《代数式》精选压轴题（二）—2025年浙江省七（上）数学期中复习
一、单选题
1．（2023八上·秀英月考）设 ，，．若，则的值是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2024七上·拱墅期中）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024七上·义乌期中）某校校园里的一条小路使用正六边形、正方形、正三角形三种地砖按如图方式铺设．若这条小路共用了50块正六边形地砖，则正方形地砖的数量为（ ）．
A．300块 B．301块 C．250块 D．251块
4．（2024七上·龙湾期中）某校兴趣小组的同学在做一项科学实验时，让小车静止从光滑的斜面滑下，测得小车的滑动距离（单位：）与滑动时间（单位：s）如下表，若记秒与秒所对应的滑动距离分别为与，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023七上·翠屏期中）图1是长为，宽为的小长方形纸片将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，，若，且为定值，则，满足的关系是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024七下·永兴开学考）如图，在两个完全相同的大长方形中各放入五个完全一样的白色小长方形，得到图（1）与图（2）．若，则图（1）与图（2）阴影部分周长的差是（ ）
A．m B． C． D．
7．（2024七下·杭州期中）在矩形内，将一张边长为和两张边长为的正方形纸片按图1，图2两种方式放留，矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若要知道图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周长的差，只要测量图中哪条线段的长（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2024七上·义乌月考）如图按下面的程序计算，如输入的数为40，则输出的结果为122，要使输出的结果为32，则输入的正数的所有值是 ．
9．（2024七上·拱墅期中）某人买了甲、乙两个品牌的衬衣共m件，其中甲品牌衬衣比乙品牌衬衣多2件．已知甲品牌衬衣的单价为80元，乙品牌衬衣的单价为60元，则买这m件衬衣共需要付款 元．
10．（2024七上·义乌期中）把自然数按一定的规律排成如图所示图形，若规定图形中第4行的第3个数“8”记为，依次类推，则记为的数是 ．
11．（2025七上·宁海期中）开始输入的值为1，则第1次输出的结果为3，第2次输出的结果为2，…．请你探索第2024次输出结果为 ．
12．（2024七上·余姚期中）小红房间窗户的装饰物是由两个半径相同的四分之一圆组成的（如图1所示），小兰房间窗户的装饰物是由半径相同的两个四分之一圆和一个半圆组成的（如图2所示），小明房间窗户的装饰物是由半径相同的两个四分之一圆和两个半圆组成的（如图3所示）．请代数式表示出第n个装饰物的面积为 ．
13．（2024七上·长兴期中）爱动脑筋的小明同学设计了如图所示的“幻方”游戏图，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使得横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都相等，他已经将、5、7、这四个数填入了圆圈，则图中的值为 ．
14．（2024七上·金东期中）如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的 ．
15．（2024七上·杭州期中）某市用水进行分段计费，每户每月用水量在规定吨数以下的收费标准相同；规定吨数以上的超过部分收费标准相同，以下是某户月份用水量和交费情况：
月份 1 2 3 4
用水量吨 4
价格元 8
那么每月用水量规定的吨数是 吨，若用水吨（大于规定吨数），则应交水费 元．
16．（2024七上·萧山期中）观察多项式的构成规律，它的第10项是 ；第n（n为正整数）项是 ．
17．（2024七上·江津期中）定义：对任意一个两位数m，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“互异数”．将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数减去原两位数后的结果与9的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的差为，与9的商为，所以．根据以上定义，请计算： ；若“互异数”m的个位数字是a，十位数字是b，则 （用含a、b的代数式表示）．
18．（2022七上·宁波期中）如图，用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形，两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样，若（2）图的长方形面积时，则（1）图中长方形的面积为 ．
19．（2024七上·西湖期中）将9个代数式填入九宫格的方格中，使得九宫格的每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个代数式的和都相等．已知九宫格中的部分代数式如图所示，则 ； ．（用含有x的代数式表示）
M
x
N
20．（2024七上·新昌期中）如图所示，1925年数学家莫伦发现的世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成10个大小不同的正方形，图中的数字为正方形编号，其中1，2的边长分别记作x，y．请你计算：
（1）第5个正方形的边长是 ；（用含x，y的代数式表示）
（2）完美长方形的长与宽之比是 ．
21．（2024七上·西湖期中）如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，．则的值为 ，，为正整数，则的值为 ．
22．（2024七上·上城期中）下面每个大正方形中的五个数之间都有相同的规律，根据这种规律填空：
（1）第4个图中，中间数字 ；
（2）第n个图中，五个数字的和为 （用含n的代数式表示）．
三、解答题
23．（2025七上·宁海期中）对于实数a，b，n，d，若，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如，则2和3关于1的“相对关系值”为3．
（1）①和6关于1的“相对关系值”是______；
②求和关于2的“相对关系值”是______；（保留根号）
（2）若a和3关于1的“相对关系值”为7，求a的值；
（3）若和关于1的“相对关系值”为1，求的最大值．
24．（2024七上·鄞州期中）某人去水果批发市场采购苹果，他看中了两家苹果．这两家苹果品质一样，零售价都为6元/千克，批发价各不相同．
A家规定：批发数量不超过1000千克，按全部零售价的92%优惠；批发数量超过1000千克不超过2000千克，按全部零售价的90%优惠；超过2000千克的按全部零售价的88%优惠．
B家的规定如下表：
数量范围（千克） 不超过500部分 超过500，但不超过1500的部分 超过1500，但不超过2500的部分 超过2500的部分
价格（元） 售价的95% 零售价的85% 零售价的75% 零售价的70%
【表格说明：批发价格分段计算，如：某人批发苹果2100千克，则总费用
（1）如果他批发600千克苹果，请计算出他在家、B家批发各需要多少元？
（2）如果他批发千克苹果，则他在家批发需要________元，在家批发需要________元（用含的代数式表示）；
（3）现在他要批发10956元苹果，应该选择哪一家水果店？请说明理由．
25．（2024七上·拱墅期中）某商场在国庆期间开展双重特惠：一、商场内所有商品按标价的出售；二、满减活动：按消费金额（即标价的）再进行满减．
