2025—2026学年九年级数学上学期单元测试卷
第3章 圆的基本性质 单元测试·巩固卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．如图，将按顺时针方向旋转后成为，则下列说法错误的是（ ）
A．旋转中心是点 B．旋转角等于
C． D．
2．三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的（ ）
A．内心 B．外心 C．中心 D．重心
3．下列说法正确的是（ ）
A．垂直于弦的直径平分弦 B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弦相等 D．三个点确定一个圆
4．如图，在中，，，以为直径的交于点，若点恰好为的中点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在的内接四边形中，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，内接于，其外角平分线交于，于，于，则结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．① B．①② C．①③④ D．①②③④
7．如图，是的直径，点，在上，，，，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在以为圆心的半圆中，是直径，点是弧的中点，连接，平分交于点，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，的半径为，弦，是弦上的动点，则不可能为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在正八边形中，连接，，，，与交于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是（ ）
①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，是的半径，是的弦，且于点．若，，则弦的长是 ．
12．如图，正五边形内接于，连接，则的度数为 ．
13．如图，已知扇形，点D为圆弧上一点，且的度数为，若P为扇形内一点，则的取值范围是 ．
14．如图，是的直径，，，则 ．
15．如图，点M坐标为，点A坐标为，以点M为圆心，为半径作，与x轴的另一个交点为B，点C是上的一个动点，连接，点D是的中点，连接，当线段取得最大值时，点D的坐标为 ．
16．如图，四边形内接于，若四边形是平行四边形，则 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．如图，正方形内接于，E是的中点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求四边形的面积．
18．如图，四边形内接于，对角线为的直径，，在的延长线上取一点E，连接，使．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
19．【问题提出】（1）如图1，在扇形中，点M为扇形所在圆的圆心，点P为上一动点，连接，与相交于点Q，若，，求的最大值；
【问题解决】（2）如图2，某公园有一圆形水池，是水池上的两座长度相等的小桥，且，现规划人员计划再修建两座小桥和，桥的入口C在水池边上（即点C在上），为使游客观赏效果最佳，要求四座桥围成的四边形面积最大，已知，修建小桥的成本为100元，当四边形的面积最大时，求修建和两座小桥的总成本．
20．求证：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
已知：如图，在中，是非直径的弦，是直径，且平分，并交于点，
求证：，，．
21．如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点，连接，．若，，求的面积．
22．如图，在正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，请在网格图中进行下列操作：
(1)经过三点的圆弧所在圆的圆心坐标为______；
(2)的半径为______（结果保留根号）．
23．如图，是的直径，D、E为上位于异侧的两点，连接并延长至点C，使得，连接交于点F，连接
(1)证明：；
(2)若，求的度数；
(3)设E是半圆的中点，交于点G，若，，求的长．
24．以为直径作三角形的外接圆，的角平分线交圆O于点，连接．
(1)若，求的度数．
(2)若，求与的长．
(3)猜想与的数量关系，并说明理由．(共6张PPT)
浙教版 九年级上册
第3章 圆的基本性质 单元测试·巩固卷
试卷分析
一、试题难度
二、知识点分布
一、单选题 1 0.94 找旋转中心、旋转角、对应点；根据旋转的性质说明线段或角相等
2 0.94 三角形外接圆的概念辨析
3 0.85 利用弧、弦、圆心角的关系求解；判断确定圆的条件；垂径定理的推论
4 0.75 半圆（直径）所对的圆周角是直角；求扇形面积；三线合一
5 0.65 已知圆内接四边形求角度
6 0.65 角平分线的性质定理；已知圆内接四边形求角度；全等的性质和HL综合（HL）；圆周角定理
7 0.64 利用弧、弦、圆心角的关系求解；半圆（直径）所对的圆周角是直角；用勾股定理解三角形
8 0.65 垂径定理的推论；利用弧、弦、圆心角的关系求解；等边对等角
9 0.64 用勾股定理解三角形；利用垂径定理求值；垂线段最短
