4.1 比例线段 同步测试（含解析）
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4.1
比例线段
同步测试
一、单选题
1、已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP＞BP，设以AP为边的正方形的面积为S1
，
以PB，AB为边的矩形面积为S2
，
则S1与S2的关系是（ ）
A、S1＞S2
B、S1＜S2
C、S1=S2
D、S1≥S2
【答案】
C
【考点】
黄金分割
【解析】
【解答】解：
根据黄金分割的概念得：
，
即S1=S2
．
故选C．
【分析】根据黄金分割的概念表示出比例式，再结合正方形的面积进行分析计算．
2、已知点C是AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB=4cm，则AC的长为（ ）
A、（2﹣2）cm
B、（6﹣2）cm
C、（﹣1）cm
D、（3﹣）cm
【答案】
A
【考点】
黄金分割
【解析】
【解答】解：由题意知：AC=AB=4×=2（
﹣1）=2﹣2．
故选A．
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（
）叫做黄金比，AC=4×=2（
﹣1）．
3、如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC=2，BD平分∠ABC交AC于点D，则AD等于（ ）
A、﹣1
B、
C、1
D、
【答案】
A
【考点】
黄金分割
【解析】
【解答】解：∵
AB=AC=2，
∴
∠
ABC=∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣36°）=72°，
∵
BD平分∠ABC，
∴
∠ABD=∠CBD=36°，
∴
DA=DB，
而∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴
BD=BC，
∴
AD=BD=BC，
∵
∠A=∠CBD，∠C=∠C，
∴
△
A
BC∽
△
BCD，
∴
，即：，
∴
点D为AC的黄金分割点，
∴
AD=AC=﹣1．
故选A．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出图中的所有角，得到AD=BD=BC，易得△ABC∽△BCD，利用相似三角形的性质得
，
用等线段代换得
，则根据黄金分割的定义可判断点D为AC的黄金分割点，所以AD=AC=﹣1．
4、某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB的长为20m，C为AB的一个黄金分割点（AC＜BC），则AC的长为（结果精确到0.1m）（ ）
A、6.7m
B、7.6m
C、10m
D、12.4m
【答案】
B
【考点】
黄金分割
【解析】
【解答】解：∵
C为AB的一个黄金分割点，
∴
BC=AB≈12.4cm，
∴
AC=20﹣12.4=7.6（cm），
故选：B．
【分析】根据黄金比值约为0.618进行计算即可．
5、爱美之心人皆有之，特别是很多女士，穿上高跟鞋后往往会有很好的效果，事实上，当人体的下半身长度与身高的比值接近0.618时，会给人以美感，某女士身高165cm，下半身长与身高的比值是0.60，为了尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）
A、4cm
B、6cm
C、8cm
D、10cm
【答案】
C
【考点】
黄金分割
【解析】
【解答】解：根据已知条件得下半身长是160×0.6=96cm，
设需要穿的高跟鞋是ycm，
则根据黄金分割的定义得：
=0.618，
解得：y≈8cm．
故选C．
【分析】先求出下半身的长度，然后再根据黄金分割的定义求解．
6、把10cm长的线段进行黄金分割，则较长线段的长（≈2.236，精确到0.01）是（ ）
A、3.09cm
B、3.82cm
C、6.18cm
D、7.00cm
【答案】
C
【考点】
黄金分割
【解析】
【解答】解：根据题意得：
较长线段的长是10×=10×0.618=6.18cm．
故选C．
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．
7、根据有关测定，当外界气温处于人体正常体温的黄金比值时，人体感到最舒适（人体正常体温约为37℃），这个气温大约为（ ）
A、23℃
B、28℃
C、30℃
D、37℃
【答案】
A
【考点】
黄金分割
【解析】
【解答】解：根据黄金比的值得：37×0.618≈23℃．