消费金额 满元 满元 满元 满元
满减金额 元 元 元 元
例如：A顾客购买一件标价元的商品，则实付元，共优惠了元．
（1）若B顾客购买一件标价为元的商品，则可优惠多少钱？
（2）若C顾客购买一件标价为x元（）的商品，那么该顾客可以优惠多少钱？（用含x的代数式表示）
（3）若D顾客要购买三件商品，标价分别是：a元（），元，元，如何购买最优惠，最多能优惠多少钱？（用含a的代数式表示）
四、阅读理解
26．（2024七上·柯桥期中）原题呈现：代数式：的值为9．则代数式的值为．
【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：（∵表示“因为”，∴表示“所以”）
∵，∴．
原式．
∴代数式的值为9．
（1）【方法运用】若，则 ．
（2）若代数式的值为15，求代数式的值．
（3）【拓展应用】若，，测代数式的值为 ．
27．（2023七下·自流井月考）【阅读】求值．
解：设，
将等式①的两边同时乘以2得：，
由得：．
即：．
（1）【运用】仿照此法计算：；
（2）【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形，依次操作2022次，依次得到小正方形、、、…、，完成下列问题：
①小正方形的面积等于__________；
②求正方形、、、…、的面积和．
五、实践探究题
28．（2024七上·浙江期中）[定义]如果一个三位数满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，称这个三位数为“异数”。
[发现]若n是一个“异数”，交换百位和个位上的数字后，用较大数与较小数作差后除以99，商必为正整数。记这个整数为F（n）。
[例如]若n＝256，交换百位数字与个位数字得到652，652＞256，则652-256＝396，396÷99＝4，所以F（256）＝4。
解决问题：
（1）求F（129）的值；
（2）请你用学过的整式的加减知识说明上述发现是正确的；
小明同学说理过程如下：设“异数”n的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为 c，则n＝100a+10b+c。（请你继续完成小明同学的说理过程）
（3）若s，t都是“异数”，s＝850+x，t＝170+y（其中x，y均为小于10的正整数），若 恒为正整数，求F（t）-F（s）的最大值，并写出此时x，y的值。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，，，
，，
，
，
，解得：，
，
故选：C．
【分析】先利用完全平方公式得出，，再利用已知条件得到，展开后整体代入求值．
2．【答案】D
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：令，则，
令，则，
∴①，
令，则，
∴②，
①+②，得，
∴，
故答案为：D．
【分析】用取特值法，分别令等式中的x=0，x=1与x=-1可求出a1+a2+a3+a4+a5+a6=26①，-a1+a2-a3+a4-a5+a6=0②，然后①+②后，整理即可求出答案．
3．【答案】D
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：设这条小路共用了块正六边形地砖，
当，正方形地砖为块，
当，正方形地砖为块，
当，正方形地砖为块，
，
铺设这条小路共用去a块六边形地砖，则正方形地砖的数量为块，
∴当时，（块）.
故答案为：D．
【分析】观察图形发现每个正六边形的每条边都与一个正方形相连， 这意味着每块正六边形地砖周围有6块正方形地砖（因为正六边形有6条边），但每两块相邻的正六边形共享同一块正方形地砖，故每增加一个正六边形就增加5个正方形，故铺设这条小路共用去a块六边形地砖，则正方形地砖的数量为(5a+1)块，然后将a=50代入计算可得答案.
4．【答案】A
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由表格可得，秒与秒所对应的滑动距离的差为，
秒与秒所对应的滑动距离的差为，
秒与秒所对应的滑动距离的差为，
秒与秒所对应的滑动距离的差为，
秒与秒所对应的滑动距离的差应为，
秒与秒所对应的滑动距离的差应为，
秒与秒所对应的滑动距离的差应为，
秒与秒所对应的滑动距离的差应为，
，
故选：A．
【分析】本题是一道跨学科的数字问题，解题关键是读懂题意，找出规律解答．由于我们不知道物理公式，所以只能根据表格数据一一列举，依次类推，找出规律，即可得出结果．
5．【答案】A
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：设BC=n，
则S1=a（n-4b），S2=2b（n-a），
∴S=S1-S2=a（n-4b）-2b（n-a）=（a-2b）n-2ab，
∵当BC的长度变化时，S的值不变，
∴S的取值与n无关，
∴a-2b=0，
即a=2b．
故选：A．
【分析】设BC=n，先算求出阴影的面积分别为S1=a（n-4b），S2=2b（n-a），即可得出面积的差为S=S1-S2=（a-2b）n-2ab，因为S的取值与n无关，即a-2b=0，即可得出答案．
6．【答案】C
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：设白色小长方形的宽为，长为，大长方形的宽为，
则由图（1）得；由图（2）得，；
，
，
∴，.
∴图（1）中阴影部分的周长为：，
图（2）中阴影部分的周长为：，
阴影部分的周长之差为：，
故答案为：C．
【分析】设小长方形的宽为，长为，大长方形的宽为，根据图形分别用m表示出、、，然后分别表示出两个图形中阴影部分的周长，再作差即可．
7．【答案】A
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：图1中阴影部分的周长，
图2中阴影部分的周长，
周长差．
故若要知道周长差，只要测量图中线段的长．
故答案为：A．
【分析】根据平移和周长的定义，利用整式的加减求出周长差=2AB即可解题．
8．【答案】10，，
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：依题可设，
令y=32，可得3x+2=32，
解得：x=10，
即输入x=10时，输出结果为32；
令y=10，可得3x+2=10，
解得：，
即输入时，经过一次返回，可得输出结果为32；
令，可得，
解得：，
即输入时，经过两次返回，可得输出结果为32；
令，可得，
解得：，不符合题意，舍去．
满足条件的的不同值分别为10，，，
故答案为：10，，．
【分析】令，把y=32代入，可得x=10；此时y=32>30，会输出结果；再令y=10，求出对应的x的值；再把x的值作为y值代入求对应的x值；直到求的x值小于0结束.
9．【答案】
【知识点】用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：买这m件衬衣需付款：（元）．
故答案为：．
【分析】由“ 甲、乙两个品牌的衬衣共m件，其中甲品牌衬衣比乙品牌衬衣多2件 ”得乙品牌的衣服为件，则甲品牌的衣服为件，根据单价乘以数量等于总价分别求出购买甲、乙品牌衬衫的费用，最后再求和即可.
10．【答案】52
【知识点】探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：第一行有一个数：0，
第二行有两个数：1、2，
第三行有三个数：3、4、5，
第四行有四个数：6、7、8、9，
……
第n行有n个数，
∴前9行数的总个数为1+2+3+4+……+9=个数，
∴第9行的最后一个数是44，
∴第10行的第一个数是45，
∴ 第10行第8个数就是45+7=52 .
故答案为：52．
【分析】通过观察发现每一行的数字数量比上一行多一个， 且第n行有n个数，于是求出前9行数的个数和得45，这意味着第9行的最后一个数是44，所以第10行的第一个数是45，进而可得第10行第8个数就是45+7=52 .