10 0.4 根据矩形的性质与判定求面积；求正多边形的中心角；全等的性质和SAS综合（SAS）；用勾股定理解三角形
二、知识点分布
二、填空题 11 0.85 用勾股定理解三角形；利用垂径定理求值
12 0.75 正多边形的内角问题；正多边形和圆的综合；三角形内角和定理的应用；等边对等角
13 0.65 圆周角定理；三角形的外角的定义及性质；利用弧、弦、圆心角的关系求解
14 0.65 利用弧、弦、圆心角的关系求解
15 0.64 垂径定理的推论；与三角形中位线有关的求解问题
16 0.4 利用平行四边形的性质求解；已知圆内接四边形求角度；圆周角定理
二、知识点分布
三、解答题 17 0.75 等腰三角形的性质和判定；根据正方形的性质求线段长；正多边形和圆的综合
18 0.75 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；已知圆内接四边形求角度；用勾股定理解三角形；圆周角定理
19 0.65 等边三角形的判定和性质；垂径定理的实际应用；用勾股定理解三角形；90度的圆周角所对的弦是直径
20 0.65 垂径定理的推论；利用弧、弦、圆心角的关系求解
21 0.64 用勾股定理解三角形；利用垂径定理求值
22 0.64 勾股定理与网格问题；垂径定理的推论；写出直角坐标系中点的坐标
23 0.4 半圆（直径）所对的圆周角是直角；正多边形和圆的综合；用勾股定理解三角形；圆周角定理
24 0.15 圆周角定理；半圆（直径）所对的圆周角是直角；角平分线的有关计算；用勾股定理解三角形2025—2026学年九年级数学上学期单元测试卷
第3章 圆的基本性质 单元测试·巩固卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A B A C C B A C
1．B
本题考查旋转的性质，根据旋转的性质，对选项逐一进行分析即可得出答案．
解：A：因为绕着点O旋转得到，所以旋转中心是点O，该选项正确，不符合题意；
B：旋转角是对应点与旋转中心所连线段的夹角，旋转到，旋转角应该是或，而不是，该选项错误，符合题意；
C：由于旋转不改变图形的大小和形状，与是对应边，所以，该选项正确，不符合题意；
D：旋转前后的图形全等，所以，该选项正确，不符合题意；
故选：B．
2．B
本题主要考查了三角形的外心的概念．三角形的外心是三角形的三条垂直平分线的交点；三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点．根据三角形的外心的概念作出回答，结合选项得出结果．
解：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心．
故选：B．
3．A
本题考查了圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、圆周角定理等有关圆的知识，牢记这些定理是解决本题的关键．
根据垂径定理判断选项A、B；根据圆心角、弧、弦的关系判断选项C；根据不在同一条直线上的三点确定一个圆判断选项D．
解：A、垂直于弦的直径平分弦，故本选项正确；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项错误；
C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误；
D、不在同一条直线上的三点确定一个圆，故本选项错误；
故选：A．
4．B
本题考查了圆周角定理及其推论、等腰三角形的判定和性质以及扇形的面积公式，证明是等腰三角形，求出的度数是解题的关键．
首先证明是等腰三角形，求出，然后根据圆周角定理求出，再利用扇形的面积公式计算即可．
解：连接，如图所示，
是直径，
，即，
为的中线，
是等腰三角形，
，
，
，
半径为2，
，
故选：B．
5．A
本题考查了圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，先由圆内接四边形的性质得，再在中，由三角形内角和定理求即可．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
6．C
本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，三角形的外角的性质，角平分线的性质及全等三角形的判定与性质．由A、B、C、D四点共圆，可得，由同弧所对的圆周角相等得到圆周角相等，结合外角平分线可得，可得；通过证明和，推出和，通过边的关系可以判断②③④．
解：∵A、B、C、D四点共圆，
∴，
∵外角平分线交于，
∴，
又∵，
∴，
∴，故①说法正确；
∵是平分线，，，
∴，
∴，
∴，
∴，故②说法错误；
∵，，
∴，
∴，
∴
，故③说法正确；
，故④说法正确；
故选：C．
7．C
本题考查圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，延长交于E，作交的延长线于F，连接，证明是等腰直角三角形，即可推出，，再利用勾股定理求出，即可解决问题．
解：如图，延长交于E，作交的延长线于F，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在中，，
∵是等腰直角三角形，
∴．
故选：C．
8．B
本题考查了垂径定理,圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理,等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．