故选A．
【分析】根据黄金比的值知，身体感到特别舒适的温度应为37度的0.618倍．
8、若a：b=3：2，b：c=4：3，则
的值是（ ）
A、2
B、-2
C、3
D、-3
【答案】
B
【考点】
比例的性质
【解析】
【解答】解：由a：b=3：2，b：c=4：3，得
a=b，c=b．
故选：B．
【分析】根据比例的性质，可用b表示a，c，根据分式的性质，可得答案．
9、若3x=4y（xy≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A、=
B、
C、
D、
【答案】
A
【考点】
比例的性质
【解析】
【解答】解：A、由比例的性质，得3x=4y，故A正确；
B、由比例的性质，得xy=12，故B错误；
C、由比例的性质，得4x=3y，故C错误；
D、由比例的性质，得4x=3y，故D错误；
故选：A．
【分析】根据比例的性质，可得答案．
10、若非零实数x，y满足4y=3x，则x：y等于（ ）
A、3：4
B、4：3
C、2：3
D、3：2
【答案】
B
【考点】
比例的性质
【解析】
【解答】解：∵4y=3x，
∴x：y=4：3，
故选：B．
【分析】根据比例的性质，即可解答．
11、如图，扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，x与y的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形比较美观，若黄金比取0.6，则x为（ ）
A、144°
B、135°
C、136°
D、108°
【答案】
B
【考点】
黄金分割
【解析】
【解答】解：由扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，黄金比为0.6，
根据题意得：x：y=0.6=3：5，
又∵
x+y=360，
则x=360×=135．
故选B．
【分析】由题意得到x与y的比值应为黄金比，根据黄金比为0.6，得到x与y比值为0.6，即为3：5，又根据扇子的圆心角与余下的圆心角刚好构成周角，即x与y之和为360，根据比例性质即可求出x的值．
12、如图，若DC∥FE∥AB，则有（ ）
A、
B、
C、
D、
【答案】
D
【考点】
平行线分线段成比例
【解析】
【解答】解：∵
DC∥FE∥AB，
∴
OD：OE=OC：OF（A错误）；
OF：OA=OE：OB≠OB：OC（B错误）；
OA：OC=OB：OD（C错误）；
CD：EF=OD：OE（D正确）．
故选D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，根据题意直接列出比例等式，对比选项即可得出答案．
13、如图，在△
ABC中，DE∥
BC，分别交AB，AC于点D，E．若AD=2，DB=4，则
的值为（ ）
A、
B、
C、
D、
【答案】
B
【考点】
平行线分线段成比例
【解析】
【解答】解：∵
DE∥
BC，
∴
．
故选：B．
【分析】首先根据平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．
14、如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的点，且DE∥BC，如果AD=2cm，DB=1cm，DE=1.6cm，则BC=（ ）
A、0.8cm
B、2cm
C、2.4cm
D、3.2cm
【答案】
C
【考点】
平行线分线段成比例
【解析】
【解答】解：∵
AD=2cm，DB=1cm，
∴
AB=AD+DB=3cm，
∵
DE∥
BC，
∴
，
解得：BC=2.4．
故选：C．
【分析】由平行线分线段成比例可得
，
把线段代入可求得BC．
15、如图，直线l1、l2、…l6是一组等距离的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3
，
l6相交于点B、E、C、F．若BC=2，则EF的长是（ ）
A、4
B、5
C、6
D、7
【答案】
B
【考点】
平行线分线段成比例
【解析】
【解答】解：∵
l3∥
l6
，
∴
BC∥
EF，
∴
△
ABC∽
△
AEF，
∴
，
∵
BC=2，
∴
EF=5．
故选B．
【分析】由直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，得到△ABC∽△AEF，推出比例式求得结果．
二、填空题
16、已知C、D是线段AB的两个黄金分割点，AB=2，则CD的长是________．（用含根号的式子表示）
【答案】
①2﹣4
【考点】
黄金分割
【解析】