11．【答案】2
【知识点】有理数除法的实际应用；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：当开始输入的值为1时，第1次输出的结果为3，
第2次输出的结果为2，
第3次输出的结果为1，
第4次输出的结果为3，…
故数据每3次循环一轮，
，
第2024次输出的结果和第2次相同为2．
故答案为：2．
【分析】
先分别求出前4次的输出结果，可发现每3次一个循环，则用2024除以3取余数即可．
12．【答案】
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；用代数式表示实际问题中的数量关系；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】由题意知：第1个图中，装饰物的面积为：
第2个图中，装饰物的面积为：
第3个图中，装饰物的面积为：
第个装饰物由个半圆和 2 个四分之一圆组成，即合起来是个半圆组成，可得半径为，
所以，装饰物的面积为：（为正整数），
故答案为：．
【分析】
先根据题意找出装饰物的变化规律，第n个装饰物由个半圆和2个四分之一圆组成，进一步求解即可．
13．【答案】或
【知识点】有理数的加法法则；求代数式的值-直接代入求值；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解∶这8个数字的和是，
横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都等于，
、根据题意有∶，解得；
根据内圈正方形的4个数字之和等于，得内圈右边的圆圈应填3，则或．
因此，或．
故答案为：或．
【分析】先求出这8个数字的和是，所以横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都等于，利用竖的数字之和为-2可求出b的值，由此可求出内圈右边的圆圈的数字，再求出a的值，然后求出a+b的值即可.
14．【答案】
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：设第一个图形中下底面积为．
倒立放置时，空余部分的体积为，
正立放置时，有墨水部分的体积是，
因此墨水的体积约占玻璃瓶容积的，
故答案为：．
【分析】设第一个图形中下底面积为．观察图形，第一个图形中下底面积为未知数，用第一个图可得墨水的体积，用第二个图可得空余部分的体积，于是可得玻璃瓶的容积，然后用求得的墨水的体积除以玻璃瓶容积即可求解．
15．【答案】11；（3a﹣11）
【知识点】整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：从表中数据可以看出规定吨数为不超过11吨，
故答案为：11；
11吨以内，每吨：（元，
超过11吨的部分每吨：（元．
用水吨大于规定吨数），则应交水费：
元，
故答案为：．
【分析】
观察表中数据可得从第3月份开始，用水的价格发生变化，即当时每吨水2元，当时，超出部分每吨3元，应付费，最后利用整式的混合运算整理即可．
16．【答案】；
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：观察多项式可知，第10项为；
第n项是．
故答案为：，．
【分析】
本题主要考查了多项式中的规律探究与总结，通过观察多项式的构成，可以发现其项数、系数和指数之间存在特定关系：多项式是按照x的升幂排列，系数是序号数的2倍，且序号数为奇数时为正，序号数为偶数时为负，根据这一模式即可推导出第n项的通项公式，并代入具体项数求解．
17．【答案】；
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：根据题意，得，
∵“互异数”的个位数字是，十位数字是，
∴，
故答案为：，．
【分析】根据“互异数”的定义以及题干中例子的解题方法可求出的值，由新两位数减去原两位数后的结果与9的商记为以及“互异数”的定义即可列式求出的值.
18．【答案】
【知识点】整式的加减运算；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设图（1）中长方形的长为，宽为，图（2）中长方形的长为，宽为.
则观察图形知：
∵两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样，
∴，即，
∴，
∵，
∴
故答案是：．
【分析】
为方便计算，可分别设图（1）中长方形的长为，宽为，图（2）中长方形的宽为，长为，再结合图形可得AD长相等，即有；再根据阴影部分的周长相等得，则有，最后根据长方形面积公式计算即可．
19．【答案】 ；
【知识点】整式的加减运算；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：设最中间方格的代数式为，
根据题意，得
∴，
根据题意，得，
∴，
∴第一列中间的代数式为：，
∵第一列的三个数之和=第三行的三个数之和，
∴，
∴，
故答案为：，．
【分析】设最中间方格的代数式为，然后根据“九宫格的每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个代数式的和都相等”求出的值以及用含的代数式表示出，从而求出第一列中间的代数式，进而根据“第一列的三个数之和=第三行的三个数之和”求出的值.
20．【答案】；
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：（1）∵1，2的边长分别记作x，y．
∴第个正方形的边长为，第个正方形的边长为，
∴第5个正方形的边长是；
故答案为：；
（2）第6个正方形的边长是，
第7个正方形的边长是，
第10正方形的边长是，
第8个正方形的边长是，
第9个正方形的边长是，
∴完美长方形的长为，宽为：，
∴完美长方形的长与宽之比是，
故答案为：．
【分析】
（1）根据图形的构成并结合整式的加减法则计算可求解；
（2）由题意，分别表示出完美长方形的长与宽，然后求比即可求解．
21．【答案】；4047
【知识点】一元一次方程的其他应用；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：由图可得，，，……，∴，
∴
；
∴
∴
∴，
解得，
故答案为：；4047．
【分析】根据图形得到图形的变化规律：，根据规律代入将方程变形为，带入解方程即可．
22．【答案】-29；
【知识点】用代数式表示数值变化规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：（1）由所给图形可知，
图形中左上角的数字依次为1，5，9，…，
所以第n个图中左上角的数字可表示为：；
图形中左下角的数字依次为：4，8，12，…，
所以第n个图中左下角的数字可表示为：；
图形中右上角的数字依次为：2，6，10，…，
所以第n个图中右上角的数字可表示为：；
图形中右下角的数字依次为：3，7，11，…，
所以第n个图中右下角的数字可表示为：；
因为，
所以中间的数字可由右上角和左下角数字的积减去左上角和右下角数字的积求得．
当时，
，
则，
所以．
故答案为：．
（2）由题知，
图形中的中间数字依次为：，
所以第n个图中中间数字可表示为：．
所以第n个图中，五个数字的和为：．
故答案为：．
【分析】（1）根据所给图形，发现图形中五个数的变化规律，据此可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
23．【答案】（1）①10；
②
（2）解：根据题意得，，即
∴，
解得或．
（3）解：由题意得：，
当时，，则；
当时，，则，
∴；
当时，，则，
∴；
当时，，则，
∴；
综上：的最大值为3．
【知识点】整式的加减运算；解含绝对值符号的一元一次方程；绝对值的非负性；实数的绝对值；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】
（1）
①根据题意得，．
∴和6关于2的“相对关系值”为10；
故答案为：10
②，
故答案为：
【分析】
（1）根据“相对关系值”的概念和绝对值的概念列式计算即可；
（2）根据“相对关系值”的概念列出方程并求解即可；
（3）根据“相对关系值”的概念列出方程，再利用绝对值的概念分类讨论并求解，最后再对结果进行比较即可．
（1）①根据题意得，．
∴和6关于2的“相对关系值”为10；
故答案为：10
②，
故答案为：
（2）根据题意得，，即
∴，
解得或．
（3）解：由题意得：，分四种情况：
当时，，则；
当时，，则，
∴；
当时，，则，
∴；
当时，，则，
∴；
综上：的最大值为3．
24．【答案】（1）解：如果在家批发，则（元）；
