后，小新发现其中摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%，对此实验，他总结出下列结论：
①若进行大量摸球实验，摸出白球的频率稳定于30%；
②若从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大；
③若再摸球100次，必有20次摸出的是红球．
其中说法正确的是________
【答案】
①①②
【考点】
利用频率估计概率
【解析】
【解答】解：∵
在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，其中摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%，
∴
①若进行大量摸球实验，摸出白球的频率稳定于：1﹣20%﹣50%=30%，故此选项正确；
∵
摸出黑球的频率稳定于50%，大于其它频率，
∴
②从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大，故此选项正确；
③若再摸球100次，不一定有20次摸出的是红球，故此选项错误；
∴
正确的有①②．
故答案为：①②．
【分析】根据大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，分别分析得出即可．　
20、如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个半径为1米的圆后，在附近闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下：
50
50
300
…
石子落在圆内（含圆上）次数m
14
48
89
…
石子落在圆以外的阴影部分（含外缘上）次数n
30
95
180
…
（1）当投掷的次数很大时，则m：n的值越来越接近________ 　；
（2）若以小石子所落的有效区域为总数（即m+n），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在　________ 　；
（3）请你利用（2）中所得频率的值，估计整个封闭图形ABCD的面积是　________ 　米2（结果保留π）
【答案】
①0.5②③3π
【考点】
利用频率估计概率
【解析】
【解答】解：（1）14÷30≈0.47；
48÷95≈0.51；
89÷180≈0.49，
…
当投掷的次数很大时，则m：n的值越来越接近0.5；
（2）观察表格得：随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在；
（3）设封闭图形的面积为a，根据题意得：
=，
解得：a=3π，
【分析】（1）根据提供的m和n的值，计算m：n后即可确定二者的比值逐渐接近的值；
（2）大量试验时，频率可估计概率；
（3）利用概率，求出圆的面积比上总面积的值，计算出阴影部分面积．
三、解答题
21、下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果，
投篮次数（n）
50
100
150
209
250
300
350
投中次数（m）
28
60
78
104
123
152
175
投中频率（n/m）
0.56
0.60
　
0.49
　
　
（1）计算并填写表中的投中频率（精确到0.01）；
（2）这名球员投篮一次，投中的概率约是多少（精确到0.1）？
【答案】
解：（1）根据题意得：
78÷150=0.52；
104÷209≈0.50；
152÷300≈0.51；
175÷350≈0.58；
填表如下：
投篮次数（n）
50
100
150
209
250
300
350
投中次数（m）
28
60
78
104
123
152
175
投中频率（n/m）
0.56
0.60
0.52
0.50
0.49
0.51
0.58
故答案为：0.52，0.50，0.51，0.58；
（2）由题意得：
投篮的总次数是50+100+150+209+250+300+350=1409（次），
投中的总次数是28+60+78+104+123+152+175=720（次），
则这名球员投篮的次数为1409次，投中的次数为720，
故这名球员投篮一次，投中的概率约为：≈0.5．
故答案为：0.5
【考点】
利用频率估计概率
【解析】
【分析】（1）用投中的次数除以投篮的次数即可得出答案；
（2）计算出所有投篮的次数，再计算出总的命中数，继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率．
22、在一个暗箱里放有a个除颜色外都完全相同的红、白、蓝三种球，其中红球有4个，白球有10个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在20%．
（1）试求出a的值；
（2）从中任意摸出一个球，下列事件：①该球是红球；②该球是白球；③该球是蓝球．试估计这三个事件发生的可能性的大小，并将三个事件按发生的可能性从小到大的顺序排列（用序号表示事件）．
【答案】
解：（1）a=4÷20%=20；
（2）在一个暗箱里放有20个除颜色外都完全相同的红、白、蓝三种球，其中红球有4个，白球有10个，蓝求有6个，
所以从中任意摸出一个球，该球是红球的概率=20%；该球是白球的概率==50%；该球是蓝球的概率==30%，
所以可能性从小到大排序为：①③②．
【考点】
利用频率估计概率
【解析】
【分析】（1）根据频率估计概率，可得到摸到红球的概率为20%，然后利用概率公式计算a的值；
（2）根据概率公式分别计算出摸出一个球是红球或白球或蓝球的概率，然后根据概率的大小判断这三个事件发生的可能性的大小．
23、甲、乙两位同学做抛骰子（均匀正方体形状）实验，他们共抛了60次，出现向上点数的次数如表：
向上点数
1
2
3
4
5
6
出现次数
8
10
7
9
16
10
（1）计算出现向上点数为6的频率．
（2）丙说：“如果抛600次，那么出现向上点数为6的次数一定是100次．”请判断丙的说法是否正确并说明理由．
（3）如果甲乙两同学各抛一枚骰子，求出现向上点数之和为3的倍数的概率．
【答案】
解：（1）出现向上点数为6的频率=；
（2）丙的说法不正确，
理由：（1）因为实验次数较多时，向上点数为6的频率接近于概率，但不说明概率就等一定等于频率；
（2）从概率角度来说，向上点数为6的概率是的意义是指平均每6次出现1次；
（3）用表格列出所有等可能性结果：
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
共有36种等可能性结果，其中点数之和为3的倍数可能性结果有12个
∴
P（点数之和为3的倍数）==．
【考点】
利用频率估计概率
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式求得概率即可；
（2）利用概率的意义分别分析后即可判断谁的说法正确；
（3）列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
四、综合题
24、在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑，白两种颜色的球共20只．某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
58
96
116
295
601
摸到白球的频率m/n
0.58
0.64
0.59
0.605
0.601
(1)请填出表中所缺的数据
(2)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近________（精确到0.01）

(3)请据此推断袋中白球约有________只

【答案】
（1）
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率m/n
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601
（2）①0.60
（3）①12
【考点】
利用频率估计概率
【解析】
【解答】解：（1）填表如下：
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率m/n
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601
（2）答案为：0.60；
（3）由（2）摸到白球的概率为0.60，所以可估计口袋中白种颜色的球的个数=20×0.6=12（只）．
故答案为：0.58，484；0.60；12．
【分析】（1）利用频率=频数÷样本容量=频率直接求解即可；
（2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6；
（3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算白球的个数．
25、某批乒乓球的质量检验结果如下：
抽取的乒乓球数n
50
100
200
500
1000
1500
2000
优等品频数m
47
95
189
478
948
1426
1898
优等品频率
a
0.95
b
0.956
0.948
0.951
0.949
(1)a=________，b=________．
(2)在图中画出这批乒乓球“优等品”频率的折线统计图；
(3)这批乒乓球“优等品”的概率的估计值是________．

【答案】
（1）①0.94②0.945
（2）
（3）①0.95
【考点】
利用频率估计概率
【解析】
【解答】解：（1）a==0.94，b==0.945；
（2）如图，
（3）这批乒乓球“优等品”概率的估计值是0.95．
故答案为：0.94，0.945；0.95．
【分析】（1）利用频率的定义计算；
（2）先描出各点，然后折线连结；
（3）根据频率估计概率，频率都在0.95左右波动，所以可以估计这批乒乓球“优等品”概率的估计值是0.95．