【解答】解：如图，C、D是线段AB的两个黄金分割点，设AC＞BC，AD＜BD，
根据题意得AC=AB=×2=﹣1，
BD=AB=×2=﹣1，
则AD=AB﹣BD=2﹣（﹣1）=3﹣，
所以CD=AC﹣AD=﹣1﹣（3﹣）=2﹣4．
故答案为2﹣4．
【分析】AC＞BC，AD＜BD，根据黄金分割的定义先计算出AC=BD=﹣1，再计算出AD，然后利用CD=AC﹣AD进行计算．
17、线段AB长10cm，点P在线段AB上，且满足
，
那么AP的长为________ cm．
【答案】
①5﹣5
【考点】
黄金分割
【解析】
【解答】解：设AP=x，则BP=10﹣x，
∵
，
∴
，
∴
x1=5﹣5，x2=﹣5﹣5（不合题意，舍去），
∴
AP的长为（5﹣5）cm．
故答案为：5﹣5．
【分析】设AP=x，根据线段AB长10cm，得出BP=10﹣x，再根据，
求出x的值即可得出答案．
18、若=2，则
的值为________
【答案】
①2
【考点】
比例的性质
【解析】
【解答】解：由=2，得a=2b．
，
故答案为：2．
【分析】根据等式的性质，可用b表示a，根据分式的性质，可得答案．
19、若x：y=5：2，则（x+y）：y的值是________
【答案】
①
【考点】
比例的性质
【解析】
【解答】解：由合比性质，得
，
故答案为：．
【分析】根据合比性质：
，
可得答案．
20、如图，△ABC中，AB=7，BC=6，AC=8，延长∠ABC、∠ACB的角平分线BD、CE分别交过点A且平行于BC的直线于N、M，BD与CE相交于点G，则△BCG与△MNG的面积之比是________ ．
【答案】
①4：25
【考点】
平行线分线段成比例
【解析】
【解答】解：∵
CE是∠ACB的角平分线，
∴
，
∵
MN∥BC，
∴
，
同理，
，
∴
，
∵
MN∥
BC，
∴
△
BCG∽
△
MNG，
∴
△
BCG与△
MNG的面积之比是4：25．
故答案为：4：25．
【分析】根据角平分线的性质求出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答．,
三、计算题
21、若
，求
的值．
【答案】
解答：设
，
则
，
，
，
所以
．
【考点】
比例的性质
【解析】
分析：先设
，可得
，
，
，再把a、b、c的值都代入所求式子计算即可．
22、已知
，求
．
【答案】
解答：令
，
∴
，
，
，
∴
原式
．
【考点】
比例的性质
【解析】
分析：设
，
，
，再代入原式即可得出答案．
四、解答题
23、如图，△
ABC中，AB=AC，∠
A=36°，BD平分∠
ABC．求证：
=．
【答案】
解∵AB=AC，∠
A=36°，
∴
∠
ABC=∠
C=（180°﹣36°）=72°，
∵BD平分∠
ABC，
∴
∠
ABD=∠
CBD=∠ABC=36°，
∴
DA=DB，
∵
∠
B
DC=∠
A+∠
ABD=72°，
∴
BD=BC，
∴
AD=BC，
∵
∠
A=∠
CBD，∠
C=∠
C，
∴
△
ABC∽
△
BDC，
∴
BC：DC=AC：BC，
∴
AD：DC=AC：AD，
∴
点D为AC的黄金分割点，
∴=，
∴=．
【考点】
黄金分割
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质和角平分线的定义证明△ABC∽△BDC，根据黄金分割的概念计算即可．
24、定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；
（2）求出线段AD的长．
【答案】
（1）证明：∵
AB=AC=1，
∴
∠
ABC=∠
C=（180°﹣∠
A）=（180°﹣36°）=72°，
∵
BD平分∠ABC交AC于点D，
∴
∠
ABD=∠CBD=∠ABC=36°，
∴
∠
BDC=180°﹣36°﹣72°=72°，
∴
DA=DB，BD=BC，
∴
AD=BD=BC，
易得△
BDC∽
△
ABC，
∴
BC：AC=CD：BC，即BC2=CD AC，
∴
AD2=CD AC，
∴
点D是线段AC的黄金分割点；
（2）设AD=x，则CD=AC﹣AD=1﹣x，
∵
AD2=CD AC，
∴
x2=1﹣x，解得x1=，x2=，
即AD的长为．
【考点】
黄金分割
【解析】
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ABC=∠C=72°，∠ABD=∠CBD=36°，∠BDC=72°，则可得
到AD=BD=BC，然后根据相似三角形的判定方法易得△BDC∽△ABC，利用相似比得到BC2=CD AC，于是有AD2=CD AC，则可根据线段黄金分割点的定义得到结论；