先利用垂径定理的推论得到，再根据角平分线的定义得到，则根据圆周角定理得到，然后根据等腰三角形的性质得到的度数．
解：点是弧的中点，
，
，
平分，
，
，
，
．
故选：B．
9．A
先过点作于点，连接，由垂径定理求出，再根据勾股定理求得，进而可求出的取值范围．
解：过点作于点，连接，
依题意得：，，
，
，
，
，
四个选项中只有符合题意．
故选：．
本题考查的知识点是垂径定理、勾股定理、垂线段最短，解题关键是作出辅助线，构造出直角三角形．
10．C
设正八边形的中心为点，连接、、、、、、，过点作于点，过点作于点，设正八边形的边长为，，根据正八边形的性质得，，点、、共线，且点是的中点，证明得，证明得，推出，可判断①；推出点与点重合，得，可得的度数，可判断③；在中，，得，根据等积法得，继而得到，，得，求解后可判断②；分别求出正八边形和四边形的面积，可判断④．
解：设正八边形的中心为点，连接、、、、、、，过点作于点，过点作于点，设正八边形的边长为，，
∵八边形是正八边形，
∴，
每个内角的度数是：，中心角的度数是：，
∴，
，
∴，
∴点、、共线，且点是的中点，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在四边形中，，
按同样的方法得，
∴，
在中，，
∴，故结论①正确；
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴点是、的中点，
∴点与点重合，
∴，
∴，故结论③正确；
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：或，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故结论②错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是等腰梯形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故结论④正确；
∴正确结论的序号是①③④．
故选：C．
本题考查正多边形的性质，正多边形的内角、中心角，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，多边形的面积和梯形的面积等知识点．解题的关键是掌握正多边形的性质．
11．8
本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识点，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键．
根据垂径定理可得，再由勾股定理求出的长，即可求解．
解：∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：8
12．
本题考查了圆与正多边形，正多边形的内角问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握相关计算公式是解题的关键．
先根据正五边形的内角公式求出，再由等边对等角结合三角形内角和定理求出，最后由即可求解．
解：∵正五边形内接于，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理并结合扇形内点的位置分析角的取值范围．先根据圆周角定理，结合点在扇形内的位置，确定的取值范围．
解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
当点在优弧上时，；
当点在上时，,
若点接近点，则的度数接近，即的度数接近，
所以的取值范围是．
故答案为：．
14．/42度
本题主要考查了圆心角和圆周角的关系，圆周角和弧的关系等知识点，解决此题的关键是合理的正确的计算，先根据等弧所对的圆周角相等得到，再求解即可得到答案；
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴,
故答案为：
15．
本题考查了垂径定理的推论、三角形中位线等知识点，由题意得点是的中点，推出是的中位线，得出当最大时，线段取得最大，此时为的直径；即可求解；
解：∵为的弦，且，
∴点是的中点，
∵点D是的中点，
∴是的中位线，
∴，即当最大时，线段取得最大，此时为的直径；
如图所示：
∵点M坐标为，点A坐标为，垂直平分，
∴；
∵点M是的中点，
∴；
∵点D是的中点，，；
∴，
故答案为：
16．/60度
本题重点考查圆内接四边形的性质和圆周角定理的综合应用，通过平行四边形性质将圆心角与圆周角关联并建立方程是解题的关键．
利用圆内接四边形的性质和圆周角定理列方程求解．
解：设，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
即，
解得，
∴，
故答案为：．
17．(1)见解析
(2)
（1）欲证明，只要证明即可．
（2）连接，过点D作交的延长线于F．证明，推出，得到，推出，再利用等腰三角形的性质构建方程求出，即可解决问题．
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∴．
（2）解：连接，过点D作交的延长线于F．
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
本题考查正多边形与圆，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
18．(1)见解析
(2)