如果在家批发，则
（元）．
答：在家批发需要3312元，在家批发需要3360元
（2），
（3）解：设批发的苹果数量是x千克。
如果选择在A家批发，根据条件可以发现，批发数量不超过1000千克，对应的批发总价不会超过1000×6×92%=5520元；批发数量超过1000千克不超过2000千克，对应的批发总价不会超过2000×6×90%=10800元；因此批发的苹果数量在2000千克以上。列式为5.28x=10956，解得x=2075；
如果选择在B家批发，根据条件可以发现，批发数量不超过500千克，对应的批发总价不会超过500×6×95%=2850元；批发数量超过500千克不超过1500千克，对应的批发总价不会超过元 ；批发数量超过1500千克不超过2500千克，对应的批发总价不会超过元，因此批发的苹果数量在1500千克到2000千克之间。列式为4.5x+1200=10956，解得x=2168；
2168＞2075，即花同样多的钱，可以在B家水果店买到更多的苹果。
∴选择家水果店
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【解答】（2）解：如果他批发千克苹果，
在家批发需要（元）；
在家批发需要
=4.5x+1200（元）．
∴他在家批发需要元，在家批发需要元．
故答案为：，。
【分析】（1）题家批发需要费用公式为：质量单价；家批发需要费用公式为：单价单价；把相关数值代入求解即可；
（2）把代入（1）得到的式子求值即可；
（3）先分析10956元的批发总价对应的批发苹果数量x是在什么范围，分析完发现是在2000千克到2500千克之间，这时只要把10956元代入（2）的代数式得出一元一次方程求解，最后比较哪家数量多哪家就划算。
（1）解：如果在家批发，则
（元；
如果在家批发，则
（元．
答：在家批发需要3312元，在家批发需要3360元．
故答案为：3312，3360；
（2）解：如果他批发千克苹果，
在家批发需要（元；
在家批发需要
（元．
故他在家批发需要元，在家批发需要元．
故答案为：，；
（3）解：要批发10956元苹果，在A、B两家水果店购买的苹果数量大于2000千克，小于2500千克；
选择家水果店，理由如下：
在家批发，
，
在家批发，
．
所以选择家水果店．
25．【答案】（1）解：实付（元），
（元）．
答：可优惠元．
（2）解：（元），
当时，即，实付（元），
优惠了（元）；
当时，即，实付（元），
优惠了（元）．
（3）解：，
，
另两件商品标价分别为元，元，
（元），（元）．
（方案一）三件商品分别买：
第一件商品实付（元），
第二件商品实付（元），
第三件商品实付（元），
∴总的实付（元），
∴总的优惠（元）；
（方案二）前两件商品一起买，第三件单独买：
∵，
∴前两件实付（元），
∵第三件实付（元），
∴总的实付（元），
∴总的优惠（元）；
（方案三）第一件单独买，后两件商品一起买：
第一件商品实付（元），
后两件商品实付（元），
∴总的实付（元），
∴总的优惠（元）；
（方案四）三件商品一起买：
∵，
∴实付（元），
∴优惠（元）．
∵，
∴第一件单独买，后两件商品一起买最优惠，最多能优惠元．
【知识点】整式的加减运算；有理数混合运算的实际应用；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【分析】（1）用标价乘以折扣率减去享受满减优惠的金额计算出实付金额，再根据“优惠标价实付”计算即可；
（2）根首先用1500除以折扣率算出消费金额满1500元时的标价，然后分别表示出当和时实付金额，再根据“优惠标价实付”计算即可；
（3）分类讨论：①三件商品分别买，②前两件商品一起买、第三件单独买，③第一件单独买、后两件商品一起买，④三件商品一起买，四种购买方案的优惠并比较大小即可得出结论．
（1）实付（元），
（元）．
可优惠元．
（2）（元），
当时，即，实付（元），
优惠了（元）；
当时，即，实付（元），
优惠了（元）．
（3），
，
令两件商品标价分别为元，元，
（元），（元）．
（方案一）三件商品分别买：
第一件商品实付（元），
第二件商品实付（元），
第三件商品实付（元），
∴总的实付（元），
∴总的优惠（元）；
（方案二）前两件商品一起买，第三件单独买：
∵，
∴前两件实付（元），
∵第三件实付（元），
∴总的实付（元），
∴总的优惠（元）；
（方案三）第一件单独买，后两件商品一起买：
第一件商品实付（元），
后两件商品实付（元），
∴总的实付（元），
∴总的优惠（元）；
（方案四）三件商品一起买：
∵，
∴实付（元），
∴优惠（元）．
∵，
∴第一件单独买，后两件商品一起买最优惠，最多能优惠元．
26．【答案】（1）1
（2）解：∵代数式的值为15，
∴，
∴，
∴；
（3）-4
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】(1) 解：由 可得
∴
故答案为：1.
（3）解：∵，，
∴
．
故答案为：-4.
【分析】(1)先由 可得 然后整体代入计算即可；
(2)先由： 可得 由 可得 然后整体代入计算即可；
(3)先由： 可得 然后把可得 化成 然后整体代入计算即可.
27．【答案】（1）解：设，
，得：，
，得：，
∴；
（2）①；
解：②设，
，
得：，
得：，
∴，
，
∴．
【知识点】探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：（2）①由图形可知，
，
，
，
……，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据题目中的信息可以解答本题；
（2）①，，，……，可得答案；
②根据题目中的信息可以解答本题．
（1）设，
，得：，
，得：，
则；
（2）①由图形可知，
，
，
，
……，
∴，
故答案为：；
②设，
，
得：，
得：，
∴，
，
即．
28．【答案】（1）解：921-129=792，792÷99=8
∴F(129)=8
（2）解：∵n=100a+10b+c，∴交换个位与百位后得数为：100c+10b+a
∵F(n)=|100a+10b+c-100c-10b-a|=99|a-c|
∵a，c均为整数
∴F(n)=99|a-c|÷99=|a-c|必为整数。
（3）解：∵s=850+x，t=170+y
∴F(s)=|x-8|，F(t)=|y-1|
恒为正整数
， 即 或 9
当 取最大值时， 取最大值
，即y=9或-7；
为小于 10 的正整数，
此时， 取得最大值为 。
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】（1）题可以首先判断129是异数，根据定义条件“ 交换百位和个位上的数字后，用较大数与较小数作差后除以99 ”列式计算即可；（2）题首先确定这个三位数是，即100a+10b+c；然后交换百位和个位数字之后，三位数变为，即100c+10b+a；此时无法判断两个三位数谁大谁小，因此作差的时候加上绝对值，然后化简分析即可；（3）题首先计算出F(s)=|x-8|，F(t)=|y-1|，因为恒为正整数 ，所以只有当F(s)=|x-8|=1时，肯定恒为正整数；然后分析绝对值的计算结果和x、y的具体值即可。
1 / 1《代数式》精选压轴题（二）—2025年浙江省七（上）数学期中复习
一、单选题
1．（2023八上·秀英月考）设 ，，．若，则的值是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，，，
，，
，
，
，解得：，
，
故选：C．
【分析】先利用完全平方公式得出，，再利用已知条件得到，展开后整体代入求值．
2．（2024七上·拱墅期中）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：令，则，
令，则，
∴①，
令，则，
∴②，
①+②，得，
∴，
故答案为：D．
【分析】用取特值法，分别令等式中的x=0，x=1与x=-1可求出a1+a2+a3+a4+a5+a6=26①，-a1+a2-a3+a4-a5+a6=0②，然后①+②后，整理即可求出答案．
3．（2024七上·义乌期中）某校校园里的一条小路使用正六边形、正方形、正三角形三种地砖按如图方式铺设．若这条小路共用了50块正六边形地砖，则正方形地砖的数量为（ ）．
A．300块 B．301块 C．250块 D．251块
【答案】D
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：设这条小路共用了块正六边形地砖，
当，正方形地砖为块，
当，正方形地砖为块，
当，正方形地砖为块，
，
铺设这条小路共用去a块六边形地砖，则正方形地砖的数量为块，
∴当时，（块）.