（2）设AD=x，则CD=AC﹣AD=1﹣x，由（1）的结论得到x2=1﹣x，然后解方程即可得到AD的长．
五、综合题
25、（2016 内江）已知抛物线C：y=x2﹣3x+m，直线l：y=kx（k＞0），当k=1时，抛物线C与直线l只有一个公共点．
(1)求m的值；
(2)若直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，直线l与直线l1：y=﹣3x+b交于点P，且
+
=
，求b的值；
(3)在（2）的条件下，设直线l1与y轴交于点Q，问：是否在实数k使S△APQ=S△BPQ？若存在，求k的值，若不存在，说明理由．
【答案】
（1）解：当k=1时，抛物线C与直线l只有一个公共点，
∴
直线l解析式为y=x，
∵
，
∴
x2﹣3x+m=x，
∴
x2﹣4x+m=0，
∴
△
=16﹣4m=0，
∴
m=4
（2）解：如图，
分别过点A，P，B作y轴的垂线，垂足依次为C，D，E，
则△
OAC∽
△
OPD，∴
．
同理，
．
∵
，
∴
=2．
∴
=2．
∴
，
即
．
解方程组
，
得x=x=
，
即PD=
．
由方程组
消去y，得x2﹣（k+3）x+4=0．
∵
AC，BE是以上一元二次方程的两根，
∴
AC+BE=k+3，AC×BE=4．
∴
．
解得b=8．
（3）解：不存在．理由如下：
假设存在，
当S△APQ=S△BPQ时，有AP=PB，
于是PD﹣AC=PE﹣PD，
即AC+BE=2PD．
由（2）可知AC+BE=k+3，PD=
，
∴
k+3=2×
，
即（k+3）2=16．
解得k=1（舍去k=﹣7）．
当k=1时，A，B两点重合，△BQA不存在．
∴
不存在实数k使S△APQ=S△BPQ
【考点】
根与系数的关系，比例的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】
【分析】（1）两图象有一个交点，则对应的方程组有一组解，即△=0，代入计算即可求出m的值；（2）作出辅助线，得到△OAC∽△OPD，
+
=2，同理
+
=2，AC，BE是x2﹣（k+3）x+4=0两根，即可；（3）由S△APQ=S△BPQ得到AC+BE=2PD，建立方程（k+3）2=16即可．此题是二次函数综合题，主要考查了相似三角形的性质和判定，比例的性质，一元二次方程的根与系数的关系，解本题的关键是灵活运用根与系数的关系．
比例线段
同步测试
一、单选题
1、已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP＞BP，设以AP为边的正方形的面积为S1
，
以PB，AB为边的矩形面积为S2
，
则S1与S2的关系是（ ）
A、S1＞S2
B、S1＜S2
C、S1=S2
D、S1≥S2
【答案】
C
【考点】
黄金分割
【解析】
【解答】解：
根据黄金分割的概念得：
，
即S1=S2
．
故选C．
【分析】根据黄金分割的概念表示出比例式，再结合正方形的面积进行分析计算．
2、已知点C是AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB=4cm，则AC的长为（ ）
A、（2﹣2）cm
B、（6﹣2）cm
C、（﹣1）cm
D、（3﹣）cm
【答案】
A
【考点】
黄金分割
【解析】
【解答】解：由题意知：AC=AB=4×=2（
﹣1）=2﹣2．
故选A．
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（
）叫做黄金比，AC=4×=2（
﹣1）．
3、如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC=2，BD平分∠ABC交AC于点D，则AD等于（ ）
A、﹣1
B、
C、1
D、
【答案】
A
【考点】
黄金分割
【解析】
【解答】解：∵
AB=AC=2，
∴
∠
ABC=∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣36°）=72°，
∵
BD平分∠ABC，
∴
∠ABD=∠CBD=36°，
∴
DA=DB，
而∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴
BD=BC，
∴
AD=BD=BC，
∵
∠A=∠CBD，∠C=∠C，
∴
△
A
BC∽
△
BCD，
∴
，即：，
∴
点D为AC的黄金分割点，
∴
AD=AC=﹣1．
故选A．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出图中的所有角，得到AD=BD=BC，易得△ABC∽△BCD，利用相似三角形的性质得
，