本题考查圆周角定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，掌握圆周角定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系及全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）连接，根据圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理证明，根据圆的内接四边形的性质得，根据平角的定义得，从而得，由等腰三角形的性质得，证明，根据全等三角形的判定与性质得；
（2）由（1）求出，在中利用勾股定理求出即可．
（1）证明：如图，连接．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
在中利用勾股定理，得．
19．（1）4；（2）元
（1）由知，当最小时， 最大，求出此时的，即可求解；
（2）当经过圆心时，四边形的面积最大，求出此时的和即可解答；
本题考查了垂径定理定理，勾股定理，含角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
解：（1）如图1，过点M作交于点，交于，
∵，是半径，为定值，
∴当有最小值时，有最大值，
∴当时，最小，此时最大，
即当点P运动到时，有最大值，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为4．
（2）如图2，连接，连接并延长交于点，连接，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴的面积为定值，且，
∴当点C到距离最大时，的面积最大，即此时四边形的面积最大，
∴当经过圆心O（点C在的位置）时，四边形的面积最大，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得，
∴，
解得，
∴修建和两座小桥的总成本为：（元）．
20．见解析
本题主要考查了垂径定理．连接、，因为是直径，且平分，根据垂径定理可知，根据垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧，即可证明结论成立．
证明：如图所示，连接、，
， 平分，
，
，
是的直径，
，．
21．
本题考查的知识点是垂径定理的推论、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理．
先根据垂径定理的推论得到，再由线段中点的定义得到，再根据勾股定理求出圆的半径，则的面积即可求解．
解：设的半径是，
点是的中点，过圆心，
，
，，
，，
，
，
，
，
．
22．(1)
(2)
本题考查了垂径定理的推论，勾股定理，根据垂径定理的推论找出圆心是解题的关键；
（1）根据垂径定理的推论可知，的垂直平分线的交点即为圆心D，进而求出坐标；
（2）利用勾股定理求出即为所求．
（1）解：如图，D为所求；，
（2）解：连接，
在中，，
的半径为．
23．(1)见解析；
(2)；
(3)；
（1）证明是线段的垂直平分线，进而即可得出结论；
（2）根据圆周角定理得，根据（1）的结论得，再根据四边形是的内接四边形得，然后根据三角形的外角性质可得出的度数；
（3）过点作于点，于点，证明四边形是正方形，设，证明得，则，进而得，再根据三角形的面积求出，进而根据勾股定理即可求出的长．
（1）解：∵是的直径，
∴
即，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴ ，
∴；
（3）解：如图；过点作于点，于点，
则，
∵ ，
∴四边形是矩形，
∵点是半圆的中点，
∴，
∴，
∴是的平分线，
∵，，
∴，
∴矩形是正方形，
设，
∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
在中，，，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴在中，由勾股定理得：.
本题考查垂直平分线的判定及性质，圆周角定理，内接四边形的性质，勾股定理，正方形的判定及性质，角平分线的性质，综合运用相关知识是解题的关键．
24．(1)
(2)的长为，的长为．
(3)，理由见解析
（1）由是直径可得，进而求得，由可得即可解答；
（2）如图1，连接，作于E，则，由，可得、，由勾股定理得，，可求，则，由勾股定理得，，由可得，由勾股定理得，可求，由勾股定理得，，根据求解即可；
（3）如图2，连接，作于E，同理（2），，则，，设，则，由勾股定理得，，，同理（2），，由勾股定理得，，由，可得．
（1）解： ∵是直径，
∴
∵，
∴
∵
∴．
（2）解：如图1，连接，作于E，
∵平分，
∴，
∴，
∴，，
由勾股定理得，，解得：，
∴，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
由勾股定理得，，解得：，
由勾股定理得，，
∴，
∴的长为，的长为．
（3）解：，理由如下；
如图2，连接，作于E，
同理（2），，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，，
同理（2），，
由勾股定理得，，
∵，
∴．
本题主要了直径所对的圆周角为直角、弧所对的圆周角相等、三角形内角和定理、勾股定理，等腰三角形的判定与性质、平分线等知识点熟练掌握直径所对的圆周角为直角、弧所对的圆周角相等是解题的关键．