故答案为：D．
【分析】观察图形发现每个正六边形的每条边都与一个正方形相连， 这意味着每块正六边形地砖周围有6块正方形地砖（因为正六边形有6条边），但每两块相邻的正六边形共享同一块正方形地砖，故每增加一个正六边形就增加5个正方形，故铺设这条小路共用去a块六边形地砖，则正方形地砖的数量为(5a+1)块，然后将a=50代入计算可得答案.
4．（2024七上·龙湾期中）某校兴趣小组的同学在做一项科学实验时，让小车静止从光滑的斜面滑下，测得小车的滑动距离（单位：）与滑动时间（单位：s）如下表，若记秒与秒所对应的滑动距离分别为与，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由表格可得，秒与秒所对应的滑动距离的差为，
秒与秒所对应的滑动距离的差为，
秒与秒所对应的滑动距离的差为，
秒与秒所对应的滑动距离的差为，
秒与秒所对应的滑动距离的差应为，
秒与秒所对应的滑动距离的差应为，
秒与秒所对应的滑动距离的差应为，
秒与秒所对应的滑动距离的差应为，
，
故选：A．
【分析】本题是一道跨学科的数字问题，解题关键是读懂题意，找出规律解答．由于我们不知道物理公式，所以只能根据表格数据一一列举，依次类推，找出规律，即可得出结果．
5．（2023七上·翠屏期中）图1是长为，宽为的小长方形纸片将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，，若，且为定值，则，满足的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：设BC=n，
则S1=a（n-4b），S2=2b（n-a），
∴S=S1-S2=a（n-4b）-2b（n-a）=（a-2b）n-2ab，
∵当BC的长度变化时，S的值不变，
∴S的取值与n无关，
∴a-2b=0，
即a=2b．
故选：A．
【分析】设BC=n，先算求出阴影的面积分别为S1=a（n-4b），S2=2b（n-a），即可得出面积的差为S=S1-S2=（a-2b）n-2ab，因为S的取值与n无关，即a-2b=0，即可得出答案．
6．（2024七下·永兴开学考）如图，在两个完全相同的大长方形中各放入五个完全一样的白色小长方形，得到图（1）与图（2）．若，则图（1）与图（2）阴影部分周长的差是（ ）
A．m B． C． D．
【答案】C
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：设白色小长方形的宽为，长为，大长方形的宽为，
则由图（1）得；由图（2）得，；
，
，
∴，.
∴图（1）中阴影部分的周长为：，
图（2）中阴影部分的周长为：，
阴影部分的周长之差为：，
故答案为：C．
【分析】设小长方形的宽为，长为，大长方形的宽为，根据图形分别用m表示出、、，然后分别表示出两个图形中阴影部分的周长，再作差即可．
7．（2024七下·杭州期中）在矩形内，将一张边长为和两张边长为的正方形纸片按图1，图2两种方式放留，矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若要知道图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周长的差，只要测量图中哪条线段的长（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：图1中阴影部分的周长，
图2中阴影部分的周长，
周长差．
故若要知道周长差，只要测量图中线段的长．
故答案为：A．
【分析】根据平移和周长的定义，利用整式的加减求出周长差=2AB即可解题．
二、填空题
8．（2024七上·义乌月考）如图按下面的程序计算，如输入的数为40，则输出的结果为122，要使输出的结果为32，则输入的正数的所有值是 ．
【答案】10，，
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：依题可设，
令y=32，可得3x+2=32，
解得：x=10，
即输入x=10时，输出结果为32；
令y=10，可得3x+2=10，
解得：，
即输入时，经过一次返回，可得输出结果为32；
令，可得，
解得：，
即输入时，经过两次返回，可得输出结果为32；
令，可得，
解得：，不符合题意，舍去．
满足条件的的不同值分别为10，，，
故答案为：10，，．
【分析】令，把y=32代入，可得x=10；此时y=32>30，会输出结果；再令y=10，求出对应的x的值；再把x的值作为y值代入求对应的x值；直到求的x值小于0结束.
9．（2024七上·拱墅期中）某人买了甲、乙两个品牌的衬衣共m件，其中甲品牌衬衣比乙品牌衬衣多2件．已知甲品牌衬衣的单价为80元，乙品牌衬衣的单价为60元，则买这m件衬衣共需要付款 元．
【答案】
【知识点】用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：买这m件衬衣需付款：（元）．
故答案为：．
【分析】由“ 甲、乙两个品牌的衬衣共m件，其中甲品牌衬衣比乙品牌衬衣多2件 ”得乙品牌的衣服为件，则甲品牌的衣服为件，根据单价乘以数量等于总价分别求出购买甲、乙品牌衬衫的费用，最后再求和即可.
10．（2024七上·义乌期中）把自然数按一定的规律排成如图所示图形，若规定图形中第4行的第3个数“8”记为，依次类推，则记为的数是 ．
【答案】52
【知识点】探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：第一行有一个数：0，
第二行有两个数：1、2，
第三行有三个数：3、4、5，
第四行有四个数：6、7、8、9，
……
第n行有n个数，
∴前9行数的总个数为1+2+3+4+……+9=个数，
∴第9行的最后一个数是44，
∴第10行的第一个数是45，
∴ 第10行第8个数就是45+7=52 .
故答案为：52．
【分析】通过观察发现每一行的数字数量比上一行多一个， 且第n行有n个数，于是求出前9行数的个数和得45，这意味着第9行的最后一个数是44，所以第10行的第一个数是45，进而可得第10行第8个数就是45+7=52 .