用等线段代换得
，则根据黄金分割的定义可判断点D为AC的黄金分割点，所以AD=AC=﹣1．
4、某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB的长为20m，C为AB的一个黄金分割点（AC＜BC），则AC的长为（结果精确到0.1m）（ ）
A、6.7m
B、7.6m
C、10m
D、12.4m
【答案】
B
【考点】
黄金分割
【解析】
【解答】解：∵
C为AB的一个黄金分割点，
∴
BC=AB≈12.4cm，
∴
AC=20﹣12.4=7.6（cm），
故选：B．
【分析】根据黄金比值约为0.618进行计算即可．
5、爱美之心人皆有之，特别是很多女士，穿上高跟鞋后往往会有很好的效果，事实上，当人体的下半身长度与身高的比值接近0.618时，会给人以美感，某女士身高165cm，下半身长与身高的比值是0.60，为了尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）
A、4cm
B、6cm
C、8cm
D、10cm
【答案】
C
【考点】
黄金分割
【解析】
【解答】解：根据已知条件得下半身长是160×0.6=96cm，
设需要穿的高跟鞋是ycm，
则根据黄金分割的定义得：
=0.618，
解得：y≈8cm．
故选C．
【分析】先求出下半身的长度，然后再根据黄金分割的定义求解．
6、把10cm长的线段进行黄金分割，则较长线段的长（≈2.236，精确到0.01）是（ ）
A、3.09cm
B、3.82cm
C、6.18cm
D、7.00cm
【答案】
C
【考点】
黄金分割
【解析】
【解答】解：根据题意得：
较长线段的长是10×=10×0.618=6.18cm．
故选C．
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．
7、根据有关测定，当外界气温处于人体正常体温的黄金比值时，人体感到最舒适（人体正常体温约为37℃），这个气温大约为（ ）
A、23℃
B、28℃
C、30℃
D、37℃
【答案】
A
【考点】
黄金分割
【解析】
【解答】解：根据黄金比的值得：37×0.618≈23℃．
故选A．
【分析】根据黄金比的值知，身体感到特别舒适的温度应为37度的0.618倍．
8、若a：b=3：2，b：c=4：3，则
的值是（ ）
A、2
B、-2
C、3
D、-3
【答案】
B
【考点】
比例的性质
【解析】
【解答】解：由a：b=3：2，b：c=4：3，得
a=b，c=b．
故选：B．
【分析】根据比例的性质，可用b表示a，c，根据分式的性质，可得答案．
9、若3x=4y（xy≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A、=
B、
C、
D、
【答案】
A
【考点】
比例的性质
【解析】
【解答】解：A、由比例的性质，得3x=4y，故A正确；
B、由比例的性质，得xy=12，故B错误；
C、由比例的性质，得4x=3y，故C错误；
D、由比例的性质，得4x=3y，故D错误；
故选：A．
【分析】根据比例的性质，可得答案．
10、若非零实数x，y满足4y=3x，则x：y等于（ ）
A、3：4
B、4：3
C、2：3
D、3：2
【答案】
B
【考点】
比例的性质
【解析】
【解答】解：∵4y=3x，
∴x：y=4：3，
故选：B．
【分析】根据比例的性质，即可解答．
11、如图，扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，x与y的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形比较美观，若黄金比取0.6，则x为（ ）
A、144°
B、135°
C、136°
D、108°
【答案】
B
【考点】
黄金分割
【解析】
【解答】解：由扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，黄金比为0.6，
根据题意得：x：y=0.6=3：5，
又∵
x+y=360，
则x=360×=135．
故选B．
【分析】由题意得到x与y的比值应为黄金比，根据黄金比为0.6，得到x与y比值为0.6，即为3：5，又根据扇子的圆心角与余下的圆心角刚好构成周角，即x与y之和为360，根据比例性质即可求出x的值．
12、如图，若DC∥FE∥AB，则有（ ）
A、
B、
C、
D、
【答案】
D
【考点】
平行线分线段成比例
【解析】
【解答】解：∵
DC∥FE∥AB，
∴
OD：OE=OC：OF（A错误）；
OF：OA=OE：OB≠OB：OC（B错误）；
OA：OC=OB：OD（C错误）；