11．（2025七上·宁海期中）开始输入的值为1，则第1次输出的结果为3，第2次输出的结果为2，…．请你探索第2024次输出结果为 ．
【答案】2
【知识点】有理数除法的实际应用；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：当开始输入的值为1时，第1次输出的结果为3，
第2次输出的结果为2，
第3次输出的结果为1，
第4次输出的结果为3，…
故数据每3次循环一轮，
，
第2024次输出的结果和第2次相同为2．
故答案为：2．
【分析】
先分别求出前4次的输出结果，可发现每3次一个循环，则用2024除以3取余数即可．
12．（2024七上·余姚期中）小红房间窗户的装饰物是由两个半径相同的四分之一圆组成的（如图1所示），小兰房间窗户的装饰物是由半径相同的两个四分之一圆和一个半圆组成的（如图2所示），小明房间窗户的装饰物是由半径相同的两个四分之一圆和两个半圆组成的（如图3所示）．请代数式表示出第n个装饰物的面积为 ．
【答案】
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；用代数式表示实际问题中的数量关系；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】由题意知：第1个图中，装饰物的面积为：
第2个图中，装饰物的面积为：
第3个图中，装饰物的面积为：
第个装饰物由个半圆和 2 个四分之一圆组成，即合起来是个半圆组成，可得半径为，
所以，装饰物的面积为：（为正整数），
故答案为：．
【分析】
先根据题意找出装饰物的变化规律，第n个装饰物由个半圆和2个四分之一圆组成，进一步求解即可．
13．（2024七上·长兴期中）爱动脑筋的小明同学设计了如图所示的“幻方”游戏图，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使得横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都相等，他已经将、5、7、这四个数填入了圆圈，则图中的值为 ．
【答案】或
【知识点】有理数的加法法则；求代数式的值-直接代入求值；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解∶这8个数字的和是，
横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都等于，
、根据题意有∶，解得；
根据内圈正方形的4个数字之和等于，得内圈右边的圆圈应填3，则或．
因此，或．
故答案为：或．
【分析】先求出这8个数字的和是，所以横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都等于，利用竖的数字之和为-2可求出b的值，由此可求出内圈右边的圆圈的数字，再求出a的值，然后求出a+b的值即可.
14．（2024七上·金东期中）如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的 ．
【答案】
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：设第一个图形中下底面积为．
倒立放置时，空余部分的体积为，
正立放置时，有墨水部分的体积是，
因此墨水的体积约占玻璃瓶容积的，
故答案为：．
【分析】设第一个图形中下底面积为．观察图形，第一个图形中下底面积为未知数，用第一个图可得墨水的体积，用第二个图可得空余部分的体积，于是可得玻璃瓶的容积，然后用求得的墨水的体积除以玻璃瓶容积即可求解．
15．（2024七上·杭州期中）某市用水进行分段计费，每户每月用水量在规定吨数以下的收费标准相同；规定吨数以上的超过部分收费标准相同，以下是某户月份用水量和交费情况：
月份 1 2 3 4
用水量吨 4
价格元 8
那么每月用水量规定的吨数是 吨，若用水吨（大于规定吨数），则应交水费 元．
【答案】11；（3a﹣11）
【知识点】整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：从表中数据可以看出规定吨数为不超过11吨，
故答案为：11；
11吨以内，每吨：（元，
超过11吨的部分每吨：（元．
用水吨大于规定吨数），则应交水费：
元，
故答案为：．
【分析】
观察表中数据可得从第3月份开始，用水的价格发生变化，即当时每吨水2元，当时，超出部分每吨3元，应付费，最后利用整式的混合运算整理即可．
16．（2024七上·萧山期中）观察多项式的构成规律，它的第10项是 ；第n（n为正整数）项是 ．
【答案】；
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：观察多项式可知，第10项为；
第n项是．
故答案为：，．
【分析】
本题主要考查了多项式中的规律探究与总结，通过观察多项式的构成，可以发现其项数、系数和指数之间存在特定关系：多项式是按照x的升幂排列，系数是序号数的2倍，且序号数为奇数时为正，序号数为偶数时为负，根据这一模式即可推导出第n项的通项公式，并代入具体项数求解．
17．（2024七上·江津期中）定义：对任意一个两位数m，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“互异数”．将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数减去原两位数后的结果与9的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的差为，与9的商为，所以．根据以上定义，请计算： ；若“互异数”m的个位数字是a，十位数字是b，则 （用含a、b的代数式表示）．
【答案】；
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：根据题意，得，
∵“互异数”的个位数字是，十位数字是，
∴，
故答案为：，．
【分析】根据“互异数”的定义以及题干中例子的解题方法可求出的值，由新两位数减去原两位数后的结果与9的商记为以及“互异数”的定义即可列式求出的值.
18．（2022七上·宁波期中）如图，用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形，两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样，若（2）图的长方形面积时，则（1）图中长方形的面积为 ．
【答案】
【知识点】整式的加减运算；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设图（1）中长方形的长为，宽为，图（2）中长方形的长为，宽为.
则观察图形知：
∵两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样，
∴，即，
∴，
∵，
∴
故答案是：．
【分析】
为方便计算，可分别设图（1）中长方形的长为，宽为，图（2）中长方形的宽为，长为，再结合图形可得AD长相等，即有；再根据阴影部分的周长相等得，则有，最后根据长方形面积公式计算即可．
19．（2024七上·西湖期中）将9个代数式填入九宫格的方格中，使得九宫格的每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个代数式的和都相等．已知九宫格中的部分代数式如图所示，则 ； ．（用含有x的代数式表示）
M
x
N
【答案】 ；
【知识点】整式的加减运算；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：设最中间方格的代数式为，
根据题意，得
∴，
根据题意，得，
∴，
∴第一列中间的代数式为：，
∵第一列的三个数之和=第三行的三个数之和，
∴，
∴，
故答案为：，．
【分析】设最中间方格的代数式为，然后根据“九宫格的每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个代数式的和都相等”求出的值以及用含的代数式表示出，从而求出第一列中间的代数式，进而根据“第一列的三个数之和=第三行的三个数之和”求出的值.
20．（2024七上·新昌期中）如图所示，1925年数学家莫伦发现的世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成10个大小不同的正方形，图中的数字为正方形编号，其中1，2的边长分别记作x，y．请你计算：
（1）第5个正方形的边长是 ；（用含x，y的代数式表示）
（2）完美长方形的长与宽之比是 ．
【答案】；
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：（1）∵1，2的边长分别记作x，y．
∴第个正方形的边长为，第个正方形的边长为，
∴第5个正方形的边长是；
故答案为：；
（2）第6个正方形的边长是，
第7个正方形的边长是，
第10正方形的边长是，
第8个正方形的边长是，
第9个正方形的边长是，
∴完美长方形的长为，宽为：，
∴完美长方形的长与宽之比是，
故答案为：．
【分析】
（1）根据图形的构成并结合整式的加减法则计算可求解；
（2）由题意，分别表示出完美长方形的长与宽，然后求比即可求解．
21．（2024七上·西湖期中）如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，．则的值为 ，，为正整数，则的值为 ．
【答案】；4047
【知识点】一元一次方程的其他应用；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：由图可得，，，……，∴，
∴
；
∴
∴
∴，
解得，
故答案为：；4047．
【分析】根据图形得到图形的变化规律：，根据规律代入将方程变形为，带入解方程即可．
22．（2024七上·上城期中）下面每个大正方形中的五个数之间都有相同的规律，根据这种规律填空：
（1）第4个图中，中间数字 ；
（2）第n个图中，五个数字的和为 （用含n的代数式表示）．
【答案】-29；
【知识点】用代数式表示数值变化规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：（1）由所给图形可知，
图形中左上角的数字依次为1，5，9，…，
所以第n个图中左上角的数字可表示为：；
图形中左下角的数字依次为：4，8，12，…，
所以第n个图中左下角的数字可表示为：；
图形中右上角的数字依次为：2，6，10，…，
所以第n个图中右上角的数字可表示为：；
图形中右下角的数字依次为：3，7，11，…，
所以第n个图中右下角的数字可表示为：；
因为，
所以中间的数字可由右上角和左下角数字的积减去左上角和右下角数字的积求得．
当时，
，
则，
所以．
故答案为：．
（2）由题知，
图形中的中间数字依次为：，
所以第n个图中中间数字可表示为：．
所以第n个图中，五个数字的和为：．
故答案为：．
【分析】（1）根据所给图形，发现图形中五个数的变化规律，据此可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
三、解答题
23．（2025七上·宁海期中）对于实数a，b，n，d，若，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如，则2和3关于1的“相对关系值”为3．
（1）①和6关于1的“相对关系值”是______；
②求和关于2的“相对关系值”是______；（保留根号）
（2）若a和3关于1的“相对关系值”为7，求a的值；
（3）若和关于1的“相对关系值”为1，求的最大值．
【答案】（1）①10；
②
（2）解：根据题意得，，即
∴，
解得或．
（3）解：由题意得：，
当时，，则；
当时，，则，
∴；
当时，，则，
∴；
当时，，则，
∴；
综上：的最大值为3．
【知识点】整式的加减运算；解含绝对值符号的一元一次方程；绝对值的非负性；实数的绝对值；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】
（1）
①根据题意得，．
∴和6关于2的“相对关系值”为10；
故答案为：10
②，
故答案为：
【分析】
（1）根据“相对关系值”的概念和绝对值的概念列式计算即可；
（2）根据“相对关系值”的概念列出方程并求解即可；
（3）根据“相对关系值”的概念列出方程，再利用绝对值的概念分类讨论并求解，最后再对结果进行比较即可．
（1）①根据题意得，．
∴和6关于2的“相对关系值”为10；
故答案为：10
②，
故答案为：
（2）根据题意得，，即
∴，
解得或．
（3）解：由题意得：，分四种情况：
当时，，则；
当时，，则，
∴；
当时，，则，
∴；
当时，，则，
∴；
综上：的最大值为3．
24．（2024七上·鄞州期中）某人去水果批发市场采购苹果，他看中了两家苹果．这两家苹果品质一样，零售价都为6元/千克，批发价各不相同．
A家规定：批发数量不超过1000千克，按全部零售价的92%优惠；批发数量超过1000千克不超过2000千克，按全部零售价的90%优惠；超过2000千克的按全部零售价的88%优惠．
B家的规定如下表：
数量范围（千克） 不超过500部分 超过500，但不超过1500的部分 超过1500，但不超过2500的部分 超过2500的部分
价格（元） 售价的95% 零售价的85% 零售价的75% 零售价的70%
【表格说明：批发价格分段计算，如：某人批发苹果2100千克，则总费用
（1）如果他批发600千克苹果，请计算出他在家、B家批发各需要多少元？
（2）如果他批发千克苹果，则他在家批发需要________元，在家批发需要________元（用含的代数式表示）；
（3）现在他要批发10956元苹果，应该选择哪一家水果店？请说明理由．
【答案】（1）解：如果在家批发，则（元）；
如果在家批发，则
（元）．
答：在家批发需要3312元，在家批发需要3360元
（2），
（3）解：设批发的苹果数量是x千克。
如果选择在A家批发，根据条件可以发现，批发数量不超过1000千克，对应的批发总价不会超过1000×6×92%=5520元；批发数量超过1000千克不超过2000千克，对应的批发总价不会超过2000×6×90%=10800元；因此批发的苹果数量在2000千克以上。列式为5.28x=10956，解得x=2075；
如果选择在B家批发，根据条件可以发现，批发数量不超过500千克，对应的批发总价不会超过500×6×95%=2850元；批发数量超过500千克不超过1500千克，对应的批发总价不会超过元 ；批发数量超过1500千克不超过2500千克，对应的批发总价不会超过元，因此批发的苹果数量在1500千克到2000千克之间。列式为4.5x+1200=10956，解得x=2168；
2168＞2075，即花同样多的钱，可以在B家水果店买到更多的苹果。
∴选择家水果店
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【解答】（2）解：如果他批发千克苹果，
在家批发需要（元）；
在家批发需要
=4.5x+1200（元）．
∴他在家批发需要元，在家批发需要元．
故答案为：，。
【分析】（1）题家批发需要费用公式为：质量单价；家批发需要费用公式为：单价单价；把相关数值代入求解即可；
（2）把代入（1）得到的式子求值即可；
（3）先分析10956元的批发总价对应的批发苹果数量x是在什么范围，分析完发现是在2000千克到2500千克之间，这时只要把10956元代入（2）的代数式得出一元一次方程求解，最后比较哪家数量多哪家就划算。
（1）解：如果在家批发，则
（元；
如果在家批发，则
（元．
答：在家批发需要3312元，在家批发需要3360元．
故答案为：3312，3360；
（2）解：如果他批发千克苹果，
在家批发需要（元；
在家批发需要
（元．
故他在家批发需要元，在家批发需要元．
故答案为：，；