CD：EF=OD：OE（D正确）．
故选D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，根据题意直接列出比例等式，对比选项即可得出答案．
13、如图，在△
ABC中，DE∥
BC，分别交AB，AC于点D，E．若AD=2，DB=4，则
的值为（ ）
A、
B、
C、
D、
【答案】
B
【考点】
平行线分线段成比例
【解析】
【解答】解：∵
DE∥
BC，
∴
．
故选：B．
【分析】首先根据平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．
14、如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的点，且DE∥BC，如果AD=2cm，DB=1cm，DE=1.6cm，则BC=（ ）
A、0.8cm
B、2cm
C、2.4cm
D、3.2cm
【答案】
C
【考点】
平行线分线段成比例
【解析】
【解答】解：∵
AD=2cm，DB=1cm，
∴
AB=AD+DB=3cm，
∵
DE∥
BC，
∴
，
解得：BC=2.4．
故选：C．
【分析】由平行线分线段成比例可得
，
把线段代入可求得BC．
15、如图，直线l1、l2、…l6是一组等距离的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3
，
l6相交于点B、E、C、F．若BC=2，则EF的长是（ ）
A、4
B、5
C、6
D、7
【答案】
B
【考点】
平行线分线段成比例
【解析】
【解答】解：∵
l3∥
l6
，
∴
BC∥
EF，
∴
△
ABC∽
△
AEF，
∴
，
∵
BC=2，
∴
EF=5．
故选B．
【分析】由直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，得到△ABC∽△AEF，推出比例式求得结果．
二、填空题
16、已知C、D是线段AB的两个黄金分割点，AB=2，则CD的长是________．（用含根号的式子表示）
【答案】
①2﹣4
【考点】
黄金分割
【解析】
【解答】解：如图，C、D是线段AB的两个黄金分割点，设AC＞BC，AD＜BD，
根据题意得AC=AB=×2=﹣1，
BD=AB=×2=﹣1，
则AD=AB﹣BD=2﹣（﹣1）=3﹣，
所以CD=AC﹣AD=﹣1﹣（3﹣）=2﹣4．
故答案为2﹣4．
【分析】AC＞BC，AD＜BD，根据黄金分割的定义先计算出AC=BD=﹣1，再计算出AD，然后利用CD=AC﹣AD进行计算．
17、线段AB长10cm，点P在线段AB上，且满足
，
那么AP的长为________ cm．
【答案】
①5﹣5
【考点】
黄金分割
【解析】
【解答】解：设AP=x，则BP=10﹣x，
∵
，
∴
，
∴
x1=5﹣5，x2=﹣5﹣5（不合题意，舍去），
∴
AP的长为（5﹣5）cm．
故答案为：5﹣5．
【分析】设AP=x，根据线段AB长10cm，得出BP=10﹣x，再根据，
求出x的值即可得出答案．
18、若=2，则
的值为________
【答案】
①2
【考点】
比例的性质
【解析】
【解答】解：由=2，得a=2b．
，
故答案为：2．
【分析】根据等式的性质，可用b表示a，根据分式的性质，可得答案．
19、若x：y=5：2，则（x+y）：y的值是________
【答案】
①
【考点】
比例的性质
【解析】
【解答】解：由合比性质，得
，
故答案为：．
【分析】根据合比性质：
，
可得答案．
20、如图，△ABC中，AB=7，BC=6，AC=8，延长∠ABC、∠ACB的角平分线BD、CE分别交过点A且平行于BC的直线于N、M，BD与CE相交于点G，则△BCG与△MNG的面积之比是________ ．
【答案】
①4：25
【考点】
平行线分线段成比例
【解析】
【解答】解：∵
CE是∠ACB的角平分线，
∴
，
∵
MN∥BC，
∴
，
同理，
，
∴
，
∵
MN∥
BC，
∴
△
BCG∽
△
MNG，
∴
△
BCG与△
MNG的面积之比是4：25．
故答案为：4：25．
【分析】根据角平分线的性质求出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答．,
三、计算题
21、若
，求
的值．
【答案】
解答：设
，
则
，
，
，
所以
．
【考点】
比例的性质
【解析】
分析：先设
，可得
，
，
，再把a、b、c的值都代入所求式子计算即可．
22、已知
，求
．
【答案】
解答：令
，
∴
，
，
，
∴
原式
．
【考点】
比例的性质
【解析】
分析：设
，
，
，再代入原式即可得出答案．