（3）解：要批发10956元苹果，在A、B两家水果店购买的苹果数量大于2000千克，小于2500千克；
选择家水果店，理由如下：
在家批发，
，
在家批发，
．
所以选择家水果店．
25．（2024七上·拱墅期中）某商场在国庆期间开展双重特惠：一、商场内所有商品按标价的出售；二、满减活动：按消费金额（即标价的）再进行满减．
消费金额 满元 满元 满元 满元
满减金额 元 元 元 元
例如：A顾客购买一件标价元的商品，则实付元，共优惠了元．
（1）若B顾客购买一件标价为元的商品，则可优惠多少钱？
（2）若C顾客购买一件标价为x元（）的商品，那么该顾客可以优惠多少钱？（用含x的代数式表示）
（3）若D顾客要购买三件商品，标价分别是：a元（），元，元，如何购买最优惠，最多能优惠多少钱？（用含a的代数式表示）
【答案】（1）解：实付（元），
（元）．
答：可优惠元．
（2）解：（元），
当时，即，实付（元），
优惠了（元）；
当时，即，实付（元），
优惠了（元）．
（3）解：，
，
另两件商品标价分别为元，元，
（元），（元）．
（方案一）三件商品分别买：
第一件商品实付（元），
第二件商品实付（元），
第三件商品实付（元），
∴总的实付（元），
∴总的优惠（元）；
（方案二）前两件商品一起买，第三件单独买：
∵，
∴前两件实付（元），
∵第三件实付（元），
∴总的实付（元），
∴总的优惠（元）；
（方案三）第一件单独买，后两件商品一起买：
第一件商品实付（元），
后两件商品实付（元），
∴总的实付（元），
∴总的优惠（元）；
（方案四）三件商品一起买：
∵，
∴实付（元），
∴优惠（元）．
∵，
∴第一件单独买，后两件商品一起买最优惠，最多能优惠元．
【知识点】整式的加减运算；有理数混合运算的实际应用；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【分析】（1）用标价乘以折扣率减去享受满减优惠的金额计算出实付金额，再根据“优惠标价实付”计算即可；
（2）根首先用1500除以折扣率算出消费金额满1500元时的标价，然后分别表示出当和时实付金额，再根据“优惠标价实付”计算即可；
（3）分类讨论：①三件商品分别买，②前两件商品一起买、第三件单独买，③第一件单独买、后两件商品一起买，④三件商品一起买，四种购买方案的优惠并比较大小即可得出结论．
（1）实付（元），
（元）．
可优惠元．
（2）（元），
当时，即，实付（元），
优惠了（元）；
当时，即，实付（元），
优惠了（元）．
（3），
，
令两件商品标价分别为元，元，
（元），（元）．
（方案一）三件商品分别买：
第一件商品实付（元），
第二件商品实付（元），
第三件商品实付（元），
∴总的实付（元），
∴总的优惠（元）；
（方案二）前两件商品一起买，第三件单独买：
∵，
∴前两件实付（元），
∵第三件实付（元），
∴总的实付（元），
∴总的优惠（元）；
（方案三）第一件单独买，后两件商品一起买：
第一件商品实付（元），
后两件商品实付（元），
∴总的实付（元），
∴总的优惠（元）；
（方案四）三件商品一起买：
∵，
∴实付（元），
∴优惠（元）．
∵，
∴第一件单独买，后两件商品一起买最优惠，最多能优惠元．
四、阅读理解
26．（2024七上·柯桥期中）原题呈现：代数式：的值为9．则代数式的值为．
【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：（∵表示“因为”，∴表示“所以”）
∵，∴．
原式．
∴代数式的值为9．
（1）【方法运用】若，则 ．
（2）若代数式的值为15，求代数式的值．
（3）【拓展应用】若，，测代数式的值为 ．
【答案】（1）1
（2）解：∵代数式的值为15，
∴，
∴，
∴；
（3）-4
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】(1) 解：由 可得
∴
故答案为：1.
（3）解：∵，，
∴
．
故答案为：-4.
【分析】(1)先由 可得 然后整体代入计算即可；
(2)先由： 可得 由 可得 然后整体代入计算即可；
(3)先由： 可得 然后把可得 化成 然后整体代入计算即可.
27．（2023七下·自流井月考）【阅读】求值．
解：设，
将等式①的两边同时乘以2得：，
由得：．
即：．
（1）【运用】仿照此法计算：；
（2）【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形，依次操作2022次，依次得到小正方形、、、…、，完成下列问题：
①小正方形的面积等于__________；
②求正方形、、、…、的面积和．
【答案】（1）解：设，
，得：，
，得：，
∴；
（2）①；
解：②设，
，
得：，
得：，
∴，
，
∴．
【知识点】探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：（2）①由图形可知，
，
，
，
……，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据题目中的信息可以解答本题；
（2）①，，，……，可得答案；
②根据题目中的信息可以解答本题．
（1）设，
，得：，
，得：，
则；
（2）①由图形可知，
，
，
，
……，
∴，
故答案为：；
②设，
，
得：，
得：，
∴，
，
即．
五、实践探究题
28．（2024七上·浙江期中）[定义]如果一个三位数满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，称这个三位数为“异数”。
[发现]若n是一个“异数”，交换百位和个位上的数字后，用较大数与较小数作差后除以99，商必为正整数。记这个整数为F（n）。
[例如]若n＝256，交换百位数字与个位数字得到652，652＞256，则652-256＝396，396÷99＝4，所以F（256）＝4。
解决问题：
（1）求F（129）的值；
（2）请你用学过的整式的加减知识说明上述发现是正确的；
小明同学说理过程如下：设“异数”n的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为 c，则n＝100a+10b+c。（请你继续完成小明同学的说理过程）
（3）若s，t都是“异数”，s＝850+x，t＝170+y（其中x，y均为小于10的正整数），若 恒为正整数，求F（t）-F（s）的最大值，并写出此时x，y的值。
【答案】（1）解：921-129=792，792÷99=8
∴F(129)=8
（2）解：∵n=100a+10b+c，∴交换个位与百位后得数为：100c+10b+a
∵F(n)=|100a+10b+c-100c-10b-a|=99|a-c|
∵a，c均为整数
∴F(n)=99|a-c|÷99=|a-c|必为整数。
（3）解：∵s=850+x，t=170+y
∴F(s)=|x-8|，F(t)=|y-1|
恒为正整数
， 即 或 9
当 取最大值时， 取最大值
，即y=9或-7；
为小于 10 的正整数，
此时， 取得最大值为 。
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】（1）题可以首先判断129是异数，根据定义条件“ 交换百位和个位上的数字后，用较大数与较小数作差后除以99 ”列式计算即可；（2）题首先确定这个三位数是，即100a+10b+c；然后交换百位和个位数字之后，三位数变为，即100c+10b+a；此时无法判断两个三位数谁大谁小，因此作差的时候加上绝对值，然后化简分析即可；（3）题首先计算出F(s)=|x-8|，F(t)=|y-1|，因为恒为正整数 ，所以只有当F(s)=|x-8|=1时，肯定恒为正整数；然后分析绝对值的计算结果和x、y的具体值即可。
1 / 1