四、解答题
23、如图，△
ABC中，AB=AC，∠
A=36°，BD平分∠
ABC．求证：
=．
【答案】
解∵AB=AC，∠
A=36°，
∴
∠
ABC=∠
C=（180°﹣36°）=72°，
∵BD平分∠
ABC，
∴
∠
ABD=∠
CBD=∠ABC=36°，
∴
DA=DB，
∵
∠
B
DC=∠
A+∠
ABD=72°，
∴
BD=BC，
∴
AD=BC，
∵
∠
A=∠
CBD，∠
C=∠
C，
∴
△
ABC∽
△
BDC，
∴
BC：DC=AC：BC，
∴
AD：DC=AC：AD，
∴
点D为AC的黄金分割点，
∴=，
∴=．
【考点】
黄金分割
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质和角平分线的定义证明△ABC∽△BDC，根据黄金分割的概念计算即可．
24、定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；
（2）求出线段AD的长．
【答案】
（1）证明：∵
AB=AC=1，
∴
∠
ABC=∠
C=（180°﹣∠
A）=（180°﹣36°）=72°，
∵
BD平分∠ABC交AC于点D，
∴
∠
ABD=∠CBD=∠ABC=36°，
∴
∠
BDC=180°﹣36°﹣72°=72°，
∴
DA=DB，BD=BC，
∴
AD=BD=BC，
易得△
BDC∽
△
ABC，
∴
BC：AC=CD：BC，即BC2=CD AC，
∴
AD2=CD AC，
∴
点D是线段AC的黄金分割点；
（2）设AD=x，则CD=AC﹣AD=1﹣x，
∵
AD2=CD AC，
∴
x2=1﹣x，解得x1=，x2=，
即AD的长为．
【考点】
黄金分割
【解析】
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ABC=∠C=72°，∠ABD=∠CBD=36°，∠BDC=72°，则可得
到AD=BD=BC，然后根据相似三角形的判定方法易得△BDC∽△ABC，利用相似比得到BC2=CD AC，于是有AD2=CD AC，则可根据线段黄金分割点的定义得到结论；
（2）设AD=x，则CD=AC﹣AD=1﹣x，由（1）的结论得到x2=1﹣x，然后解方程即可得到AD的长．
五、综合题
25、（2016 内江）已知抛物线C：y=x2﹣3x+m，直线l：y=kx（k＞0），当k=1时，抛物线C与直线l只有一个公共点．
(1)求m的值；
(2)若直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，直线l与直线l1：y=﹣3x+b交于点P，且
+
=
，求b的值；
(3)在（2）的条件下，设直线l1与y轴交于点Q，问：是否在实数k使S△APQ=S△BPQ？若存在，求k的值，若不存在，说明理由．
【答案】
（1）解：当k=1时，抛物线C与直线l只有一个公共点，
∴
直线l解析式为y=x，
∵
，
∴
x2﹣3x+m=x，
∴
x2﹣4x+m=0，
∴
△
=16﹣4m=0，
∴
m=4
（2）解：如图，
分别过点A，P，B作y轴的垂线，垂足依次为C，D，E，
则△
OAC∽
△
OPD，∴
．
同理，
．
∵
，
∴
=2．
∴
=2．
∴
，
即
．
解方程组
，
得x=x=
，
即PD=
．
由方程组
消去y，得x2﹣（k+3）x+4=0．
∵
AC，BE是以上一元二次方程的两根，
∴
AC+BE=k+3，AC×BE=4．
∴
．
解得b=8．
（3）解：不存在．理由如下：
假设存在，
当S△APQ=S△BPQ时，有AP=PB，
于是PD﹣AC=PE﹣PD，
即AC+BE=2PD．
由（2）可知AC+BE=k+3，PD=
，
∴
k+3=2×
，
即（k+3）2=16．
解得k=1（舍去k=﹣7）．
当k=1时，A，B两点重合，△BQA不存在．
∴
不存在实数k使S△APQ=S△BPQ
【考点】
根与系数的关系，比例的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】
【分析】（1）两图象有一个交点，则对应的方程组有一组解，即△=0，代入计算即可求出m的值；（2）作出辅助线，得到△OAC∽△OPD，
+
=2，同理
+
=2，AC，BE是x2﹣（k+3）x+4=0两根，即可；（3）由S△APQ=S△BPQ得到AC+BE=2PD，建立方程（k+3）2=16即可．此题是二次函数综合题，主要考查了相似三角形的性质和判定，比例的性质，一元二次方程的根与系数的关系，解本题的关键是灵活运用根与系数的关系．
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